(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题15 圆锥曲线的综合问题(练)(含解析)

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【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案

即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2

x22 , x1

x2

(1

)
x2
,
(
x1 1

x2
)2

x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2

16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1

x2

4km 2k 2 1
，
x1 x2

2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1

y2

3 y2

y2

2 y2

12t 3t2 1
得
y2

6t 3t2 1
由
y1 y2

(3y2 ) y2

3 y22

9 3t2 1
得
y22

y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则

(寒假总动员)2019年高三数学寒假作业专题15 圆锥曲线的综合问题(测)(含解析)

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题15 圆锥曲线的综合问题（测）（含解析）时间：45分钟满分：100分一．选择题（每小题5分，共50分）1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（） A. 52 B.54C. 552D.5542.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】若双曲线22221x y a b -=的离心率为3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=2x ±C.12y x=± D.22y x =±3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等[答案] D[解析]易知1C 的离心率221111111e cos a b c a a θ+===，易知2C 的离心率,222222222tan 1sin cos a b c e a a θθ+====，故12e e =.故选D.[学科网考点定位] 本题考查椭圆的性质及同角三角函数的基本公式的综合运用，考查基本概念的理解能力及化简计算能力.4.【2013年全国高考新课标（I ）理科】已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ()A 、y=±14x（B ）y=±13x（C ）y=±12x（D）y=±x5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 22145x y -=B ．22145x y -=C ．22125x y -=D ．22125x y-=6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】抛物线1C ：221xp y =(p ＞0)的焦点与双曲线2C ：1322=-y x 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线.则p =( )A.163B.83C. 233D.334【答案】D7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为( )（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2 B.3 C. 23 D.26【答案】D9.【2013年2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = （）(A) 1(B) 32 (C) 2(D) 310.【2013年全国高考新课标（I ）理科】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x245＋y236＝1B 、x236＋y227＝1C 、x227＋y218＝1D 、x218＋y29＝1【答案】D二.填空题（每小题5分，共20分）11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________.12.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为.13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 . 【答案】9【解析】由162=a ，m b =2得m c +=162，则16544c m e a +===，.9=∴m 本题解题的关键在于利用双曲线标准方程中222c a b =+和离心率的求解公式ce a =．【学科网考点定位】本题主要考查了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题.14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.三．解答题（每小题15分，共30分）15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程； (Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF⋅的最小值.因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.16.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线2y =与C 的两个交点间的距离为6. （Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明：2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.由于2222211111||(3)(3)8813AF x y x x x =-+=-+-=-，2222222222||(3)(3)8831BF x y x x x =-+=-+-=-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9-116AF BF x x x x ∙=+-=.因而222|||||AB|AF BF ∙=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.。

高三数学寒假作业专题15 圆锥曲线的综合问题练含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校〔寒假总发动〕2021年高三数学寒假作业专题15圆锥曲线的综合问题〔练〕〔含解析〕一、选择题:1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔〕 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；那么C 的实轴长为〔〕1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的间隔为2，那么抛物线2C 的方程为 (A)2833x y =(B)21633x y =(C)28x y =(D)216x y = 【答案】D4.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公一共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

假设M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是325.双曲线C：22xa-22yb=1的焦距为10，点P〔2,1〕在C的渐近线上，那么C的方程为A．220x-25y=1B.25x-220y=1 C.280x-220y=1D.220x-280y=1【答案】A【解析】设双曲线C：22xa-22yb=1的半焦距为c，那么210,5c c==.又C的渐近线为by xa=±，点P〔2,1〕在C的渐近线上，12ba∴=，即2a b=.又222c a b=+，25,5a b∴==，∴C的方程为220x-25y=1.【考点定位】此题考察双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等根底知识，考察了数形结合的思想和根本运算才能，是近年来常考题型.二、填空题:6.双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，假设PF1⊥PF2,那么∣PF1∣+∣PF2∣的值是___________________.)0,0(1:22221>>=-b a b y a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有一样的渐近线，且1C 的右焦点为(5,0)F ,那么a =b =三、解答题:8.如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>32x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的HY 方程；(Ⅱ)设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及获得最大值时m 的值.综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST 255.。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。

(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题15圆锥曲线的综合问题(练)(含解析)

(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题15圆锥曲线的综合问题(练)(含解析)一、选择题：1•设FlF2是椭圆的等腰三角形，贝U (A) 2【答累】C【解析】因为平卫耳是底角为：?摟三鶴匚，则有|乓£| =區円，因为迟=303所以 ^PF.D=^,£DPF 1 =30\ 所UA|巧D| = f|尸二丄|巧巧|，— x 2c = fr 所以——=2G T PP — = — 7 所以椭圆的22 2 a 4离心率背咚二2*选匚42•等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线/ 16x 的准线交于A ，B 两点，AB 4 3 ；则C 的实轴长为()(A) .2(B) 2三 (C) (D)【答黑】C【解析】设等轴叹曲绒方程为〒—十=“5 ＞臥昶物罐的准统为x= —L 由|.闵=4凤则|i J = 把坐标(-4.2^3)代入収鏗站程得恻二Q —十二M二和所以収曲线方程対工—j?二4朗^―― — =1 j 所以口“三七口三2,所以实恥冷2◎ = 4,选C.4 42 2x y C 2 2 1(a 0,b 0) C ：x 2 2py(p 0) C 3•已知双曲线C 1 : a b 的离心率为2•若抛物线C 2：x 2py (P 0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为2詁1(a0)3a x ____的左、右焦点，P 为直线 2上一点，F 2PF 1是底角为30°E 的离心率为((B) 3 (C) (D)以三二旦二人所以戸二8,所以抛物牡专程対.L =16厂选） © 44•如图，中心均为原.点O 的双曲线与椭圆有公共焦点， M , N 是双曲线的两顶点。

若 M , O , N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是【答案】B【解析】设椭圆的长轴肯&欢曲线的长眄的田口匚X 将怫圆长轴四等分，则即& £7【考点定位】朮题主要着查了椭鬲和叹灰J 的方程和邇过I 函耆公交点求辭函心率的姜系一2 2 x yB. 5-20 =12 2x yC. 80-20 =12 2x yD. 20 - 80 =12 2x y2 .2C : a - b =1的半焦距为5 •已知双曲线2 2x y2 .2a -b =1 的焦距为10 ,点(2,1 )在 C 的渐近线上，则C 的方程为x2字(A)3(B)216 3X —y2 2(C)x8y (D)x 16 y【答案】D【解析】抛物线的建点（①与，3W4的渐近线为y = -X ＞不妨取T 二一一匕冃卩bx-ay = 0 ,焦点對歸近蛀的距离対启2) HPt.p — 4J Q ： +「；：4C,所曲纯的离右暉背£=人所 a 4 竝又因为疵曲线与躺園有公共焦点,设貽「丁宀测双曲竝的离£棒为a2 2x yA .20- 5 =1 【答案】A【解析】设双曲线c ,则 2c 10,cA.3B.2C. 3D. ' 228.2x M : -28•如图，椭圆 ay_ 1（a b 0）的离心率为_3 2，直线xb所围成的矩形ABCD 的面积为b y 一 x又Q C 的渐近线为a ，点P （ 2,1）在C 的渐近线上,2 2x y 又 c 2 a 2 b 2 ,a 2§b 「5 , C 的方程为 20-7=1.【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 • 二、填空题： 6•已知双曲线x2y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F1丄P F2则丨P F1 I + I P F2I 的值为 ______________________ .【解析】由収曲线的方程可知“叹=J5…码卜|丹勺| = 2^ = 2, 十肘昭||啓| + |踩卜4\'PF X,|Pr ；|'+|?A|： =2）、&.-.2『尺王［卜七（|砒|+1踩+—1 二二阴+阳 M【若点定徒】本题主娶若查跟曲録的定咯标准方巴占斥转林仙和运算求解能力，难度适中.解题时要充分利用収曲线的宦义和勾股定理，实现曽…积一和炉枝化./（后。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题

N M P y xO解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足O P O A O B=+. （Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。

5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N λ=||DN ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0M N A F =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；（II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅，),(R ∈=λλ向量c a +与c a -垂直。

圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

2020年高考数学圆锥曲线的综合问题作业

圆锥曲线(三) ----(圆锥曲线的综合问题)班级_________ 姓名__________1点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和它到直线x =4的距离的比为2, 则动点M 的轨迹方程为A 13422=-y xB 13422=+y x ( ) C 3x 2-y 2-34x +65=0 D 3x 2-y 2-30x +63=02 已知双曲线12222=-by a x ,(a>0,b>0), A 1、A 2是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A 1M 与A 2N 交点的轨迹方程是 ( )A 12222=+b y a xB 12222=+b x a yC 12222=-b y a xD 12222=-b x a y 3 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点(1,1)P -P (1,-1), 则抛物线焦点弦PQ 的另一个端点Q的轨迹方程是 ( )A (x -1)2=-8(y -1)B (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C (y -1)2=8(x -1)D (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)4 若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为___________；以（m ，n ）为点P的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有______个5.试给出方程622-+k k x+1622--k k y =1表示双曲线的充要条件:__________________.6 试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线.7.设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =23，已知点P （0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标8.如下图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0）（y 0＞0），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.9.从椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B 的连线AB ∥OM . （1）求椭圆的离心率；（2）若Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；（3）过F 1作AB 的平行线交椭圆于C 、D 两点，若|CD |=3，求椭圆的方程.10.（2006山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线. （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r ，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.DAB 4、2203m n <+< 2个 5、11(3,)(,2)32--U6、3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在7、解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是22a x +22by =1，其中a ＞b ＞0待定由e 2=22a c =222ab a -=1－（a b ）2可知ab=21e -=431-=21，即a =2b设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －23）2=a 2（1－22by ）+y 2－3y +49= 4b 2－3y 2－3y +49=－3（y +21）2+4b 2+3，其中－b ≤y ≤b 如果b ＜21，则当y =－b 时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=（b +23）2，由此得b =7－23＞21，与b ＜21矛盾因此必有b ≥21成立，于是当y =－21时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=4b 2+3，由此可得b =1，a =2故所求椭圆的直角坐标方程是42x +y 2=1由y =－21及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3，－21），点（3，－21）到点P 解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩其中a ＞b ＞0待定，0≤θ＜2π， ∵e =23，∴a =2b 设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －23）2=a 2cos 2θ+（b sin θ－23）2=－3b 2·（sin θ+b21）2+4b 2+3如果b21＞1，即b ＜21，则当sin θ=－1时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=（b +23） 2，由此得b =7－23＞21，与b ＜21矛盾因此必有b 21≤1成立，于是当sin θ=－b21时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=4b 2+3 由此得b =1，a =2所以椭圆参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩消去参数得42x +y 2=1，由sin θ=21-，cos θ=±23知椭圆上的点（－3，－21），（3，－21）到P 点的距离都是8、解：（1）当y =2p 时，x =8p.又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =－2p ，由抛物线定义得所求距离为8p －（－2p ）=85p.（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .由y 12=2px 1，y 02=2px 0，相减得（y 1－y 0）（y 1+y 0）=2p （x 1－x 0），故k PA =0101x x y y --=012y y p+（x 1≠x 0）.同理可得k PB =22y y p+（x 2≠x 0）.由PA 、PB 倾斜角互补知k PA =－k PB ，即12y y p+=－022y y p +，所以y 1+y 2=－2y 0，故21y y y +=－2. 设直线AB 的斜率为k AB .由y 22=2px 2，y 12=2px 1，相减得（y 2－y 1）（y 2+y 1）=2p （x 2－x 1），所以k AB =1212x x y y --=212y y p+（x 1≠x 2）.将y 1+y 2=－2y 0（y 0＞0）代入得k AB =212y y p +=－0y p，所以k AB 是非零常数.9、解：（1）由已知可设M （－c ，y ），则有22)(a c -+22b y =1.∵M 在第二象限，∴M （－c ，ab 2）.又由AB ∥OM ，可知k AB =k OM .∴－ac b 2=－ab .∴b =c .∴a =2b .∴e =a c=22.（2）设|F 1Q |=m ，|F 2Q |=n ，则m +n =2a ，mn ＞0.|F 1F 2|=2c ，a 2=2c 2， ∴cos ∠F 1QF 2=mnc n m 24222-+=mn c mn n m 242)(22--+=mnc a 24422-－1=mn a 2－1≥22)2(n m a +－1=22a a －1=0.当且仅当m =n =a 时，等号成立.故∠F 1QF 2∈［0，2π］.（3）∵CD ∥AB ，k CD =－a b =－22.设直线CD 的方程为y =－22（x +c ），即y =－22（x +b ）.22a x +22b y =1，y =－22（x +b ）.（a 2+2b 2）x 2+2a 2bx －a 2b 2=0.设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），∵a 2=2b 2， ∴x 1+x 2=－22222b a b a +=－2344b b =－b ，x 1·x 2=－22222b a b a +=－2442bb =－22b . ∴|CD |=21k +|x 1－x 2| =21k +·212214)(x x x x -+ =2)22(1-+·222)(b b +-=229b =3. ∴b 2=2，则a 2=4.∴椭圆的方程为42x +22y =1.则消去y ，整理得10、解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -= 由椭圆22184x y += 求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线∴3ba= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2213y x -= （Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题

解几综合题1.如图，()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（Ⅰ）求m n ⋅的值；（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=⋅MN OP（1）求动点P 的轨迹W 的方程（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满足QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；② 若直线l 的倾斜角为060，求1||PF4. 在双曲线1131222=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 ||||(CP AP +=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。

5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为.12-（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=||DN DM ，求λ的取值范围.6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]31,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范围.7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；（II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y >0，x －y >0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的长．10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂直。

(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题15圆锥曲线的综合问题(测)(含解析)

1 （寒假总动员）2020年高三数学寒假作业专题15圆锥曲线的综合问题（测）（含解析）时间：45分钟满分：100分一.选择题（每小题 5分，共50分）近线方程为（1.【2020年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】2x双曲线4y21的顶点到渐进线的距离等于（24A. 5B. 52i5 C. 丁4.. 5 D. 5［解析］由于衬称性，我们不妨取顶乩m 耳帝近线九r “ 所以由点到直线的距禽公式可潯专点定位体题苕查了收曲线的渐上线及点到克銭朗距離全式, 属于简单题.2.【2020年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）理】若双曲线2y 1 _b 2的离心率为3，则其渐A.y=址B.y …2x J ［答案】ByD.［解析］収曲线的离心率沟如二击，渐进性方程沖.* -±-x.计算狷工二厲.故渐迸性右程沏若点定位J 花小题肴査了离心率和特近雄等农炖娃的性质3.【2020年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】 0 已知2x4 ,则双曲线C 1 : cos 22 y 2sin2 2y_x C 2 : sin 2sin 2 tan 2的（［解析］易知C 1的离心率e 1C1a 1a ；b 21a1cos，易知C 2的离心率C 2a 22b 22 ta n 2 1e>—a 2a 2sinCOS ，故e ◎ •故选D.［学科网考点定位］本题考查椭圆的性质及同角三角函数的基本公式的综合运用，考查基本概念的理解能力及化简计算能力•4.【2020年全国高考新课标（I ）理科】已知双曲线 C:x2 — y2 = 1（a >0 , b > 0）的离心率为冲，则C 的渐近a2 b2 2 线方程为（）1 1 1A 、y= ±4X （B ） y=（ C ）y= ±2X（ D ） y= ±x【答案】c=—学科厢故斷近线方程対L 二土？工二土丄匚I 着点宦位】卒题考查跟曲线朗呈本:.晶着查学生的化归与转化旨幻J .5.离心率等于2 ,在双曲线C 的方程是【答需】B【解析】依题意2工"士所匕从严乂二4丄；=疋一/=「故选B.■【考点定位】若查取曲统7T .・1 2x2p（p > 0）的焦点与双曲线C 22 X 213的右焦点的连线交C 1于第一象限的点 M 若C 1在点M 处的切线平行于 C 2的一条渐近线•则A •实轴长相等［答案］DB .虚轴长相等C .焦距相等D .离心率相等【2020年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F3,02 2 2 2xy 1 丈匸 A .4 5B .4 5 2 2x- I 1 2 52V516.【2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】抛物线C 1 :P ()一 3 .32 J34.3A •忘B. 8C. 3D. 3【答案】D【解析】画圈可知被G 在点M 处的切纶平行的断近箜方程应为1=虫厂设R L —,则利用求导得弓 I P二=£曾=忑匸又点[。

(寒假总动员)高三数学寒假作业专题15 圆锥曲线的综合问题(测)(含解析)

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题15 圆锥曲线的综合问题（测）（含解析）时间：45分钟满分：100分一．选择题（每小题5分，共50分）1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（）A. 52B.54C. 552D.5542.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】若双曲线22221x y a b -=近线方程为（）A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.2y x=±3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等[答案] D[解析]易知1C的离心率11111e cos c a θ===，易知2C 的离心率,22221sin cos ce a θθ====，故12e e =.故选D.[学科网考点定位] 本题考查椭圆的性质及同角三角函数的基本公式的综合运用，考查基本概念的理解能力及化简计算能力.4.【2013年全国高考新课标（I ）理科】已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ()A 、y=±14x（B ）y=±13x（C ）y=±12x（D）y=±x5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x=6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】抛物线1C ：221xp y =(p ＞0)的焦点与双曲线2C ：1322=-y x 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线.则p =( )A.163B.83C. 3D.334【答案】D7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为( )（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2 B.3 C. 23 D.26【答案】D9.【2013年2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积则p = （）(A) 1(B) 32 (C) 2(D) 310.【2013年全国高考新课标（I ）理科】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x245＋y236＝1B 、x236＋y227＝1C 、x227＋y218＝1D 、x218＋y29＝1【答案】D二.填空题（每小题5分，共20分）11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________.12.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为.13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 . 【答案】9【解析】由162=a ，m b =2得m c +=162，则54c e a ===，.9=∴m 本题解题的关键在于利用双曲线标准方程中222c a b =+和离心率的求解公式ce a =．【学科网考点定位】本题主要考查了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题.14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.三．解答题（每小题15分，共30分）15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程； (Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF⋅的最小值.因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.16.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线2y =与C 的两（Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明：2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.由于21||13AF x ===-，22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9-116AF BF x x x x ∙=+-=.因而222|||||AB|AF BF ∙=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.。

高中数学-圆锥曲线练习题含答案[1]

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圆锥曲线专题练习一、选择题1。

已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ）A ．2B ．3C ．2D ．34．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25B ．5C ．215 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为（ )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±6．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0二. 填空题7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

8．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________.三。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案解几综合题答案1.解：（Ⅰ）由已知得()(,) 11 22OA OB m n mn ?=?=-=-分14m n ∴?= …………4分（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+- …………5分∴)x m ny m n =+=-?? 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn = 8分∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支…………9分（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-=即 22(31)1290t y ty -++=易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0t t t ?=--=+>设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧12122121222222(2)(2)2()491224313134031x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?+?+--+=->-∴ 2310t -<，即2103t <<又由 120x x +>同理可得 2103t << …………11分由3ME EN =得1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴121223(2)3x x y y -=-??-=?由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631t y t =-由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 222331y t =--消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t << …………13分故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即>+-≠-024012222k m k又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()22121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+121222x x x y y y +?=+?=??..........1’由222x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ?=+>2122421k x x k +=+....................................................5’于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m = 由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-??m ?=.............10’同理，在'QF F ?，设||QF n =，则|'|QF m = 也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-??n ?=’于是1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)∵双曲线1131222=-x y 的离心率为125，∴F 对应的准线方程为512=y ,由双曲线的定义得|,512|125||,125|512|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分）又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，)4().512(125||),512(125||)3().512(125||201分分 -=-=-=∴y CF y BF y AF∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴26113126)(21022210==-=+=x x y y y y 得代入，∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(+=λ，∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分）∵线段AC 的中点为D 点，∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分）∴设直线l 的方程为),2(6212121x x x y y x x y +----=-),(13,11312,11312,)(2621222122221212122212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又,21362121+---=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）故直线l 恒过点（0，225）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2= b 2+ c 2，所以b a 2=，…………①由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②由①②知1,2===c b a ，∴椭圆的标准方程为：.1222=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y 解方程组=++=122y x kx y消去.230,034)21(222>>?=+++k kx x k y 得由得设),(),,(2211y x N y x M ，则221214k k x x +-=+……………… ③ .213221k x x +=………………④又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=，即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-，于是λλλλ212212212221)1(,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得.)1(316121,)1(3121162222λλλλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .331,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>λλλ由此解得kk又.131,10<<∴<<λλ …………………………………………………………10分当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 31,0==这时，.31=∴λ ……………………………………………………………………………11分综上所述，λ的取值范围是.1,31??∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x （4分）（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y kk 根据条件可知??≠<+?-=?.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<="">设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得（8分）令3151],31,51[,)1()(212≤<≤∈+=λλλλλλφ任取，则22212121)1()1()()(λλλλλφλφ+-+=-.0)11)((2121>--=λλλλ（10分）]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，解得.22||0,21626221<<≤≤-≤≤-k k k 适合或因此直线AB 的斜率的取值范围是].2 1,62[]62,21[ -- （12分）7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， (4)分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=，∴ 1011(1),2.m x y y λλ?-=--=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-=-??……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-+-+=?-?……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤．……………………………14分8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM A M 即即………（2分）.544212221=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）设∠POM =α，则.5cos ||||=??α.5sin ||||,25=??∴=αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)9(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.故存在定一点 E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |2＝1，即|x 2－y 2|＝2．………………………………4分∵P ∈D ．∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2＞0．∴x 2－y 2＝2(x ＞0)．即曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)．…………6分（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 22．即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分∵曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2．根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |x 2－1＝2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22．由此可得x 1＋x 2＝4＋22．∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分（Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2．分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '．设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．由双曲线的定义可得，|AF ||AA '|＝|BF ||BB '|＝2，∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴|QQ '|＝12|AB |．②把②代入①得|AB |＝22(12|AB |－1)，解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分（Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线AB 过点F (2，0)，当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意．∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．代入双曲线方程x 2－y 2＝2得，x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0，∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴k ≠±1．∴x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2k 2－1．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]……………………………………………………9分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离12(x 1＋x 2)相等．即12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．∴12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12?4k 2k 2－1．………………………………………12分化简得k 4 －2k 2－1＝0，解得k 2＝1＋2（k 2＝1－2不合，舍去）．经检验，当k 2＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。

圆锥曲线综合练习题及答案.doc

圆锥曲线综合练习题及答案.椭圆的焦点是。

()a.5b.3 c.4d82 .已知双曲线的偏心率为2，焦点为(-椭圆的焦点是。

()a.5b.3c.4d82 .已知双曲线的偏心率为2，焦点为(:4x-3y 6=0，直线l2: x=-1，抛物线y2上的移动点p=4x到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为()a.2b.3c.d.9 .已知直线l1:4x-3y 6=0，直线l2:X=-1，从抛物线y2=4x上的移动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()10。

抛物线y2=4x的焦点是f，准线是l，穿过f并具有斜率的直线与x轴上方的抛物线部分在点a处相交，AK⊥l，垂直脚是k，那么△AKF的面积是()a.4b.3c.4d.8ii(每项6分，共24分)7。

椭圆的准线方程是_ _ _ _ _ _。

8.双曲线渐近线方程是_ _ _ _ _ _。

9.如果椭圆(0)的准线通过该点，则椭圆的偏心率为_ _ _ _ _ _。

10.当已知抛物线拱的顶点距离水面2米时，测得的水面宽度为8米。

当水面上升米时，水面的宽度为_ _ _ _ _ _。

3.回答问题11。

已知椭圆的两个焦点分别是偏心率。

(15点)(1)求椭圆圆方程。

(2)不平行于坐标轴的直线与椭圆在两个不同的点相交，线段中点的横坐标是直线斜率的数值范围。

12.设置双曲线c: 双曲线c的偏心率e的取值范围在两个不同的点a、b(I)上:(二)让直线L和Y轴的交点为P，求出a13的值。

已知椭圆:两个焦点分别是，并且具有斜率k的直线穿过右焦点并且在点a 和b处与椭圆相交，并且与y轴的交点被设置为p，并且线段的中点正好是b。

(25点)(1)如果找到了椭圆C的偏心值范围。

(2)如果从A和B到右准线的距离之和为，则得到椭圆C的方程。

14.(201-x=-1，抛物线y2=4x，从最后一个移动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a.2b.3c.d.9。

已知的直线l1: 4x-3y 6=0，直线l2:X=-1，从抛物线y2=4x上的移动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()10。

专题15 圆锥曲线综合(原卷版)2023年高考数学真题题源解密(新高考卷)

考向一直线与双曲线综合考向二直线与抛物线综合2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点（0，）的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3．【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等．【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【得分要点】 1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PF PF a +=．（2）双曲线定义：12|||-|||2PF PF a =．（3）抛物线定义：|PF|=d ． 2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形几何性质范围−a≤x≤a,−b≤y≤b−b≤x≤b,−a≤y≤a 对称性对称轴： x轴、y轴.对称中心：原点.焦点F1(−c,0),F2(c,0).F1(0,−c),F2(0,c).顶点A1(−a,0)，A2(a,0)，B1(0,−b),B2(0,b).A1(0,−a),A2(0,a)，B1(−b,0),B2(b,0).轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a，短轴长为2b.焦距|F1F2|=2c.离心率e=ca=√1−b2a2∈(0,1).a,b,c的关系c2=a2−b2.（2）双曲线的标准方程与几何性质标准方程x2a2−y2b2=1（a＞0,b＞0）y2a2−x2b2=1（a＞0,b＞0）图形性质焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞1）准线x＝±a2cy＝±a2c渐近线xa±yb=0xb±ya=0（3）抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0,0)焦点F(p2,0)F(−p2,0)F(0,p2)F(0,−p2)准线方程x=−p2x=p2y=−p2y=p2范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 离心率e=1焦半径（P(x0,y0)为抛物线上一点）p2+x0p2−x0p2+y0p2−y03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0)，则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0,m).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．4．（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠P AQ＝2，求△P AQ的面积．5．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．考向二直线与圆锥曲线综合6．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查。

专题15 利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练

专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点132M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________. 7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点．（1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点．（1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．参考答案：1． 12−4 2 1【分析】作伸缩变换，将椭圆变为圆，根据三角形面积公式求得当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，进而依次计算可得.【详解】作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩此时椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，并且最大为21222⨯=，此时1122OM ON OM ON OM ON k k k k ''''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭，MON M ON S ''=△△ 由于OM ON '⊥'，1212'''',''x y OM ON y x =⎧=∴⎨=⎩， ∴2222221212114x x x x x y +='+'='+'=，22222222122212222y y x y y y '+''+'+=+===，因为OP OM ON λμ=+，所以222222OP OM ON OM ON λμλμ=++⋅ ()222244,1λμλμ∴=+∴+=.故答案为：12−4；2；1.2．32##1.5【分析】利用仿射变换，将椭圆变换为圆，利用圆的性质求出A OB ''△面积的最大值，从而可求出AOB 面积最大值【详解】作变换2x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y ''+=，()1,0F '，由于1OF '=<=，因此AB OF '''⊥时面积最大，此时11122A OB S OF A B'''''=⋅⋅=⨯⨯=△ 那么322AOB A OB S S ''==△△，故答案为：323．92##4.5【分析】作变换''x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案.【详解】作变换'''x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 22sin 2sin 333A B C A B C A B C SR R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B Cπ===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此24A B C S '''===，又因为ABC A B C S bS a'''=，∴3922ABC A B C b SS a '''===. 故答案为：92.4．1【分析】设()()1100,,,P x y D x y ，由AD DP λ=以及111020,y kx y k x ==解出11111x y ==，代入椭圆方程求出2λ；同理可得2μ；进而求出22λμ+的值．【详解】解法1：可得点()A ，设()()1100,,,P x y D x y ，则111020,y k x y k x ==，由AD DP λ=可得()()010010,x x x y y y λλ=−=−，即有0101x y y λλ+==， 111k x y =，0202111y k x k x λλλλ⎛++∴== ⎝⎭，两边同乘以1k，可得211121112k x k k x x λλ⎛⎫⎛⎫=−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11111x y ==，将()11,P x y 代入椭圆方程可得221112k λ=+，由AE EQ μ=可得22221121212k k k μ==++，可得221λμ+=；故答案为：1．解法2：作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为222x y '+'=，))21QP OQ OP OQ OP OQ k k k k OP OQ ''⋅=⋅=⋅=−⇒'⊥'，设,P A O Q A O αβ∠''=∠''=，则124P A Q P A Q παβ+=∠'''=∠'''=，,,2cos ,2cos cos cos R RD PE Q A P R A Q R αβαβ''=''=''=''=，∴22cos 1cos 2AD A D A P D P DP D P D P λαα''''−''====−=''''， 22cos 1cos 2AE A E A Q E Q EQ E Q E Q μββ''''−''====−=''''，∴22222222cos 2cos cos 2cos 2cos 2sin 212πλμαβαααα⎛⎫+=+=+−=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1．5．124⎛− ⎝⎭或124⎛− ⎝⎭. 【解析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为6−，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A ，B 坐标，设出点P ，则可表示出P A ，PB 中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P 坐标.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， A ，B 是椭圆C 上两点，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121204x x x x y y y y +−++−=，1,24M ⎛⎝⎭是AB 中点，则)121204x x y y −−=，即1212y y x x−=−，故直线AB斜率为AB 方程为12y x⎫=−⎪⎝⎭，即y x =+，将直线方程代入椭圆得220x x −−=，解得121,2x x =−=，则可得(),2,0A B ⎛− ⎝⎭，设(),P m n ，则P A 中点为12,24m n ⎛− ⎝⎭，PB 中点为2,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭，PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则()(()22222111616+21164n m m n ⎧−⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，P ∴的坐标为⎝⎭或⎝⎭.故答案为：⎝⎭或⎝⎭. 【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A ,B 坐标，再结合题意求解. 6．02⎛ ⎝⎦，【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为M N P Q ''''、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.【详解】作仿射变换，令,ax x y y b''==，可得仿射坐标系x O y '''，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222x y a ''+=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c −、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于M N P Q ''''、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形O P Q '''的面积为M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到即可.当c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.故答案为：02⎛ ⎝⎦，. 7．(1)2214x y +=；2；(2)证明见解析.【分析】(1)由顶点可求a 和b ，由c =c ，则椭圆C 的方程可求，离心率为c e a=可求；(2)设0(P x ，0)y ，求出PA 、PB 所在直线方程，得到M ，N 的坐标，求得||AN ，||BM ．由1||||2ABNM S AN BM =⋅⋅，结合P 在椭圆上求得四边形ABNM 的面积为定值．（1）由题可知2a =，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e =（2）设0(P x ，0)y ，则02PA y k x =−，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =−−，取0x =，得0022M y y x =−−； 001PB y k x −=，PB 所在直线方程为0011y y x x −=+，取0y =，得01N x x y =−． 0000022||2211N x y x AN x y y −−∴=−=−=−−，00000222||1122M y x y BM y x x +−=−=+=−−． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x −−+−=⋅⋅=⋅⋅−− ()()()()()2222000000000000000000000022242444484111212222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +−+−++++−−+=−⨯=⨯=⨯−−+−−+−−()0000000042211422222x y x y x y x y +−−=⨯=⨯=+−−． ∴四边形ABNM 的面积为定值2．【点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关； (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.8．（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【详解】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b −+−=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆−，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组1{23y x m y x =+=−+，，可得223{21.3m x m y =−=+，所以P 点坐标为（222,133m m −+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，. 由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++−=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆−，由>0∆，解得22m −<<. 由②得212124412=,33m m x x x x −+−=.所以123m PA x =−−，同理223m PB x =−−，所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=−−−− 21212522(2)(2)()433m m x x x x =−−−++ 225224412(2)(2)()43333m m m m −=−−−−+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．9．(1)[]2,1−(2)【分析】（1）由题意可知1F 、2F 的坐标，设(,)P x y ，表示出1PF ，2PF ，代入向量的数量积可得2121(38)4PF PF x ⋅=−，由二次函数的性质计算可得.（2）设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立直线与椭圆方程消去y 整理可得22(14)4k x +=，解方程可求1x ，2x ，根据点到直线的距离公式可求，点E ，F 到直线AB 的距离1h ，2h ，代入四边形AEBF 的面积为121||()2S AB h h =+，结合基本不等式可求面积的最大值.(1)解：由题意可知2a =，1b =，2c a =−∴1(F ，2F ，设(,)P x y ，∴1(3,)PF x y =−−，2(3,)PF x y =−，∴2212(,),)3PF PF x y x y x y ⋅=−−⋅−=+−222113(38)44x x x =+−−=− 由椭圆的性质可知，22x −≤≤204x ∴≤≤，∴238214x −−≤≤，故1221PF PF −≤⋅≤，即[]122,1PF PF ⋅∈−. (2)解：设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得22(14)4k x +=，∴1x =2x(2,0)A ，(0,1)B ，∴直线AB 的方程为：220x y +−=，根据点到直线的距离公式可知，点E ，F 到直线AB 的距离分别为1h =2h ∴12h h +||AB ∴∴四边形AEBF 的面积为1211||()22S AB h h =+==221=，当且仅当14k k =即12k =时，上式取等号，所以S 的最大值为.10．（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，定值为【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到P 点的轨迹C 的方程；（2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，求出四边形EFGH 的面积，即可证明结论. 【详解】（1）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =．所以2112124PF PF PA PF AF F F +=+==>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =故轨迹C 的方程22143x y +=．（2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为 y kx m =+，11(,)E x y ，22(,)H x y ．联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++−=，则122834km x x k +=−+，212241234m x x k −=+．① 由121234EG FH y y k k x x ⋅==−，得221212121212()()()34kx m kx m k x x km x x m x x x x +++++==−．② 由①、②，得222430m k −−=．③设原点到直线EH的距离为d =，12|EH x x =−42EOH EFGH S S EH d ==⋅△四边形．④ 由③、④，得EFGH S =四边形，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此类问题一般要涉及根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.。

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