专题六_实际问题中的函数图象

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中考数学复习攻略专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)

专题六方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件．由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。

高中物理精品试题：重要方法典型模型突破6-数学方法(4)--图像问题

专题六数学方法（4）图像问题【重要方法点津】(一)明确四类图像(二)学会识别图像一是清楚各个物理公式，明白各概念和规律的本质内涵与外延，比如定义式和决定式的图像完全不同；二是对一次函数y＝ax＋b要非常熟练，会用会画；三是掌握化非线性函数为线性函数的方法，根据需要能快速变换函数，能熟练将数学和物理结合起来，需要准确的数学运算能力。

1．轴——横轴和纵轴所代表的物理量，以及物理量的单位或指数明确了两个坐标轴所代表的物理量，则清楚了图像所反映的是哪两个物理量之间的对应关系。

有些形状相同的图像，由于坐标轴所代表的物理量不同，它们反映的物理规律就截然不同，如振动图像和波动图像。

另外，在识图时还要看清坐标轴上物理量所注明的单位。

每年都有大量考生因不注意这些细小的地方而失分。

2．线——图像中图线的特征(宏观方面的物理规律)纵轴所代表的物理量量值变化吗？是均匀变化还是非均匀变化？是否是分段函数(图像)？是否存在极值？注意观察图像中图线的形状是直线、曲线，还是折线等，分析图线所反映两个物理量之间的关系，进而明确图像反映的物理内涵。

3．点——坐标原点和图线上任意点，两图线交点(微观方面的，特殊状态或过程) 坐标原点坐标值是0吗？图线上任意一点的物理意义是什么？图线相交点含义？注意坐标原点不一定是0，比如路端电压—电流图像中。

4．截——横、纵截距的物理意义截距是图线与两坐标轴的交点所代表的坐标数值，该数值具有一定的物理意义。

同样要注意弹簧的弹力图像、路端电压—电流图像。

5．斜——图线上某点切线斜率的物理意义物理图像的斜率代表两个物理量增量的比值，其大小往往代表另一物理量值。

如x-t 图像的斜率为速度，v-t图像的斜率为加速度、电场力—检验电荷(F-q)图像的斜率是电场强度、电容器Q-U图像的斜率是电容等等。

若某些量是定值，根据线性图线的特点，可以推理出一些有用结论，比如弹簧k＝Fx＝ΔFΔx，电容C＝QU＝ΔQΔU，电阻R＝UI＝ΔUΔI等等。

数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

第2部分专题6 第2讲基本初等函数、函数的应用课件(共53张PPT)

log138，则( )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
4
4
4
4
A
[因为
4 5
＝log885，b＝log85，(85
)5＝84＞55，所以85＞5，所以45
＝log885
4
4
4
＞log85＝b，即b＜
4 5
.因为
4 5
＝log1313
5
，c＝log138，(13
5
)5＝134＜85，所以13
A．1
B．2
C．3
D．4
C [对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝
2
2
x
－1，且函数f(x)是定义在R上的
偶函数，
且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，
∴f(1)f
3 2
＜0，根据零点存在定理可知，零点在区间
1，32
内．故选C．]
2．[判断零点的个数]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任
意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝
2
2
x
－1，
则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
通性通法：应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键 (1)一般程序：文读字语题言⇒数建学语模言⇒数求学解应用⇒检反验作馈答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

专题06 二次函数与实际应用(增长率问题)-2022年中考数学之二次函数重点题型(全国通用版)解析版

专题06 二次函数与实际应用（增长率问题）一、选择题1．（2021·陕西金台·九年级期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y 亿元人民币，设每年投资的增长率为x ，则可得（）A ．5(12)y x =+B ．25y x =C ．()251y x =+D ．()251y x =+ 【答案】C【分析】根据增长率方程解答．【详解】设每年投资的增长率为x ，由题意得()251y x =+，故选：C ．【点睛】此题考查增长率二次函数关系式，掌握增长率问题的计算公式：()21a x b +=，a 是前量，b 是后量，x 在增长率．2．（2020·安徽·利辛县九年级期中）据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++ 【答案】C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y =7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．3．（2021·安徽·合肥市五十中学九年级月考）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP 总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ． 2.4(12)y x =+B ．22.4(1)y x =-C ．22.4(1)y x =+D ． 2.4 2.4(1) 2.4(1)y x x =++++【答案】C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第二季度季度GDP 总值约为2.4(1)x +元，第三季度GDP 总值为22.4(1)x +元，则函数解析式即可求得．【详解】解：已知平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：22,4(1)y x =+．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 4．（2021·安徽金寨·九年级期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，若第二个月的增长率是x ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y 与x 的函数关系是（）A ．()()112y a x x =++B ．()21y a x =+ C ．()221y a x =+D ．22y x a =+ 【答案】A【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量=增长前的量⨯（1+增长率）”找出等量关系列方程即可【详解】第二个月的增长率是x ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，∴第三个月的增长率为2x 第一个月投放a 辆单车，∴第二个月投放()1a x +辆∴第三个月投放量()()112y a x x =++故选：A ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量=增长前的量⨯（1+增长率）”．5．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，关于代数式300（1+x ）2下列说法正确的是（） A ．2007年已有的绿化面积B ．2008年增加的绿化面积C ．2008年已有的绿化面积D ．2007、2008年共增加的绿化面积【答案】C【分析】利用“增长后的量=增长前的量⨯（1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，写出代数式2300(1)x +的实际意义即可.【详解】2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，代数式2300(1)x +表示增长两年后的绿化面积，即：2008年已有的绿化面积故选：C .【点睛】本题考查了代数式的意义问题，根据题意正确列出代数式是解题关键.二、填空题6．（2014·安徽·中考真题）某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y =________．【答案】a （1+x ）2【详解】试题分析：∵一月份新产品的研发资金为a 元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，∴2月份研发资金为(1)a x +，∴三月份的研发资金为2(1)(1)(1)y a x x a x =++=+．故答案为2(1)a x +．考点：根据实际问题列二次函数关系式．7．（2020·安徽淮南·中考一模）我市2017年平均房价为6500元/m 2.若2018年和2019年房价平均增长率为x ，则预计2019年的平均房价y （元/m 2）与x 之间的函数关系式为_______________.【答案】()265001y x =+【分析】首先根据题意可得2018年的房价=2017年的房价×(1+增长率)，2019年的房价=2018年的房价×(1+增长率)，由此可得2019年的平均房价y 与x 之间的函数关系式.【详解】解：由题意得：26500(1)y x =+故答案为：26500(1)y x =+【点睛】本题考查了二次函数增长率问题，解决本题的关键是熟练掌握增量率模型.8．（2021·安徽瑶海·八年级期中）随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为x ，则可列方程为___．【答案】()2140%x -=【分析】根据一元二次方程增长率公式列式即可；【详解】依题意可得：()2140%x -=；故答案是：()2140%x -=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析判断是解题的关键．9．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是______．【答案】22001y x =+（）或2200400200y x x =++ 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x 表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．【详解】解：设增长率为x ，则五月份的营业额为：200(1)y x =+，六月份的营业额为：22202004002(1)000x x y x +==++；故答案为：2200(1)y x =+或2200400200y x x =++.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a ×（1±x ），再经过第二次调整就是a ×（1±x ）（1±x ）=a （1±x ）2．增长用“+”，下降用“-”．10．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A 、B 两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B 商品的数量比A 商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A 商品正打九折销售，而B 商品的价格提高了20%，小明决定将A 、B 产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．【答案】312.【分析】设A 商品的单价为x 元/件，则B 商品的单价为（27﹣x ）元/件，计划购买A 商品a 件，则B 商品为（a +2）件，根据题中等量关系可列出关于x 的方程，用含a 的式子表示出x ，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“ 价格和购买数量均为整数”可知a 的值，易求x 的值.【详解】设A 商品的单价为x 元/件，则B 商品的单价为（27﹣x ）元/件，计划购买A 商品a 件，则B 商品为（a +2）件，根据题意可得：0.9x ×（a +2）+1.2×（27﹣x ）×a ＝xa +（27﹣x ）（a +2）+8，∴x ＝62 5.40.3 3.8a a --+， ∵a ≥3，a +2≥3，a +a +2≤25，x ，a 均为整数，∴a ＝10，x ＝10∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，故答案为：312.【点睛】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.11．（2021·广东广州·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）设平均增长率为x ，根据题意列式求解即可；（2）设多改造y 户，最高投入费用为w 元，根据题意列式()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x ，则x >0，由题意得：()231+ 4.32x =，解得：x =0.2或x =-2.2（舍），答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a 户，最高投入费用为w 元，由题意得：()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+，∵a =-50，抛物线开口向下，∴当a -50=0，即a =50时，w 最大，此时w =612500元，答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．12．（2020·山东东营·中考一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A 、B 两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A 型充电桩需3.5万元，安装一个B 型充电桩需4万元，且A 型充电桩的数量不多于B 型充电桩的一半.求A 、B 两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A 、B 两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x ，根据等量关系，列出方程，即可求解；(2)设安装A 型充电桩a 个，则安装B 型充电桩()200a -个，所需资金为w 万元，列不等式，求出a 的范围，再求出w 的函数解析式，进而可求出答案.【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x ，根据题意得：22560(1)25603200x +=+，解得:10.550%x ==，2 2.5x =-（舍去）.答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）设安装A 型充电桩a 个，则安装B 型充电桩()200a -个，所需资金为w 万元. 根据题意，得:1(200)2aa -，解得:2663a ≤， 3.54(200)0.5800w a a a =+-=-+， ∵0.50-<，∴w 随a 的增大而减小.∵a 为整数，∴当66a =时，w 最小，最小值为0.566800767-⨯+=（万元）.此时，200134a -=.答：A 、B 两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.13．（江苏东台·九年级期末）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度/℃ ……植物每天高度增长量/mm ……这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．【答案】（1）；（2）－1℃；（3）．【详解】解：（1）选择二次函数，设，得，解得∴关于的函数关系式是．（2）由（1），得， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为50．即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．（3）由题意得：y ＞25，即：-x 2-2x +49＞25，∴．。

专题六：利用二次函数来处理篱笆与围墙类面积有关的实际问题(有答案)

专题六：利用二次函数来处理篱笆与围墙类面积有关的实际问题（有答案）➢知识指引：我们知道二次函数描述客观世界运动变化中数量关系的常见模型，其应用主要体现在以下几个方面：1.建立函数模型解相关问题2.解决实际问题中的最值问题；3.探讨几何图形相关元素的最值.下面我们就来学习一下二次函数实际应用中的图形面积类问题：➢方法解读：二次函数的最值可以根据以下步骤来确定1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.指出:常见几何图形一般可以用面积公式来建立函数关系式，但要注意最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定➢典型例题类型一：依据题意列解与面积有关的二次函数关系式【例1】如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆围成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米，矩形场地的面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若矩形场地的面积为48平方米，求矩形场地的长与宽．【解析】（1）∵AD=BC=x，∴AB=20－2x．又∵墙长10米，{20−2x≤20，2x＜20.∴5≤x＜10．∴S=x（20-2x）=-2x2+20x(其中5≤x＜10)．（2）当矩形场地的面积为48平方米时，-2x2+20x =48，解得：x1=4，x2=6，∵5≤x＜10∴x=6.∴20-2x=20-2×6=8．答：矩形的长为8米，宽为6米．【变式】如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．（1）若仓库的面积为150平米，求AB．（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．【解析】（1）设AB的长为x m，则CD=（38+2-2x）m，根据题意得，x（38+2-2x）=150，解得：x1=15，x2=5，当x1=15时，CD=10，当x2=5时，CD=30＞22（不合题意舍去），∴AB=15；（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得，y=x（38+2-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，∵a=-2＜0，38+2-2×10=20＜22，∴当x=10时，y最大值=200，类型二：与函数的增减性有关的面积最值问题【例2】如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，要求把位于图中点P处的一颗景观树圈在花园内，且景观树P与篱笆的距离不小2米．已知点P到墙体DA，DC的距离分别是8米、16米，如果DA，DC所在两面墙体均足够长，则符合要求的矩形花园面积S的最大值为m2．【解析】设矩形花园ABCD 的宽AB 为x 米，则长BC=(30-x)米由题意知，{x ≥8+2,30−x ≥16+2.解得10≤x ≤12由S=x(30-x)=-x 2+30x=-（x −15）2+225，对称轴直线x=15 显然，10≤x ≤12时，S 的值随x 的增大而增大所以，当x=12时，面积S 取最大值． S 最大=12×（30-12）=216m 2，故填：216．【变式】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边），设AB=x 米．（1）求花园的面积S 与x 的函数关系式．（2）在P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内．（含边界，不考虑树的粗细）①若花园的面积为192m 2，求x 的值． ②求花园面积S 的最大值．【解析】（1）∵AB=xm ，∴BC=（28-x ）m ．则S=AB•BC=x（28-x ）=-x 2+28x ，即S=-x 2+28x （0＜x ＜28）．（2）①∵AB=xm ，则BC=（28-x ）m ， ∴x （28-x ）=192，解得：x 1=12，x 2=16（不合题意，舍去），答：x 的值为12m ；②∵AB=xm ，∴BC=28-x ，∴S=x （28-x ）=-x 2+28x=-（x-14）2+196，∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ， ∵28-x ≥15， ∴x ≤13，∴当x=13时，S 取到最大值为：S=-（13-14）2+196=195，答：花园面积S 的最大值为195平方米． ➢跟踪训练1.用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（）A.y=x2 B．y=-x2+40x C．y=-x2+20xD．y=-x2+20【解析】∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，=20-x（cm），∴矩形的面积y=x（20-x）=-x2+20x，∴另一边长为40−2x2故选：C．2．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（）A．13 B．12 C．8 D．6 【解析】设垂直于墙体的围栏长为x，则平行于墙体的围栏长为22-（3x-1）=23-3x．∵饲养室长和宽各留了一处1m的门，∴饲养室的长为23-3x+1=24-3x．∴饲养室的面积可表示为：S=x(24-3x)=-3x2+24x=-3(x−4)2+48．当x=4时，饲养室的面积最大，∴墙体的长度为24-3x=12，故选：B．3.的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，设与墙垂直的一边为x cm，则矩形面积s随之x变化的函数解析式为．【解析】由题意可得，s=x（30-2x）=-2x2+30x，故答案为：s=-2x2+30x4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是m2．【解析】设AB=x（m），则BC=（16-x）（m），由题意得：S矩形A B C D=x（16-x）=-x2+16x=-（x-8）2+64显然当x=8时，矩形ABCD的面积最大，最大值是64m2．故答案为：64m2．5.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（m），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为，当x= 时，种植面积最大= m2．【解析】设一边长是xm，则种植部分的长是x-1-1=x-2，宽是60-x-1-3=56-x，则面积y=-x2+58x-112．函数的顶点坐标是（29，729），则当x=29时，种植面积最大=729m2．故填：y=-x2+58x-112；29；7296．如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．【解析】（1）y ＝6×8﹣2×12×（6﹣x ）（8﹣x ）＝﹣x 2+14x （0＜x ＜6）；（2）设油菜花地占地面积为w m 2，则w ＝48﹣y ＝x 2﹣14x+48＝（x ﹣7）2﹣1， ∴当x ＜7时，w 随x 的增大而减小，又∵0.6≤x≤1，∴当x ＝0.6时，w 取得最大值，最大值为39.96，答：改造后油菜花地所占面积的最大值为39.96m 2．7.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x 米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x 的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【解析】（1）由题意，得：平行于墙的一边长为（30-2x ），根据题意，得：x （30-2x ）=100，解得：x=5或x=10，∵{30−2x ≤182x ＜30∴6≤x ＜15． ∴x=10．（2）∵矩形的面积y=x （30-2x ）=-2（x-152）2由（1）知6≤x≤11，∴当x=7.5时，y 取得最大值，最大值为2252；当x=11时，y 取得最小值，最小值为88．9.如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE 的草坪上建一个矩形花坛PKDH ．已知：PH ∥AE ，PK ∥BC ，DE=100米，EA=60米，BC=70米，CD=80米．以BC 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O ．（1）求直线AB 的解析式．（2）若设点P 的横坐标为x ，矩形PKDH 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式．【解析】（1）如图所示，∵OE=80米，OC=ED=100米，AE=60米，BC=70米，∴OA=20米，OB=30米，即A ，B 的坐标为（0，20）、（30，0）．设直线AB 的解析式为y=kx+b （k≠0），则{30k +b ＝0，b ＝20.解得{k ＝−23，b ＝20.则直线AB 的解析式为y=-23x+20；（2）设点P 的坐标为P （x ，y ）．∵点P在直线AB上，所以点P的坐标可以表示为（x，-2x+20），3∴S=（100-x）（60+2x）．3。

专题六(一元二次方程,分式方程实际问题)优秀练习题

专题六一元二次方程，分式方程实际问题1、（2016乌鲁木齐，19，10分）某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？2、（2015乌鲁木齐，18，10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？3、（2014乌鲁木齐，18，9分）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从2017年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）4、（2012乌鲁木齐，19，12分）水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？5、某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模。

专题06知识点三角函数的图像与性质

-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

【名校课堂九级数学上册小专题六二次函数的实际应用(新版)新人教版-课件

二次函数的实际应用类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点D的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5)参考答案1.(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30.(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1<0，∴当x＝15时，y最大＝225.即当x是15 m时，种植菊花的面积＝20－12x.∴y ＝AB·BC＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)． (2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米． 3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD＝30°，则EM ＝32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH·EF＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S＝－3x 2＋43x ＝－3(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝4 3.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米．(2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y ＝a(x －6)2＋4.由已知：当x ＝0时，y ＝1.即1＝36a＋4，∴a ＝－112.∴表达式为y ＝－112(x －6)2＋4. (2)令y ＝0，－112(x －6)2＋4＝0.∴(x－6)2＝48.解得x 1＝43＋6≈13，x 2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C 距守门员约13米．(3)第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD ＝EF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)，∴2＝－112(x －6)2＋4.解得x 1＝6－26，x 2＝6＋2 6.∴CD ＝||x 1－x 2＝46≈10.∴BD＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。

九年级数学复习专题六函数与圆中的动点问题 (共21张PPT)

6．(导学号 99854186)(2017· 白银)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；
(2)连结AC、AB，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作 NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标；
4．如图，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，P是在以Q为圆心，
2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)、B(－1，0)，连结PA、PB，
20 则PA2＋PB2的最小值是 ___ ．
5．(导学号 99854185)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点Q从点A 出发，沿着AB方向以1个单位长度/s的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，
(3)当点 N 的坐标为(3，0)时，N 为 BC 的中点． ∵MN∥AC，∴M 为 AB 的中点， 1 ∴OM＝2AB.∵AB＝ OA2＋OB2＝2 5， AC＝ OC2＋OA2＝4 5， 1 1 ∴AB＝2AC，∴OM＝4AC.
7．(导学号 99854187)(2017· 襄阳)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋4过B、C两点，且与x轴的一个交
点为D(－2，0)，点P是线段CB上的动点，设CP＝t(0＜t＜10)．
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的表达式； (2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连结BE，当t为何值时，∠PBE＝
∠OCD?
(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交 BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
AM NC 8－n ∵MN∥AC，∴ AB ＝BC＝ 10 ， S△AMN AM 8－n ∴S ＝ AB ＝ 10 ， △ABN 8 －n 1 1 ∴S△AMN＝ 10 S△ABN＝5(8－n)(n＋2)＝－5(n－3)2＋5. 1 ∵－5＜0，－2＜n＜8， ∴当 n＝3 时，即点 N 的坐标为(3，0)时，△AMN 的面积最大．

专题6_2 反比例函数的图象和性质(第2课时)-九年级数学上册教材配套教学课件(北师大版)

归纳：
k
对于反比例函数 y ，
x
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= |k| .
y
A
•Q
O B
x
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
k
S△QAO=S△QBO=
.
2
反比例函数的
面积不变性
练一练
3
A． 2
ABC
1
，则 k 的值是（
B．3
5
C． 2
）
D．2
k
k
【详解】解：如图，反比例函数 y= x （k≠0，x＞0）与反比例函数 y=− x （k≠0，x＜0）的
图象关于 y 轴对称，延长 GF 交 x 轴于 M，设 AB 交 y 轴于 N．
1
3
5
∴ AN BN 2 AB 2 ，NH=OM= 2 ，
k
∵点 A、C 在反比例函数 y= x 的图象上，
3 2k
5 2k
∴A ( 2 , 3 ) ，C ( 2 , 5 ) ，
又∵ S
ABC
1
，
∴ 2 AB•CH=1，
1
∵AB=3，
∴CH= 3 ，
2
∵点 A、C 纵坐标的差是 CH，
2k
2k
即35

2
3
，
5
解得 k= 2 ，
故选 C．
k
5．如图，P 是反比例函数 y = x 图象上一点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，若 S
直角坐标系中是怎样一种情况呢？可以试着动手画一画．

专题六函数图象信息题

专题六函数图象信息题（一）1、（2010哈尔滨）小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20分到达距离家800米的公园，他在公园休息了10分，然后用30分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离S（单位：米）与离家的时间t（单位：分）之间的函数关系图象大致是（）．2、(2010遵义市)在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A()3,2、B()1,4,A、B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是A．()0,1Ｂ．()4,5Ｃ．()0,1或()4,5Ｄ．()1,0或()5,43、（玉溪市2010）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料.如图3，是王芳离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（B）4、（2010年济宁市)如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，）5、（2010年眉山）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系对应的图象大致为（）5、(2010重庆潼南县)如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( )6、（2010山东德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7、（2010安徽）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4sm/和6sm/，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离)(my与时间)(st的函数图象是（）8、（2010河北省）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t 的函数图象大致是（）GHE(F)EABCD题图10ABCDGHFAxy222231xBy222231xy222231Cxy222231D(2题图) 距离O时间距离图3A B C D••••A B C DyO（第4题）O yx O xyOyx O xythO thO thOhtO第6题图深水区浅水区sAsBsCsD图3949xoy图38 B D A CP C 。

第1部分板块2 核心考点突破拿高分专题6 第1讲函数的图象与性质(小题)

第1讲函数的图象与性质(小题)热点一函数的概念与表示 1.高考常考定义域易失分点：(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f [g (x )]中，m ≤g (x )≤n ，从中解得x 的范围即为f [g (x )]的定义域；(2)若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的范围即为f (x )的定义域. 2.高考常考分段函数易失分点：(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化. 例1 (1)(2019·宣城联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( )A.(－1,3]B.(－1,0)∪(0,3]C.[－1,3]D.[－1,0)∪(0,3](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是________.跟踪演练1 (1)(2019·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( )A.(－1,0)B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.(0,1)D.⎝⎛⎭⎫－12，0 (2)(2019·内江、眉山等六市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152D.10热点二函数的性质及应用高考常考函数四个性质的应用：(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f (x )＝f (|x |)； (2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题. 例2 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )A.1B.2C.22 019D.32 019(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (2 018)＋f (－2 019)＝________.跟踪演练2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A.－1 B.－12C.－13D.13(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A.－50 B.0 C.2 D.50 热点三函数的图象及应用高考常考函数图象问题的注意点：(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果.例3 (1)(2019·全国Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )(2)(2019·淄博诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞)B.[－3,0]C.(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.(－∞，－3]∪(0，＋∞)跟踪演练3 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x ＋1的图象大致为( )(2)(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln |x |，x ∈(－∞，0)，－6x 2＋20x －13，x ∈[0，2]，6x ，x ∈(2，＋∞)，g (x )＝ax －2(a ∈R )满足：①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解；②当x >0时，至少存在一个整数x 0使f (x 0)≥g (x 0).则实数a 的取值范围为________.真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]上的图象大致为( )2.(2019·全国Ⅲ，理，11)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A.f ⎝⎛⎭⎫log 314>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭B.f ⎝⎛⎭⎫log 314>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫⎪⎝⎭C.322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D.232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 3.(2019·全国Ⅱ，理，14)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 押题预测1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤5，f (x －5)，x >5，则f (2 019)等于( )A.2B.log 26C.log 27D.32.已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )3.设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A.|x ＋4| B.|2－x | C.2＋|x ＋1|D.3－|x ＋1|A 组专题通关1.设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( ) A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4)2.(2019·汉中联考)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是( ) A.y ＝tan x B.y ＝x －3 C.y ＝cos xD.y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |3.如图①，在矩形MNPO 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →O →M 方向运动至点M 处停止.设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，若y 关于x 的函数图象如图②所示，则当x ＝9时，点R 应运动到点( )A.N 处B.P 处C.O 处D.M 处4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A.[2,3]B.[2，＋∞)C.[1,3]D.[1，＋∞)5.(2019·内江、眉山等六市联考)若f (x )是R 上的奇函数，且x 1，x 2∈R ，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a ，x ≤1，12log (x ＋1)，x >1有最大值，则a 的取值范围为( ) A.(－5，＋∞) B.[－5，＋∞) C.(－∞，－5)D.(－∞，－5]7.(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )A.0B.1C.2D.48.(2019·福建适应性练习)下列四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A.④①②③B.①④②③C.③④②①D.①④③②9.已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A.b －a <2 B.a ＋2b >2 C.b －a >2D.a ＋2b <210.函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )11.(2019·广东省六校联考)已知f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，a ≠1)是偶函数，则一定有( )A.b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a B.b ＝－12且f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1a C.b ＝12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b D.b ＝－12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a <f ⎝⎛⎭⎫1b 12.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.2 B.4 C.6 D.813.函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________.14.(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.15.(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是____. 16.已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________. B 组能力提高17.(2019·焦作模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x －7a ＋14，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A.[2,3]∪(－∞，－5] B.(－∞，2)∪(3,5) C.[2,3]D.[5，＋∞)18.(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________.。

人教版九年级数学上册作业课件第二十二章二次函数专题课堂(六) 二次函数的实际应用

解：(1)由题意可知∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm.若△PBQ 是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是 BQ＝12 BP 或 BP ＝12 BQ，即 t＝12 (3－t)或 3－t＝12 t，解得 t＝1 或 t＝2，即当 t 为 1 s 或 2 s 时，△PBQ 是直角三角形
(2)过点 P 作 PM⊥BC 于点 M，则易知 BM＝12 BP＝12 (3－t)，∴PM＝
BP2－BM2
＝
3 2
(3－t)，∴S
四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12
×3×32
3 －12
3 t·2
(3－t)＝
3 4
t2－34 3
t＋94 3
，即
y＝
3 4
t2－3 43
t＋9 43
，易知
人教版
第二十二章二次函数
专题课堂(六) 二次函数的实际应用
类型一：以利润问题为背景
1．(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，
该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，
其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数关系式；
－2x＋80（0＜x≤20，x为正整数） 4x－40（20＜x≤30，x为正整数）
(2)设当月第 x 天的销售额为 w 元，当 0＜x≤20 时，w＝(25 x＋4)×(－
2x＋80)＝－45 (x－15)2＋500，∴当 x＝15 时，w 取得最大值，w 最大值＝500，
当 20＜x≤30 时，w＝(－15 x＋12)×(4x－40)＝－45 (x－35)2＋500，∴当 x ＝30 时，w 取得最大值，w 最大值＝480，综上可得，当 x＝15 时，w 取得最大值，w 最大值＝500，答：当月第 15 天，该农产品的销售额最大，最大销售额是 500 元

初中数学函数图像总结

初中数学函数图像总结函数是数学中一个非常重要的概念，而函数的图像则是函数概念的直观表现。

在初中数学中，我们学习了一些常见的函数及其图像，下面我将对初中数学中常见的函数图像进行总结。

一、一次函数。

一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、二次函数。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

三、指数函数。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。

指数函数的图像是一条逐渐增长（a>1）或逐渐减小（0<a<1）的曲线，且必过点(0,1)。

四、对数函数。

对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x>0。

对数函数的图像是一条逐渐增长（0<a<1）或逐渐减小（a>1）的曲线，且必过点(1,0)。

五、绝对值函数。

绝对值函数的一般形式为y=|x|。

绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的V形曲线。

六、三角函数。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的图像是周期性的波浪线，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷分别在y轴上方和下方，而正切函数的图像则有无数个渐近线。

以上是初中数学中常见的函数图像总结，通过对这些函数图像的了解，我们可以更好地理解函数的性质和特点，为进一步学习数学打下坚实的基础。

希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。

专题六函数的周期性(解析版)

专题六函数的周期性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1] (1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1 解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________．答案 14 解析由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14． (3) (2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ．若5()2f -＝9()2f ，则f (5a )的值是________．答案－25 解析：由题意可得5()2f -＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，9()2f ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．(4)(2018·江苏)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧ cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案 22解析由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22． (5)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809答案 B 解析定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1．故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．1．答案 7 解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ．又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0) ＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0．又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个．2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈ R ．若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 2．答案－10 解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2，①．由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a ，②．由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝{[()]}n ff f f x ⋅⋅⋅个，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．答案 C 解析 ∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C ．4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x . 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)＝__________．4．答案 337 解析由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，由已知条件可得f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 022)＝337×1＝337．5．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12．则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．25．答案 D 解析当x >12时，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，可得当x >0时，f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1) ＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D ．6．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019) ＋f (2 020)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．46．答案 B 解析 ∵y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x ) 是偶函数．令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)，即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0．则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，即函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2，故选B ．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2] (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)答案 D 解析由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D ．(2)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 018)的值为( )A ．2 018B ．－2 018C ．0D ．4答案 C 解析依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝0．(3)已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 022)＝__________．答案 2 解析由f (x ＋2)＝1f (x )得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝4，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2． (4)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________．答案－2－3 解析由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－3． (5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案 1 348 解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝504⎝⎛⎭⎫1＋3－1－13＋1＋3＝1 348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5()2f 的值为( ) A ．12 B ．14 C ．－14 D ．－127．答案 A 解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝12，故选A ． 8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案 A 解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5B ．12C ．2D ．－2 9．答案 D 解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019) ＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案 B 解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 018)＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－3 D ．2＋311．答案 A 解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 018)＝f (2)．又 f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ． 12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________．12．答案 52 解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫52 ＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3] (1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案 B 解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3． (2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案 B 解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________．答案 0 解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2 解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0．又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2，故选C ．【对点训练】13．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)是偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x (3－2x )，则f ⎝⎛⎭⎫312＝( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1 13．答案 C 解析 ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期是4，∴f ⎝⎛⎭⎫312＝f ⎝⎛⎭⎫4×4－12＝f －12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎣⎡⎦⎤12·(3－1)＝－1，故选C ． 14．已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．314．答案 D 解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (5)＋f (6)＝f (1)＋f (2)＝0＋3＝3．选D ．15．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．15．答案 3 解析解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )．又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3．16．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________．16．答案 2 解析根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )，又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)，则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2．17．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (1)＝a ，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝( )A ．0B ．－aC ．aD ．3a17．答案 B 解析因为函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )关于直线x ＝1对称，所以f (2)＝f (0)，f (3)＝f (－1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又由f (1＋x )＝f (1－x )可得f (x ＋1)＝f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，因此，函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (4)＝f (0)，又f (1)＝a ，因此f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (0)＋f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝－a ．故选B ．18．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1) ＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．18．答案 4 解析 ∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，∴f (x )是R 上的奇函数，又f (x ＋2)＝－ f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0，∴f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4．。

2024年中考数学压轴题型-专题06 与二次函数有关问题的压轴题之六大题型(解析版)6

专题06与二次函数有关问题的压轴题之六大题型目录【题型一二次函数图象和性质之选择题】 (1)【题型二二次函数的图象与系数的关系】 (4)【题型三二次函数图象和性质之解答题】 (8)【题型四二次函数与几何图形的综合问题】 (14)【题型五二次函数中的新定义型问题】 (25)【题型六实际问题与二次函数的综合问题】 (32)【题型一二次函数图象和性质之选择题】【题型二二次函数的图象与系数的关系】例题：（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，对称轴是直线1x =，下列结论：A ．1B ．2【答案】C 【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定y 轴交点的确定c ，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于【详解】解：抛物线与x 轴有∴2=40b ac ∆->，A．2B．3【答案】B【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与号，判断②；根据对称性，判断x次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线【题型三二次函数图象和性质之解答题】（2）设()()1200M x N x ，，，，令0y =，则2420mx mx m -+-=，二次函数2420y mx mx m m =-+-≠（），与x 轴交于不同点∴方程2420mx mx m -+-=有两个不相等的实数根，∴()()()2Δ4424320m m m m m =---=+>，又∵0m <，∴320m +<，解得：23m <-44m x x -221m x x -【题型四二次函数与几何图形的综合问题】例题：（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系xOy 中有三个点：()()()1,2,1,6,1,4A B C -，二次函数()230y ax bx a =++≠的图象恰好经过这三个点之中的两个点．(1)试推断二次函数23y ax bx =++的图象经过点、、A B C 之中的哪两个点？请简要说明理由；(2)求常数a 与b 的值；(3)将二次函数23y ax bx =++的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移(0)t t >个单位长度，如果平移后所得新二次函数的图象顶点为D ，且经过点()1,4C ，连AB 、AD BD 、，请判断ABD △的形状，并证明你的判断【答案】(1)点A 、B 在抛物线上，理由见解析(2)1a =，2b =(3)等腰直角三角形，见解析【分析】（1）∥BC y 轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，求得AC 的解析式，交y 轴于点()0,3，抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求，由此解答即可；（2）把A 、B 点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入()1,4得出D 点的坐标，再判断三角形的形状．【详解】（1）∵()()1614B C ，，，，∴∥BC y 轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．1．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，已知抛物线动点()(),004C m m <<在x 轴上，于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)当2m =时，求线段PE (3)当BOE △是以BE 为腰的等腰三角形时，求【答案】(1)()(4,0,0,3A B∴92,2P⎛⎫⎪⎝⎭，22OP⎛=+⎝设直线OP的解析式为y=∴922k=，403m nn+=⎧⎨=⎩，过点E 作⊥EN OA 于点N 则EN PC P ，2,ON EN =∴tan EN PC POC ON OC ∠==∵()(),004C m m <<，过点E作EG OA⊥于点G 则EG PC OBP P，∴25 EG AE AGOB AB AO===，∴2 345 EG AG==，(1)求线段OC的长；(2)求该抛物线的函数关系式；是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得BCP件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)23(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位()03t <<得到对应的矩形分别与函数24y x x c =-+的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG A B ''⊥①当2t =时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得PGQ △的面积为1？若存在，求出此时在，请说明理由．，当点G 在点Q 的下方时，(22224QG t t t t =-+--+52（在03t <<的范围内）．或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．【题型五二次函数中的新定义型问题】(1)判断点()1,3，()2,8，()3,7是否为函数52y x =-图象关于(2)如图1，抛物线222y x bx =++与x 轴交于A ，B 两点（A∴222x x bx c +++=，22x x bx --∴整理得：222x bx x c ++=-+或⎩(1)写出函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为(2)若函数243y x x =-++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过(3)以如正方形ABCD 的顶点分别为：(,),(,),(,),(,)A a a B a a C a a D a a ----，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =-的“迭代函数”的图象与正方形6x∴函数6yx=关于直线2x=-的“迭代函数”的图象与正方形ABCD当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当x=-当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，此时6a=，综上所述：若函数6yx=关于直线2x=-的“迭代函数”的图象与正方形6a=．②如图：若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数定有两个交点它们是(1,6)、(6,1)；根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，I ．当1n ≥时，“迭代函数”的图象与正方形ABCD II ．当01n <<时，“迭代函数”的图象与正方形III ．当0n <，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，此时点(1,6)关于x n =对称点在正方形外，即：12(1--此时点(1,6)--在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数即：52n <-时，“迭代函数”的图象与正方形ABCD 在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，Ⅳ．当0n <，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，【题型六实际问题与二次函数的综合问题】①销售量不超过12万件时，利润为45②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）【答案】(1)y关于x的函数表达式为(1)求出启航阶段()m s 关于()s t 的函数表达式（写出自变量的取值范围）(2)已知途中阶段龙舟速度为5m /s ．①当90s t =时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，85.20s t ≤(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s 将速度从5m /s 提高到5训练所需时间（精确到0.01s ）．【答案】(1)21(020)8s t t =<≤(2)①龙舟划行的总路程为400m ；②该龙舟队能达标．(3)该龙舟队完成训练所需时间为109.07s4(1)请直接写出A ，B 的坐标．(2)排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离明理由．(3)第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，求抛物线【答案】(1)311(,)28，37(,)24-(2)该女生此次垫球不达标．理由见解析(3)221y x x =--+(1)若小明投篮的初始速度为t=时，则①当0.5s②记篮球的水平方向距离为(2)在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为次投篮的篮球的初始速度(1)【种植计划】小王在调查某类水果时发现，当每平方米种植每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25的产量？最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．(2)【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以图约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图为多少？(3)【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线标系，计算日照灯的安装高度．【答案】(1)每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为1350kg (2)12.5米(3)3.76米【分析】（1）设每平方米种植增加x 株，总产量为y ，根据题意可以得到()()150420.25y x x =⨯+-，将二次函数的解析式化解为顶点式即可得到答案；（2）根据矩形的面积即可求出垂直墙面一边的长度；（3）设二次函数的解析式为2y ax k =+，先根据图2得数据求出解析式，再将2x =代入即可求得答案．【详解】（1）解：设每平方米种植增加x 株，总产量为ykg ，根据题意得()()150420.25y x x =⨯+-，∴()237.521350y x =--+，∴当2x =株时，y 有最大值，且1350y =kg ，∴每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为1350kg ，（2）解：设与墙垂直一面的长度为多少m 米，根据题意得12150m ⨯=平方米，解方程得12.5m =米，∵12.52123740⨯+=<∴与墙垂直一面的长度为12.5米；（3）解：直角坐标系建立如下图所示，设二次函数的图像解析式为：2y ax k =+，由题意可得，抛物线过点()0,4，∵外墙长为12米，∴抛物线过点()6,1.8，t （秒）00.51 1.52 2.53 3.54H （米）19.751619.752119.75169.751(1)请解释图（2）中点A 所表示的实际意义；(2)①请将表格中的(),t h 的各组数值作为点的坐标，在图（3）的坐标系中，描出各点，连线，画出高度与时间t 的函数图象，由图象可知h 是t 的_______函数；②求h 关于t 的函数关系式；(3)当速度不足12米/秒时，求h 的取值范围．【答案】(1)点A 表示经过2秒物体的速度降为0米/秒，此时物体是上抛过程中的最高点(2)①图见解析，二次；②()25221h t =--+(3)13.821h <≤【分析】（1）根据速度与时间的关系及函数图象，即可解答；（2）①画出函数图象，即可解答；②设函数关系式为：()2221h a t =-+，再把()01，代入关系式，即可求解；（3）首先可求得1020v t =-+，把12v =代入解析式，可求得0.8t =，再代入()25221h t =--+，即可求解．【详解】（1）解：点A 表示经过2秒物体的速度降为0米/秒，此时物体是上抛过程中的最高点；（2）解：①描出各点，连线，画出高度h 与时间t 的函数图象，如下：由图象可知：h 是t 的二次函数，故答案为：二次；②解：由表可知二次函数的顶点坐标是()221，，可设函数关系式为：()2221h a t =-+，把()01，代入上式，得：()210221a =-+，解得：5a =-，∴h 关于t 的函数关系式是：25(2)21h t =--+；（3）解：设20v kt =+把点()20A ，代入上式，得：0220k =+，解得10k =-，1020v t ∴=-+，把12v =代入上式，得：121020t =-+，解得0.8t =，(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．t=时，求第一象限内水柱的函数表达式．①若1②用含t的代数式表示a．(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足4a。

中考专题-路程-时间函数图像的应用-含答案

题型六 “路程—时间”函数图象的实际应用 1. 在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，中途出现故障后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B 地；乙骑电动车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路原速返回，结果两人同时到B 地．如图是甲、乙两人与A 地的距离y (km)与行驶时间x (h )之间的函数图象．当甲距离B 地还有5 km 时，此时乙距B 地还有________km.第1题图2. 甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地同时出发，相向匀速行驶，当乙到达A 地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶，而甲到达B 地后继续保持原速向远离A 的方向行驶，经过一段时间后，甲、乙两人分别同时到达D 、C 两地(C 、D 两地与B 地的距离相等)，设两人骑行的时间为x (分)，两人与B 地的距离为y (米)，y 与x 之间的函数关系如图所示，则D 地与A 地之间的距离为________米．第2题图3. 甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道A 、B 两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在A 地抽取的任务单递给乙后继续向B 地前行，乙原地执行任务，用时14分钟，再继续向A 地前行，此时甲尚未到达B 地．当甲和乙分别到达B 地和A 地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在A 地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向B 地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离y (米)与运动时间x (分)之间的关系如图所示．已知甲的速度为60米/分，且甲的速度小于乙的速度，则甲在出发后第________分钟时开始执行任务．第3题图 4. (2019重庆三校联考一诊)甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继针对演练续跑向终点，先到终点的人在终点休息．在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y (米)与出发的时间x (秒)之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了________米．第4题图 5. (2019重庆南开中学模拟)甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行，当甲车到达B 地后，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车司机立即通知乙车司机(通知时间忽略不计)，乙车司机接到通知后将速度降低50%继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品后，以原速的43倍匀速前去追赶乙车，当甲车追上乙车时，乙车恰好到达A 地，如图反映的是两车之间的距离y (千米)与乙车行驶时间x (小时)之间的函数关系，则甲车在B 地准备好相关物品共花了________小时．第5题图 6. (2019重庆沙坪坝区模拟)2019年重庆国际马拉松赛于3月31日在南滨公园鸣枪开跑．已知A 、B 两补给站之间的路程为1470米，志愿者甲、乙都从A 站出发支援B 站，甲先出发，且在途中停留了4分钟，甲出发6分钟后，乙才从A 站出发．在整个行走过程中，两人保持各自速度匀速行走，两人相距的路程y (米)与甲出发的时间x (分钟)之间的关系如图所示，则乙到达B 站时，甲与B 站相距的路程是________米．第6题图7. (2019重庆八中模拟)小明和小亮分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C ，小明先到达奶茶店C ，并在C 地休息了一小时，然后按原速度前往B 地，小亮从B 地直达A 地，结果还是小明先到达目的地，下图是小明和小亮两人之间的距离y (千米)与小亮出发时间x (时)之间关系的函数图象，请问当小明到达B 地时，小亮距离A 地________千米．第7题图8. (2019重庆西南大附中月考七)甲、乙两人从A地出发去相距1800米的B地，甲出发1.5分钟后乙再出发，在中途乙追上甲，追上甲后，乙发现有东西忘带了，于是以原来1.2倍的速度返回，甲则继续以原速度前行，乙返回A地后取东西花了2分钟，取完东西后立即以返回时的速度追甲，甲到达B地以后立即返回，并与乙在途中相遇，设甲、乙两人之间的距离为y(米)，甲出发的时间为x(分)，y(米)与x(分)的关系如图所示，则当甲、乙两人第二次相遇时，两人距B地的距离为________米．第8题图参考答案题型六 “路程—时间”函数图象的实际应用1. 7.5 【解析】甲修车前的速度为30÷[2－(1.25－0.75)]＝20 km/h ，乙的速度为30千米/时，当甲距离B 地还有5 km 时，甲还要行驶520＝14小时到达B 地，此时乙距B 地14×30＝7.5 km. 2. 2940 【解析】由图象得，A 、B 两地相距840米，第12分钟时，甲到达B 地，求得甲的速度为840÷12＝70米/分，第7分钟时甲、乙两人相遇，可得乙的速度为(840－70×7)÷7＝50米/分，由于甲、乙两人同时到达D 、C 两地，且BD ＝BC ，又第12分钟时乙和B 地的距离为12×50＝600(米)，甲从第12分钟开始，又行驶了600÷(70－50)＝30(分钟)，所以BD 的距离为30×70＝2100(米)，则D 地与A 地之间的距离为AB ＋BD ＝840＋2100＝2940米．3. 44 【解析】甲的速度为60米/分，设乙的速度为v 米/分，A 、B 两地距离为s 米，∵x ＝5时，y ＝980，此时两人相距980米，列方程得：5×(60＋v )＋980＝s ①，当x ＝31时，甲走的路程为60×31＝1860(米)，图象中，x ＝31时，y ＝1180，即此时甲、乙两人相距1180米，甲已经到达B 地并返回，乙还在前往A 地．列方程得：1860－s ＋1180＝(31－14)v ②，①②联立方程组解得：⎩⎪⎨⎪⎧v ＝80s ＝1680，设甲出发t 分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为3s ，列方程得：60t ＋80(t －14)＝3×1680，解得t ＝44.4. 1450 【解析】由图可知，乙的速度＝1500÷600＝2.5米/秒．甲的速度－乙的速度＝200÷400＝0.5米/秒，∴甲的速度＝3米/秒．当甲与乙会合后，甲跑向终点所用的时间为(1500－3×400)÷3＝100秒．此时乙跑的距离为(400＋200÷2.5＋100)×2.5＝1450米．5. 56 【解析】如解图，根据题意可知，乙车行驶2小时两车第一次相遇，乙车行驶103小时甲车到达B 地，且乙车与甲车此时相距200千米，CD 段表示甲车在B 地准备物品，DE 段表示甲车从B 地返回A 地追赶乙车．∴设甲车的速度为a 千米/小时，乙车的速度为b 千米/小时，A 、B 两地的距离为s 千米，则根据题意有2(a ＋b )＝s ，(103－2)(a ＋b )＝200，解得a ＋b ＝150，∴s ＝300，a ＝300103＝90，b ＝60.设甲车在B 地准备物品用时t 小时，则根据题意得30043×90＋t ＝10060×50%，解得t ＝56.第5题解图6. 90 【解析】根据图象可知，甲走完全程共用时间28.5－4＝24.5分钟，全程1470米，则甲的速度为1470÷24.5＝60米/分钟，甲出发6分钟后，乙出发，且甲走过18分钟后，甲乙第一次相遇，设乙行走的。

新高考新教材高考数学二轮复习专题检测6函数与导数pptx课件

却,经过10 min物体的温度为50 ℃,则若使物体的温度为20 ℃,需要冷却
( C )
A.17.5 min
B.25.5 min
C.30 min
D.32.5 min
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
解析由题意得 50=10+(90-10)e
( D )
2.(2023 北京,4)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( C )
A.f(x)=-ln x
1
C.f(x)=
1
B.f(x)=2
D.f(x)=3|x-1|
解析因为 y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以 f(x)=-ln x 在(0,+∞)上单调递减,
故 A 错误;
3
3 +2
g(x)= ,则函数
3 +2
x≠0,所以-a=
.

设
f(x)存在 3 个零点等价于函数
y=-a 有三个不同的交点.
2(3 -1)
g'(x)= 2 .当

3 +2
g(x)= 的图象与直线
x>1 时,g'(x)>0,
函数 g(x)在(1,+∞)内单调递增,
当 x<1 且 x≠0 时,g'(x)<0,
专题检测六
函数与导数
单项选择题
lg, > 0,
1.(2023 广东高三学业考试)已知函数 f(x)=
若 a=f
2 , < 0,
A.-2
解析 a=f
B.-1