高二数学常见函数的导数2

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5.2.1基本初等函数的导数课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

当 < 0时，随着增加， ′ 越来越小， = 2 减少得越来越慢；
当 > 0时，随着增加， ′ 越来越大， = 2 增加得越来越快；
若 = 2 表示路程关于时间的函数，则 ′ =2x可解释为某物体做变
速运动，它在时刻瞬时速度为2x。
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
练习：求下列函数的导数．
π

1
x2

(1)y＝x5；(2)y＝；(3)y＝lg x；(4)y＝5x；(5)y＝cos2－x.
x

1
－
－
[解] (1)∵y＝x5＝x 5，∴y′＝－5x 6
=

−
=

= , ∴ ′ =

1
(3)∵y＝lg x，∴y′＝xln 10.
=
∆( +∆+)
1
=
,
+∆+
∆
∆→0 ∆
1

= ∆→0
+∆+
所以 ′ =
=
1
2
知识梳理
基本初等函数的导数公式
知识梳理
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
1. 函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数f (x ) 在x= x0处的函数值,
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
用了哪些方法
方程思想、待定系数法.
可能出错的地方：不化简成基本初等函数
∆
∆
所以 ′ =
∆

=
∆→0 ∆ ∆→0
1=1
若 = 表示路程关于

高二数学知识点求导公式

高二数学知识点求导公式在高二数学学习中，求导公式是一个非常重要的知识点。

它是求解函数导数的基础，掌握了求导公式，能够更加灵活地处理数学问题。

下面我们来系统整理一下高二数学常用的求导公式。

1. 基本函数的求导公式(1) 常数函数的导数为0：$y=C$，其中C为常数。

(2) 幂函数的导数：$y=x^n$，其中n为整数，导数为$y'=nx^{n-1}$。

(3) 指数函数的导数：$y=a^x$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=a^x\cdot ln⁡(a)$。

(4) 对数函数的导数：$y=log_a⁡(x)$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=\dfrac{1}{x\cdot ln⁡(a)}$。

(5) 三角函数的导数：正弦函数的导数：$y=sin⁡(x)$，导数为$y'=cos⁡(x)$。

余弦函数的导数：$y=cos⁡(x)$，导数为$y'=-sin⁡(x)$。

正切函数的导数：$y=tan⁡(x)$，导数为$y'=sec^2(x)$。

2. 基本运算法则(1) 基本规律：$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)$，即两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差)。

(2) 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

(3) 除法法则：$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再减去第一个函数乘以第二个函数的导数，然后除以第二个函数的平方。

_高中数学第一章导数及其应用2

f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线，其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____，直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．

高二数学几种常见函数的导数

3 1 (1)y＝ 2 (2)y＝ x x
(1)y′＝－2x
x
－3
(3)y＝2
x
(4)y＝log2x
1 2 (2)y′＝ x－ 3 3 1 (4)y′＝ xln2
(3)y′＝ 2 ln2
例2.已知y
x，1)求y;
x 解：1）y x x x x x x y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
2)求曲线在点（ 11 ，）处的切线方程.
1 1 1 2) 切线方程 : y 1 ( x 1).即：y= x 2 2 2
• [点评] 求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数．
1 练习：已知 f(x)＝，且 f′(1)＝－ 3，求 n. n x 1
n=3
补充练习:
公式1: C 0 (C为常数) .
请同学们求下列函数的导数:
2) y f ( x) x, y ' 1
2
表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
3) y f ( x) x , y ' 2 x 这又说明什么? 1 1 4) y f ( x) , y ' 2 x x
n n 1 ( x ) nx (n Q ) . 公式2:
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.
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了撇嘴。不行，他们两个在那里不停地唧唧歪歪，鬼知道什么时候会说完。我必须想办法让那个撩妹的家伙赶快离开，不然我迟早是饿死的料。“据我所知，会试历来是由礼部主持。”慕容凌娢生硬的插嘴道，“所以……不管你怎么说，都是改变不了这个事实的。”“这位是……”那人在此时才注意到了慕容凌娢。原来你刚才根本就没有正眼看我啊？现在才发现我的存在，也太不尊重人了吧……慕容凌娢平复了一下自己的情绪，仔细想想，这也不能怪他啊，毕竟自己在这里如坐针毡的等了半天，都没有敢发表一下自己的意建，他没注意也是可以理解的。“这是我的远房表妹，初次来京城。没见过世面，也不懂礼数，还请公子恕罪。”百蝶一边介绍一边用眼神示意慕容凌娢别在多说，“白绫，还不快给韩公子赔罪！”为什么要我给他赔罪？我说的明明就是实话啊。慕容凌娢看了他一眼，并没有要道歉的意思。那人没有等到慕容凌娢的道歉，倒是产生了一丝惊奇。 “原来如此，我说怎么没见过，原来不是醉影楼的人啊。”他饶有兴趣的看了一眼慕容凌娢，继续说到，“这醉影楼里，还从未有人敢反驳我。”“没有人反驳不代表你是正确的，而且大多数客观存在的事情即是不用反驳，也是事实。”“你的大道理还真有意思。”他起身便准备离去，“别被你所相信的真理给骗了。”“韩公子……莺凝，去送送韩公子。”百蝶对站在走廊上的一个女子说道。可算是走了，慕容凌娢心里高兴的不能行，可偏偏还要装出什么都不知道的样子。可是……为什么感觉现在的气氛那么奇怪呢……沉闷的气氛持续了好一会儿，百蝶才幽幽的开口。“凌娢，你是不是故意的啊……”她危险的眯起了眼睛，“我可是在帮你套科举考试的信息啊，现在可好，我刚刚的努力都白费了！”“啊？不是，百蝶姐姐我……”慕容凌娢的大脑仿佛进行了一次弯道超越，差点因为没刹住车而飞出悬崖，“你跟那个人好像很久之前就认识吧？他是谁啊？”“他啊……晴国的六皇子，韩皓泽。”“那我现在狗带还来得及吗？”(古风一言)那时，谁渡江湖雨漂泊。而今，征战沙场千里外。 (注：筱玦的这部小说属于架空穿越，但大多数情况下都是仿照明朝的制度来写的。也包括科举制度。会试：通过乡试以后，第二年春天在京城礼部，由礼部侍郎主持的考试，或由皇帝特派正、副总裁主考官主持。辰、戌、丑、未年会试，为正科；也有恩科，叫会试因科。因为在春天考试，所以又称「春试」、「春闱」。考中的当「贡士」，第一名叫「会元」。)第021章少女的名字叫茉莉“凌娢，你是不是故意的？”百蝶危险的眯起了眼睛，“我可是在帮你套科举考试的信息啊，现在可好，我刚刚的努力都白费了！”“啊？不是，百蝶姐

函数的单调性和导数2

解析：若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0，故A 错；f(x)在区间(a，b)上是否单调与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在区间(a，b)上的导数存在，但f(x)无单调性，故 D错．
答案：B
3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．
|巩固提升|
1．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即ex>1，∴x>0， ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：C
2．下列叙述中正确的是( ) A．若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0 B．若在区间(a，b)上对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在区间 (a，b)上是增函数 C．若f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则f′(x)必存在 D．若f′(x)在区间(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
函数的单调性和导数（2）
自主学习基础认识
|新知预习|
1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)已知导函数在某区间上的正负可以判断函数增减
在区间 (a,b)上如果f'(x)>0 在区间 (a,b)上如果f'(x)<0

5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则课件高二数学人教A版选择性

解析 ∵y=-2exsin x,∴y'=(-2ex)'sin x+(-2ex)(sin x)'=-2exsin x-2excos x
=-2ex(sin x+cos x).故选D.
重难探究·能力素养全提升
重难探究·能力素养全提升
探究点一
导数公式与运算法则的简单应用
【例1】 [北师大版教材习题]求下列函数的导数:

x.
(4)y=(x-1)(x-2)(x-3);
解因为y=x3-6x2+11x-6,所以y'=3x2-12x+11.
-1
(5)y= ;
解因为 y= −
1
,所以

2
(6)y=+1.
2(+1)- 2
解 y'=
2
(+1)
=
2 +2
2
(+1)
.
y'=
1
2
+
1
2
3
=
+1
角度1.解析式中含f'(a)的导数问题
【例3】已知函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)=2xf'(1)+ln
A.-e
B.2
C.-2
D.e
解析因为
1
f(x)=2xf'(1)+ln =2xf'(1)-ln
解得 f'(1)=1.所以
x,所以
1
f(x)=2x+ln ,f(1)=2+ln

1

,则f(1)=( B )
……因为2 021=505×4+1,所以f2 021(x)=f1(x)=sin x+cos x,故选A.

高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

公式 4 .若 f ( x ) c 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公式 7 .若 f ( x )
； https:///cn/diamonds?track=NavDrawDia 什么钻石好；
道了这件事情了,所以在这里闭关修行,害得天云天风他们兄妹三人白担心了,有了这壹座神山,根汉之前の担忧也全然不见了丶"你还敢来?""这。"他身形壹闪,避开了这壹只巨掌丶巨掌猛の落下,没有镇住根汉,壹个白袍老者出现在了原地,正是天阳子丶天阳子冷哼壹声,盯着不远处の根汉："你到底是什么来路?"根汉拱手笑了笑,对天阳子道："咱并不是晴天,只是与他长の壹模壹样而已咱与晴天没有半点关系丶"天阳子眉头壹锁道："你蒙谁呀?"根汉无奈道："这件事情,咱已经和仙尔说清楚了。"天阳子脸色壹下子冷了下来,杀机迸现,根汉连忙说道："前辈您先不要发飙, 有些事情,容咱慢慢の和你们说吧丶"想到自己女尔,莫名其妙の被人骗了,搞大了肚子,生下了无父の孩子,心也壹直背负着这种欺骗の情愿丶不过令他很意外の是,眼前这个家伙の隐遁之术很了得,若不是自己借助这冲天剑の仙力,也无法发现他站在这里丶别看自己是魔仙,若没有这冲天剑の话,看都看不到这家伙,更别提还想杀了他了丶"丫の,你小子有些过了啊!""冲你小子让茹尔有能力怀孩子,老夫咱不杀你!""呃,事情是这样の。"天阳子冷哼道："天家の事情,老夫咱自会处理,还容不着你来窜下跳の。"根汉尴尬の笑了笑,当然轮不到自己窜下跳了,自己也不想窜下跳呀, 要是知道这里の地势冲天剑,自己还管什么事尔呢丶根汉将之前,看到峰回九渊の事情,和他说了说丶根汉点了点头："侥幸吧丶"天阳子气不打壹处来,脸色有些难看,心里骂开了,自己壹个魔仙,在天家祖地转了好些年,才发现这里の地势丶只是这家伙,明明修为低,只不过是壹位初阶大魔神, 竟然可以发现这里,壹来发现了,真是让自己难堪呀丶天阳子显然是挂不住脸,根汉可不知道他の这点小心思,要知道打了他の脸の话给他留点脸了丶"好吧,那前辈您保重吧,天家之事,由您全权做主吧。"天阳子白了他壹眼,直接身形壹闪,又回到了那冲天剑神山之,压根没再瞧根汉壹眼了丶本来自肆0贰叁你这个坑货(猫补中文)既然天阳子早有打算了,根汉也不便再在这里打扰了,马离开了这里,让天阳子自己去安排天家の这些事情吧丶请大家搜索（@￥）看最全!更新最快の被天阳子给骂了个狗血喷头,根汉赶紧逃也,大概意思是这样の好东西别你这个老东西壹个人给享用了丶让天家の弟子都到这冲天剑神山来修行,修行の速度都要提升好几倍,甚至是数十倍都不壹定,天家の整体实力会大增了丶"没想到,咱天家也有这样の地势风水,看来咱天不绝咱天家。"听闻天阳子实力大增,做女尔の天仙尔自然是很惊喜了丶"只不过他们那些家亭,不知道知不知道咱父亲の情况?"天仙尔皱眉问道丶根汉笑了笑道："你这个老父亲,等着壹鸣惊人,给他们大吃壹惊呢。"天仙尔笑道："那咱们什么时候出发离开这里?"因为得知了天阳子の实力,所以根汉这心头隐隐の不好の感觉也消失了,想必以天阳子の实力,再加那冲天剑地势,出现什么危险天阳子也可以化险为夷,也可以保住天家の丶天仙尔顿了顿道："咱听你の丶"根汉对天仙尔道："怎么说这也是壹个是非之地,有些事情咱们不要参与了,交由你父亲他们去解决吧丶"天仙尔也没有别の挂念了,只要天家不会有事好了,小天意现在也认了他们父母了丶只是小家伙不想伤天风夫妇の心,所以壹直假装不知道而已,但是现在壹切都解决了丶三天之后,根汉壹家便出发了,他们告别了天风夫妇,离开了天家来到了浮家祖地丶"恩,根汉你小心壹些丶"她怀着孩子呢,小天意也还这么小,三岁不到,不能沾染那些不好の东西丶他反倒是将白狼马给叫了出来："小白,咱们在这里布壹座法阵如何?""呵呵,咱和天家の人。""去你小子の。"原来之前他和天风说过了,说自己会在浮家这边布下壹座法阵,若是到时候他们想离开の话,只要拿着自己给他の壹块玉,可以抢先从这里离开丶人不为已,天诛地灭嘛,根汉能做の也只有这么多了丶花了两天の时间,根汉和白狼马,才在这里布下了几座复杂の法阵,其还包括壹座根汉の仙阵丶而在这阴魔域外面,还有白狼马之前留下の定位坐标,白狼马取出黑天罗盘,试着用这黑天罗盘,看看能不能锁定长生神山の位置,或者是阴魔域边缘の位置丶找了近壹天后,白狼马有所发现了,在黑天罗盘の面,出现了壹个立体の光团丶光团,立即出现了壹个地域の地貌,不过那个地方似乎并不是长生神山丶白狼马也有些怪异："不知道呀,好像咱们没有用罗盘,定下这样の壹个坐标呀,这地方怎么会出现在黑盘の丶"白狼马壹脸の委屈道："大哥,咱真没有留这么壹个坐标,您看看这里面嘛,壹个人影也没有嘛。""应该,可能?"根汉有些无语,"这要是传送到,不知道什么鬼地方去了,到时候还不如阴魔域。"白狼马道："起码这个地方,好像有阳光,还有山有水,风景也不错の,应该不错の丶"根汉想了想,能省事省事吧,刚刚壹阵阴风吹来,根汉感觉浑身都不好了丶像幻之地壹样,也发生了这么大の变化,而阴魔域,还有阳魔域,其实也发生了不少の变化丶根汉和白狼马渗入了其,直接传送走了,这是黑天罗盘の好处,如果有坐标の话,可以进行这样の直接の传送丶只不过需要耗费壹些顶级の灵玉,而这种灵玉の数量,根�

高二数学导数的计算2

x
x3 练习求函数 y 2 的导数 x 3
x 6x 3 y' 2 2 ( x 3)
2
例1 假设某国家20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：其中p0为t＝0时的物价. 假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
5284 5 2 8 4 ' (1 0 0 x ) 5 2 8 4 (1 0 0 x )' c'( x) ( )' 100 x (1 0 0 x ) 2
0 (100 x ) 5284 ( 1) 5284 2 (100 x ) (100 x ) 2
f (x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 3. ( g ( x ) 0) 2 g (x) g ( x)
新课
2 f ( x ) ( a x ) 练习设
,计算
2
f＇ ( x) .
解ｆ( x) a 2ax x
p (t ) p 0 (1 5 % )
t
解
p ( t ) 1 (1 5 % ) 1 .0 5 t p ' ( t ) 1 . 0 5 ln 1 . 0 5
t
t
p ' ( 1 0 ) 1 . 0 5 ln 1 . 0 5 0 . 0 8 ( 元 / 年 ) 答: 在第10个年头，这种商品的价格上涨的速分析：
(1) 求第8 s末水位上升的瞬时速度；
(2) 求水深为3cm时，水位上升的瞬时速度.
解设第t s末水深为h cm, 则

高二数学导数知识点

高二数学导数知识点导数是数学中非常重要的概念，被广泛应用于各个领域。

在高二数学学习中，导数是一个重要的知识点。

本文将介绍一些高二数学导数的知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

设函数y=f(x)，在点x处的导数记为f'(x)，其计算公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图像上某一点处的切线斜率。

可以通过计算导数来确定函数曲线上某点的切线方程。

三、导数的运算法则1. 常数法则：常数的导数为0。

2. 基本初等函数导数法则：a. 幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)b. 指数函数：(a^x)' = ln(a) * a^xc. 对数函数：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a))d. 三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)3. 乘积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4. 商积法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^25. 复合函数求导法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)四、导数的应用导数广泛应用于微积分、物理学、经济学等领域。

以下是几个常见的应用：1. 极值问题：对于一个函数，极大值和极小值出现在导数为0或不存在的点。

2. 斜率问题：导数可以计算函数图像上某一点处的斜率，用于解决相关的问题。

3. 函数图像的变化：通过分析导数的正负变化来判断函数的递增和递减区间，从而得到函数图像的特征。

高二数学选修2-2课件：1.2 导数的计算2(新人教A)

其中g(x) 0
例1、求下列函数的导数：
1.y
(x3
2x)(
1 x3
4);
2.y x2 ln x;
3.y ex ; x
4.y tan x.
例2、日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为：
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.
a
8.(ln x) 1 x
2、导数的运算法则
1.[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
2.[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)
推论：[Cf (x)] Cf (x)
3.[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
求f (0), f (5)的值.
《学海》习题讲解
作业： 1、《学海》第5课时 2、教材P18：A组5、6、7.
（1）90%；（2）9来自%.c(x ) = 5284 (80 < x < 100) 100 - x
c¢(90) =
5284 (100 - 90)2
=
52.84
c¢(98) =
5284 (100 - 98)2
=
1321
例3、求和：1 2x 3x2 nxn1 (x 0, x 1)
例4、已知f (x) x(x 1)(x 2)x 8)
高中数学新课程选修2-2
第一章导数及其应用 1.2 导数的计算
第二课时
1、基本初等函数的导数公式
1.（C） 0
2（. xn ) nxn1(n Q )
3.(sin x) cos x

高二数学导数的运算

y f ( x x) g( x x) f (x) g (x)
f ( x x) g( x) f ( x x) g( x).
y f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x) . x x x
t 2 1 试一试:求函数s(t ) 的导数. t
t 2 1 试一试:求函数s(t ) 的导数. t 2 2 2 ' t 1 ( t 1) 't ( t 1)t' 解 : s' (t ) 2 t t 2t t t 2 1 t 2 1 2 2 t t 你还能用其他法则求导吗?
导数的运算
求下列函数的导数，并说明所用的公式： 3 y0
y' 0 • （1）
• （3）
f ( x) sin x
x
yx 2 y 3x （2） Nhomakorabeaf ( x) cos x
• （5） f ( x) cos x
f '( x) sin x • （7）
ye y ' ex
y ln x 1 y' （6） 1 x f ( x)
f ( x) log2 x 1 f ( x) （4） x ln 2
2x 1 1 f） '( x) x ln （8 2 2
复习：常见函数的导数
(1)( x ) x
x ' x
'
'
1
(为常数）
( 2 )( a ) a lna(a 0, 且 a 1)
1 1 ( 3)( log a x ) log a e (a 0, 且a 1) x xlna 1 ' x ' x (5)(lnx) ( 4 )( e ) e x

1.2.1几个常用函数的导数

e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等于 ____x__;
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1ogax )' __x_l_n_a___
三.典例分析题型：求曲线的切线方程
例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
练习:
1、求下列函数的导数
(1) y sin t (4)u cos v (7) y 2
x
lim C C x0 x
lim 0 0 x0 x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：f '(x) C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于 0 它表示函数y=c图象上各点切线的斜率都是0；
事实上，各点切线就是原来的直线。
二、几种常见函数的导数
切线的斜率k y ' |xx0 2x0 1,
x0
1 2
,
切点M (1 , 1)
24
与PQ平行的切线方程:y 1 x 1 ,即：4x 4 y 1 0。 42
1
1
练习解1：：∵求y双′曲＝线－yx1＝2，x在∴点y′(2|，x＝22)＝处－的14切. 线方程．

导数的几何意义及常用函数的导数

3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数

= ;

解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′

=
;

′
=

′
=
−

()＝log.
解
′ = ′ =

;

=

;

跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：

= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于

∴ = = ,即 = ,
所以切点为

,

.

∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函数 () 在点处的导数 ” 是一个数值 , 不是变

高二数学导数有关的知识点

高二数学导数有关的知识点在高二数学学习中，导数是一个非常重要的概念，它是微积分的基础。

导数的概念最初由英国数学家牛顿和莱布尼茨独立提出，并且成功地解决了许多与变率和曲线有关的问题。

导数的概念和应用在现代科学和工程领域也有着广泛的应用。

本文将介绍高二数学中与导数有关的一些重要知识点。

一、导数的定义1. 一元函数的导数定义对于一元函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示函数在该点处的变化率。

导数的定义如下：$$f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$是自变量$x$的增量。

2. 导数的几何意义导数也可以理解为函数在某一点处的切线斜率。

对于函数$y=f(x)$，在点$(a, f(a))$处的切线的斜率等于该点的导数：$$k = f'(a)$$二、导数的基本性质1. 常数函数的导数对于常数$c$，常数函数的导数等于0：$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$2. 幂函数的导数对于幂函数$y=x^n$，其中$n$为常数，它的导数为：$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$3. 指数函数的导数对于指数函数$y=a^x$，其中$a$为常数且$a>0, a≠1$，它的导数为：$$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln{a}$$4. 对数函数的导数对于对数函数$y=\log_a{x}$，其中$a$为常数且$a>0, a≠1$，它的导数为：$$\frac{d}{dx}(\log_a{x}) = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}$$三、导数的运算法则1. 和差法则对于两个函数$u(x)$和$v(x)$，它们的导数的和（差）等于它们的导数的和（差）：$$\frac{d}{dx}(u(x) \pm v(x)) = \frac{du(x)}{dx} \pm\frac{dv(x)}{dx}$$2. 乘法法则对于两个函数$u(x)$和$v(x)$，它们的导数的乘积等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数：$$\frac{d}{dx}(u(x) \cdot v(x)) = \frac{du(x)}{dx} \cdot v(x) + u(x) \cdot \frac{dv(x)}{dx}$$3. 除法法则对于两个函数$u(x)$和$v(x)$，它们的导数的商等于第一个函数的导数乘以第二个函数的倒数再减去第一个函数本身乘以第二个函数的导数再除以第二个函数的平方：$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) =\frac{\frac{du(x)}{dx} \cdot v(x) - u(x) \cdot\frac{dv(x)}{dx}}{v(x)^2}$$四、高阶导数1. 高阶导数的定义高阶导数是指多次对函数进行求导得到的导函数。

常见函数的导数

3 (��)′= �� 4 (��2)′= �� 5 (��3)′= ��
6
(1)′=
��
−
��
(��−1)′= − ��−2
7 ( ��)′= ��
(��)′= �� ln �� (��)′= ��
（ �� >0且≠1）指数函数
(log�� )′=
(ln ��)′=
1 ��
1 ��
log��
��
=
��−0 1−0
,即
2x-y-1=0
当��0=-1，切线过两点(-1,1)和(0,-1),由两点式方程得切线方程为��1��++11
=
��−0 −1−0
,即
2x+y+1=0
总结回顾 7个基本初等函数求导公式
(��)′= ��−�� （ �� 为常数）幂函数
��′ �� = ��
2 �� = �� + �� （k,b为常数）
��′ �� = ��
4 �� = ��3
��′ �� = ��

高二数学常用导数公式大全

高二数学常用导数公式大全导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

1.y=c(c为常数)y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。

用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。

在得到y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

人教版数学高二作业基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(2)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x(1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2 D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是() A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.4．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c 的值．解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.因为y′＝2ax＋b，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．e答案 A解析设切点的坐标为(x 0，y 0)，y ＝f (x )＝ln x 在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝1x 0，所以1x 0＝1，所以x 0＝1，y 0＝0. 又因为(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋b 上，故0＝1＋b ，所以b ＝－1.3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．(－12，－18) 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2s 时的瞬时速度为________．答案 0.4m/s解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．二、能力提升8．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1， ∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.10．求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.三、探究与拓展13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。