经济数学下练习题1

练习题一一、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上）： 1．函数(,)f x y =，则定义域为 .2．设ln x z e =11xx y z ==' .3．设(2)x z x y =+，则在点(1,0)处的全微分dz = .4．设资本投入为K ，劳动投入为L 时，某产品的产出量为y ，且y AK L αβ=，其中,,A αβ为常数，则y 对资本的偏弹性K ε= ，对劳动的偏弹性L ε= .5．函数22z x y =+在条件1x y +=下的极值为 .二、选择题(本题共10小题，每小题2分，满分20分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)：1．设(,)ln =f x y xy ，(,)ln ln g x y x y =+，则(,)f x y ( )(,)g x y .A. >B. <C. =D. ≠ 2．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的充分条件是（ ）. A. (),f x y 在点()00,x y 处连续B. (),f x y 在点()00,x y 处存在偏导数C. ()()00000lim ,,0,x y z f x y x f x y y ρρ→''⎡⎤∆-∆-∆==⎣⎦D. ()()00000,,lim0,x y z f x y x f x y yρρρ→''∆-∆-∆==3．设00(,)(,)在f x y x y 点的偏导数存在，则00(,)( )'=x f x y . A. 00000(,)(,)lim∆→+∆+∆-∆x f x x y y f x y xB. 00000(,)(,)lim∆→+∆-∆x f x x y f x y xC. 0000(,)(,)lim→--x x f x y f x y x xD. 以上结果都不对4．设(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在，则(,)f x y 在该点( ).A. 极限存在B. 连续C. 可微D. 以上结论均不成立 5．设方程x y z +确定了函数(,)z z x y =，则(,)z x y 在点(1,0,1)-处的全微分dz =（ ）.A. dx +B. dx -+C. dx -D. dx --6．已知3222(c o s )(1s i n 3)a x y y x d x b y x x y d y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，则a 和b 的值分别是（ ）.A. -2和2B. 2和-2C. -3和3D. 3和-37．定义在开区域D 上的函数(,)f x y ，对D 内任意一点都有(,)'=x f x y a ，(,)y f x y b'=，,a b 为非零常数，则（ ）.A. (,)f x y 在D 上可微B. (,)f x y 在D 上有极值C. (,)f x y 在D 上有最大最小值D. (,)f x y 在D 上为一常数 8．设33(,)abf x y xy xy=++(a > 0,b > 0)，则（ ）.A. 22,a b b a ⎛⎫⎪⎝⎭是(,)f x y 的驻点，但非极值点 B. 22,a b b a ⎛⎫⎪⎝⎭是(,)f x y 的极大值点C. 22,a b b a ⎛⎫⎪⎝⎭是(,)f x y 的极小值点 D. (,)f x y 无驻点9．函数(,)f x y =(0,0)处（ ）.A. 取最大值B. 取最小值C. 不是驻点D. 无意义10.设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且满足2∂≠∂∂u x y及22220u u xy∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的（ ）.A. 最大值点和最小值点必定都在D 的内部B. 最大值点和最小值点必定都在D 的边界上C. 最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上D. 最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上三、计算题(每小题7分，共56分)： 1．求22lim ()-+→+∞→+∞+x y x y x y e .2．设(),f x y =，求f x∂∂.3．设22(,)()+-=-++f x y x y x y x y ϕ且(0)=f x x ，，求(0,1)'x f .4．设ln x z e =xy z ''.5．设()()xyz yf xg yx=+，其中f 和g 具有二阶连续导数，求222∂∂+∂∂∂z z xyx yx．6．求函数333=+-z x y xy 的极值．7．设,)++F x z y z （可微，且120F F z ''+-≠，求方程2221 ,)()22++-++=F x z y z x y z （所确定的函数(,)=z z x y 的微分dz ．8．求二元函数2(,)(4)==--z f x y x y x y 在由直线6+=x y ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值．四、应用题(本题8分)：设生产某种产品必须投入两种要素，x 和y 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为2Q x y αβ=，其中0,0αβ>>，且1αβ+=。

假设两种要素的价格分别为1p 和2p ，问当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？五、证明题(本题6分)：已知()(),()()0,(,''=++≠=xy xf z yg z xf z yg z z z x y 且是x 和y的函数．求证：[()][()]∂∂-=-∂∂z z x g z y f z xy．练习题2一、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上）：1．平面区域D 是由直线y x =，12y x =及1x =围成，则2=⎰⎰Dd σ ．2．设{(,)01,03}D x y x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰Dxyd σ ．3．设{(,)11,03}D x y x y =-≤≤≤≤，则3sin (1cos )+=⎰⎰Dx y d σ ．4．设区域D 由22(3)9x y +-=围成，则在极坐标系下(,)=⎰⎰Df x y d σ ．5．常数0a >，且222,+≤=⎰⎰x y aπ则a ＝ ．二、选择题(本题共10小题，每小题2分，满分20分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)： 1．下列不等式正确的是（ ）． A.11(1)0≤≤->⎰⎰x y x d σB.22221()0+≤-->⎰⎰x y x y d σC.11(1)0≤≤->⎰⎰x y y d σD.11(1)d 0≤≤+>⎰⎰x y x σ2.2222322{(,)4},[sin ln(1)2]yxDD x y x y I ex y xex y d σ=+≤=++++=⎰⎰若则（ ）．A. 8πB. 0C. πD.3．设区域1{(,)|11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤，2{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤；又12231()=+⎰⎰D I x y d σ，22232()=+⎰⎰D I x y d σ则结论正确的是（ ）．A. 124I I >B. 124I I <C. 124I I =D. 122I I = 4．设D 由x 轴，ln y x x e ==、围成，则 (,)⎰⎰Df x y dxdy =（ ）．A. 110(,)⎰⎰edx f x y dy B.ln 0(,)⎰⎰exdx f x y dyC.10(,)⎰⎰ye dyf x y dxD.1(,)⎰⎰yeedy f x y dx5、.设f (x , y )连续，且(,)(,)=+⎰⎰Df x y xy f u v dudv ，其中D 是由y = 0, y = x 2, x =1所围区域，则f (x , y )等于（ ）.A. xyB. 2xyC. xy +81 D. xy + 16．设123,,4+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDx y I d I I σσσ，当22{(,)(1)(1)1}D x y x y =-+-≤，则有（ ）． A. 123I I I << B. 231I I I <<C. 312I I I <<D. 321I I I << 7．设110(,)(,)-=⎰⎰⎰⎰x Df x y dxdy dx f x y dy ，则改变积分次序后为（ ）． A. 1100(,)-⎰⎰xdy f x y dx B.110(,)-⎰⎰xdy f x y dxC.110(,)⎰⎰dy f x y dx D.110(,)-⎰⎰ydy f x y dx8．设D 是在xoy 面上以(1,1)，(1,1)-(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 的第一象限部分，则(cos sin )+⎰⎰Dxy x y dxdy 等于（ ）．A. 12cos sin ⎰⎰D x ydxdy B. 12⎰⎰D xydxdyC. 14(cos sin )+⎰⎰D xy x y dxdy D. 09．设积分区域:1D x y +≤，则()+=⎰⎰Dx y dxdy （ ）．A.34B.43C. 0D. 110．设平面区域22:14D x y ≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则=⎰⎰Df dxdy （ ）．A. 212()⎰rf r dr π B. 212[()()⎰⎰rf r dr rf r dr π＋C. 2212()⎰rf r dr π D. 2122002[()()⎰⎰rf r dr rf r dr π＋三、计算题(每小题8，共56分)：1．求()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由2y x =，24y x =，1y =围成.2．改变积分2120201(,) (,)-+--+⎰⎰⎰⎰y y dy f x y d x dy f x y dx 的次序.3．设1,01,01(,)0,≤≤≤≤⎧=⎨⎩x y f x y 其他， D 是由,00x y t x y +≤==及围成．求()(,)DF t f x y dxdy =⎰⎰．4．计算=⎰⎰DI σ，D ：01,01x y ≤≤≤≤.5．计算21200-⎰ydx dy .6．求tanDy arc d xσ⎰⎰，其中D 由22221,9x y x y +=+=，y x =，0y =围成的第一象限区域．7. 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的 平面区域(如图).8．计算广义积分42GdxdyI xy=+⎰⎰，其中G 为由1x ≥，2y x ≥所围成的区域．四、应用题(本题8分)：求球体2222x y z a++≤与圆柱体22(0)x y ax a +≤>的公共部分的体积．五、证明题(本题6分)：求证：221(sin cos )d ≤+≤⎰⎰Dx y σ 其中{}(,)0101，=≤≤≤≤D x y x y ．《微积分》下册第七章练习题一、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上）：1. 级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。