高中数学必修2解析几何初步测试题及答案详解

解析几何初步测试题及答案详解

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列叙述中不正确的是( )

A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角

C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°

D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α

2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( )

A ．－3

B ．－6

C ．－32

D ．2

3

3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )

4．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9

5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．4x －3y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0

D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0

6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )

A ．4

B ．13

C ．15

D ．17

7．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )

A ．－4

B ．20

C ．0

D ．24

8．圆(x ＋2)2＋y 2

＝5关于y 轴对称的圆的方程为( )

A ．(x －2)2＋y 2

＝5

B ．x 2＋(y －2)2

＝5

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2

＝5

D ．x 2＋(y ＋2)2

＝5

9．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( )

A ．(x ＋2)2＋(y －3)2

＝4

B ．(x ＋2)2＋(y －3)2

＝9

C ．(x －2)2＋(y ＋3)2

＝4

D ．(x －2)2＋(y ＋3)2

＝9

10．已知圆C ：x 2＋y 2

－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝0

11．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2

＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

12．已知圆O ：x 2＋y 2

＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )

A ．5

B ．10

C ．252

D ．25

4

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则|OB |＝______．

14．如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，则直线l 的方程是________________． 15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．

16．若x ∈R ，y 有意义且满足x 2

＋y 2

－4x ＋1＝0，则y x

的最大值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －4＝0，其对角线的交点是D (3,3)，求另两边所在的直线的方程．

18．(12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．

求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．

19．(12分)已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．

20．(12分)设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．

21．(12分) 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (4,0)，一条河所在的直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P ，使之到A ，B 两镇的管道最省，那么供水站P 应建在什么地方并说明理由．

22．(12分)已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．

答案详解

1．D [α＝90°时，斜率不存在．∴选D ．]

2．B [当两直线平行时有关系a 3＝2－1≠2

－2

，可求得a ＝－6．]

3．C

4．D [由k AB ＝k AC 得b ＝－9．]

5．D [当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)

代入得k ＝－43；当截距不为0时，设方程为x a ＋y

a

＝1，将(3，－4)代入得a ＝－1．]

6．D

7．A [垂足(1，c)是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4×2

5

＝－1，∴a＝10．l ：10x ＋

4y －2＝0．将(1，c)代入，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2：得b ＝－12．则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]

8．A [(x ，y)关于y 轴的对称点坐标(－x ，y)，则得(－x ＋2)2＋y 2

＝5．]

9．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x －2)2＋(y ＋3)2

＝4．] 10．D [化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，

故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝1

2

，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0．]

11．A [将两方程联立消去y 后得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0．]

12．D [因为点A(1,2)在圆x 2＋y 2

＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x

＝0得y ＝5

2

．

令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝25

4

．]

13．13

解析 易知点B 坐标为(0,2,3)，故OB ＝13． 14．3x ＋y ＋4＝0

15．－23

解析 设P(x,1)则Q(2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0．

∴x＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－2

3．

16．3

解析 x 2＋y 2

－4x ＋1＝0(y≥0)表示的图形是位于x 轴上方的半圆，而y x 的最大值是半圆

上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为3．

17．解 由题意得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＋1＝0，

3x －y ＋4＝0，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－54

，

y ＝1

4，

即平行四边形给定两邻边的顶点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－54，14． 又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫294，234． ∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，

即它们的方程为y －234＝－⎝

⎛⎭⎪⎫x －294

及y －234＝3⎝

⎛⎭⎪⎫x －294，

∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．