章末双测滚动验收达标(五) 概 率

章末双测滚动验收达标（五）概率A卷——学考合格性考试滚动检测卷(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为()A．3B．4C．5 D．6解析：选D事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共有6个样本点．故选D.2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明()A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%解析：选D合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小．故选D.3．事件A发生的概率接近于0，则()A．事件A不可能发生B．事件A也可能发生C．事件A一定发生D．事件A发生的可能性很大解析：选B概率只能度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．故选B.4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指()A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为85%解析：选D概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．故选D.5．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列试验包含3个样本点的是()A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”解析：选A“至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个样本点．故选A.6．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析：选A由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．故选A.7．若A，B是互斥事件，则()A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1解析：选D∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．故选D.8．下列是古典概型的是()A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球} 解析：选C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本空间中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中两个样本点不是等可能的，故D不是．故选C.9．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为() A．374副B．224.4副C．不少于225副D．不多于225副解析：选C根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．故选C.10．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g 之间的概率约为( )A ．0.25B ．0.20C ．0.35D ．0.45解析：选A 袋装食盐质量在497.5～501.5 g 之间的有5袋，故所求概率P ≈0.25.故选A.11．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )A.12B ．13 C.14 D.15解析：选C 此试验的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，两胎均是女孩的样本点有1个，故概率为14.故选C. 12．某校新生分班，现有A ，B ，C 三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为( )A.13B ．15 C.53 D.34解析：选A 甲、乙两名同学分班有以下情况：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为39＝13.故选A. 13．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )A ．一定出现“6点朝上”B ．出现“6点朝上”的概率大于16C ．出现“6点朝上”的概率等于16D ．无法预测“6点朝上”的概率解析：选C 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关，由于正方体骰子质地均匀，所以它出现哪一面朝上的可能性都是16.故选C. 14．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为34，视力合格的概率为12，其他标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.38B ．110 C.320 D.340解析：选D 设这批学生“体型合格”为事件A ，“视力合格”为事件B ，“其他标准合格”为事件C ，因A ，B ，C 相互独立，所以P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝34×12×15＝340.故选D.15．设a 是掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )A.23B ．13 C.12 D.512解析：选A 此试验的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若方程有两个不相等的实根则Δ＝a 2－8＞0，满足上述条件的样本点有4个，故P ＝46＝23.故选A. 16．在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为( )A.16B ．13 C.12 D.23解析：选B 用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，此试验的样本空间Ω＝{(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )}，其中B 先于A ，C通过的样本点有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率P ＝26＝13.故选B. 17．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨机会为34C ．淋雨机会为12D ．淋雨机会为14解析：选D 用A ，B 分别表示下雨和不下雨，用a ，b 表示帐篷运到和运不到，则此试验的样本空间Ω＝{(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )}，则当样本点(A ，b )发生时就会被雨淋到，故淋雨的概率为P ＝14.故选D. 18．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件解析：选D P (A 1)＝35，若A 1发生，则P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，则P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，故A 1与A 2不是相互独立事件．故选D.19．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( ) A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A ，B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．故选C.20．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )A ．甲得9张，乙得3张B ．甲得6张，乙得6张C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张解析：选A 由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜．于是这两局有四种可能，即(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14.所以甲得到的游戏牌为12×34＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×14＝3(张)．故选A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)21．已知随机事件A 发生的频率是0.02，事件A 出现了10次，那么共进行了________次试验．解析：设共进行了n 次试验，则有10n＝0.02，得n ＝500，故共进行500次试验． 答案：50022．袋中有3只白球和a 只黑球，从中任取1只，是白球的概率为17，则a ＝________. 解析：由33＋a ＝17，得a ＝18. 答案：1823.如图所示，沿田字形路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率为________．解析：由A 到N 所有走法共有6种，而经过点C 的走法有4种，故P＝46＝23. 答案：2324．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有两个面涂有颜色的概率是________．解析：27个小正方体中两面涂有颜色的共有12个．如右图所示，每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中每一层中有4个小正方体恰有2个面涂有颜色．故恰有两个面涂有颜色的概率P ＝1227＝49. 答案：49 25．已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.解析：记两个零件中“恰有一个一等品”的事件为A ，则P(A)＝1－23×34－13×14＝512.答案：5 12三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．贫困地区：(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区依次填：0.533,0.540,0.520,0.520，0.512，0.503.发达地区依次填：0.567,0.580,0.560,0.555,0.552,0.550.(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.27．(本小题满分8分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1A2A3∪A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.28．(本小题满分9分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)甲、乙出手指都有5种可能的结果，甲出手指的每一个结果都可与乙出手指的任意一个结果配对，组成甲、乙出手指游戏的一个结果．用数字m 表示甲出手指的根数，数字n 表示乙出手指的根数．则数组(m ，n )表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间Ω＝{(m ，n )|m ，n ∈{1,2,3,4,5}}，其中共有25个样本点，因为A ＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以n (A )＝5，从而P (A )＝n (A )n (Ω)＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．设事件D ＝“和为偶数”，则D ＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}，所以n (D )＝13.所以甲赢的概率为P (D )＝1325，乙赢的概率为1－P (D )＝1225. 所以这种游戏规则不公平．B 卷——面向全国卷高考滚动检测卷(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件是随机事件的是( )①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在定义域上是增函数．A ．①③B ．①④C ．②④D ．③④解析：选C ②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．故选C.2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是( )A ．至多有2只不成对B ．恰有2只不成对C ．4只全部不成对D ．至少有2只不成对解析：选D 从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”．故选D.3．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%解析：选B 对于B ，设事件A 1为平均分不低于90分，事件A 2为平均分不高于90分，则A 1∩A 2为平均分等于90分，A 1，A 2可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选B.4．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节6个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁4位同学接到绘制二十四节气彩绘任务，现4位同学抽签确定每位同学完成一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )A.16B ．14 C.13 D.12解析：选B 由题意可知，每个人抽到的可能性都是相同的，因此甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是14.故选B. 5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选A 甲、乙等五位候选参赛者分别记为甲，乙，c ，d ，e .则从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人，该试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，c )，(甲，d )，(甲，e )，(乙，c )，(乙，d )，(乙，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )}共有10个样本点．事件A ＝{(甲，c )，(甲，d )，(甲，e )}，所以n (A )＝6，从而P (A )＝n (A )n (Ω)＝310＝0.3.故选A. 6．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( )A ．公平，每个班被选到的概率都为112B ．公平，每个班被选到的概率都为16C ．不公平，6班被选到的概率最大D ．不公平，7班被选到的概率最大解析：选D P (1)＝0，P (2)＝P (12)＝136，P (3)＝P (11)＝118，P (4)＝P (10)＝112，P (5)＝P (9)＝19，P (6)＝P (8)＝536，P (7)＝16.故选D. 7．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( )A ．P 1＝P 2<P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1<P 2＝P 3D ．P 3＝P 2<P 1解析：选B 先后抛掷两颗质地均匀的骰子的点数共有36个样本点：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个样本点都是等可能发生的，而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P 1<P 2<P 3.故选B.8．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可如图所示，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.9．2021年某省新高考改革方案正式出台，本科高校考试招生主要安排在夏季进行，考试科目按“3＋1＋2”模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，“1”由考生在物理、历史2门中选择1门，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为( )A.12 B ．13 C.14 D.16解析：选C “3＋1＋2”模式中选考科有(物理，生物，化学)，(物理，生物，地理)，(物理，生物，思想政治)，(物理，化学，地理)，(物理，化学，思想政治)，(物理，地理，思想政治)，(历史，生物，化学)，(历史，生物，地理)，(历史，生物，思想政治)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，(历史，地理，思想政治)，共12种情况，其中该学生选择考历史和化学的选法有(历史，化学，生物)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，共3种情况，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率是312＝14.故选C. 10．已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ∪A B ∪A B )＝0.44，则P (B )＝( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6 解析：选A 因为A ，B 是相互独立事件，所以A ，B 和A ，B 均相互独立．因为P (A )＝0.2，P (AB ∪A B ∪A B )＝0.44，所以P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.44，所以0.2P (B )＋0.8P (B )＋0.2[1－P (B )]＝0.44，解得P (B )＝0.3.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．下列各选项表述正确的是( )A ．若事件A 与事件B 为同一样本空间的两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )B ．若事件A 与事件B 互斥，则P (A )＋P (B )>1C ．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )D ．A B ∪A B 表示A ，B 两事件恰有一个发生解析：选CD 对于A ，同一样本空间内的两个事件A ，B ，只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立，A 错；对于B ，A 与B 互斥，则P (A )＋P (B )≤1，B 错；对于C ，由相互独立事件的定义可知，C 正确；对于D ，A B 表示A 发生且B 不发生，A B 表示A 不发生且B 发生，事件A B ∪A B 表示A ，B 两事件恰有一个发生，D 正确．故选C 、D.12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品为20件，二等品为70件，其余为次品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A ＝“是一等品”，B ＝“是二等品”，C ＝“是次品”，则下列结果正确的是( )A ．P (B )＝710B ．P (A ∪B )＝910C ．P (A ∩B )＝0D ．P (A ∪B )＝P (C )解析：选ABC 根据事件的关系及运算求解，A ，B 为互斥事件，故C 项正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，则A 、B 两项正确，D 项错误．故选A 、B 、C.13．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为( )A ．M ＝{掷出偶数点}，N ＝{掷出奇数点}B ．M ＝{掷出偶数点}，N ＝{掷出3点}C ．M ＝{掷出偶数点}，N ＝{掷出3的倍数点}D ．M ＝{掷出偶数点}，N ＝{掷出的点数小于4}解析：选ABD 对于A ，∵P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝0，∴事件M 与事件N 不独立； 对于B ，∵P (M )＝12，P (N )＝16且P (MN )＝0，∴事件M 与事件N 不独立； 对于C ，∵P (M )＝12，P (N )＝13且P (MN )＝16，∴事件M 与事件N 独立； 对于D ，∵P (M )＝12，P (N )＝12且P (MN )＝16，∴事件M 与事件N 不独立．故选A 、B 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)14．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．解析：设保护区内有这种动物x 只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以1 200x＝1001 000，解得x ＝12 000. 答案：12 00015．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 解析：此试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．记“甲，乙相邻而站”为事件A ，则A ＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，所以n (A )＝4，从而甲，乙两人相邻而站的概率为P (A )＝46＝23. 答案：2316．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点出现”，则事件A ∪B 发生的概率为________．( B 表示B 的对立事件)解析：事件A 包含的样本点为“出现2点”或“出现4点”；B 表示“大于等于5的点出现”，包含的样本点为“出现5点”或“出现6点”．显然A 与B 是互斥的，故P (A∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23. 答案：2317．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取一个球，事件A 为“取得白球”，则事件A －为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B 为“取得白球”，则事件B 为“取得红球”．因为事件A 与B 相互独立，所以事件A 与B 相互独立．所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P (AB ∪A －B －)＝P (AB )＋P (A －B －)＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＝23×12＋13×12＝12. 答案：12四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．解：四人中选两名代表，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}．(1)记“甲被选中”为事件A ，则A ＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)}，所以n (A )＝3，从而P (A )＝n (A )n (Ω)＝36＝12. (2)记“丁没被选中”为事件B ，则B ＝{(甲，乙)，(甲，丙), (乙，丙)}，所以n (B )＝3，从而P (B )＝n (B )n (Ω)＝36＝12. 19．(本小题满分14分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表：(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有可能结果为：由以上树状图知共有18个样本点，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4个样本点，故所求概率P ＝418＝29. 20．(本小题满分14分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710. (1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710. (1)易知事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A B － C －)＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－45×35×710＝83125. 21．(本小题满分14分)(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，＝0.025.故所求概率为502 000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，故所求概率估计为1－372＝0.814.2 000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．22．(本小题满分14分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1＝20(人)．(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，所以用分层抽样的方法在第3,4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3,4组中分别抽取3人，2人．记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，则从5名市民中选取2名做重点发言，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)}，其中共有10个样本点．设事件A ＝“第4组的2名B 1，B 2至少有一名被选中”，则A ＝{(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)}，共有7个样本点，所以n (A )＝7，所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为P (A )＝n (A )n (Ω)＝710. 23．(本小题满分14分)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为100×820＝40(人)． (2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，...，5，事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2， (8)由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2，…，8. P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，…，5，j ＝1,2，…，8. 设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.。