3.2 三维波动方程初值问题

r
1
udS
r 4 r2 SrM
a t 4 r2 SrM
t0
1
u dS 1
ut
dS
4 r SrM r
4a SrM r t0
1 dS 1 dS.
4 r SrM r
4a SrM r
从而，用 at 取代 r，Poisson公式得证。
定理1. 若 (x, y, z) C3, (x, y, z) C3, 则Poisson公式(2.5)
一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有
关的球对称函数 u , 通过 u 把 u 求出来。
考虑 u 在球面 SrM 上的平均值，即
u(r,t) 1 udS 1 u(, , ,t)d, (2.7)
4 r2 SrM
4 S1M
x r sin cos, 其中 y r sin sin, r 0, 0 , 0 2 ,
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
[(r
1
r at
( )d,
2ar rat
at)(r at) (at r)(at
r at r)]
0;
2r
1
r at
( )d,
r at 0.
a2t2 sin cos sin)d d t
2
sin (xz
4 0 0
xat cos zat sin cos a2t2 sin cos cos)d d.
由三角函数的周期性和正交性，有
2
2
0 sind 0 cosd 0,
0 cosd 0 sin cosd 0.
因此
u(x, y, z,t)
其中F(r + at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r -at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。
从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,t 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
x at sin cos, y at sin sin, dS a2t2 sin d d z at cos ,
于是
u(x,
y,
z,t)
t
t
4
1 a 2t 2
2 0
0
(
,
,
)a
2t
2
sin
d
d
+t
4
1 a2t
2
2 0
(, , )a2t2 sin d d
0
Байду номын сангаас t
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
uttdxdydz a2 [(ux )x (uy )y (uz )z ]dxdydz
BrM
BrM
a2 SrM
(ux ,uy ,uz )
ndS
a2
SrM
u dS n
a2 u r2d 4 a2r2 u .
S1M r
r
另一方面，由于
2
BrM uttdxdydz t2
r
udSd
将此二式相加，得
(ru ) r
1 a
(ru t
)
r
(u ) r
1 a
u t
u (r,t)
2F (r
at),
令 r 0, 有 u(x, y, z,t) u(0,t) 2F(at).
另一方面，在上式中取 t =0，有
2F
(r)
(ru r
)
1 a
(ru t
)
t 0
r
1
udS
1
t
4
2 0
(x at sin cos, y at sin sin,
0
z at cos )sindd t
2
(x at sin cos,
4 0 0
y at sin sin, z at cos )sin d d. (2.6)
(2) Poisson公式(5)的推导
推导思路——球平均法
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
0 SM
2 r u 2dd 4 2 r 2ud ,
t 2 0 S1M
t 2 0
故有
2
t 2
r 2ud a2r2 u .
0
r
此式两端关于 r 求导，有
2 t 2
(r2u )
a2
r
r
2
u r
.
于是 u 满足
2u t 2
a2 r2
r
r2
u r
,
即
2 (ru t 2
)
a2
z r cos ,
是球面 SrM 上的点的坐标， d 是单位球面上的面积元，且 有 dS r2 sin d d r2d ，则
u(M ,t) u(x, y, z,t) limu(r,t) u(0,t) ——球平均法 r 0
下面证明 ru 满足一维波动方程
[ru (r,t)]tt a2[ru (r,t)]rr (2.8) 设 BrM 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两 边在 BrM 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有
t
4 a2 SaMt
t
——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式
其中 SaMt 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。 为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面 SaMt
的方程为 ( x)2 ( y)2 ( z)2 (at)2.
设 P(, , ) 为球面上的点，则
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
即
y
r
sin
sin ,
Partial Differential Equations
Autumn 2013
Instructor : Y. Huang ylhuang@nuist.edu.cn
Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST
u(x, y, z,t)
1
2
t sin ( y at sin sin)(z at cos )d d
4 t 0 0
1
2
sin (x at sin cos)(z at cos )d d
4 0 0
1
2
t sin ( yz zat sin sin yat cos
4 t 0 0
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
§3.2 三维波动方程初值问题
三维齐次波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和
球平均法 泊松公式的物理意义 三维非齐次波动方程的初值问题
和推迟势
2. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播， 称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
记 d 和 D 分别为 M 点到区域 的最近和最远距离，则
(1)当 at d 初始函数 ,
时，即
td a
时，SaMt
与
不相交，SaMt 上的
为0，故u(M,t)=0。这说明扰动的前锋尚未
达到 M 点。
(2)当 d at D,即
d a
t
D a
时， SaMt
上的初始函数 ,
不
为0，故u一般不为0。这表明扰动正在经过M点。
ut2t
a2u
2 yy
,
y R,t 0
u
2
t 0
yz, ut2
t0
0,
yR
ut3t
a
u2 3 zz
,
z R,t 0
u3 t0 0, ut3 t0 0, z R
由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为
u1 1
xat
z d xzt,
2a xat
u2 1 [z( y at) z( y at)] yz, 2
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
(2.3)
(ru)tt rutt a2 (rurr 2ur ) a2 (ru)rr , 令 ru = v,则有 vtt a2vrr , 其通解可表示为
v F(r at) G(r at), r 0,t 0,
1
4
t
2 tyz
0
sin
d
t
4
2 xz
sin d
0
yz txz.
法二. 由于定解问题是线性的，故可由叠加原理，令
u u1 u2 u3, 其中 u1, u2 , u3 分别满足如下定解问题
ut1t
a
u2 1 xx
,
x R,t 0
u1 t0 0, ut1 t0 xz, x R
2
d
0
0
sin
cos
d
x y z.
例2. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u(x, y, z, 0) yz,ut (x, y, z, 0) xz,
(x, y, z) R3
解. 法一. 此处 yz, xz, 由Poisson公式(2.6)得
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
u(x, y, z,t)
t
1
(, , )dS +t
1
(, , )dS
t 4 a2t2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
1 (, , ) dS+ 1 (, , ) dS, (2.5)
4 a2 t SaMt
(3)当 at
D
时，即
t
D a
时，
SaMt
与
也不相交，因而同
样 u(M,t)=0，这说明扰动的阵尾已传过M点，M又恢复到
静止状态。
三维空间的初始局部扰动，在不同的时间内对空间每一点发
生影响，且波的传播有清晰的前锋和阵尾，这种现象物理上
称为惠更斯(Huygens)原理或无后效现象。
现实生活中声音的传播就是一例：从某处发出声音，经过一
段时间后，才能听到，再经过一段时间之后恢复到静止状态。
例3. 高空大气中有一半径为1的球形薄膜，薄膜内的压强超
过大气的数值为 P0 , 假定该薄膜突然消失，将会在大气中激
起三维波，试求球外任意位置的附加压强P。 解. 设薄膜球心到球外任意一点的距离为d，则其定解问题为
解. 由Poisson公式(2.6)得
u(x, y, z,t) 1 t 2 x y z 4 t 0 0
at(sin cos sin sin cos )]sin d d}
1
4
t
t(x y z)
2
d
0
sind
0
at2
2
(sin cos)d
sin2 d
0
0
at2
2 (ru r 2
)
.
即 ru 满足一维波动方程。
所以 ru(r,t) F(r at) G(r at) (2.9)
对(2.9)两边分别关于 r 和 t 求导，有
(ru ) r (u ) u (r,t) F(r at) G(r at),
r
r
1 (ru ) F(r at) G(r at), a t