10函数的表示方法

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函数的表示方法

某工厂加工一批产品,为了提前交货, 规定每个工人完成100个以内(包括100 个),按每个产品2元付酬;超过100个,超过部分每个产品付酬增加0.2元; 求:
(1)每个工人完成100个以内所得报酬y(元)与产品数x(个)之间的函数关系;
≤x≤ y 2x (0 100)
(2)每个工人完成100个以上所得报酬 y(元)与产品数x(个)之间的函数关系; 即
0
0
1
10
2
30
4
20
5
0
5
11 12 22 24源自（2）小明走到离家最远的地方用了多少小时？距家多远？
（3）小明哪一段时间骑自行车速度最快？哪一段最慢？
（4）小明什么时间与家相距20千米？
尝试练习
甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒，现甲车在乙车前面500米，设x 秒后两车之间的距离为y米。求y 随x（0≤x≤100)变化的函数解析式，并画出函数图象。
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.
图象法
就是用图象来表示函数关系的方法。
图象法
优点：直观、形象地表示出函数中两个变量之间的关系，同时结合图象也可以直观地研究函数的性质，如图象的位置、最大值、最小值等。缺点：由观察图象所得到的数据、数量关系一般都是近似的，往往不够准确。
函数的表示方法
泽国第三中学初二数学组
我们上节课里已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数。这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法。列表格
写式子画图象
列表法解析式法图象法
这就是我们这节课要研究的内容

log10函数表示方式

log10函数表示方式
log10函数是以10为底的对数函数，通常表示为log10(x)，其中x是函数的自变量。

这个函数的定义是，对于任意正实数x，
log10(x)的值是使得10的这个幂次方等于x的实数。

换句话说，如果y = log10(x)，那么10的y次方等于x。

这个函数在数学和工程领域中经常被使用，特别是当处理和分析以10为底的数据时。

在计算机编程中，log10函数通常由数学库提供，可以通过调用库中的函数来计算。

在大多数编程语言中，log10函数的调用方式是类似于log10(x)，其中x是要计算的数值。

这个函数的返回值是x的以10为底的对数。

另外，log10函数在图表和数据可视化中也经常被使用，特别是当需要展示以10为底的数据变化趋势时。

通过对数据取log10，可以将数据压缩或扩展，使得数据的变化更加直观和易于观察。

总的来说，log10函数是以10为底的对数函数，用来表示一个数值在10的幂次方上的指数。

它在数学、工程、计算机编程和数据可视化等领域都有着广泛的应用。

excel科学计数法10的负次方

Excel科学计数法是一种方便表示大数字或小数字的方法，在Excel中，科学计数法的表示方法是采用10的n次方来表示一个数，其中n为整数，且保留一位小数。

当数值太大或者太小的时候，科学计数法可以使数据更加清晰易读。

本文将介绍在Excel中如何使用科学计数法表示10的负次方，以及使用科学计数法的应用场景。

一、使用步骤1. 打开Excel表格，在需要输入科学计数法的单元格中输入等号“=”。

2. 然后输入基数10。

3. 输入“^”，表示乘方。

4. 输入负的次方数，如果需要表示10的负五次方，就输入“-5”。

5. 按下回车键，就可以得到科学计数法表示的结果。

二、示例下面通过一个具体的示例来演示如何在Excel中使用科学计数法表示10的负次方。

假设需要表示10的负五次方，即0.00001。

按照上述步骤，在单元格中输入“=10^-5”，然后按下回车键，就可以得到0.00001这个结果。

这样就使用科学计数法成功表示了10的负五次方。

三、应用场景科学计数法的表示方法在处理一些非常大或者非常小的数据时非常实用。

例如在科学研究或者工程领域中，往往会面对非常庞大或者微小的数据。

通过使用科学计数法，可以便于进行数据的处理和分析，能够准确地表示这些数据，避免数据显示不清晰甚至溢出的情况。

另外，在日常生活中，一些财务数据或者经济数据也往往会采用科学计数法进行表示，这样可以使数据更加直观清晰，方便人们进行比较和分析。

科学计数法在Excel中的应用非常广泛，能够帮助用户更加方便地处理和显示数据，避免数据过大或者过小而导致的显示问题。

掌握科学计数法的表示方法，对于使用Excel进行数据处理的人来说是非常重要的。

四、注意事项在使用科学计数法时，有一些需要注意的地方，例如负次方的输入格式、结果的精度等。

在进行数据处理和分析时，也需要根据具体的情况选择合适的表示方法，避免出现数据误差或者显示不准确的情况。

本文介绍了在Excel中使用科学计数法表示10的负次方的方法，同时也探讨了科学计数法在数据处理和分析中的应用场景。

函数的表示法

优点：不需要计算就可以直接看出自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中有广泛的利用．如银行利率表、列车时刻表等．
函数的表示法
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是
什么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数的实例．
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
银行利率表
函数的表示法
问题：
在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法．你能分别说说这三种表示方法吗？
实例3
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如前面的实例（3）．
下面是我国“八五”计划以来的恩格尔系数表．
时间
（年）
城镇居民家庭恩格
尔系数（%）
1991 53.8
1992 52.9
1993 50.1
函数的表示法
思考三：所有的函数都能用解析法表示吗?
试举出一些实例来说明．
不是所有的函数都能用解析法表示的．比如前面提到的股市走势图就不能用一个具体的解析式来表示出．
有些函数尽管能用解析式表示出，但也不是一个解析式．
函数的图象例3．画出函数 y | x | 的图象.
解：由绝对值的概念，我们有:
函数的表示法
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是
什么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数的实例．
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
股市走势图
函数的表示法
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是
什么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数的实例．
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
1.2.2 函数的表示法
函数的表示法

cognos10函数介绍(中文含示例)

常用函数abs ( 数字型表达式 )返回“数字型表达式”的绝对值。

负值作为正值返回。

例如: abs ( 15 )结果：15例如: abs ( -15 )结果：15cast ( 表达式 , 数据类型规范 )将“表达式”转换为指定的数据类型。

某些数据类型允许指定长度和精度。

确保目标的类型和大小适当。

可将以下各项用于“数据类型规范”: 字符、可变字符、char、数字、小数、整数、小整数、实数、浮点、日期、时间、时间戳、带有时区的时间、带有时区的时间戳以及时间间隔。

类型转换为时间间隔类型时，必须指定以下一种时间间隔限定符: 对于“年到月”时间间隔数据类型，指定年、月或年到月；对于“日到秒”时间间隔数据类型，指定日、小时、分、秒、日到小时、日到分、日到秒、小时到分、小时到秒或分到秒。

注意:将时间戳类型的值转换为日期类型时，时间戳值的时间部分会被忽略。

将时间戳类型的值转换为时间类型时，时间戳的日期部分会被忽略。

将日期类型的值转换为时间戳类型时，时间戳的时间部分会被设置为零。

将时间类型的值转换为时间戳类型时，日期部分会被设置为当前系统日期。

将某种时间间隔数据类型转换为其它类型是无效的(例如，因为某月的天数是不一样的)。

请注意，您仅可以指定前导限定符的位数，例如，年(4) 到月、日(5)。

如果目标类型和大小与源类型和大小不匹配，将会报告错误。

例如: cast ( '123' , 整数 )结果：123例如: cast ( 12345 , 可变字符( 10 ) )结果：包含12345 的字符串ceil ( 数字型表达式 )返回大于或等于“数字型表达式”的最小整数。

ceiling ( 数字型表达式 )返回大于或等于“数字型表达式”的最小整数。

例如: ceiling ( 4.22 )结果：5例如: ceiling ( -1.23 )结果：-1char_length ( 字符串型表达式 )返回“字符串型表达式”中包含的逻辑字符数。

函数的表示方法

（2）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。
(1)理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数;
(2)注意分段函数的表示方法及其图像的画法．
日常生活中存在着丰富的对应关系.
(1)对于高一八班的每一位同学,都有一个学号与之对应. (2)我国各省会，都有一个区号与之对应.
再如，某天一昼夜温度变化情况如下表
1993 34560.5
时刻 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
温度/(OC) -2 -5 4
9
8.5 3.5 -1
数学用表中的三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等
系的.公共汽车上的票价表
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的
对应值。
3.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如：我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点：能直观形象的表示出函数的变化情况。
• 函数的图像从“形”的方面揭示了函数的变化规律，是数学的图形语言，图像法是解决函数问题的常用方法，利用函数的图像既有利于掌握各类函数的性质，又能运用“数形结合”的方法去解决某些问题。
函数值；
（3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用解析法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.列表法：列出表格来表示两个变量的
的对应关系。
例如：
国内生产总值：
单位：亿元
年份 1990
1991

excel以10为底指数函数公式

Excel是一款广泛应用于办公和数据分析领域的电子表格软件，它提供了丰富的数学和统计函数，其中包括指数函数。

在Excel中，我们可以使用指数函数来计算以指数为底的数的幂。

本文将介绍Excel中以10为底的指数函数公式，并通过具体实例来展示其用法和计算方法。

1. 指数函数概述指数函数是数学中常见的一种函数形式，通常写作y = a^x，其中a 为底数，x为指数，y为幂。

在Excel中，我们经常会用到以10为底的指数函数，这种函数形式通常表示为10^x。

2. Excel中以10为底的指数函数公式在Excel中，以10为底的指数函数通常使用函数“10^x”来表示。

具体的公式格式为：```=10^x```其中，x为指数的取值。

这个公式表示计算10的x次幂的结果。

3. 以10为底的指数函数的计算方法要使用Excel中以10为底的指数函数来计算指定指数的数值，我们可以按照如下步骤进行操作：- 在需要计算结果的单元格中输入公式“=10^x”，其中x为指定的指数值。

- 按下回车键，Excel将会立即计算出10的x次幂的结果并显示在该单元格中。

4. 以10为底的指数函数的应用实例为了更好地理解以10为底的指数函数在Excel中的使用方法，我们可以通过一个具体的实例来进行演示。

假设我们需要计算10的平方、立方和四次方的结果，我们可以按照以下步骤在Excel中进行操作：- 在一个空白的工作表中选择三个单元格，分别标记为A1、A2和A3。

- 在A1单元格中输入公式“=10^2”，按下回车键得到结果100。

- 在A2单元格中输入公式“=10^3”，按下回车键得到结果1000。

- 在A3单元格中输入公式“=10^4”，按下回车键得到结果xxx。

通过以上实例，我们可以清楚地看到，以10为底的指数函数公式在Excel中的简单而直观的计算方法。

5. 总结以10为底的指数函数在Excel中是一个非常基础但实用的数学计算工具，它可以帮助用户轻松地进行各种指数运算。

函数的性质10份

函数的基本性质一．单调性（一）．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当时都有，那么就说()f x 在这个区间上是。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当时都有，那么就说()f x 在这个区间上是。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有，这一区间叫做()y f x =的。

（二）.单调性的判定方法 1定义法证明方法和步骤如下：（1）.设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2）.作差：)()(21x f x f -；（3）.变形：（如因式分解、配方等）；（4）.定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（5）.定论。

2.图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

例1.证明：函数1()f x x=在(0,)+∞上是减函数。

例2.讨论函数f (x )＝axx －1(a ＞0)的单调性．例2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--；（2）29y x =-注：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集。

练习：1．根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。

2.函数f (x )＝1－1x －1 ( )．A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 3．若y ＝(2k ＋1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )． A ．k ＞12 B ．k ＜12 C ．k ＞－12D ．k ＜－124．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么( )． A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥25．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 二、奇偶性探究()f x =x 2的图像与()f x =x 的图像。

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式泰勒展开公式是一种将一个函数表示为无穷级数的方法。

它在数学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。

下面是十个常用的泰勒展开公式：1.正弦函数的泰勒展开公式：正弦函数在x=0附近的泰勒展开公式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...2.余弦函数的泰勒展开公式：余弦函数在x=0附近的泰勒展开公式为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...3.指数函数的泰勒展开公式：指数函数在x=0附近的泰勒展开公式为：exp(x) = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...4.自然对数函数的泰勒展开公式：自然对数函数ln(x+1)在x=0附近的泰勒展开公式为：ln(x+1) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...5.正切函数的泰勒展开公式：正切函数在x=0附近的泰勒展开公式为：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ...6.双曲正弦函数的泰勒展开公式：双曲正弦函数在x=0附近的泰勒展开公式为：sinh(x) = x + (x^3)/3! + (x^5)/5! + (x^7)/7! + ...7.双曲余弦函数的泰勒展开公式：双曲余弦函数在x=0附近的泰勒展开公式为：cosh(x) = 1 + (x^2)/2! + (x^4)/4! + (x^6)/6! + ...8.幂函数的泰勒展开公式：幂函数(x+a)^n在x=a附近的泰勒展开公式为：(x+a)^n=a^n+n*a^(n-1)*(x-a)+(n*(n-1)/2!)*a^(n-2)*(x-a)^2+...9.三角函数的泰勒展开公式：三角函数的泰勒展开公式可以通过将正弦函数和余弦函数的展开式结合来得到更复杂的三角函数的展开式。

matlab的对数

matlab的对数
函数
Matlab中的对数函数包括对数函数（log）和自然对数函数（ln）。

这些函数可以帮助用户进行数学运算，同时也能用于科学领域的计算。

对数函数（log）是以10为底数的对数函数，可以表示为log10(x)，
其中x是正实数。

这个函数被广泛用于科学和工程领域，比如用于测
量声音和地震的强度，以及计算电信号的功率和电压。

自然对数函数（ln）是以自然数e为底数的对数函数，可以表示为
ln(x)，其中x是正实数。

这个函数也被广泛用于科学和工程领域，比
如用于计算复利和人口增长率。

在Matlab中，使用这些对数函数十分容易。

用户只需要在命令窗口
中输入函数名和参数即可。

例如，要计算10的对数，用户可以输入
log10(10)，结果将会是1。

同样地，要计算e的对数，用户可以输入log(exp(1))，结果将会是1。

这是因为exp(1)等于e，所以输入
log(exp(1))就等于ln(1)，结果为1。

Matlab中的对数函数还可以用于绘制图表。

用户只需要在绘图命令中
使用对数函数，就可以制作出对数坐标轴图表。

这在处理大量数据和广泛数值范围时非常有用。

总之，Matlab中的对数函数是处理数学和科学问题的重要工具。

无论是在数学课堂上还是在工程和科学领域中，对数函数都是必须掌握的知识。

掌握这些函数的使用方法，将有助于用户更好地理解和解决各种问题。

高一数学函数的常用表示方法

钱数y
5 10 15 20 25
例4 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来，如下表，那么就能比较直观地看到成绩变化地情况。这对我们地分析很有帮助。
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y 5 4 3○ 2 ○○ 1
○ ○
0 5 10 15 20
有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。
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2.1.2函数表示法课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。
已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是（0，20]

10函数的表示法

10函数的表示法函数的表示法是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在教学中，我们通常会用不同的方式来表示一个函数，以便更好地理解它的性质和特点。

下面将介绍十种常见的函数表示法。

1.文字描述法：使用自然语言来描述函数的定义和性质。

例如，对于函数f(x)，我们可以描述为“f(x)是一个将x映射到其平方的函数”。

2.明确法：使用一个式子来表示函数的定义。

例如，f(x)=x^2表示一个将x映射到其平方的函数。

3.函数图像法：将函数表示为一个图像，其中x轴表示输入，y轴表示输出。

通过观察图像的形状和特点，我们可以了解函数的性质。

例如，对于f(x)=x^2，其图像是一个开口向上的抛物线。

4.表格法：将函数的输入和输出记录在一个表格中。

例如，对于f(x)=x^2，我们可以列出输入和输出的对应关系，如x=1时，f(x)=1；x=2时，f(x)=4；以此类推。

5.函数关系法：使用等式或不等式来表示函数的性质。

例如，对于f(x)=x^2，我们可以表示为x^2=y。

6.函数符号法：通常用单个字母来表示一个函数，例如f(x)或g(x)。

这种表示法简单明了，易于阅读和书写。

7.函数定义域和值域法：用数学符号来表示函数定义的范围和输出的范围。

例如，对于f(x)=x^2，定义域为所有实数，值域为非负实数。

8.函数性质法：用一组性质或定理来描述函数的特点。

例如，对于f(x)=x^2，它是一个偶函数，即f(x)=f(-x)。

9.组合函数法：将多个函数组合在一起形成一个新函数。

例如，f(g(x))表示先对x应用函数g，再将结果应用于函数f。

10.函数模型法：用一个函数模型来表示一个复杂的现象。

例如，在物理学中，我们可以用f(t)=a*t^2+v0*t+x0来表示自由落体运动的位移，其中t表示时间，a表示加速度，v0表示初速度，x0表示起始位置。

这些函数表示法在教学中起着重要的作用，帮助学生更好地理解函数的概念和性质。

以10为底的对数函数

以10为底的对数函数一、概述对数函数是数学中常见的函数之一，以10为底的对数函数是其中一种常见形式。

本文将深入探讨以10为底的对数函数的定义、性质、图像及应用等方面内容，以帮助读者更好地理解和应用这一函数。

二、定义以10为底的对数函数可以表示为：y=log10(x)其中，x表示正实数，y表示对数函数的值。

这个函数的特点是以10为底的对数运算。

三、性质以10为底的对数函数具有以下性质：3.1 定义域和值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

值域为实数集。

3.2 对称性以10为底的对数函数关于直线x=1对称。

即对于任意x>1，有log10(x)= )。

log10(1x3.3 单调性对数函数是递增函数，即当a<b时，log10(a)<log10(b)，其中a和b都是正实数。

3.4 奇偶性对数函数是奇函数，即对任意正实数x，有log10(−x)=−log10(x)。

3.5 渐近线对数函数的图像有两条直线渐近线：y=0和x=0。

四、图像以下是以10为底的对数函数的图像特点：4.1 定点对数函数的图像经过点(1,0)，该点为函数的对称中心。

4.2 水平渐近线对数函数的图像在y轴上有一条水平渐近线y=0。

当x趋近于0时，y无限趋近于−∞。

4.3 垂直渐近线对数函数的图像在x轴无垂直渐近线。

4.4 函数图像以10为底的对数函数的图像是递增的，并且在趋近于0时变得越来越陡峭。

同时，与y轴的距离趋近于无穷大。

五、应用以10为底的对数函数在实际应用中有广泛的用途，下面是一些典型应用：5.1 测量倍数关系对数函数常用于测量具有倍数关系的事物。

例如，星等系统中用对数函数来衡量星星的亮度分级，每相邻两个星等之间相差一个固定的数量级。

5.2 数据压缩与处理在计算机科学中，对数函数常用于数据的压缩与处理。

例如，log压缩可以将动态范围较大的音频信号压缩为较小的范围，以便存储和传输数据。

5.3 信号处理对数函数在信号处理中起着重要作用，例如语音和图像处理。

10.函数的表示法

10.函数的表示法教学目标1.掌握函数的三种表示方法（图像法、列表法、解析法）；2.待定系数法，换元法；教学重点1.进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；2.培养抽象概括能力和解决问题的能力；.教学难点1.掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；2.待定系数法，换元法；教学过程1.引入我们再看书23页开头3个问题.第1个问题用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法称为列表法；第2个问题用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法称为解析法；第3个问题用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法.这些就是今天学习内容“函数的表示方法”.2.建构带领学生看书上例1、例2、例3列表法、解析法、图像法是表示函数的3种常用方法.这3种表示法各有优点：（1）列表法简洁明了，函数的“输入值”与“输出值”一目了然，不必计算；（2）解析法表示函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质，解析法是我们研究函数问题的主要形式；（3）图象法的优点是能直观地反映函数值随自变量值变化的趋势.3.运用1）求值、图象例1：已知⎩⎨⎧<+≥+=0,120,1)(2x x x x x f（1）求)1(f ，)2(-f ，)]0([f f 的值； )]([a f f 呢？（2）画出)(x f 的图象.变式：⎩⎨⎧<+≥-=6),2(6,2)(x x f x x x f ，（1）求)3(f 的值；（2）作图.2）待定系数法例2 ：已知)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f .说明：一般地，求一次（二次）函数的解析式常用方法是“待定系数法”.例3：（1）已知x x x f -=-2)12(，求)(x f ；（2）已知11)1(22++=+x x x x f ，求)(x f .3）抽象函数的表达式例4：已知3()2()2f x f x x +-=，求f (x )的表达式。

10相干传递函数

I i i i i i I i i i i i
i
2 ~ FT h x i , yi 2 ~ h xi , yi dxi dyi

i
i

i

H , H , H , dd
2

说明：对于同一个系统来说，光学传递函数H 数的自相关归一化函数。
由于物的大小是像的 l / l 倍，因而物的截止频率为
l D 20mm 0c c 8.3mm 1 l 2l 2 600 10 6 mm 2000mm
光学传递函数
（Optical Transfer Function，OTF）
对于非相干光照明下的衍射受限系统，表征系统的成像质量的指标就是光学传递函数。非相干成像系统是强度的线性空不变系统（LSI）。一. 非相干光照明下，衍射受限系统的成像规律

D 2d i

截止频率为 c
D 2d i
若D=60mm，di=200mm， 600 nm
60 250 mm 1 则 c 2 600 10 3 200
注：像面上的截止频率物面上的截止频率为

c ；
oc M c 。
EXAMPLE
三. 对OTF的理解
因为余弦函数是线性空不变系统（LSI）的本征函数，即有
f x, y aL f x, y
经过成像系统
Ig
物
Ii
像
x0
~ y ~ I g x0 , ~0 a b cos 2 0 x0 ,0 ~0 g 0 ,0 y
i i i i 2 i i
令
d i x , d i y

八年级秋季班-第10讲函数的概念及表示法

内容分析知识结构模块一：函数的概念知识精讲函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 允许的取值范围内，变量y 随着x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量.函数用记号y =f (x) 表示，f (a) 表示x =a 时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数例题解析（5）2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】（1）在正方形的周长公式l = 4a 中，a 是自变量，是的函数，是常量；（2）面积是 S (cm 2 ) 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是，其中自变量是．（3）圆的周长 C 与半径 r 之间的函数关系是，其中常量是，变量是．【例2】在匀速运动中，若用 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子 s = vt ，下列说法中正确的是（）A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与 v 是变量，t 是常量C ．v 与 t 是变量，s 是常量D ．s 与 t 是变量，v 是常量【例3】下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断 y 是否是 x 的函数？为什么？（1） y = 2x ；（2） y =| 3x | ；（3（4x 1 2 3 4y1122y 1 2 3 4 x1122x ± x x 2+ 2x + cx - 1 【例4】下列各式中，不是函数关系式的是（）A ．y = B ． y =C ．y = D ．y =【例5】判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1）长方形的宽 a （cm ）固定，其面积 S 与长 b ；（2）长方形的长 a 固定，面积 S 与周长 c ；（3）三角形一边上的高为 4，三角形的面积 y 与这边长 x ；（4）等腰三角形顶角的度数 x 与底角的度数 y ．【例6】填空：（1）函数 y = -3x 2 + 2 ，当 x =，函数 y 的值等于 0；（2）若函数 y =1 的自变量 x 的取值范围是一切实数，则 c 的取值范围是．【例7】求下列函数的定义域：12x 2 （1） y = - | x | -4（2） y =；x（3） y = 5x；（4） y =．- x -x x - 3 x - 2 + (x - 5)0A F ECB D【例8】将x =2 y -1写成y =f (x) 的形式，并求f (0) ，f (-3) ，1≠3，a ≠ 0) ，3y + 2f (a +1)（a ≠-1）的值．3f ( )(aa 2【例9】A、B 两地路程为160 千米，若汽车以50 千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系式．【例10】已知水池的容量为100 m3 ，每小时灌水量为Q m3 ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为 5 m3 时，灌满水池需多少时间?【例11】如图，△ABC 与正方形BDEF，其中∠C=90°，AC=BC=BD=8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2 个单位/秒向右平移，设移动的时间为t，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】已知等腰三角形周长为24cm，（1）若腰长为x，底边长为y，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）若底边长为x，腰长为y，求y 关于x 的函数关系式及定义域．AEC DB【例13】如图，在△ABC 中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D 、E 分别是边 BC 、BA 上的动点（不与端点重合），且 DE ⊥BC ，设 BD = x ，将△BDE 沿 DE 进行折叠后与梯形 ACDE 重叠部分的面积是 y ：（1）求 y 和 x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当 x 为何值时，重叠部分的面积是△ABC 面积的 1．4AC备用图BAC 备用图BAC备用图B1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是y=k ，或表示为y =kxx（x不等于0），k是不等于零的常数.(2)解析式形如y =kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y =kx 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y =kx ( k 是常数, k ≠ 0 )的图象是经过(0 ，0) ，(1，k) 这两点的一条直线，我们把正比例函数y =kx 的图象叫做直线y =kx ；(2)图像画法：列表、描点、连线．3．正比例函数的性质(1)当k > 0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当k < 0 时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【例14】下列各变量成正比例函数关系的是（）A．圆的面积与它的半径B．长方形的面积一定时，长与宽C．正方形的周长与边长D．三角形面积和高【例15】下列函数中，是正比例函数的是（）A．y =3(k ≠ 0)kB．y = (k + 2)x(k ≠-2)C．y = 1(k ≠ 0)kxD．y =kx2 (k ≠ 0)模块二正比例函数知识精讲例题解析【例16】（1）已知函数y=(m-2)x m2-3 是正比例函数，则m= ；（2）当a 时，函数y = (a +1)x 是正比例函数．【例17】（1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当x =-1时，y = 2 ，当x = 3 时，y = 2；（2）已知y -1与3x 成正比例，且当x =-1时，y = 4 ，则y 与x 之间的函数关系式是．【例18】（1）若点B（b，-9）在函数y = 3x 的图像上，则b= ；（2）若将点P（5，3）向下平移1 个单位后，落在直线y =kx(k ≠ 0) 的图像上，则k= ．【例19】（1）如果正比例函数y =；x2m -1的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是（2）函数y = (1-k)x 的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围．【例20】（1）已知y 与x 之间的函数关系式是y = 2x -1，那么y 与x （填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知3y =x - 9 ，y 与成正比例关系，k= ．【例21】（1）已知2 y- 3 与4x + 5 成正比例，且当x =1时，y =15 ，求y 与x 的函数关系式；（2）已知y = (k - 2)x +k 2 +k - 6 为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】若y = (2 - 3t)x4+3t 是正比例函数，又y = 7x -12 ，当x 取何值时y >y ．1 2 1 2【例23】已知y 是x 的正比例函数，且当x = 3 时，y =-1 ：（1）求出这个函数的解析式；（2）在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；（3）如果点P（a，4）在这个函数图像上，求 a 的值；（4）试问：点A(-6，2)关于原点对称的点B 是否在这个图像上?【例24】已知正比例函数的图像过第四象限且过(-2，3a)和(a，-6)两点，求此正比例函数的解析式．【例25】点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm 的蜡烛，点燃3 分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x 分钟后，剩余长度ycm ，求y 与x 的函数解析式及x 的取值范围．【例26】已知三角形ABC 的底边AB 的长为3，AB 边上的高为x，面积为y，（1）写出y 和x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图像．【例27】（1）已知直线y =ax 是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数y = (2m +1)x 的值随x 的增大而减小，且函数y = (1- 3m)x 的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】正比例函数的解析式为y = (k 2 -1)x ，（1）当-1 <k < 1 时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？（2）若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】已知正比例函数的自变量增加 4 时，对应的函数值增加6，（1）求这个函数解析式；（2）当x = 6 时，求y 的值；（3）当y = 4 时，求x 的值；（4）当-2 ≤x ≤ 4 时，求y 的取值范围；（5）当-6 ≤y ≤ 6 时，求x 的取值范围．【例30】m 取何值时，y 关于x 的函数y = (m + 3)x2m+1 + 4x 是正比例函数．【例31】已知直角三角形ABC 中，∠C=90°AC=6，AB=12，点D、E、F 分别在边BC、AC、AB 上（点E、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点H，设CE=x，BF=y，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】已知一正比例函数y =mx 图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ⊥y 轴，垂足为点Q，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．【例33】如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P，（1）若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的3 倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．xx2x - 3【习题1】下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】在函数 y = + 中，自变量x 的取值范围是（）．A ． x ≥ 0 C ． x = 0B ． x ≤ 0 D ．任意实数【习题3】下列各点，不在函数 y =- 2 x 图像上的是（）．3A ．（1， - 2 ）B ．（3，-2）C ．( - 2 ， 1)D ．（-6，4）3 3 3【习题4】（1）若函数 y = (m 2 - m )x m 2是正比例函数，则 m 的值是；（2）已知 y = kx 是正比例函数，且当 x =2 时 y =3，则比例系数是．【习题5】求下列函数的定义域：（1） y =x2x - 3；（2） y =x；（3） y = 1x + 2；（4） y =1 - 2x ．1 + x随堂检测AB CD-x x - 2【习题6】若x=2y+1，用含x 的式子表示y；若y=f(x)，试求f (1) ，f(0)，f(a-1)(a≠3)，y - 1f (-x)(x ≠-2) 的值．【习题7】已知正比例函数y=(k-1)x k2 -3 的值随自变量x的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】（1）已知y - 3 与x + 2 成正比例，当x=3 时，y=7，求y=9 时，x 的值；（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图像过A（1，a）、B（a+1，6），求函数的解析式．【习题9】已知y =y - 2 y ，y 与x2 成正比例，y 与3x + 1成正比例．且当x = 1时y = 5 ，1 2 1 2当x =-1时y = 3 ，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】已知正比例函数的图像过点(- 3，23)．（1）若点(a ，- 2) ，( 3 ，b) 在图像上，求a、b 的值；AD PCB（2）过图像上一点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q (0 ，- 15) ，试求三角形 OPQ 的面积．【习题11】在直角三角形 ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于 D ，在 CD 上取一点 P （不与 C 、D 重合），设三角形 APB 的面积是 y ，CP 的长为 x ，求 y 和 x 的函数关系式，并写出函数的定义域．【习题12】如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13， S 梯ABCD = 40 ，P 是一动点，沿 AD 、DC 由 A 经 D 点向 C 点移动，设 P 点移动的路程是 x ．（1）当 P 在 AD 上运动的时候，设 S ∆PAB = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2）当点 P 继续沿 DC 向 C 移动时，设 S ∆PAB = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式．APDC【作业1】三角形 ABC 中∠A =90°，AB =4，BC =5，P 是 AC 边上一动点，点 P 不与 A 、C重合，则该图中线段是常量，线段是变量；若 AP=x ，设 S ∆BPC = y ，写出 y 关于 x 的函数关系式，自变量 x 的取值范围是．【作业2】下列变量之间的变化是函数关系的是（只填序号）．（1）正方形的面积和它的周长；（2）长方形的面积和它的周长；（3）y = ± x (x ≥ 0) ；（4） y =| x | ；（5） y = x (x < 0)【作业3】（1）已知 f (x ) = 2x ，f (a - 2) = 6 ，则 a 的值是；（2）已知 f (x ) = 2x 2 -1，g (x ) = -2(x +1)2，则f (- 3) + 1 =．g ( )42【作业4】（1）函数 y =| x + 3 | 的定义域为； x 0（2）函数 y = x -1 -1 的定义域为；（3）函数 y = x - (x - 3)0的定义域为．【作业5】 y - 2 与3x 成正比例，当 x =2 时，y =11，求 y 与 x 之间的函数关系．【作业6】（1）已知直线 y = (m + 3)x k 2+ m 2 - 9 是正比例函数，求 mk 的值；课后作业x - 2ABCD墙xy（2）已知 y = (m 2 - 4m )x m2-15是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线 y = (k - 2)x + k 2 - 5k 经过原点，且 y 的值随 x 的值的增大而减小，求 k的值．【作业7】等腰钝角三角形 ABC 中，底边长为 8，面积是 S ，底边上高 AD 为 h ，试求出 S与 h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．【作业8】（1）某同学用 20 元钱买水笔，其单价为 3.5 元，求买水笔余下的钱 y 与买水笔的数量 x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为 18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为 35cm ，求养鸡场的一边长为 y （cm ）与另一边长 x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【作业9】已知直线 y = kx 过点（ - 1 2，3），A 为 y = kx 图像上的一点，过点 A 向 x 轴引垂线，垂足为点 B ， S ∆AOB = 5（1）求函数的解析式；（2）在平面直角坐标系内画出函数的图像；（3）求点 A 、B 的坐标．【作业10】过正比例函数图像上的一点 Q (3 - a ，5 - a ) 在第二象限，（1的值；（2）若 a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点(k ，- k ) 在不在函数图像上．【作业11】已知正比例函数过点 A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且 S ∆ABP = 10 ，求点 P 的坐标．。

sas中以10为底的指数函数

SAS中以10为底的指数函数概述在SAS中，可以使用LOG10函数来计算以10为底的对数。

LOG10函数的语法格式如下：LOG10(number)其中，number是要计算对数的数字。

LOG10函数返回一个数字，该数字表示以10为底的number的对数。

示例以下是一些使用LOG10函数的示例：/ 计算10的LOG10值 /data log10_example;x = 10;log10_x = log10(x);output;run;/ 输出： //x log10_x--- -------10 1// 计算多个数字的LOG10值 / data log10_example;input x;datalines;101001000;log10_x = log10(x);output;run;/ 输出： //x log10_x--- -------10 1100 21000 3// 计算负数的LOG10值 / data log10_example;x = -10;log10_x = log10(x); output;run;/ 输出： //x log10_x--- --------10 .注意LOG10函数只能计算正数的对数。

如果要计算负数的对数，可以使用LOG函数。

LOG10函数的返回值是一个数字，该数字表示以10为底的number的对数。

如果要计算以其他底数的对数，可以使用LOG函数。

LOG10函数是单调递增函数，这意味着随着number的增加，LOG10(number)的值也会增加。

LOG10函数是凸函数，这意味着随着number的增加，LOG10(number)的值的增长速度会越来越慢。

结论LOG10函数是一个有用的函数，可以用来计算以10为底的对数。

LOG10函数有很多应用，包括计算科学、统计学和工程学。

函数的几种表示方法

DCBA1. 2.2 函数的表示方法第一课时函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数【教学过程】一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，学生的身高单位：厘米学号 1 2 3 4 5 678 9 身高125135140156138172 167158169数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。

函数的表示法(一)

2021-2022学年高中数学必修一第3章3．1.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解(1)列表法：x/台12345678910 y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．跟踪训练1由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x 12345y 4532 1A.1 B．2 C．4 D．5答案 B解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.二、求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 反思感悟求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________________．答案 f (x )＝x 2－4(x ≥2)解析因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 答案 2x －13或－2x ＋1解析因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.三、函数的图象例3 作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．延伸探究根据作出的函数图象求其值域．解观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]．反思感悟作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练3 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．考点函数图象题点函数图象的应用答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x 123 4f (x )3 24 1A ．1B ．2C ．3D ．4 考点函数的表示法题点函数的表示法答案 A2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4答案 A解析方法一令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，所以f (x )＝3x ＋2.3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )考点函数图象题点函数图象的判断与理解答案 C 4．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x.5．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f (x )的解析式为__________．答案 f (x )＝－x 2－4x －1解析设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)，由y ＝f (x )过点(－3,2)，得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．方法归纳：(1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0 答案 B解析令t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2－3＝t 2＋2t －2， ∴f (2)＝22＋2×2－2＝6.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )23A.3 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝2.3．从甲市到乙市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06·(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为不超过t 的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min 的电话费为( ) A ．5.04元 B ．5.43元 C ．5.83元 D ．5.38元答案 A解析依题意知g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1) ＝5.035≈5.04，故选A.4．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式答案 B解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故f (x )＝1x －1.故选B.5．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )考点函数图象题点求作或判断函数的图象答案 A解析方法一 y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．6．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．答案 5解析将点(5,4)代入f (x )＝x －mx，得m ＝5.7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.答案 19解析设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2.9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ，所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2，其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a 2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝⎛⎭⎫0，a2. 10．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．考点函数图象题点函数图象的应用解函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x －1 0 1 3 y34描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．11．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，5 B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)答案 A解析设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.12．设函数f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝2x ＋1，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x1－x(x ≠1) B.1＋xx －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 B解析令1＋1x ＝t ，则t ≠1，∴x ＝1t －1，t ≠1，∴f (t )＝2t －1＋1＝1＋t t －1，t ≠1，∴f (x )＝1＋xx －1(x ≠1)，故选B.13．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)解析设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.x 1 2 3 4 f (x ) 1 3 1 3 g (x )3232考点函数的表示法题点函数的表示法答案 2或4解析当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. 当x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. 当x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值只有2或4.15．已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是________．考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式答案 f (x )＝－x ＋14解析因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，①所以把①中的x 换成－x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14.16．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝100与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 12345678910 y 19710068.35344.238.73532.530.829.6x 11121314151617181920 y 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8。

10的指数的数学表达式

10的指数的数学表达式10的指数是指以10为底的幂运算。

当一个数的指数为10时，意味着这个数是10的乘积，乘以自身10次。

数学上可以用下标的方式来表示10的指数，即10^10，读作“10的10次方”。

10的指数在数学和科学中发挥着重要的作用。

它有助于表示非常大或非常小的数值。

在计算机科学中，指数表示了数据的量级，用于计算机存储和计算的方便性。

在科学研究中，指数用于表示物理量的变化、增长或衰减的规律性。

在数学领域，指数是一种特殊的数学函数，有许多重要的性质和应用。

在指数运算中，指数是一个正整数，它表示一个数被乘以自身多少次。

以10为底的指数表示，可以更好地描述一个数的大小或数量级。

例如，10的2次方表示10x10=100，10的3次方表示10x10x10=1000，依此类推。

指数的主要特点是指数相等时底数相等，底数相等时指数相等。

即a^m=a^n时，m=n；a^m=b^m时，a=b。

这个性质在指数运算中经常被应用。

指数运算还有一些重要的性质：1.底数为10的指数运算可以用来表示十进制中的位数。

例如，10的1次方表示一个十进制数的十位数，10的2次方表示十进制数的百位数，依此类推。

2.它有助于简化和缩小大数的表示和计算。

例如，1万可以简化为10^4，1亿可以简化为10^8。

这样能够更清晰地表示这些巨大的数值，方便计算。

3.指数运算可以用来表示科学计数法，即将一个数表示为一个小数和一个10的指数的乘积。

例如，1.23 x 10^4表示1.23乘以10的4次方。

这种表示方法常用于表示非常大或非常小的数，如宇宙中的距离、原子的大小等。

指数运算还有许多应用，如复利计算、概率计算、指数函数等。

在复利计算中，指数运算可以用来表示利息的复利计算。

在概率计算中，指数运算可以用来表示独立事件的概率。

在指数函数中，指数是变量，底数为常数，它们之间存在一种特殊的函数关系，称为指数函数。

在数学教育中，指数运算是一个重要的概念。