三角形的证明 (2)

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青岛中考真题--三角形-----9上第1章证明(二)

三角形[中考考什么，咱们讲什么]★★14．（3分）（2012•青岛）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　cm．★★13．（3分）（2012•青岛）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为．★★例（2001青岛）若O是△ABC的内心，且∠BOC＝100°，则∠A＝（）．A．20° B．30° C．50° D．60°★★例（2011青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．AA1BB1CC1＝3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1＝．例（2010青岛）如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.ABC★例（2008青岛）如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1000米．（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置．ACB（2）1cm★例（2007青岛）青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C 的距离相等．（1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置；（2）若∠BAC＝66º，则∠BPC＝ º.★★例（2004青岛）如图，AB、CD是两条相互垂直的公路，设计时想在拐弯处用一段圆弧形湾道把它们连接起来（圆弧在A、C两点处分别与道路相切），测得AC＝60米，∠ACP＝45°。

三角形模型及证明过程

三角形模型及证明过程
三角形是由三条线段连接三个非共线点构成的图形。

三角形模型可以用来表现三角形的形状和特征，例如边长、角度、面积等。

证明三角形的定理需要使用一些基本的公理和定理，例如直角三角形定理、勾股定理、角平分线定理等等。

下面以勾股定理为例，展示证明三角形定理的过程。

勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两腰平方之和。

证明过程如下：
设三角形ABC中，∠C为直角，则AB称为斜边，AC、BC称为两腰。

因为∠C是直角，所以由勾股定理可知：
AC²+ BC²= AB²
因为等式两边相等，所以可以将其分别开平方，得到：
AC = √(AB²- BC²)
BC = √(AB²- AC²)
从中可以得到，斜边AB的平方等于两腰平方之和，也就是勾股定理。

这就是证明勾股定理的过程，利用三角形的基本属性和定理，可以证明更多有关三角形的定理和公式。

证明三角形全等的五种方法

证明三角形全等的五种方法
方法一：边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。

三角形具有稳定性，三条边都确定了，整个三角形都可以固定下来了。

这样就具有了唯一性，而这样的两个三边都对应相等的三角形，自然就是全等的。

但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。

方法二：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是课本上直接给出的，同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。

方法三：角边角（ASA）——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式也是课本上直接给出的，一个角的边可以无限延长，两个角的夹边被确定以后，就无法延长了，另外两条边则肯定会有交点，这样肯定也能将三角形确定下来。

方法四：角角边（AAS）——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的，只要记住了方法三，这个方法就很好记了。

三角形的内角和是180，如果两个角都确定了的话，另外一个角度也可以确定下来，这样三个角都是固定的了，那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的，所以也就形成了“角边角”。

方法五：斜边直角边（HL）——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是利用了勾股定理，如果两条边都知道了，那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了，这样利用方法一边边边，或者是方法二边角边，都是可以得出两个三角形全等的。

但是前提必须是两个直角三角形。

三角形的证明详细知识点、例题、习题)

三角形的证明详细知识点、例题、习题)1.定义：全等三角形指的是能够完全相等的三角形。

2.性质：全等三角形的对应边和对应角都相等。

3.判定方法：XXX、SSS、ASA、AAS、HL。

需要注意的是，SSA和AAA不能作为判定三角形全等的方法，必须有边的参与。

若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角。

4.证题思路：找夹角（SAS）已知两边，找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS）已知一边一角，边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找已知角的另一边（SAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角，找任意一边（AAS）1.等腰三角形的性质：两个底角相等（等边对等角）。

2.判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）。

3.等边三角形的性质：三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。

4.含30°的直角三角形的边的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1.勾股定理及其逆定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

2.命题与逆命题：命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的。

3.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

需要注意的是，勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”。

1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2.判定方法：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

三角形的内角和证明

三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。

证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。

2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。

3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。

4. 在此过程中,q转过了一个平面角。

我们知道,平面角的大小等于360度。

5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。

6. 因此,A + B + C = 360度。

7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。

结论:任意三角形的内角和都等于180度。

人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。

该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。

这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。

三角形的推导过程

三角形的推导过程
## 三角形的推导过程：
1. 定义三角形：三角形是由三条边组成的平行图形，三条边相互彼此垂直。

2. 证明三角形的三条边相等：给出直角三角形三条边长度为a、b、c，然后应用勾股定理，即a²+b²=c²，可以得出a=b。

因此，当三条边的长度相等时，可以推出直角三角形的三条边长度为相等的结论。

3. 证明三角形的三个顶点均要位于同一条直线上：由平面几何知识可知，当三个点不在同一条直线上时，三个点可以划出一个三角形。

根据同一个圆上相等角的定理，当三个相等角在同一个圆上时，三个点一定是位于同一条直线上，否则，三个角不会相等。

因此，可以得出三角形的三个顶点一定要位于同一条直线上的结论。

4. 根据三角形的定义，证明三角形的三条边之和为180度：三角形的三条边两两相互垂直，因此，表示为三个角的角度即可，A、B、C代表角度，根据三角形的定义，它的三条边之和为180°，即：
A+B+C=180°。

因此，根据三角形的定义，可以证明它的三条边之和为180度。

5. 证明三角形是根据它的三条边和角度可以确定：假设有两个三角形ABC和BCA，它们的相应边长度和角度分别为a、b、cforeθ A、B、C，把三角形ABC和BCA的图形画出来，两个三角形ABC和BCA的各
边长度是相等的，两个三角形的三角角度也是相等的，因此可以推出
这两个三角形是一样的，而一个三角形是可以根据它的三条边和角度
来完全确定的，因此，可以证明三角形是根据它的三条边和角度可以
确定的。

三角形的证明方法

三角形的证明方法
三角形的证明方法有以下几种：
1. 使用勾股定理证明：如果已知三角形的三边长度，可以利用勾股定理来证明三角形的存在。

勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c为三角形的三边长度。

2. 使用余弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，则可以使用余弦定理来证明三角形的存在。

余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c为三角形的第三边长度，a、b为两边长度，C为夹角的度数。

3. 使用正弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和一个夹角的度数，可以使用正弦定理来证明三角形的存在。

正弦定理表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边长度，A、B、C为夹角的度数。

4. 使用面积法证明：如果已知三角形的三个顶点坐标，可以利用向量叉积的方法来计算三角形的面积。

如果面积不为零，则可以证明三角形的存在。

这些方法可以根据已知的条件选择合适的方法证明三角形的存在。

《角平分线》三角形的证明PPT(第2课时)

探究点二
问题：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为E． (2)求证：AB=AC+CD．解：证明：由(1)的求解过程易知 Rt△ACD≌Rt△AED( HL ) ∴AC=AE ∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD.
强化训练
1.直线l₁、l₂、l₃表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
定的期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月
完成原计划任务. 原计划每月固沙造林多少公顷？
如果设原计划每月固沙造林x公顷，
2400
2400
那么原计划完成一期工程需要______x____个月，实际完成一期工程用了__x__+_3_0__个月.
活动探究
问题2：(1)2010年上海世博会吸引了成千上万的参现者．某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万，后b天日均参观人数45万，这(a+b)天日均参观人数为多少万人？
前置学习
3.
下列
a π
，
1 ，1x x 1 5
y
，
a2 a
b2 b
， 3x2 ，0中，是分式的有__x1_1___a_a2 _ bb_2_；
是整式的有__aπ___15_x__y ____3x_2 ____0______.
活动探究
探究点一
问题1：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林. 一期工程计划在一
本题基本思路：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.

三角形全等的证明

三角形全等的证明三角形的全等是指两个或多个三角形的所有对应元素（两边和夹角）都相等。

证明三角形全等的方法有很多种，其中包括使用SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及HL（斜边和对边的垂直高度）准则等。

以下将介绍四种常用的三角形全等证明方法。

1.使用SSS准则（边边边）证明三角形全等：SSS准则要求两个三角形的三条边长度相等。

即如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形全等。

证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。

画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度。

然后根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF。

由于三角形的边长相等，根据SSS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。

2.使用SAS准则（边角边）证明三角形全等：SAS准则要求两个三角形的两边长度成比例，夹角大小相等。

即，如果两个三角形的两条边长度依次成比例，并且夹角大小相等，则这两个三角形全等。

证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。

画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度，以及已知的夹角。

根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。

由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据SAS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。

3.使用ASA准则（角边角）证明三角形全等：ASA准则要求两个三角形的两个角度大小相等，夹边长度相等。

即，如果两个三角形的两个角度大小依次相等，并且夹边长度相等，则这两个三角形全等。

证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。

画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应角度和边长。

根据已知条件，我们可以得出∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。

由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据ASA准则，三角形ABC和三角形DEF全等。

证明直角三角形的方法

证明直角三角形的方法直角三角形是指一个三角形的一个角度为90度的三角形。

证明直角三角形的方法有多种，以下列举几种常见的方法。

在证明前，我们先假设有一个三角形ABC，边长分别为a，b，c，且角A为直角。

方法一：勾股定理证明勾股定理是其中一个最常用的证明直角三角形的方法。

勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边边长。

在证明时，我们可以通过验证这个等式是否成立来证明三角形ABC为直角三角形。

证明步骤如下：1. 将三角形ABC的三边长度分别记为a，b，c。

2. 根据直角三角形的定义，假设角A为直角角度。

3. 根据三角形的定义，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2。

4. 证明c^2 = a^2 + b^2的方法有多种，其中一种常用的方法是通过代入角度的正弦、余弦或正切关系来证明。

- 使用正弦关系证明：由正弦定理，我们可以得到a/sin(A) = c/sin(C)和b/sin(B) = c/sin(C)，其中C为角C的角度。

如果角A为90度，那么sin(A) = 1，由此可得a = c*sin(C)。

同理，由角B为90度可得出b = c*sin(C)。

将a 和b的表达式代入c^2 = a^2 + b^2，我们有c^2 = (c*sin(C))^2 +(c*sin(C))^2 = c^2*sin^2(C) + c^2*sin^2(C) = 2c^2*sin^2(C)。

可得出sin^2(C) = 1/2，即sin(C) = 1/sqrt(2)。

由此可得C的度数为45度，即角C为45度。

- 使用余弦关系证明：由余弦定理，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(C)。

如果角A为90度，那么cos(A) = 0，由此可得c^2 = a^2 + b^2。

同理，由角B为90度可得出c^2 = a^2 + b^2。

因此，c^2 = a^2 + b^2的等式成立。

- 使用正切关系证明：由正切定理，我们可以得到tan(A) = a/b和tan(B) = b/a。

八年级上册数学三角形全等证明之二次全等(含答案)

第2节三角形全等证明之二次全等在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB ＝CD,∠A ＝∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB ＝CD,∠A ＝∠D,BC ＝CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗？如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理？如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE （AAS ）.∴AE ＝DE,BE ＝CE.∴AE+EC ＝DE+EB,即AC ＝BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB （SSS ）.二、培优巩固练习篇1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-2图2-12.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE ＝CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB ＝AC,DB ＝DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF ＝CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD ＝CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD ＝BC,DE ＝BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF.求证:AO ＝CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG ＝DB,延长ED 到点F,使DF ＝DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG ＝AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC ＝∠ADE ＝90°,BC 与DE 相交于点F,且AB ＝AD,AC ＝AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD ＝∠EAB;（2）CF ＝EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA ＝DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE ＝∠DBC,且BE ＝BA,则∠BED ＝_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB ＝AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD ＝BE.试说明:∠ADC ＝∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC ＝∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10CB AC B答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC（ASA）.∴DE＝BE.∵∠3＝∠4,∴∠DEA＝∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AEDBE=DE∴△ABE≌△ADE（SAS）.2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB＝90°＝∠CED. ∵AE＝CF,∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.∵AB∥CD,∴∠A＝∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠C AF=CE∠AFB=∠CED ∴△ABF≌△CDE（ASA）.∴DE＝BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS）.3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=AC BD=CD AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD＝∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAF AF=AF∴△BAF≌△CAF（SAS）.∴BF＝CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE＝∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA＝∠EBA＝90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE（AAS）.∴AC＝AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD＝∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD（SAS）.∴BD＝CD.5.证明:∵DE ⊥AC,BF ⊥AC, ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°, ∠AFB ＝∠CED ＝90°, 在Rt △ADE 和Rt △CBF 中,∵{AD =CB DE =BF ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）.∴AE ＝CF.∴AE+EF ＝CF+FE,即AF ＝CE.在△AFB 和△CED 中,∵{AF =CE∠AFB =∠CED DE =BF∴△AFB ≌△CED （SAS ）. ∴∠BAF ＝∠DCE.∴AB ∥DC.∴AO ＝CO.6.证明:∵BF ＝DE, ∴BF-EF ＝DE-FE,即BE ＝DF. 在△ABE 和△CDF 中, {AB =CDAE =CF BE =DF∴△ABE ≌△CDF （SSS ）.∴∠B ＝∠D.在△AOB 和△COD 中,{∠AOB =∠COD∠B =∠D AB =CD∴△AOB ≌△COD （AAS ）7.解:在△BED 和△GFD 中,{DB =DG∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD （SAS ）.∴∠EBD ＝∠FGD.∴∠ABD ＝∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD （ASA ）.∴HG ＝AB.8.证明:（1）在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAB ＝∠DAE-∠DAB,即∠CAD ＝∠EAB.（2）在△ACD 与△AEB 中, {AC =AE∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB （SAS ）.∴CD ＝BE,∠ACD ＝∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）, ∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACB-∠ACD ＝∠AED-∠AEB,即∠DCF ＝∠BEF.又∵∠DFC ＝∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE （AAS ）.∴CF ＝EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC是等边三角形, ∴AB＝BC＝CA.∵BE＝BA,BA＝BC, ∴BE＝BC.在△BDC和△BDE中,{BD=BD∠DBE=∠DBC BE=BC∴△BDC≌△BDE（SAS）. ∴∠BED＝∠BCD.在△BCD和△ACD中,{BC=AC BD=AD CD=CD∴△BCD≌△ACD（SSS）.∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴∠BED＝30°.10.证明:因为∠BAC是钝角,故过点B,C分别作CA,BA的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF和△ACG中,{∠F=∠G=90°∠FAB=∠GACAC=AB∴△ABF≌△ACG（AAS）.∴BF＝CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中,{BF=CGBE=CD∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）.∴∠ADC＝∠AEBEDC BA。

8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（2）与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论：1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用。

2、三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

二、辅助线：1、当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线。

注：（1）辅助线通常画为虚线；（2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。

【典型例题-精选部分】【例1】如图所示，∠A，∠1，∠2的从大到小关系是。

【例2】如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为。

【例3】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A的度数为。

【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为。

【例5】将一副三角尺如图叠放，则图中∠α＝°。

【例6】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE。

如果，，，那么下列式子中正确的是（）A、B、C、D、【例7】已知：如图，∠ADE＝∠A＋∠B，求证：DE∥BC。

【例8】如图，已知四边形ABDC，求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C。

【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数。

【例10】如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC。

（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知：如图一：△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分外角∠ACD。

三角形相似的证明

三角形相似的证明
三角形相似的证明有两种方法：
方法一：AAA（全等）法则。

如果两个三角形中对应的三个角度都相等，则它们一定相似。

假设有两个三角形ABC和DEF，它们的三个角度分别为∠A、∠B、
∠C和∠D、∠E、∠F，并且这三个角度完全相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得到结论：两个三角形ABC和DEF相似。

方法二：AAA（角度比例）法则。

如果两个三角形中对应的两个角度的比值相等，则它们一定相似。

假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别为∠A、∠B、
∠C和∠D、∠E、∠F，并且这两个角度的比值相等，即
∠A/∠D=∠B/∠E=∠C/∠F，则可以得到结论：两个三角形ABC和DEF相似。

其中，相似三角形的三个性质有：
1.两个相似三角形的每个对应角度都相等。

2.两个相似三角形的每条对应边的长度比相等。

3.两个相似三角形的面积与它们之间的任何一条边都成比例。

相似三角形判定定理的证明 (2)

相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．【学情分析】本课时的教学内容是相似三角形的判定定理证明。

而在这之前，学生已对“平行线分线段成比例”这个基本事实熟练掌握，充分了解相似三角形的概念。

因此为即将学习相似三角形判定定理的证明打下基础。

可能会出现的问题有1、证明的思路和方法不清晰2、添加平行线的意图和作用不明确。

【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理．【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．【教学过程】情景导入生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研生成能力知识模块一相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥B C ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页．知识模块二相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD.证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED.∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD.典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠AB D ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE.求证：△DBE ∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BEBD，即：BC BE ＝ABBD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC. 对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE.∴ED ＝DF ＝EF.△E DF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE ＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝ADAB.∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD·AC.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形判定定理的证明知识模块二相似三角形判定定理的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD ∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA. 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA.∴△ABD ∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________【教学反思】在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用.例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE.求证：△ABC是等边三角形.分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可.证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED，∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB，∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，图1又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°，∴∠DCB=60°，∴△ABC为等边三角形.例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，图2∴∠A=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形.例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论.分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF，△BCD，△EBA都是等边三角形.解：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°，∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°，同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°，∴∠E=∠F=∠D=60°，∴△DEF是等边三角形.根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形.。

证明(二)三角形

证明（二）三角形知识归纳：一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形2、性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简写：等边对等角）性质推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（三线合一） 3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简写成“等角对等边”．二、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形是等边三角形2、性质定理：①它属于特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。

②三边相等，三个内角相等、都等于60°。

3、判定：①三个角相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形． 4、归纳：边长为a 的等边三角形，高为a23，面积为243a 三、直角三角形1、定义：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

2、性质：①有一个角是90°，另两角互余。

②两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：a ²+b ²=c ²（及勾股定理的逆定理） ③在直角三角形中，30°所对应的直角边是斜边的一半 ④在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半⑤在含有30°角的直角三角形中，它的三边的比为1：3：2 ⑥在含有45°角的等腰直角三角形中，它的三边的比为1：1：2 3、直角三角形全等判定：“斜边，直角边”或“HL四、线段的垂直平分线1、定义：垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

2、线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

3、判定定理：到一条线两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

4、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

五、角平分线1、定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

全等三角形证明方法总结

敷学培fit 方法*»1-2価明三廊形全箸(舍倦段相著、角相等)的几种方法一、三角形全等的判定:① 三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSSJo 【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】② 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

【最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”】 r 当题目中得出“2对边及1对角相等”时，一定要检査“角是不是两边夹角“。

i ③ E鬲爲反養美另另航蒔京满不三浦花荃,新忑「① 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)o⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)o F ............................ } j 直角三角形全等的特殊证法。

但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。

： !如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找90。

的角所对的边就能找到斜边: ................................................................................................. J 二、全等三角形的性质： ① 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

② 全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

①全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

几种常见全等三箱形的基本图形：【平移】i 题目中只要得出“1对边及2对角相等"，那就能证明三角\ ；形全等，唯一要做的就是区分好是ASA 还是AAS三、找全等三痢形的方法：①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中:②可以从己知条件出发，看己知条件可以确定哪两个三角形相等;③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等;①若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形的证明测试题(二)

1、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。

求证：AD 垂直平分EF 。

2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，D E ⊥AB 于E ，D F ⊥AC 于F 。

求证：∠DEF=∠DFE.3、如图，AB=CD ，△PAB 的面积与△PCD 的面积相等。

求证：OP 平分∠AOD.4、如图，在△ABC 中，∠C=900，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线交BC 于点E ，且ED=EC 。

求证：∠BAC =2∠B.5、如图，在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，E 是BC 上一点，AE 交CD 于点F ，且∠CEF=∠CFE ，E G ⊥AB 于点G 。

求证：CE=EG..AB CD EFAB CDPOABCD EG6、已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作AO 的垂线分别交AB 、AC 于点D 、E 。

求证：∠OBC=∠EOC.7、如图，在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是BC 边的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE=AF .求证：E D ⊥FD 。

8、如图，在锐角△ABC 中，∠ABC=2∠C ，BE 是∠ABC 的平分线，A D ⊥BE ，垂足为D 。

求证:AC=2BD.(提示：延长DE 至F ，使DF=BD ，连接AF 。

)9、已知：如图，在△ABC 中，AB=8cm ，AC=4cm ，∠BAC 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DG 交于点D ，过点D 的直线D E ⊥AB 于点E ，D F ⊥AC 于点F （或AC 延长线）。

（1）求证：AE=AF ；（2）求证：BE=CF(3)求AE 的长。

10、如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

三角形的证明(二)(提升版)

第2讲三角形的证明（二）【教学目标】理解直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定，能结合全等三角形进行相关的计算和证明．【教学重难点】直角三角形的性质和判定及综合应用考点一：直角三角形知识点与方法技巧梳理：1．直角三角形的性质（1）直角三角形两锐角__________．（2）直角三角形两直角边的__________等于斜边的_________（称为“_______定理”）．（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的________．2．直角三角形的判定（1）有两个角__________的三角形是直角三角形．（2）如果三角形两边的__________等于第三边的__________，那么这个三角形是直角三角形（称为“________定理的逆定理”）．考点二：线段的垂直平分线1．线段垂直平分线的性质定理线段的垂直平分线上的点到这条线段两个________的距离相等（这里说的距离是点到________的距离）．2．线段垂直平分线的判定定理到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的________________上．3．三角形三条边的垂直平分线相交于_______点，并且这一点到三角形_______________的距离相等．这一点叫做这个三角形的外心．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_________三角形．已知三角形外心常作的辅助线：（1）连接外心与三角形的________，（2）连接外心与三角形的边的________，（3）过外心作三角形的边的________．考点三：角平分线1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角________的距离相等（这里说的距离是点到________的距离）．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的________________上．3．三角形三个内角的平分线相交于____点，并且这一点到三角形_______________的距离相等．这一点叫做这个三角形的内心．已知三角形内心常作的辅助线：(1)连接内心与三角形的________，(2)过内心作三角形的边的________．【例1】（2015七中嘉祥期中）如图，Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，BE的延长线交AD于点F，连接CF，求证：CF⊥AD．过A作AG∥DE，交EF的延长线于G AD B CEF则∠G ＝∠DEF ，∠GAF ＝∠EDF∵Rt △ABC ≌Rt △DEC ，∴AB ＝DE ，CB ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB ∵∠ABC ＝∠DEC ＝90° ∴∠ABG ＋∠CBE ＝90°，∠CEB ＋∠DEF ＝90° ∴∠ABG ＝∠DEF ，∴∠G ＝∠ABG∴AB ＝AG ，∴AG ＝DE ∴△AFG ≌△DFE ，∴AF ＝DF ∵CA ＝CD ，∴CF ⊥AD备课：_____________________________________________________________________________________ 【变式】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 边上一动点，以CD 为斜边向右作等腰直角三角形CDE ，连接AE 、BE ．求证：BE ＝DE ．作CG ⊥AB 于G ，EH ⊥CG 于H ，EK ⊥AB 于K ，连接EG 证△ECH ≌△EDK ，EH ＝EK ∠CGE ＝∠BGE△CGE ≌△BGEBE ＝CE ＝DE备课：_____________________________________________________________________________________【例2】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 是△ABC 外部一点，BP 平分∠ABC ，∠APC ＝135°．（1）求证：P A ＝PC ；（2）求证：BP ⊥PC ．（1）过P 作PD ⊥BA 交BA 延长线于D ，PE ⊥BC 于E ∵BP 平分∠ABC ，∴PD ＝PE ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45° 在四边形PDBE 中 ∠DBE ＝45°，∠D ＝∠PEB ＝90°∴∠DPE ＝135° ∵APC ＝135°，∠APD ＝∠CPE 又∵∠D ＝∠PEC ＝90°，∴△P AD ≌△PCE ∴P A ＝PC （2）∵APC ＝135°，P A ＝PC ∴ACP ＝22.5°，∴PCB ＝67.5° ∵∠ABC ＝45°，BP 平分∠ABC ，∴PBC ＝22.5° ∴PBC ＋PCB ＝90°，∴BPC ＝90° ∴BP ⊥PCA DBC EFGCA BD E CA B D E G HK A B C P A B C P DE【变式】（2015西川中学期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，PC平分∠ACB，且P A＝PB．（1）求证：△P AB是等腰直角三角形；（2）设P A＝m，PC＝n，试用含m、n的代数式表示△ABC的周长和面积．（1）作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F∵∠ACB＝90°，∴∠EPF＝90°∵PC平分∠ACB，∴PE＝PF又P A＝PB，∴Rt△P AE≌Rt△PBF∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝90°∴△P AB是等腰直角三角形（2）∵△P AE≌△PBF，∴AE＝BF∴AC＋BC＝(AE＋CE)＋(CF－BF)＝CE＋CF∵∠ACB＝90°，PC平分∠ACB，∴∠PCE＝∠PCF＝45°∴CE＝22PC＝22n，CF＝22PC＝22n∵△P AB是等腰直角三角形，∴AB＝2P A＝2m∴△ABC的周长＝AC＋BC＋AB＝22n＋22n＋2m＝2(m＋n)△ABC的面积＝S四边形APBC－S△P AB＝S正方形CEPF－S△P AB＝(22n)2－12m2＝12(n2－m2)【能力提升】【例3】（2015高新区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BPC沿PC所在直线翻折，得到△B′PC，连接AB′，且AB′∥PC．（1）求证：∠BAC＝∠B′AC；（2）若AB＝10，BC＝6，求AB′的长．（1）连接BB′由题意，BP＝B′P，BB′⊥PC，∠BPC＝∠B′PC，∠PBB′＝∠PB′B∵AB′∥PC，∴BB′⊥AB′∴∠PBB′＋∠P AB′＝90°＝∠PB′B＋∠PB′A∴∠P AB′＝∠PB′A，∴AP＝B′P＝BP∴PC＝12AB＝AP，∴∠ACP＝∠BAC∵∠ACB＝90°，∴∠B′AC＝∠B′BC＝90°－∠PCB＝∠ACP＝∠BAC ∴∠B′PC＝∠BPC＝∠BAB′＝2∠B′AC（2）延长AB′、BC交于点D则AD＝AB＝3，BD＝2BC＝6，S△ABD＝12AD·BB′＝12BD·AC∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝52－32＝4∴BB′＝BD·ACAD＝6×45＝245∴AB′＝AB2－BB′2＝75CA BPDCA BPDEFGHAB CPB′AB CPB′D【例4】（2014南充）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点P 是线段AC 上一点，AM ⊥AB 交BP 的延长线于M ，MN ⊥AC 于N ，PQ ⊥AB 于Q ，AQ ＝MN ．（1）求证：PC ＝AN ；（2）若NP ＝2，PC ＝3，求BC 的长．（1）∵AM ⊥AB ，PQ ⊥AB ，∴AM ∥PQ ∴∠APQ ＝∠MAN又∵AQ ＝MN ，∠AQP ＝∠MNA ＝90°∴△APQ ≌△MAN ，∴PQ ＝AN ，AP ＝AM∴∠APM ＝∠AMP∵∠BPC ＝∠APM ，∴∠AMP ＝∠BPC 又∵∠ABP ＋∠AMP ＝90°，∠BPC ＋∠PBC ＝90°∴∠ABP ＝∠PBC ，∴PC ＝PQ ∴PC ＝AN（2）由（1）知，AN ＝PQ ＝PC ∵PC ＝3，∴AN ＝PQ ＝3∵NP ＝2，∴AP ＝5，∴AC ＝8在Rt △APQ 中，由勾股定理得AQ ＝4 ∵PC ＝PQ ，∴BC ＝BQ设BC ＝x ，则BQ ＝x ，AB ＝x ＋4在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2 ∴82＋x2＝(x ＋4)2，解得x ＝6 即BC 的长为6【例5】如图，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠CDE ＝90°，点D 在AB 边上，连接BE ．（1）求证：BE ⊥BC ；（2）若BD ＝7，且以AD 、BD 、CE 的长为三边构成的三角形的面积为 1192，求BE 的长．（1）过D 作DF ⊥AB 交BC 于F先△DBE ≌△DFC ，再证△CBE ≌△ACF（2）即△ADF 的面积，DF ＝BD ＝7，1 2AD ×7＝1192∴AD ＝17，∴AB ＝24，∴BF ＝72，BC ＝12 2∴BE ＝CF ＝5 2【例6】（2015天门）已知四边形ABCD 是正方形，∠MAN ＝135°，AM 、AN 分别与正方形ABCD 的边CB 、CD 的延长线交于点M 、N ，连接MN ．（1）如图1，若BM ＝DN ，则线段MN 与BM ＋DN 之间的数量关系是_____________；（2）如图2，若BM ≠DN ，请判断（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．A BCDEF AB C DE NNB CPA MN Q BCPAM N Q（1）MN ＝BM ＋DN （2）（1）中的数量关系仍然成立将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADE 则DE ＝BM ，AE ＝AM ，∠EAM ＝90° ∵∠ADN ＝∠ABM ＝∠ADE ＝90°，∴E 、D 、N 在同一条直线上 ∵∠MAN ＝135°，∴∠EAN ＝360°－∠MAN －∠EAM ＝135° ∴∠EAN ＝∠MAN 又AN ＝AN ，∴△AMN ≌AEN ∴MN ＝EN ＝DE ＋DN 即MN ＝BM ＋DN备课：_____________________________________________________________________________________【家庭作业】1．（2013烟台）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AC 上，将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为_______度．Tips ：连接OB 、OC由题意，∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－54°)＝63°，OE ＝CE ，OA ＝OB ＝OC∴∠OAB ＝∠ABO ＝12∠BAC ＝27°∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠EOC ＝36°∴∠OEC ＝108° 2．（2016重庆模拟）如图，在正方形ABCD 中，点M 是BA 延长线上一点，点N 是线段BC 上一点，且MA ＝NC ，ME 平分∠BMN 交BD 于E ，EF ⊥MN 于F ．（1）求证：MF －NF ＝2MA ；（2）若MF ＝20，NF ＝6，求AB 的长．OA CB FE DOAC B FE D A D B C M N E M A D（1）连接EN ，过E 分别作AB 、BC 的垂线，垂直为G 、H ∵ME 平分∠BMN ，∴EF ＝EG ，MF ＝MG 四边形BHEG 是正方形，∴EG ＝EH ∴EF ＝EH ，又EN ＝EN∴Rt △EFN ≌Rt △EHN ，∴FN ＝HN ∵AB ＝BC ，MA ＝NC ，BG ＝BH∴MF －NF ＝MG －HN ＝(MA ＋AB －BG)－(BC －BH －NC)＝2MA（2）MA ＝NC ＝1 2 (MF －NF)＝12(20－6)＝7设AB ＝x ，则BM ＝x ＋7，BN ＝x －7在Rt △MBN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2∴(x ＋7)2＋(x －7)2＝(20＋6)2，解得x ＝17备课：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________M ADBCHNE F G。

八年级数学下册第一章三角形的证明 2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案北师大版

八年级数学下册第一章三角形的证明2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案北师大版年级：姓名：第2课时直角三角形全等的判定【知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感【情感态度】进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点】进一步理解证明的必要性.一.情景导入，初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.二.思考探究，获取新知探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知，深化理解1.见教材P20例题2.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD=B'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理)．∴CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS)．4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA（HL）其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．5.如图，在△ABC与△A'B'C'中，CD、C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B'，这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．证明：∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A' (已证)，AC=A'C' (已知)，∠ACB=∠A'C'B' (已知)，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四.师生互动，课堂小结直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现很值得夸赞．。