等边三角形

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什么是等边三角形

什么是等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，每个角度都是60度。

在几何学中，等边三角形是最简单和最基本的形状之一。

本文将介绍等边三角形的定义、性质和一些应用。

一、定义等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

由于三条边的长度相等，所以该三角形的三个内角也相等，每个内角都为60度。

等边三角形可以看作是一种特殊的等腰三角形，即有两条边相等的三角形。

二、性质1. 边长性质：等边三角形的三条边长度相等，记为a，a，a，其中a 为边长。

2. 角度性质：等边三角形的三个内角都相等，每个角度为60度。

3. 对称性质：等边三角形具有三条边和三个角的对称性，任意一条边的延长线上存在一个等边三角形的顶点。

三、应用等边三角形在几何学中有一些重要的应用和性质。

1. 利用等边三角形的性质，可以推导出正三角形的面积公式。

正三角形的面积等于边长的平方乘以根号3的除以4倍，即S = a^2 * √3 / 4，其中a为边长。

2. 等边三角形也是一种稳定的结构，常用于建筑设计和桥梁工程中。

由于等边三角形的每个边都相等，所以在力的均衡状态下具有很好的稳定性。

3. 等边三角形还经常出现在艺术和图案设计中。

它的对称性和美观性常被应用于各种图形和装饰品中，如现代艺术、纹身设计等。

综上所述，等边三角形是一种具有三边相等和每个角度都为60度的特殊三角形。

它有着独特的性质和应用，不仅在几何学中有重要地位，还在建筑设计和艺术领域中广泛应用。

了解等边三角形的定义和性质能够帮助我们更好地理解几何学的基础知识，并应用于实际问题中。

等边三角形

等边三角形知识点1 等边三角形的性质1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质. 【典例】1.如图，已知等边△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC 于点F 、G ，若∠ADF=80°，则∠GEC 的度数为_________．2.如图，△ABC 是等边三角形，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A 2015BC 的平分线与∠A 2015CD 的平分线交于点A 2016，则∠A 2016的度数是（）A.2013152︒B.2014152︒C.2015152︒D.2016152︒ 【方法总结】本题考查了等边三角形的内角等于60°，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的1是解题的关键．2【随堂练习】1．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为12，则PD+PE+PF=（）A．12 B．8 C．4 D．32．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°知识点2 等边三角形的性质与判定判定方法：1.三个边都相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【典例】1.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【方法总结】本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件：1.三个角都是60°或三个边都相等；2.一个角是60°的等腰三角形.2.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠EBC=∠BED=60°，AD平分∠BAC，求证：∠D=30°．【随堂练习】1．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．2．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF 是正三角形．3．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E．（1）判断△CED的形状，并说明理由；知识点3 直角三角形的性质1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．2.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的长记为a2，以此类推，若OA1=3，则a2=_________，a2015=__________.【方法总结】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，2a5=16a1…进而发现规律是解题关键．3.如图，在锐角三角形ABC中，CM为AB边上的高，P为BC的中点，连接MP，在AC上找到一点N，使NP=MP，连接BN，试判断BN与AC的位置关系，并说明理由．【随堂练习】1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．（1）求∠BDC的度数；（2）求BD的长．2．（1）如图1，OB是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到D，使OD=OB，连结DA．利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半．（2）上面（1）中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图2，点E是Rt△ABC 的直角边AC上的点，ED⊥AB于D，F是线段BE的中点，连结FC、FD、CD，则有∠FCD=∠FDC．3．在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．知识点4 双等边三角形模型的应用1.如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）求∠AEB的大小；（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），则∠AEB的大小_________．（填“变”或“不变”）【随堂练习】1．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．综合运用1.如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．2.如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．3.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．4.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．5.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．6.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？。

等边三角形

垂心定理的逆定理
总结词
应用广泛、全面
详细描述
垂心定理的逆定理是一种更为通用的判定等边三角形的方法。它的表述是：如果一个三角形有三条高，且其中两条高相等，那么这个三角形就是等边三角形。这个方法的应用非常广泛，因为它只需要用到三角形的高这一基本性质就可以判定等边三角形。同时，它还可以用来解决各种与等边三角形相关的问题，如求解角度、长度等。
02
等边三角形的对称性和稳定性使其成为描述粒子运动的理想工具，可以帮助科学家更好地理解粒子的性质和行为。
03
在物理学中，等边三角形还可以用于描述电磁波的传播和光学系统的成像规律等领域。
06
等边三角形的相关拓展问题
等边三角形的变种
等边三角形
三边相等，三个角相等的三角形。
黄金等边三角形
一个等边三角形，其三条边的比例为1:1:√3。
利用三角形中位线定理构造等边三角形
总结词
通过三角形中位线定理构造等边三角形，需要利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半的性质。
详细描述
首先，在平面上确定两个点，分别作为等边三角形的顶点。然后，连接这两个点形成一个线段。接着，在线段的中点处作平行于线段的直线，得到一个平行四边形。利用三角形中位线定理，我们知道平行四边形的对角线等于原线段的一半，并且平行于原线段。利用这个性质，我们可以得到一个等边三角形。
利用正弦定理构造等边三角形
总结词
通过正弦定理构造等边三角形，需要利用正弦定理的变形公式sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c来计算角度和边长。
详细描述
首先，在平面上确定三个点，分别作为等边三角形的顶点。然后，利用正弦定理的变形公式 sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c来计算角度和边长。其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C 表示三角形的三个角度。通过已知的边长和角度，可以计算出其他两个角度和对应的边长。最后，利用计算出的边长和角度构造出等边三角形。

什么是等边三角形？

什么是等边三角形？等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，同时对应的三个角也相等。

在几何学中，等边三角形是最简单的多边形之一，也是最常见的几何形状之一。

下面，我将以科普的方式，向大家介绍关于等边三角形的一些基本知识与特点。

一、等边三角形的特点1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等，当然，只有边长相等才能称之为等边三角形。

这个特点使得等边三角形具有一定的对称性，从而在图形的构造和性质推导中起到了重要作用。

2. 角度相等：与边长相等的三个边对应的三个角度也完全相等。

具体而言，等边三角形的每一个角都等于60度。

这是因为在一个平面中，三个角度和必定是180度，而在等边三角形中，三个角度相等，因此每个角度都等于180度除以3，即60度。

①等边三角形的内角都相等，每个内角都等于60度；②等边三角形的外角也都相等，每个外角都等于120度。

3. 反映对称性：等边三角形具有一定的对称性。

在等边三角形中，任意两条边的中点以及三角形的重心、外接圆心都重合。

这个性质使得等边三角形在许多问题的解决中起到了重要的辅助作用。

二、等边三角形的性质与应用1. 面积计算：等边三角形的面积计算相对简单。

可以利用等边三角形的高与边长之间的关系，使用公式：面积 = （边长 ×边长）× √3 / 4。

2. 平面刚体的稳定性：等边三角形在工程设计中具有重要的应用。

例如，在建筑物或桥梁的结构设计中，为了保证其稳定性，常常使用等边三角形的形状。

因为等边三角形的稳定性要比其他形状的三角形更好。

3. 几何推理：等边三角形在几何推理中具有独特的作用。

通过等边三角形的各种性质，可以推导出一系列几何定理，并在解决几何问题时起到重要的指导作用。

三、总结等边三角形作为最简单的多边形之一，在几何学中具有重要的地位。

通过对等边三角形的形状特点的了解，我们可以更好地理解与应用等边三角形。

它是其他更大规模、更复杂的几何形状的基础，对于我们学习和理解几何学都具有重要的意义。

等边三角形

A
1 2 3
E
B
D
C
如图， ABC是等边三角形分别延长CA AB，是等边三角形. CA，如图， △ABC是等边三角形.分别延长CA，AB， BC到 BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′. △ CC A′B′C′是等边三角形吗？请说明理由。是等边三角形吗？请说明理由。
A′ A C C′
1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的 1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的距离都相等吗?请说明理由. 距离都相等吗?请说明理由.
A
F O
E
B
D
C
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC与D.以AD为如图，在等边三角形ABC中 AD⊥BC与D.以AD为 ABC 一边作等边三角形ADE ADE， DE与AC垂直吗垂直吗？一边作等边三角形ADE，则DE与AC垂直吗？请说明理由。明理由。
O B C
等边三角形性质探索: 等边三角形性质探索 3.等边三角形是轴对称图形吗？若是，等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？有几条对称轴？
结论:等边三角形是轴对称图形，是轴对称图形，结论是轴对称图形有三条对称轴. 有三条对称轴
等边三角形的性质
1.等边三角形的内角都相等且等于 ° 等边三角形的内角都相等,且等于等边三角形的内角都相等且等于60 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴等边三角形是轴对称图形 3.等边三角形各边上中线高和所对角的平分等边三角形各边上中线,高和所对角的平分等边三角形各边上中线线都三线合一. 线都三线合一
A
C
等边三角形的判定方法: 等边三角形的判定方法
1.三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形. 三边相等的三角形是等边三角形 2.三个内角都等于 °的三角形是等边三个内角都等于60 三个内角都等于三角形. 三角形 3.有两个内角等于 °的三角形是等边有两个内角等于60 有两个内角等于三角形. 三角形 4.有一个内角等于 °的等腰三角形是有一个内角等于60 有一个内角等于等边三角形. 等边三角形

等边三角形

14.3.2 等边三角形（2）
复习回顾
A
1、等边三角形的概念：
2、等边三角形的性质：
B
C
等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于600.
3、等边三角形的判定：（1）定义法；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形；
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
∵ AC⊥BC ，∠A= 30°
∴BC=
1 2
AB
B
C
在解有关直角三角形的边的关系的问题中，常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。
见她淡红色榴莲般的手掌中，变态地跳出五簇脸皮状的酒罐，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的摇动，脸皮状的酒罐像柴刀一样在双腿上飘然地忽悠出点点光树……紧接着女政客Ｔ．克坦琳叶女士又连续使出三十六式梦鹅布帘摘，只见她矮胖的眼镜中，酷酷地飞出四道扭舞着『蓝鸟骨怪火腿宝典』的怪藤状的下巴，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的
想一想：如图，在Rt△ABC中，若
BC=
1 2
AB
则∠A为几度？
A
另证：作AC的垂直平分线MN，连接MC
则AM=MC，∠A= ∠1
又∠A+ ∠B=900
∠1+ ∠2=900
所以∠B= ∠2
A
B
C
D 所以MB=MC=AM
所以MB=MC= 又BC= AB
AB M
N
1
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
则图中等于 30°的角的个数为（B ） C
A.2
B.3

等边三角形定义

等边三角形定义
等边三角形：
1、定义
等边三角形，即三个相等的边组成的三角形，它的三个内角都是60°。

也称为等外角三角形、正三角形或正60度三角形。

2、周长
因为三边相等，所以周长应为三倍的边长。

3、面积
等边三角形的面积可以通过根号3除以4乘以边长的平方计算得出，即面积公式为：S＝√3/4·a²。

4、特性
等边三角形有许多重要的特点，包括但不仅限于：
（1）它是直角三角形，且内角都是60°；
（2）它没有内角大于其它两个内角；
（3）它的三条边相等；
（4）它的外角都大于其它两个外角；
（5）其面积可以通过平方计算得出；
（6）它的三角锐角均相等；
（7）它的中心角是120°。

5、应用
等边三角形广泛应用于工程、日常生活中，如维修机械中的图形几何，土建工程用于屋面盖檐等处，更常见的是缝纫工艺中的蚕丝绣、皮革
工艺中的铆钉和沙发缝合等地方。

除此之外，等边三角形还可以用于
平面设计，以及各种摆件、装饰物的做法，让整体空间更加美观大方。

等边三角形概念

等边三角形概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

它是一种特殊的三角形，在几何学中具有重要的地位和性质。

本文将对等边三角形的定义、性质以及应用进行详细介绍。

一、定义等边三角形是指三边边长相等的三角形。

在一个等边三角形中，任意两边的长度相等，任意两个角度也相等。

等边三角形的每一个内角都是60度。

二、性质1. 边长性质：等边三角形的三边边长相等，任意两边长度都相等。

2. 角度性质：等边三角形的每个内角都是60度，每个外角都是120度。

3. 对称性质：等边三角形具有对称性质，即它的任意两条边以及每个角的角度都具有对称性。

4. 高度性质：等边三角形的高度是等边三角形边长的平方根乘以根号三的一半。

5. 面积性质：等边三角形的面积可以通过高度公式或海伦公式计算。

三、应用等边三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。

1. 建筑设计：等边三角形在建筑设计中经常被用来构造稳定性强的结构，如高塔、桥梁等。

2. 地理测量：在地理测量中，等边三角形的性质可以用来计算地球上某一地点的位置和距离。

3. 导航系统：等边三角形的性质在导航系统中有重要的应用，可以帮助人们确定方向和距离。

4. 三角函数：等边三角形是三角函数常见的特殊角，通过等边三角形可以推导出正弦、余弦和正切等三角函数的性质和定理。

5. 数学证明：等边三角形的性质在数学证明中经常被引用，用来辅助证明其他几何定理和问题。

四、举个例子以等边三角形ABC为例，假设边长为a，则每个角度都是60度。

此外，等边三角形还有三条高，它们相等且垂直于各边。

等边三角形的面积可以通过高度计算公式S=（根号3/4）*a^2进行计算，其中S 表示等边三角形的面积。

五、总结等边三角形是指三边边长相等的三角形，具有边长相等、角度固定等性质。

它在几何学中具有重要的应用和意义，可以用于建筑设计、地理测量、导航系统、数学证明等领域。

通过学习等边三角形的概念和性质，可以更好地理解和应用几何学知识。

等边三角形

根绝条件判断下列三角形是否为等边三角形。不是
（1）（2）
是
（3）
是
是
（4）
（5）
是
例题：
如图, △ABC是等边三角形， DE ∥BC，分别交AB，AC于点D，E。求证： △ADE是等边三角形。
拓展练习：
如图, △ABC和△ADE是等边三角形，连结EC、BD 求证： EC=BD
动手操作：
合阳中学:蒋永强
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形的定义：
三条边都相等的特殊的等腰三角形叫做等边三边形。
等边三角形的性质：
边：三条边都相等角：三个内角都相等，并且每
一个角都等于60 °
（1）等边三角形的每个外角是 120 度。（2）等边三角形的边长是2cm，则该三角形的周长是 6cm 。（3）如图： △ABC和 △ADE是等边三角形,BC=5， DE=3，则BD= 2 ， CE= 2 .
例：如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列结论正确的结论有。（填序号）
（1） b2-4ac>0 （2） abc>0
（3） 2a-b=0
（4） a>b-c （5）3a+c<0
y=ax2+bx+c(a≠0)图像与a、b、c符号的关系
如何判断b2-4ac的符号？由抛物线与x轴的交点个数确定与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
对称轴在y轴左侧 a、b同号
a、b异号
b=0
y=ax2+bx+c(a≠0)图像与a、b、c符号的关系

等边三角形公式

等边三角形公式什么是等边三角形？等边三角形是指具有所有边长度相等的三角形。

在等边三角形中，所有的角也都相等，每个角都是60度。

著名的等边三角形公式等边三角形有一些特殊的性质，其中包括一些著名的公式。

下面将介绍三个与等边三角形相关的公式。

1. 等边三角形的周长公式等边三角形的周长公式非常简单，由于所有边的长度都相等，所以等边三角形的周长等于3倍边长。

公式如下所示：周长 = 边长 × 32. 等边三角形的内角和公式在等边三角形中，每个角都是60度，所以等边三角形的内角和等于180度。

公式如下所示：内角和 = 180度3. 等边三角形的面积公式等边三角形的面积公式可以通过不同的方法推导得到，其中一种方法是使用三角形的高。

由于等边三角形的三边长度相等，所以可以将等边三角形分成两个等腰三角形，并画出高。

根据等边三角形的特点，高线将等边三角形分成了两个全等的等边三角形，因此，高线等于边长的高。

设边长为a，高线为h，则等边三角形的面积可以表示为：面积 = 底 × 高/ 2 = a × h / 2 = a^2√3 / 4其中，√3为根号3的值，约等于1.732。

总结等边三角形是具有所有边长度相等的三角形，它的特点是边长相等、角度相等。

对等边三角形而言，有一些著名的公式可用于计算周长、内角和和面积。

1.等边三角形的周长公式：周长 = 边长 × 3。

2.等边三角形的内角和公式：内角和 = 180度。

3.等边三角形的面积公式：面积= a^2√3 / 4，其中a为边长，√3为根号3的值，约等于1.732。

这些公式可以帮助我们求解等边三角形相关的问题，进一步理解三角形的性质和计算方法。

等边三角形与等腰三角形

等边三角形与等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。

它们具有独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用都具有重要意义。

本文将从定义、性质、示例等方面探讨等边三角形与等腰三角形的关系和区别。

一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。

根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边相等：在等边三角形中，三条边的长度相等，即AB = BC = CA。

2. 三个内角相等：由于等边三角形的三边相等，按照三角形内角和定理可知，等边三角形的三个内角相等，均为60度。

3. 三个外角相等：等边三角形的三个外角相等，均为120度。

4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为对称轴，可以得到完全相同的图形。

二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形。

我们可以从以下角度了解等腰三角形的定义和性质：1. 两边相等：在等腰三角形中，两个边的长度相等，即AB = AC。

2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边所对的角）相等，可表示为∠B = ∠C。

3. 对称轴：等腰三角形中线对称轴是指通过顶点和底边的中点构成的直线。

等腰三角形具有一条中线对称轴。

4. 高度：等腰三角形的高边是底边的中线，高度刚好将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

三、等边三角形和等腰三角形的关系与区别1. 关系：等边三角形是等腰三角形中的一种特殊情况，即所有等边三角形也是等腰三角形，但不是所有等腰三角形都是等边三角形。

2. 区别：等边三角形的三边边长均相等，而等腰三角形只有两边边长相等；等边三角形的三个内角均相等为60度，而等腰三角形两个底角相等；等边三角形具有三个外角均相等为120度，而等腰三角形没有特定的外角性质。

四、示例1. 等边三角形示例：图1展示了一个等边三角形ABC，其中AB = BC = CA。

[图片]2. 等腰三角形示例：图2展示了一个等腰三角形DEF，其中DE = DF，且∠D = ∠E。

等边三角形的认识

等边三角形的认识等边三角形是初中数学中的一个重要概念，也是各类竞赛中常见的题型之一。

在学习和掌握等边三角形的过程中，我们不仅需要了解它的定义、性质和判定方法，还需要理解它在实际中的应用和意义。

本文将从这几个方面来介绍等边三角形的相关知识点。

一、等边三角形的定义等边三角形指的是三条边的长度相等的三角形。

它具有以下几个特点：1. 三边相等；2. 三个角度均相等；3. 任意一边都是其他两边的一半。

根据这个定义可以得出，等边三角形的内角度数为60度。

二、等边三角形的性质等边三角形具有如下性质：1. 等边三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线、三条中垂线重合于同一点，这个点称为等边三角形的垂心、重心、内心和外心；2. 等边三角形的面积可以用下面的公式计算：$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$，其中a为等边三角形的边长；3. 等边三角形的外接圆和内切圆半径相等，都等于$\frac{a\sqrt{3}}{3}$；4. 等边三角形的对称轴有三条，分别是三条中线；5. 等边三角形的对边互为平行线。

三、等边三角形的判定方法判定一个三角形是否是等边三角形，有以下两个方法：1. 若一个三角形的三边相等，则它是等边三角形；2. 若一个三角形的一个角为60度，则它是等边三角形。

四、等边三角形的应用和意义等边三角形在实际中的应用非常广泛。

以下是几个例子：1. 等边三角形作为了解其他三角形的基础，因为其他类型的三角形都可以拓展为等边三角形；2. 等边三角形是工程和建筑设计中的重要元素，如蜂窝状结构等；3. 在计算机图形学中，等边三角形被广泛用于绘制三维物体；4. 等边三角形还被用于制作许多艺术品。

总之，掌握等边三角形的定义、性质、判定方法以及应用是数学学习中的基础，也是实际中解决问题的必要工具。

我们应该在理论和实践中不断加深对等边三角形的认识和理解，以便更好地运用它。

等边三角形

探索星空：探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么? 等边三角形的内角都相等吗?为什么? ∵ AB=AC=BC
B A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个 ∠A=∠B=∠C(在同一个三角形中等边对等角三角形中等边对等角) 等边对等角) ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∠A=∠B=∠C=60°
等腰三角形
2. 三个角都相等的三角 A 形是等边三角形. 形是等边三角形.
等边三角形 B C
有一个角是60 60° 3 . 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角是等边三角形
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴这是两个等边三角形那么请移动三根火柴那么请移动 ,将此图变成四个等边三角形将此图变成四个等边三角形. 将此图变成四个等边三角形
C
等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角。都等于60 都等于
A
符号语言：符号语言：
∵ AB=AC=BC
B C
∴ ∠A= ∠ B=∠C= 60
。
探索星空：探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什等边三角形有“三线合一”的性质吗? 么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角每条边上的中线, 的平分线都三线合一。的平分线都三线合一。都三线合一
如图；已知平分如图；已知CE平分
∠ACB, ∠DAC = ∠B, ∠BAD = 60 求证:△AEF是等边三角形

等边三角形课件

01
等边三角形一定是等腰三角形，因为它有两边相等。
02
等腰三角形不一定是等边三角形，除非它的所有角都相等或者它的所有边都相等。
03
等边三角形的面积计算公式为 (S = frac{sqrt{3}}{4}a^2)，其中 (S) 是面积，(a) 是等边三角形的边长。
性质
总结词
等边三角形具有轴对称性。
详细描述
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的中垂线。
总结词
等边三角形的三个角都相等。
详细描述
等边三角形的三个角的大小都是60度，这是等边三角形的一个重要性质。
总结词
等边三角形的三线合一。
详细描述
等边三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都相等且重合。
近似计算
对于非精确计算，可以使用近似值进行计算，如将 (sqrt{3}) 近似为 (1.732)。
面积与边长的关系
面积随着边长的增加而增加
当等边三角形的边长增加时，其面积也会相应增加。
面积与边长的比例关系
面积与边长的平方成正比，即当边长增加一倍时，面积将增加四倍。
边长与面积的换算
可以根据等边三角形的面积计算其边长，也可以根据边长计算其面积。
几何作图中的应用
三角函数
等边三角形是三角函数中重要的基础图形，用于研究正弦、余弦
、正切等函数性质。
几何定理
等边三角形是几何学中许多定理的实例，如塞瓦定理、梅涅劳斯
定理等。
作图工具
等边三角形可以作为几何作图的基本工具，用于绘制其他复杂的
几何图形。
物理学中的应用
力学分析
在力学分析中，等边三角形可以用于描述力的分布和传递，如在梁的弯曲分析中。

等边三角形

等边三角形∙等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。

是特殊的等腰三角形。

如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。

∙性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)∙判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。

三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。

其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。

等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等边三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

第17讲等边三角形

第17讲等边三角形知识导航1．等边三角形三个内角均为60°． 2．等边三角形三条边相等． 3．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 4．三个角都相等的三角形是的等边三角形． 5．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．【板块一】等边三角形的性质方法技巧（1）运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系解题．（2）共顶点的两个等边三角形（也称手拉手图形）组成的图中，必定有全等三角形．题型利一与等边三角形有关的角度的计算．【例1】如图，△ABC 是等边三角形，CD ⊥BC ，CD ＝BC ，求∠DAC 和∠ADB 的度数．AD题型二共顶点的等边三角形（手拉手图形）【例2】如图，点D 是等边△ABC 的边AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）求证：△DBC ≌△EAC ；（2）求证：AE ∥BC ．B【例3】如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点E 在BC 上，AE 的延长线交BD 于点F ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）求∠AFB 的度数；（3）求证：CF 平分∠AFD ；（4）直接写出EF ，DF ，CF题型三【例4】如图，，点A （－2，0），B （2，0y 轴正半轴上一点，且∠ODB ＝30°，延长DB 至E ，使x 轴正半轴上一动点（点P 在点C 的右边），点M 在EP ＝60°，AM交BE 于点N ．（1）求证：BE ＝BC ；（2）求证：∠ANB ＝∠EPC ；（3）当点P 运动时，求BP －BN 的值．D E针对练习11．如图，等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B’处，DB ’，EB ’分别交AC 于点F ，G ，若∠ADF ＝80°，求∠EGC 的度数．B'B2．如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形， DC 于BE 交于点M ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）求∠AMD 的度数．3．如图1，等边△ABC 中，点D 是AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，向下作等边△DCF ，连接AE ，BF ．（1）求证：AB ＝AE ＋BF ；（2）当点D 在BA 延长线上时，如图2，若AE ＝10，BF ＝4，求AC 的长．B图1 图24．已知点D ，E 分别是等边△ABC 的边BC ，AB 上的点，∠ADE ＝60°．（1）如图1，当点D 是BC 的中点时，求证：AE ＝3BE ；（2）如图2，当点M 在AC 上，满足∠ADM ＝60°，求证：BE ＝CM ；（3）如图3，过C 作CF ∥AB 交ED 延长线于点F ，探究线段BE ，CF ，CD 之间的数量关系，并给出证明．BCBCBC图1 图2 图35.在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在第二象限，AO =a ，AB =b ，BO 与x 轴正方向的夹角150°，且220a -b a-b . ⑴判断△ABO 的形状；⑵如图1，若BC ⊥BO ，BC =BO ，点D 为CO 的中点，AC 、BD 交于点E ，求证:AE = BE +CE ；图 1⑶如图2，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG ，延长GA 交x 轴于点P ，AP 与AO 之间有何数量关系?试证明你的结论.图 26.△ABC 为等边三角形，BC 交y 轴于点D ，A (a ，0)，B (b ，0)，且a ，b 满足230a+ . (1)如图1，求点A ，B 的坐标及CD 的长；图 1(2)如图2，P是AB的延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证:直线EB必过点D关于x轴对称的对称点；(3)如图3，若点M在CA的延长线上，点N在AB的延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN-AM的值.【板块二】60°角的用法◆方法技巧◆合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.题型一过60°角一边上一点作平行线构造等边三角形.方法技巧:过60°角一边上一点，作平行线构造等边三角形，转化边与角.【例5】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，∠EDF=120°.(1)求证:DE=DF；(2)若AB=5，求CE-BF的值.A题型二在60°角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形方法技巧:在60°角的边上截取两条相等线段后构成等边三角形，然后产生新的全等三角形，从而找到解决问题的突破口.【例6】如图，△ABC 为等边三角形，∠ADB =60°. (1)如图1，当∠DAB =90°时，直接写出DA ，DC ，DB 之间的数量关系_______；图 1ABCD(2)如图2，当∠DAB ≠90°时，①中的关系式是否成立?说明理由.图 1ABCD题型三利用60°角的一边上的点向另一边做垂线构造30°，60°，90°的直角三角形方法技巧:利用30角所对的直角边等于斜边的一半，作高. 【例7】如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠C =45°，AB =2，BC =1 ，求△ABC 的面积.ABC題型四利用60°角延长构造等边三角形方法技巧；向外延长60”角的一边，在外部构造等边三角形.【例8】已知点D ，点E 分別等边△ABC 边BC ，AC 上的点，CD =AE ，AD 与BE 交于点F .(1)如图1，求∠AFE 的度数；图 1BCAD(2)点G 边AC 中点，∠BFG =120° ，如图2，求证:AF =2FG .图 2BCAD针对练习21.如图，在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO =PD ，求AP 的长.ABCP2.如图.在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC . (1)试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；(2)线段BD ，DE ，EC 三者有什么关系?请说明理由.E DBCA3.点D 为BC 上任一点，∠ADE =60°，边ED 与∠ACB 外角的平分线交于点E ，求证:AD =DE ；BCAD4.已知△ABC 是边长为5的等边三角形.(1)如图1，若点P 是BC 上一点，过点C ，点P 分别作AB ，AC 的平行线，两线相交于点Q ，连接BQ ，AP 的延长线交BQ 于点D .试问:线段AD ，BD ，CD 之间是否存在某种确定的数量关系?若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论；若不存在，说明理由；图 1QBCA(2)如图2，若点P 是BC 延长线上一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APE (点E 、点A 在直线BC 同侧)，连接CE 交AP 于点F ，求CE -CP 的值.图 2BCDE5.如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，以BC 为边在△ABC 的同侧作等边△DBC ，BD ，AC 相交于点E ，连结AD .(1)如图1，若A 2ACAB,求证：△ABC ≌△ADC图 1CA(2)如图2，若3AC AB，求ABAD的值. 图 2CAD6.如图1，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE =BD ，连接CE 、DE . ⑴求证：EC =ED ；图 1BDE⑵如图2，EO ⊥CD 于点O ，点N 在EO 上，△DNM 为等边三角形，CM 交EO 于F ，若FO =1，求FM -FN 的值.图 1BDE7.如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是AB 中点，点E 在BC 上，△DEF 为等边三角形，图 1BCE(1)当点E 为BC 中点时，直接写出FE 与FC 的数量关系为_______________. (2)当点E 不为BC 中点时，(1)结论还是否成立?请说明理由； (3)如图2，当∠DAF =90°时，求证:BE =3EC .图 2BCAE[板块三) 30°角的用法方法技巧构造30°角的直角三角形，算边长与面积. 题型一已知30°角连线巧得隐直角.【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系.BC题型二利用30°作高构造直角三角形.【例10】如图，CD 是△ABC 的中线，CD ⊥CB ，∠ACD =30°，求证:AC =2BC.DABC题型三已知30°和90°角补形构造直角三角形【例11】如图，四边形ABCD 中，∠C =30°，∠B =90°，∠ADC =120°，若AB =2，CD =8，求AD 的长.ACBD题型四利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形【例12】如图，∠AOC =15°，OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD /∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若OD =4cm ，求PE 的长.EOA题型五利用150°构造30°角的直角三角形【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，以AD 为腰作等腰△ADE ，且AD =AE ，∠BAC =∠DAE =30°，连接CE ，若BD =2，CD =5，求△DCE 的面积.BCAD E题型六30°直角三角形斜边上的高方法技巧：30°角的直角三角形斜边上的高中，有3个30°的直角三角形，选取最小的和最大的两个直角三角形进行计算.【例14】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，∠A =30°，AD =6，求BC 的长.DABC针对练习31.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a 元，求购买这种草皮至少需要多少元?BCA2.在△ABC 中，∠B =30°，AB =AC =8，P 为BC 上一点，求AP 的最小值.ABCP3.如图，在等边△ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =CE ，∠ACE =60°. (1)求证:△BCD ≌△ACE ；图 1EBCA(2)延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，若AF =CF ，猜想线段BF ，AF 的数量美系，并证明你的猜想.图 2BCAE4.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 为三角形内一点，且AB =AC =BD ，∠ABD =30°.求证:AD =CD ，AB C5.如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，∠BAC =60°，点D 为BC 上一点，∠ADC =60°，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，AE 、CF 相交于点H .ECBAD(1)求证:△DFC ≌△HFA ；(2)若DF =2，AF EH 的值.6.如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC ，AB 于点M ，N . (1)求证:CM =2BM ；BC(2)如图2，点F 为AB 上方一点，连接BF ，AF ，CF ，点B 关于直线AF 的对称点E 在CF 上，连接BE . 求证:△BEF 为等边三角形.B AFC。

等边三角形

１.如图，在△ABC中,∠C=900,∠B=150，
DE是AB的中垂线，BE=5,
Ａ
则AE=__5____,AC=_____
Ｄ
Ｂ
２.如图：已知在△ABC
中，∠A=300，C=900，
BD平分∠ABC. 求证：AD=2DC
Ａ
Ｅ
Hale Waihona Puke ＣＢＤＣ
3. 如图，等边三角形ABC中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点O。（1）AOB， BOC和 AOC有什么关系？
（2）求AOB，BOC， AOC的度数，将ABC绕点O
A
旋转，问要旋转多少度，就能和原来的三角形重合（只要求
F OE
说出一个旋转度数）？
B
DC
解：（2）由AOB ，BOC，AOC彼此全等，
得AOB=BOC=AOC（全等三角形的对应
角相等），OA=OB=OC（根据什么？）
AOB+BOC+AOC=360°
又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB
⑵ 等边三角形的三个内角都相等,并且
B
C
如图，△ABC是等边三角形，P、Q分别是AC、BC上的点，且AP=CQ，AQ与BP交于点M。
2、探索并掌握等边三角形的性质及判定；
又∴1△AA.DB三＝C是等A边B边三角都形相等的三角形是等边三角形.
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC＝
1 2
＝3.7(m)
1
又 AD＝ ∴DE＝ 1
A2 DA＝B ＝11.85(m)
2
2
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.
例题2. 如图在△ABC
中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=150,CD

等边三角形

练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC 的延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
答案：60°，30°；AB=2BC．
练习如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为________．
答案：5．
练习如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4 ．则BD =______ .
答案：1．
练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．
构造含30°的直角三角形如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN交BC 于M，交AB 于N．求证：CM=2BM．提示：连接AM．
构造含30°的直角三角形如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，EF 垂直平分AC 且交BC 于F．求证：BF＝2CF．
结论
等边三角形的性质1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 怎么写过程呢？
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．

等边三角形

什么是等边三角形

等边三角形

等边三角形

什么是等边三角形？

等边三角形

等边三角形

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等边三角形与等腰三角形

等边三角形的认识

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等边三角形

第17讲 等边三角形

等边三角形

等边三角形

第17讲等边三角形