北京市海淀区2012届高三下学期期中练习数学(文)试题
北京市海淀区 高三第二学期期中练习数学(文)试题及答案【精编】.doc
海淀区高三年级 第二学期期中练习数学试卷（文科）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B I ＝ A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<<D ．{}|21x x -≤<2、已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若a b r rP ，则t ＝A ．1B ．2C ．3D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32C ．23 D ．266、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为A 、12 B 、1 C 、32D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数22x y =-10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X g g g ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3，求c 的值． 16．（本小题满分13 分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学文科
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若则角且,0cos ,0cos sin 是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．函数xx f 2)(的反函数的图象大致是（）3．若向量b a b a 与则向量),3,1(),2,1(的夹角等于（）A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°4．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是（）A ．若则,//,//l lB ．若l l 则,//,C ．若则,//,l lD ．若//,//,//l l l 则5．“2a”是“直线022012yax ay x 与直线”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．函数)4sin()(x x f 的一个单调增区间为（）A ．)47,43(B ．)43,4(C ．)2,2(D ．)4,43(7．已知实数a ，b ，c 成公差不为零的等差数列，那么下列不等式不成立．．．的是（）A ．2|1|bc a b B ．222cbaca bc ab C ．acb2D ．||||||||b c a b 8．对于数列}{n a ，若存在的常数M ，使得对任意1*,n n a a n 与N 中至少有一个不小于M ，则记：,}{M a n 那么下列命题正确的是（）A ．若}{,}{n n a M a 则数列的各项均大于或等于MB ．若Mb a M b M a n nn n 2}{,}{,}{则C ．若22}{,}{M a M a nn 则D ．若12}12{,}{M a M a nn 则第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．函数x x f sin )(的最小正周期是.10．在6)2(x 的展开式中，x 的系数是.（用数字作答）11．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且△F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为.12．已知四面体P —ABC 中，PA=PB=PC ，且AB=AC ，∠BAC=90°，则异面直线PA 与BC所成角的大小为.13．在△ABC 中，A B BCAC则,60,2,6的大小是；AB= .14．若实数y x zxyxx y xy x 23,024,||,1,22则满足的最小值是；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知}.3|2||{},4|||{x x B a x x A （I ）若B Aa 求,1；（II ）若R BA ，求实数a 的取值范围.16．（本小题共13分）如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB//CD ，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4. （I ）求证：BC ⊥PC ；（II ）求PB 与平面PAC 所成角的正弦值；（III ）求点A 到平面PBC 的距离.17．（本小题共14分）已知数列,...).3,2,1(1,}{n na S S n a n n n n 且满足项的和为前（I ）求21,a a 的值；（II ）求}{n a 的通项公式.18．（本小题共13分）3名志愿者在10月1号至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且备志愿者的选择互不影响，求：（I ）这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率；（II ）这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率.19．（本小题共14分）已知函数R是定义在)(x f 上的奇函数，当.)1(2)(,023x m mxxx f x时（I ）当)(,2x f m 求时的解析式；（II ）设曲线0)(x xx f y在处的切线斜率为],1,1[,0x k 且对于任意的m k 求实数,91的取值范围.20．（本小题共13分）在△PAB 中，已知)0,6(A 、),0,6(B 动点P 满足.4|||PB PA （I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）设点)0,2(),0,2(N M ，过点N 作直线l 垂直于AB ，且l 与直线MP 交于点Q ，试在x 轴上确定一点T ，使得PN ⊥QT ；（III ）在（II ）的条件下，设点Q 关于x 轴的对称点为R ，求OR OP 的值.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1—5 CADCB6—8 ABD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．210．24011．2312．90°13．451314．0 22三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共12分）解：（I ）当}.53|{,1x x A a 时………………2分分分或6}.13|{4}.51|{x x BAx x x B （II ）}.44|{axax A………………8分分的取值范围是实数分分且或12).3,1(11.31105414}.51|{a aa a B Ax x x B R注：若答案误写为31a，扣1分.16．（本小题共14分）方法1（I ）证明：在直角梯形ABCD 中，∵AB//CD ，∠BAD=90°，AD=DC=2∴∠ADC=90°，且.22AC ………………1分取AB 的中点E ，连结CE. 由题意可知，四边形AECD 为正方形，所以AE=CE=2，又,21,221AB CEAB BE所以则△ABC 为等腰直角三角形，所以AC ⊥BC ，……………………2分又因为PA ⊥平面ABCD ，则AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC ……………………4分（II ）由（I ）可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC=C. 所以BC ⊥平面PAC ，……………………5分PC 是PB 在平面APC 内的射影，所以∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角. ……6分又22CB，………………7分,52,20222PB ABPAPB………………8分.510,510sin 所成角的正弦值为与平面即PAC PB CPB ………………9分（III ）由（II ）可知，BC ⊥平面PAC ，BC 平面PEC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ，………………10分过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于E ，所以AF ⊥平面PBC ，则AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离. ………………11分在直角三角形PAC 中，PA=2，AC=22，………………12分32PC ………………13分所以.362,362的距离为到平面即点PBC A AF ………………14分方法2：∵AP ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°∴以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系………1分∵PA=AD=DC=2，AB=4.)2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,4,0(P C D B ………………2分（I ）),2,2,2(),0,2,2(PC BC 0PC BC ………………3分PCBC PC BC即,………………4分（II ）),,(),0,2,2(),2,0,0(z y x PAC AC APn 的法向量设平面022,000yxz ACAP n n ………………6分设)0,1,1(,1,1nyx………………7分||||,cos )2,4,0(n n nPB PB PB PB ………………8分510………………9分即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为.510（III ）由),,(),2,2,2(),2,4,0(c b a PBC PC PB m的法向量设平面022202400c b acb PCPB m m ………………11分设)2,1,1(,1,2,1m b c a ………………12分||||m m AB dPBC A 的距离为到平面点………………13分=362∴点A 到平面PBC 的距离为362………………14分17．（本小题共13分）解：（I ）当111,1a a n 时，………………1分.211a ………………2分当22121,2a a a n时………………3分612a ………………5分（II ）nn na S 1分分符合上式时当分分分分时当13).,3,2,1()1(112,21,111)1(110)1(29117)1()1(12111111nn n a a n n n a n n a a n n a na a n a a n S n nn n n nnnn n18．（本小题共13分）解法1：（I ）3名志愿者每人任选两天参加社区服务，共有325)(C 种不同的结果，这些结果出现的可能性相等……………………1分设“这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作”为事件 A 则该事件共包括314)(C 种不同的结果……………………3分1258)()()(325314C C A P ………………5分答：这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率为.1258…………6分（II ）3名志愿者都不在10月1日参加社区服务工作的概率为.)()(325224C C …………8分3名志愿者中只有1人在10月1日参加社区服务的概率为3252241413)()(C C C C ……10分设“这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作”为事件B125811255412527)()()()()(3252241413325324C C C C C C B P ………………12分答：这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率为.12581……13分解法2：（I ）每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为522514CC P…………2分设“3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作”为事件A…………3分1258)52()(3A P ………………5分答：这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率为.1258…………6分（II ）3名志愿者都不在10月1日参加社区服务工作的概率为：33)53()521(………………8分3名志愿者只有一人在10月1日参加社区服务工作的概率为：213)521)(52(C ……10分设“这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作”为事件B …………11分125811255412527)53)(52()53()(2133C B P ………………12分答：这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率为.12581……13分19．（本小题共14分）解：（I ）0)0(,)(f x f 上的奇函数是定义在R . …………1分分分分时当时当4)0()1(2)0()1(2)(3)1(2])1(2[)(2)()(,0,)1(2)(,02323232323x xm mxxx x m mx x x f x m mx xx m m xxx f x f x f xx m m xxx f x )0(22)0(22)(,22323xxx xx x x x x f m 时当………………5分（II ）由（I ）得：)0()1(26)0()1(26)(22xm mx xx m m x x x f ………………6分恒成立即可时对任意是偶函数分恒成立时则对任意且对于任意的处的切线斜率为在曲线9)(1,]1,0[,)(7,9)(1,]1,1[,91],1,01[,)(00000x f x x f x f x kx k x xx f y ①当,06时m 由题意得9)1(1)0(f f 20m………………9分②当160m 时9)1(9)0(1)6(f f m f 06m ……………………11分③当时16m 1)1(9)0(f f 68m……………………13分综合①②③得，28m ……………………14分∴实数m 的取值范围是}.28|{m m 20．（本小题共14分）解：（I ）|,|4||||AB PB PA 动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，除去其与x 轴的交点. ……………………1分设双曲线方程为).0,0(12222b a by ax 由已知，得,2,6,42,6ac ac 解得………………2分.2b ……………………3分∴动点P 的轨迹方程为).2(12422x yx………………4分注：未除去点（2，0），扣1分（II ）由题意，直线MP 的斜率存在且不为0，直线l 的方程为.2x设直线MP 的方程为).2(x k y ……………………5分22202222122222200214)2(212421482,021.2,2.0)48(8)21(,)2(124),,(),4,2(,k k x k y k k x kk x kx x x k xk x k xk y yx y x P k Q MP l Q 且根此方程必有两个不等实整理得由设的交点与直线是点).214,2124(222kkkk P ………………8分),4,2(),214,218(),0,2(.0,),0,(222k tQTkk kkPNN QT PN QT PN t T 由只需要使得设0]16)2(8[(211222k t k kQTPN ，………………10分.0,0,4,0QT PN t k 此时∴所求T 点的坐标为（4，0）. ……………………11分（III ）由（II ）知).4,2(),214,2124(),4,2(222k ORkk kkOP k R .42184)4(2142212422222kk k kk kk OROP .4OR OP ……………………14分说明：其他正确解法相应步骤给分.。
北京市海淀区2012届高三下学期期中练习 语文试题(2012海淀一模)扫描版
海淀区高三年级第二学期期中练习答案 语文2012.4 第一部分 （共27分） 一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1.B2.B3.D 4.D 5.C 二、本大题共4小题，每小题3分，共12分。
6.C ７.B ８．B ９．A 第二部分 （共123分） 三、本大题共4小题，共30分。
10.（10分）要点：从文中举例恰当（1分），概括说明骆先生的处世之道（2分）；谈看法观点鲜明（可正可反或正反结合）（2分），分析言之成理（可举例分析，也可说理分析；以例代析、说理分析不到位酌情扣分）（3分），语言顺畅，表达清晰（2分）。
11.（5分）“/”处为必断句处，“//”处为可断可不断处。
必断处每答对2处得1分。
在可断可不断处断句，不得分。
答错2处扣1分，扣完5分为止。
九里松者仅见一株两株如飞龙劈空雄古奇伟想当年万绿参天松风声壮于钱塘潮今已化为乌有更千百岁桑田沧海恐北高峰头有螺蚌壳矣安问树有无哉？ 译文被称为九里松的名胜，现在只能见到一两棵松树，像飞龙劈开天空一样，显得苍而雄伟。
遥想当年，万松苍绿，直插云天，松涛声比钱塘江的潮水还要雄壮，而今已经化为乌有了；再过千百年以后，沧海变桑田，恐怕连北高峰顶都会出现螺蚌壳呢，还用问松树有无吗？ 类别评分要求评分说明一类卷 （6050分）紧扣题意、中心突出 内容充实、感情真挚 语言流畅、表达得体 结构严谨、层次分明以5分为基准分，浮动。
符合一类卷的基本要求，有创意有文采的文章可得5分以上二类卷 （分）符合题意、中心明确 内容较充实、感情真实 语言通顺、表达大致得体 结构完整、条理清楚以4分为基准分，浮动。
符合二类卷的基本要求，其中某一方面比较突出的文章可得4分以上。
三类卷 （分）基本符合题意、中心基本明确 内容较充实、感情真实 语言基本通顺、有少量语病 结构基本完整、条理基本清楚以3分为基准分，。
四类卷 （20分）偏离题意、立意不当 中心不明确、内容空洞 语言不通顺、语病多 结构不完整、条理混乱说明：每3个错别字减1分，重复的不计。
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（16）（本小题满分 13 分）
在一次“知识竞赛”活动中，有 A1, A2 , B, C 四道题，其中 A1, A2 为难度相同的容易题， B 为中档 题， C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
A, B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② OAB 的面积为定值；③曲线 C 上存
在两点 M , N ，使得 OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（A）１
（B）２ （C）３ （D）０
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
（9）复数
（10）已知双曲线
z
=
1+ i3
i
x2 a2
，则
-
z
=
.
y2 = 1的渐近线方程是 y = ± 2x ，那么此双曲线的离心率为 b2
（11）在 ABC 中，若 ÐA = 120° ， c = 6 ， ABC 的面积为 9 3 ，则 a =
（12）在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ，则 PAB 的面积大于等于 1 的概率是
海淀区高 三年级第 二学期期 末练习
数 学（文科）
2012.05 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）函数 y = - x2 + 1,- 1£ x < 2 的值域是
（A） (- 3, 0]
（2）已知命题 p ： $x Î
值点是
；函数 f (x) 的值域是
北京市海淀区2012届高三第二学期期中练习--数学文
北京市海淀区2012届高三年级第二学期期中练习数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|1}A x x ，{|(2)0}B x x x ，那么A B =A ．B ． {1}C ．{1}D ．{1,1}2．在等比数列{}n a 中，26a ，318a ，则1234a a a a =A ．26B ．40C ．54D ．803．已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),．若a 与b 垂直，则||b =A ．1BC ．2D ．44．过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A ．34150x y B ．34150x yC ．43200xyD ．43200xy5．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 A ．3- B ． 2-C ．1-D ．07．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是A ．2aB ．2aC ．22aD ．2a或2a8．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足'2PAPC 的点P 的个数为A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9．若复数2i1i在复平面内所对应的点的坐标为 ． 10．若tan 2α，则sin2α= ．11．以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 ．12．已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 ． 13．设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 ．14．已知函数()⎩⎨⎧=01x f ,,Q C x Q x R∈∈,则()______f f x ；下面三个命题中，所有真命题的序号是 ．①函数f x 是偶函数；②任取一个不为零的有理数T ，()()f xT f x 对x ∈R 恒成立；③存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数()sin sin()3f x x xπ．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．已知3()f A ，3a b ，试判断ABC ∆的形状．A'B'C'D'A BCD 俯视图某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．17．（本小题满分14分）`已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ；（Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长． 18．（本小题满分13分） 已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．ABCD图1M FEABC 1D图2已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，离O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于A 点）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围．20．（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-．已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card （M ）表示有限集合M 所含元素的个数． （ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X ；（ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值．参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1． （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 C B B D A C A B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）(1,1) （10）45（11）22(4)(4)25x y（12）3 2（13）(10,20) （14）1 ①②③ 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x xπ13sin sin cos 22x x x ………………………………………2分 33sin cos 2x x 313sin cos 22x x3sin()6xπ． ………………………………………4分 由22,262k x k k πππππZ ，得：222,33k x k k ππππZ ．所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ，k Z ．………………………………………6分 （Ⅱ）因为 3()f A ，所以3)6Aπ．所以1sin()62A π． ………………………………………7分 因为 0A π，所以5666Aπππ． 所以 3Aπ． ………………………………………9分因为sin sin abAB ，3ab ， 所以 1sin 2B ． ………………………………………11分因为 a b ，3A π，所以 6B π．所以 2C π．所以 ABC ∆为直角三角形． ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以0.0125x ． ………………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12．………………………………………9分 因为 6000.1272⨯=．所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿． ………………………………………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EMF ，BD ⊄平面EMF ,所以//BD 平面EMF ． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD 中，1,C O BD AO BD ⊥⊥．又 1,C O AO O =所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分 又 1AC ⊂平面1AOC ，所以 BD ⊥1AC ． ………………………………………9分 （Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=， 所以 ABD ∆是等边三角形．所以 DA DB =． ………………………………………10分 因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又 EF AB ⊥，EF DE E =．O M FEABC 1D………………………………………12分 又 1C E ⊂平面1DEC ， 所以 AB ⊥1C E ． 因为 ,4AEEB AB，1BC AB ，所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．2'()a x a f x x x x-+=-=． ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <．所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞．………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =． 函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞． ………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减．所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤． ………………………………………7分当0a >时， M FEABC 1D所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤． ………………………………………10分②1>，即1a >时，()f x在上单调递增， 所以(1)f f >． 又 (1)0f =，所以0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾． ………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞．………………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =．又c a =，所以c = 所以 222431b a c =-=-=．所以 椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =．所以||1||2DE AP =． ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-． ………………………………………6分 由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=． 即2222(14)161640k x k x k +-+-=．所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以 ||AP ==即 ||AP =．类似可求||DE =所以2||||DE AP ==………………………………………11分设t =则224k t =-，2t >．22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>． 所以 ()g t 是一个增函数．所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=． 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2． ………………………………………13分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=． ………………………………………3分（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W ．（ⅰ）证明：假设2W ，令{2}Y W =．那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆．这与题设矛盾．所以 2W ，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X ．………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W 且8W ． 若存在aX 且a A B ，则令{}XZ a =．那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆．所以 集合W 中的元素只能来自A B ．若aA B 且a A B ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变．综上可知，当W 为集合{1,6z10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆ 取到最小值4．………………………………………14分。
北京市海淀区2012-2013学年高三期中练习数学试卷及答案(文科) 含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文科） 2012. 11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =-≤，则U A =ð A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．()f x x =B ．()f x =C ．1()2xf x =D ．()ln f x x =3．在平面直角坐标系中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ⋅uu r uu u r的值为A ．1B 1CD 14．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 A ．[2,)+∞ B ．5[,)2+∞C ．5[2,]2D ．(0,2]5．设0.5a =π，3log 2b =，cos2c =，则A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是 A ．x ∀∈R ，()()f x f x >- B ．0x ∃∈R ，00()()f x f x >- C ．x ∀∈R ，()()0f x f x -≥ D ．0x ∃∈R ，00()()0f x f x -<7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,1]-B ．[1,2]-C ．(,1]-∞D ．[1,)-+∞8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列3个集合： ①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|cos }M x y y x == ③{(,)|e 2}xM x y y ==- 其中所有“好集合”的序号是 A ．①②B ．②③C ．③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，则5a = ． 10．2(sin15cos15)︒+︒= ．11．已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为 ． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r，则yx= ． 13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称k a 为{}n a 的一个峰值． （Ⅰ）若|7|n a n =--，则{}n a 的峰值为 ；（Ⅱ）若2,24,2n n tn n a tn n ⎧-≤=⎨-+>⎩且{}n a 存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，点D 是斜边AB 上的一点，且AC AD =． （Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BDC ∠的值．16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．17．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+． （Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内 截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值． 19．（本小题满分14分）已知函数31()13f x x ax =-+． （Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m ∈R ，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,4)n a n <≥具有性质P ：对任意NBMDF CA的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立． （Ⅰ）分别判断数集{1,2,4,6}与{1,3,4,7}是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）求证：41232a a a a ≤++； （Ⅲ）若72n a =，求n 的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为在直角ABC ∆中，3,4AC BC ==，所以5,AB = ………………1分所以3cos 5A = ………………3分 在ACD ∆中，根据余弦定理2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅ ………………6分 所以2223332335CD =+-⋅⋅⋅所以CD = ………………8分 （II ）在BCD ∆中，3sin 5B = ………………9分根据正弦定理sin sin BC CDBDC B=∠∠ ………………12分把4BC =，CD =sin BDC ∠=………………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩ ………………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-== ………………9分 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ………………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)2f x x x =-+22sin sin2x x =+………………2分1cos2sin2x x =-+ (4)分π)14x =-+ (6)分所以πππ())11844f =-+= ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =-+ 所以2ππ2T == ………………9分 又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π+22k k -（）() Z k ∈， ………………10分 所以令πππ2π22π242k x k -<-<+， ………………11分解得π3πππ88k x k -<<+………………12分 所以函数()f x 的单调增区间为π3π(π,π)88k k -+() Z k ∈， ………………13分18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………………2分在EDF ∆中，EQ EFPQ FD= 所以4482x y -=- ………………4分 所以1102y x =-+，定义域为{|48}x x ≤≤ ………………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当[4,8]x ∈，()S x 单调递增 ………………11分 所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分19. （本小题满分14分）解：（I ）因为2()f x x a =-'………………2分 当1x =时，()f x 取得极值，所以(1)10f a =-=', 1a = ………………3分 又当(1,1)x ∈-时, ()0,f x <'(1,)x ∈+∞时,()0,f x >' 所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意 ………………4分(II) 当0a ≤时，()0f x >'对(0,1)x ∈成立， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在0x =处取最小值(0)1f = ………………6分当0a >时，令2()0f x x a =-='，12x x == ………………7分当01a <<1x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减x ∈时，()0,f x >'()f x 单调递增所以()f x 在x =1f = ………………9分当1a ≥1≥(0,1)x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 所以()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =- ………………11分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在0x =处取最小值(0)1f =当01a <<时，()f x 在x 处取得最小值1f = 当1a ≥时，()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =-.(III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立， ………………12分 只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可， 而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………14分20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P ………………2分因为不存在,{1,3,4,7}i j a a ∈，使得3i j a a =+所以{1,3,4,7}不具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ，所以对4a 而言，存在12,{,,,}i j n a a a a a ∈⋅⋅⋅，使得 4i j a a a =+ 又因为12341<<<<, 4n a a a a a n =⋅⋅⋅≥所以3,i j a a a ≤，所以432i j a a a a =+≤ ………………6分 同理可得322a a ≤，212a a ≤ 将上述不等式相加得234123++2(++)a a a a a a ≤所以41232++a a a a ≤………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a a a ≤≤，又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤< 所以8n ≥构造数集={1,2,4,5,9,18,36,72}A （或={1,2,3,6,9,18,36,72}A ），经检验A 具有性质P ，故n 的最小值为8 ………………14分。
北京市海淀区高三下册期中练习数学(文)试题及答案(必备优质)
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（文科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<< D ．{}|21x x -≤<2、已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝A ．1B ．2C ．3 D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为ABC．3 D．36、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为A 、12 B 、1 C 、32D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．函数y10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为c 的值． 16．（本小题满分13 分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。
北京市海淀区2012届高三下学期期中练习 理科数学试题(2012海淀一模).pdf
海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科） 2012.04 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合，，且，那么的值可以是 （A） （B） （C） （D） （2）在等比数列中，，则=（A）（B） （C）（D）且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A） （B） （C） （D） （4）已知向量若与垂直则 （B） （C）2 （D）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的值是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 （A）12 （B）24 （C）36 （D）48 （7）已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）或 （8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数= . （10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若，则= . （12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . （13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么=，=. （14）已知函数则 （）=； （）给出下列三个命题： ①函数是偶函数； ②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别为，且，， 成等差数列. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）设，求的最大值. (16)（本小题满分14分） 在四棱锥中，//，，，平面，. （Ⅰ）设平面平面，求证：//； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． (17)（本小题满分13分） 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，. （）的值； （Ⅱ） （），求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） (18)（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (19)（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示. （）证明：; （）求四边形的面积的最大值. (20)（本小题满分14分） 对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，. （Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合； （Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？ 海淀区高第学期期练习 学参考答案及评分标准 2012．题号1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 （10）（11） （12） （13）60° （14） ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为成等差数列， 所以. 因为， 所以. ………………………………………2分 因为，，， 所以. ………………………………………5分 所以或（舍去）. ………………………………………6分 （Ⅱ）因为， 所以 . ………………………………………10分 因为， 所以. 所以当，即时，有最大值. ………………………………………13分 (16)（本小题满分14分） （Ⅰ）证明： 因为//，平面，平面， 所以//平面. ………………………………………2分 因为平面，平面平面， 所以//. ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，. ………………………………………5分 所以 ，， ， 所以， . 所以 ，. 因为 ，平面， 平面， 所以 平面. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为. 所以 . 所以 . 所以 即. 所以 . ………………………………………11分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为. ………………………………………12分 因为 ， 所以 . 解得 . 所以 . ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） . 所以 . ………………………………………2分 （）， ………………………………………4分 因为， 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. ………………………………………6分 （） 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为， , , ,, . 所以的分布列为： 01234………………………………………12分 .（或） 所以的数学期望为1. ………………………………………13分 (18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）的定义域为. ， 即 . ………………………………………2分 令，解得：或. 当时，，故的单调递增区间是. ………………………………………3分 当时， ，随的变化情况如下： 极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………………………………………5分 当时， ，随的变化情况如下： 极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………………………………………7分 （Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下： 当时，无极大值. 当时，的极大值为， ………………………………………8分 令，即 解得 或（舍）. ………………………………………9分 当时，的极大值为. ………………………………………10分 因为 ，， 所以 . 因为 ， 所以 的极大值不可能等于. ………………………………………12分 综上所述，当时，的极大值等于. ………………………………………13分 (19)（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为. 因为，， 所以. 所以 . ………………………………………2分 所以 椭圆的标准方程为. ………………………………………3分 （Ⅱ），，，. （）证明：由消去得：. 则， ………………………………………5分 所以 . 同理 . ………………………………………7分 因为 , 所以 . 因为 ， 所以 . ………………………………………9分 （）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 . 因为 ， 所以 . ………………………………………10分 所以 . （或） 所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. ………………………………………13分 (20)（本小题满分14分） 解：（Ⅰ），，. ………………………………………3分 （Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则. 所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素. 所以 当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，取到最小值4.………………………………………8分 （Ⅲ）因为 ， 所以 . 由定义可知：. 所以 对任意元素，， . 所以 . 所以 . 由 知：. 所以 . 所以 . 所以 ，即. 因为 ， 所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为. ………………………………………14分 北京利德智达文化发展有限公司 否 是 否 是 k=k+1 结束 输出k n=1 n为偶数 n=5，k=0 开始。
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海淀区高三年级第学期期练习 数 学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ，，那么=（A） （B） （C） （D） （2）在等比数列中，，，则=（A）（B） （C）（D）已知向量若与垂直则 （C）2（D）4 （4）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A） （B） （C） （D） （5）执行如图所示的程序框图，输出的值是 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （6）若满足条件的整点恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为 （A） （B） （C） （D） （7）已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）或 （8）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 （A）4 （B）6 （C）8 （D）12 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数，则= . （11）以抛物线上的点为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 . （12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 . （13）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . （14）已知函数 则； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . 函数是偶函数； 任取一个不为零的有理数，对恒成立； 存在三个点使得为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题分） . （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）在中，角，，的对边分别为. 已知，，试判断的形状. （16）（本小题分），样本数据分组为，，，，. （）的值； （Ⅱ） (17)（本小题分） （如图1所示），将菱形ABCD沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）当时，求线段AC1 的长． (18)（本小题分） . （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. （19）（本小题分） 的右顶点，离心率为，为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围. （20）（本小题分）M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}. （Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合； （Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数. （）求证：当取得最小值时， ； （）求的最小值. 海淀区高第学期期练习 学参考答案及评分标准 2012．题号1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 （10）（11） （12） （13） （14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题分） ………………………………………2分 . ………………………………………4分 由， 得：. 所以 的单调递增区间为，. ………………………………………6分 （Ⅱ）因为 ， 所以 .所以. ………………………………………7分 因为 ，所以 . 所以 . ………………………………………9分 因为 ，， 所以 . ………………………………………11分 因为 ，，所以 .所以 . 所以 为直角三角形. ………………………………………13分 (16)（本小题分） （） . 所以. ………………………………………6分 （）. ………………………………………9分 因为 . 所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. ………………………………………13分 (17)（本小题分） 分别是的中点， 所以． ………………………………………2分 又平面，平面, 所以平面． ………………………………………4分 （Ⅱ）在菱形中，设为的交点, 则． ………………………………………5分 所以 在三棱锥中， . 又 所以 平面． ………………………………………7分 又 平面， 所以 ． ………………………………………9分 （Ⅲ）连结．在菱形中，， 所以 是等边三角形. 所以 ． ………………………………………10分 因为 为中点，所以 ． 又 ，． 所以 平面，即平面． ………………………………………12分 又 平面， 所以 ． 因为 ，， 所以 ． ………………………………………14分 (18)（本小题分） 的定义域为. . ………………………………………2分 当时，在区间上，. 所以 的单调递减区间是. ………………………………………3分当时，令得或（舍）. 函数,随的变化如下： +0极大值所以 的单调递增区间是，单调递减区间是. ………………………………………6分 综上所述，当时， 的单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 当时, 在上单调递减. 所以在上的最大值为，即对任意的，都有. ………………………………………7分 当时， 当，即时，在上单调递减. 所以在上的最大值为，即对任意的，都有. ………………………………………10分 当，即时，在上单调递增， 所以 . 又 ， 所以 ，与对于任意的，都有矛盾. ………………………………………12分 综上所述，存在实数满足题意，此时的取值范围是. ………………………………………13分 （19）（本小题分） 是椭圆的右顶点，所以 . 又 ，所以 . 所以 . 所以 椭圆的方程为. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短轴，则. 所以 . ………………………………………5分 当直线的斜率不为0时， 设直线的方程为，， 则直线DE的方程为. ………………………………………6分 由 得. 即. 所以 所以 ………………………………………8分 所以 . 即 . 类似可求. 所以 ………………………………………11分 设则，. 令，则. 所以 是一个增函数. 所以 . 综上，的取值范围是. ………………………………………13分 （20）（本小题分），，. ………………………………………3分 （Ⅱ）设当取到最小值时，. （）证明：假设，令. 那么 .这与题设矛盾. 所以 ，即当取到最小值时，. ………………………………………7分 （）同（）可得：且. 若存在且，则令. 那么 . 所以 集合中的元素只能来自. 若且，同上分析可知：集合中是否包含元素，的值不变. 综上可知，当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，取到最小值4. ………………………………………14分 高考学习网（ 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
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（Ⅰ）若 c＝ 14，求 sinA 的值；
（Ⅱ）若△ ABC的面积为 3 3 ，求 c的值．
16．（本小题满分 13 分）
已知数列 an 是等比数列，其前 n项和为 Sn ，满足 S2 a1 0 ， a3 12 。
（ I ）求数列 an 的通项公式； （ II ）是否存在正整数 n，使得 Sn ＞2016？若存在，求出符合条件的 n的最小值；若不存在，说明
20．（本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x) ＝ 1 x ex
（Ⅰ）求曲线 y f ( x) 在点（ 0， f （ 0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意 x1 , x2 [ a, ) ，都有 f (x1) f ( x2 )
1 e2 成立，求实数 a 的最小值。
a 在 ABC 中，因为
sin A
分
6 14
即 sin A 3
2
所以 sin A
分
3 3. 14
c
，
sinC
……………………… .2 ……………………… .3 分
……………………… .5
方法二：过点 B 作线段 AC 延长线的垂线，垂足为 D
A
因
为
BCA 2π
，
所
以
3
BCD π 3
……………………… .1 分
A．－ 1
B． 1
C．－ i
D． i
D． 4 z＝ i （其中 i 为虚数单位） ，则输出的 S 值为
x y20 4．若 x， y 满足 x y 4 0 ，则 z 1 x y 的最大值为
2 y0
海淀高三期中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. f(x) = √(x+1)B. g(x) = 1/xC. h(x) = log2(x-1)D. k(x) = x^2 - 4x + 42. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10等于（）A. 19B. 21C. 23D. 253. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > x + 4B. x^2 - 4 < 0C. 3x - 5 ≤ 2x + 1D. |x| > 04. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 以点(1,0)为圆心，半径为2的圆B. 以点(1,0)为圆心，半径为3的圆C. 以点(1,0)为圆心，半径为1的圆D. 以点(1,0)为圆心，半径为4的圆5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(-1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值cosA等于（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/27. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，则数列{an}的前n项和Sn等于（）A. 2^n - 1B. 2^n - nC. 2^n - n - 1D. 2^n - n + 18. 若等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则数列{an}的前n项和Sn等于（）A. 2^n - 1B. 2^n - nC. 2^n - n - 1D. 2^n - n + 19. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则函数f(x)的图像的对称中心是（）A. (1, 0)B. (0, 0)C. (1, 1)D. (0, 1)10. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y=x的对称点P'的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则第n项an=______。
2012-2013年海淀区高三年级第一学期期中数学试题(文科)
2012-2013年海淀区高三年级第一学期期中数学试题(文科)海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （文科） 2012.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集=R U ，集合{|10}A x x =-≤，则UA =ð( )A. (,1)-∞B.(1,)+∞C. (,1]-∞D.[1,)+∞ 2. 下列函数中，在定义域内是减函数的是( )A. ()f x x =B.()f x =C. 1()2xf x =D.()ln f x x = 3.在平面直角坐标系中，已知点(0,0),(0,1),O A B ，则OA AB ⋅u u u r u u u r的值为( )A. 1114.函数21()x f x x +=（122x ≤≤）的值域为（ ） A. [2,)+∞B.5[,)2+∞C. 5[2,]2 D.(0,2] 5. 设0.53π, log 2, cos2a b c ===，则（ ）A. c a b <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a << 6. 已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是( )A. R x ∀∈,()()f x f x >-B.0R x ∃∈,0()()f x f x >- C. R x ∀∈,()()0f x f x -≥ D. 0R x ∃∈,00()()0f x f x -<7. 已知函数1, 0,() 1, 0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为( )A. [1,1]-B. [1,2]C. (,1]-∞D.[1,)-+∞ 8. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立 ，则称集合M 是“好集合 ”. 给出下列3个集合：① 1{(,)|}M x y y x == ②{(,)|cos }M x y y x == ③ {(,)|e 2}xM x y y ==-其中所有“好集合”的序号是（ ） A.①②B. ②③C.③D.①②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 已知数列{}na 中，11a =，12n n a a +=，则5a =________. 10.2(sin15cos15)______.+=o o11.已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为_________.12.在OAB ∆中，点M 为边AB 中点，若//OP OM u u u r u u u u r，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u u r u u u r，则____.yx =13.已知函数()y g x =的图象可以由()sin2f x x =的图象向右平移(0π)ϕϕ<<个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=________.14.数列{}na 中，如果存在ka ,使得“1kk a a ->且1kk a a +>”成立(其中2,N k k *≥∈) ,则称ka 为{}na 的一个峰值.(Ⅰ) 若|7|na n =--,则{}na 的峰值为___________________;(Ⅱ)若2, 2,4, 2, n n tn n a tn n ⎧-≤=⎨-+>⎩且{}na 存在峰值，则实数t 的取值范围是________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在Rt ABC ∆中，3,4AC BC ==，点D 是斜边AB 上一点,且AC AD =.(Ⅰ) 求CD 的长； （Ⅱ）求sin BDC ∠的值.16.（本小题满分13分）已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且255,20a S =-=-.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式nnS a >成立的n 的最小值.17.（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)2f x x x =-+. （Ⅰ）求π()8f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.18.（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上.A MEPDCBNF（Ⅰ）设MP x =米,PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解 析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值.19.（本小题满分14分）已知函数31()13f x x ax =-+.（Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意R m ∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数集12={,,,}nA a a a ⋅⋅⋅（121<<<, 4na a a n =⋅⋅⋅≥）具有性质P ：对任意的(2),k k n ≤≤, (1)i j i j n ∃≤≤≤，使得=+kija a a 成立.(Ⅰ) 分别判断数集{1,2,4,6}与{1,3,4,7}是否具有性质P ，并说明理由；(Ⅱ)求证：41232++aa a a ≤；(Ⅲ)若=72,na 求n 的最小值.海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）因为在直角ABC ∆中，3,4AC BC ==，所以5,AB = ………………1分所以3cos 5A =………………3分 在ACD∆中，根据余弦定理2222cos CD AC AD AC AD A=+-⋅ (6)分所以2223332335CD =+-⋅⋅⋅所以CD =………………8分（II）在BCD∆中，3sin 5B =………………9分 根据正弦定理sin sin BC CDBDC B=∠∠ ………………12分把4BC =，CD =代入，得到sin BDC ∠= (13)分16.（本小题满分13分） 解：（I ）设{}na 的公差为d ，依题意，有21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………………5分 所以6(1)17n a n n =-+-⋅=-………………7分（II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-== (9)分 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n >又*N n ∈，所以14n >所以n的最小值为15………………13分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)2f x x x =-+22sin sin2x x=+………………2分1cos2sin2x x =-+………………4分π)14x =-+ ………………6分 所以πππ())11844f -+=………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =-+所以2ππ2T ==………………9分又sin y x=的单调递增区间为ππ2π,2π+22k k -（）() Z k ∈， ………………10分所以令πππ2π22π242k x k -<-<+， ………………11分解得π3πππ88k x k -<<+………………12分所以函数()f x 的单调增区间为π3π(π,π)88k k -+() Z k ∈，………………13分18.（本小题满分13分） 解：（I ）作PQ AF⊥于Q，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………………2分在EDF∆中，EQ EFPQ FD=所以4482x y -=-………………4分所以1102y x =-+，定义域为{|48}x x ≤≤ ………………6分(II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当[4,8]x ∈，()S x 单调递增 ………………11分所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分19. （本小题满分14分） 解：（I ）因为2()f x x a=-'………………2分当1x =时，()f x 取得极值，所以(1)10f a =-=',1a = ………………3分又当(1,1)x ∈-时, ()0,f x <'(1,)x ∈+∞时,()0,f x >' 所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意 ………………4分 (II) 当0a ≤时，()0f x >'对(0,1)x ∈成立，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在0x =处取最小值(0)1f = ………………6分 当a >时，令2()0f x x a =-='，12x x == ………………7分当01a <<1x ∈时, ()0,f x <' ()f x 单调递减x ∈时，()0,f x >' ()f x 单调递增所以()f x 在x =处取得最小值1f = ………………9分当1a ≥1≥(0,1)x ∈时, ()0,f x <' ()f x 单调递减所以()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =- ………………11分综上所述，当0a ≤时，()f x 在0x =处取最小值(0)1f =当01a <<时，()f x 在x =1f =当1a ≥时，()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =-.(III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对Rx ∈成立， ………………12分只要2()f x x a=-'的最小值大于1-即可，而2()f x xa=-'的最小值为(0)f a =-所以1a ->-，即1a <………………14分20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P ………………2分因为不存在,{1,3,4,7}ija a ∈，使得3ija a =+所以{1,3,4,7}不具有性质P ………………4分(Ⅱ)因为集合12={,,,}nA a a a ⋅⋅⋅具有性质P ，所以对4a 而言，存在12,{,,,}ijna a a a a ∈⋅⋅⋅，使得 4i jaa a =+又因为12341<<<<, 4na a a a a n =⋅⋅⋅≥所以3,i j a a a ≤，所以432i j a a a a =+≤ ………………6分 同理可得322aa ≤，212aa ≤将上述不等式相加得234123++2(++)a a a a a a ≤所以41232++a a a a ≤………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a aa ≤≤，又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472aa a a a a ≤≤≤≤≤≤<所以8n ≥构造数集={1,2,4,5,9,18,36,72}A （或={1,2,3,6,9,18,36,72}A ）， 经检验A 具有性质P ，故n 的最小值为8 ………………14分。
2012年北京市高考数学试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( ) A.(−∞, −1) B.(−1, −23)C.﹙−23，3﹚D.(3, +∞)2. 在复平面内，复数10i 3+i对应的点的坐标为( )A.(−1, 3)B.(1, 3)C.(3, 1)D.(3, −1)3. 设不等式组{0≤x ≤2，0≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π−22C.π6D.4−π44. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A.2B.4C.8D.165. 函数f(x)=x 12−(12)x 的零点个数为（ ） A.0B.1C.2D.36. 已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是（ ） A.a 1+a 3≥2a 2B.a 12+a 32≥2a 22C.若a 1=a 3，则a 1=a 2D.若a 3>a 1，则a 4>a 27. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28+6√5B.30+6√5C.56+12√5D.60+12√58. 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A.5B.7C.9D.11二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．直线y ＝x 被圆x 2+(y −2)2＝4截得的弦长为________2√2 ．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=12，S 2=a 3，则a 2=________，S n =________．在△ABC 中，若a =3，b =√3，∠A =π3，则∠C 的大小为________．已知函数f(x)=lg x ，若f(ab)=1，则f(a 2)+f(b 2)=________．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为________．已知f(x)=m(x −2m)(x +m +3)，g(x)=2x −2．若∀x ∈R ，或g(x)<0，则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=(sin x−cos x)sin 2xsin x．(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C =90∘，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：DE // 平面A 1CB ；(2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a +b +c =600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值． （注：s 2=1n[(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+⋯+(x n −x ¯)2]，其中x ¯为数据x 1，x 2，⋯，x n 的平均数）已知函数f(x)＝ax 2+1(a >0)，g(x)＝x 3+bx ．（1）若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a ＝3，b ＝−9时，函数f(x)+g(x)在区间[k, 2]上的最大值为28，求k 的取值范围．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个长轴顶点为A(2, 0)，离心率为√22，直线y =k(x −1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为√103时，求k 的值．设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P:a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[−1, 1]，且a +b +c +d +e +f=0．记r i (A)为A 的第i 行各数之和(i =1, 2)，C j (A)为A 的第j 列各数之和(j =1, 2, 3)；记k(A)为|r 1(A)|，|r 2(A)|，|c 1(A)|，|c 2(A)|，|c 3(A)|中的最小值． （1）对如下数表A ，求k(A)的值（2）设数表A 形如其中−1≤d≤0．求k(A)的最大值；(III)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．参考答案与试题解析2012年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|(x+1)(x−3)>0}={x|x<−1或x>3}，又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x>−23}，所以A∩B={x|x>−23}∩{x|x<−1或x>3}={x|x>3}.故选D．2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】由10i3+i =10i(3−i)(3+i)(3−i)=1+3i，能求出在复平面内，复数10i3+i对应的点的坐标．【解答】解：∵10i3+i =10i(3−i)(3+i)(3−i)=30i+1010=1+3i，∴在复平面内，复数10i3+i对应的点的坐标为(1, 3).故选B.3.【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为S2=4−π×224=4−π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=4−π4故选D．4.【答案】C【考点】循环结构的应用【解析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3=3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．5.【答案】B【考点】函数零点的判定定理函数的单调性及单调区间【解析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f(x)为单调增函数，而f(0)<0，f(12)>0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点【解答】解：函数f(x)的定义域为[0, +∞)，∵y=x12在定义域上为增函数，y=−(12)x在定义域上也为增函数，∴函数f(x)=x12−(12)x在其定义域上为增函数，而f(0)=−1<0，f(1)=12>0，故函数f(x)=x 12−(12)x的零点个数为1个.故选B．6.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】a1+a3=a2q +a2q，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；a12+a32=(a2q)2+(a2q)2≥2a22，所以a12+a32≥2a22；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=−a2；若a3>a1，则a1q2>a1，而a4−a2=a1q(q2−1)，其正负由q的符号确定，故可得结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=a2q+a2q，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；a12+a32=(a2q)2+(a2q)2≥2a22，∴a12+a32≥2a22，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=−a2，故C不正确；若a3>a1，则a1q2>a1，∴a4−a2=a1q(q2−1)，其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．7.【答案】B【考点】由三视图求表面积【解析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，所以S底=12×4×5=10，S 后=12×5×4=10，S右=12×4×5=10，S左=12×2√5×√(√41)2−(√5)2=6√5．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=10+10+10+6√5=30+6√5．故选B.8.【答案】C【考点】函数的图象变换函数的表示方法【解析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S, n)点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】2√2【考点】直线与圆相交的性质【解析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y＝x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．【解答】圆x2+(y−2)2＝4的圆心坐标为(0, 2)，半径为2∵圆心到直线y＝x的距离为√2=√2∴直线y＝x被圆x2+(y−2)2＝4截得的弦长为2√4−2=2√2【答案】1,14n(n+1)【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．【解答】解：根据{a n}为等差数列，S2=a1+a2=a3=12+a2；∴d=a3−a2=12∴a2=12+12=1S n=12n+n(n−1)2×12=14n(n+1)故答案为：1，14n(n+1)【答案】π2【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理asin∠A =bsin∠B，可求得∠B，从而可得∠C的大小．【解答】解：∵△ABC中，a=3，b=√3，∠A=π3，∴由正弦定理asin∠A =bsin∠B得：3sinπ3=√3sin∠B，∴sin∠B=12．又b<a，∴∠B<∠A=π3．∴∠B=π6．∴∠C=π−π3−π6=π2．故答案为：π2．【答案】2【考点】对数的运算性质【解析】由函数f(x)=lg x，f(ab)=lg(ab)=1，知f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2lg(ab)．由此能求出结果．【解答】解：∵函数f(x)=lg x，f(ab)=lg(ab)=1，f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(ab)2=2lg(ab)=2．故答案为：2．【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】因为DE→⋅CB→=DE→⋅DA→=|DE→|⋅|DA→|cos<DE→⋅DA→>=DA→2=1．【答案】(−4, 0)【考点】全称命题与特称命题复合命题及其真假判断【解析】由于g(x)=2x−2≥0时，x≥1，根据题意有f(x)=m(x−2m)(x+m+3)<0在x>1时成立，根据二次函数的性质可求.【解答】解：∵g(x)=2x−2，当x≥1时，g(x)≥0，又∵∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0,∴此时f(x)=m(x−2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立.则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1, 0)的左面则{m<0−m−3<12m<1.∴−4<m<0.故答案为：(−4, 0).三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ, k∈Z}．∵f(x)=(sin x−cos x)sin2xsin x=2cos x(sin x−cos x)=sin2x−cos2x−1=√2sin(2x−π4)−1，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)∵函数y=sin x的单调递减区间为[2kπ+π2, 2kπ+3π2](k∈Z)，∴由2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为：[kπ+3π8, kπ+7π8](k∈Z).【考点】三角函数中的恒等变换应用复合三角函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】（1）由sin x≠0可得x≠kπ(k∈Z)，将f(x)化为f(x)=√2sin(2x−π4)−1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f(x)=√2sin(2x−π4)−1，再由2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，x≠kπ(k∈Z)即可求f(x)的单调递减区间．【解答】解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ, k∈Z}．∵f(x)=(sin x−cos x)sin2xsin x=2cos x(sin x−cos x)=sin2x−cos2x−1=√2sin(2x−π4)−1，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)∵函数y=sin x的单调递减区间为[2kπ+π2, 2kπ+3π2](k∈Z)，∴由2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为：[kπ+3π8, kπ+7π8](k∈Z).【答案】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE // BC.又DE⊄平面A1CB，∴DE // 平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE // BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D.又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又A1F⊥CD，CD∩DE=D，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ // BC．∵DE // BC，∴DE // PQ，∴平面DEQ即为平面DEP．由(2)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE // 平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ // BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C 底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．【解答】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE // BC.又DE⊄平面A1CB，∴DE // 平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE // BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D.又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F .又A1F⊥CD，CD∩DE=D，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ // BC．∵DE // BC，∴DE // PQ，∴平面DEQ即为平面DEP．由(2)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【答案】解：(1)由表格可知：厨余垃圾为400+100+100=600（吨），投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600=23.(2)由表格可知：生活垃圾共有1000吨，生活垃圾投放错误有100+100+30+30+20+20=300（吨），故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310=0.3.(3)∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13[a2+b2+c2−400(a+b+c)+120000]=13(a2+b2+c2−400×600+120000)=13(a2+b2+c2−120000).∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，故s2≤13(360000−120000)=80000，因此有当a=600，b=0，c=0时，方差s2最大为80000．【考点】频数与频率极差、方差与标准差用样本的频率分布估计总体分布【解析】(1)厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；(2)生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；(3)计算方差可得s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13(a2+b2+c2−120000)，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．【解答】解：(1)由表格可知：厨余垃圾为400+100+100=600（吨），投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600=23.(2)由表格可知：生活垃圾共有1000吨，生活垃圾投放错误有100+100+30+30+20+20=300（吨），故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310=0.3.(3)∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13[a2+b2+c2−400(a+b+c)+120000]=13(a2+b2+c2−400×600+120000)=13(a2+b2+c2−120000).∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，故s2≤13(360000−120000)=80000，因此有当a=600，b=0，c=0时，方差s2最大为80000．【答案】f(x)＝ax2+1(a>0)，则f′(x)＝2ax，k1＝2a，g(x)＝x3+bx，则g′(x)＝3x2+b，k2＝3+b，由(1, c)为公共切点，可得：2a＝3+b①又f(1)＝a+1，g(1)＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．当a＝3，b＝−9时，设ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝x3+3x2−9x+1则ℎ′(x)＝3x2+6x−9，令ℎ′(x)＝0，解得：x1＝−3，x2＝1；∴k≤−3时，函数ℎ(x)在(−∞, −3)上单调增，在(−3, 1]上单调减，(1, 2)上单调增，所以在区间[k, 2]上的最大值为ℎ(−3)＝28−3<k<2时，函数ℎ(x)在区间[k, 2]上的最大值小于28所以k的取值范围是(−∞, −3]【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a＝3，b＝−9时，设ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝x3+3x2−9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤−3时，函数ℎ(x)在区间[k, 2]上的最大值为ℎ(−3)＝28；−3<k<2时，函数ℎ(x)在区间[k, 2]上的最大值小于28，由此可得结论．【解答】f(x)＝ax2+1(a>0)，则f′(x)＝2ax，k1＝2a，g(x)＝x3+bx，则g′(x)＝3x2+b，k2＝3+b，由(1, c)为公共切点，可得：2a＝3+b①又f(1)＝a+1，g(1)＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．当a＝3，b＝−9时，设ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝x3+3x2−9x+1则ℎ′(x)＝3x2+6x−9，令ℎ′(x)＝0，解得：x1＝−3，x2＝1；∴k≤−3时，函数ℎ(x)在(−∞, −3)上单调增，在(−3, 1]上单调减，(1, 2)上单调增，所以在区间[k, 2]上的最大值为ℎ(−3)＝28−3<k<2时，函数ℎ(x)在区间[k, 2]上的最大值小于28所以k的取值范围是(−∞, −3]【答案】解：(1)∵椭圆一个顶点为A(2, 0)，离心率为√22，∴{a=2，ca=√22，a2=b2+c2，∴b=√2，∴椭圆C的方程为x24+y22=1；(2)直线y=k(x−1)与椭圆C联立{y=k(x−1)，x24+y22=1，消元可得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−41+2k2，∴|MN|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=2√(1+k2)(4+6k2)1+2k2，∵A(2, 0)到直线y=k(x−1)的距离为d=√1+k2，∴△AMN的面积S=12|MN|d=|k|√4+6k21+2k2，∵△AMN的面积为√103，∴|k|√4+6k21+2k2=√103，∴k=±1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）根据椭圆一个顶点为A(2, 0)，离心率为√22，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（2）直线y=k(x−1)与椭圆C联立{y=k(x−1)x24+y22=1，消元可得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，从而可求|MN|，A(2, 0)到直线y=k(x−1)的距离，利用△AMN的面积为√103，可求k的值．【解答】解：(1)∵椭圆一个顶点为A(2, 0)，离心率为√22，∴{a=2，ca=√22，a2=b2+c2，∴b=√2，∴椭圆C的方程为x24+y22=1；(2)直线y=k(x−1)与椭圆C联立{y=k(x−1)，x24+y22=1，消元可得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−41+2k2，∴|MN|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=2√(1+k2)(4+6k2)1+2k2，∵A(2, 0)到直线y=k(x−1)的距离为d=√1+k2，∴△AMN的面积S=12|MN|d=|k|√4+6k21+2k2，∵△AMN的面积为√103，∴|k|√4+6k21+2k2=√103，∴k=±1．【答案】解：（1）因为r1(A)=1.2，r2(A)=−1.2，c1(A)=1.1，c2(A)=0.7，c3(A)=−1.8，所以k(A)=0.7（2）r1(A)=1−2d，r2(A)=−1+2d，c1(A)=c2(A)=1+d，c3(A)=−2−2d因为−1≤d≤0，所以|r1(A)|=|r2(A)|≥1+d≥0，|c3(A)|≥1+d≥0所以k(A)=1+d≤1当d=0时，k(A)取得最大值1(III)任给满足性质P的数表A（如下所示）A中的每个数换成它的相反数，所得数表A∗仍满足性质P，并且k(A)=k(A∗)因此，不防设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0，由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)，从而3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=(a+b+c+d+e+f)+(a+b−f)=a+b−f≤3所以k(A)≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k(A)=1，故k(A)的最大值为1．【考点】演绎推理【解析】（1）根据r i(A)为A的第i行各数之和(i=1, 2)，C j(A)为A的第j列各数之和(j=1, 2, 3)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值可求出所求；（2）k(A)的定义可求出k(A)=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；(III)任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A∗仍满足性质P，并且k(A)=k(A∗)因此，不防设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0，然后利用不等式的性质可知3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)，从而求出k(A)的最大值．【解答】解：（1）因为r1(A)=1.2，r2(A)=−1.2，c1(A)=1.1，c2(A)=0.7，c3(A)=−1.8，所以k(A)=0.7（2）r1(A)=1−2d，r2(A)=−1+2d，c1(A)=c2(A)=1+d，c3(A)=−2−2d因为−1≤d≤0，所以|r1(A)|=|r2(A)|≥1+d≥0，|c3(A)|≥1+d≥0所以k(A)=1+d≤1当d=0时，k(A)取得最大值1(III)任给满足性质P的数表A（如下所示）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A∗仍满足性质P，并且k(A)= k(A∗)因此，不防设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0，由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)，从而3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=(a+b+c+d+e+f)+(a+b−f)=a+b−f≤3所以k(A)≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k(A)=1，故k(A)的最大值为1．。
北京市海淀区高三下册期中练习数学(文)试题及答案(优品)
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（文科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<< D ．{}|21x x -≤<2、已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝A ．1B ．2C ．3 D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为ABC．3 D．36、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为A 、12 B 、1 C 、32D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．函数y10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为c 的值． 16．（本小题满分13 分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。
海淀区高三年级第二学期期中练习--文科答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文）参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）2π1()2)1322f =--=………………2分 因为2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+- 22(12sin )x x =-+………………4分212sin x x =-+cos2x x =………………6分π= 2sin(2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为2π2ππ||2T ω===………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 9． 0 10． 21-11.16 12．4 13． 4a >14．2,2所以当6x π=-时，函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时，函数取得最大值()26f π=………………13分16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………13分 17.解：（I ）证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ………………4分 又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………5分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =6分 在ACD ∆，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =30CAD ∠= ，所以，3DM =，所以:3:1BM MD =………………8分 所以::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………9分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所 以//MN 平面PDC ………………11分 （Ⅲ）假设直线//l CD ，因为l ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ， 所以//CD 平面PAB ………………12分又CD ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，所以//CD AB ……………13分 这与CD 与AB 不平行，矛盾所以直线l 与直线CD 不平行………………14分18.解：（I ）因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分（II ）令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分 因为2'()'()g x f x x k ==-当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0 ………………8分 当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =或2x =10分 所以'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：()g x 有且仅有一个零点等价于(0g <………………11分即2(03g k =<，解得904k <<………………12分 综上所述，k 的取值范围是94k <………………13分 19.解：(I)设椭圆的焦距为2c ， 因为a =，2c a =，所以1c =………………2分 所以1b =所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-=, 则120x x +=，122212x x k =-+………………6分所以AB ==8分 点M ）到直线l 的距离d =………………10分则GH =………………11分 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾， 因为AG BH =，所以AB GH =所以22228(1)724()1231k k k k+=-++ 解得21k =,即1k =±………………14分HG BA20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()M H L M ττ==所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分(III)当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时，可知0||n P P 9分当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→故0||n P P 的最小值为1………………11分当231,,*, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1综上，当=1n 时，0||n P P 当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。
北京市海淀区2012届高三下学期期末练习文科数学(2012海淀二模)Word版
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）函数21,12y x x=-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) （2）已知命题p ：1,sin 2x x x $?R . 则p Ø为 （A ）1,sin 2x x x $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1,sin 2x xx $纬R （D ）1,sin 2x x x "纬R （3）22cos 15sin 15-的值为（A ）12（B（C（D（4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0（5）已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）为了得到函数21log (1)2y x =-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的 （A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 （D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②O A B ∆的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数31iiz +=，则z = . （10）已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是2y x =?，那么此双曲线的离心率为 .（11）在ABC ∆中，若120A??，6c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________．左俯视图主视图（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的极值点是 ；函数()f x 的值域是 .（14）已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数）. 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是 ；对于l 上任意一点P ，MPN Ð恒为锐角，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ¹，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式.（16）（本小题满分13分）在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.(17)（本小题满分14分）在正方体''''ABCD A B C D 中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ；EFAB C DPC'C（Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ；（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数22()3x af x x a +=+（0a ≠，a ∈R ）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.（19）（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点5(,0)4Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅为定值.（20）（本小题满分14分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =，且p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由； （Ⅱ）证明：(1)()1f n f n +-?（1,2,n =）；（Ⅲ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．05一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9 10 （11） （12）12（13）12；1] （14）1或13；1(,)(1,)7-?+? 注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为5346S a =+，所以115454(2)62da a d 创+=++. ①……………………………………3分 因为139,,a a a 成等比数列，所以2111(8)(2)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分由①，②及0d ¹可得：12,2a d ==.……………………………………6分 所以2n a n =. ……………………………………7分 （Ⅱ）由2n a n =可知：2(22)2n n nS n n +?==+.……………………………………9分所以1111(1)1n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以1211111n nS S S S -++++11111111122311n n n n =-+-++-+--+1111n n n =-=++. ……………………………………13分 所以 数列1{}n S 的前n 项和为1n n +. (16)（本小题满分13分）解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：11(,)A A ，12(,)A A ，1(,)A B ，1(,)A C ，21(,)A A ，22(,)A A ，2(,)A B ，2(,)A C ，1(,)B A ，2(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B ，(,)C C . ……………………………………3分（Ⅰ）用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：11(,)A A ，12(,)A A ，21(,)A A ，22(,)A A ，(,)B B ，(,)C C . 所以63()=168P M =. ……………………………………8分 （Ⅱ）用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：1(,)B A ，2(,)B A ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B . 所以5()16P N =. ……………………………………13分 (17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接'BC .在正方体''''ABCD A B C D -中，''AB C D =，AB ∥''C D . 所以 四边形''ABC D 是平行四边形. 所以 'AD ∥'BC .因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，所以 FG ∥'BC . 所以 FG∥'AD . ……………………………………2分因为 ,'EF AD 是异面直线， 所以 'AD Ë平面EFG .因为 FG Ì平面EFG ，所以 'AD ∥平面EFG .………………………………………4分（Ⅱ）证明：连接'B C .在正方体''''ABCD A B C D -中，''A B ^平面''BCC B ，'BC Ì平面''BCC B ， 所以 '''A B BC ⊥.在正方形''BCC B 中，''B C BC ⊥，因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，''''A B B C B =，所以'BC ⊥平面''A B C . ……………………………………6分因为 'A C Ì平面''A B C ， 所以''BC A C ⊥. ……………………………………7分因为 FG ∥'BC ， 所以 'A C FG ⊥.同理可证：'A C EF ⊥.因为 EF Ì平面EFG ，FG Ì平面EFG ，EFFG F =，所以 'A C ^平面EFG . ……………………………………9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ……………………………………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'AD ∥'BC ， 因为 'BC Ì平面''BCC B ，'AD Ë平面''BCC B .所以 'AD ∥平面''BCC B .……………………………………12分 因为 ''C D H Î，所以 平面'AD HF 平面'''BCC B C F =. 因为 'AD Ì平面'AD HF ， 所以 'AD ∥'C F .所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.所以 点,',,A D H F 不共面. ……………………………………14分 (18)（本小题满分13分） 解：222()(3)'()(3)x a x a f x x a --+=+. HG FED'C'B'A'D C BAHG FED'C'B'A'DC BA令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分 （Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞. ……………………………………4分当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，(3,)a -+∞. ……………………………………6分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.又当1x >时，21()03x f x x +=>+. ……………………………………8分 所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1(1)2f =.……………………………………10分 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122()()(1)(3)3f x f x f f -≤--=. 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为23. ……………………………………13分（Ⅰ）解：由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率为0时，(A B . 则557(2,0)(,0)4416QA QB ⋅=⋅=-. ……………………………………6分当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=.显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………9分 因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.即 716QA QB ⋅=-. ……………………………………13分（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）证明：因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以 )()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数.即 (1)()1f n f n +-?． ……………………………………8分 （Ⅲ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证 ).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f由（Ⅱ）知：)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2+n 的表示法中11a ¹的表示法数．考虑到21≥+n ，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1，就可变为一个11a ¹的2+n 的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应，所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………14分。
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北京市海淀区2012届高三第二学期期中练习试题数 学（文科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- （2）在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）80（3）已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4（4）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（6）若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）0（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为 . （10）若tan 2α=，则sin 2α= .（11）以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .（13）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（14）已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =；下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.A'B'C'D'ABCD俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.(17)（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点．（Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.ABCD图1M FEABC 1D图2（19）（本小题满分13分）已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b +=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围.参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(1,1)- （10）45（11）22(4)(4)25x y -+-=（12（13）(10,20) （14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- ………………………………………2分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷ç÷=-ç÷ç÷)6x π=-. ………………………………………4分 由22,262k x k k πππππ-<-<+?Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+?Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………………………6分（Ⅱ）因为 ()2f A =，所以)62A π-=.所以1sin()62A π-=. ………………………………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以 3A π=. ………………………………………9分 因为 sin sin a bA B=，a =， 所以 1sin 2B =. ………………………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. ………………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创. ………………………………………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =O M FEABC 1D所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分又 1AC ⊂平面1AOC ，所以 BD ⊥1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=，所以 ABD ∆是等边三角形.所以 DA DB =． ………………………………………10分因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又 EF AB ⊥，EF DE E = ．所以 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．………………………………………12分又 1C E ⊂平面1DEC ，所以 AB ⊥1C E ．因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：M FEABC 1D所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ .………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.又2c a =，所以c = 所以 222431b a c =-=-=.所以 椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =. 所以||1||2DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分 由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以||AP ==即 ||AP =.类似可求||DE =所以2||||DE AP ==………………………………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>. 所以 ()g t 是一个增函数.所以 2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=. 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2+?. ………………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =.（ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X Î.………………………………………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð.那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.………………………………………14分。