均匀照明反射面设计中的系数计算

v） d Ω μI（ u，
Ω
（ 1）
其中 μ 为反射面的反射系数， 由于反射率为 100% ， 即 μ 取 1 。该积分方程将这个反射式照明系统表示 成了光通量守恒式， 其中 ν （ Ω ） 项就包含了反射 曲面的具体形状。 为了计算出反射曲面的具体信息， 需要将积分 形式的方程式 （ 1 ） 转化成为微分形式。 在 x' y' z' 坐 标系中定义一个向量 x ， 它由点光源指向单位球上 任意一点 （ x' ，y' ，z' ） ，同时该向量也标记出了 uo' v 平面上的一个点 （ u，v） 。x' ，y' ，z' 与 u， v，1 之 间满足下面的比例关系 x' / u = y' / v = （ z' + 1 ） / 2 ，
→ → → → → → → → → → →
将式 （ 5 ） 代入式 （ 1 ） 得：

ω（ S）
L（ x， y） dxdy =
v） ( 1 + 1 ω ) I（ u， 4
2 S
－2
dudv （ 6）
其中 S 为 uo' v 平 面 上 与 立 体 角 Ω 对 应 的 区 域， ω （ S） 为被照明平面上与 S 对应的区域。 在这里， 为 了使式 （ 6 ） 成立，函数 L，I 必须是连续的实函数， S 是独立的变量， ω 是未知量。 因为 ω 与未知的反 射曲面形状有关， 所以我们称之为反射函数。 将积 分区域扩展到整个光源照射区域 R ， 可以得到方程 式 （ 6 ） 的边界条件 ω （ D ） = R ， D 为反射面在 P' 平面上的整个投影区域，所以函数 L 必须满足方程：
比如液晶屏背光模块采用线光源或大量的点光源，采 ［ 10， 12 ］ 。本文采用单 用反射和折射方式实现均匀的照明 个反射面，使反射光与直接照射光叠加在一起达到均 匀照明的目的，首先建立了光学模型，并得到其相应 积分方程，然后对方程的转化及求解的过程进行了说 明，对系数表达式进行了计算，并将这些系数应用到 反射面设计中，仿真软件的追迹表明系数是正确的、 方法是可行的。研究结果不仅为均匀照明灯具的设计 和改善提供了依据，还可以推广到非均匀照明系统中。
1
引言
随着科技的发展，许多场合对光照分布提出了很 高的要求，比如在集成电路的制作工艺中需要进行均 匀曝光，在光敏固化技术中需要均匀固化等，但迄今 为止，大多数均匀பைடு நூலகம்明的灯具在性能上需要改善，在 设计方法上需要完善。目前实现均匀照明的方法主要
基金项 目： 安 徽 省 自 然 科 学 基 金 （ 090414173 ） ， 安 徽 省 高 校 自 然 科 学 研 究 重 大 项 目 （ KJ2011ZD03 ） 和 重 点 项 目 （ KJ2011A152 ） 。
第 23 卷第 3 期
朱向冰 等： 均匀照明反射面设计中的系数计算
［ 9， 10 ］
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有很好地解决
，限制了这种方法的推广； 第三种 方法是反射透射综合式，设计难度较低，但是成本高，
射光照度分布的函数用 L = L （ x， y ） 表示， L （ x， y） 是 （ x， y ） 点所需的总照度减去光源直接照射 在 （ x，y） 点的照度。
2 2 同时在单位球上， x' ， y' ， z' 又满足方程 x' + y' + → z' 2 = 1 。由此可推导出向量 x 以 （ u， v ） 为坐标的具 →
体形式为：
→
x （ u， v） =
1 v， 1 － ω ) ω ) ( u， (1 + 1 4 4
－1 2 2
（ 2）
2 2 2 其中 ω = u + v 。
2012 年 6 月
(
v ) (1 + 1 4
－2 －2
2
－
1 2 1 u， － uv， －u 4 2 1 2 v， －v 4
)
线的向量。假设这条光线被反射到平面 P 上的 （ x， y） 点，取一个向量 X ， 由点光源处指向该点， 该点 在空 间 直 角 坐 标 系 ox' y' z' 中 具 有 坐 标 （ x， y， － 1） 。 N为反射曲面上 A 末端点处的外法线向量， 由 于A = ρ x ，由微分几何学知识，可得 N = A u × A v 。 将
在以光源为球心，反射面对应的立体角为 Ω，从 光源发出的 Ω 中的光线应全部投射在 R 平面上的与 立体角 Ω 相对应的 ν （ Ω） 区域上，也就是说立体角 Ω 中包含的总光通量与投射在 ν （ Ω） 上的总光通量 相等。为了满足照度要求，则 L，I 函数应满足：

ν（ Ω ）
L（ x， y） dxdy =
→ → → → → → → → → → → →
（ 3）
→ xv （ u， v） = 1 + 1 ω2 4
(
1 uv， 1+ u ) (－ 1 2 4
2
－
)
（ 4） 1 + 1/ 因为x 和 x 是正交的， 且各自的长度都是 ［ 4 ω ］ － 1 ，所以： dΩ =
2 → u → v
A分别对 u，v 求偏导，然后代入N = A u × A v 的可得： N = （ p x + ρ xu ） × （ q x + ρ xv ）
→ u → v → → → → → → → →
(
1 1 + ω2 4
)
－2
dudv
（ 5）
（ 8）
其中 p = ρ u 、 q = ρ v ， x 、 x 由 式 （ 3 ） 、 式 （ 4 ） 给 定。因为向量 x ，x u ，x v 都是相互正交的， 且满足右 1 手坐标系关系， x 的长度为 1 ，x u ，x v 的长度均为 ［ + （ 1 / 4 ） ω2］－ 1 ， 即 x × x u = x → v ，xv × x = xu ，xu × xv = ［ 1 + （ 1 / 4 ） ω2］－ 2 x ， 所以将上面的式子展开 可以得到： －2 → → → → N = ρ2 1 + 1 ω 2 x － pρ x u － qρ x v （ 9） 4 因此， → → → 1 2 －2 x 2 N 2 = N·N = ρ 1 + ω 4 1 2 －2 + p2 + q2 2 （ 10 ） ρ 1 + ω 4 －2 → → x · N = ρ2 1 + 1 ω 2 （ 11 ） 4 如图 2 ，由反射定律得：
2
光学模型和方程
图1 光照系统及坐标系
在反射式照明中， 光源发出的光通过两个途径 到达被照明面， 一是直接照射在被照明面上； 二是 被反射器反射到被照明面上。 因为光源直接照射在 被照明面上的照度分布可以通过光源的特性以及被 照明面的相对位置求得， 所以本文主要考虑反射光 在被照明面上的照度分布情况。 假设光在空间传播 无损失，被照明面吸收了所有的入射光， 由于精确 加工的反射面反射率能达到 85% 以上， 为了简化计 算，设定反射率为 100% ， 可以列出经过反射面到 达被照明面上的光线照度分布函数的积分表达式 ， 然后再通过坐标的变换和积分范围的合理选取 ， 将 积分形式的光通量守恒方程转化为微分形式 ， 就将 复杂的光学问题转化成了微分方程的求解问题 。 2. 1 坐标和方程 假定光源的光强分布函数为 I，且光源的大小相 对整个照明系统可以忽略不计，即处理为点光源，通 常对于 LED 可以这样处理。如图 1 所示，将光源放 在 o 点，P 为给定被照明平面，两者之间的距离设为 1，R 为 P 平面上被照亮的区域。以 o 为原点，建立 直角坐标系 ox'y'z' ，x'oy' 平面与 P 平面平行，单位球 与 P 平面相切与 o″点，在 P 平面中建立直角坐标系 xo″y，坐标原点为 o″点，x，y 轴分别与 x' ，y' 轴平行。 为方便起见，引入投影平面 P' ， 与给定平面 P 平行且与单位球相切于 o' 点， 以 o″ 点为投影中心， 这样单位球上的点就可以用投影平面 P' 上的点表示 了，而 P' 平面上的点又可以用坐标原点在 o' 处的直 角坐标系 uo'v 表示，u，v 轴与 x' ，y' 轴平行。 假定坐标原点在照明区域内， 在 R 区域内的反
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照明工程学报 ZHAOMING GONGCHENG XUEBAO
Jun． 2012 Vol. 23 No. 3
均匀照明反射面设计中的系数计算
朱向冰 时靖谊 王 竞 罗青青 陈 瑾
（ 安徽师范大学 物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000 ） 摘 要： 很多照明场合都需要均匀照明，为了达到均匀照明的要求，在光源附近增加一个反射面，使反射光与直
可以证明单位球上的微分立体角 dΩ 与投影平 面 上 的 微 分 区 域 dudv 满 足 如 下 方 程 dΩ = x u × x v dudv （ 在这里及后文中， 下标均表示偏导 数） 。式 （ 2 ） 分别对 u，v 求偏导得：
→ →
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→ xu （ u， v） = 1 + 1 ω2 4
照明工程学报
［ 8， 9， 10 ］ ，能有效地避免第一种方法的 现光照的均匀分布 缺点，但是设计方法有待改进，设计中的数学问题没
Luo Qingqing
Chen Jin
（ Anhui Normal University，College of Physics and Electronic Information，Wuhu 241000 ）