数学基本功训练题(二)

数学基本功
训 练 题（2）
1. 复数2013
11i i -⎛⎫
⎪
+⎝⎭
计算的结果是（ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．i -
【答案】D
2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（ ）
A ．12log y x =
B ．1y x
=
C ．3
y x = D ．tan y x = 【答案】B
3. 已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若13a =-，510S S =，则当n S 取到最小值
时n 的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．7或8 【答案】D
4. 假设佛罗里达州某镇有居民2400人，其中白人有1200人，黑人800人，华人200人，
其他有色人种200人，为了调查奥马巴政府在该镇的支持率，现从中选取一个容量为120人的样本，按分层抽样，白人、黑人、华人、其他有色人种分别抽取的人数（ ） A ．60,40,10,10 B ．65,35,10,10 C ．60,30,15,15 D ．55,35,15,15
【答案】A
5. 【理科生做】5
22x
⎫
⎪⎭
的展开式中常数项是（ ）
A ．5
B ．5-
C ．10
D ．10-
【答案】D
【文科生做】设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则=-)2
5
(f （ ）
A.21-
B.4
1
- C.41 D.21
【答案】A
6. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7. 已知抛物线x y 82
=的焦点与双曲线122
2x y a
-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心
率为（ ） A
．
5 B
．15
．3
D
【答案】C
8. 【理科生做】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和
为奇数的共有（ ）
A ．36个
B ．24个
C ．18个
D ．6个 【答案】B
【文科生做】设a R ∈，函数3
2
()(3)f x x ax a x =++-的导函数是'
()f x ，若'
()f x 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ）
A ．3y x =-
B ．2y x =-
C ．3y x =
D ．2y x =
【答案】A
9. 定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s 值，则
552cos 2tan 34ππ⎛
⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1-
【答案】A
10. 已知不等式组204010
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域在圆M 的内部(包括
边界)，则圆M 半径的最小值为( )
【答案】 D
11. 【理科生做】已知数列{}n a 为等差数列，且1815a a a π++=，()412cos a a a =+，则
10a
x dx =⎰ ▲ .
【答案】2
【文科生做】设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=，则(2)a b c +⋅= ▲ . 【答案】-3
12. 【理科生做】已知随机变量ξ服从正态分布(
)()2
2,,40.84N P σ
ξ≤=
，则
(),0P ξ≥
【答案】0.84
【文科生做】已知32
()26+f x x x m =- (m 为常数)在[2,2]-上有最大值3 ，那么此函数在[2,2]-上的最小值为 ▲ . 【答案】－37
13. 若直线1y kx =+被圆22
230x y x +--=截得的弦最短，则k = ▲ . 【答案】1
14. 若函数2
()log (2)a f x x ax =-+对于任意的1x 、2x ，当122
a x x <≤
时，恒有
12()()f x f x >成立，则a 的取值范围是 ▲
.
【答案】(1,
【KS5U 解析】因为当122
a x x <≤
时，恒有12()()f x f x >成立，所以函数
2()log (2)a f x x ax =-+在-2a ⎛
⎫∞ ⎪⎝⎭，内单调递减，令22,log a t x ax t =-+=则y ，易知函
数2
2t x ax =-+在在-2a ⎛⎫∞ ⎪⎝
⎭，内单调递减，，所以函数log a t =y 单调递增，所以
1a >……………………①，又由题意知函数的定义域
为R ，所
以280,a a ∆=-<-<<即…………………………②
由① ②知：a 的取值范围是(1,。

15. 选做题（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A.（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线θρsin 4=表示圆，则点)6
,4(π
A 到圆心的
距离为 ▲
. 【答案】【KS5U 解析】曲线方程θρsin 4=的直角坐标方程为
()2
224x y +-=，所以圆心为（0,2）
，又点)6
,4(
πA 的直角坐标方程为()
2，所以点A 与圆心的距离为
B. （几何证明选讲）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且6AB =，4AC =，12AD =，则BE = ▲
. 【答案】
【KS5U 解析】因为∠B=∠D ，AE BC ⊥，所以ABE ∆与ADC ∆相似，所以
AE AB
AC AD
=
，所以AE=2
，所以
=
C.（不等式选讲）若关于x 的不等式1|1||2|a x x +-->存在实数解，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】13(,0)
(,)-∞+∞
【KS5U 解析】要满足不等式1|1||2|a x x +-->存在实数解，需()max 1|1||2|a x x +-->，又|1||2|y x x =+--的几何意义为：数轴上的点到-1与 2 的距离差，所以函数
|1||2|y x x =+--的最大值为3，所以
11
303
a a a <><，即或，所以实数a 的取值范围是13(,0)
(,)-∞+∞。

16. 在ABC ∆中，角
A B C
、、所对的边分别为c b a ,,，向量m =),sin sin ,sin (sin B A C B -+n
=))sin(,sin (sin B C C B +-,且m ⊥n ． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若cos A =54
，求sin B 的值．
【答案】（Ⅰ）∵m ⊥n
，∴(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin()0B C B C A B C B +-+-+= 222sin sin sin sin sin 0B C A A B ⇔-+-=由正弦定理得：
22222212
0cos b c a ab c b a ab C -+-=⇔=+-⇔=，∴3
C π
= （Ⅱ）∵cos A =54，∴3
sin 5
A =，又()
B A
C =π-+
∴314sin sin()sin cos cos sin 525B A C A C A C =+=+=⋅+=。