2020年高中数学选修2-2 课堂练习本《导数的计算》(含答案解析)

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苏教版高中数学选修2-2导数的运算练习与解析1.docx

导数的运算练习与解析1一、选择题1、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（）A 3(x-1)B ．2(x-1)C ．2x-1D ．x-1解析：求导后带入验证可得选A.2、曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为（）A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)解析：在点P 处的切线斜率为3，即导数为3.因为23x y ='，所以332=x .可得1±=x ，故选D.3、若f （x ）=sin α－cos x ，则)(x f '等于（）A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α解析：根据导数的运算公式得x x x f sin cos )(+='，故选C.4、函数f （x ）=x x x 的导数是A ．81x （x >0）B ． 887x （x >0） C ．8781x （x >0） D ．881x -解析：f （x ）=87x x x x =，8187)(-='x x f ，故选B. 5、某质点的运动方程是t S sin =，则在t =πs 时的瞬时速度为（）A ．－1B ．－3C ．7D ．13解析：瞬时速度即函数在该点的导数.t s cos ='，当t =π时1-='s .故选A.6、函数的导数是 A ． B ． C ． D ．解析：222221)1()()1()(xx x x x x x x f +=-'-'-='，故选.C. 7、下列命题正确的是（）（A ）)(lg 'x =1x（B ）)(lg 'x =x 10ln （C ）x x 3)3(='（D ）3ln 3)3(x x =' 解析：根据导数的运算得D 正确.8、函数x x y cos 2=的导数为A ．x x x x y sin cos 22-=' B.x x x x y sin cos 22+=C ．x x x x y sin 2cos 2-=' D.x x x x y sin cos 2-=解析：)(cos cos )()cos (222'+'='='x x x x x x y x x x x sin cos 22-=，故选A.二、填空题9、函数)0,4(cos π在点x y =处的切线方程是 .___________ 解析：因为x y sin -='，当4π=x ，22-='y ，所以切线方程为)4(22π--=x y . 10、函数y=sinxcosx 的导数为 .解析：)cos (sin '='x x y =)(cos sin cos )(sin '+'x x x x =x x x 2cos sin cos 22=-.11、物体的运动方程是523123-+-=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ）,则物体在3=t 时的瞬时速度为______.解析：瞬时速度即函数在该点的导数. t t s 42+-='，当3=t 时，3='s .故为3m/s.三、解答题12、求函数y =xx sin 的导数. 解：22sin cos sin )()(sin x x x x x x x x x y +='+'=' . 13、求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程. 分析：验证点是否在曲线上后根据导数进行求导. 解：可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为),(00y x P .x x 12-x x 12+221x x +221x x -x x y 12-=由201'x y -= 得所求直线方程为)(10200x x x y y --=-. 由点（2，0）在直线上，得00202x y x -=，再由),(00y x P 在曲线上，得100=y x ，联立可解得10=x ，10=y .所求直线方程为x+y-2=0.14．确定抛物线y =x 2＋bx ＋c 中的常数b 和c ,使得抛物线和直线y =2x 在x =2处相切. 分析：根据和直线y =2x 在x =2处相切，得到点在抛物线上，和切点的导数为2.解：抛物线和直线y =2x 在x =2处相切.∴抛物线过（2，4）点和在x=2时切线斜率为2.又b x y +='2∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+⨯424222c b b⎩⎨⎧=-=∴42c b 15、物体的运动方程是1223-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.分析：求物体的瞬时速度v 即求s 关于时间t 的导数，求加速度a 即求速度v 关于时间t 的导数. 解： 1223-+=t t st t s 432+='∴46)(+=''t s故当2=t 时,16)(,20=''='s s所以当时间2=t 时，2/16,/20s m a s m v ==.答：当2=t 时，求物体的瞬时速度s m v /20=加速度2/16s m a =.理科题目：8、函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．x x ln 1D ．x x ln 21 分析：21)(ln 21)(ln -⋅'='x x y xx ln 21=，故选D. 9、曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的方程为___________．分析：因为x y 3cos 3='，当3π=x ，3-='y ，所以切线方程为π+-=x y 3. 12、求函数y=e 2x lnx 的导数.分析：利用复合函数和导数的乘法运算求解..解：x x e x x e y 22)(ln ln )('+'='=x x e x x e 221ln 2+=21'(2).x y lnx e x =+。

高中数学选修2-2同步练习题库：导数的计算(填空题：较易)

导数的计算（填空题：较易）1、若，则2、设为函数的导数，,则________.3、给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若，则；④若y′＝3，则y＝3x. 其中正确的为________．4、已知函数的导函数为，且满足，则______.5、函数的导数为__________．6、已知函数，则的值为．7、已知，则_______8、已知在上可导，，则__________．9、已知函数，设为的导函数，根据以上结果，推断_____________.10、一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.11、已知函数，则等于_____________12、已知在上可导，，则__________．13、已知，，，…，…（n∈N*，n≥2）．则的值为_____________．14、函数，则__________.15、设，若，则的值为__________．16、若函数，则_______．17、已知：，则=_________.18、定义1：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称函数在区间上存在二阶导数，记作，即．定义2：若函数在区间上的二阶导数恒为正，即恒成立，则称函数在区间上为凹函数．已知函数在区间上为凹函数，则的取值范围是__________．19、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系，则瞬时速度为的时刻是_________.20、若曲线在点处的切线平行于轴，则__________．21、已知，则____________．22、设函数的导数为，且，则．23、已知函数，则．24、已知，为的导函数，，则 .25、设函数的导数为，且，则 .26、已知函数，则的值为 .27、已知函数，则的值为．28、若函数,则的值为．29、若函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f′＝________．30、已知，求__________．31、设函数在内可导，且，则．32、已知函数的导函数为，且满足，则．33、定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________．34、定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________．35、设是函数的导数，则．36、已知函数在上可导，且，则．37、已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．38、已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为．39、设，若，则40、已知，则____________．41、已知，则____________42、直线与函数的图象相切，则切点坐标为．43、若函数，是的导函数，则函数的最大值是 .44、已知，定义．经计算…，照此规律，则．45、若曲线处的切线平行于直线,则点的坐标是_______.46、已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设s时的速度为（m/s），则=3s时轿车的瞬时加速度为_________m/s247、已知函数=．48、已知函数，是它的导函数，则。

高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版）1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.nn －1 D ．n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C.5．曲线y ＝x sin x 在点⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2 [答案] A [解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.6．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A [解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] C [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期， ∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .故选C.9．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________________.[答案] y ＝2x [解析] 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe＋x ，所以当x >0时， f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .10．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6. 11．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.[答案] 12ln2[解析] ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2.12．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x 2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 14．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x .(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 15．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1. ∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.16．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.[解析] f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2，且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.①(1)若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1，即1－2b ＋c ＝－1.②由①②解得b ＝14，不满足b ≥1，故舍去．(2)若－1<－b <3，即－3<b <1，则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1，即b 2－2b 2＋c ＝－1.③ 由①③解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.(3)若－b ≥3，即b ≤－3，则f ′(x )在[－1,3]上是减函数，所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1.④由①④解得b ＝－94，不满足b ≤－3，故舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.高中数学选修2-2导数--导数的运算1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和( )A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.nn －1D ．n ＋1n 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e5．曲线y ＝x sin x 在点⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为（） A.π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)26．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．Cos xD ．－cos x9．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________________.10．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 11．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.12．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝______. 14．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x.15．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.16．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R)，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.。

(完整版)数学选修2-2练习题及答案

目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

2020年高中数学选修2-2 导数的运算基础练习(含答案解析)

1.D. 2.答案:C;解析:由已知得 f′(x)=ax2＋b.又 f(3)=3f′(x0)，则有 9a＋3b=3ax20＋3b，所以 x20=3，
则 x0=± 3 ，故选 C.
3.答案为：B；解析：f/(x)=4ax3＋2bx，∵f/(x)为奇函数且 f′(1)=2，∴f/(-1)=-2.
4.答案为：C；
16.曲线 y=(ax＋1)ex 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则 a=________.
三、解答题 17.已知函数 f(x)=2xlnx
(1)求这个函数的导数 (2)求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程.
18.已知函数 f(x)=x3-4x2＋5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，-2)的曲线 f(x)的切线方程.
切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于 1，故选 C.
5.答案为：C；
由函数 f(x)的图象可得函数 f(x)的导函数 f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，
f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数 f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，
f（3）－f（2）
大于 f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，所以 0＜f′(3)＜
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19.已知 P(-1,1)，Q(2,4)是曲线 y=x2 上的两点， (1)求过点 P，Q 的曲线 y=x2 的切线方程． (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的切线方程．
20.已知曲线方程为 y=f(x)=x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
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答案解析
x
B.
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9.答案为：C；解析：y′=cos x＋ex，故切线斜率为 k=2，切线方程为 y=2x＋1，即 2x－y＋1=0.

高中数学选修2-2北师大版计算导数课后练习（含答案）

高中数学选修2-2北师大版计算导数课后练习（含答案）§3 计算导数一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2 27；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.12，2B.12，2或－12，－2C.－12，－2D.12，－23．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 4．曲线y ＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________. 6．曲线f (x )＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 21－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 9．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.11．求与曲线y＝3x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．12．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，利用导数的定义求h′(2)，并解释其实际意义．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．。

2019-2020学年高二数学选修2-2《1.2导数的计算》测试卷及答案解析

2019-2020学年高二数学选修2-2《1.2导数的计算》测试卷一．选择题（共10小题）1．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2x+cos x，则＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．已知f（x）＝x cos x，则f'（0）＝（）A．﹣1B．0C．1D．24．已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．函数f（x）＝e x+x sin x﹣7x在x＝0处的导数等于（）A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣76．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）＝0．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则可求得＝（）A．4025B．﹣4025C．8050D．﹣80507．函数f（x）＝e x（sin x+cos x）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）8．下列结论正确的是（）A．B．C．（5x）′＝5x D．（5x）′＝5x ln59．若y＝，则y′＝（）A．B．C．D．10．设，则f′（2）＝（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知f（x）＝13﹣8x+x2导数为f′（x），且f′（x0）＝4，则x0＝12．已知函数f（x）＝x•lnx，则f'（1）＝．13．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则1+f′（1）＝．14．设函数f（x）＝sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导数，若f（x）＝2f′（x）．则＝．15．已知函数f（x）＝sin，则f′（1）＝．16．已知函数f（x）＝x+sin x，则f'（x）＝．17．已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）＝3，则a的值为．18．（e x lnx）′；（）′＝．19．已知f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）+6，则f′（0）＝．20．已知f（x）＝sin x（cos x﹣1），则＝．三．解答题（共5小题）21．求下列函数的导数．（1）；（2）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；。

高中数学选修2-2单元配套练习试题1.2导数的计算及参考答案解析

1.2导数的计算(包括1.2.1几个常用函数的导数,1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)姓名:___________班级:______________________一、选择题 1.已知()3232f x ax x =++,若()14f '-=,则a 的值等于()A.193B.103C.163D.1332.函数32x y x =⋅的导函数是( )A.232x y x '=⋅B.322x y x '=⋅C.2322ln 2x x y x '=⋅+D.23322ln 2x x y x x '=⋅+⋅3.已知()()e 21x f x xf '=+,则()0f '等于( )A.12e +B.12e -C.2e -D.2e4.设()ln f x x x =,若()02f x '=,则0x 等于( )A.2eB.eC.ln 22 D.ln 2 5.曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率为( )B.1C.1-D.6.曲线()32153f x x x =-+在1x =处的切线倾斜角是( ) A.π6 B.π3C.π4D.3π47.曲线21x y x =-上一点()1,1处的切线方程为( ) A.20x y --= B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=8.点P 在曲线:1C y x =+上移动,若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( ) A.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B.π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C.π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题9.若曲线()2ln 1y ax x =-+在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =__________.10.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(m)h 与起跳后的时间(s)t 存在函数关系()24.9 6.510h t t t =-++,则瞬时速度为0m /s 的时刻是_________s . 11.已知函数()()21ln ,2f x xg x x a ==+(a 为常数),直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切,且l 与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1,则a 的值为_______.三、解答题12.求下列函数的导数.(1)e x y x =;(2)()()22131y x x =-+;(3) ()sin 1cos .2x y x =+-13.已知函数()f x =()ln g x a x =,a ∈R ,若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交,且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程.14.已知曲线()3:C f x x x =-.(1)试求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程;(2)试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.参考答案1.B【解析】由题意知()236f x ax x '=+,所以()1364f a '-=-=,解得103a =. 考点:导函数的应用.2.D【解析】()()()333222x x x y x x x ''''=⋅=⋅+⋅＝23322ln 2x x x x ⋅+⋅,故选D.考点:导数的计算.3.B【解析】由题意得()()e 21x f x f ''=+,所以()()1e 21f f ''=+,所以()1e f '=-, 所以()()00e 2e 12e f '=+⋅-=-.故选B.考点:函数的导数.4.B【解析】()()000ln ,()ln 1,ln 12,e f x x x f x x f x x x ''=∴=+∴=+=∴=,故选B. 考点:导数.5.B【解析】由题意得()()211f x x f ''=⇒=,即切线的斜率为1k =,故选B.考点:利用导数研究曲线在某点的切线的斜率.6.D【解析】()()()32215,2,113f x x x f x x x f ''=-+∴=-∴=-,所以切线的斜率为1-,倾斜角为3π4.故选D. 考点:函数导数的几何意义及运算.7.B 【解析】对21x y x =-求导得,()2121y x '=--,把1x =代入()2121y x '=--得,1y '=-,即切线的斜率为1-,又切点为()1,1,所以切线方程为()1111y x x -=--=-+,即20x y +-=,故选B.考点:利用导数求切线方程.8.A【解析】y x ⎡'=∈⎣,即切线的斜率范围是⎡⎣,那么倾斜角的范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,故选A.考点:导数的几何意义. 9.14【解析】由题意得121y ax x '=-+,因为曲线在点()1,a 处的切线平行于x 轴,所以1202a -=,解得14a =. 考点:导数几何意义的应用. 10.6598【解析】由导数的物理背景知,路程对于时间求导可得瞬时速度与时间的关系.()9.8 6.5h t t '=-+,则瞬时速度为0m /s 时有,09.8 6.5t =-+,可得6598t =.故答案为6598. 考点:导数的运算及应用. 11.12- 【解析】因为()10,f =()()1,11,f x f x''==所以:01, 1.l y x y x -=-=- 再由2112x x a -=+的判别式为零得()111410.22a a ∆=-⨯⨯+=⇒=- 考点:导数几何意义.12.(1)()2e 1x x y x -'=(2)21843y x x '=+-1(3)cos(1)sin .22x y x '=++ 【解析】(1)()()222e e e 1e e e x x x x x x x x x x y x x x x '''-⋅-⎛⎫⋅-'==== ⎪⎝⎭. (2)因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--,所以()()()()()32322623162311843y x x x x x x x x ''''''=+--=+--=+-.(3)函数sin(1)y x =+看作sin y u =和1u x =+的复合函数,()()sin 1cos cos(1)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+==+,同样的可以求出cos 2x y =的导数1sin 22x y '=-,所以题中函数的导数为1cos(1)sin .22x y x '=++ 考点:求函数的导数. 13.e 2a =,22e e 0x y -+= 【解析】()f x '=()()0a g x x x'=>,设两曲线交点的横坐标为0x ,由已知得00ln ,,a x a x =⎨=⎪⎩解得e 2a =,20e x =. 所以两曲线交点坐标为()2e ,e ,切线的斜率为()21e2e k f '==, 所以切线方程为()21e e 2ey x -=-,即22e e 0x y -+=. 考点:利用导数求曲线上某点处的切线方程,导数的计算.14.(1)220x y --=(2)50x y --=或50x y -+=【解析】(1)∵()3f x x x =-,∴()10f =,求导数得()231f x x '=-, ∴切线的斜率为()12k f '==,∴所求切线方程为()21y x =-,即220x y --=.(2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ,则切线的斜率为()20031k f x x '==-.又∵所求切线与直线53y x =+平行,∴20315x -=,解得0x =代入曲线方程()3f x x x =-得切点为或(,∴所求切线方程为(5y x =或(5y x =,即50x y --=或50x y -+=.考点:导数的计算,导数的几何意义.。

高中数学选修2-2同步练习题库：导数的计算(简答题：较易)

导数的计算（简答题：较易）1、对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，请你根据这一发现.（1）求函数对称中心；（2）求的值.2、求下列函数的导数；（1）；（2），求的值；（3），求的值.3、(1) 已知函数求(2)求曲线与轴以及直线所围图形的面积.4、设函数，图象的一条对称轴是直线．（1）求；（2）求函数的单调递增区间；（3）证明：直线与函数的图象不相切．5、求下列函数的导数．（1）；（2）;(3)6、（10分）已知曲线，求曲线在点处的切线方程．7、求函数的导数。

参考答案1、（1）；（2）.2、（1）（2）（3）.3、(1) ;(2)3.4、（1）；（2）单调递增区间为；（3）证明见解析．5、（1）（2）6、．7、【解析】1、试题分析：（1）三次函数的对称中心是的实根，解得，再代入求，即求得函数的对称中心；（2）根据（1）的结果可知函数的对称中心是，即任何，所以，以此类推，,或采用倒序相加法求和.试题解析：（1），由，即，解得..由题中给出的结论可知，函数对称中心为.（2）由（1）知，函数对称中心为.所以，即.故，.所以.2、试题分析：（1）按照导数运算公式求导；（2）先对其进行化简，再求导，将2代入即可；（3）按导数公式进行求导，将1代入.试题解析：（1）.（2），.（3）.3、试题分析：（1）利用导数的除法法则求导函数，再求相应导数值；（2）作出草图，利用定积分的几何意义进行求解.试题解析：(1)∵，则(2)由题可知，画出所围图形如图，则阴影部分面积为.4、试题分析：（1）当时，，根据，解得，（2），根据复合函数的单调性可得，解得的取值范围就是函数的单调递增区间；（3）求函数的导数，，函数的最大值是2，根据导数的几何意义可知函数图象上任一点的斜率不可能是 .试题解析：（1）.∵是函数的一条对称轴，∴，，∵，∴．（2）由，得，∴，即的单调递增区间为（3）∵，∴曲线的切线的斜率的取值范围为，而直线的斜率为，所以直线与函数的图像不相切.5、（1）．（2）因为，所以．(3)函数看作和的复合函数，，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为考点：求函数的导数．6、试题分析：先根据原函数的解析式求出导函数的解析式，把代入就得到，根据直线的点斜式方程就可以得到切线方程了．试题解析：在处得切线方程是：即：．考点：导数的几何意义，及直线的点斜式方程．7、。

2020年苏教版选修2-2课后练习(12)(有答案解析)

2020年苏教版选修2-2课后练习（12）一、解答题（本大题共11小题，共132.0分）1.求下列函数的导数：；；；．2.求函数的极值．3.求函数在区间上的最大值与最小值．4.如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为，再乘汽车，车速为，登陆点选在何处，所用时间最少？5.计算定积分：；．6.求由曲线，，，所围图形的面积．7.如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为为常数高h与底面半径r有什么关系？传输带以往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径时的r对于时间t的变化率．参考数据：取，，，为计算方便可取，8.已知两曲线，，用计算机器求两曲线的交点坐标；求两曲线在交点处的夹角即交点处两曲线的切线的夹角．9.求下列函数的导数：；10.求函数的单调区间．11.计算由曲线，所围成图形的面积S．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：，其导数；，其导数；，其导数；其导数．解析：根据题意，由导数的计算公式，分析可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．2.答案：解：函数，可得，令，可得或，当，时，，函数是增函数，，时，，函数是减函数，所以，时函数取得极大值，时，函数取得极小值，所以极大值为：，极小值：．解析：求出函数的导数，判断函数的单调性然后求解函数的极值即可．本题考查函数的极值的求法，函数的导数的应用．是基本知识的考查．3.答案：解：，，当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；，，在区间上的最小值为；又，，在区间上的最大值为；综上所述，函数在区间上的最大值为11，最小值为．解析：易求，分析判断在区间上的单调性，即可求得答案．本题考查利用导数研究函数的最值，利用导数判断在区间上的单调性是关键，考查运算求解能力，属于基础题．4.答案：解：设；所用时间，在中，，，，．；，时，；，当时，由A到C所用的时间t最少．此时．解析：设，用表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于函数即可；对函数求导，研究出函数的单调性确定出时，由A到C所用的时间t最少．本题考查在实际问题中建立三角函数模型，应用三角函数模型求解用时最少的问题，求解本题的关键是对问题进行细致分析得出符合条件的函数模型．5.答案：解：．．解析：首先求出被积函数的原函数，进一步求出结果．首先求出被积函数的原函数，进一步求出结果．本题考查的知识要点：函数的求导的应用，被积函数的原函数的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：解：根据已知条件画出函数的图象，如图所示：故：，解得：，即．同理，解得，即由曲线，，，所围图形的面积为．解析：直接利用已知条件画出函数我的图形，进一步利用函数的定积分的应用和分割法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的导数的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：解：由题意知，，分记t min时煤堆的体积为V，则分分式两边对t求导，得分注：式两边对t求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解设时对应的时刻为，由得分代入式得，分解析：由题意知，，从而得出高h与底面半径r的关系．记t min时煤堆的体积为V，写出圆锥的体积公式，求底面半径对于时间的变化率，即半径的函数式对于时间t求微分，代入所给的数据做出结果．本题考查变化的快慢与变化率，本题解题的关键是注意求的是圆锥的底面半径对于时间的变化率．属于中档题．8.答案：解：两曲线和的交点，即的解集．用计算机器解得两曲线的交点坐标为和．，，．所以在A点处的斜率，在A点处的斜率为．设两曲线在交点处的夹角为，，角为．在B点处的斜率，在B点处的斜率为．设两曲线在交点处的夹角为，，角为综上所述，两曲线在交点处的夹角为，在交点处的夹角为为．解析：令，通过几何画板绘图求得或计算机计算求得两曲线交点坐标；利用导数的几何意义，先分别计算两条曲线的在交点处的切线斜率，套用两直线的夹角公式，计算即可得．本题考察了导数的几何意义，求曲线切线方程的方法，以及两直线的夹角公式，属中档题目．9.答案：解：，，，，．解析：分别根据导数的运算法则和复合函数的求导法则求导即可．本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题．10.答案：解：首先确定定义域：，在和两个区间上分别讨论．任取、且，则，要确定此式的正负只要确定的正负即可．当、时，，，为减函数，当、时，，，为增函数．同理可求当、时，为减函数；当、时，为增函数．解析：此题最简单方法：利用导数做或者可求增减区间方法不唯一选择较为简便的注多个单调区间不可用并集连接切记11.答案：解：作出如图的图象分联立解得或分即点所求面积为：分答：所围成图形的面积解析：由题意，可作出两个函数与的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两函数图象交点A的坐标，根据图象确定出被积函数与积分区间，计算出定积分的值，即可出面积曲线，所围成图形的面积S本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算，。

【人教版】数学选修2-2《导数的计算》名师讲义(含答案)

专题：导数的计算重难点易错点解析1.已知函数)(x f 为R 上的偶函数，当0>x 时，x x x f 2)(2-=，则当0<x 时，()f x '=______．2.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.3(3)(3)a f =⋅，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，3311(log )(log )99c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（）． A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >>金题精讲1.（定义法求导数）求函数y =在(0,)+∞内的导函数．2.求下列函数的导数: (1)32sin x e y x +=；(2) ()sec f θθ=；(3) y = (4) 21cos 2log 1cos 2x y x -=+；(5)ln ； (6) 44()cos sin h x x x =-，则π12h ⎛⎫'=⎪⎝⎭___________．3.若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =---- ，则(2010)g '=_________．4.已知()f x '是一次函数，2()(21)()1x f x x f x '⋅--=对一切R x ∈恒成立，求()f x 的解析式．5.若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于（）．A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α学习提醒熟记基本公式，把握法则结构讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：2x +2．题二答案：B ．金题精讲题一答案：3212y x -'=-．题二答案：(1)23223sin ()cos sin x x x e xy x -+'=；(2)()tan sec f θθθ'=；(3)1878y x -'=；(4) 22sec tan ln 2x y x =⋅；(5)y '=(6) -1．题三答案：D ．题四答案：12...20092009!⨯⨯⨯=．题五答案：2()221f x x x =++．思维拓展题一答案：A ．。

2020年高中数学选修2-2 课堂练习本《利用导数研究函数的单调性》(含答案解析)

2020年高中数学选修2-2课堂练习本《利用导数研究函数的单调性》一、选择题1.函数f(x)=x 3-3x 2＋1的单调递减区间为()A．(2，＋∞)B．(-∞，2)C．(-∞，0)D．(0,2)2.函数y=12x 2-ln x 的单调递减区间为()A．(-1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)3.函数f(x)=x 3＋ax-2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是()A．[3，＋∞)B．[-3，＋∞)C．(-3，＋∞)D．(-∞，-3)4.函数f(x)=x-ln x 的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(-∞，0)∪(1，＋∞)5.已知函数f(x)=x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3)B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2)D．f(e)<f(3)<f(2)6.如图为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，那么函数y=f(x)的图象可能为()二、填空题7.设曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1=0垂直，则a=________.8.函数f(x)=cos x＋32x 的单调递增区间是________．9.已知函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．10.若函数y=x 2-2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是________．11.已知函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导，其图象如图，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．12.设函数f(x)=x(e x -1)-12x 2，则f(x)的单调增区间是________，减区间是________．三、解答题13.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x＋1在区间[-4,4]上的单调性．14.求下列函数的单调区间：(1)f(x)=3x 2-ln x；(2)f(x)=-13ax 3＋x 2＋1(a≤0)．15.求证：函数f(x)=e x-x-1在(0，＋∞)内是增函数，在(-∞，0)内是减函数．16.已知函数f(x)=ax 3-3x 2＋1-3a，讨论函数f(x)的单调性．17.已知函数f(x)=ln x，g(x)=12ax 2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．18.已知函数f(x)=x 4＋a x -ln x-32，其中a∈R，且曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间．答案解析1.答案为：D；解析：f′(x)=3x 2-6x=3x(x-2)，令f′(x)<0，得0<x<2.∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．2.答案为：B；解析：函数y=12x 2-ln x 的定义域为(0，＋∞)，y′=x-1x =x－1x＋1x，令y′≤0，可得0＜x≤1.3.答案为：B；解析：f′(x)=3x 2＋a，令3x 2＋a≥0，∴a≥-3x 2，∵x∈(1，＋∞)，∴a≥-3.4.答案为：A；解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)=1-1x =x－1x，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．5.答案为：A；解析：在(0，＋∞)上，f′(x)=12x ＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．6.答案为：A；解析：由导函数y=f′(x)的图象，可知当-1<x<3时，f′(x)<0，所以y=f(x)在(-1,3)上单调递减；当x>3或x<-1时，f′(x)>0，所以y=f(x)在(-∞，-1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y=f(x)的图象的大致形状如A 中图所示，所以选A.一、填空题7.答案为：2；解析：∵y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1=0垂直，又y′=ae ax ，∴a=2.8.答案为：(-∞，＋∞)；解析：因为f′(x)=-sin x＋32＞0，所以f(x)在R 上为增函数．9.答案为：(-1，＋∞)；解析：设g(x)=f(x)-2x-4，则g′(x)=f′(x)-2.∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.∴g(x)在R 上为增函数．又g(-1)=f(-1)＋2-4=0，∴x＞-1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞-1.10.答案为：(-∞，2]；解析：y′=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x 在(2,8)内恒成立，∴b≤2.11.答案为：－43，1∪113，6；解析：f′(x)≤0的解集，即为函数y=f(x)的单调减区间，∴f′(x)≤0的解集为－43，1∪113，6.12.答案为：(-∞，-1)和(0，＋∞)(-1,0)；解析：f(x)=x(e x -1)-12x 2，f′(x)=e x -1＋xe x -x=(e x -1)(x＋1)．当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0；当x∈(-1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(-∞，-1)，(0，＋∞)上单调递增，在(-1,0)上单调递减．二、解答题13.解：∵f(x)=x 3-3x 2-9x＋1，∴f′(x)=3x 2-6x-9.令f′(x)>0，结合-4≤x≤4，得-4≤x<-1或3<x≤4.令f′(x)<0，结合-4≤x≤4，得-1<x<3.∴函数f(x)在[-4，-1)和(3,4]上为增函数，在(-1,3)上为减函数．14.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=6x-1x =6x 2－1x，令f′(x)>0，即6x 2－1x>0，∵x>0，∴6x 2-1>0，∴x>66.令f′(x)<0，即6x 2－1x <0，∵x>0，∴6x 2-1<0，∴0<x<66.(2)①当a=0时，f(x)=x 2＋1，其单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，f′(x)=-ax 2＋2x，f′(x)>0⇔(-ax＋2)x>0⇔x>0或x<2a ；f′(x)<0⇔2a<x<0.故15.证明：由f(x)=e x -x-1，得f′(x)=e x -1.当x∈(0，＋∞)时，e x -1>0，即f′(x)>0.∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(-∞，0)时，e x -1<0，即f′(x)<0.∴f(x)在(-∞，0)内是减函数．16.解：由题设知a≠0.f′(x)=3ax 2令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2a.当a>0时，若x∈(-∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(-∞，0)上为增函数．若若当a<0时，若若若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．17.解：(1)h(x)=ln x-12ax 2-2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)=1x-ax-2.因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x -ax-2<0有解，即a>1x 2-2x 有解．设G(x)=1x 2-2x，所以只要a>G(x)min 即可．而-1，所以G(x)min =-1.所以a>-1.即实数a 的取值范围是(-1，＋∞)．(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)=1x -ax-2≤0恒成立．即a≥1x 2-2x恒成立．所以a≥G(x)max .而-1.因为x∈[1,4]，所以1x ∈14，1.所以G(x)max =-716(此时x=4)．所以a≥-716.当a=-716时，h′(x)=1x ＋716x-2=16＋7x 2－32x 16x =7x－4x－416x.∵x∈[1,4]，∴h′(x)=7x－4x－416x≤0.即h(x)在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是－716，＋∞18.解：(1)对f(x)求导得f′(x)=14-a x 2-1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y=12x 知f′(1)=-34-a=-2，解得a=54.(2)由(1)知f(x)=x 4＋54x -ln x-32，则f′(x)=x 2－4x－54x2，令f′(x)=0，解得x=-1或x=5，因x=-1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．。

2020年高中数学选修2-2 导数在函数中的应用同步练习(含答案解析)

2020年高中数学选修2-2导数在函数中的应用同步练习1.求下列各函数的最值．(1)f(x)=-x4＋2x2＋3，x∈[-3,2]；(2)f(x)=x3-3x2＋6x-2，x∈[-1,1]．2.已知f(x)=x3＋3ax2＋bx＋a2在x=－1时有极值0.求a，b的值．3.求函数f(x)=2x2-ln x的单调区间.4.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)求导数f′(x)；(2)若f′(-1)=0，求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(-x，-2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．7.已知函数f(x)=2x 3-6x 2＋a 在[-2,2]上有最小值-37，求a 的值，并求f(x)在[-2,2]上的最大值．8.已知函数f(x)=x 3＋ax 2＋bx＋c，曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l：3x-y＋1=0，若x=23时，y=f(x)有极值．(1)求a，b，c 的值；(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值．9.已知函数f(x)=x 4＋a x -ln x-32，其中a∈R，且曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间．10.求函数f(x)=(a＋1)lnx＋ax2＋1的单调区间.11.已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)e x.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．12.已知函数f(x)=e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．13.设函数f(x)=x2e x－1＋ax3＋bx2，已知x=－2和x=1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性．14.已知f(x)=ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．15.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋5，曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y=3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．答案解析1.解：(1)f′(x)=-4x 3＋4x，令f′(x)=-4x(x＋1)(x-1)=0，得x=-1或x=0或x=1.当x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x=-3时，f(x)取最小值-60；当x=-1或x=1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)=3x 2-6x＋6=3(x 2-2x＋2)=3(x-1)2＋3，∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0，∴f(x)在[-1,1]上为增函数．故x=-1时，f(x)最小值=-12；x=1时，f(x)最大值=2.即f(x)的最小值为-12，最大值为2.2.解：∵f(x)在x=－1时有极值0且f′(x)=3x 2＋6ax＋b.－1＝0，－1＝0，2＝0，当a=1，b=3时，f′(x)=3x 2＋6x＋3=3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a=2，b=9时，f′(x)=3x 2＋12x＋9=3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．所以f(x)在x=－1时取得极小值，因此a=2，b=9.3.解:由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)=4x-1x =4x 2－1x，由f′(x)>0，得x>0.5，由f′(x)<0，得0<x<0.5，∴函数f(x)=2x 2-ln x 的单调增区间为(0.5,+∞)，单调减区间为(0,0.5).4.解:(1)由已知，得f′(x)=3x 2-a.因为f(x)在(-∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)=3x 2-a≥0在(-∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x 2对x∈(-∞，＋∞)恒成立.因为3x 2≥0，所以只需a≤0.又a=0时，f′(x)=3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a≤0.(2)假设f′(x)=3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，则a≥3x 2在x∈(-1,1)时恒成立.因为-1<x<1，所以3x 2<3，所以只需a≥3.当a=3时，在x∈(-1,1)上，f′(x)=3(x 2-1)<0，即f(x)在(-1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(-1,1)上单调递减.5.解：6.解：(1)f(x)=x 3-ax 2-4x＋4a，则f′(x)=3x 2-2ax-4.(2)由f′(-1)=0，得a=12，此时有f(x)=(x 2f′(x)=3x 2-x-4.由f′(x)=0，得x=43或x=-1.又=-5027，f(-1)=92，f(-2)=0，f(2)=0.∴f(x)在[-2,2]上的最大值为92，最小值为-5027.(3)f′(x)=3x 2-2ax-4的图象为开口向上且过(0，-4)的抛物线，由条件得f′(-2)≥0，f′(2)≥0.∴-2≤a≤2，即a 的取值范围是[-2,2]．7.解：f′(x)=6x 2-12x=6x(x-2)，由f′(x)=0，得x=0或x=2.当x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：∴当x=-2时，f(x)min =-40＋a=-37，得a=3.当x=0时，f(x)最大值是3.8.解：(1)由f(x)=x 3＋ax 2＋bx＋c，得f′(x)=3x 2＋2ax＋b.当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a＋b=0，①当x=23时，y=f(x)有极值，则4a＋3b＋4=0，②由①②，解得a=2，b=-4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)=4.所以1＋a＋b＋c=4，得c=5.(2)由(1)可得f(x)=x 3＋2x 2-4x＋5，f′(x)=3x 2＋4x-4.令f′(x)=0，解得x 1=-2，x 2=23.当x 变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13，最小值为9527.9.解：(1)对f(x)求导得f′(x)=14-a x 2-1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y=12x 知f′(1)=-34-a=-2，解得a=54.(2)由(1)知f(x)=x 4＋54x -ln x-32，则f′(x)=x 2－4x－54x2，令f′(x)=0，解得x=-1或x=5，因x=-1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．10.解：11.解：f′(x)=(2x-2a)e x ＋(x 2-2ax)e x =e x [x 2＋2(1-a)x-2a]．令f′(x)=0，即x 2＋2(1-a)x-2a=0.解得x 1=a-1-1＋a 2，x 2=a-1＋1＋a 2，令f′(x)＞0，得x＞x 2或x＜x 1，令f′(x)＜0，得x 1＜x＜x 2.∵a≥0，∴x 1<-1，x 2≥0.由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a-1＋1＋a 2≥1，解得a≥34.故所求a 的取值范围为34，＋∞12.解：(1)f′(x)=e x (ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)=4，f′(0)=4，故b=4，a＋b=8.从而a=4，b=4.(2)由(1)知，f(x)=4e x (x＋1)－x 2－4x，f′(x)=4e x x 令f′(x)=0，得x=－ln 2或x=－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x=－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)=4(1－e －2)．13.解：(1)f′(x)=e x－1(2x＋x 2)＋3ax 2＋2bx=xe x－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，因为x=－2和x=1是f(x)的极值点，所以f′(－2)=f′(1)=0，a＝－13，(2)因为a=－13，b=－1，所以f′(x)=x(x＋2)(e x－1－1)．令f′(x)=0，解得x 1=－2，x 2=0，x 3=1.因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．14.解：(1)由已知，f′(x)=3ax 2＋2bx＋c，且f′(-1)=f′(1)=0，得3a＋2b＋c=0,3a-2b＋c=0.又f(1)=-1，∴a＋b＋c=-1.∴a=12，b=0，c=-32.(2)由(1)知f(x)=12x 3-32x，∴f′(x)=32x 2-32=32(x-1)(x＋1)．当x<-1或x>1时，f′(x)>0；当-1<x<1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(-∞，-1)和(1，＋∞)上是增函数，在(-1,1)上为减函数．∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.15.解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y=3x＋1可得，f(1)=3×1＋1=4，∴f(1)=1＋a＋b＋5=4，即a＋b=-2，又由f(x)=x 3＋ax 2＋bx＋5得，又f′(x)=3x 2＋2ax＋b，而由切线y=3x＋1的斜率可知f′(1)=3，∴3＋2a＋b=3，即2a＋b=0，∴a=2，b=-4.(2)由(1)知f(x)=x 3＋2x 2-4x＋5，f′(x)=3x 2＋4x-4=(3x-2)(x＋2)，令f′(x)=0，得x=23或x=-2.当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：∴f(x)的极大值为f(-2)=13，极小值为=9527，又f(-3)=8，f(1)=4，∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13.。

【湘教版】数学高中选修2-2课堂练习 (全书完整版)

（湘教版）高中数学选修2-2（全册）课堂练习汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度1．一质点的运动方程是s＝4－2t2, 则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为() A．2d＋4 B．－2d＋4C．2d－4 D．－2d－4答案 D解析v(1, d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4.2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正确的是() A．在时间段[t0, t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B．在t1＝1.1, t2＝1.01, t3＝1.001, t4＝1.000 1, 这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等C．在时间段[t0－d, t0]与[t0, t0＋d](d>0)内当d趋于0时, 两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．已知s＝12gt2, 从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.答案 3.05g解析v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2, 则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2, d)＝s(2＋d)－s(2)d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值, 即用时间除位移得到, 而瞬时速度是物体在某一时间点的速度, 当时间段越来越小的过程中, 平均速度就越来越接近一个数值, 这个数值就是瞬时速度, 可以说, 瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t), 则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为:(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)d, 其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量;(2)对上式化简, 并令d趋于0, 得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线1．一物体作匀速圆周运动, 其运动到圆周A处时() A．运动方向指向圆心OB．运动方向所在直线与OA垂直C．速度与在圆周其他点处相同D．不确定答案 B2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy), 则Δy d等于() A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d答案 C解析Δyd＝2(1＋d)2－1－(2×12－1)d＝4＋2d.3．过曲线y＝2x上两点(0,1), (1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析由平均变化率的几何意义知, k＝2－11－0＝1.4．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1, －2)及邻近一点(－1＋d, －2＋Δy), 则Δyd＝________.解析Δy＝f(－1＋d)－f(－1) ＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d.∴Δy d ＝－d2＋3dd＝－d＋3.答案－d＋31．求曲线y＝f(x)上一点(x0, y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量Δy, 即f(x0＋d)－f(x0)．(2)化简Δyd, 用x0与d表示化简结果．(3)令d→0, 求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u, v)处的切线方程”和“过点(u, v)的切线方程”．前者以点(u, v)为切点, 后者点可能在曲线上, 也可能不在曲线上, 即使在曲线上, 也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势, 刻画了曲线在这一区间升降的程度, 而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态, 它实现了由割线向切线质的飞跃．4．1.3 导数的概念和几何意义1．f(x)在x＝x0处可导, 则limh→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关, 而与h无关C．仅与h有关, 而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2, 下列选项正确的是() A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0C．f′(x0)＝2x0D．f′(x0)＝d＋2x0答案 C3．已知函数y＝f(x)图象如图, 则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 A4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2), 则在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________, 在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.答案3＋d 31．求导数的步骤主要有三步:(1)求函数值的增量: Δy＝f(x0＋d)－f(x0);(2)求平均变化率: Δyd＝f(x0＋d)－f(x0)d;(3)取极限: f′(x0)＝Δy d.2．导数的几何意义(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量, 其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．(2)f′(x)是指随x变化, 过曲线上的点(x, f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.4．2.3 导数的运算法则1．下列结论不正确的是()A ．若y ＝3, 则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1, 则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x , 则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x , 则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项, ∵y ＝sin x ＋cos x , ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1, －1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2, ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2,∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1), 即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线, 则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析设切点为(x 0, y 0), ∵ y ′＝1x , ∴12＝1x 0,∴x 0＝2, ∴y 0＝ln 2, ln 2＝12×2＋b , ∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商, 再利用运算法则求导数．在求导过程中, 要仔细分析出函数解析式的结构特征, 根据导数运算法则, 联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形, 转化为较易求导的结构形式, 再求导数, 进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表1．已知f (x )＝x 2, 则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2, ∴f ′(x )＝2x , ∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x , 则f ′(3)等于( )A.36 B ．0 C.12x D.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x, ∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P , 以点P 为切点的切线为直线l , 则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0, π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x , ∵k l ＝cos x , ∴－1≤k l ≤1, ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 4．曲线y ＝e x 在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x , ∴k ＝e 2,∴曲线在点(2, e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2), 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时, y ＝－e 2, 当y ＝0时, x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数, 其关键是牢记和运用好导数公式．解题时, 能认真观察函数的结构特征, 积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x , 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数, 一是注意函数的变化, 二是注意符号的变化．4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时, f ′(x )＝1＋1x ＞0, ∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数, 若y ＝f ′(x )的图象如图所示, 则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析由导函数的图象可知, 当x＜0时, f′(x)＞0, 即函数f(x)为增函数; 当0＜x＜2时, f′(x)＜0, 即f(x)为减函数; 当x＞2时, f′(x)＞0, 即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减, 则实数a的取值范围是() A．[1, ＋∞) B．a＝1C．(－∞, 1] D．(0,1)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1, 又f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立, ∴f′(0)≤0, 且f′(1)≤0, ∴a≥1. 4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________, 减区间为________．答案(2, ＋∞)(－∞, 2)解析y′＝2x－4, 令y′＞0, 得x＞2; 令y′＜0, 得x＜2,所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2, ＋∞), 减区间为(－∞, 2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性, 导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．4.3.2函数的极大值和极小值1．下列关于函数的极值的说法正确的是() A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a, b)内有极值, 那么f(x)在(a, b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R, 导函数f′(x)的图象如图所示, 则函数f(x)() A．无极大值点, 有四个极小值点B．有三个极大值点, 两个极小值点C．有两个极大值点, 两个极小值点D．有四个极大值点, 无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧, f′(x)的符号由正变负, 则f(x0)是极大值; f′(x)的符号由负变正, 则f (x 0)是极小值, 由图象易知有两个极大值点, 两个极小值点． 3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值, 则a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜2B ．－3＜a ＜6C ．a ＜－1或a ＞2D ．a ＜－3或a ＞6答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6), 因为f (x )既有极大值又有极小值, 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0, 解得a ＞6或a ＜－3.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1, x 2, 且x 1x 2＝1, 则实数a 的值为________．答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0, 从而x 1x 2＝2a18＝1, 所以a ＝9.1．在极值的定义中, 取得极值的点称为极值点, 极值点指的是自变量的值, 极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值, 解决一些方程的解和图象的交点问题.4.3.3 三次函数的性质: 单调区间和极值1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7, 在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2), f (3)B ．f (3), f (5)C ．f (2), f (5)D ．f (5), f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4, ∴当x ∈[3,5]时, f ′(x )<0, 故f (x )在[3,5]上单调递减,故f (x )的最大值和最小值分别是f (3), f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )A ．有最大值, 但无最小值B ．有最大值, 也有最小值C ．无最大值, 但有最小值D ．既无最大值, 也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1), 当x ∈(－1,1)时, f ′(x )＜0, 所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数, 无最大值和最小值, 故选D. 3．函数y ＝x －sin x , x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C解析因为y ′＝1－cos x , 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π, 时, y ′＞0, 则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数, 所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π, 故选C. 4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e xsin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为 ( )A. B. C. D.答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2, f ′(x )＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数,∴f (x )min ＝f (0)＝0, f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10, 则其最小值为________．答案－71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76, f (3)＝k －27, f (－1)＝k ＋5, f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10, 得k ＝5, ∴f (x )min ＝k －76＝－71.1．求函数y ＝f (x )在[a , b ]上的最值(1)极值是部分区间内的函数的最值, 而最值是相对整个区间内的最大或最小值．(2)求最值的步骤:①求出函数y ＝f (x )在(a , b )内的极值;②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a ), f (b )比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值． 2．极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质, 是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况, 是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值, 需要将极值和区间端点的函数值进行比较, 或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值, 那么极大值就是最大值, 极小值就是最小值．(4)可导函数在极值点的导数为零, 但是导数为零的点不一定是极值点．例如,函数y＝x3在x＝0处导数为零, 但x＝0不是极值点．4.4生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油, 需对原油进行冷却和加热, 如果第x小时,原油温度(单位: ℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5), 那么, 原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B.203C．－1 D．－8答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5), 所以当x＝1时, 原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V, 那么其表面积最小时底面边长为()A.3VB.32VC.34V D．23V答案 C解析设底面边长为x, 则表面积S＝32x2＋43x V(x>0)．∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0, 得x ＝34V .3. 在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起, 做成一个无盖的方底箱子, 箱底边长为多少时, 箱子容积最大? 最大容积是多少?解设箱底边长为x cm, 则箱高h ＝60－x2 cm, 箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0＜x ＜60)．V ′(x )＝60x －32x 2令V ′(x )＝60x －32x 2＝0, 解得x ＝0(舍去)或x ＝40, 并求得V (40)＝16 000.由题意知, 当x 过小(接近0)或过大(接近60)时, 箱子容积很小, 因此, 16 000是最大值．答当x ＝40 cm 时, 箱子容积最大, 最大容积是16 000 cm 3.4．统计表明: 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米, 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升?解当速度为x 千米/时时, 汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时, 设耗油量为h (x )升,依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120), h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0, 得x ＝80.因为x ∈(0,80)时, h ′(x )<0, h (x )是减函数;x∈(80,120)时, h′(x)>0, h(x)是增函数,所以当x＝80时, h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值, 所以它是最小值．答汽车以80千米/时匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题, 在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上, 列出合乎题意的函数关系式, 并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时, 有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0, 如果函数在该点取得极大(小)值, 极值就是函数的最大(小)值, 因此在求有关实际问题的最值时, 一般不考虑端点．4．5.3定积分的概念1．定积分⎠⎛11d x的值等于()A．0 B．1 C.12D．2答案 B2．已知⎠⎛13f(x)d x＝56, 则()A.⎠⎛12f(x)d x＝28B.⎠⎛23f(x)d x＝28C.⎠⎛122f (x )d x ＝56 D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝56 答案 D3．如图所示, ⎠⎛a b f 1(x )d x ＝M , ⎠⎛ab f 2(x )d x ＝N , 则阴影部分的面积为( )A ．M ＋NB ．MC ．ND ．M －N 答案 D4．不用计算, 根据图形, 用不等号连接下列各式( )(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x (图1); (2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x (图2); (3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x (图3)．答案 (1)> (2)< (3)<1．定积分可以表示图形的面积从几何上看, 如果在区间[a , b ]上, 函数f (x )连续且恒有f (x )≥0, 那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 就表示由直线x ＝a , x ＝b (a ≠b ), y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积, 这就是定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义．2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的, 定积分的值也为正, 如果被积函数是负的, 函数曲线在x 轴之下, 定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时, 定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．3．此外, 定积分还有更多的实际意义, 比如在物理学中, 可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．4．定积分是一个数值(极限值), 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性), 另外定积分⎠⎛a b f (x )d x 与积分区间[a , b ]息息相关, 不同的积分区间, 所得的值也不同, 例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.4．5.4 微积分基本定理1．(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ,＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2, 则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1x d x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2, 解得a ＝2. 3.⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.答案 43解析 ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π, 计算⎠⎛0πf (x )d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx , 则F 1′(x )＝4x －2π; 取F 2(x )＝sin x , 则F 2′(x )＝cos x .1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数, 要先化简, 再求积分．(2)若被积函数是分段函数, 依据定积分“对区间的可加性”, 分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数, 要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值, 也可取负值, 还可以取0, 而面积是正值, 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和, 而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．4.5定积分与微积分基本定理4．5.1曲边梯形的面积4．5.2计算变力所做的功1．由直线x＝1, x＝2, y＝0和y＝x＋1围成的图形的面积为()A.32B．2 C.52D．3答案 C解析S＝12(2＋3)×1＝52.2．抛物线y＝x2与直线x＝0, x＝1, y＝0所围成的平面图形的面积为( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 B3.∑6k ＝1(1k －1k ＋1)＝________.答案 674．已知和式1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)当n →∞时, 能无限趋近于一个常数A , 此时, A 的几何意义是表示由y ＝f (x )和x ＝0, x ＝1以及x 轴围成的图形面积, 根据和式, 可以确定f (x )＝________. 答案 x p解析因为1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝1n ·[(1n )p ＋(2n )p ＋…＋(n n )p ],所以当n →∞时, 和式表示函数f (x )＝x p 和x ＝0, x ＝1, 以及x 轴围成的曲边梯形面积, 填x p .1．曲边梯形的面积要求一个曲边梯形的面积, 不能用已有的面积公式计算, 为了计算曲边梯形的面积, 可以将它分割成许多个小曲边梯形, 每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替, 对这些近似值求和, 就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时, 这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． 2．变力所做的功变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的, 仍然是“化整为零, 以直代曲”的策略．虽然它们的意义不同, 但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题, 能使我们更好地了解定积分的概念．5．3 复数的四则运算1．若z－3－2i＝4＋i, 则z等于() A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.2．若复数z1＝1＋i, z2＝3－i, 则z1·z2＝() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i答案 A解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i, 故选A.3．5－(3＋2i)＝________.答案2－2i4．复数11－i的虚部是________．答案1 2解析∵11－i ＝1＋i(1－i)(1＋i)＝1＋i2＝12＋12i.∴虚部为12.1．复数代数形式的加、减法运算法则设z1＝a＋b i, z2＝c＋d i(a, b, c, d∈R), 则有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.即两个复数相加(减), 就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数代数形式的乘法运算法则(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的, 但必须在所得的结果中把i2换成－1, 并且把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意的z1, z2, z3∈C, 有z1·z2＝z2·z1(交换律),(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律),z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．3．复数代数形式的除法运算法则在无理式的除法中, 利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地,在复数的除法运算中, 也存在所谓“分母实数化”问题．将商a＋b ic＋d i的分子、分母同乘以c－d i, 最后结果写成实部、虚部分开的形式: a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i) (c＋d i)(c－d i)＝(ac＋bd)＋(－ad＋bc)ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋－ad＋bcc2＋d2i即可. 5．4 复数的几何表示1．在复平面内, 复数z＝i＋2i2对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i, ∴实部小于0, 虚部大于0, 故复数z 对应的点位于第二象限．2．当0<m <1时, z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵0<m <1, ∴m ＋1>0, －1<m －1<0, 故对应的点在第四象限内． 3．在复平面内, O 为原点, 向量OA→对应的复数为－1＋2i, 若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B , 则向量OB→对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1), ∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上, 则实数m 的值为________．答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上, ∴m －3＝2m , 解之得m ＝9.1．复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对．(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1, 而不是i.(3)当a ＝0时, 对任何b ≠0, a ＋b i ＝0＋b i ＝b i(a , b ∈R )是纯虚数, 所以纵轴上的点(0, b )(b ≠0)都表示纯虚数．(4)复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R )中的z , 书写时应小写, 复平面内点Z (a , b )中的Z , 书写时应大写． 2．共轭复数当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做共轭复数．设复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R ), 则其共轭复数z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．5．1 解方程与数系的扩充5．2 复数的概念1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3, 则实数a , b 的值分别是( )A.2, 1B.2, 5 C ．±2, 5 D ．±2, 1 答案 C解析令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3, 得a ＝±2, b ＝5.2．下列复数中, 满足方程x 2＋2＝0的是( )A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i 答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R , 则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a , b ∈R 且a >b , 则a ＋i>b ＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数, 则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a, b∈R),当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中, 若a＝－1, 则(a＋1)i不是纯虚数, 故A错误;在B中, 两个虚数不能比较大小, 故B错误;在C中, 若x＝－1, 不成立, 故C错误; D正确．4．在下列几个命题中, 正确命题的个数为()①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;③1－a i(a∈R)是一个复数;④虚数的平方不小于0;⑤－1的平方根只有一个, 即为－i;⑥i是方程x4－1＝0的一个根;⑦2i是一个无理数．A．3个B．4个C．5个D．6个答案 B解析命题①②③⑥正确, ④⑤⑦错误．1．对于复数z＝a＋b i(a, b∈R), 可以限制a, b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等, 要先确定两个复数的实、虚部, 再利用两个复数相等的条件进行判断.第6章推理与证明6．1合情推理和演绎推理6．1.1 归纳1．关于归纳推理下列说法正确的是() A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到特殊的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定正确答案 D2．由2＋13＋1＞23,1＋35＋3＞15,3＋0.57＋0.5＞37, 运用归纳推理, 可猜测出的合理结论是()A.c＋ba＋b>caB.1＋1 n＋1>1nC．若a, b, c∈(0, ＋∞), 则b＋ca＋c ＞b aD．若a＞b＞0, c＞0, 则b＋ca＋c ＞b a答案 D3．数列2,5,11,20, x,47, …中的x等于________．答案324．观察下列不等式: |2＋3|≤|2|＋|3|, |(－3)＋5|≤|－3|＋|5|, |－2－3|≤|－2|＋|－3|, |4＋4|≤|4|＋|4|, 归纳出一般结论为______________________(x, y∈R)．答案|x＋y|≤|x|＋|y|解析观察易发现: 两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和, 即|x＋y|≤|x|＋|y|.1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系, 前提正确, 其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．2．归纳推理的特点: (1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理, 因此, 由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质, 结论不一定真实, 因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理, 通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题.6．1.2类比1．下面几种推理是类比推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°, 归纳出所有三角形的内角和都是180°;③张军某次考试成绩是100分, 由此推出全班同学的成绩都是100分;④三角形的内角和为180°, 四边形的内角和为360°, 五边形的内角和为540°,由此推断出凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．①②B．①③C．①D．②④答案 C2．下面使用类比推理恰当的是() A．“若a·3＝b·3, 则a＝b”类推出“若a·0＝b·0, 则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案 C解析由类比推理的特点可知．3．已知扇形的弧长为l, 半径为r, 类比三角形的面积公式S＝底×高2, 可推知扇形的面积公式S扇形等于________．答案lr 24．由三角形的性质通过类比推理, 得到四面体的如下性质: 四面体的六个二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体内切球的球心, 那么原来三角形的性质为________．答案三角形三条角平分线交于一点, 且这个点是三角形内切圆的圆心解析二面角类比角, 平分面类比平分线, 故原来三角形的性质为三角形三条角平分线交于一点, 且这个点是三角形内切圆的圆心．1．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行对比, 找出若干相同或相似点之后, 推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 类比推理所引出的结论并不一定真实．2．类比推理的特点: ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性, 它以旧的认识作基础, 类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的, 尽管不一定可靠, 但它却具有发现的功能.6.1.3演绎推理6．1.4合情推理与演绎推理的关系1．下面几种推理过程是演绎推理的是() A．两条直线平行, 同旁内角互补, 如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角, 则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人, 2班有54人, 3班有52人, 由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质, 推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中, a1＝1, a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2), 由此归纳出{a n}的通项公式答案 A解析A是演绎推理, B、D是归纳推理, C是类比推理．2．“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提), 又y＝x是对数函数(小前提), 所以y＝x是增函数(结论)．”下列说法正确的是() A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论, 则大前提: ________; 小前提: ________; 结论: ________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.“如图, 在△ABC中, AC>BC, CD是AB边上的高, 求证: ∠ACD>BCD”．证明在△ABC中,因为CD⊥AB, AC>BC,①所以AD>BD,②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD, 得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中, 大边对大角”, 小前提是“AD>BD”, 而AD与BD不在同一三角形中, 故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发, 推出某个特殊情况的推理方法; 只要前提和推理形式正确, 通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中, 证明命题的正确性都要使用演绎推理, 推理的一般模式是三段论, 证题过程中常省略三段论的大前提．6．2直接证明与间接证明6．2.1直接证明: 分析法与综合法1．已知y>x>0, 且x＋y＝1, 那么()A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y答案 D解析∵y>x>0, 且x＋y＝1, ∴设y＝34, x＝14,则x ＋y 2＝12, 2xy ＝38, ∴x <2xy <x ＋y 2<y , 故选D. 2．欲证2－3<6－7成立, 只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析根据不等式性质, a >b >0时, 才有a 2>b 2, ∴只需证: 2＋7<6＋3, 只需证: (2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证: 1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明因为1log b a ＝log a b , 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2, 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1, 求证: cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α), 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3, 只需证1－tan α1＋tan α＝3,只需证1－tan α＝3(1＋tan α), 只需证tan α＝－12,∵1－tan α2＋tan α＝1, ∴1－tan α＝2＋tan α, 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立, ∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发, 由因导果; 分析法是从结论出发, 执果索因． 2．分析法证题时, 一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中, 分析法与综合法是统一运用的, 把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合; 没有综合也没有分析．问题仅在于, 在构建命题的证明路径时, 有时分析法居主导地位, 综合法伴随着它; 有时却刚刚相反, 是综合法居主导地位, 而分析法伴随着它.6.2.2 间接证明: 反证法1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”, 第一步应假设( )A ．三角形中至少有一个直角或钝角B ．三角形中至少有两个直角或钝角C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”, 应先假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°。

选修2-2导数精选解答题及答案

1．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，（1）试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.解：（1）函数f （x ）=x 3-3ax 2+2bx 的导数为f ′（x ）=3x 2-6ax+2b∵函数f （x ）=x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1，∴f ′（1）=0，f （1）=-1 即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2∴f （x ）=x 3-x 2-x ，f ′（x ）=3x 2-2x-1令f ′（x ）=0，即3x 2-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1又∵当x ＞1时，f ′（x ）＞0，当-1/3＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＜-1/3时，f ′（x ）＞0，∴函数在x=-13时有极大值为f （-1/3）=5/27 函数在x=1时有极小值为f （1）=-1的方程a x f =)(有3个不同实根，则需满足2 )0(>a（1）若)(x f 在[1，)∞+上递增，求a 的取值范围；（2）求)(x f 在[1，4]上的最小值解（1）a 大于等于2 （2 [1,4]x ∈ （a ）当2a ≥时，在[1,4]x ∈ 上()0f x '≥ ∴min ()(1)f x f a == …………8分（b ）当01a ≤≤时，在[1,4]x ∈ 上()0f x '≤ ∴min ()(4)22ln 2f x f a ==-…10分（c上()0f x '≥ 综上所述：min 22ln 21()22ln 22ln 2a a f x a a a a - 0≤≤⎧⎪=-+ 1<≤⎨⎪ 2<⎩3．已知x = 4是函数2()ln 12f x a x x x b =+-+的一个极值点，（a ，b ∈R ）. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()y f x =有3个不同的零点，求b 的取值范围.3．…………………2’解得16a=. ……4’（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()216ln12,0,f x x x x b x=+-+∈+∞,当()0,2x∈时，()'0f x>；当()2,4x∈时，()'0f x<；()4,x∈+∞时，()'0f x>. 所以()f x的单调增区间是()()0,2,4,+∞；()f x的单调减区间是()2,4.…………8’（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x在()0,2内单调递增，在()2,4内单调递减，在()4,+∞上单调递增，且当2x=或4x=时，()'0f x=.所以()f x的极大值为()216ln220f=-+b，极小值为()432ln232f=-+b.…………10’又因为()()1664ln26416ln2202f b b f=++>-+=,()()23232ln2324f e b b f-<-+<-+=.当且仅当()()402f f<<，()y f x=有三个零点.…………12’所以，b的取值范围为()2016ln2,3232ln2--. ………………………14’4.已知)(xf是定义在[,]e e-上的奇函数，当],0(ex∈时()2ln,().f x ax x a R=+∈（1）求)(xf的解析式；（2）是否存在实数a，使得当)(,)0,[xfex时-∈的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．．解：（1）设[,0),(0,]x e x e∈--∈则()2ln().f x ax x∴-=-+-()f x是奇函数，()()2ln().f x f x ax x∴=--=--…（3分）又(0)0f=…（4分）故函数)(xf的解析式为：2ln(),[,0)()002ln,(0,]ax x x ef x xax x x e--∈-⎧⎪==⎨⎪+∈⎩…（5分）（2）假设存在实数a，使得当[,0),x e∈-时()2ln()f x ax x =--有最小值是4.…（6分） ①当0a ≥或由于.0)(),0,[≥'-∈x f e x 则故函数()2ln()[,0)f x ax x e =---是上的增函数。

2020年高中数学选修2-2 课堂练习本导数及其应用章末综合卷(含答案解析)

32 B．有最大值 0，最小值-
3
32 C．有最小值- ，无最大值
3
D．既无最大值，也无最小值
10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-3)=f(5)=1，f′(x)为 f(x)的导函数，且导函数 y=f′(x) 的图象如图所示．则不等式 f(x)<1 的解集是( )
A．(-3,0)
B．(-3,5)
2020 年高中数学选修 2-2 课堂练习本导数及其应用
章Hale Waihona Puke 综合卷一、选择题1.函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数是(
π 2x－
A．y′=2 2cos
4
C．y′=sin 2x＋cos 2x
)
B．y′=cos 2x-sin 2x
π 2x＋
D．y′=2 2cos
4
2.已知曲线 y=ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )
4x 14.若函数 f(x)= 在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是__________．
x2＋1
15.曲线 y=log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 16.当 x∈[-1,2]时，x3-x2-x＜m 恒成立，则实数 m 的取值范围是________．
B．-1
C．±1
D．不存在
5.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=a(x-b)2＋c 图象如图所示，则函数 f(x)图象可能是( )
1 6.函数 f(x)=2 x＋，x∈(0,5]的最小值为(
x
A．2
B．3
17 C.
4
)
1 D．2 2＋
2
ππ 7.由直线 x=- ，x= ，y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )

《导数的运算》基础篇高中数学选修2-2 带答案

《导数的运算》基础篇练习卷一、单选题（共20题；共40分）1.已f（x）=xsinx，则f′（x）=（）A. cosxB. ﹣cosxC. sinx﹣xcosxD. sinx+xcosx2.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.3.若，则等于（）A. 0B.C. 3D.4.已知f(x)=·sin(x+1)，则f’(1)=()A. +cos2B. sin2+2cos2C. sin2+cos2D. sin2+cos25.若函数y=x·2x且y’="0" ，则x="(" )A. －B.C. －ln2D. ln26.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足( )A. =B. ==0C. -为常数函数D. +为常数函数7.若f（x）=e x+sinx﹣cosx的导数为f'（x），则f'（0）等于（）A. 2B. ln2+1C. ln2﹣1D. ln2+28.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.9.若,则等于（）A. B. C. D.10.若f（x）=sinx－cosx，则等于（）A. sinxB. cosxC. sinx+cosxD. 2sinx11.设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，(a,b,c是互不相等的常数)，则等于（）A. 0B. 1C. 3D. a+b+c12.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.13.f(x)=ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）A. B. C. D.14.已知，若，则x0等于( )A. B. C. D.15.已知函数f（x）=（x4+20x3+3x2+7x+k）（2x3+3x2+kx）（x+k），在0处的导数为27，则k=（）A. ﹣27B. 27C. ﹣3D. 316.如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（）A. 2B. 1C. 0D. ﹣117.下列函数求导正确的是（）A. （sinx）′=﹣cosxB. （cosx）′=sinxC. （2x）′=x•2x﹣1D. （）′=﹣18.f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)f(x)，若，，则a,b,c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b19.已知f1（x）=e﹣x+sinx，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2016（x）=（）A. e﹣x+sinxB. ﹣e﹣x+cosxC. e﹣x﹣sinxD. ﹣e﹣x﹣cosx20.已知函数f（x）=sinx﹣cosx且f′（x）=2f（x），则tanx=（）A. -3B. 3C. 1D. -1二、填空题（共20题；共20分）21.y＝,则y'=________22.函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+（a﹣3）x的导函数f'（x）是偶函数，则实数a=________．23.函数f（x）=x2cosx 导数为f′（x），则f′（x）=________．24.已知，，则等于________．25.已知函数，则f′（π）=________．26.牛顿通过研究发现，形如形式的可以展开成关于的多项式,即的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:在原式中令可以求得，第一次求导数之后再取，可求得，再次求导之后取可求得,依次下去可以求得任意-项的系数，设,则当时，e=________ ．(用分数表示)27.已知函数f（x）=mx m﹣n的导数为f′（x）=8x3，则m n=________．28.已知函数，则[f'（π）]′=________．29.已知f（x）=x3+2xf′（1），则f′（1）=________．30.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为________．31.（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为________．32.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=________．33.设y=（2x+a）2，且y′|x=2=20，则a=________．34.已知是函数f（x）的导函数，，则＝________．35.求的导数________．36.已知函数f （x）= lnx﹣，则f′（3）=________．37.已知，则________；38.已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a 的值为________．39.（2018•天津）已知函数f(x)=e x ln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为________．40.设函数，其中，则f'（1）的取值范围是________．三、解答题（共10题；共120分）41.求下列函数的导数（1）f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（2）．42.求下列各函数的导数（1）（2）y=e x sinx（3）（4）y=cos（2x+5）43.求下列各函数的导数：（1）y=2x；（2）．44.求下列函数的导数（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）（2）．45.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；46.求下列函数的导数（1）y=x2sinx（2）y=tanx．47.求函数y=(1+cos2x)3的导数.48.求下列函数的导数．（1）；（2）.49.求下列函数的导数：（1）y=（2x3﹣1）（3x2+x）；（2）y=3（2x+1）2﹣4x；（3）y= ；（4）y=e x tanx．50.分别求下列函数的导数：（1）y=e x•cos x；（2）y=x（x2+ + ）（3）y=ln ．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=xsinx，则f′（x）=（x）′sinx+x（sinx）′=sinx+xcosx；故选：D．【分析】根据题意，由导数的乘法计算法则计算即可得答案．2.【答案】C【解析】【解答】由题意可得，将带入可得，解得，故答案为：C。

2020年高中数学选修2-2 《导数的运算》课后练习(含答案解析)

2020年高中数学选修2-2 导数的运算课后练习一、选择题1．已知物体的运动方程是[MISSING IMAGE]（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（）A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒D．0秒、4秒或8秒2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．3．点P在曲线y=2x3-x+5上移动，设点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，] B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]4．在曲线上切线倾斜角为的点是（）A．（2，-1）B．（-1，2）C．（2，ln2-1）或（-1，2）D．（2，ln2-1）5．曲线f（x）=x2+3x在点A（1，4）处的切线斜率为（）A．2 B．5 C．6 D．116．设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（a＜0），若曲线f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，则a的值为（）A．-3 B．-12 C．-1 D．-97．若函数f（x）=x3+f′（1）x2-f′（2）x+3，则f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为（）A．B．C．D．π8．曲线y=x3-2在点（1，-）处切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．135°D．150°9．曲线f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为，则a等于（）A．2 B．3 C．D．110．一质点运动时位移与时间的关系式为s（t）=t2-t+6，作直线运动，则此物体在t∈[1，4]时间的加速度为（）A．1 B．2 C．7 D．不能确定11．已知曲线y=2x2+1上的点P（2，9），则点P处的切线的斜率为（）A．4 B．16 C．8 D．212．如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在区间（-2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x=4时，f（x）取极大值13．曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）A．y=3x-4 B．y=-3x+2 C．y=-4x+3 D．y=4x-5二、填空题14．如图所示，函数f（x）的图象在P点处的切线方程是y=-x+8，则f′（5）=______．15．曲线f（x）=sinx的切线的倾斜角α的取值范围是______．16．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=5处的切线，则f（5）+f′（5）=______．三、解答题：17．已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．18．设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19．已知函数f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6．（1）若函数y=f（x）的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；（2）若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．20．求曲线f（x）=x3-3x2+2x过原点的切线方程．21．已知三次函数f（x）=x3+ax2-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．答案解析1．答案：D解析：解：s′=t3-12t2+32t令s′=t3-12t2+32t=0得t=0或 t=4或t=8故选项为D2．答案：A解析：解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，-），围成的三角形面积为[MISSING IMAGE]，故选A．3．答案：B解析：解：是切点P（x0，y0），由f′（x）=6x2-1，得过切点p处的切线的斜率k=≥-1．∴tanα≥-1，解得α∈[0，）∪[，π）．故选B．4．答案：D解析：解：y‘=+∵切线倾斜角为∴tan45°=1令y'=1，即+=1 解得x=2则y=ln2-1∴在曲线上切线倾斜角为的点是（2，ln2-1）故选D．5．答案：B解析：解：函数的导数为f‘（x）=2x+3，所以函数在A（1，4）处的切线斜率k=f'（1）=2+3=5．故选：B．6．答案：A解析：解：由题意可得函数f′（x）=3x2+2ax-9，故当 x=-时，其最小值等于3×--9=-12，解得a=-3．故选 A．7．答案：D解析：由题意得：f′（x）=x2+f′（1）x-f′（2），令x=0，得f′（0）=-f′（2），令x=1，得f′（1）=1+f′（1）-f′（2），∴f′（2）=1，∴f′（0）=-1，即f（x）在点（0，f（0））处切线的斜率为-1，∴倾斜角为π．故选D．8．答案：B解析：∵曲线y=x3-2，∴y′=x2当x=1时，切线的斜率是1，根据直线的倾斜角的取值范围，∴倾斜角是45°．故选B．9．答案：A解析：求导函数可得f′（x）=alnx+a-∵函数f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为，∴f′（1）=1，∴a-1=1，∴a=2．故选：A．10．答案：B解析：∵速度v（t）=s′（t）=2t-1，加速度a（t）=v′（t）=2．∴此物体在t∈[1，4]时间的加速度为2．故选B．11．答案：C解析：y‘=4x∴k=y'|x=2=4×2=8，故选：C12．答案：C解析：解：由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减观察f′（x）的图象可知，当x∈（-2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误当x∈（4，5）时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选：C13．答案：B解析：∵点（1，-1）在曲线上，y′=3x2-6x，∴y′|x=1=-3，即切线斜率为-3．∴利用点斜式，切线方程为y+1=-3（x-1），即y=-3x+2．故选B．14．答案：-1解析：根据图象知，函数y=f（x）的图象与在点P处的切线交于点P，f（5）=-5+8=3，f′（5）为函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴f′（5）=-1；故答案为：-115．答案：[0，]∪[，π）解析：解：根据题意得f′（x）=cosx，∵-1≤cosx≤1，则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率-1≤k≤1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈[0，]∪[，π），故答案为：[0，]∪[，π）．16．答案：7解析：由题意，f‘（5）==2，f（5）=5，所以f（5）+f′（5）=7；故答案为：7．17．解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f‘（x）=3x2+2bx+a．∵点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0∴f'（x）|x=-1=3x2+2bx+a|x=-1=3-2b+a=6①，还可以得到，f（-1）=y=1，即点M（-1，1）满足f（x）方程，得到-1+b-a+2=1②由①、②联立得b=a=-3故所求的解析式是f（x）=x3-3x2-3x+2．（Ⅱ）f'（x）=3x2-6x-3．，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0．解得．当；当．故f（x）的单调增区间为（-∞，1-），（1+，+∞）；单调减区间为（1-，1+）18．解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12解得：a=1，b=-3．（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．19．解：（1）f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a，求导得f′（x）=6x2-6（a-1）x+4≥，∴a=1±，（2）∵g（x）=4x+6的图象是一条直线，因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f（x）=g（x）的解的个数，所以只需研究函数h（x）=f（x）-g（x）=2x3-3（a-1）x2+6（a-1）图象与x轴关系．h′（x）=6x2-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]，①当a=1时，h′（x）=6x2≥0，h（x）在R上单调递增，则h（x）与x轴只有一个交点；②当a≠1时，h′（x）=0有两根x1=0，x2=a-1，而h（x1）=6（a-1），h（x2）=（a-1）[6-（a-1）2]，∵h（x）与x轴只有一个交点，则需h（x1）h（x2）＞0，∴6（a-1）（a-1）[6-（a-1）2]＞0，解得1-且a≠1，由①②可知实数a的取值范围为（1-，1+）．20．解：f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k．（1）当切点是原点时k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），则有y0=x03-3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02-6x0+2，①又k==x02-3x0+2，②由①②得x0=，k==-．∴所求曲线的切线方程为y=-x．故曲线的切线方程是y=2x；y=-21．（1）f‘（x）=3x2+2ax-6 由导数的几何意义，f'（1）=-6∴a=-∵f（0）=1∴b=1 ∴f（x）=x3-x2-6x+1（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2）令f'（x）=0得x1=-1，x2=2当x∈（-2，-1）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减．∴在区间（-2，2）内，函数f（x）的最大值为f（-1）=∵f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立∴|2m-1|≥∴2m-1≥2m-1≤-∴m≥或m≤-。

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3V 34新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3．1 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数h (t ) 在t = t 3 附近单调递增，在t = t 4 附近单调递增. 并且，函数h (t ) 在t 4 附近比在t 3 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1 的思想.练习（P9）函数r (V ) = (0 ≤ V ≤ 5) 的图象为根据图象，估算出r '(0.6) ≈ 0.3 ， r '(1.2) ≈ 0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组（P10）1、在t 处，虽然W (t ) = W (t ) ，然而W 1 (t 0 ) -W 1 (t 0 - ∆t ) ≥ W 2 (t 0 ) -W 2 (t 0 - ∆t ) .0 1 0 2 0-∆t -∆t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ∆h = h (1+ ∆t ) - h (1) = -4.9∆t - 3.3 ，所以， h '(1) = -3.3 .∆t ∆t这说明运动员在t = 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s (t ) 在t = 5 时的导数.∆s = s (5 + ∆t ) - s (5) = ∆t +10 ，所以， s '(5) = 10 . ∆t ∆tt 因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m ／ s ，它在第 5 s 的动能 E = 1⨯ 3⨯102 = 150 J. k24、设车轮转动的角度为，时间为t ，则= kt 2 (t > 0) . 由题意可知，当t = 0.8 时，= 2. 所以k =25，于是= 25 2. 88车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在t = 3.2 时的导数. ∆=(3.2 + ∆t ) -(3.2) = 25∆t + 20，所以'(3.2) = 20.∆t∆t8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20s -1 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f (x ) 在 x = -5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x = -5 附近单调递增. 同理可得，函数 f (x ) 在 x = -4 ， -2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f '(x )的图象如图（1）所示；第二个函数的导数 f '(x ) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f '(x )的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f '(x ) 小于零，当 x 大于零时，f '(x ) 大于零，并且随着 x 的增加， f '(x ) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.1 2 x -11 33 4V 23 2、说明：由给出的v (t ) 的信息获得 s (t ) 的相关信息，并据此画出 s (t ) 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 f (x ) 的图象在点(1, -5) 处的切线斜率为-1，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2 导数的计算练习（P18）1、 f '(x ) = 2x - 7 ，所以， f '(2) = -3 ， f '(6) = 5 .2、（1） y ' = 1x l n 2；（2） y ' = 2e x ；（3） y ' = 10x 4 - 6x ；（4） y ' = -3sin x - 4 cos x ；（5） y ' = - 1 sin x；（6） y ' =.3 3习题 1.2 A 组（P18）1、 ∆S = S (r + ∆r ) - S (r ) = 2r + ∆r ，所以， S '(r ) = lim(2r + ∆r ) = 2r .∆r ∆r∆r →02、h '(t ) = -9.8t + 6.5 .3、r '(V ) =.2 x =0 4、（1） y ' = 3x 2 +1x l n 2；（2） y ' = nx n -1e x + x n e x ；（3） y ' 3x 2 sin x - x 3 cos x + cos x sin 2x；（4） y = 99(x +1)98；（5） y ' = -2e -x ；（6） y ' = 2 s in(2x + 5) + 4x cos(2x + 5) .5、 f '(x ) = -8 + 2 2x . 由 f '(x 0 ) = 4 有 4 = -8 + 2 2x 0 ，解得 x 0 = 3 .6、（1） y ' = ln x +1；（2） y = x -1.7 、 y = - x +1.8、（1）氨气的散发速度 A '(t ) = 500 ⨯ln 0.834 ⨯ 0.834t .（2） A '(7) = -25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少. 习题 1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时， y =sin(x + h ) - sin x就越来越逼近函数 y = cos x .h（3） y = sin x 的导数为 y = cos x .2、当 y = 0 时， x = 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P (0, 0) .y ' = -e x ，所以 y ' = -1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y = -x .2、d '(t ) = -4 sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为-0.42 m ／h ；上午 9:00 时潮水的速度为-0.63 m ／h ；中午 12:00 时潮水的速度为-0.83 m ／h ；下午 6:00 时潮水的速度为-1.24 m ／h.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为 f (x ) = x 2 - 2x + 4 ，所以 f '(x ) = 2x - 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递增；= '当 f '(x ) < 0 ，即 x < 1时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = e x - x ，所以 f '(x ) = e x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x > 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递增；当 f '(x ) < 0 ，即 x < 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递减. （3）因为 f (x ) = 3x - x 3 ，所以 f '(x ) = 3 - 3x 2 .当 f '(x ) > 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递增；当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1或 x > 1 时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递减. （4）因为 f (x ) = x 3 - x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < - 1或 x > 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递增；3 当 f '(x ) < 0 ，即- 1< x < 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，所以 f '(x ) = 2ax + b .（1）当a > 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x > - b2a f '(x ) < 0 ，即 x < - b2a（2）当a < 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x < - b 2a f '(x ) < 0 ，即 x > - b2a时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.4、证明：因为 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 ，所以 f '(x ) = 6x 2 -12x .当 x ∈(0, 2) 时， f '(x ) = 6x 2 -12x < 0 ，因此函数 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 在(0, 2) 内是减函数.练习（P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y = f (x ) 的极值点，1 1 其中 x = x2 是函数 y = f (x ) 的极大值点， x = x 4 是函数 y = f (x ) 的极小值点.2、（1）因为 f (x ) = 6x 2 - x - 2 ，所以 f '(x ) = 12x -1 .令 f '(x ) = 12x -1 = 0 ，得 x =1.12调递减.当 x >1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x < 112 12时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单所以，当x = 1时， 12f (x ) 有极小值，并且极小值为f ( ) = 6 ⨯( )2 - 1 - 2 = - 49. 12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 - 27x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 27 .令 f '(x ) = 3x 2 - 27 = 0 ，得 x = ±3 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -3 或 x > 3 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-3 < x < 3 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x = -3 时， f (x ) 有极大值，并且极大值为 54；当 x = 3 时， f (x ) 有极小值，并且极小值为-54 . （3）因为 f (x ) = 6 +12x - x 3 ，所以 f '(x ) = 12 - 3x 2 .令 f '(x ) = 12 - 3x 2 = 0 ，得 x= ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即-2 < x < 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：=-因此，当x =-2 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-10 ；当x = 2 时，f (x) 有极大值，并且极大值为22（4）因为 f (x) = 3x -x3，所以 f '(x) = 3 - 3x2.令 f '(x) = 3 - 3x2= 0 ，得 x =±1 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即-1 <x < 1时；②当f '(x) < 0 ，即x <-1或x > 1 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-1 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-2 ；当x = 1 时，f (x) 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0, 2] 上，当 x =1 49f ( ) .12 24 1 时，12f (x) = 6x2-x - 2 有极小值，并且极小值为又由于 f (0) =-2 ， f (2) = 20 .因此，函数 f (x) = 6x2-x - 2 在[0, 2] 上的最大值是 20、最小值是-49.24（2）在[-4, 4] 上，当 x =-3 时， f (x) =x3- 27x 有极大值，并且极大值为 f (-3) = 54 ；当x = 3 时， f (x) =x3- 27x 有极小值，并且极小值为 f (3) =-54 ；又由于 f (-4) = 44 ， f (4) =-44 .(0, ) ，所以 f (x )因此，函数 f (x ) = x 3 - 27x 在[-4, 4] 上的最大值是 54、最小值是-54 .（ 3）在[- 1, 3] 上，当 x = 2 时， 3f (x ) = 6 +12x - x 3 有极大值，并且极大值为f (2) = 22 .又由于 f (- 1) = 55， f (3) = 15 .3 27因此，函数 f (x ) = 6 +12x - x 3 在[- 1 , 3] 上的最大值是 22、最小值是 55.3 27（4）在[2, 3] 上，函数 f (x ) = 3x - x 3 无极值.因为 f (2) = -2 ， f (3) = -18 .因此，函数 f (x ) = 3x - x 3 在[2, 3] 上的最大值是-2 、最小值是-18 . 习题 1.3 A 组（P31）1、（1）因为 f (x ) = -2x +1，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = -2x +1是单调递减函数.（2）因为 f (x ) = x + cos x ， x ∈ ' = 1- sin x > 0 ， x ∈ 2(0, ) . 2 因此，函数 f (x ) = x + cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2（3）因为 f (x ) = -2x - 4 ，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = 2x - 4 是单调递减函数.（4）因为 f (x ) = 2x 3 + 4x ，所以 f '(x ) = 6x 2 + 4 > 0 .因此，函数 f (x ) = 2x 3 + 4x 是单调递增函数.2、（1）因为 f (x ) = x 2 + 2x - 4 ，所以 f '(x ) = 2x + 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > -1 时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递增.当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 ，所以 f '(x ) = 4x - 3 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递增.4当 f '(x ) < 0 ，即 x < 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递减.4（3）因为 f (x ) = 3x + x 3 ，所以 f '(x ) = 3 + 3x 2 > 0 .因此，函数 f (x ) = 3x + x 3 是单调递增函数.（4）因为 f (x ) = x 3 + x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 + 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < -1或 x > 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递增.3 当 f '(x ) < 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递减.33、（1）图略. （2）加速度等于 0.4、（1）在 x = x 2 处，导函数 y = f '(x ) 有极大值；（2）在 x = x 1 和 x = x 4 处，导函数 y = f '(x ) 有极小值；（3）在 x = x 3 处，函数 y =（4）在 x = x 5 处，函数 y = f (x ) 有极大值；f (x ) 有极小值.5、（1）因为 f (x ) = 6x 2 + x + 2 ，所以 f '(x ) = 12x +1.令 f '(x ) = 12x +1 = 0 ，得 x = - 1.12当 x > - 112 当 x < - 112时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减.所以，x = - 1 时， 12f (x ) 有极小值，并且极小值为 f (- 1 ) = 6 ⨯(- 1 )2 - 1 - 2 = - 49 .12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 -12x ，所以 f '(x ) = 3x 2 -12 .令 f '(x ) = 3x 2 -12 = 0 ，得 x = ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-2 < x < 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 16；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-16 .（3）因为 f (x) = 6 -12x +x3，所以 f '(x) =-12 + 3x2.令 f '(x) =-12 + 3x2= 0 ，得 x =±2 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 22；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-10 .（4）因为 f (x) = 48x -x3，所以 f '(x) = 48 - 3x2.令 f '(x) = 48 - 3x2= 0 ，得 x =±4 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-4 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-128 ；当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[-1,1] 上，当 x =-112时，函数f (x) = 6x2+x + 2 有极小值，并且极小值为47.24由于f (-1) = 7 ，f (1) = 9 ，所以，函数f (x) = 6x2+x + 2 在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为9，47.24（2）在[-3, 3] 上，当 x =-2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极大值，并且极大值为 16；当x = 2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极小值，并且极小值为-16 .由于f (-3) = 9 ，f (3) =-9 ，所以，函数 f (x) =x3-12x 在[-3, 3] 上的最大值和最小值分别为 16， -16 .（3）在[-1,1] 上，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上无极值.3 3由于f (-1) =269，f (1) =-5 ，3 27所以，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为269，-5 .3 27（4）当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128..由于f (-3) =-117 ，f (5) = 115 ，所以，函数 f (x) = 48x -x3在[-3, 5] 上的最大值和最小值分别为 128， -117 . 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f (x) = sin x -x ，x ∈(0,) .因为 f '(x) = cos x -1 < 0 ， x ∈(0,)所以f (x) = sin x -x 在(0,) 内单调递减因此 f (x) = sin x -x <f (0) = 0 ， x ∈(0,) ，即 sin x <x ， x ∈(0,) . 图略（2）证明：设 f (x) =x -x2， x ∈(0,1) .因为 f '(x) = 1- 2x ， x ∈(0,1)又1 1所以，当 x ∈1(0, )2时，f '(x) = 1- 2x > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =x -x2> f (0) = 0 ；当 x ∈1时，f '(x) = 1- 2x < 0 ，f (x) 单调递减，( ,1)2f (x) =x -x2> f (1) = 0 ；f ( ) => 0 . 因此， x -x22 4>0 ，x ∈(0,1) . （3）证明：设 f (x) =e x-1-x ， x ≠ 0 .因为 f '(x) =e x-1， x ≠ 0所以，当x > 0 时，f '(x) =e x-1 > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =e x-1-x > f (0) = 0 ；当x < 0 时，f '(x) =e x-1 < 0 ，f (x) 单调递减，f (x) =e x-1-x >f (0) = 0 ；综上，e x-1 >x ，x ≠ 0 . 图略（4）证明：设 f (x) = ln x -x ，x > 0 .因为 f '(x) =1-1 ，x ≠ 0 x所以，当0 <x < 1时，f '(x) =1-1 > 0 ，f (x) 单调递增，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x > 1 时，f '(x) =1-1 < 0 ，f (x) 单调递减，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x =1 时，显然ln1 <1. 因此，ln x <x .由（3）可知， e x>x +1 >x ， x > 0 .. 综上，ln x <x <e x，x > 0 图略2、（1）函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象图略( ) 上能大致估计它的单调区间.（2）因为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，所以 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . 下面分类讨论：当a ≠ 0 时，分a > 0 和a < 0 两种情形： ①当a > 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减.12当a > 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≥ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递增.②当a < 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递12增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递减.当a < 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≤ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减 1.4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l - x ，则这两个正方形的边长分别为 x ， l - x，4 4两个正方形的面积和为 S = f (x ) = x 2 + (l - x )2 = 1 (2x 2- 2lx + l 2 ) ， 0 < x < l .4 4 16 令 f '(x ) = 0 ，即4x - 2l = 0 ， x = l.2当 x ∈ l (0, ) 2时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ l( , l ) 2 时， f '(x ) > 0 .因此， x = l是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.2V3 2 V321 ni 所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小.22、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a - 2x ，高为 x .（1）无盖方盒的容积V (x ) = (a - 2x )2 x ， 0 < x < a.2（2）因为V (x ) = 4x 3 - 4ax 2 + a 2 x ，所以V '(x ) = 12x 2 - 8ax + a 2 .令V '(x ) = 0 ，得 x = a （舍去），或 x = a.（第 2 题）当 x ∈ a (0, ) 6 2 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈ 6 a a( , ) 6 2 时，V '(x ) < 0 . 因此， x = a是函数V (x ) 的极大值点，也是最大值点.6 所以，当 x = a时，无盖方盒的容积最大.63、如图，设圆柱的高为h ，底半径为 R ，则表面积 S = 2Rh + 2R 2由V = R 2h ，得h =V .R 2因此， S (R ) = 2R2V V R 2 + 2R 2 = 2V + 2R 2 ， R > 0 . R令 S '(R ) = - + 4R = 0 ，解得 R = .R当 R ∈(0, 3 V) 时， S '(R ) < 0 ；2当 R ∈( 3 V2, +∞) 时， S '(R ) > 0 .（第 3 题）因此， R =是函数 S (R ) 的极小值点，也是最小值点 . 此时，h = V R 2 = 23 V= 2R .2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.n 4、证明：由于 f (x ) = ∑(x - a )2，所以 f '(x ) = 2 ∑(x - a ) .n i =1 n i =1i8a 4 + 令 f (x ) = 0 ，得 x = n ∑ = n ∑ n ∑ )x ' 1 na i =11 n可以得到， x a i是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.i =11 n这个结果说明，用 n 个数据的平均值 a i 表示这个物体的长度是合理i =1的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 x 2m ，半圆的面积为x 2 8m 2 ，矩形的面积为a -x 2 8 m 2 ，矩形的另一边长为( a x - x ) m8因此铁丝的长为l (x ) =x + x + 2a - x = (1+ + 2a， 0 < x < 2 x 4 4 x令l '(x ) = 1+ - 4 2a = 0 ，得 x = x2（负值舍去）.当 x ∈(0, ) 时， l '(x ) < 0 ；当 x ∈( 8a ,8a ) 时， l '(x ) > 0 .因此， x = 4 +是函数l (x ) 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m 时，所用材料最省.6、利润 L 等于收入 R 减去成本C ，而收入 R 等于产量乘单价. 由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入 R = q ⋅ p = q (25 - 1 q ) = 25q - 1q 2 ，8 8 利润 L = R - C = (25q - 1 q 2 ) - (100 + 4q ) = - 1q 2 + 21q -100 ， 0 < q < 200 .8 8求导得 L ' = - 1q + 214 令 L ' = 0 ，即- 1q + 21 = 0 ， q = 84 .4当 q ∈(0,84) 时， L ' > 0 ；当 q ∈(84, 200) 时， L ' < 0 ；8a8a 4 + 8a4 + 8a4 +i ，n ∆ ( ) ⋅ + ⋅ ] 因此， q = 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大,习题 1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x ) = (50 - x -180)(x - 20) = - 110 10令 L '(x ) = - 1x + 70 = 0 ，解得 x = 350 .5x 2 + 70x -1360 ，180 < x < 680 .当 x ∈(180, 350) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈(350, 680) 时， L '(x ) > 0 .因此， x = 350 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x ) = (x - a )(c + c b - x ⨯ 4) = c (x - a )(5 - 4 x ) ， a < x < 5b.b b 4令 L '(x ) = - 8c x + 4ac + 5bc = 0 ，解得 x = 4a + 5b.b b 8 当 x ∈(a , 4a + 5b ) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈( 4a + 5b , 5b) 时， L '(x ) < 0 .8 8 4 当 x = 4a + 5b 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.8所以，销售价为 4a + 5b元／件时，可获得最大利润.81.5 定积分的概念练习（P42） 8 . 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、∆s ≈ ∆s ' = v ( i )∆t = [-( i )2 + 2]⋅ 1 = -( i )2 ⋅ 1 + ⋅ 2， i = 1, 2, , n .i i n n n n n n于是 s = ∑ ∆s ≈ ∑ ∆s ' = ∑ i v ( ) ti =1 i ii =1 i =1n= ∑ i =1[- i 2 1 2n n n = - 1 2 1n -1 2 1 n 2 1( n ) ⋅ n- - ( ) ⋅ - ( ) n n n ⋅ + 2 n = - 1[1+ 22 + + n 2 ] + 2n 3nn n= ∑ i =1i =1i =1⎰ ∑a= - 1 ⋅ n (n +1)(2n +1) + 2 n 3 6 = - 1 (1+ 1 )(1+ 1) + 23 n 2n 取极值，得s = lim ∑ 1 i n[ v ( )] lim [- 1 (1+ 1 )(1+ 1 ) + 2] = 5n →∞ i =1 nn n →∞ i =1 3 n 2n 3 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、 22 km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2x 3dx = 4 .说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线 y = x 3 与直线 x = 0 ， x = 2 ， y = 0 所围成的曲边梯形的面积 S = 4 . 习题 1.5 A 组（P50）2100i -1 1 1、（1） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 100 ) -1]⨯ 100 = 0.495 ； 2500i -1 1 （2） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 500) -1]⨯ 500 = 0.499 ； 21000i -1 1 （3） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 1000) -1]⨯ 1000 = 0.4995 . 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1+ 0 ⨯1 = 40 （m ）；距离的过剩近似值为： 27 ⨯1+18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1 = 67 （m ）. 3、证明：令 f (x ) = 1 . 用分点 a = x 0 < x 1 < < x i -1 < x i < < x n = b将区间[a , b ] 等分成 n 个小区间，在每个小区间[x i -1 , x i ] 上任取一点i(i = 1, 2, , n )作和式∑ f (i )∆x = ∑ b - an = b - a ， i =1bi =1nb - a 从而 1dx = lim n →∞i =1= b - a ，nnn n⎰1- x 2 1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-1-1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义， ⎰01- x 2 dx 表示由直线 x = 0 ， x = 1 ， y = 0 以及曲线y = 所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此 1- x 2 d x = . 0 4 5、（1） ⎰0 x 3dx = - 1 . -1 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3≤ 0 ，所以定积分 0x 3dx 表示由直线 x = 0 ， x = -1 ， y = 0-1和曲线 y = x 3 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得⎰1x 3dx = ⎰0x 3dx + ⎰1x 3dx = - 1 + 1= 0 .-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0,1] 上 x 3≥ 0 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得⎰2 x 3dx = ⎰0 x 3dx + ⎰2 x 3dx = - 1 + 4 = 15-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0, 2] 上 x 3 ≥ 0 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于 x 3 在区间[-1, 0] 上是非正的，在区间[0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间[-1, 2] 分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx-1化为 0 x 3dx + 2x 3dx ，这样， x 3 在区间[-1, 0] 和区间[0, 2] 上的符号都是不变的，再-1利用定积分的定义，容易求出⎰0x 3dx ， ⎰2x 3dx ，进而得到定积分⎰2x 3dx 的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题 1.5 B 组（P50）1、该物体在t = 0 到t = 6 （单位：s ）之间走过的路程大约为 145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1） v = 9.81t .8 i 1 1 8⨯ 9（2）过剩近似值： ∑9.81⨯ ⨯ = 9.81⨯ ⨯ = 88.29 （m ）； i =12 2 4 2 1⎰4 4∑ i l ∑ ∑ ∑ n8i -1 1 1 8⨯ 7不足近似值： ∑9.81⨯i =1⨯ = 9.81⨯ ⨯ 2 2 4 2 = 68.67 （m ）（3） ⎰09.81tdt ； 3、（1）分割⎰09.81t d t = 78.48 （m ）.在区间[0, l ] 上等间隔地插入n -1个分点，将它分成n 个小区间：l l 2l(n - 2)l [0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] ， n n n n 记第i 个区间为[(i -1)l iln , n ] （ i = 1, 2, n ），其长度为 ∆x = il - (i -1)l = l .n n n 把细棒在小段 ll 2l(n - 2)l[0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] 上质量分别记作： n n n n∆m 1 , ∆m 2 , , ∆m n ，则细棒的质量m = ∑∆m i .i =1 （2）近似代替当n 很大，即∆x 很小时，在小区间[(i -1)l , il] 上，可以认为线密度(x ) = x 2 n n的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点 ∈[(i -1)l il处的函数值 () = 2. 于是，细棒在小段 [(i -1)l il上质量 i , ] i i , ] n n n n∆m ≈ ()∆x = 2 l （ i = 1, 2, n ）.i i i n（3）求和得细棒的质量n nnm = ∆m ≈ ()∆x = 2. i ii n（4）取极限i =1i =1nl2i =1l 2细棒的质量 m = limn →∞i =1n，所以m = ⎰0 x dx ..1.6 微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2） 50 ；（3）4 2 - 5；（4）24； 33 3（5） 3 - ln 2 ；（6） 1 ；（7）0；（8） -2 .2 23 6 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组（P55）1、（1） 40 ；（2） - 1- 3ln 2 ；（3） 9+ ln 3 - ln 2 ；3 （4） - 17 ；（5） 6232 82+1；（6） e 2- e - 2 ln 2 .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、 3sin xdx = [-cos x ]3= 2 . ⎰0 它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题 1.6 B 组（P55）1 e2 11 11、（1）原式＝[ e 2x ]1 = - ；（2）原式＝[ sin 2x ]4 = - ；2 0 2 22x 3 62 4 （3）原式＝[ ln 2]1 = ln 2.2、（1） sin mxdx = [- cos mx ]= - 1[cos m - cos(-m )] = 0 ； ⎰-m - msin mx 1（2） cos mxdx = | = [sin m - sin(-m )] = 0 ；⎰-m - m（3） sin 2 mxdx = 1- cos 2mx dx = [ x - sin 2mx ]= ；⎰- ⎰- 2 2 4m - （4） cos 2mxdx = 1+ cos 2mx dx = [ x + sin 2mx ] = .⎰- ⎰- 2 2 4m -3、（ 1） s (t ) = t g (1- e -kt )dt = g+ g e - kt ]t = g t + g e - kt - g = 49t + 245e -0.2t - 245 . ⎰0 k [ k t k2 0 k k 2 k 2（2）由题意得 49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当t > 0 时， 0 < e -0.2t < 1 ，从而 5000 < 49t < 5245 ，因此， 5000 < t < 5245 .49 49因此245e-0.2⨯500049≈ 3.36 ⨯10-7 ， 245e-0.2⨯524549≈ 1.24 ⨯10-7 ，所以，1.24 ⨯10-7 < 245e -0.2t < 3.36 ⨯10-7 .从而，在解方程49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 时， 245e -0.2t 可以忽略不计.240 ⎰ ⎰= ⎰ 0a a 1]a 3因此，. 49t - 245 ≈ 5000 ，解之得 t ≈5245（s ）.49说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1.7 定积分的简单应用练习（P58）（1） 32；（2）1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）52 51、 s = (2t + 3)dt = [t + 3t ] = 22 （m ）.⎰3 2、W = ⎰0 (3x + 4)dx = [ 2 3x 2 + 4x ]4 = 40 （J ）. 习题 1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2） 9.2 2、W = ⎰b k q dr = [-q b = k q - k q.a r r a b3、令v (t ) = 0 ，即40 -10t = 0 . 解得t = 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度.42 4最大高度为 h = (40 -10t )dt = [40t - 5t ] = 80 （m ）.⎰4、设t s 后两物体相遇，则 0t(3t 2+1)dt = t10tdt + 5 ， 0解之得t = 5 . 即 A , B 两物体 5s 后相遇.此时，物体 A 离出发地的距离为 5(3t 2 +1)dt = [t 3 + t ]5 = 130 （m ）.⎰5、由 F = kl ，得10 = 0.01k . 解之得k = 1000 .所做的功为 0.1W1000ldl = 500l 2 |0.1= 5 （J ）. 06、（1）令v (t ) = 5 - t + 551+ t= 0 ，解之得t = 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止.（2） s = (5 - t + 55 )dt = [5t - 1 t 2 + 55 ln(1+ t )]10 = 55 ln11（m ）. ⎰1+ t2习题 1.7 B 组（P60）1、（1） ⎰- aa 2 - x 2 dx 表示圆 x 2 + y 2 = a 2 与 x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎰- adx =a 22（2） ⎰[ - x ]dx 表示圆(x -1)2 + y 2 = 1与直线（第 1（ 2）2 a 2- x 21- (x -1)210k3 x 2 33x33x= 2bh . （第 2 题） 0⎩ ⎰ ⎰ y = x 所围成的图形（如图所示）的面积，1⨯12 1 1因此， ⎰0 [ - x ]dx =- ⨯1⨯1 = - . 4 2 4 22、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为 y = ax 2 ，则h = a ⨯ (b )2 ，所以a = 4h. 2 b 2从而抛物线的方程为y = 4h x 2. b 2b4h4h b 于是，抛物线拱的面积 S = 2 2(h - 0b 2 x 2 )dx = 2[hx - 3b 2 x 3 ]2 3⎧ y = x 2 + 23、如图所示.解方程组⎨ y = 3x得曲线 y = x 2 + 2 与曲线 y = 3x 交点的横坐标 x = 1 ， x = 2 .12于是，所求的面积为 1[(x 2 + 2) - 3x ]dx + 2[3x - (x 2 + 2)]dx = 1 .0 14、证明：W = R +h G Mm dr = [-G Mm ]R +h = GMmh .⎰Rr2rRR (R + h )第一章复习参考题 A 组（P65）1、（1）3；（2） y = -4 .2、（1） y ' =2 s in x cos x + 2x；（2） y ' = 3(x - 2)2 (3x +1)(5x - 3) ；cos 2x（3） y ' =2x ln x ln 2 + 2x x；（4） y 2x - 2x 2(2x +1)4.3、 F ' = -2GMm .r34、（1） f '(t ) < 0 . 因为红茶的温度在下降.（2） f '(3) = -4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为 f (x ) = ，所以 f '(x ) =2 .当 f '(x ) =2> 0 ，即 x > 0 时， f (x ) 单调递增； 1- (x -1)2 ⎰ ' =33x=当 f '(x ) =2< 0 ，即 x < 0 时， f (x ) 单调递减.6、因为 f (x ) = x 2 + px + q ，所以 f '(x ) = 2x + p .当 f '(x ) = 2x + p = 0 ，即 x = - p= 1 时， f (x ) 有最小值.2由- p= 1，得 p = -2 . 又因为 f (1) = 1- 2 + q = 4 ，所以q = 5 .27、因为 f (x ) = x (x - c )2 = x 3 - 2cx 2 + c 2 x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 4cx + c 2 = (3x - c )(x - c ) .当 f '(x ) = 0 ，即 x = c，或 x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 可能有极值.3由题意当 x = 2 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值，所以c > 0 . 由于所以，当x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值. 此时， c = 2 ， c = 6 . 3 3 8、设当点 A 的坐标为(a , 0) 时， ∆AOB 的面积最小.因为直线 AB 过点 A (a , 0) ， P (1,1) ，所以直线 AB 的方程为 y - 0 = x - a，即 y =x - 0 1- a1 (x - a ) . 1- a 当 x = 0 时， y = a ，即点 B 的坐标是(0, a) .a -1因此， ∆AOB 的面积 S ∆AOB = S (a ) = a -11 aa 22 a a -1 2(a -1) .令 S '(a ) = ' = 1 ⋅a 2 - 2a =0 ，即 S (a ) 2 (a -1)2 0 .当a = 0 ，或a = 2 时， S '(a ) = 0 ， a = 0 不合题意舍去.x (-∞, c )3c 3( c , c ) 3c(c , +∞)f '(x ) ＋－＋f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增由于所以，当a = 2 ，即直线 AB 的倾斜角为135︒ 时， ∆AOB 的面积最小，最小面积为 2. 9、 D .10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为(x + 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以，长方体容器的高为14.8 - 4x - 4(x + 0.5) = 12.8 - 8x = 3.2 - 2x .4 4设容器的容积为V ，则V = V (x ) = x (x + 0.5)(3.2 - 2x ) = -2x 3 + 2.2x 2 +1.6x ， 0 < x < 1.6 .令V '(x ) = 0 ，即-6x 2 + 4.4x +1.6 = 0 .所以， x = - 4 15（舍去），或 x = 1 .当 x ∈(0,1) 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈(1,1.6) 时，V '(x ) < 0 .因此， x = 1 是函数V (x ) 在(0,1.6) 的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100 + x 时，旅行社费用为 y = f (x ) = (100 + x )(1000 - 5x ) = -5x 2 + 500 +100000 (0 ≤ x ≤ 80) .令 f '(x ) = 0 ，即-10x + 500 = 0 ， x = 50 .又 f (0) = 100000 ， f (80) = 108000 ， f (50) = 112500 .所以， x = 50 是函数 f (x ) 的最大值点.所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为 623.7，x打印面积 S (x ) = (x - 2 ⨯ 2.54)( 623.7- 2 ⨯ 3.17)x= 655.9072 - 6.34x - 3168.396， 5.08 < x < 98.38 .x2 令 S '(x ) = 0 ，即6.34 - 3168.396 = 0 ， x ≈ 22.36 （负值舍去）， 623.7≈ 27.89 .x 2 22.365 2dx = 2 (cos x - sin x )dx = [sin x + cos x ]2 = 0 ；（5）原式＝ 2 dx = [ ]2 = x = 22.36 是函数 S (x ) 在(5.08, 98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为 27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为 y 元.则 y = R (q ) - 20000 -100q = - 1q 2 + 300q - 20000 (0 < q ≤ 400, q ∈ N ) .2令 y ' = 0 ，即-q + 300 = 0 ， q = 300 .当q = 300 时， y = 25000 ；当q = 400 时， y = 20000 .q = 300 是函数 y ( p ) 在(0, 400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（1） 2 - 2 ；（2） 2e - 2 ；（3）1；cos 2 x - sin 2 x⎰0cos x + sin x⎰01- cos x x - sin x - 2⎰0 2 2 0 4 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 - 2 .17、由 F = kl ，得0.049 = 0.01k . 解之得k = 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为 W = ⎰0.1 4.9ldl = 4.9 ⨯ 2|0.1 = 0.196 （J ）第一章复习参考题 B 组（P66）1、（1） b '(t ) = 104 - 2 ⨯103t . 所以，细菌在t = 5 与t = 10 时的瞬时速度分别为 0 和-104 .（2）当0 ≤ t < 5 时， b '(t ) > 0 ，所以细菌在增加；当5 < t < 5 + 5 时， b '(t ) < 0 ，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S = 1r 2 ， l - 2r =r ，所以= l- 2 .2 rS = 1r 2 = 1 ( l - 2)r 2 = 1 (lr - 2r 2 ) ， 0 < r < l .2 2 r 2 23 2 （4）原式＝ .令 S ' = 0 ，即l - 4r = 0 ， r = l，此时为 2 弧度.4r = l 是函数 S (r ) 在 4 l(0, ) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.2所以，扇形的半径为 l、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.43、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2 + h 2 = R 2 . 因此，V =1r 2h = 1(R 2 - h 2 )h = 1R 2h -1h 3 ， 0 < h < R .3 3 33令V ' = 1R 2 -h 2 = 0 ，解得h = 33 R .3容易知道， h =3 R 是函数V (h ) 的极大值点，也是最大值点.3所以，当h =3 R 时，容积最大.3把h =3 R 代入r 2 + h 2 = R 2 ，得r =36 R .3由 R = 2r ，得= 2 6 .3所以，圆心角为=2 6 时，容积最大.34、由于80 = k ⨯102 ，所以k = 4.5设船速为 x km ／h 时，总费用为 y ，则 y = 4 x 2 ⨯ 20 + 20⨯ 4805 x x令 y ' = 0 ，即16 - 9600= 0 ， x ≈ 24 .x2 = 16x + 9600， x > 0x容易知道， x = 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 x = 24 时， (16 ⨯ 24 + 9600) ÷ ( 20) ≈ 941（元／时）24 24所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元.5、设汽车以 x km ／ h 行驶时，行车的总费用y = 390x(3 +x 2 360 ) + 130 ⨯14 ， x。