圆锥曲线中的最值与范围问题破解策略

合集下载

专题9 利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题(学生版)

专题9 利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐.解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,其中把问题转化为函数求最值与值域是最常用的方法之一．二、解题秘籍(一) 利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．2.利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个（些）量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调性求最值.【例1】（2023届四川省成都市高三上学期10月月考）已知点F 是抛物线2:4C x y =与椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的公共焦点,椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)过点M 作C 的两条切线,记切点分别为,A B ,求MAB △面积的最大值. 【解析】（1）抛物线C 的焦点为()0,1F ,即1c =,椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3a c +=,所以2a =,23b =,所以椭圆方程为22143y x +=.（2）抛物线C 的方程为24x y =,即24x y =,对该函数求导得2x y '=, 设点()11,A x y ,()22,B x y ,00(,)M x y ,直线MA 的方程为111()2x y y x x -=-, 即112x xy y =-,即11220x x y y --=, 同理可知,直线MB 的方程为22220x x y y --=,由于点M 为这两条直线的公共点,则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩, 所以点A ,B 的坐标满足方程00220x x y y --=, 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=,联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩,可得200240x x x y -+=, 由韦达定理可得1202x x x +=,1204x x y =,所以AB ===点M 到直线AB的距离为d =所以12MABS AB d =⋅=△()32200142x y =-, 因为22200000338254344433y x y y y ⎛⎫-=--=-++ ⎪⎝⎭,由已知可得022y -≤≤,所以当02y =-时,MAB △面积的最大值为【例2】（2023届新高考高中毕业班“启航”适应性练习）在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线M ：24y x =．P ,Q ,R 为M 上相异的三点,且90POQ ∠=︒,RP 与x 负半轴交于点A ,RQ ,PQ 分别与x 正半轴交于点B ,C ,记点()00,R x y ． (1)证明：04OA OB x ⋅=；(2)若B 为M 的焦点,当BRC ∠最大时,求0x 的值．【解析】（1）证明：因为90POQ ∠=︒,所以直线OP 和OQ 斜率之积为－1, 设PQ ：x my t =+,且(),0C t ,1122(,),(,)P x y Q x y ,联立24x my ty x =+⎧⎨=⎩,得2440y my t --=,且0∆>恒成立, 所以124y y m +=,124y y t ,记直线OP 、OQ 的斜率分别为1k ,2k , 所以12121212161y y k k x x y y ===-,即4t =,所以()4,0C , 设RP ：11x m y t =+,且11(,0)(0)A t t <,联立1124x m y t y x =+⎧⎨=⎩,得211440y m y t --=,且0∆>恒成立, 得01144y y t OA =-=,同理设RQ ：22x m y t =+,得02244y y t OB =-=-,所以2212000161664y y y OA OB y x =-⋅=-=-,即04OA OB x ⋅=；（2）因为B 为M 的焦点,所以()10B ,,且()4,0C ,()00,R x y , tan tan tan tan()1tan tan RCx RBxBRC RCx RBx RCx RBx ∠-∠∠=∠-∠=+∠∠0000020000004134141y yx x y y y x x x x ---==-++⨯--,又2004y x =,不妨设00y >,0y =则0200003tan 4y BRC x x ∠==-+,记t =0t >,则426tan ()4tBRC f t t t ∠==-+,()()()()()42222242426346341()44t t t t f t t t t t -----+'==-+-+,令()=0f t ',则t =,且()f t在⎛ ⎝⎭上单调递增,在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递减, 且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,所以当t =, 即043x =时,tan BRC ∠最大,BRC ∠最大． (二) 利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度利用距离公式表示成一个变量的函数,若被开放式为二次函数类型,可通过配方求最值与范围.【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()0,1P ,(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,设坐标原点为O ,线段AB 的中点为M ,求MO 的最大值.【解析】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)P ,1b ∴=,22314c b a a =⇒-=,∴12b a =,2a ∴=,故椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）当直线l 斜率不存在时,M 与O 重合,不合题意, 当直线l 斜率存在时,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,00(,)M x y ,则有1202x x x +=,1202y y y +=,直线l 的斜率为01212035y y y x x x +-=-, A ,B 两点在椭圆上,有221114x y +=,222214x y +=, 两式相减,()222212124x x y y -=--,即()121212124x x y y y y x x +-=-+-, 得0000435y y x x -+=,化简得220001245x y y =--,M O ∴当025y =-时, MO(三)把面积问题转化为二次函数最值问题该类问题求解的基本思路通常是把面积用另一个量（如点的横坐标、纵坐标,直线的斜率等）,把求面积最值与范围问题转化为求函数最值或值域,若函数式可转化为二次函数类型,可利用二次函数性质求最值.【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭,其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点,P Q 在椭圆C 上,右顶点为A ,且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求APQ △面积的最大值.【解析】（1）依题可得,222223114c a b a b c⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩,解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆C 的方程为2214x y +=.所以离心率e =（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号,所以直线PQ 不垂直于x 轴, 故可设()()1122:,0,,,,PQ y kx m k P x y Q x y =+≠,由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得,()222148440k x mkx m +++-=, 所以2121222844,1414mk m x x x x k k --+==++, ()22Δ16410k m =+->,而120AP AQ k k =,即121212220y y x x ⋅=--,化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--, 22121212122020()202()4k x x km x x m x x x x +++=-++,222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++化简得2260k mk m +-=, 所以2m k =-或3m k =,所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+, 因为直线PQ 不经过点A , 所以直线PQ 经过定点()3,0-. 设定点()1212153,0,22APQABPABQBS SSAB y y k x x -=-=-=-52=52==,因为2150k ->,所以2105k <<,设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以53APQS==, 当且仅当97t =即2114k =时取等号,即APQ △面积的最大值为53.(四) 与斜率有关的最值与范围问题与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率,然后利用函数知识求解,二是设出直线的点斜式或斜截式方程,利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式,再利用函数思想求解.【例5】已知椭圆2221(1)x y a a+=>,过点(作椭圆的两条切线,且两切线垂直.(1)求a ；(2)已知点()()2,,2,0,1P m m m Q ≥-,若存在过点P 的直线与椭圆交于,M N ,且以MN 为直径的圆过点Q （,M N 不与Q 重合）,求直线MN 斜率的取值范围.【解析】（1）由题可知,切线斜率存在,则设切线y kx =+联立得222220x k x a+++=,即()22222120a k x kx a +++=,相切得：()42222Δ12810a k a a k =-+=,即2220a k -=,所以12==k k 由两切线垂直得：12221k k a -⋅==-a ∴=（2）由（1）得,椭圆方程为2212x y +=由题可知,直线MN 的斜率存在,设:=+MN y nx t ,联立得()222214220+++-=n x ntx t设()()1122,,,M x y N x y ,由韦达定理得：2121222422,2121--+==++nt t x x x x n n 由题意MN 为直径的圆过点Q ,1122121212(,1)(,1)10QM QN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=+++∴+=①又22221212121222()()()21-=++=+++=+t n y y nx t nx t n x x nt x x t n 12121222()()()221=+++=++++=ty y nx t nx t n x x t n 代入①式得：23210t t +-=13t ∴=或1-（舍去）,所以MN 过定点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,211303-∴==--m n m m m,n 随m 的增大而增大, 2m ≥,116∴≥MN k 即直线MN 斜率范围11,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(五)通过换元把问题转化为二次函数问题该类问题通常是所得结果比较复杂,通过换元把问题转化为二次函数求解.【例6】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ,2F分别为椭圆C 的左、右焦点,过1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点A ,B ,且2ABF（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于不同于右顶点P 的M ,N 两点,且PM PN ⊥,求PM PN ⋅的最大值．【解析】（1）因为椭圆C所以c a =．将x c =代入22221x y a b+=,得2b y a =±,所以22b AB a=,则21222b c a ⨯⨯=即22b ca=．由①②及222a b c =+,得2a =,1b =,故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意知,直线l 的斜率不为0,则不妨设直线l 的方程为()2x ky m m =+≠．联立得2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=,()()222244440k m k m ∆=-+->,化简整理,得224k m +>．设()11,M x y ,()22,N x y ,则12224km y y k -+=+,212244m y y k -=+．因为PM PN ⊥,所以0PM PN ⋅=．因为()2,0P ,所以()112,PM x y =-,()222,PN x y =-,得()()1212220x x y y --+=,将11x ky m =+,22x ky m =+代入上式,得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=,得()()()2222242122044m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++,解得65m =或2m =（舍去）, 所以直线l 的方程为65x ky =+,则直线l 恒过点6,05Q ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12114822525PMNS PQ y y =⋅-=⨯△ 设214t k =+,则104t <≤,825PMN S =△易知825y =10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增, 所以当14t =时,PMN S △取得最大值,为1625．又12PMN S PM PN =⋅△, 所以()()max max32225PMN PM PN S ⋅==△． (六) 把问题转化为函数问题后再借助导数求最值或范围该类问题通常是所得函数为分式函数或高次函数,又不具备使用均值不等式的条件,只能借助导数求最值或范围.【例7】（2023届云南省昆明市第一中学高三上学期第二次检测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>四个顶点的四边形为菱形,面积为过椭圆左焦点1F 与椭圆C 相交于M ,N 两点（M ,N 两点不在x 轴上）,直线l 的方程为：4x =-,过点M 作ME 垂直于直线l 交于点E ． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点O 为坐标原点,求OEN △面积的最大值．【解析】（1）由题意可得：2ab⎪⎩解得=2a b ⎧⎪⎨⎪⎩椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）可得：1c =,即()11,0F -由题意可设直线()()2112:1,,,,MN x ty M x y N x y =-,则()14,E y -联立方程22=1+=143x ty x y -⎧⎪⎨⎪⎩,消去x 可得：()2234690t y ty +--=∴12122269,3434t y y y y t t +==-++,则()121232ty y y y =-+ ∴直线EN 的斜率212=+4EN y y k x -,则直线EN 的方程为()211244y y y y x x --=++ 令=0y ,则可得()()()1212121212121212134335244442y y y x y ty ty y y x y y y y y y y y -+++=--=--=--=--=-----即直线EN 过定点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴OEN面积为121522S y y =⨯⨯-==令1m =,则21531mS m =+令()()215131mf m m m =≥+,则()()()2221513=<03+1m f m m -'当1m ≥时恒成立 ∴()f m 在[)1,+∞单调递减,则()()1514f m f ≤=,即154S ≤ ∴OEN 面积的最大值为154(七) 利用椭圆的参数方程把把问题转化为三角函数求最值与范围此类问题通常是把椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的动点设为()cos ,sin a b θθ,再利用辅助角公式及弦函数的有界性或单调性求最值与范围.【例8】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,,(2,0)2⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 的第四象限的图象上有一个动点M ,连接动点M 与椭圆C 的左顶点A 与y 的负半轴交于点E ,连接动点M 与椭圆的上顶点B ,与x 的正半轴交于点F ,记四边形ABFE 的面积为1S ,ABM 的面积为2S ,12S S λ=,求λ的取值范围．【解析】（1）依题意2219142ab a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得224,3a b ==,故C 的方程为22143x y +=．（2）依题意,(2,0),A B -,设00(,)M x y ,则22003412x y +=,所以直线0002:02y x AM y x -+=-+,令0020,2E y x y x ==+,则0002||2E y BE y x ===+．直线000x BM x -=-,令0,F y x ==则||22F AF x =+==,又易知AF BE ⊥,所以四边形ABFE 的面积11||||2S BE AF =⋅012==00002x y y +-==由题意可知AB20y -+=, 再设椭圆的参数方程为2cos ,,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩θ为参数, 则动点M 到直线AB的距离d =,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,化简得,02d πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭． ∵,0,,,cos 244442πππππθθθ⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-+∈-+∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦,d <≤, ABM 的面积211||22S ABd d =⨯⨯=,∴2S <≤∵12S S λ=,λ≤<即21λ≤<．三、跟踪检测1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >,0b >）一个顶点为()2,0A -,直线l 过点()3,0Q 交双曲线右支于M ,N 两点,记AMN ,AOM △,AON △的面积分别为S ,1S ,2S .当l 与x 轴垂直时,1S . (1)求双曲线E 的标准方程；(2)若l 交y 轴于点P ,PM MQ λ=,PN NQ μ=,求证：λμ+为定值； (3)在（2）的条件下,若121625S S mS μ=+,当58λ<≤时,求实数m 的取值范围. 2．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期质量检测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是椭圆E 上一动点,12PF F △12F F =(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线10x y --=与椭圆E 交于A 、B 两点,C 、D 为椭圆E 上两点,且CD AB ⊥,求CD 的最大值.3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12,其左焦点到点()21P ，(1)求椭圆的方程；(2)直线32y x m =-+与椭圆相交于A B ，两点,求ABP 的面积关于m 的函数关系式,并求面积最大时直线l 的方程．4．如图所示,M 、D 分别为椭圆2221(1)x y a a +=>的左、右顶点,(1)求椭圆的标准方程；(2)过M 点作两条互相垂直的直线MA ,MB 与椭圆交于A ,B 两点,求DAB 面积的最大值.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>椭圆上一动点P 与左､右焦点构成的三(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ,直线PQ 交椭圆C 于,P Q 两点,记直线AP 的斜率为1k ,直线BQ 的斜率为2k ,已知123k k =. ①求证：直线PQ 恒过定点；②设APQ △和BPQ 的面积分别为12,S S ,求12S S -的最大值.6．（2023届北京市第四中学高三上学期测试）已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点⎛ ⎝⎭,点A 为其右顶点.过点()10B ,作直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点,直线AE 、AF 与直线3x =分别交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程； (2)求EM FN ⋅的取值范围.7．（2022届上海市行知中学高三上学期考试）已知曲线Γ上一动点P 到两定点()10,2F -,()20,2F 的距离之和为过点()1,0Q -的直线L 与曲线Γ相交于点()11,A x y ,()22,B x y ．(1)求曲线Γ的方程；(2)动弦AB 满足：AM MB =,求点M 的轨迹方程； (3)求112244x y x y +-++-的取值范围．8．（2023届河南省名校联盟高三上学期9月联考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心左､右焦点分别为12,,,F F M N 是椭圆上关于原点对称的两点,114F M F N +=. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆左顶点为A ,上顶点为B ,直线l AB ∥且交椭圆于P ,Q ,求PQB △的面积最大时,l 的方程. 9．已知一条动直线()()311620m x m y m ++---=,直线l 过动直线的定点P ,且直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点．(1)是否存在直线l 满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6．若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． (2)当32PA PB +取得最小值时,求直线l 的方程． 10．如图,已知点()1,0F 为抛物线22y px =()0p >的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点A 在第一象限,点C 在抛物线上,使得ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧,记AFG ,CQG 的面积分别为1S ,2S ．(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)设A 点纵坐标为2t ,求12S S 关于t 的函数关系式； (3)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标． 11.（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -,()21,0F ,过点1F 的直线1l 交椭圆C 于A ,B 两点.当直线1l 的斜率为1时,点43,77⎛⎫- ⎪⎝⎭是线段AB 的中点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图,若过点2F 的直线2l 交椭圆C 于E ,G 两点,且12l l ∥,求四边形ABEG 的面积的最大值.12.（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月月考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点(0)⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．13．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点(0,3)M ,. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:1l y kx =-与椭圆C 相交于AB 、两点,求MA MB ⋅的最大值. 14．（2022届贵州省遵义市高三上学期联考）已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F 和2F ,且()11,1M ,()20,1M ,3M ⎛- ⎝⎭,4M ⎛ ⎝⎭四点中恰有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点,直线1F P 和2F P与直线4y =分别交于G 和H 两点,设直线1F P 和2F P 的斜率分别为1k 和2k ,若线段GH 的长度小于求12k k的最大值.。

考点47 直线与曲线的最值问题(解析版)

考点47 直线与曲线的最值问题一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解二．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；①利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ①利用基本不等式求出参数的取值范围； ①利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．考向一最值问题【例1】（2021·漠河市高级中学高三月考（文））如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =，||AB =．（1）求椭圆C 的方程；知识理解考向分析（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y +=；（2）【解析】（1）(0,2)A 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF0y +=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-= ，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,2B设点A ，3(,)22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==.34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =+∞，则k t =-S∴====≤当1t=，即t k===+k=ACBD面积有最大值【举一反三】1．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>经过点1,2A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，其长半轴长为2．（①）求椭圆C的方程；（①）设经过点()1,0B-的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x 轴相交于点G，求①DEG的面积S的取值范围．【答案】（①）2214xy+=；（①）⎛⎝⎭.【解析】（①）由已知，2a=即椭圆C的方程为22214x yb+=．①椭圆C经过点A⎛⎝⎭，①213144b+=，解得21b=．①椭圆C的方程为2214xy+=．（①）由题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为()10x ty t=-≠，()11,D x y，()22,E x y．由22144x tyx y=-⎧⎨+=⎩，消去x，得()224230t y ty+--=．①()222412416480t t t∆=++=+>，①12224t y y t +=+，12234y y t =-+． ①F 为点E 关于x 轴的对称点， ①()22,F x y -．①直线DF 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，即()()121112y y y y x x t yy +-=--．令0y =，则()()22112112112112121ty y y ty ty y ty ty y x x y y y y -+-+-+=+=++()121212232142ty y y y t y y t -+⎛⎫==⋅--=- ⎪+⎝⎭．①()4,0G -．①①DEG 的面积1212S BG y y =⋅-===．令m =)m ∈+∞．①26611m S m m m==++．①1,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ①0,2S ⎛∈ ⎝⎭．①①DEG 的面积S的取值范围为⎛⎝⎭． 2．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知点A ，B 在直线l ：2y x =+上(B 在A 上方)，()2,0P，AB =1k 的直线AP 交抛物线Γ：24y x =于点M ，N ，直线BP 交抛物线Γ于点R ，S .（1）求1k 的取值范围；（2）若1105k <<，求MPRSPNS S⋅的取值范围.【答案】（1）()()11,00,,11,55⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）[)4096,+∞.【解析】（1）由题意可设AP ：()12y k x =-，由于AP 与抛物线，直线均有交点，故11k ≠，10k ≠，联立l 与AP 的方程得到()122y k x y x ⎧=-⎨=+⎩，得()1111214,11k k A k k +⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，而AB =()1111111121431511,1,1111k kk k B k k k k +⎡⎤⎛⎫+-++= ⎪⎢⎥----⎝⎭⎣⎦，得11121115115131321k k k k k k k ---==++--，由于BP 与抛物线、直线均有交点，故111151135103k k k k -⎧≠⎪+⎪⎨-⎪≠⎪+⎩得111,15k k ≠≠，综上，()()111,00,,11,55k ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,R x y ，()44,S x y ，则112RMNMPRy SS y y =-，212SPNMONy S y y S-=-，故()12212SPNRMNP ONR M M y y S SSy Sy =-⋅⋅，记R ，S 到直线AP 的距离分别为3d ，4d则()1222112343421211144MPR SPNy y k y y SMN d d d d y Sy ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅⋅=--⋅⋅，设AP ：12x m y =+，其中()1115,m k =∈+∞，与抛物线联立得 2480y my --=，由韦达定理得1211248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，同理设BP ：22x m y =+，由韦达定理得3423448y y m y y +=⎧⎨=-⎩ 故()()2234131421212244211SP MPRNy y m y m y SSm m -+-+=++⋅()()222222234343434343421642y y y y m y y y y m y y y y m +⎛⎫=-- ⎪⎝+-+⎭+()21216m m =-，由（1）可知，121315m m m +-=-，故2211211113116161658409655m S S m m m m ⎛⎫⎛⎫+⋅=+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当19m =，即119k =等故MPRSPNSS⋅的取值范围是[)4096,+∞.考向二综合运用【例2】（2021·浙江高三其他模拟）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，离心率为12，长轴长为4，椭圆C 和抛物线()2:20F y px p =>有相同的焦点，直线:0l x y m -+=与椭圆交于M ，N两点，与抛物线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线F 的方程；（2）若点D ，E 满足AD AM AN =+，AE AP AQ =+，求AD AE ⋅的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）144,4877AD AE ⎛⎫⋅∈+ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为椭圆C 的离心率为12，长轴长为4，2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，，所以2a =，1c =，因为椭圆C 和抛物线F 有相同的焦点，所以12p=，即2p =，所以抛物线F 的方程为24y x =．（2）由（1）知椭圆22:143x y C +=，由221430x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，，得22784120x mx m ++-=， ()22164474120m m ∆=-⨯⨯->，得27m <，m <<设()11,M x y ，()22,N x y ，则1287mx x +=-，所以()1212627m y y x x m +=++=．易知()2,0A -，所以()1212864,4,77m m AD AM AN x x y y ⎛⎫=+=+++=-⎪⎝⎭．由240y x x y m ⎧=⎨-+=⎩，，得()22240x m x m +-+=． ()2222440m m ∆=-->，得1m <．设()33,P x y ，()44,Q x y ，则3442x x m +=-，所以()343424y y x x m +=++=，所以()()34344,82,4AE AP AQ x x y y m =+=+++=-．所以()864,82,477m m AD AE m ⎛⎫⋅=-⋅- ⎪⎝⎭()28616964824327777m m m m m ⎛⎫=-⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭，1m <<，易知函数216963277y m m =-+在()m ∈上单调递减，所以144,487AD AE ⎛⋅∈ ⎝⎭【举一反三】1．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程22143x y +=，直线:4l x =与x 轴相交于点P ，过右焦点F的直线与椭圆交于A ，B 两点．（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 中点为D ，求证：OD OM k k =．（2）设Q 点的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）是垂直；证明见解析．【解析】（1）由椭圆方程为22143x y +=知，右焦点F 坐标()1,0，直线l 方程为4x =，点P 坐标()4,0．由MF AB ⊥知，直线AB 斜率不为0，故设直线AB 的方程为1x my =+，从而，直线MF 的方程为()1y m x =--，令4x =得，M 点坐标为()4,3m -，故直线OM 的方程来34my x =-，联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，即122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，从而，线段AB 的中点2243,3434m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 34OD m k =-，综上可知，OD OM k k =．（2）（①）当直线AB 的斜率为0时，点E 即为点P ，从而EA EP ⊥．（①）当直线AB 的斜率不为0时，由（1）知，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，所以121223y y my y +=，则()122132y y my y +=，直线BQ 的方程为225522y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，又221x my =+，令4x =，得()222211222113333532252322y y y y y y y y x my x y =====+---，所以点E 的坐标为()14,y ，即EA EP ⊥．2．（2021·浙江期末）如图，已知A ，B ，C ，D 是抛物线2:2x y Ω=上四个不同的点，且//AB CD ，设直线AC 与直线BD 相交于点P ，设(0)PCCA λλ=>．（1）求证：A ，P ，B 三点的横坐标成等差数列；（2）当直线AB 经过点(0,1)Q ，且2λ=时，若PAB △面积的为203，求直线AB 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）1y =+．【解析】（1）由题意，点A ，B ，C ，D 是抛物线2:2xy Ω=上四个不同的点，设()22221234123400,,,,,,,,,2222x x x x A x B x C x D x P x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为//AB CD ．所以ABCD k k =，即222221342143222x x x x x x x x --=--，化简得：1234x x x x +=+， ①因为PC CA λ=，所以()3013x x x x λ-=-，解得031(1)x x x λλ=+-，因为//AB CD ，PC CA λ=，所以PD DB λ=，于是042(1)x x x λλ=+-，所以()()034122(1)x x x x x λλ=++-+， ①由①①可知0122x x x =+，即A ，P ，B 三点的横坐标成等差数列．（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，代入22x y =，得2220x kx --=，所以122x x k +=，且122x x =-，所以12x x -=，由（1）可知031(1)x x x λλ=+-，且2λ=，可得01323x x x +=，同理20013233A y y y x y ++==．由2332x y =，得2201012233x x y x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，即22101002460x x x y x -+-=，同理可得22202002460x x x y x -+-=，所以12,x x 是方程220002460x x x y x -+-=的两个实根，于是2001262y x x x -=，又因为122x x =-，1202x x x k +==，所以20622y k -=-，解得2046k y -=，设线段AB 的中点为M ，则22212124A B M y y x x y k ++===+，所以()22204510166M k k y y k -+-=+-=，于是231201151052266PABM k Sx x y y +=-⋅-=⋅⋅=，因为PAB △面积的为203，所以352063=，解得k = 所以直线AB的方程为1y =+．1．（2021·天津高三月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F，离心率2e =，长轴长为4.（①）求椭圆的方程；（①）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（①）2214x y +=；（①）2，0x -+=或0x ++=. 【解析】（①）因为椭圆长轴长为4，所以24,2a a ==，c a =又222a b c =+，解得1c b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（①）法一：设MN的方程为x my =-联立方程组2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ ()22410my +--= ，1212221,44y y y y m m -+=⋅=++12||MN y =-=()22414m m +=+，原点到直线x my =-d =强化练习点P 到直线MN的距离为2d =，21224MNPS MN d m =⋅=+△，,1t t =≥ ，2233MNP S t t t==≤++△ ，当t =时，面积取到最大值2，此时，直线l的方程为0x -+=或0x ++=. 法二：当k 不存在时，1,PMN MN d S ===△ ；①当k 存在且0k ≠时，设直线方程为(y k x =+，与椭圆方程2214x y +=联立，可得()2222411240k x x k +++-=，显然0∆>，21212212441k x x x x k -+==+， ①()212124MN x x x x =+-()224114k k +==+， ①d =PMNS=24k=+，令1)t t => ， ①上式=， ①上式23t t=≤+，当且仅当t =，即2k =±时，取到最值.综上，当2k =±时，PMN S △取得最大值2. 此时，直线l的方程为0x -+=或0x ++=.2．（2021·湖北武汉市）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ①求MA MB ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①3k =-；①808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆E 上，所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160k x kx +++= 因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OBx x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k>，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭．综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 3．（2021·内蒙古高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其左，右集点为12,F F ，过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点､2MNF的周长为. （1）求椭圆E 的标准方程：（2）过E 右焦点的直线12,l l 互相垂直，且分别交椭圆E 于,A B 和,C D 四点，求AB CD +的最小值【答案】（1）22162x y +=；（2）最小值为【解析】（1）由椭圆的定义知，2MNF的周长为4a =a ∴=由e =，即c a =2c =2222b a c ∴=-=，b =故椭圆的方程为：22162x y +=（2）由（1）得，椭圆右焦点为(2,0)，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ①当直线1l 的斜率为0，直线2l 的斜率不存在时，直线1:0l y =，此时2AB a ==；直线2:2l x =，此时22b CD a ===AB CD +==①当直线2l 的斜率为0，1l直线的斜率不存在时，AB CD +==； ①当直线1l ，2l 的斜率都存在，设直线1l 的方程为2(0)x my m =+≠，则直线2l 的方程为12x y m=-+ 联立221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(3)420m y my ++-= 22168(3)0m m ∆=++>恒成立，则1221224223m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩12AB y =-===同理可得22221()11)131()3m m CD m m⎤-+⎥+⎣⎦==+-+则222211333m m AB CD m m ⎫+++=+=⎪++⎭ 令21m t +=，则222211()(1)4423443(1)4t g t t t t t t t===>+--++--+ 当1,)t ∈+∞（时，(]22(1)43,4t--+∈，则2111(),243(1)4g t t⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭--+所以AB CD ⎡+∈⎢⎣⎭综上可知，AB CD ⎡+∈⎢⎣⎦，AB CD ∴+的最小值为4．（2021·江西上高二中）已知抛物线C ：22x y =，过点(11)Q ,的动直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，分别以,A B 为切点作抛物线的切线1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点P . （1）求动点P 的轨迹方程；（2）求PAB △面积的最小值，并求出此时直线AB 的方程. 【答案】（1）10x y --=；（2）1，y x =.【解析】（1）设211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，212y x =，y x '= 则以A 为切点的切线为2111()2x y x x x -=-，整理得：2112x y x x =⋅-，同理：以B 为切点的切线为：2222x y x x =-，联立方程组：21122222x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线AB 的方程为：1(x 1)y k -=-，联立方程组21(1)12y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：22220x kx k -+-=， 2244(22)4(1)40k k k ∆=--=-+>恒成立，由韦达定理得：122x x k +=，1222x x k =-，故(,1)P k k -，所以点P 的轨迹方程为10x y --=；（2）由（1）知：AB ==(,1)P k k -到直线AB的距离为：d =，①12S AB d =⋅== ①1k =时，S 取得最小值1，此时直线AB 的方程为y x =.5．（2021·浙江）如图，点()00,P x y 在抛物线2:C y x =外，过点P 作抛物线C 的两切线，设两切点分别为()211,A x x 、()222,B x x ，记线段AB 的中点为M ．（1）证明：线段PM 的中点N 在抛物线C 上；（2）设点P 为圆()22:21D x y ++=上的点，当ABPM取最大值时，求点P 的纵坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）14-. 【解析】（1）设直线PA 的方程为()2111y x k x x -=-，联立()21112y x k x x y x⎧-=-⎨=⎩，可得2211110x k x k x x -+-=， ()()2222211111111144420k k x x x kx k x k ∆=--=-+=-=，112k x ∴=，所以，直线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y x x x =-，同理可知直线PB 的方程为2222y x x x =-.联立21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，即点1212,2x x P x x +⎛⎫⎪⎝⎭，线段AB 的中点为221212,22x x x x M ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以，线段PM 的中点为221211222,24x x x x x x N ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，因此，222112212242x x x x x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，线段PM 的中点N 在抛物线C 上；（2）由（1）知，AB ==()22212121222x x x x PM x x -+=-=，12ABPMx x ∴===-======令()04111,3t y =+∈--，则()0222004116162953291851118344y t t y y t t t t t t +===++++--⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，所以，AB PM ==，所以，当()290t t t-=-<时，即当()11,3t =--时，ABPM 取最大值，此时041y +=0y =，因此，当ABPM 取最大值时，点P 的纵坐标为 7．（2021·深州长江中学）已知直线l ：240x y --=与x 轴交于点E ，且OF FE =，其中O 为坐标原点，F 为抛物线Ω：()220y px p =>的焦点.（1）求拋物线Ω的方程；（2）若直线l 与抛物线Ω相交于P ，B 两点(P 在第一象限)，直线PA ，PC 分别与抛物线相交于A ，C 两点（,A C 在P 的两侧），与x 轴交于D ，G 两点，且E 为DG 中点，设直线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k +为定值；（3）在（2）的条件下，求PBC 的面积的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）()0,54.【解析】（1）由已知得()2,0E ，且F 为OE 的中点，所以 ()1,0F . 所以12p=，解得2p =，故抛物线Ω的方程为24y x =.（2）证明：联立22404x y y x--=⎧⎨=⎩，解得 ()4,4P ，()1,2B -，由E 为DG 的中点得0ED EG +=.不妨设()2,0D t -，()2,0G t +，其中 0t >. 则142k t =+，242k t=-. 所以121122144t tk k +-+=+=，即1211k k +为定值. （3）由（2）可知直线PC 的方程为44(4)2y x t-=--，即 ()42480x t y t ----=，与抛物线联立()2442480y x x t y t ⎧=⎪⎨----=⎪⎩，消 x 可得()22480t y y t ---=-，解得2y t =--或4y =（舍），所以()224t x +=，即 ()22,24t C t ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭，故点C 到直线PB的距离d ==. 设过点P 的抛物线的切线方程为()44y k x -=-，联立()2444y k x y x⎧-=-⎨=⎩得 2416160ky y k -+-=，由0∆=，得12k =，所以切线方程为240x y -+=，令0y =，得 4x =-，所以要使过P 点的直线与抛物线有两个交点，24t ->-，则有06t <<，又PB ==，所以236124PBCt t S +=⨯=△，即054PBC S <<△，故PBC 的面积的取值范围为()0,54.8（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，且C 经过点)P，直线1PF 与y 轴的交点为Q ，2PQF的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若O 是坐标原点，A ，B 两点（异于点P ）是椭圆C 上的动点，且直线PA 与直线PB 的斜率满足0PA PB k k +=，求OAB 面积的最大值．【答案】（1）22162x y +=；（2．【解析】（1）①2PQF的周长为①2221212PF QP QF PF QP QF PF PF a ++=++=+==①a =将)代入22216x y b+=，得23116b +=，解得22b =． ①椭圆C 的标准方程是22162x y +=．（2）由题意知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为()1y kx m k m =+≠+≠，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，将y kx m =+与22162x y +=联立并消去y ，整理得()222316360k x kmx m +++-=，则122631km x x k +=-+，22223631m x x k -=+．①0PA PB k k +==，①()()())1212122110kx x x x m x x m ++-+--=，①())222236662*********m km km k m m k k k -⎛⎫⎛⎫⋅-+----= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得)110m +--=，①3k =10m +-=（舍去）．当3k =时，222360x m ++-=，则248120m ∆=->，得24m <．AB ==原点O 到直线AB的距离d m ==，①()224122OABm m SAB d m +-=⋅⋅==≤=△=22m =时取等号，经验证，满足题意． ①OAB9．（2021·全国高三月考（理））如图，已知椭圆22:15x C y +=的右焦点为F ，原点为O ，椭圆的动弦AB过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，椭圆C 在点,A B 处的两切线的交点为M .（1）求证：,,O M N 三点共线；（2）求||||||ABFM FN ⋅的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）椭圆的右焦点为(2,0)F ，设AB 所在的直线的方程为(2)(0)y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y联立方程组22(2),1,5y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()()222251202050k x k x k +-+-= 则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，点N 的坐标为222102,5151k k k k ⎫⎛-⎪ ++⎝⎭，ON ∴所在的直线的方程为15y x k=-，设在点()11,A x y 处的切线为：21()y y k x x -=-，与椭圆联立后由0∆=，可得115x k y =-，整理得：椭圆C 在,A B 处的切线方程为1115x x y y +=，2215x xy y +=，联立方程组11221515x xy y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得点M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y ⎫-⎛-⎪--⎝⎭，()()12122112212112211555OMON x x x y x y x x y y y y x y x y k k k -----==-=-=，故,,O M N 三点共线.（2）由（1）可知，)21221||51k AB x k +=-=+||22||FM k =-=2||251FN k =-=+)2221||||1||2||kAB FM kFN k+⋅+==1||2||2kk⎛⎫=+≥=⎪⎝⎭当且仅当1||||kk=即||1k=时，等号成立.10．（2021·浙江高三其他模拟）设O为坐标原点，M是x轴上一点，过点M的直线交抛物线C：24y x=于点A，B，且4OA OB⋅=-．（1）求点M的坐标；（2）求232BMAM-的最大值．【答案】（1）()2,0；（2）2．【解析】（1）设211,4yA y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yB y⎛⎫⎪⎝⎭，(),0M m，则222212121212,,44416y y y yOA OB y y y y⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y=-，设直线:AB x ty m=+，联立方程，得2,4,x ty my x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m--=，由根与系数的关系知，1248m y y-==-，所以2m=，故点M的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t+=，128y y=-．易知1AM=，2M yB=，所以()()22222212111111t y t yAM BM+=+++()()222122222121616141641y y tt y y t++===++，则222321132||3284BM BM BMAM BM BM⎛⎫-= -⎪-=--⎪⎝⎭．令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-，所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()min 42f u f ==，即232BM AM-的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号．。

圆锥曲线参数范围与最值问题解题策略

参数范围与最值问题解题策略参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.类型一参数范围问题例1【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ += ,求实数t 的取值范围。

【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.(2)因为直线l||OA，所以直线l 设直线l 的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.因此，实数t 类型二方程中参数范围问题例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p =>（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --；②求p 的取值范围.【解析】（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为在直线:20l x y --=上，得，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以因此p 的取值范围为类型三斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14为F ，右顶点为A ，已知，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【解析】（1）设(,0)F c ，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以MH 的方程为设),(M M y x M ，消去y ，.在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M MM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即所以，直线l的斜率的取值范围为类型四离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15a ＞1）.（I）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【解析】（1）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由()2222120a k x a kx ++=，故10x =，由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，。

圆锥曲线中的范围问题

圆锥曲线中的最值和范围问题【与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决】：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。

因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

【小题精炼】1、双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上的一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞2、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3、双曲线)0,0(12222>>=-b a b y ax 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．B ．)+∞C ．1]D ．1,)+∞4、若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5、已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)6、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A B ．3CD ．927、设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(28．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,)+∞D.(2,+∞)9． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（）A. 6B.7C.8D.910．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( )A ．43 B ．75 C ．85D ．3 11．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .12 ．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的方程为2221(0)4x y m m m -=>+,则离心率的范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞13．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为（）A ．192B ．11C ．12D ．1614．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,A B 、在抛物线上,且2AFB π∠=,弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ,则MN AB的最大值为【典例讲解】例1. 给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。

高三二轮复习专题：圆锥曲线中的范围(最值)求解策略(学生版)

圆锥曲线中的范围（最值）求解策略（学生版）求参数的取值范围问题在高考试题中频繁出现，是高考数学的一个重要知识点，由于这类问题涉及面广、方法灵活多样、技巧性强、难度大，致使同学们面对此类题目时，往往感到心中无数，从而不知如何入手.下面就圆锥曲线从构造不等式的角度突破此类参数范围的求解进行分类解析. 策略一利用二次方程根的判别式构造不等式若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立起所含参数的不等式.例1、已知双曲线C 的方程为2213x y -=，若直线:l y kx =+C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【变式1】(2012四川(理))如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2M B A M A B ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。

策略二：利用二次方程的实根分布构造不等式涉及直线与双曲线的交点的具体情况（如两支上、一支上）时，仅考虑判别式是不够的，往往转化为一元二次方程根的情况，利用一元二次方程根的分布的处理方法建立不等式组求参数的范围. 例2、直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.策略三：利用曲线的有界性构造不等式椭圆、双曲线、抛物线上点的横坐标或纵坐标是有界的，利用曲线的横坐标和纵坐标的有界性，就可能找到变量间的不等关系，求出参数的取值范围.例3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.例4、(2013山东(理)改编)椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;【变式2】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于0(,0)P x ，求实数0x 的取值范围.策略四：利用变量间的关系构造不等式若题设中所涉及变量比较多，可以寻求这些变量间的关系式，然后分离出参数，通常是事先给出一个参数的范围来求另一参数的范围，这就要利用待求变量表示为已知变量的代数式（多伴为函数），进一步利用已知变量范围来求解；例5、(2012山东(理))在平面直角坐标系x O y 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34。

专题---圆锥曲线中的最值与范围问题

高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，假设AB=4，那么AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x 2的焦点为F 〔0 ，41〕，准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，那么所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

练习：1、(2021海南、宁夏理)点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为〔 A 〕A. 〔41，－1〕 B. 〔41，1〕 C. 〔1，2〕 D. 〔1，－2〕2、〔2021安徽文〕设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：2422AB COS θ=-;〔Ⅲ〕过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解：〔1〕由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由〔1〕知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22e =设l 为椭圆的左准线。

圆锥曲线范围问题含详解

圆锥曲线取值范围问题一、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.二、解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．三、例题．设C 为椭圆22184x y +=的左焦点，直线1y kx =+与椭圆交于A ，B 两点. （1）求CA CB +的最大值；（2）若直线1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于M ，N ，且以MN 为直径的圆与线段MN 的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数k 的取值范围。

【分析】（1）联立直线和椭圆方程，利用焦半径公式，结合韦达定理得到|CA |+|CB |关于k 的表达式，进而利用基本不等式求得最大值；（2）先根据直线的方程求得M ,N 的坐标，进而得到以线段MN 为直径的圆的方程和线段MN 的垂直平分线方程，解方程组求得圆与垂直平分线的交点坐标，利用点在椭圆内的条件得到不等式组求解即得k 的取值范围. 【详解】（1）22184x y +=的半长轴a =半短轴2,b =半焦距2,c =离心率c e a == 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221280y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，可得()2212460k x kx ++-=，所以122412kx x k +=-+，112,CA a ex CB =+==,则)1221212CA CB x x k +=+=≤+；（2）依题意可知1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)N ，所以圆的方程为1(1)0x x y y k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭①，垂直平分线为11122y x k k ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭②，联立①②消去y , 111111102222x x x x k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即221111024x x x k k k ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22223411044x x x x k k k k ++++-=,即22234111111104x x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即22111104x x k k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, 即21124x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得11122x k =--，11122x k =-+，对应11122y k =+，21122y k =-+，两个交点的坐标为11111111,,,22222222k k k k ⎛⎫⎛⎫--+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可知2113822k ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭且2113822k ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即111111k k ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤+⎪⎩，即111k ≤≤，解得k ≥k ≤四、好题训练1．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的焦距为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点()0,1A ，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值. 2．已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程.（2）若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围.4．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，1F ，2F为椭圆的左右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且2PF =（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：2x =-，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，求tan MAN ∠最小值. 5．已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y．（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．6．如图，点1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左､右焦点，点A 是椭圆C 上一点，且满足2AF x ⊥轴，1230AF F ∠=︒，直线1AF 与椭圆C 相交于另一点B .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若2ABF 的周长为M 为椭圆C 上任意一点，求1OM F M →→⋅的取值范围. 7．在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于14-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆：2214xy +=相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1. （1）求C 的方程；（2）已知点()()1122,,,A x y B x y 在C 上，且线段AB 的中垂线l 的斜率为12-，求l 在y 轴上的截距的取值范围.9．已知圆F 1：（x +1）2+y 2=16，F 2（1，0），P 是圆F 1上的一个动点，F 2P 的中垂线l 交F 1P 于点Q .（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若斜率为k （k ≠0）的直线l 1与点Q 的轨迹E 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点（13，0），求k 的取值范围.10．已知点A ，B 的坐标分别是()0,1-，()0,1，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12-.（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E ､F （E 在D ､F 之间），DE DF λ=，试求λ的取值范围. 11．已知平面内动点P与点)A和点()B 的连线的斜率之积为12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且OMF ONF S S λ=△△（113λ<<），求直线l 斜率的取值范围.12．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F，点(M a 在抛物线C 上．（1）若6MF =，求抛物线C 的标准方程；（2）若直线x y t +=与抛物线C 交于A ，B 两点，点N 的坐标为()1,0，且满足NA NB ⊥，原点O 到直线ABp 的取值范围． 13．已知一动圆M 与圆1C：(221x y ++=外切，且与圆2C：(2249x y -+=内切．（1）求动圆M 的圆心M 的轨迹方程E ；（2）若过点(1,0)A 的直线l （不与x 轴重合）与曲线E 交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求PQ AN的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy中，直线:l y kx =22:14y E x +=相交于A 、B 两点，与圆22:4O x y +=相交于C 、D 两点．（1）若OC OD ⊥，求实数k 的值；（2）求2AB CD ⋅的取值范围．15．已知点()1,0F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线1l 交抛物线与A ，B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求OA OB ⋅的值；（3）如图，过点F 的直线2l 交抛物线于C ，D 两点（点A ，C 在x 轴的同侧，A C x x >），且12l l ⊥，直线AC 与直线BD 的交点为E ，记EFC △，ACF 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.16．已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 17．已知椭圆C ：22143x y +=左右焦点分别为12,F F ，P 在椭圆C 上且活动于第一象限，PP'垂直于y 轴交y 轴于P '，Q 为PP '中点；连接1QF 交y 轴于M ，连接2QF 并延长交直线:3l x 于N .（1）求直线1QF 与2QF 的斜率之积；（2）已知点(0,1)T -，求22MP NP TQ ⋅+的最大值.18．已知①如图，长为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过CD 两点②设圆22(16x y +=的圆心为S ，直线l 过点T ，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M 的标准方程，若圆22:1O x y +=的切线l 与椭圆相交于P ､Q 两点，线段PQ 的中点为T ，求OT 的最大值.19．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -，过动点P 作直线4x =-的垂线，垂足为M ，且4AM AP ⋅=-.记动点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B 、C . ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求ACD △面积S 的取值范围.20()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()3,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，过点P 斜率为12,k k 的两条不重合的动直线与椭圆C 的另一交点分别为,M N （,M N 皆异于点Q ）.若1213k k =，求点Q 到直线MN 的距离的取值范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上任意一点P 到焦点距离的最大值是最小值的3倍，且通径长为3（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，则1ABF 的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.22．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点P 是抛物线上横坐标为2的点，且3PF =．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l 交抛物线C 于,M N 两点，若4MN =，且弦MN 的中点在圆22()1x a y -+=上，求实数a 的取值范围．23．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，设P 是第一象限内Γ上一点，1PF ，2PF 的延长线分别交Γ于点1Q ，2Q .（1）求12PF Q △的周长；（2）设1r ，2r 分别为12PF Q △，21PF Q △的内切圆半径，求12r r -的最大值.24．设实数0k ≠，椭圆D ：22162x y +=的右焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线交D 于P 、Q两点，若线段PQ 的中为N ，点O 是坐标原点，直线ON 交直线3x =于点M ．（1）若点P 的横坐标为1，求点Q 的横坐标；（2）求证：MF PQ ⊥；（3）求PQ MF的最大值．参考答案1．（1）22142x y +=（2 【分析】（1）由题意可得2c =2c e a a ===，求出a ，再由 b b ，从而可求得椭圆方程，（2）设()00,B x y ，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可（1）依题意，得2c c ==2===⇒=c e a a ，所以b所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）设()00,B x y ，则2200142x y +=，则有0y ≤≤所以20220041422y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式，得()()222220000||14112y AB x y y ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝⎭ 2200025(1)6y y y =--+=-++，因为0y ≤≤所以当001,=-=y x ||AB 2．（1）2213x y +=；（2）22m -<<.【分析】（1）由已知得2a =c = （2）联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理能求出m 的取值范围．【详解】解：（1）由已知得2a =c =解得a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<．m ∴的取值范围(2,2)-．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．3．（1）2214x y +=；（2）|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得a ，c 的值，根据a ，b ，c 的关系，求得b 值，即可得答案. （2）联立直线与椭圆方程，根据有公共点，可得0∆≥，化简整理，即可求得答案. 【详解】解：（1）由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.（2）由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点，所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭. 4．（1）2212x y +=（2）4 【分析】（1）设()1,0(0)F c c ->，根据题中条件求出1c =，得出1PF =出a 的值，再根据222b a c =-即可求出b 的值，即可求出椭圆方程；（2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到23tan t MN MAN AN+∠==，再根据基本不等式即可求出结果. （1）解：设()2,0F c ，则2PF ==1c =，即()11,0F -.∴1PF =122PF PF a +==，∴a =1b ，故椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）解：由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：1x ty =+，联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意，()()222442810t t t ∆=++=+>，由韦达定理12222ty y t -+=+，12212y y t =-+，则22Nt y t =-+，∴22221122N N t x ty t t =+=-+=++，MN AB ⊥，∴MNk t =-，∴222226222t MN t t +=--=++，又1212AN AB y y==-=∴23tan4tMNMANAN+⎫∠===≥=，即1t=±时取等号.5．（1）圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为22163x y+=（2）(3,-【分析】（1）由平面上两点间距离公式及椭圆的定义即得；（2）由题可设直线l：y x m=+，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得3m-<<，即求. （1）由题可知点M到定点()，)的距离之和为∴圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为所以其标准方程为22163x y+=.（2）设直线l：y x m=+，()11,A x y，()22,B x y，由22163x yy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得2234260x mx m++-=，由题意，有()()221221244326043263m mmx xmx x⎧∆=-⨯->⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪-=>⎪⎩，解得3m-<<所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(3,-.6．（1（2）5,34⎡⎢⎣【分析】(1)结合已知条件，分别求出a 、c 与2||AF 的关系式，进而求得离心率；(2)结合(1)中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出M 的坐标，然后利用数量积公式表示出1OM F M →→⋅，最后利用二次函数的性质求解即可. （1）在12Rt AF F △中，∵1230AF F ∠=︒， ∴122AF AF =，122F F =，由椭圆的定义，12223a AF AF AF =+=，22c ， ∴椭圆离心率22c c e a a ====（2）2ABF 的周长为22AF BF AB ++=11224AF BF AF BF a +++==a =∵c e a ==，∴1c =，2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=，可得()11,0F -，设()00,M x y ，则()00,OM x y →=，2200132x y +=， ∵()1001,F M x y →=+，∴()222210000002125123334OM F M x x y x x x x →→⎛⎫⋅=++=++-=++ ⎪⎝⎭，∵0x ≤≤所以由二次函数性质可知，当0x 1OM F M →→⋅的最大值为3当023x =-时，1OM F M →→⋅的最小值为54，所以1OM F M →→⋅的取值范围是5,34⎡⎢⎣.7．（1）()22124x y x +=≠±（2）11(1,)(,1)22-- 【分析】（1）根据直线DP 与EP 的斜率之积列方程，化简求得动点P 的轨迹C 的方程. （2）利用向量的坐标运算，由34OA OBOM 得到123x x =-，联立直线y kx m =+与椭圆：2214x y +=，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于m 的不等式，并由此求得m 的取值范围. （1）设(),P x y ，则()1=22+24EP DP y y k k x x x ⋅=⋅-≠±-，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为()22124x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ，由34OA OBOM 得12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x xk k ， 222216410k m k m ，2221416m k m 代入22410k m -+>得22211014m m m-+->-， 2114m <<，解得11(1,)(,1)22m ∈--.m ∴的取值范围是11(1,)(,1)22--8．（1）22y x =；（2）9(,)16+∞.【分析】(1)利用p 的几何意义直接写出C 的方程即得.(2)根据给定条件设出直线l 及直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线C 的方程，求出弦AB 中点坐标，借助判别式计算作答. （1）因抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1，则p =1，所以C 的方程为22y x =. （2）依题意，设直线l 的方程为12y x b =-+，直线AB 的方程为y =2x +m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222y x y x m⎧=⎨=+⎩消去x 得：20y y m -+=，由题意知Δ140m =->，得14m <，设线段AB 的中点为()00,N x y ，则120122y y y +==，再由002y x m =+，可得0142m x =-，又点N 在直线l 上，则111()2242m b =--+，于是584m b =-，从而有511984416b >-⨯=，所以l 在y 轴上的截距的取值范围为9(,)16+∞.9．（1）22143x y +=（2）15,,5⎛⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用椭圆的定义可求椭圆方程.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理可求AB 的中垂线的方程，结合其过1,03⎛⎫⎪⎝⎭所得,k m 的等式，结合判别式为正可得k 的取值范围. （1）由题意可知：11||4PQ QF PF r +===，由2F P 的中垂线l 交1F P 于点Q ，则2||QF PQ =， ∴211242QF QF F F +=>=，则点Q 的轨迹E 为以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆，即22224,22,3a c b a c ===-=， ∴点Q 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()222(8)4344120km k m ∆=-+->即223043k m +>-①，由根与系数关系得122834km x x k +=-+，则()121226234my y k x x m k +=++=+，所以线段AB 的中点M 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又线段AB 的直平分线l '的方程为113y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由点M 在直线l '上，得22314134343m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24330k km ++=，所以()21433m k k=-+②，由①②得()222243439k k k+<+，∵2430k +>，∴22439k k +<，所以235k >，即k <k >所以实数的取值范围是15,,5⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭.10．（1）2212x y +=（0x ≠），（2）31λ-<<且13λ≠．【分析】（1）设(,)M x y ，用坐标表示出已知条件即可得；（2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，由DE DF λ=得12,x x 的关系，12,y y 的关系，利用,E F 都是椭圆上的点，适合椭圆方程，可解得1x ，然后由1x ≤求得l 的范围，注意题中有01λ<<，10x ≠，结合起来求得正确的范围．（1）设(,)M x y ，则1112y y x x +-⋅=-（0x ≠），，化简得2212xy +=（0x ≠），此即为曲线C 的方程；（2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，221112x y +=，由DE DF λ=，得21212(2)x x y y λλ-=-⎧⎨=⎩， 212122x x y y λλλ=-+⎧⎨=⎩，E 在椭圆上，则2211(22)()12x y λλλ-++=，把221112x y =-代入得 222222111(22)(22)1222x x x λλλλλλ-+--++-=，解得1312x λλ-=，由1x <得，312λλ-33λ-<<+ 又由于E 在线段DF 上，01λ<<，10x =时，13λ=，所以31λ-<且13λ≠．11．（1）2212x y +=(x ≠；（2）()(),11,-∞-⋃+∞. 【分析】（1）设(),P x y，且x ≠12PA PB k k ⋅=-化简即可得动点P 的轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l ：1x my =+与椭圆方程联立可得12y y +，12y y ，()221221242y y m y y m +-=+，由12OMF ONFS y S y λ==-， ()212121221122y y y y y y y y λλ+=++=--+，可得221422m m λλ---+=+，根据λ的范围求得12λλ--+的范围，再解不等式可得m 的范围，再求1m的范围即为直线l 斜率的取值范围.（1）设(),P x y，则22122PA PBy k k x ⋅===--，整理可得：2222x y +=，即2212x y +=(x ≠，所以动点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=(x ≠，（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210m y my ++-=，所以12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，因为11221212OMFONFOF y S y S y OF y λ⋅⋅===-⋅⋅，()()()2221222221244222y y m m m y y m m +-⎡⎤=⨯-+=⎣⎦++， ()222121212121212212122y y y y y y y y y y y y y y λλ+++==++=--+，所以221422m m λλ---+=+，即221422m m λλ+-=+，因为12y λλ=+-在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1420,3y λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，所以2244023m m <<+，因为22402m m >+，由224423m m <+可得：11m -<<，所以直线l 的斜率11m<-或11m >.所以直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 12．（1）24y x =或220y x =；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由已知可得202pa =，由抛物线的定义可得62pa +=，解方程求得p 的值即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线x y t +=与22y px =，由原点O 到直线AB 的距离不t 的范围，由韦达定理可得12x x +、12x x ，利用坐标表示0NA NB ⋅=可利用t 表示p ，再利用函数的单调性求得最值即可求解. （1）由题意及抛物线的定义得：62pa +=，又因为点(M a 在抛物线C 上，所以202pa =，由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 可得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩，所以抛物线C 的标准方程为24y x =或220y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x y t y px+=⎧⎨=⎩消去y 可得：()2220x p t x t -++=，则1222x x p t +=+，212x x t =，因为NA NB ⊥，所以()()()()()()121212121111NA NB x x y y x x t x t x ⋅=--+=--+--()()212122110x x t x x t =-++++=，所以()()22212210t t p t t -++++=，可得22121t t p t -+=+，由原点O 到直线AB≥2t ≥或2t ≤-，因为0p >，所以2t ≤-不成立，所以2t ≥，因为221421411t t p t t t -+==++-++在[)2,+∞上单调递增，所以2222112213p -⨯+≥=+，所以16p ≥，即p 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．13．（1）221168x y +=（2）( 【分析】（1）设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，即可得到128MC MC +=，即可得到点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，求出,a b ，即可得到轨迹方程；（2）设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出PQ ，再求出线段PQ 垂直平分线方程，从而求出AN，即可得到PQ AN= （1）解：设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩12128MC MC C C ∴+=>=所以点M 的轨迹是以12,C C为焦点的椭圆，且4,a c ==2228b a c ∴=-=所以所求轨迹方程为221168x y +=．（2）解：经分析，l 斜率存在，设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ，由22(11168y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩）消去y 得：222212)42160k x k x k +-+-=（ 221212224216,.1212k k x x x x k k -∴+==++PQ ∴=．． 121222(2)12ky y k x x k -+=+-=+ PQ ∴的中点坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以线段PQ 垂直平分线方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0y =得2212N kx k =+，221112N k AN x k +∴=-=+PQAN ∴= 0k ≠ 211k ∴+> 2141630301k ∴<-<+ PQ AN∴的取值范围为(．14．（1）k = （2）[)4,64 【分析】（1）求出圆心到直线l的距离为d =k 的值；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出AB 关于k 的表达式，利用勾股定理可求得CD 关于k 的表达式，再利用不等式的基本性质可求得2AB CD ⋅的取值范围. （1）解：因为OC OD ⊥，且圆O 的半径为2，所以点O 到直线l的距离2sin4d π===k =．（2）解：设()11,A x y 、()22,B x y，由2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()22410k x ++-=，()()2224416160k k ∆=++=+>，所以12x x +=，12214x x k -=+，所以12 AB x x=-=()22414kk+=+．设圆心O到直线l的距离为d=所以CD===所以()()22222222411614142404644144k kkAB CDk k k k+++⋅=⋅⋅==-++++．244k+≥，则21144k<≤+，所以，[)22240644,644AB CDk⋅=-∈+.所以2AB CD⋅的取值范围为[)4,64．15．（1）24y x=（2）3-（3）()0,1【分析】（1）根据题意得到12p=，从而得到抛物线C：24y x=.（2）首先设直线AB的方程为1x ty=+，与抛物线24y x=联立得2440y ty--=，再利用韦达定理求解.（3）设211,4yA y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yC y⎛⎫⎪⎝⎭，21144,By y⎛⎫-⎪⎝⎭，22244,Dy y⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用韦达定理和12ECFACFECSSS S AC==△△求解即可.（1）因为抛物线C：()220y px p=>，焦点()1,0F，所以12p=，解得2p=，所以抛物线C：24y x=.24y x =（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线24y x =联立得：2440y ty --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y =-，所以()22212121214416y yy y x x =⋅==，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=- （3）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21144,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22244,D y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为21222112444AC y y k y y y y -==+-，所以直线AC ：2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =+++。

圆锥曲线中范围与最值问题的求解策略

圆锥曲线中范围与最值问题的求解策略作者：吴小明许瑞珠
来源：《中学生数理化·高考数学》2024年第04期
在高考的解析幾何试题中，圆锥曲线的范围与最值问题是一类常见的题型，既可以考查解析几何的核心知识、本质特征及数学思想方法，又可以和不等式、向量、函数等知识融合。

这类问题考查的知识综合性强，思维角度多样化，解题方法灵活多变，能提升同学们的数学运算、逻辑推理和直观想象等数学核心素养。

从几何视角看，范围与最值问题的产生是基于几何图形的动态变化，一般常见的如动点、动直线等。

解决这类问题的基本策略是建立不等关系或目标函数来研究范围或最值，难点在于如何建立不等关系或目标函数。

选择合适的变量是解题的关键，变量选择的基本原则是判断该变量能否合适地表达要解决的问题，即判断该变量是否为问题的核心变量。

解决圆锥曲线中范围与最值问题的一般步骤为：①分析诱因，设立变量;②建立所求量与设立变量的不等关系或函数关系;③求解不等式或函数的值域（最值）。

本文将从以下几个方面来举例说明。

解决圆锥曲线中的最值与范围问题

解决圆锥曲线中的最值与范围问题作者：***来源：《中学生数理化·高考数学》2021年第04期高考在考查圆锥曲线时常综合其他知识进行，其中的范围和最值问题是较为典型的代表，是高考的热点问题，也是难点问题之一。

这类问题综合性较强，常以几何与方程、函数、不等式等问题为载体，隐性条件较多，关系式复杂，难度较大。

解决问题的关键是根据几何性质构建数量关系，将几何问题转化为方程、函数或不等式问题。

下面通过几道最值或范围问题的解法探讨如何恰当选择解题策略，合理转化解题方向，希望对新高考模式下圆锥曲线的复习提供一点帮助。

一、巧设直线方程，简化目标形式求最值（1）求椭圆C的标准方程;（2）设0为坐标原点，过右焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在轴上），若元=+B，求四边形AOBE的面积S的最大值。

解析：（1）由26=2/3，可知b=/3。

又点评：经过一点（xoy）的直线方程一般设为y-y。

=k（x-xo）（要考虑斜率是否存在的问题），也可设为x=l（y-yo）+xo（除去与轴平行的直线），选择哪种类型要先分析问题，把条件和目标联系起来，如消元后需要留下纵坐标y，则设第二种类型较好。

引入合适的参数是简化计算的重要诀窍。

解题时，要从分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构的特征出发，注意从整体结构入手确定参数（参变量）。

本题利用平行四边形的性质将四边形的面积转化为三角形的面积求解。

同学们还要学会巧设直线方程，使用韦达定理，利用基本不等式、函数的单调性求解函数最值。

二、抓住曲线定义，列出弦长式子求最值例2（2020年浙江模拟）如图2，已知抛物线的标准方程为y=2pxc（p》0），其中0为坐标原点，抛物线的焦点坐标为F（1，0），A为抛物线上任意一点（原点除外），直线AB过焦点F交抛物线于B点，直线AC过点M（3，0）交抛物线于C点，连接CF并延长交抛物线于D点。

（1）若弦|AB|的长度为8，求△OAB的面积;（2）求|AB|、|CD|的最小值。

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题知识点梳理

建立目标函数求最值
[例2] (2017·浙江高考)如图，已知抛
物线x2＝y，点A －12，14 ，B 32，94 ，抛物线上的点P(x，y) －12<x<32 .过点B作直线 AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解]
(1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12，
3.[考点三]如图，已知点F1，F2是椭圆C1：x22 ＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：x22＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设 AB，CD的斜率分别为k，k′. (1)求证：k·k′为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值．
[全析考法]
利用几何性质求最值
[例1] 设P是椭圆2x52 ＋y92＝1上一点，M，N分别是两圆：(x
＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、
最大值分别为
()
A．9,12
B．8,11
C．8,12
D．10,12
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|
[全析考法]
利用判别式构造不等关系求范围
[例1]
已知m>1，直线l：x－my－
m2 2
＝
0，椭圆C：
x2 m2
＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C
的左、右焦点．
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m

圆锥曲线解答题中的范围和最值问题的解题策略(原卷版)

圆锥曲线解答题中的范围和最值问题的解题策略圆锥曲线中的最值和取值范围问题是高考中的常考题型，以解答题为主.题型一：取值范围问题解题策略：⑴利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；⑵利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；⑶利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ⑷利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑸利用求函数的值域的方法将待求量表示为其它变量的函数，求其值域，从而求出参数的取值范围.1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；例1、（2021·安徽黄山市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长倍，且过点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点O O 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围.2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；例2、（2021·云南昆明市昆明一中高三月考（理））已知A ，B 是椭圆1322=+y xC ：上的两点.（1）若直线AB 的斜率为1，求AB 的最大值；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0N t ，求t 的取值范围.例3、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程②当三角形OPQ OM 的取值范围．3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；例4、（2020·湖南高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为)F，顺次连接椭圆E 的菱形.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设24,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，O 为坐标原点，A 、B 是椭圆E 上两点，且AB 的中点在线段OM （不含端点O 、M ）上，求AOB ∆面积S 的取值范围.4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围例5、（2020·重庆南开中学高三月考）在平面直角坐标系下，已知动点P 到定点()8,0M ，()2,0N 的距离之比为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ；（2）若直线l ：2y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ⎡∈⎣，求实数k 的取值范围.例6、（2021·湖南师大附中高三月考）已知椭圆C 过点⎛ ⎝⎭，且与曲线2212x y -=有共同的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆的右焦点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，设2F A =2F B λ，若[]2,1λ∈--，点()2,0T ，求TA TB +的取值范围.5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其它变量的函数，求其值域，从而求出参数的取值范围.例7、（2021·河南高三月考（理））已知抛物线C ：22y px =（0p >），点A 在抛物线C 上，点B 在x 轴的正半轴上，等边AOB ∆的边长为83.（1）求抛物线的方程；（2）若直线l ：2+=ty x []()1,3t ∈与抛物线C 相交于D ，E 两点，直线DE 不经过点(0,1)M ，DEM △的面积为S ，求22St +的取值范围.题型二：最值问题解题策略：一、若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：1、二次函数型；；2、基本不等式型；二、利用曲线的几何性质求最值一、构建函数模型求最值 1. 二次函数型例1、（2021·山东青岛市·高三期末）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，点P 在椭圆C 上，椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，1PF 的中点为Q ，1OF Q （1）求椭圆C 的标准方程；（2）W 为双曲线22:14x D y -=上的一个点，由W 向抛物线2:4E x y =做切线12,l l ，切点分别为,A B.（i ）证明：直线AB 与圆221x y +=相切；（ii ）若直线AB 与椭圆C 相交于,M N 两点，求OMN 外接圆面积的最大值.2. 基本不等式型例2、（2021·江西高三模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．例3、（2021·江西高三模拟）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．二、利用曲线的几何性质求最值例4、（2021·山东菏泽市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标例5、（2021·江苏常州市高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值.【强化训练】1.（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C 的离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 2.（2021·云南昆明市昆明一中高三月考（理））已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（1）求证：点M 在定直线上；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围．3.（2021·云南曲靖市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心，且椭圆C 过点3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆22:2O x y +=交于E F 、两点，求2||||AB EF ⋅的取值范围.4、（2020·江西高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率，且过点⎛ ⎝⎭，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）圆2283x y +=的一条切线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求： ①AOB ∠的值； ②AB 的取值范围.5、（2021·辽宁丹东市高三期末）已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点和点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求C 的方程；（2）已知00y t <<，点()0,A t y 在C 上，A 关于y 轴、坐标原点的对称点分别为B 、D ，AE 垂直于x 轴，垂足为E ，直线DE 与y 轴、C 分别交于点F 、G ，直线BF 交C 于点M ，直线DF 的斜率为k ，直线BF 的斜率k '. ①将k '表示为k 的函数； ②求直线GM 斜率的最小值.6.（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，已知点1F 、2F 是椭圆221:12xC y +=的两个焦点，椭圆222:2x C y λ+=经过点1F 、2F ，点P 是椭圆2C 上异于1F 、2F 的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆1C 的交点分别是A 、B 和C 、D .设AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k .（1）求证：12k k ⋅为定值；（2）求AB CD ⋅的最大值.。

圆锥曲线中的最值与范围问题的解决方法

共线时，ｌＭＦ＇Ｉ—ｌＭＢＩ取最大值ＩＰＢＩ。此时
ＩＭＦＩ＋ＩＭＢＩ≥ｌＯ—ＩＰＢＩ＝１０—２￣／１０。
学的垂线，垂足为ＨＩＦＭ丽则，，则而＝ｅＭＨ＝了４ｊＩ＝詈ＩＭＦＩ。于是
筹的垂线，垂足为
Ｉ
＝ｅ
（Ⅱ）过动点Ｍ作右准线茗＝
｛ｌＭＦＩ＋Ｉ胭Ｉ＝ＩＭＨＩ４－Ｉ胭Ｉ≥ｌ船Ｉ－等可见，
难点剖析
ｓ
ｕ｜
圆锥曲线中的最值与范围问题的解决方法
■李瑞芳
高考对圆锥曲线的考查，既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究，又对最值范围问题有所青睐，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识。紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化，充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用。下面就此类问题的解决方法从两大方面来加以阐述，供参考。一、几何方法利用圆锥曲线定义将距离与距离和最值问题转化为点与点、点与线间的距离是常用的方法。例１点肘和Ｆ分别是椭圆模型，再借助二次函数的性质求解。（兰）判别式法例２（２００５全国卷）设Ａ（膏ｌ，Ｙ１），口
万方数据
圆锥曲线中的最值与范围问题的解决方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：李瑞芳河北省安新中学试题与研究(教学论坛) SHITI YU YANJIU 2010(14)
本文链接：/Periodical_styyj-jx201014026.aspx
Ａ、Ｂ为抛物线上不同的两点，则△＝了１
４－８ｍ＞
基＋菩＝ｌ上的动点和右焦点，定
点Ｂ（２，２）。（１）求ＩＭＦ值：
Ｉ＋ＩＭＢ
ｌ的最小
０，即ｍ＞一去。设他的中点Ⅳ的坐标为
（ｘｏ，知），贝４

圆锥曲线最值范围定值(总结)

l
与椭圆x2＋ 2
y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得
向量O→P＋O→Q与A→B共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2，代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1，整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
a
2
思路二：利用二次方程有实根
由椭圆定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又由 F1PF2 90 知 PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则可得 | PF1 || PF2 | 2(a 2 c2 ) ，这样| PF1 | 与| PF2 | 是方程 u 2 2au 2(a 2 c2 ) 0 的两个
证明由题意，知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线 y＝k(x－1)，代入x92＋y82＝1，得 8yk＋12＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，则 y1＋y2＝－8＋169kk2，y1y2＝－8＋649k2k2. 同理，将 y＝k(x－1)代入 y2＝4x，得 ky2－4y－4k＝0，则y3＋y4＝4k，y3y4＝－4，
a2 ，即 0
2c 2 a 2 e2
a 2 ，所以 e [
2 ，1）. 2
思路五：利用基本不等式
由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | ，平方后得

圆锥曲线中的最值、范围问题2

则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．

如何解高考压轴题第二讲圆锥曲线最值问题和范围问题

联立直线与椭圆方程：
y k x 2 1 2 k 2 x 2 8 k 2 x 8 k 2 2 0 2 2 x 2 y 1
第二讲圆锥曲线最大（小）值问题和范围问题
与圆锥曲线相关的最值和范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量，如长度，面积等用参数表示出来，在对表达式进行讨论，应用不等式，三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式应用。一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
a a 0 ；③ 反比例函数； x
④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表
第 1 页
达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。 3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可二、典型例题：

难点11 通法求解圆锥曲线中的最值和取值范围问题

难点11 通法求解圆锥曲线中的最值和取值范围问题1.最值问题圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法:(1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的问题.(2)两种解法①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.▶提醒求最值问题时,一定要注意对特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.典例1 定圆M:(x+)2+y2=16,动圆N过点F(,0)且与圆M相切,记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|BC|,当△ABC的面积最小时,求直线AB的方程.解析(1)∵F(,0)在圆M:(x+)2+y2=16内,∴圆N内切于圆M.∵|NM|+|NF|=4>|FM|,∴点N的轨迹E为焦点在x轴上的椭圆,且2a=4,c=,∴b=1,∴轨迹E的方程为+y2=1.=2.(2)①当AB为长轴(或短轴)时,S△ABC②当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=kx,由解得=,=,∴|OA|2=+=.将上式中的k 替换为-,得|OC|2=.S △ABC =2S △AOC =|OA|·|OC|=×=.∵≤=,∴S △ABC ≥,当且仅当1+4k 2=k 2+4,即k=±1时等号成立,此时△ABC 的面积最小.∵2>,∴△ABC 面积的最小值是,此时直线AB 的方程为y=x 或y=-x.对点练1.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段. (1)求椭圆的离心率;(2)过点C(-1,0)的直线l 交椭圆于不同的两点A,B,且=2,当△AOB 的面积最大时,求直线l 的方程.解析 (1)由题意知,c+=3,所以b=c,a 2=2b 2,所以e===.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为x=ky-1(k≠0).因为=2,所以(-1-x 1,-y 1)=2(x 2+1,y 2),即2y 2+y 1=0,①由(1)知a 2=2b 2,所以椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2.由消去x,得(k 2+2)y 2-2ky+1-2b 2=0,所以y 1+y 2=,②由①②知,y 2=-,y 1=,因为S △AOB =|y 1|+|y 2|,所以S △AOB =3·=3·≤·=,当且仅当|k|2=2,即k=±时取等号,此时直线l 的方程为x=y-1或x=-y-1.典例2 已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(-1,0)、F 2(1,0),且F 2到直线x-y-9=0的距离等于椭圆的短轴长.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P的圆心为P(0,t)(t>0),且经过F1、F2,Q是椭圆C上的动点且在圆P外,过点Q作圆P的切线,切点为M,当|QM|的最大值为时,求t的值.解析(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0).依题意可知,2b==4,所以b=2.又c=1,故a2=b2+c2=5,故椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,圆P的方程为x2+(y-t)2=t2+1,设Q(x0,y),因为PM⊥QM,所以|QM|===.若-4t≤-2,即t≥,则当y=-2时,|QM|取得最大值,|QM|max==,解得t=<(舍去).若-4t>-2,即0<t<,则当y=-4t时,|QM|取得最大值,且|QM|max==,解得t 2=.又0<t<,所以t=.综上可知,当t=时,|QM|的最大值为.对点练2.如图,已知抛物线E:y 2=2px(p>0)与圆O:x 2+y 2=8相交于A,B 两点,且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上一动点P(x 0,y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C,D 两点,分别以C,D 为切点作抛物线E 的切线l 1,l 2,l 1与l 2相交于点M. (1)求抛物线E 的方程;(2)求点M 到直线CD 距离的最大值.解析 (1)由x A =2得=4,故2px A =4,所以p=1.于是,抛物线E 的方程为y 2=2x.(2)设C ,D ,切线l 1:y-y 1=k ,代入y 2=2x 得ky 2-2y+2y 1-k =0,由Δ=0,解得k=.∴l 1的方程为y=x+,同理,l 2的方程为y=x+.联立解得易得直线CD 的方程为x 0x+y 0y=8,其中x 0,y 0满足+=8,x 0∈[2,2].联立得x0y2+2yy-16=0,则∴M(x,y)满足即点M的坐标为.点M到直线CD:x0x+yy=8的距离d====,令f(x)=(x∈[2,2]),则f(x)在[2,2]上单调递减,当且仅当x=2时,f(x)取得最大值,故dmax=.2.取值范围问题解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法:(1)利用圆锥曲线的几何性质构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.典例3 如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用含a,k的式子表示);(2)若以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AB,A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2),(*)因为(*)式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.因此,以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤, 由e==得,所求离心率的取值范围为0<e≤.对点练已知圆x2+y2=1过椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线l:y=kx+m 与圆x2+y2=1相切,与椭圆+=1相交于A,B两点.记λ=·,且≤λ≤.(1)求椭圆的方程;(2)求k的取值范围;(3)求△OAB的面积S的取值范围.解析(1)由题意知2c=2,所以c=1.因为圆与椭圆有且仅有两个公共点,所以b=1,故a=,所以所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,所以原点O到直线l的距离为=1,即m2=k2+1.由消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.λ=·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=,由≤λ≤,得≤k2≤1,即k的取值范围是∪.(3)|AB|==,由≤k2≤1,得≤|AB|≤.设△OAB的AB边上的高为d,则S=|AB|d=|AB|,所以≤S≤.即△OAB的面积S的取值范围是.。

圆锥曲线中的最值问题解决办法

圆锥曲线中的最值问题解决办法
一.几何法求距离最值问题（定义处理）
二.切线法求距离最值问题
三.一般类最值问题的解法（代数法和参数法）
四.推荐用三角函数解决圆锥曲线中三角形面积问题
总结
圆锥曲线中的最值或范围问题并无特定解法，无非是见招拆招，所谓见招拆招即根据题目中给出的条件选择最优方法即可，但是在高考中最常用的最值方法是函数法，导数法，不等式法，以上给出的方法仅供参考。

另外高考中的大题最值问题考察的并非是各种技巧，而是耐心和细心，只有耐心和细心方能把一个简单复杂的问题解出来。