ch9-4第四讲空间曲线及其方程

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ch9-4

i=1
v v ∫ B dl =0 ∑Ii内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分恒定电流的磁场中，等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 0 倍
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系满足右螺旋关系时 Ii > 0 反之 Ii < 0 (2) 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心 (3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想安培环路定理只适用于闭合的载流导线，的一段载流导线不成立例如图中载流直导线设 θ1 =θ 2 = π/ 4 图中载流直导线, 的环流为: 则 L 的环流为:
I
θ2
v v 0I ∫LB dl = ∫L 4πa(cosθ1 + cosθ2 )dl 0I 2 0 2I = 2 2πa = ≠ 0I 4πa 2 2
v a
L
θ1
二. 安培环路定理的应用
求无限长圆柱面电流的磁场分布。例求无限长圆柱面电流的磁场分布。系统有轴对称性，解系统有轴对称性，圆周上各点的 B 相同
c
x
d v B'
B = 0 jd / 2
B = 0 jx
d
j
∫LBcosθdl = B∫Ldl = B 2πr = 0NI
I
N
o
r
若在外部再做一个环路，可得若在外部再做一个环路，
R dr 1
∑Ii = 0
螺绕环内的磁通量为
B外 = 0
h
R2
S
Φm = ∫
R2
R 1
v v R2 NI 0hNI R2 0 B dS = ∫ hdr = ln R 2π 1 r 2π R 1

空间曲线及其方程

§7.6 空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程空间曲线可看作两曲面的交线，设F x y z (,,)=0 和G x y z (,,)=0是两曲面的方程，它们的交线为C 。

曲线上的任何点的坐标x y z ,,应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组 F x y z G x y z (,,)(,,)==⎧⎨⎩00(1) 反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时两曲面上。

所以，它的坐标不满足方程组(1)。

由上述两点可知：曲线C 可由方程组(1)表示。

方程组(1)称作空间曲线的一般方程。

二空间曲线的参数方程对于空间曲线C ，若C 上的动点的坐标x y z ,,可表示成为参数t 的函数x x t y y t z z t ===⎧⎨⎪⎩⎪()()() (2)随着t 的变动可得到曲线C 上的全部点，方程组(2)叫做空间曲线参数方程。

【例1】如果空间一点M 在圆柱面x y a 222+=上以角速度ω绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中：ω，v 均为常数)，那未点M 的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程。

解：取时间t 为参数。

设当 t =0 时，动点与x 轴上的点 A a (,,)00 重合，经过时间t ，动点由A a (,,)00运动到M x y z (,,)。

记M 在xoy 面上的投影为'M ，它的坐标为'M x y (,,)0。

由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，经过时间t ，∠'=⋅AoM t ω从而 x a t y a t==⎧⎨⎩cos sin ωω又由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升，所以z vt =因此，螺旋线的参数方程为x a t y a t z vt ===⎧⎨⎪⎩⎪cos sin ωω或令θω=⋅t ，则方程形式可化为x a y a z b b v ===⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (,)θθθωθ为参数螺旋线有一个重要性质：当θ从θ0变到θα0+时，z 由b θ0变到b b θα0+；这表明当oM '转过角α时，M 点沿螺旋线上升了高度h b =α；特别地，当oM '转过一周，即απ=2时，M 点就上升固定的高度为h b =2π，这个高度在工程技术上叫螺距。

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contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的集合构成，这些点通过连续的参数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线上的点与参数t关联起来，形成参数方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状和方向，但有时候参数的选择可能较为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称的曲线，但在处理复杂曲线时可能不够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。

第四节-空间曲线及其方程

x y x2 y2 1 z 0
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P51 题 7
z
z
O
ay x xz20y2 ax
O
ay x
z a2 ax (x 0 , z 0)
y0
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内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
随着 t
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例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
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例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影
目录上页下页返回结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F (x, y, z) 0

第04章空间曲线及其方程

y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
§6
二次曲面的标准方程
1.定义由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面, 称为二次曲面.
2 2 z 4 x y 例8: 设一个立体由上半球面和锥面 2 2 z 3 ( x y )所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
h
t O M
A
M y
x
(1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | · cosAOM = acos t
y = |OM点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而
的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做
空间曲线的参数方程.
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 z 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).

空间曲面和空间曲线(IV)

球面曲线
球面曲线是球面上的一条封闭或非封闭的曲线。例如，赤道和经线是球面上的两条特殊的曲线。
抛物面与抛物线
抛物面
抛物面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类似于开口的抛物线。
抛物线
在平面几何中，抛物线是一条二次曲线，其形状类似于开口的抛物线。
椭圆抛物面与椭圆抛物线
椭圆抛物面
椭圆抛物面是一种三维曲面，其形状类似于一个向上或向下开口的椭圆。
• 探索新的分类方法：目前对于空间曲面和空间曲线的分类方法还比较有限，未来可以探索更多的分类方法，以便更好地理解和应用这些对象。如根据几何形状、拓扑结构等进行分类；或者根据实际应用的需要进行分类等。
• 拓展应用领域：随着科技的发展，空间曲面和空间曲线在各个领域的应用越来越广泛。未来可以进一步拓展其应用领域，如在机器人设计、生物医学工程、虚拟现实等领域中应用空间曲面和空间曲线。
曲率描述了曲面或曲线在某一点的弯曲程度，挠率则描述了曲面或曲线在某一方向上的弯曲程度。
渐近线是描述曲面或曲线在无穷远处行为的线，对于理解几何对
象的整体形态具有重要意义。
2023
PART 04
空间曲面与空间曲线的实例分析
REPORTING
球面与球面曲线
球面
球面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类似于球体表面。
空间曲面是三维空间中由二维曲线沿着某一方向无限延伸形成的闭合曲面。
分类
根据形成方式，空间曲面可分为旋转曲面和非旋转曲面。旋转曲面是指由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转而成；非旋转曲面则包括柱面、锥面等。
常见的空间曲面
球面
圆锥面
抛物面
双曲面
由一个点绕着通过该点的轴线旋转而成。

空间曲线及其方程

平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i

空间曲线与曲面的方程与像特征

空间曲线与曲面的方程与像特征在数学中，空间曲线与曲面是研究空间中的几何对象，它们的方程是描述这些对象关系的数学表达式。

本文将以更为详细的方式介绍空间曲线与曲面的方程，并讨论它们的像特征。

一、空间曲线的方程与像特征空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，它可以通过方程表示。

常见的空间曲线方程有参数方程和一般方程两种形式。

1. 参数方程参数方程是用参数的函数表示曲线上的点坐标。

对于二维平面曲线，通常有两个参数表示；而对于三维空间曲线，则需要三个参数表示。

以二维空间曲线为例，参数方程可表示为：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)确定了曲线上点的x坐标和y坐标。

类似地，对于三维空间曲线，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)参数方程将曲线上的点与参数关联起来，通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上不同点的坐标。

而曲线的像特征，即形状特征和位置特征，可以通过观察参数方程的性质得到。

2. 一般方程一般方程是用几何关系的数学表达式表示空间曲线。

常见的一般方程形式包括直角坐标方程、参数方程的消元形式等。

以直角坐标方程为例，对于二维平面曲线，可以表示为：F(x, y) = 0其中，F(x, y)是一个关于x和y的函数，当F(x, y)为零时，该方程确定的点(x, y)在曲线上。

对于三维空间曲线，一般方程可以表示为：F(x, y, z) = 0通过观察一般方程的形式，可以获得曲线的形状特征和位置特征。

二、空间曲面的方程与像特征空间曲面是指在三维空间中的一片曲面。

与空间曲线类似，空间曲面的方程也可以通过参数方程和一般方程表示。

1. 参数方程对于二维平面曲面，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)其中，函数f(u, v)和g(u, v)确定了曲面上不同点的x坐标和y坐标。

类似地，对于三维空间曲面，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)参数方程将曲面上的点与参数关联起来，通过改变参数u和v的取值范围，可以得到曲面上不同点的坐标。

空间曲线及其方程

-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从方程组中消z去后变得量到方程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满足方程 , x组、y必时定满足, 方这说明C曲上线的所有点都所在表由示方的程面上 .

y2

4x

0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表示平. 面

x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5

第四节--空间曲线及其方程

x2 y2 1. 2 x 3z 6 表示一个母线平行于 y 的柱面 , 其准线是 xz 面上的直
x2 y 2 1,
线 2x 3z 6 , 因而 2x 3z 6 在空间表示一个平面 .
是上述圆
2x 3z 6
柱面和平面的交线 .
z a2 x2 y 2 ,
例 2 方程组
2
a x
y2
2
a 2 表示何曲线 ? 2
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第四节空间曲线及其方程
一空间曲线的一般方程
曲面 F x, y, z 0 和 G x, y, z 0 的交线 C 可表示为
F x, y, z 0, G x, y, z 0. 它称为空间曲线 C 的一般方程 .
x2 y2 1,
例 1 方程组
表示何曲线 ?
2x 3z 6
解
2
x
2
y
1表示母线平行于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xy 面上的圆
x2 y2 1,
C 在 xy面上的投影曲线为 C :
( xy 面上的单位圆 ). 所求立体
z 0.
在 xy 面上的投影即该圆的内部 .
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作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8 提示 2 (2) 作图后易理解 .
3 由已知的方程组分别消去 x 和 y 即可 .
4 由已知方程消去 z . 7 参照例 2. 0 z a 2 x 2 y2 表上半球面 z
a 2 x 2 y 2 和平面
z 0所围的半球体的内部 , x2 y2 ax 表圆柱体 x2 y2 ax 0 的内部 .
叫做螺旋线 . 试建立其参数方程 .
y

[整理]ch9-4第四讲空间曲线及其方程.

第四讲Ⅰ 授课题目§7.4 空间曲线及其方程Ⅱ 教学目的与要求1、掌握空间曲线的一般方程及参数方程；2、掌握空间曲线在坐标面上的投影。

Ⅲ 教学重点与难点重点：空间曲线的一般方程及参数方程。

难点：空间曲线在坐标面上的投影。

Ⅳ 讲授内容：一、空间曲线的一般空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组. 因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.例1 方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示怎样的曲线? 解方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y 轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.例2 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点)0 ,2(a , 半行为2a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.例2 方程组⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为2a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a , 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数方程空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3 如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2 上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中ω、v 都是常数), 那么点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解取时间t 为参数. 设当t =0时, 动点位于x 轴上的一点A (a , 0, 0)处. 经过时间t , 动点由A 运动到M (x , y , z ) . 记M 在xOy 面上的投影为M ', M '的坐标为x , y ,0. 由于动点在圆柱面上以角速度ω 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t ,∠AOM '= ω t . 从而x =|OM '|cos ∠AOM '=a cos ω t ,y =|OM '|sin ∠AOM '=a sin ω t ,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以z =MM '=vt .因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz t a y t a x ωωsin cos ,也可以用其他变量作参数; 例如令θ=ω t , 则螺旋线的参数方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos , 其中ωv b =, 而参数为θ . *曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如⎪⎩⎪⎨⎧===),() ,() ,(t s z z t s y y t s x x .例如空间曲线Γ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ (α≤t ≤β),绕z 轴旋转, 所得旋转曲面的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin )]([)]([cos )]([)]([2222t z t t y t t x ωθψϕθψϕ (α≤t ≤β, 0≤θ≤2π). (4)这是因为, 固定一个t , 得Γ上一点M 1(ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )), 点M 1绕z 轴旋转, 得空间的一个圆, 该圆在平面z =ω(t )上, 其半径为点M 1到z 轴的距离22)]([)]([t t ψϕ+, 因此, 固定t 的方程(4)就是该圆的参数方程. 再令t 在[α, β]内变动, 方程(4)便是旋转曲面的方程.例如直线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y x 21绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=t z t y t x 2sin 1cos 122θθ.(上式消t 和θ, 得曲面的直角坐标方程为41222z y x +=+) 又如球面x 2+y 2+z 2=a 2可看成zOx 面上的半圆周⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕcos 0sin a z y a x (0≤ϕ≤π)绕z 轴旋转所得, 故球面方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin a z a y a x (0≤ϕ≤π, 0≤θ≤2π).三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 设方程组消去变量z 后所得的方程H (x , y )=0 ,这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面.这是因为: 一方面方程H (x , y )=0表示一个母线平行于z 轴的柱面, 另一方面方程H (x , y )=0是由方程组消去变量z 后所得的方程, 因此当x 、y 、z 满足方程组时, 前两个数x 、y 必定满足方程H (x , y )=0 , 这就说明曲线C 上的所有点都在方程H (x , y )=0所表示的曲面上, 即曲线C 在方程H (x , y )=0表示的柱面上. 所以方程H (x , y )=0表示的柱面就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为:⎩⎨⎧==00),(z y x H . 讨论: 曲线C 关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C 在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么?例4 已知两球面的方程为x 2+y 2+z 2=1, (5)和x 2+(y -1)2+(z -1)2=1, (6)求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程.解先将方程x 2+(y -1)2+(z -1)2=1化为x 2+y 2+z 2-2y -2z =1,然后与方程x 2+y 2+z 2=1相减得y +z =1.将 z =1-y 代入x 2+y 2+z 2=1 得x 2+2y 2-2y =0.这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程. 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x . 例5 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成立体在xOy 面上的投影.解由方程224y x z --=和)(322y x z +=消去z 得到x 2+y 2=1. 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面, 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x . 这是xOy 面上的一个圆, 于是所求立体在xOy 面上的投影, 就是该圆在xOy 面上所围的部分:x 2+y 2≤1.Ⅴ 小结与提问小结：1、空间曲线的一般方程及参数方程。

空间曲线及其方程

空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程定义称⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 为空间曲线C 的一般方程. xyzOC1∑2∑例讨论方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示的曲线.解221x y +=236x z +=xyzOΓ例讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示的曲线. 解zyxa空间曲线的参数方程定义称方程组⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 为空间曲线的参数方程.例如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2上以角速度ω绕z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(ω,v 都是参数),那么点M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.yz OhPMM 't ωx空间曲线——圆柱螺线P圆柱面222x y a +=yz0xax =y =z =a cos ωt vta sin ωt M螺线从点P →Q当t 从0 →2π，QtωM '空间曲线在坐标面上的投影定义设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z 后得方程：H (x,y )=0称此方程为曲面C 关于xOy 面的投影柱面,投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线,简称投影.xyzOC'Γ即空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线方程为：⎩⎨⎧==0),(z y x H 同理,空间曲线C 在yOz 面与xOz 面上的投影曲线方程分别为00),(⎩⎨⎧==x z y R 和 (,)0T x z y =⎧⎨=⎩例已知两球面的方程为x 2+y 2+z 2=1和x 2+(y －1)2+(z －1)2=1,求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程.解消去z 后,得柱面方程x 2+2y 2－2y =0,于是两球面的交线在xOy 面上的投影方程是：⎩⎨⎧==-+002222z y y xzyx1OC例设立体由上半球面z =224y x --和锥面z =)(322y x +所围成,求它在xOy 面上的投影.解上半球面和锥面的交线C ：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 消去z 后,得投影曲线的方程为: ⎩⎨⎧==+0122z y x消去z 后,得投影曲线的方程为: ⎩⎨⎧==+0122z y x从而所求立体在xOy 面上的投影为: x 2+y 2≤1.zxy1CO空间曲线及其方程1.掌握空间曲线的一般形式、参数方程形式.2.会根据一般方程讨论其所表示的曲线.3.理解空间曲线在坐标面上的投影的概念.4.会求特殊空间曲线在坐标面上的投影的形状和方程。

空间曲线与曲面的方程

空间曲线与曲面的方程一、空间曲线的方程空间曲线是在三维空间中的曲线，通常由参数方程给出。

参数方程由参数变量表示曲线上的点的位置，从而描述了曲线的形状。

下面我们来讨论一些常见的空间曲线的方程。

1. 直线的方程直线是最简单的一种空间曲线，可以用一条方程来表示。

直线的方程通常由点斜式或者两点式给出。

- 点斜式：对于一个直线上的点P(x, y, z)，斜率为m，已知直线上另一点Q(x1, y1, z1)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x - x1) = (y - y1) / (y - y1) = (z - z1) / (z - z1)- 两点式：已知直线上两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)2. 圆的方程圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，可以通过参数方程或者一般方程来表示。

- 参数方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：x = x0 + r * cos(t)y = y0 + r * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。

- 一般方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^23. 椭圆的方程椭圆是一个平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆的方程也可以通过参数方程或者一般方程来表示。

- 参数方程：对于一个椭圆的中心点C(x0, y0, z0)，长轴a，短轴b，椭圆的方程可以表示为：x = x0 + a * cos(t)y = y0 + b * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。

高数下课件 ch9_4

∫∫ ∫∫ Fz =
dFz =
D
−Gaρ
D
(x2
+
1 y2
+
a
2
)
3 2
dσ
z
∫ ∫ =
−Gaρ
2π
dθ
0
Rr
0
(r
2
+
a2
3
)2
dr
c
= −2πGaρ[
−1 r2 +
a2
]0R
a
= −2πGaρ( 1 − 1 )
a a2 + R2
o
2πGρ( a − 1).
y
a2 + R2
x
∫∫ yρ( x, y)dσ
由元素法，x = D
，y = D
.
∫∫ ρ( x, y)dσ
∫∫ ρ( x, y)dσ
D
D
如果平面薄片是均匀的，则质心也称为形心.
x
=
1
A
∫∫
D
xdσ，y
=
1
A
∫∫
D
ydσ，其中
A=
∫∫ dσ .
D
类似地，对于体密度为 ρ( x, y, z)，占有空间有界
闭区域 Ω 的物体，其质心坐标为
解曲面 2z = x2 + y2 及 z = 3 − x2 − y2 所围成的区域
在 xOy 面上的投影为二者交线在 xOy 面上的投影
曲线所围成的区域. x2 + y2 = 2
而二者交线在 xOy 面上的投影曲线为 z = 0
故 D：x2 + y2 ≤ 2.
对 = S1：z
1 (x2 2

空间曲线及其方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

M 在 xoy面的投影M ( x, y,0)
x a cost
y a sint
t
o
M
•
z vt
螺旋线旳参数方程 x A M y
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螺旋线旳参数方程还能够写为
x a cos
y
a
sin
( t,
z b
b v)
螺旋线旳主要性质：
上升旳高度与转过旳角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升旳高度 h 2b 螺距
x
0
T ( x, z) 0
y
0
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x2 y2 z2 1
例4
求曲线
1
在坐标面上旳投影.
z 2
解 ⑴消去变量z后得
x2 y2 3,
4
在 xoy面上旳投影为圆
x2
y2
3 4,
z 0
z
1
1/2
o
1
32
x
1y
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⑵因为曲线在平面 z 1 上， 2
面上的投影曲线方程.
作业：
一般方程、参数方程． P37 3；5；7。
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请在三维空间中指出下列曲面分属的类型
1. x 1
平面
2. x2 y2 z 2 x 3. y2 z2 y z
球面
球心( 1 ,0,0), 半径为 1 ;
2
2
柱面
4. z 1 x2 y2
z a2 x2 y2
例2

25--第四节--空间曲线及其方程

第四节空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程曲面(), , 0F x y z =和(), , 0G x y z =的交线C 可表示为它称为空间曲线C 的一般方程.例1 方程组221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示何曲线?解 221x y +=表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xy 面上的圆221x y +=. 236x z +=表示一个母线平行于y 的柱面, 其准线是xz 面上的直线236x z +=, 因而236x z +=在空间表示一个平面. 221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩是上述圆柱面和平面的交线.例2方程组22222z a a x y ⎧=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩表示何曲线? 解二空间曲线的参数方程叫做空间曲线的参数方程，t 称为参数.例3 若空间一点M 在圆柱面222x y a +=上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿着平行于z 轴的正方向上升 (ω和v 均为常数) , 则点M 的轨迹叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解设t 为时间. 当0t =时, 设M 位于x 轴上的(), 0, 0A a 处. 经过时间t , M 由A 运动到(), , M x y z . 记M 在xy 面上的投影为(), , 0M x y ', 则于是, 螺旋线的参数方程为注若设t ωθ=, 则该方程变为这里, vb ω=为常数, 而θ是参数. 这说明曲线的参数方程不唯一, 参数的选择也不唯一.曲面的参数方程 (删)三空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C 为准线且母线垂直于平面α的柱面S 称为曲线C 关于平面α的投影柱面. S 和α的交线C '称为C 在α上的投影曲线或投影.设有空间曲线.由此消去z , 得C 关于xy 面的投影柱面(): , 0S P x y =.于是, C 在xy 面上的投影曲线为同理, 若由()(), , 0,: , , 0F x y z C G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去x , 则得C 关于yz 面的投影柱面和C 在yz 面上的投影若由()(), , 0,: , , 0F x y z CG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去y , 则得C 关于xz 面的投影柱面和C 在xz 面上的投影例4 求曲线()()2222221,: 111x y z C x y z ⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩在xy 面上的投影曲线. 解用第一式减去第二式, 得1y z +=.于是, 1z y =-. 代入2221x y z ++=, 得 22220+-=x y y ,从而所求的投影方程为注1 ()()2222221,: 111⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩x y z C x y z 是球面2221++=x y z 和()()222111+-+-=x y z 的交线, 因而C 是一个圆.注2 1+=y z 是曲线C 向yz 面的投影柱面 (平面) , 它是C 所在的平面.注3 22220+-=x y y 是C 向xy 面的投影柱面, 即221211124⎛⎫- ⎪⎝⎭+=y x (椭圆柱面) . 于是, 投影曲线为22121,11240⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎨⎪⎪=⎩y x z (椭圆) . 例5设一个立体由上半球面z =和锥面z = 求它在xy 面上的投影.解 z =和z =: z C z ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去z , 得221x y +=, 它是从C 向xy 面所作的投影柱面 (圆柱面) .C 在xy 面上的投影曲线为221,: 0.⎧+='⎨=⎩x y C z (xy 面上的单位圆). 所求立体在xy 面上的投影即该圆的内部.作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8提示2 (2) 作图后易理解.3 由已知的方程组分别消去x 和y 即可.4 由已知方程消去z .7 参照例2. 0z ≤≤表上半球面z =0z =所围的半球体的内部, 22x y ax +≤表圆柱体220x y ax +-=的内部.。

空间曲线及其方程

2 2
思考题解答
2 y 2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
消去z 得投影柱面
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 在 xoy面上的投影为 . z 0
练习题
一、填空题： 1 、曲面 x 2 9 y 2 10z 与yoz 平面的交线是_____； 2 、通过曲线2 x 2 y 2 z 2 16 , x 2 z 2 y 2 0 ，且 y 轴的柱面方程是____________；母线平行于 2 2 3 、曲线 x z 3 yz 2 x 3 z 3 0, y z 1 0 在 xoz 平面上的投影方程是_______________； y 5x 1 4 、方程组在平面解析几何中表示______； y 2x 3 x2 y2 1 5 、方程组 4 在平面解析几何中表示_______ 9 y 3 ______，在空间解析几何中表示_______________ ；
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
x 2 5 y 2 4 xy x 0 z 得投影 , （1）消去 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 （2）消去y 得投影 , y 0 y z 2y z 0 . （3）消去x 得投影 x 0
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
例5
求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
2 2 z x y 6 、旋转抛物面 (0 z 4 ) 在 xoy 面的投影为__________，在 yoz 面的投影为____________，在zox 面上的投影为__________.