狂刷36 空间角与距离-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (解析版)

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狂刷37 立体几何的综合-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (解析版)

1 专题八立体几何
狂刷37 立体几何的综合
1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β
B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n
C ．若α∩β=m ，n ∥α，n ∥β，则m ∥n
D ．若α⊥β，且α∩β=m ，点A ∈α，直线AB ⊥m ，则AB ⊥β
【答案】
C
故选C ．
【名师点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键．对每一个选项逐一判断得解.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为。

狂刷37 空间角与距离-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

1．如图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答异面直线所成角的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.由题意，在正方体中把异面直线AC 与1A B 所成的角转化成直线AC 与1CD 所成的角，即可求解.2．在正三棱锥P ABC 中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，则点P 到平面ABC 的距离为 A ．3B ．2C ．33D ．23【答案】C【名师点睛】本题以正三棱锥为载体，考查点面距离，解题的关键根据等体积求解，即A PBC P ABC V V --=．要求点P 到平面ABC 的距离，可根据等体积求解，即V A -PBC =V P -ABC ，根据正三棱锥P -ABC 中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得． 3．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =π2，AB =AC =2AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为A ．15B ．－15C ．55D ．－55【答案】A【解析】将三棱柱补为长方体1111ABDC A B DC -，异面直线1AC 与1A B 所成的角即为1AC D ∠，设11AA =，则112,5,22AC CD AC DC AD =====.由题意知15581cos 5255AC D +-∠==⨯⨯.故选A ．学科&网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的问题，难度一般，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B DC -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，利用余弦定理即可得解.学科*网求异面直线所成角的步骤:（1）平移，将两条异面直线平移成相交直线．（2）定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．（3）求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．（4）给出结论．4．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,22AB CC ==，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 A ．1B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】如图，连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则在三角形1CC A 中，易证1OE C A ∥，故选A.5．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面11ACC A 所成角的大小为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【答案】A【名师点睛】本题考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角的关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．在正三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点E ，连接BE ，1C E ，证明BE ⊥平面11ACC A ，则1BC E ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，解直角三角形1BC E 即可． 6．正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角是A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2【答案】B【解析】取BD 中点O ，连接,EO FO ，设正四面体的棱长为a ，则,OF CD OE AB ∥∥，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连接,BG AG ，则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BGAG G CD =∴⊥平面ABG ，AB ⊂平面ABG ，CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，π4EFO ∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为π4. 故选B .学科!网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题，取BD 中点O ，连接,EO FO ，则,OF CD OE AB ∥∥，且2aOF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.7．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】C【名师点睛】本题考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中涉及平面图形的折叠和体积最大值的判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中判断出折叠中当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥的体积最大，从而得到DE ⊥平面DAC 是解题的关键.8．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则BC 1与DB 1的距离为A ．6B ．63C ．66D ．26【答案】C【名师点睛】本题考查线线距离，解题的关键是将1BC 与1DB 的距离转化为1C 到平面1DB E 的距离，从而利用等体积求解，连接1BD ，11BD DB O ，取11C D 的中点E ，连接DE ，1EB ，则OE ∥1BC ，可得1BC ∥平面1DB E ，从而1BC 与1DB 的距离为1BC 与平面1DB E 的距离，即1C 到平面1DB E 的距离，利用等体积可求．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．9．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，H 为EF 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误．．的是A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体A OEF -的外接球表面积为6πD ．异面直线OH 和AE 所成角为60︒ 【答案】D10．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，13AA AB =．记异面直线1AB 与BD 所成的角为θ，则cos θ=________.【答案】24【名师点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由BD ∥B 1D 1，得∠AB 1D 1是异面直线AB 1与BD 所成的角（或所成的角的补角），由此利用余弦定理能求出cos θ．学科@网11．在三棱锥A BCD -中，Rt ABC △与Rt ADC △共斜边AC ，且AC 与平面BCD 所成角的正弦值为155，2AB AD ==，2BD =，则A 到平面BCD 的距离为________. 【答案】3或455【解析】由2AB AD ==知Rt ABC △与Rt ADC △全等，所以BCD △是等腰三角形，且A 在底面BCD 的射影在中线CE 上，如图，【名师点睛】由题意易知，BCD △是等腰三角形，且A 在底面BCD 的射影在中线CE 上，结合AC 与平面BCD 所成角的正弦值为155，可知515AC AO =，从而可以解得A 到平面BCD 的距离. 求点到平面的距离，第一种方法是根据定义作出垂线段，然后只要通过解三角形求出这个线段的长即可，要注意这里有三个步骤：一作、二证、三算；学科*网第二种方法是利用体积法计算，所求距离作为一个三棱锥的高，通过两种不同的方法求三棱锥的体积，然后求得这个高；第三种方法是利用空间向量法，点到平面的距离就是此点到平面的任一斜线段在平面的法向量方向上的投影的绝对值.12．长方体1111ABCD A BC D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11AB 与1AC 所成角的余弦值为A ．1414 B ．8314 C ．1313D ．13【答案】A【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的问题，难度一般，由1111C D A B ∥可得异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．求异面直线所成角的步骤:（1）平移，将两条异面直线平移成相交直线．（2）定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．（3）求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．（4）给出结论．13．三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若12,1AB AA ==，则点A 到平面1A BC 的距离为 A ．34 B ．32C ．334D ．3【答案】B【解析】由题意可得三棱锥1A ABC -的体积：1122sin60132V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，由几何关系可得：11145A B AC ==+=，【名师点睛】本题主要考查点面距离的计算，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 由题意利用体积相等求解点面距离即可.14．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．82 B ．63 C ．8D ．83【答案】A【解析】如图所示，连接11,AC BC ，由题意可得1AC B ∠为1AC 与平面11BB C C 所成的角，即130AC B ∠=，则123tan30ABBC ==，在1BCC △中，由勾股定理可得：221112422CC C B BC =-=-=，所以长方体的体积：222282V =⨯⨯=.故选A.学科&网【名师点睛】本题主要考查长方体的几何特征，线面角的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先找到线面角，然后结合几何关系求得长方体的高，最后利用体积公式求解长方体的体积即可.15．如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于A 、B ）且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【名师点睛】二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面.16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为 A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2【答案】C【解析】设O 是正方形对角线AC 、BD 的交点，将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，可得当BO ⊥平面ADC 时，点B 到平面ADC 的距离等于BO ，当BO 与平面ADC 不垂直时，设点B 到平面ADC 的距离为d ，则d BO <，由此可得当三棱锥B ACD -的体积最大时，BO ⊥平面ADC .设B '是B 折叠前的位置，连接B B '，因为AD B C '∥，所以BCB ∠'就是直线AD 与BC 所成的角，设正方形的边长为a ，因为BO ⊥平面A D C ，OB '⊂平面A D C ，所以BO OB ⊥'，因为1222B O BO AC a =='=，所以BB BC B C a =='='，即B BC'△是等边三角形，所以π3BCB ∠'=，所以直线AD 与BC 所成的角为π3.故选C.【名师点睛】本题考查了线面位置关系及异面直线所成的角等知识点，综合性较强，属于中档题.首先判断当平面ABC 与平面ACD 垂直时（或者说BO 垂直于平面ACD ），可以使以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大，再在此前提下，确定异面直线AD 与BC 所成的角为BCB ∠'，在BBC'△中求此角的大小即可.学科*网17．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △满足22AB =，90ACB ∠=，PA 为球O 的直径，且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为 A ．2 B ．3 C ．22D ．23【答案】C 【解析】如图，∵三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，P A 为球O 的直径且P A =4，∴球心O 是P A 的中点，球半径R =OC =12P A ＝2，过O 作OD ⊥平面ABC ，垂足是D ，∵△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°， ∴D 是AB 中点，且AD =BD =CD =2，∴OD =22422OC CD -=-=，∴点P 到底面ABC 的距离为d =2OD =22，故选C.【名师点睛】本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O 到平面ABC 的距离，找到ABC △的外接圆的圆心D 即可有 OD ⊥平面ABC ，求出OD 即可求出点P 到底面ABC 的距离.18．如图，将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ，并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45︒，PQ 为正方形BCEF 内一条直线，则直线PQ 与BD 所成角的取值范围为_______.【答案】[]30,90︒︒【解析】不妨设正方形的边长为1，作DG CE ⊥，垂足为G ，由,BC CE BC CD ⊥⊥，得BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥，又BC CE C =，得DG ⊥平面BCEF ，故答案为[]30,90︒︒.19．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为54的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．【答案】43【解析】如图所示，连接AC 与BD 交于O '，显然球心O 在正四棱锥P ABCD -的高PO '上，【名师点睛】本题主要考查了等积法求解点到平面的距离，其中正确把握空间几何体的结构特征，转化为等体积法求解是解答的关键，着重考查了转化与化归方法，以及考生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.设点A 到平面PBC 的距离为h ，则由A PBC P ABC V V --=，利用三棱锥的体积公式，列出方程，即可求解.学科.网20．如图所示，1111ABCD A BC D -为正方体，给出以下五个结论：①BD ∥平面11CB D ；②二面角111C B D C --的正切值是2； ③1AC ⊥平面11CB D ；④1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2. 其中，所有正确结论的序号为________．【答案】①②③【名师点睛】本题综合考查了立体几何中线面平行证明，线面垂直证明，线面角的求解，对学生基本功要求较高.由线线平行推出线面平行可知①对，由二面角的面积射影公式可求得二面角111C B D C --，所以②对.由三垂线定理可知③对.由线面角为1C AC ∠可知④错.21．（2017浙江）如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为αβγ,,，则A ． γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【答案】B22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55 D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.学科@网23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.学科*网25．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.26．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分AD BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．别是,7【答案】8即为异面直线AN，CM 【解析】如下图，连接DN，取DN中点E，连接EM，EC，则可知EMC所成角（或其补角），学科&网21。

狂刷38 空间向量及其应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

1．设平面α的一个法向量为()11,2,2=-n ，平面β的一个法向量为()22,4,k =--n ，若αβ∥，则k = A ．2 B ．-4 C ．-2D ．4【答案】D【解析】因为αβ∥，所以1212224k-==--∥，n n ，解之得4k =. 故应选D.【名师点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.2．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是 A ．(－1，1，1)B ．333,,)333---（ C ．(1，－1，1)D ．333,,)333-（【答案】B【名师点睛】在空间向量中，我们常常利用向量来求线线角、线面角和二面角，后两者需要计算平面的法向量，一般地，我们需要设法向量为(),,x y z =n ，通过平面内的两个不共线向量12,n n 构建方程组1200⋅=⎧⎨⋅=⎩n n n n ，其一组解可为法向量n ．先计算出,AB AC ，再设平面ABC 的法向量为(),,x y z =n ，利用,AB AC ⊥⊥n n 垂直即可得n ．学%科网3．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为11,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m 为 A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．8【答案】C【解析】∵l ∥α，∴(2，m ，1)·11,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭=2+12m +2=0，∴m =﹣8．故选C ．【名师点睛】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由l ∥α，可得l 的方向向量与平面α的法向量乘积为0，即可得出m 的值． 4．若平面α与β的法向量分别是()2,4,3=-a ，()1,2,2=-b ，则平面α与β的位置关系是 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定【答案】B【名师点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题.根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直. 5．已知点A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为 A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵C 为线段AB 上一点，且13ACAB =，∴13AC AB =，∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2）=107133⎛⎫- ⎪⎝⎭，，．故选C ．【名师点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．由C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 6．已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，点P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为 A ．(1，0，－2) B ．(1，0，2) C ．(－1，0，2)D．(2，0，－1)【答案】 C【名师点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.利用PA ⊥AB ，PA ⊥AC ⇔0PA AB PA AC ⋅=⋅=．即可得出．7．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则点P (－2，1，4)到α的距离为 A ．10 B ．3 C ．83D ．103【答案】D【解析】PA ＝(1，2，－4)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2，1)，所以点P 到平面α的距离为PA ⋅n n＝2441033---=. 故答案为D.【名师点睛】本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.先求出PA ＝(1，2，－4)，再利用点面距离公式求P (－2，1，4)到平面α的距离. 学&科网 8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是A ．32 B ．12C ．14D ．0【答案】C【解析】以AC 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()10,1,2A -，()3,0,0B ，()13,0,2B ，()0,1,0C ，所以向量()13,1,2A B =-，()13,1,2B C =--，所以11cos ,A B B C 1111A B B C A B B C⋅=⨯22222=⨯14=.本题选择C 选项.学科*网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 9．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是 A ．655 B ．455 C ．255D ．55【答案】B【名师点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 建立空间直角坐标系，先求,BA BE 夹角的余弦，再求点A 到直线BE 的距离.10．已知四棱锥P ABCD -中，()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为 A ．2613B ．2626C ．1D ．2【答案】D【名师点睛】本题考查平面的法向量以及利用向量投影求点到平面距离，考查基本分析求解能力，属中档题.先求平面ABCD 的一个法向量，再根据向量投影得结果.11．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为_____. 【答案】23【解析】建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D (2，0，0)，A 1(0，0，2)，E (0，2，1)，则1A D =(2，0，-2)，1AE =(0，2，-1).设平面A 1ED 的法向量为n =(x ，y ，z )，则110,0.A D A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n则220,,20,2.x z x z y z z y -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩即令y=1，得n =(2，1，2). 易知平面ABCD 的法向量为m =(0，0，1)，则cos<n ，m >=·23=n m n m . 故答案为23. 【名师点睛】（1）本题主要考查二面角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用法向量求平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值. 学科*网（2）二面角的求法：方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）. 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ，再代入公式cos α⋅=±m n m n（其中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）. 12．如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且π2ASB BSC CSA ∠=∠=∠=，M N 、分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为______，直线SM 与平面SAC 所成角大小为_________.【答案】105π4因为()()2101,1,0,0,2,1,cos ,525SM BN SM BN -==-==-⨯，所以异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为105，易知平面SAC 的一个法向量为()0,2,0,SB =则由22cos ,222SM SB ==⋅得π,4SM SB =，即直线SM 与平面SAC 所成角的大小为π4. 【名师点睛】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量求线线角与线面角.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.13．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是A ．155 B ．22C ．105D ．0【答案】D【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则可得()()()()11,0,2,0,0,1,0,2,1,1,1,0A E G F ， ()()11,0,1,1,1,1A E GF ∴=--=--，【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，可得1,A E GF 的坐标，进而可得1cos<,A E GF >，从而可得结论.学科*网求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 14．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为 A ．105-B ．105 C ．155-D ．155【答案】B【解析】以D 为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴()220BD =--，，，()1002BB =，，，()201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为(),,x y z =n ，【名师点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．以D 为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．15．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BB 1，A 1C 1的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为A ．12B ．32C ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点为O ，以,,OB OC OE 的方向为,,x y z 轴的正方向建立坐标系，则()30,,0,,0,,0,,0,0,0,2222a a a A D a C E a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则3,,,0,,2222a a a AD a CE a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设AD 与CE 所成的角为θ，则222223012222cos 534444a a a a aa a a a a θ⨯-⨯+⨯==++⋅+. 故选C.学科@网【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题，设AC 的中点O ，以,,OB OC OE 的方向为,,x y z轴的正方向建立坐标系，分别求出3,,,0,,2222a a a AD a CE a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 16．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥， AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为A ．23 B ．66 C ．33D ．63【答案】B【解析】以B 为坐标原点，分别以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，【名师点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角.17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=3，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为A ．322B ．102C ．2D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用基本不等式法求三角形面积最值的.学科&网18．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 是线段11AC 上的动点，则下列结论不正确的是A ．三棱锥M ABD -的正视图面积是定值B ．异面直线CM ，AB 所成的角可为π3C ．异面直线CM ，BD 所成的角为π2D ．直线BM 与平面ABCD 所成的角可为π3【答案】D对于D ，结合B 中的坐标系，可得平面ABCD 的法向量为()0,0,1=n ，()1,,1BM a a =-，所以()221cos<,>11BM a a =-++n ，令()2213cos<,>211BM a a ==-++n ，方程无解，即直线BM 与平面ABCD 所成的角可为π3是错误的.学科%网故选D.【名师点睛】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，线面角，使用向量法可快速计算空间角的问题，异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补，主要通过异面直线角的范围来确定的，直线与平面所成的角满足sin cos<,>θ=m n ，属于常规题. 判断正视图的底与高是否发生变化来判断A ，利用几何法以及建立空间坐标系将线线角以及线面角的关系转化为向量的关系来判断B ，C 和D ． 19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC =2a ，BB 1=3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE=_____.【答案】a 或2a【名师点睛】本题考查根据向量利用直线与平面的垂直关系求参数，属中档题.建立坐标系，则B 1(0，0，3a )，D 22,,322a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C (0，2a ，0). 设点E 的坐标为(2a ，0，z )，则易知1·CE B D =0.故要使CE ⊥平面B 1DE ，则需1CE B E ⊥，即1·CE B E =0，即可求得结果.20．已知三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 2AB AC ==，1PA =，则球心O 到平面PBC 的距离为_________. 【答案】66【解析】由题意可知，三棱锥位于如图所示的长方体中，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,1，其外接球球心为AD 的中点O ，以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，【名师点睛】首先将结合体补形为长方体，然后建立空间直角坐标系，利用点面距离公式整理计算即可求得最终结果.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.学科#网21．（2018新课标全国II 理科）在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【名师点睛】先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出直线的方向向量或平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。

狂刷17 三角函数的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

4．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】先根据图象求周期得，再根据点坐标求，最后根据图象确定周期.
已知函数的图象求解析式：
(1) .
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .
5．已知函数的零点是和，则
A． B．
1．“ ”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的最小正周期为 , ，
角的终边经过点 ,∴ ,∵ , ，
同时 ≥ ﹣ = ，则 ≥ ×2，则ω≤ .
当k=0时，0＜ω≤ ，
当k=1时，不等式无解，
故ω的最大值为，
故答案为C．学科#网
【名师点睛】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．根据函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，，所以 ,
因此 .
故选C.学科%网
【名师点睛】本题考查两角和正切公式以及根与系数的关系，考查基本求解能力.先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果.
6．△ABC中，分别是内角A,B,C所对的边,若成等比数列，且，则
A． B．
C． D．
【答案】B
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= ；
（3）单调性：根据y=sint和t= 的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；

高二数学上册(人教A版2019选修一) 专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题(解析版)

专题01通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一直线与平面所成的角1．（2020•海南）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）解：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，1PD AD == ，Q 为l 上的点，QB =，PB ∴=，1QP =，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，作//PQ AD ，则PQ 为平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，因为2QB =，QAB ∆是等腰直角三角形，所以(1Q ，0，1)，则(1DQ = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b a c =⎧⎨+=⎩，取1c =，可得(1n =- ，0，1)，cos n ∴< ，116||||32n PB PB n PB ⋅>==⋅ ，PB ∴与平面QCD 632．（2020•山东）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解答】解：（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，设(Q m ，0，1)，(DQ m = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b am c =⎧⎨+=⎩，取1a =-，可得(1n =- ，0，)m ，cos n ∴<，||||n PB PB n PB ⋅>==⋅ ，PB ∴与平面QCD333==，当且仅当1m =取等号，PB ∴与平面QCD所成角的正弦值的最大值为3．3．（2020•天津）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【解答】解：以C 为原点，CA ，CB ，1CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0C ，0，3)，1(2A ，0，3)，1(0B ，2，3)，(2D ，0，1)，(0E ，0，2)，(1M ，1，3)，（Ⅰ）证明：依题意，1(1C M = ，1，0)，1(2B D = ，2-，2)-，∴112200C M B D ⋅=-+= ，11C M B D ∴⊥；（Ⅱ）依题意，(2CA = ，0，0)是平面1BB E 的一个法向量，1(0EB = ，2，1)，(2ED = ，0，1)-，设(n x = ，y ，)z 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，则(1n = ，1-，2)，cos CA ∴< ，66||||CA n n CA n ⋅>==⋅ ，sin CA ∴< ，130166n >=-= ，∴二面角1B B E D --的正弦值6；（Ⅲ）依题意，(2AB =- ，2，0)，由（Ⅱ）知，(1n = ，1-，2)为平面1DB E 的一个法向量，cos AB ∴<，||||AB n n AB n ⋅>==⋅ ∴直线AB 与平面1DB E4．（2021•浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（Ⅰ）证明：AB PM ⊥；（Ⅱ）求直线AN 与平面PDM所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，由已知可得，1CD AB ==，122CM BC ==，60DCM ∠=︒，∴由余弦定理可得，2222cos60DM CD CM CD CM =+-⨯⨯︒11421232=+-⨯⨯⨯=，则222134CD DM CM +=+==，即CD DM ⊥，又PD DC ⊥，PD DM D = ，CD ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，CD PM ∴⊥，//CD AB ，AB PM ∴⊥；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD ⊥平面PDM ，又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PDM ，且平面ABCD ⋂平面PDM DM =，PM MD ⊥ ，且PM ⊂平面PDM ，PM ∴⊥平面ABCD ，连接AM ，则PM MA ⊥，在ABM ∆中，1AB =，2BM =，120ABM ∠=︒，可得2114212(72AM =+-⨯⨯⨯-=，又PA =Rt PMA ∆中，求得PM ==，取AD 中点E ，连接ME ，则//ME CD ，可得ME 、MD 、MP 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以MD 、ME 、MP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(A 2，0)，(0P ，0，，1,0)C -，又N 为PC的中点，12N ∴-，52AN =- ，平面PDM 的一个法向量为(0,1,0)n = ，设直线AN 与平面PDM 所成角为θ，则5||152sin |cos ,|6||||AN n AN n AN n θ⋅=<>==⋅ ．故直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为156．5．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解答】()I 证明：1A A ⊥ 平面ABC ，1B B ⊥平面ABC ，11//AA BB ∴，14AA = ，12BB =，2AB =，221111()()22A B AB AA BB ∴=+-=，又221122AB AB BB =+=，2221111AA AB A B ∴=+，111AB A B ∴⊥，同理可得：111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，1AB ∴⊥平面111A B C ．()II 解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交11A C 于D ，AB BC = ，OB OC ∴⊥，2AB BC == ，120BAC ∠=︒，1OB ∴=，3OA OC ==以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0A ，3-0)，(1B ，0，0)，1(1B ，0，2)，1(0C 31)，∴(1AB = 30)，1(0BB = ，0，2)，1(0AC = ，23，1)，设平面1ABB 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则100n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴3020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =可得(3n =- 1，0)，1112339cos ,||||213n AC n AC n AC ∴<>==⨯设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则1sin |cos ,|13n AC θ=<>=．∴直线1AC 与平面1ABB ．题型二二面角的平面角及求法6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =．（Ⅰ）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：QCD ∆中，2CD AD ==，QD =，3QC =，所以222CD QD QC +=，所以CD QD ⊥；又CD AD ⊥，AD QD D = ，AD ⊂平面QAD ，QD ⊂平面QAD ，所以CD ⊥平面QAD ；又CD ⊂平面ABCD ，所以平面QAD ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）解：取AD 的中点O ，在平面ABCD 内作Ox AD ⊥，以OD 为y 轴，OQ 为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示：则(0O ，0，0)，(2B ，1-，0)，(0D ，1，0)，(0Q ，0，2)，因为Ox ⊥平面ADQ ，所以平面ADQ 的一个法向量为(1α= ，0，0)，设平面BDQ 的一个法向量为(x β= ，y ，)z ，由(2BD =- ，2，0)，(0DQ = ，1-，2)，得00BD DQ ββ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，得2y =，2x =，所以(2β= ，2，1)；所以cos α< ，23||||1441αββαβ⋅>===⋅⨯++，所以二面角B QD A --的平面角的余弦值为23．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．【解答】解：（1）不妨设圆O 的半径为1，1OA OB OC ===，2AE AD ==，AB BC AC ===，62DO PO ===，PA PB PC ===，在PAC ∆中，222PA PC AC +=，故PA PC ⊥，同理可得PA PB ⊥，又PB PC P = ，故PA ⊥平面PBC ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有31312(,0),(,,0),(0,0,)22222B C P ，(0E ，1，0)，故11(,0),(,,)22222BC CE CP ===- ，设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z = ，则由00n CE n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10212022x y x y z +=-+=，取1x =，则y =，z =，所以平面PCE的法向量为(1,n = ，由（1）可知PA ⊥平面PBC ，不妨取平面PBC 的法向量为22AP = ，故||cos ||||PA n PA n θ⋅== ，即二面角B PC E --．8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．【解答】证明：（1）长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11ABA B ，11B C BE ∴⊥，1BE EC ⊥ ，1111B C EC C = ，BE ∴⊥平面11EB C ．解：（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设11AE A E ==，则1BE EB =，BE ⊥ 平面11EB C ，1BE EB ∴⊥，22221124BE EB BE BB ∴+===，22BE ∴=，222212AE AB AB BE +=+== ，1AB ∴=，则(1E ，1，1)，(1A ，1，0)，1(0B ，1，2)，1(0C ，0，2)，(0C ，0，0)，1BC EB ⊥ ，1EB ∴⊥面EBC ，故取平面EBC 的法向量为1(1m EB ==- ，0，1)，设平面1ECC 的法向量(n x = ，y ，)z ，由100n CCn CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00zx y z =⎧⎨++=⎩，取1x =，得(1n = ，1-，0)，1cos ,||||2m n m n m n ⋅∴<>==-⋅，∴二面角1B EC C --的正弦值为32．9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点．（1）求证：1//D F 平面11A EC ；（2）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值；（3）求二面角11A A C E --的正弦值．【解答】（1）证明：以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1(0A ，0，2)，(2E ，1，0)，1(2C ，2，2)，故111(2,2,0),(0,1,2)A C EC == ，设平面11A EC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100n A C n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则2x =，2y =-，故(2,2,1)n =- ，又(1F ，2，0)，1(0D ，2，2)，所以1(1,1,2)FD =- ，则10n FD ⋅= ，又1D F ⊂/平面1A EC ，故1//D F 平面11A EC ；（2）解：由（1）可知，1(2,2,2)AC = ，则111||3|cos ,|9||||n AC n AC n AC ⋅<>== ，故直线1AC 与平面11A EC所成角的正弦值为9；（3）解：由（1）可知，1(0,0,2)AA = ，设平面11AA C 的法向量为(,,)m a b c = ，则11100m AA m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00c a b =⎧⎨+=⎩，令1a =，则1b =-，故(1,1,0)m =- ，所以|||cos ,|||||3m n m n m n ⋅<>=== ，故二面角11A A C E --13=．10．（2021•北京）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）求证：点F 为11B C 中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为3，求111A M AB ．【解答】（1）证明：连结DE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CD C D ，11C D ⊂平面1111A B C D ，CD ⊂/平面1111A B C D ，则//CD 平面1111A B C D ，因为平面1111A B C D ⋂平面CDEF EF =，所以//CD EF ，则11//EF C D ，故1111////A B EF C D ，又因为1111//A D B C ，所以四边形11A B FE 为平行四边形，四边形11EFC D 为平行四边形，所以11A E B F =，11ED FC =，而点E 为11A D 的中点，所以11A E ED =，故11B F FC =，则点F 为11B C 的中点；（2）解：以点1B 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，设点(M m ，0，0)，且0m <，则(0C ，2，2)-，(2E -，1，0)，(0F ，1，0)，故(2,0,0),(0,1,2),(,1,0)FE FC FM m =-=-=- ，设平面CMF 的法向量为(,,1)m a b = ，则00m FM m FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020ma b b -=⎧⎨-=⎩，所以2a m =，2b =，故2(,2,1)m m = ，设平面CDEF 的法向量为(,,1)n x y = ，则00n FE n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y -=⎧⎨-=⎩，所以0x =，2y =，故(0,2,1)n = ，因为二面角M CF E --的余弦值为53，则|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===，解得1m=±，又0m<，所以1m=-，故11112A MA B=．11．（2021•乙卷）如图，四棱锥P ABCD-的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PD DC==，M为BC中点，且PB AM⊥．（1）求BC；（2）求二面角A PM B--的正弦值．【解答】解：（1）连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM PD⊥，又AM PB⊥，PB PD P=，PB，PD⊂平面PBD，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM BD ⊥，所以90ABD ADB ∠+∠=︒，又90ABD MAB ∠+∠=︒，则有ADB MAB ∠=∠，所以Rt DAB Rt ABM ∆∆∽，则AD BA AB BM =，所以2112BC =，解得BC =（2）因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A B M ，(0P ，0，1)，所以(AP =，22(((1,1)22AM BM BP =-=-=- ，设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z = ，则有00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0202z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y =，2z =，故2)n = ，设平面BMP 的法向量为(,,)m p q r = ，则有00m BM m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020p q r ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令1q =，则1r =，故(0,1,1)m = ，所以|||cos ,|||||14n m n m n m ⋅<>=== ，设二面角A PM B --的平面角为α，则sin α====，所以二面角A PM B --的正弦值为14．12．（2021•甲卷）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接AF ，E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C -的棱AC 和1CC 的中点，且2AB BC ==，1CF ∴=，5BF =11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，BF AB∴⊥3AF∴=，AC===，222AC AB BC∴=+，即BA BC⊥，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，1，0)，(0F，2，1)，设1B D m=，则(D m，0，2)，∴(0BF=，2，1)，(1DE m=-，1，2)-，∴0BF DE⋅=，即BF DE⊥．（2）解：AB⊥平面11BB C C，∴平面11BB C C的一个法向量为(1p= ，0，0)，由（1）知，(1DE m=-，1，2)-，(1EF=-，1，1)，设平面DEF的法向量为(n x=，y，)z，则n DEn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(1)20m x y zx y z-+-=⎧⎨-++=⎩，令3x=，则1y m=+，2z m=-，∴(3n=，1m+，2)m-，cos p∴<，||||p nnp n⋅>===⋅∴当12m=时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当112B D=时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BAD∠=︒，E，M，N分别是BC，1BB，1A D的中点．（1）证明：//MN平面1C DE；（2）求二面角1A MA N--的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N 作NH AD ⊥，则1//NH AA ，且112NH AA =，又1//MB AA ，112MB AA =，∴四边形NMBH 为平行四边形，则//NM BH ，由1//NH AA ，N 为1A D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，//BE DH ∴，BE DH =，则四边形BEDH 为平行四边形，则//BH DE ，//NM DE ∴，NM ⊂/ 平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ；（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则3(2N ，12-，2)，(3M ，1，2)，1(3A ，1-，4)，33(,0)22NM = ，131(,2)22NA =- ，设平面1A MN 的一个法向量为(,,)m x y z = ，由133022312022m NM y m NA x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，取3x =(3,1,1)m =-- ，又平面1MAA 的一个法向量为(1,0,0)n = ，315cos ,||||55m n m n m n ⋅∴<>===⋅ ．∴二面角1A MA N --2215101,1()55cos m n -<>=-= ．14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．【解答】解：（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥；（2）方法一：取OD 的中点F ，因为OCD ∆为正三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF 与BC 交于点M ，则OM OD ⊥，所以OM ，OD ，OA 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OM ，OD ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(0B ，1-，0)，1(,0)22C ，(0D ，1，0)，设(0A ，0，)t ，则12(0,,)33t E ，因为OA ⊥平面BCD ，故平面BCD 的一个法向量为(0,0,)OA t = ，设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z = ，又342(,0),(0,,)2233t BC BE == ，所以由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得3302242033x y t y z +=⎪⎨⎪+=⎪⎩，令x =1y =-，2z t =，故21,)n t=- ，因为二面角E BC D --的大小为45︒，所以||2|cos ,|2||||n OA n OA n OA ⋅<>=== ，解得1t =，所以1OA =，又111224OCD S ∆=⨯⨯⨯=，所以2BCD S ∆=，故11133A BCD BCD V S OA -∆=⋅⋅=⨯=．方法二：过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG ，由题意可知，//EF AO ，又AO ⊥平面BCD所以EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又BC FG ⊥，FG EF F= 所以BC ⊥平面EFG ，又EF ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1CD DO OB OC ====，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23DE DF EF AD OD AO ===，则312,,233AO EF OF DF ===，所以BF GF BD CD=，则112323GF +==，所以23EF GF ==，则312AO EF ==，所以11111332A BCD BCD V S AO -∆=⋅=⨯⨯⨯=．15．（2020•江苏）在三棱锥A BCD -中，已知CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．【解答】解：（1）如图，连接OC ，CB CD = ，O 为BD 的中点，CO BD ∴⊥．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2BD = ，1OB OD ∴==，则2OC ===．(1B ∴，0，0)，(0A ，0，2)，(0C ，2，0)，(1D -，0，0)，E 是AC 的中点，(0E ∴，1，1)，∴(1,0,2)AB =- ，(1,1,1)DE = ．设直线AB 与DE 所成角为α，则||15cos 15||||AB DE AB DE α⋅==⋅ ，即直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515；（2）14BF BC = ，∴14BF BC = ，设(F x ，y ，)z ，则(1x -，y ，1)(4z =-，12，0)，3(4F ∴，12，0)．∴(1,1,1)DE = ，71(,,0)42DF = ，(1,2,0)DC = ．设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取12x =-，得(2,7,5)m =-- ；设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，由22222020n DE x y z n DC x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22x =-，得(2,1,1)n =- ．|||cos|||||m nm nθ⋅∴===⋅sin13θ∴===．16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DE ED=，12BF FB=．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB=，1AD=，13AA=，求二面角1A EF A--的正弦值．【解答】（1）证明：在1AA上取点M，使得12A M AM=，连接EM，1B M，1EC，1FC，在长方体1111ABCD A B C D-中，有111////DD AA BB，且111DD AA BB==．又12DE ED=，12A M AM=，12BF FB=，1DE AM FB∴==．∴四边形1B FAM和四边形EDAM都是平行四边形．1//AF MB∴，且1AF MB=，//AD ME，且AD ME=．又在长方体1111ABCD A B C D-中，有11//AD B C，且11AD B C=，11//B C ME∴且11B C ME=，则四边形11B C EM为平行四边形，11//EC MB∴，且11EC MB=，又1//AF MB，且1AF MB=，1//AF EC∴，且1AF EC=，则四边形1AFC E为平行四边形，∴点1C在平面AEF内；（2）解：在长方体1111ABCD A B C D-中，以1C为坐标原点，分别以11C D，11C B，1C C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．2AB = ，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，(2A ∴，1，3)，(2E ，0，2)，(0F ，1，1)，1(2A ，1，0)，则(2,1,1)EF =-- ，(0,1,1)AE =-- ，1(0,1,2)A E =- ．设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ．则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取11x =，得1(1,1,1)n =- ；设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z = ．则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取21x =，得2(1,4,2)n =．121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ 设二面角1A EF A --为θ，则42sin 7θ==．∴二面角1A EF A --的正弦值为7．17．（2019•天津）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)．设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ．则(1,0,0)AB = 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h = ，可得0BF AB ⋅= ．又直线BF ⊂/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0)BD =- ，(1,0,2)BE =- ，(1,2,2)CE =-- ．设(,,)n x y z = 为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(2,2,1)n = ．4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅∴<>==-⋅ ．∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49；（Ⅲ）解：设(,,)m x y z = 为平面BDF 的法向量，则020m BD x y m BF y hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，可得2(1,1,m h =- ，由题意，22|4|||1|cos ,|||||3432m n h m n m n h -⋅<>===⋅⨯+ ，解得87h =．经检验，符合题意．∴线段CF 的长为87．18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B CG A --的大小．【解答】证明：（1）由已知得//AD BE ，//CG BE ，//AD CG ∴，AD ∴，CG 确定一个平面，A ∴，C ，G ，D 四点共面，由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，AB ∴⊥面BCGE ，AB ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ．解：（2）作EH BC ⊥，垂足为H ，EH ⊂ 平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，EH ∴⊥平面ABC ，由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=︒，1BH ∴=，3EH =，以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H xyz -，则(1A -，1，0)，(1C ，0，0)，(2G ，0)，(1CG = ，0，(2AC = ，1-，0)，设平面ACGD 的法向量(n x = ，y ，)z ，则020CG n x AC n x y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3x =，得(3n = ，6，，又平面BCGE 的法向量为(0m = ，1，0)，cos ,||||2n m n m n m ∴<>== ，∴二面角B CG A --的大小为30︒．19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM MC ⊥，正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，AD ∴⊥平面DCM ，则AD MC ⊥，AD DM D = ，MC ∴⊥平面ADM ，MC ⊂ 平面MBC ，∴平面AMD ⊥平面BMC ．（2）ABC ∆ 的面积为定值，∴要使三棱锥M ABC -体积最大，则三棱锥的高最大，此时M 为圆弧的中点，建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD 的边长为2，(2A ∴，1-，0)，(2B ，1，0)，(0M ，0，1)，则平面MCD 的法向量(1m = ，0，0)，设平面MAB 的法向量为(n x = ，y ，)z 则(0AB = ，2，0)，(2AM =- ，1，1)，由20n AB y == ，20n AM x y z =-++= ，令1x =，则0y =，2z =，即(1n = ，0，2)，则cos m <，||||m n n m n >== ，则面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值sin 5α==．20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BO ，2AB BC == ，O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====，PO AC ∴⊥，23PO =，则222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB A C O = ，PO ∴⊥平面ABC ；（2）建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：(0A ，2-，0)，(0P ，0，23)，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =- ，2，0)，设(2BM BC λλ==- ，2λ，0)，01λ<<则(2AM BM BA λ=-=- ，2λ，0)(2--，2-，0)(22λ=-，22λ+，0)，则平面PAC 的法向量为(1m = ，0，0)，设平面MPA 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则(0PA = ，2-，23)-，则2230n PA y z ⋅=--= ，(22)(22)0n AM x y λλ⋅=-++= 令1z =，则3y =-，(1)31x λλ+=-，即(3(1n λλ+=- ，31)，二面角M PA C --为30︒，cos30||||||2m n m n ⋅∴︒== ，2=，解得13λ=或3λ=（舍)，则平面MPA的法向量n =，1)，(0PC = ，2，-，PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin |cos PC θ=<，||164n >===．21．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥ 平面ABCD ，PA CD ∴⊥，AD CD ⊥ ，PA AD A = ，CD ∴⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，(0E ，1，1)，2(3F ，23，4)3，(0P ，0，2)，(2B ，1-，0)，(0AE = ，1，1)，224(,,)333AF = ，平面AEP 的法向量(1n = ，0，0)，设平面AEF 的法向量(m x = ，y ，)z ，则02240333m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1x =，得(1m = ，1，1)-，设二面角F AE P --的平面角为θ，则||3cos ||||33m n m n θ⋅===⋅ ．∴二面角F AE P --的余弦值为33．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下：点G 在PB 上，且23PG PB =．4(3G ∴，23-，2)3，∴4(3AG = ，23-，2)3，平面AEF 的法向量(1m = ，1，1)-，4220333m AG ⋅=--= ，故直线AG 在平面AEF 内．。

狂刷37 立体几何的综合-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (原卷版)

12．已知四面体ABCD的所有棱长都为，O是该四面体内一点，且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为，x，和y，则 + 的最小值是______.
13．如图，以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：
① 平面；
② 为等边三角形；
A． B．
C． D．
3．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是
A． B．
C． D．
4．在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是
A．四边形一定为菱形
B．四边形在底面内的投影不一定是正方形
C．四边形所在平面不可能垂直于平面
A． B．
C． D．
16．在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积最小为
A． B．
C． D．
17．已知在正方体中，点上一个动点，则的最小值为
A．6B．
C． D．
18．已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为__________．
A．平面 B．平面
C．直线相交于同一点D．
7．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
A．与是异面直线B．平面
C．AE，为异面直线，且 D．平面
8．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
专题八立体几何

狂刷13 辛亥革命-学易试题君之小题狂刷君2019学年高一历史人教版(必修1)(原卷版)

1
1．叶圣陶在一则日记中写道：“课毕后阅读报纸，见专电栏中有云：XX 已为革命党所据，新军亦起而响应……从此而万恶之政府即已推倒，亦未可知也。

”日记反映的重要事件是
A ．黄花岗起义
B ．武昌起义
C ．北伐战争
D ．南昌起义
2．孙中山（1866—1925）在回忆录中说：“28岁那年，我就与20多个华侨，在海外成立起革命团体，决心用流血斗争推翻满清王朝。

”孙中山“28岁那年”的主要行动是
A ．他与革命党人一起发动广东沿海起义
B ．联合其他革命团体，成立中国同盟会
C ．成立兴中会，提出“振兴中华”的口号
D ．领导华侨支持康有为和梁启超的戊戌变法运动
3．孙中山坦率地承认：“倘近数日内，无足够之资金以解燃眉之急……虽经种种筹划，而时光荏苒，交涉
迄无结果……于军队解散、革命政府崩溃之前，作为最后之手段，唯有与袁世凯缔结和议，以防天下大乱。

”这说明孙中山让位给袁世凯的主要目的是
A ．维护既得革命成果
B ．实现和平建国
C ．顺利通过《临时约法》
D ．缓解财政困难
4．《中华民国临时约法》第四十五条规定：国务员于临时大总统提出法律案，公布法律及发布命令时，须副署之。

该规定的进步意义在于
A ．否定了君主专制制度
B ．宣扬了资产阶级自由平等思想
C ．体现了三权分立原则
D ．一定程度上限制总统专制独裁
5．学者陈旭麓认为：“
（毛泽东）富有历史感地把新民主主义的胜利，看成整个民主革命的胜利。

辛亥革。

狂刷13 伴性遗传和人类遗传病-学易试题君之小题狂刷2019年高考生物人教版(原卷版)

1 狂刷13 伴性遗传和人类遗传病
1．下列有关伴性遗传特点的叙述，错误的是
A ．红绿色盲症女性患者的父亲和儿子都是患者
B ．伴X 染色体隐性遗传病中，男患者的父亲和母亲可以都正常
C ．抗维生素
D 佝偻病男性患者的母亲和女儿都是患者
D ．伴X 染色体显性遗传病中，女患者的父亲和母亲可以都正常
2．果蝇的红眼对白眼为显性，受一对等位基因控制，位于X 染色体上。

下列哪组杂交子代中，通过眼色就可直接判断果蝇的性别
A ．白♀×白♂
B ．杂合红♀×红♂
C ．白♀×红♂
D ．杂合红♀×白♂
3．火鸡的性别决定方式是ZW 型(♀ZW 、♂ZZ)。

曾有人发现少数雌火鸡(ZW)的卵细胞未与精子结合，也可以发育成二倍体后代。

遗传学家推测，该现象产生的原因可能是：卵细胞与其同时产生的三个极体之一结合，形成二倍体后代(WW 胚胎不能存活)。

若该推测成立，理论上这种方式产生后代的雌雄比例是
A ．雌∶雄＝1∶1
B ．雌∶雄＝1∶2
C ．雌∶雄＝3∶1
D ．雌∶雄＝4∶1
4．果蝇是XY 型性别决定的生物，正常雄性和雌性果蝇的体细胞中分别含有XY 、XX 性染色体。

但果蝇种群中偶尔也会出现性染色体异常的种类，如表所示是性染色体异常果蝇的性别、育性情况。

下列相关说法不正确的是项目 XXY XXX XYY YY OY XO 性别雌性 — 雄性 — — 雄性育性可育死亡可育死亡死亡不育
A ．表中结果显示果蝇性染色体的组成类型会影响果蝇的性别。

2019届高三上期末数学试卷分类汇编(25)空间向量与空间角、距离Word版含答案

（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）10.在空间四边形中，若，且，分别是的中点，则异面直线所成角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设空间四边形的边长为2，作AD的中点并且连接MF、EM，在△EMF中可由余弦定理能求出异面直线所成的角．【详解】在图1中连接DE，EC，因为=，得为等腰三角形，设空间四边形的边长为2，即==2，在中， ,,得=.在图2取AD的中点M，连接MF、EM，因为E、F分别是AB、CD的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角．在△EMF中可由余弦定理得：cos∠EFM＝，∴∠EFM＝45°,即异面直线所成的角为45°．故选：B图1 图2【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）16.如图，在正四面体中，是棱上靠近点的一个三等分点，则异面直线和所成角的余弦值为________．【答案】【解析】【分析】取棱上靠近点的一个三等分点，由已知得，所以是异面直线和所成的角或其补角，求出CE,CF和FE的长，利用余弦定理计算即可.【详解】如图，取棱上靠近点的一个三等分点，又因为是棱上靠近点的一个三等分点，所以，所以是异面直线和所成的角，不妨设正四面体的棱长为3，则，，，在中，由余弦定理，得，所以，同理，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得.故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）16.如图，已知圆锥的母线长为8，底面圆的圆心为，直径，点是母线的中点.若点是底面圆周上一点，且直线与所成的角为，在线段上且，则与底面所成角的正弦值为__________．【答案】或【解析】【分析】先根据题意，求得为异面直线OC与QB所成的角（或补角），再做辅助线，求得角MCD为直线MC与底面所成的角，再然后求角MCD的正弦值.【详解】由题意知QB=PO=，连接MO，则MO//QB，为异面直线OC与QB 所成的角（或补角），所以或过M做于点D，则底面AOC，所以角MCD为直线MC与底面所成的角，PO=，PA=4MA，所以MD=当时，所以当时，所以综上：与底面所成角的正弦值为或【点睛】本题主要考查了立体几何中线面角的求法，解题的关键是在于能否作出线面角，属于中档题.（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）8.如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可【详解】连接DM，因为几何体是正方体，所以∠D1MD就是直线D1M与平面ABCD所成角，tan∠D1MD=故选：C【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）11.如图，三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y 轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．【详解】取BC中点O，连结OD，OA，∵三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，C（，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，），N（，0，），B（-，0，0），=（-，,），=（，0，），设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，则cosθ=．∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）18.如图，多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得，为的中点，且.(1)若为中点,求证；(2)若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 取中点N，连接MN，证明即可；(2)由（1）得是二面角的平面角，得，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）取中点N，连接MN，则MN为的中位线，, ，又MN=AD,，，，。

2019年高考数学二轮复习试题：专题三第3讲空间中的角和距离(附答案解析)

2019年高考数学二轮复习试题第3讲空间中的角和距离选题明细表巩固提高A一、选择题1. 在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC 与BD所成角的余弦值为( A )(A)(B)-(C) (D)-解析: 由题意,可补形成正方体如图.所以异面直线AC与BD所成角就是ED与BD所成角,而△BDE为等边三角形,所以所成角为,cos=.故选A.2.在正四面体ABCD中,E为AB的中点,则CE与BD所成角的余弦值为( A )(A) (B)(C) (D)解析:如图,取AD中点F,连接EF,CF,因为E为AB的中点,所以EF∥BD,则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角,因为ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,所以CE=CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF== a.在△CEF中,由余弦定理得cos∠CEF===.故选A.3.(2018·杭州二模)已知三棱锥S ABC的底面ABC为正三角形,SA<SB<SC,平面SBC,SCA,SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1,α2,α3则( A )(A)α1<α2(B)α1>α2(C)α2<α3(D)α2>α3解析:由题意,设三角形SBC,SCA的高分别为h 1,h2,三棱锥S-ABC的高为h,易知h1>h2,根据正弦函数的定义得,sin α1=,sin α2=,所以sin α1<sin α2,又α1,α2均为锐角,所以α1<α2,故选A.4. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1中心,则O到平面ABC1D1的距离是( A )(A)(B)(C)(D)解析:法一过O作A1B1的平行线,交B1C1于E,则O到平面ABC1D1的距离为E到平面ABC1D1的距离.作EF⊥BC1于F,易证明EF⊥平面ABC1D1,连接B1C,可求得EF=B1C=.故选A.法二因为O是A1C1的中点且C1∈平面ABC1D1,所以点O到平面ABC1D1距离为点A1到平面ABC1D1距离的一半,过A1作A1G⊥AD1于G,(图略),由正方体性质得A1G⊥平面ABC1D1,在等腰Rt△A1AD中,A1G=A1D=,所以A1到平面ABC1D1距离为,所以O到平面ABC1D1距离为.故选A.5. 如图,三棱锥P ABC中,△ABC为边长为3的等边三角形,D是线段AB的中点,DE∩PB=E,且DE⊥AB,PA=,PB=,则PA与平面CDE所成角的正切值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:由勾股定理PA2+PB2=AB2⇒PA⊥PB,过P作PM⊥AB于M,由⇒AB⊥平面DCE,所以∠APM为PA与平面CDE所成的角,在直角三角形APB中,∠APM=∠PBA,tan∠APM=tan∠PBA==.故选A.6. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在正方体表面运动,如果=,那么这样的点P共有( C )(A)2个(B)4个(C)6个(D)无数个解析:设点A到直线BD1的距离为d,则满足题意的点位于以BD1为轴,以d为半径的圆柱上,即满足题意的点为圆柱与正方体的交点,设正方体棱长为1,则由=,得××1=××d得d=,在正方体内易证BD1⊥平面A1C1D,BD1⊥平面ACB1,记两个垂足分别为M,N,如图(1),则M,N分别为等边△A1C1D与等边△ACB1的中心,这两个三角形的六个顶点到对角线BD1的距离都相等,在对角面BB1D1D 中,如图(2).BD1=,D1M=,所以DM==,所以正方体的六个顶点D,A,C,A1,B1,C1到对角线BD1距离都为,这又是正方体上到对角线BD1距离最远的点.由此得满足条件的点P有6个.故选C. 7.(2018·新高考研究联盟第三次联考)在平面α内,已知AB⊥BC,过直线AB,BC分别作平面β,γ,使锐二面角α-AB-β为,锐二面角α-BC-γ为,则平面β与平面γ所成的锐二面角的余弦值为( A )(A)(B) (C)(D)解析:cos θ=cos 60°cos 60°=,也可以构造一个三棱锥来解决,故选A.二、填空题8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD1与BD所成角的大小是.解析:如图所示,连接BC1,DC1,由正方体的性质可得,∠DBC1即为所求,且△DBC1为等边三角形,则直线AD1与BD所成角的大小是60°.答案:60°9. 长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,高为2,则顶点A1到截面AB1D1的距离为.解析:由题意可得:AD1=AB1==2,B1D1==4,据此可得=×4×=4,设顶点A1到截面AB1D1的距离为h,对三棱锥A1-AB1D1由等体积法得=,即×4×h=×(×4×4)×2,解得h=.答案:10. 正三棱锥P-ABC中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论:①二面角B-PA-C的取值范围是(,π);②若MN⊥AM,则PC与平面PAB所成角的大小为;③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条;④若二面角B PA C为,则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条.正确的序号是.解析:根据题意,由于正三棱锥P ABC中,CM=2PM,CN=2NB,那么对于①当PA→+∞时二面角趋近于,当P无限接近于△ABC外心时,趋近于π,二面角B-PA-C 的取值范围是(,π);成立.②若MN⊥AM,则PC与平面PAB所成角的大小为;成立.③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条;不成立.④若二面角B PA C为,则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条;成立.答案:①②④11.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1,则二面角C1-BD-C的正切值为.解析:设正方体棱长为a,取BD中点O,连接CO,C1O,因为CD=CB=a,C1B=C1D=a,所以CO⊥BD,C1O⊥BD,所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角,因为CC1=a,CO=a,所以tan∠COC1===.所以二面角C1-BD-C的正切值为.答案:12.平面α,β,γ两两垂直且交于一点O,若空间有一点P到这三个平面的距离分别是3,4,12,则点P到点O的距离为.解析:由题意,构造长方体图形,这个长方体过一个顶点的三条棱长分别为3,4,12,所求PO的长度即为体对角线长,所以PO==13.答案:1313. 如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C′,E点在线段AC′上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为30°和45°,则= .解析:连接AC交BD于点O,连接OE,OC′(图略),在△OAE中,由正弦定理得:=,所以AE=sin 30°=,在△C′OE中,由正弦定理得:=,所以EC′=sin 45°=,因为sin ∠C′EO=sin ∠OEA,所以=.答案:14.正三棱锥V-ABC中,VB=,BC=2,则二面角V-AC-B的大小为.解析:取AC中点为O,连接VO,BO,在正三棱锥V ABC中,VB=,BC=2,因为VA=VC=VB=,AB=AC=BC=2,AO=CO=,所以VO⊥AC,BO⊥AC,VO==2,BO==3,所以cos∠VOB==,所以∠VOB=60°.答案:60°15.已知△ABC与平面α,且∠ACB=,CD⊥AB于D,若边AB⊂平面α,边BC,AC 与平面α所成的角分别为和,则CD与平面α所成角的大小为.解析:如图,过点C作CE⊥α于E,连DE,则∠CDE即为CD与平面α所成角.连AE,BE,则∠CAE,∠CBE分别为AC,BC与平面α所成的角,即∠CAE=,∠CBE=.设CE=1,则AC=2,BC=,于是AB==.由等面积法得CD===,所以sin∠CDE==,所以∠CDE=.答案:三、解答题16.(2018·北京卷) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D, E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证:AC⊥平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.(1)证明:在三棱柱ABC A1B1C1中,因为CC1⊥平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,所以AC⊥EF.因为AB=BC,所以AC⊥BE,因为BE∩EF=E,所以AC⊥平面BEF.(2)解: 由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以EF⊥BE.如图,建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),E(0,0,0), F(0,0,2),G(0,2,1),所以=(-1,-2,0),=(1,-2,1).设平面BCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则即令y0=-1,则x0=2,z0=-4,于是n=(2,-1,-4).又因为平面CC1D的法向量为=(0,2,0),所以cos<n,>==-.由题知二面角B CD C1为钝角,所以其余弦值为-.(3)证明:由(2)知平面BCD的法向量为n=(2,-1,-4),=(0,2,-1).因为n·=2×0+(-1)×2+(-4)×(-1)=2≠0,所以直线FG与平面BCD相交.巩固提高B一、选择题1. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E为正方形ABCD的两条对角线的交点,点F是棱AB的中点,则异面直线AC1与EF所成角的正切值为( D )(A)-(B)- (C)(D)解析:因为点E为正方形ABCD的两条对角线的交点,点F是棱AB的中点,所以EF∥AD,所以∠DAC1就是异面直线AC1与EF所成的角,正切值等于=.故选D.2. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示,若E为线段BC的中点,则直线AE与平面ABD所成角的余弦值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:过点E作EF⊥BD,垂足为F,则∠EAF为直线AE与平面ABD所成的角,不妨设正方形的边长为2,则BF=EF=,AB=2,在△ABF中,由余弦定理:AF2=AB2+BF2-2×AB×BF×cos∠ABF=,所以AF=,在Rt△AEF 中,AE2=AF2+EF2=3,所以AE=,故cos∠EAF==.故选C.3. 如图,二面角α-l-β的大小是45°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是( D )(A) (B) (C) (D)解析:如图,过点A作AC⊥β于C,在β内过C作CD⊥l于D,连接AD,BC,由三垂线定理可知AD⊥l,故∠ADC为二面角α-l-β的平面角,为45°,又由已知,∠ABD=30°,则∠ABC为AB与平面β所成的角,设AD=2,则AC=,AB=4,所以sin∠ABC==.故选D.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成30°角的平面的个数为( B )(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个解析:画出图形如图所示,由图可知,正方体表面6个面与A1B所成的角不是30°.符合题意的面为平面AA1C1C,平面A1B1CD,平面ABC1D1和平面BDD1B1,共4个.故选B.5.平面α过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:由题意直线m∥BD,直线n∥A1B,易知△A1DB为等边三角形,∠DBA1=60°,sin 60°=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.6.(2018·嵊州市适应性考试)如图,已知矩形ABCD,E是边AB上的点(不包括端点),且AE=AD,将△ADE沿DE翻折至△A′DE,记二面角A′-BC-D为α,二面角A′-CD-E为β,二面角A′-DE-B为γ,则( B )(A)α≥β(B)α≤β(C)β≥γ(D)β≤γ解析: 要比较α,β,γ之间的大小关系,只需比较A′在底面BCD上的射影O 到三边BC,CD,DE的距离d1,d2,d3,之间的大小关系,当O从A点运动到F时,必有d1>d2,即有α≤β;而d2,d3关系不确定,故选B.7.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )(A)(B)(C)(D)解析: 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,平面AB1D1与棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与A1A,A1B1,A1D1平行,故正方体ABCD A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.如图所示,取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大,此截面面积为S正六边形×××sin 60°=.故选A.EFGHMN=68. 在底面为正三角形的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点D为棱BC的中点,点E为A1C上的点,且满足A1E=mEC(m∈R),当二面角E-AD-C的余弦值为时,实数m的值为( A )(A)1 (B)2 (C)(D)3解析: 由题意知m>0,过点A在平面ABC内作Ox⊥AC,则以A为原点O,分别以Ox,OC,OA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,则E(0,,),=(,,0),=(0,,),设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),则⇒n=(,-1,),取平面ADC法向量为m=(0,0,1),由二面角E-AD-C余弦值为,则|cos<n,m>|=,所以==⇒m2=1⇒m=1.故选A.二、填空题9. 在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B AD C 后,BC=,这时二面角B-AD-C的大小为.解析:根据已知中AD⊥BC于D,易得沿AD折成二面角B-AD-C后,∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角,解三角形BDC即可求出二面角B-AD-C的大小.因为AD⊥BC,所以沿AD折成二面角B-AD-C后,AD⊥BD,AD⊥CD,故∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角,又因为BD=CD=BC=,所以△BDC为等边三角形,所以∠BDC=60°.答案:60°10. 如图,60°的二面角棱上有A′,B′两点,直线AA′,BB′分别在这个二面角的半平面内,且都垂直于A′B′,已知A′B′=3AA′=3,BB′=5,则AB的长度为.解析:运用基向量表示空间的向量,结合模长的计算得到AB的长度为2. 答案:211.矩形ABCD满足AB=2,AD=1,点A,B分别在射线ON,OM上运动,∠MON为直角,当C到点O的距离最大时,∠ABO的大小为.解析:如图,设∠ABO=θ,因AB=2,BC=AD=1,则OB=2cos θ,在△CBO中,由余弦定理得OC===,当OC最大时,sin(2θ+)=1,即2θ+=,也即θ=,所以∠ABO=.答案:12. 如图,三棱锥S-ABC中,若AC=2,SA=SB=SC=AB=BC=4,E为棱SC的中点,则直线AC与BE所成角的余弦值为,直线AC与平面SAB所成的角为.解析:(1)如图(1),取SA中点M,连ME,BM,则ME∥AC,所以直线AC与BE所成角等于直线ME与BE所成角,则ME=,BM=BE=2,cos∠MEB==,所以直线AC与BE所成角的余弦值为.(2)如图(2),取SB中点N,连接AN,CN,则AN⊥SB,CN⊥SB⇒SB⊥平面ACN⇒平面SAB⊥平面ACN,因此直线AC与平面SAB所成的角为∠CAN,因为AN=CN=AC=2,所以∠CAN=60°,因此直线AC与平面SAB所成的角为60°. 答案:60°13. 如图所示,等边△ABC的边长为4,D为BC中点,沿AD把△ADC折叠到△ADC′处,使二面角B-AD-C′为60°,则折叠后二面角A-BC′-D的正切值为.解析:由题意知∠BDC′即为二面角B-AD-C′的平面角,即∠BDC′=60°,所以BC′=2,作DM⊥BC′于点M,连接AM,则AM⊥BC′,则∠AMD为二面角A-BC′-D的平面角,因为△ABC为等边三角形且BC=4.所以AD=2.DM=.所以tan ∠AMD===2.答案:214.在长方体ABCD A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为的正方形,AA1=3,E是AA1的中点,过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则CF与平面ABCD所成角的正切值为.解析: 连接AC与BD交于点O,因为四边形ABCD是正方形,AA1⊥底面ABCD,所以BD⊥平面ACC1A1,则当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,所以∠ACF是CF与平面ABCD所成角,在矩形ACC1A1中,△C1A1F∽△EAO,则=,因为A1C1=2AO=AB=2,AE=,所以A1F=,所以AF=,所以tan∠ACF===.所以CF与平面ABCD所成角的正切值为.答案:15.已知三棱锥A BCD中,AB⊥CD,且AB与平面BCD成60°角.当的值取到最大值时,二面角A-CD-B的大小为.解析: 如图所示,作AE⊥CD于点E,连接BE,因为AB⊥CD,CD⊥AE,AB∩AE=A,所以CD⊥平面ABE,且CD⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ABE,又因为平面BCD∩平面ABE=BE,所以点A在平面BCD的射影在BE上,所以∠ABE=60°,在△ABE中由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB×BE×,所以=()2-+1=(-)2+,当=,即BE=2AB时,最小,此时=最大,所以AE=AB,由二面角的定义可知∠AEB为二面角A CD B的平面角,cos∠AEB==,所以∠AEB=.答案:16.高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在同一球面上,底面ABCD的中心为O1,球心O到底面ABCD的距离为,则异面直线SO1与AB所成角的余弦值的范围为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设S(x,y,),O(,,),O1(,,0),BC中点M(1,,0),由题设外接球的半径R==1,则(x-)2+(y-)2+=1,即(x-)2+（y-）2=.由于=（x-,y-,）,=（,0,0）,因此·=（x-）,又因为（x-）2=-（y-）2≤,即︱x-︱≤,所以cos<,>==≤.即异面直线SO1与AB所求角的余弦值的范围为［0,］.答案:［0,］三、解答题17.(2018·天津卷) 如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP 的长.解:依题意,可以建立以D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M（0,,1）,N(1,0,2).(1)依题意得=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则即不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又=（1,-,1）,可得·n0=0,又因为直线MN⊄平面CDE,所以MN∥平面CDE.(2)依题意,可得=(-1,0,0),=(1,-2,2),=(0,-1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则即不妨令z=1,可得n=(0,1,1). 设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则即不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos<m,n>==,于是sin<m,n>=.所以二面角E-BC-F的正弦值为.(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h), 可得=(-1,-2,h).易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故︱cos<,>︱==,由题意,可得=sin 60°=,解得h=∈[0,2].所以线段DP的长为.。

精做07 选考内容-学易试题君之大题精做2019年高考数学(理)(解析版)

1．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1:C2 422x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线2C的极坐标方程为2cosρθ=.（1）求曲线1C的极坐标方程以及曲线2C的参数方程；（2）若射线(0)θθρ=>与曲线12,C C分别交于,M N两点，且||||ON OMλ=，求实数λ的最大值.（2）依题意，设10(,)Mρθ，20(,)Nρθ，结合图象可知42θππ-<<，则1004cos sinρθθ=+，202cosρθ=，故200001||112cos(cos sin)[2)1]||444ONOMρλθθθθρπ===⋅⋅+=-+，可知当08θπ=时，λ有最大值1(21)4.学&科网2．选修4-5：不等式选讲已知函数()|34|f x x =-.（1）记函数()()|2|4g x f x x =++-，在下列坐标纸中作出函数()g x 的图象，并根据图象求函数()g x 的最小值；（2）记不等式()5f x <的解集为M ，若,p q M ∈，且||p q pq λ++<，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意，知42,24()22,23446,3x x g x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，作出函数()g x 的图象如下图所示：观察图象可知，当43x =时，函数()g x 有最小值，最小值为23-. （2）依题意，|34|5x -<，则5345x -<-<，即139x -<<，解得133x -<<，所以1,(,3)3p q ∈-，所以||||||||||||333315p q pq p q pq p q pq ++≤++≤++<++⨯=，故15λ≥，即实数λ的取值范围为[15,)+∞.学科#网 3．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1:C 2422x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的参数方程；（2）若射线0(0)θθρ=>与曲线12,C C 分别交于,M N 两点，且||||ON OM λ=，求实数λ的最大值.（2）依题意，设10(,)M ρθ，20(,)N ρθ，结合图象可知0ππ42θ-<<，则1004cos sin ρθθ=+，202cos ρθ=，故200001||11π2cos (cos sin )[2)1]||444ON OM ρλθθθθρ===⋅⋅+=-+，可知当0π8θ=时，λ有最大值1(21)4. 4．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =-++. （1）求不等式()4f x <的解集A ；（2）若,m n A ∈，试证明：|4|2||mn m n +>+.【解析】（1）若1x <-，则3214x x ---<，解得23x >-，无解；若312x -≤≤，则3214x x -++<，解得0x >，故302x <≤；若32x >，则2314x x -++<，解得2x <，故322x <<.综上所述，不等式()4f x <的解集A 为(0,2).5．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(其中t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若1(,)A ρθ是直线l 上一点，2π(,)4B ρθ-是曲线C 上一点，求||||OB OA 的最大值．【解析】（1）将直线l 的参数方程212232x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(其中t 为参数)消去参数t ，得直线l 的普通方程为20x y +-=，由cos ,sin ρθx ρθy ==，得直线l 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=．因为曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222,sin ρx y ρθy =+=，得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．6．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||22|f x x a x =+--．（1）求证：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R ，都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）()|+||22|f x x a x =--|+|2|1|x a x =--|+||1|x a x ≤--|(+)(1)|x a x ≤--|+1|||+1a a =≤．（2）由2a =可得4,1()3,214,2x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，其图象如图所示，(3)y k x =+为过(3,0)A -，且斜率为k 的直线，由题意知，其图象恒在函数()y f x =的图象上方（包括过点B 的情况），又过点A ，(1,3)B 的直线的斜率为34，所以314k ≤≤，即实数k 的取值范围是3[,1]4．学科%网 7．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C 的极坐标方程为22cos sin a θρθ=，直线l 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，且直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）当8a ≥时，求||AB 的最小值．（2）将直线l 的参数方程24x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)化为222242x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(s 为参数)①，将①代入22y ax =得222(4)8(4)0s a s a +-+-=，当8a ≥时，28(4)48(4)0a a ∆=--⨯->恒成立.设,A B 对应的参数分别为12,s s ，则有1222(4)s s a +=-，128(4)s s a =-，所以2121212||||()422(4)AB s s s s s s a a =-=+-=- 因为函数(4)y x x =-在[8,)+∞上单调递增，所以当8a =时，||AB 有最小值16. 8．选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x x =-，()||g x x a =+．（1）当1a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若()2()1f x g x a ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．1．选修4-4：坐标系与参数方程（云南省曲靖市第一中学2019届高三9月高考复习质量监测卷二数学试题）在直角坐标系中,直线过点,倾斜角为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程 (2)若直线与曲线交于不同的两点,当最大时,求出直线的直角坐标方程. 【解析】（1）直线l 的参数方程为(t 为参数)，把代入曲线C 的极坐标方程可得直角坐标方程为，（2）设A ，B 对应的参数分别为，，把直线l 的参数代入曲线C 的直角坐标方程可得，因为有两个交点，所以，解得，学科/网∵，∴当时，最大，此时，所以直线l的直角坐标方程为．2．选修4-5：不等式选讲（云南省曲靖市第一中学2019届高三9月高考复习质量监测卷二数学试题）已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)设关于的不等式的解集为,且,求实数的取值范围.（2）由题意可得，当时，关于x的不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，∴恒成立，即恒成立，∴，即实数m的取值范围为．3．选修4-4：坐标系与参数方程（【全国市级联考】广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学试题）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，过极点的直线过点.（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）若直线绕极点按逆时针方向旋转得，求被圆截得的弦长.【解析】(1) 由得圆的极坐标方程，圆的圆心直角坐标系的坐标为，学科$网，所以直线的极坐标方程为，4．选修4-5：不等式选讲（【全国市级联考】广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学试题）已知，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题意得，当时，不等式化为，得；当时，不等式化为，得；当时，不等式化为，得；综上所述，不等式的解集为或.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法和含参不等式恒成立问题的求解方法.含有绝对值不等式的解法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法. 5．选修4-4：坐标系与参数方程（【全国市级联考】长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题）已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有，设A 、B 对应的参数分别为12,t t ，则12124sin ,0t t t t α+==，由，得，所以或.【名师点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t 来表示，从而转化为根与系数的关系来解决. 6．选修4-5：不等式选讲（【全国百强校】四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2019届高三第一次调研考试数学试题）已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2).（2）因为()|4||5||(4)(5)|9f x x x x x =-++≥--+=，所以若关于x 的不等式()f x a <的解集非空，则min ()=9a f x >，即a 取值范围是(9)+∞，.学&科网【名师点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 7．选修4-4：坐标系与参数方程（【全国市级联考】广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学试题）在直角坐标系中，直线过定点且与直线垂直．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22sin 2cos 0ρθθ-= ．(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程； (2)设直线与曲线交于两点，求的值．【解析】(1)曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为 (为参数)．【名师点睛】（1）本题主要考查直线的参数方程，考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.8．选修4-5：不等式选讲（【全国校级联考】广东省2019届高三六校第一次联考数学试题）已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.（2）当时，，即为恒成立，，即，即，在上恒成立，所以，只需，解得，所以的取值范围为．学*科网【名师点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理.9．选修4-4：坐标系与参数方程（【全国市级联考】江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试数学（五）试题）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）经过点作直线交曲线于两点，若恰好为线段AB的三等分点，求直线的普通方程.（2）设直线的倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程，得，即，记对应的参数分别为，所以，由题意可知，得所以，即或.即或.所以直线的普通方程为或【名师点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.学*科网(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.10．选修4-5：不等式选讲（江西省新干县第二中学等四校2018届高三第一次联考数学试题）已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围.【解析】（1）m=4时,f(x)=|x+1|+|x−3|−4，当x⩽−1时，有−x−1−x+3−4>0，解得x<−1，当−1<x<3时，有x+1−x+3−4>0，得0>0，无解，当x⩾3时，有x+1+x−3−4>0，解得x>3，综上可得，不等式解集为：(−∞,−1)∪(3,+∞)；【名师点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．(2018全国新课标I 理)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以221k =+，故0k =或43k =．学/科网经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2．(2018全国新课标I 理)选修4-5：不等式选讲已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．3．(2018全国新课标II 理)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 4．(2018全国新课标II 理)选修4-5：不等式选讲设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．5．(2018全国新课标III 理)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-l 与O 交于两点当且仅当22||11k <+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．学@科网6．(2018全国新课标III 理)选修4-5：不等式选讲设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图象；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图象如图所示．7．（2017全国新课标I 理）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17a .【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 8．（2017年全国新课标II 理）选修4-5：不等式选讲已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a ba b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．学&科网9．（2016全国新课标Ⅱ理）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ，求l 的斜率.【解析】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程为212cos 110.ρρθ++=【名师点睛】极坐标与直角坐标互化时要注意：将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.10．（2016全国新课标Ⅰ理）选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（1）画出()y f x =的图象；（2）求不等式()1f x >的解集．【解析】（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<---≤-=.23,4,231,23,1,4)(x x x x x x x f )(x f y =的图象如图所示.（2）由)(x f 的表达式及图象，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ；当1)(-=x f 时，可得31=x 或5=x ，故1)(>x f 的解集为{}31<<x x ；1)(-<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><531x x x 或，所以1)(>x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<<53131x x x x 或或.学@科网【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图象、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.。

狂刷38 空间向量及其应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(原卷版)

1．设平面α的一个法向量为()11,2,2=-n ，平面β的一个法向量为()22,4,k =--n ，若αβ∥，则k = A ．2 B ．−4 C ．−2D ．42．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是 A ．(－1，1，1)B ．333,,)333---（ C ．(1，－1，1)D ．333,,)333-（3．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为11,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m 为 A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．84．若平面α与β的法向量分别是()2,4,3=-a ，()1,2,2=-b ，则平面α与β的位置关系是 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定5．已知点A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为 A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭6．已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，点P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为 A ．(1，0，－2) B ．(1，0，2) C ．(－1，0，2)D ．(2，0，－1)7．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则点P (－2，1，4)到α的距离为 A ．10 B ．3 C ．83D ．1038．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是A ．32 B ．12C ．14D ．09．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是 A ．655 B ．455 C ．255D ．5510．已知四棱锥P ABCD -中，()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为 A ．2613B ．2626C ．1D ．211．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为_____.12．如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且π2ASB BSC CSA ∠=∠=∠=，M N 、分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为______，直线SM与平面SAC所成角大小为_________.13．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是A．155B．22C．105D．014．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为A．105-B．105C．155-D．15515．如图，在所有棱长均为a的直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为BB1，A1C1的中点，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为A ．12B ．32C ．15D ．4516．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥， AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为A ．23 B ．66 C ．33D ．6317．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积最小时，棱CC 1的长为A ．322B ．102C ．2D ．218．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 是线段11AC 上的动点，则下列结论不正确的是A ．三棱锥M ABD -的正视图面积是定值B ．异面直线CM ，AB 所成的角可为π3C ．异面直线CM ，BD 所成的角为π2D ．直线BM 与平面ABCD 所成的角可为π319．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC =2a ，BB 1=3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE =_____.20．已知三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 2AB AC ==，1PA =，则球心O 到平面PBC 的距离为_________.21．（2018新课标全国II 理科）在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56 C ．55D ．22。

狂刷16 解三角形-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(原卷版)

1．在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于 A ．30︒或60︒ B ．45︒或60︒ C ．120︒或60︒D ．30︒或150︒2．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π3C =，7c =，3b a =，则ABC △的面积为 A ．334B ．234- C ．2D ．234+ 3．ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()sin sin A B a b +-()sin sin C B c =-，则角A =A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π64．ABC △中，,A B ∠∠的对边分别为,a b ，5,4a b ==，且60A ∠=，那么满足条件的ABC △ A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解D ．不能确定5．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222si n s i n s i n 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =A ．3B ．1C ．12D ．326．若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为 A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形7．在ABC △中，60A =，1b =，面积为3，则边长c =_________. 8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________. 9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若45cos cos 1513A C a ===，，，则b = ______. 10．在ABC △中，3AB =，4AC =，3BC =，D 为BC 的中点，则AD =__________．11．已知ABC △的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为A ．24-B ．24 C ．23D ．23-12．在ABC △中，已知内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，π3A =，2b =，33ABC S =△，则2s i n s i n 2s i na b cA B C +-=+-A ．273B ．4213 C ．4D ．624+ 13．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC △外接圆的面积为 A ．4π B ．2π C ．πD ．π214．已知ABC △为钝角三角形，其中角C 为钝角，若2π3A C +=，则AB BC的取值范围是 A ．()12，B ．()2+∞，C ．()3+∞，D ．[)3+∞，15．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若π3s i n 32A C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，且2a c +=，则ABC △周长的取值范围是 A ．(]2,3 B ．)23,4⎡+⎣C ．(]4,5D ．[)5,6 16．已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷,C D 分别在北偏东45︒和北偏东30︒方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷,C D ，此时二者分别在北偏西15︒和北偏西60︒方向，则帐篷,C D 之间的距离为A ．1015米B ．106米C ．515米D ．56米17．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222s i n s i n s i n A B Cc+-s in s in c o s c o s A Ba Bb A=+，若4a b +=，则c 的取值范围为 A ．()0,4 B ．[)2,4 C ．[)1,4D ．(]2,418．如图，设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且π6CAB ∠=.若点D 是ABC △外一点，2,3DC DA ==，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D =_______．19．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =20．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，5cos25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．2521．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π622．（2016新课标全国Ⅲ理科）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = A ．31010 B ．1010 C ．1010-D ．31010- 23．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．。

2019年高考数学真题分类汇编：专题(10)立体几何(文科)及答案

2019年高考数学真题分类汇编专题10 立体几何文1.【2018高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2018高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题. 3.【2018高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（） A ．83cm B ．123cm C ．3233cm D ．4033cm【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力. 4.【2018高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A) 123π+ (B)136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B. 【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2018高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.6.【2018高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”，否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．7.【2018高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C 【解析】由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2018高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题. 【名师点睛】以9、【2018高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.10.【2018高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+ B．11+．14+．15 【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为所以该几何体的表面积为11+B ．【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．11.【2018高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）错误！未找到引用源。

狂刷34 空间点、线、面的位置关系-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

1．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C 【解析】若都不相交，则都平行.根据公理4，则，与异面矛盾.学科%网故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.2．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线【答案】D3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β相交【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是ABC D E F A 1B 1C 1D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D5．如图所示，，，，，，则平面和平面的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线【答案】D 【解析】∵l α⊂，，∴，又，∴CD α⊂．又在平面内，∴为平面与平面的交线．故选D. 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的夹角为A．B．C．D．【答案】C7．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，交于一点，则A．一定在直线上B．一定在直线上C．一定在直线或上D．既不在直线上，也不在直线上【答案】B【解析】由题意，，相交于点，则点，且，学科&网又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选8．平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为_______.【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行；若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．故与的位置关系为平行或相交.9．若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为 _____ .【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面.10．如图所示，1111ABCD A BC D -是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面．其中正确结论的序号为____________．【答案】①③11．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面α内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ． 12．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】D13．如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是A．三点共线B．不共面C．不共面D．共面【答案】A【解析】因为M在上，在平面内，所以M在平面内，又因为M在平面内，所以M在平面与平面的交线AO上，即三点共线，因此共面且共面，学科%网因为平面与平面的交线为共面，选A．14．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：15．不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.学科#网16．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【答案】③17．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55 D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅.故选C. 18．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；学科&网④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．19．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D20．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.21．(2017新课标全国Ⅲ理科) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；学科*网③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.22．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．7【答案】8即为异面直线AN，CM 【解析】如下图，连接DN，取DN中点E，连接EM，EC，则可知EMC所成角（或其补角），。

狂刷33 空间点、线、面的位置关系-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (解析版)

1 专题八立体几何
狂刷33 空间点、线、面的位置关系
1．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=I
，那么直线c 一定 A ．与a b ，都相交
B ．只能与a b ，中的一条相交
C ．至少与a b ，中的一条相交
D ．与a b ，都平行【答案】C
【解析】若
都不相交，则都平行.
根据公理4，则，与异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.
2．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与
A ．一定是异面直线
B ．一定是相交直线
C ．不可能．．．
是相交直线 D ．不可能．．．
是平行直线【答案】D
3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么
A ．α∥β
B ．α与β相交
C ．α与β重合
D ．α∥β或α与β相交
【答案】D
【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.。

狂刷08 梦游天姥吟留别-学易试题君之小题狂刷君2019学年高二语文人教(选修中国古代诗歌散文欣赏)(解析)

1．下列词语中，画线字的读音全都相同的一组是（）A．宣泄寒暄渲染喧宾夺主
B．门扉徘徊悱恻文采斐然
C．青冥沧溟薄暝死不瞑目
D．谛听孝悌啼哭涕泗横流
【答案】C
2．下列词语书写全部正确的一项是（）
A．聒噪括号甜美舔犊情深
B．救济霁月伎俩跻身文坛
C．折扣拆穿析居山崩地柝
D．渲泄煊赫萱草喧宾夺主
【答案】B
【解析】A项，舔—舐；C项，柝—坼；D项，渲—宣。

3．对下列句子中画线词的解释，正确的一项是（）
A．烟涛微茫信难求信：相信
B．迷花倚石忽已暝暝：迷茫
C．虎鼓瑟兮鸾回车回：回旋，运转
D．须行即骑访名山须：必须
【答案】C
【解析】A项，信：确实。

B项，暝：天黑，夜晚。

D项，须：等待。

4．下列句子中，画线的词没有活用现象的一项是（）A．虎鼓瑟兮鸾回车
1。