2014-2015年江苏省南通中学高一上学期数学期末试卷和解析

2014-2015学年江苏省南通中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．2．（5.00分）若f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是．3．（5.00分）化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=．4．（5.00分）已知向量=（14，0），=（，），则与的夹角的大小为．5．（5.00分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是第象限角．6．（5.00分）已知向量=（1，1），=（2，n），若|+|=|﹣|，则n=．7．（5.00分）（1+tan1°）（1+tan44°）=．8．（5.00分）把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f（x）=．9．（5.00分）函数f（x）=sinx﹣a在区间[，π]上有2个零点，则实数a的取值范围．10．（5.00分）已知函数f（x）=asinx+btanx+1，满足f（）=7，则f（﹣）=．11．（5.00分）在△ABC中，有命题：①﹣=；②++=；③若（+）•（﹣）=0，则△ABC为等腰三角形；④若△ABC为直角三角形，则•=0．上述命题正确的是（填序号）．12．（5.00分）已知函数y=tan+，则函数的定义域是．13．（5.00分）已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=．14．（5.00分）在△ABC中，∠B=π，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且2+2﹣2=•﹣2•，则∠A等于．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且•=﹣1．（1）求tanα的值；（2）求的值．16．（14.00分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？17．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，（1）求出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位得到函数y=g（x）的图象，求出函数y=g（x）的单调增区间及对称中心．18．（16.00分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且|﹣|=．（1）求sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）的值；（2）若co sα=，且0＜β＜α＜，求β的值．19．（16.00分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．20．（16.00分）如图，已知扇形周长2+π，面积为，且|+|=1．（1）求∠AOB的大小；（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且=．问与的夹角θ取何值时，•的值最大？并求出这个最大值．2014-2015学年江苏省南通中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是4．【解答】解：由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：42．（5.00分）若f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是2．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，∴T=，解得ω=2，故答案为：23．（5.00分）化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=．【解答】解：sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°=；故答案为：．4．（5.00分）已知向量=（14，0），=（，），则与的夹角的大小为．【解答】解：由向量=（14，0），=（，），可得=14，||=14，||==2，则cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得与的夹角的大小为．故答案为：．5．（5.00分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是第第三或第四象限角．【解答】且cosθ≠0∴角θ是第三或第四象限角故答案为：第三或第四6．（5.00分）已知向量=（1，1），=（2，n），若|+|=|﹣|，则n=﹣2．【解答】解：若|+|=|﹣|，则（+）2=（﹣）2，即有+2=﹣2，即为=0，由向量=（1，1），=（2，n），则2+n=0，解得n=﹣2．故答案为：﹣2．7．（5.00分）（1+tan1°）（1+tan44°）=2．【解答】解：∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan1°+tan44°+tan1°•tan44°=1+tan（1°+44°）[1﹣tan1°•tan44°]+tan1°•tan44°=2．故答案为：2．8．（5.00分）把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f（x）=3sin2x．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为：f（x）=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x．故答案为：3sin2x．9．（5.00分）函数f（x）=sinx﹣a在区间[，π]上有2个零点，则实数a的取值范围≤a＜1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[，π]上的图象如下，从而可得，sin≤a＜1；即≤a＜1；故答案为：≤a＜1．10．（5.00分）已知函数f（x）=asinx+btanx+1，满足f（）=7，则f（﹣）=﹣5．【解答】解：∵f（x）=asinx+btanx+1，∴f（﹣x）=﹣asinx﹣btanx+1f（x）+f（﹣x）=2∵f（）=7，∴f（﹣）=2﹣7=﹣5，故答案为：﹣511．（5.00分）在△ABC中，有命题：①﹣=；②++=；③若（+）•（﹣）=0，则△ABC为等腰三角形；④若△ABC为直角三角形，则•=0．上述命题正确的是②③（填序号）．【解答】解：在△ABC中，有命题：①﹣=，因此不正确；②++=，正确；③若（+）•（﹣）=0，则，因此△ABC为等腰三角形，正确；④若△ABC为直角三角形，没有给出哪一个角为直角，因此•=0不一定正确．综上可得：只有②③．故答案为：②③．12．（5.00分）已知函数y=tan+，则函数的定义域是{x|﹣4≤x≤4且x≠kπ+，k∈Z} ．【解答】解：由题意得：，解得：﹣4≤x≤4且x≠kπ+，（k=﹣1，0，），故答案为：{x|﹣4≤x≤4且x≠2kπ+π，（k=﹣1，0）}．13．（5.00分）已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=2．【解答】解：∵，，与的夹角为45°，∴•=2••cos45°=2若与垂直，则（）•=λ（•）﹣=2λ﹣4=0解得λ=2故答案为：214．（5.00分）在△ABC中，∠B=π，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且2+2﹣2=•﹣2•，则∠A等于．【解答】解：作AO⊥BC，垂足为O，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．∵2+2﹣2=•﹣2•，∴2+2﹣2•=，∴，∴b2+a2=d2+a2+（d﹣b）（c﹣d），即（b﹣d）（b+d）=（d﹣b）（c﹣d），又b﹣d≠0，∴b+d=d﹣c，∴b=﹣c，∴点B（b，0）和C（c，0）关于原点对称，∴△ABC为等腰三角形．∴AB=AC，∵∠B=，∴∠A=π﹣=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且•=﹣1．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且•=﹣1，∴2cosα﹣1﹣sinα=﹣1，即2cosα=sinα，则tanα=2；（2）∵t anα=2，∴原式===﹣1．16．（14.00分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？【解答】解：（1）由题意可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．17．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，（1）求出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位得到函数y=g（x）的图象，求出函数y=g（x）的单调增区间及对称中心．【解答】解：（1）由题意，，∴，T=4π，∴，x=﹣时，y=2，可得：2=，∵|φ|＜，∴φ=，函数的解析式为：．（2），由，k∈Z，即，k∈Z；增区，k∈Z，当，k∈Z；解得，k∈Z．对称中心，k∈Z18．（16.00分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且|﹣|=．（1）求sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）的值；（2）若cosα=，且0＜β＜α＜，求β的值．【解答】解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∵|﹣|=，∴=，化为cos（α﹣β）=．∴sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）=．（2）∵0＜β＜α＜，，∴，=，∴sin（α﹣β）==．∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣=．∴．19．（16.00分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．【解答】解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF==，∴l=OE+OF+EF=．当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为[，]；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=，α∈[，]，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，∴l==由t=sinα+cosα=sin（α+），又≤α+≤，得，∴，从而当α=，即BE=25时，l min=50（+1），所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．20．（16.00分）如图，已知扇形周长2+π，面积为，且|+|=1．（1）求∠AOB的大小；（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且=．问与的夹角θ取何值时，•的值最大？并求出这个最大值．【解答】解：（1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．∵扇形周长2+π，面积为，∴，解得．∴∠AOB=．（2）如图所示，建立直角坐标系．则A（1，0），B．设C（cosα，sinα）.．∵=x+y，∴，解得，∴xy=+=+=+，∵，∴∈．∴∈，∴xy∈[0，1]．∴xy的最大值与最小值的和为1．（3）设C（cosα，sinα），∵=，∴D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：•=•（﹣cosα﹣1，﹣sinα）=﹣=﹣﹣﹣==﹣．∵α∈[0，2π），∴∈，∴∈[﹣1，1]．∴•的最大值为，当=，即时，取得最大值．此时=，=．∴=，=，==．∴cosθ===，∴．∴与的夹角θ=，•的值最大为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。