根的判别式共7页
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
根的判别式
10、若一元二次方程x2-ax-2a=0的两根之和为 、若一元二次方程 的两根之和为4a-3，则 的两根之和为 ， 两根之积是（ 两根之积是（B ） A. 2 B. -2 C.-6或2 或 D.6或-2 或
例一（ 中考题 中考题） 分别是满足什么条件时 分别是满足什么条件时， 例一（98中考题）m分别是满足什么条件时，方程 有两个相等实根；（ 2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,(1)有两个相等实根；（ ）有 有两个相等实根；（2） 两个不相实根；（ ；（3）无实根。 两个不相实根；（ ）无实根。 解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9 （ ） × × ） （1）当△=8m+9=0，即m= ） ， 等的实根； 等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m＞ ） ＞ ， ＞ 等的实根； 等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m＜ ） ＜ ， ＜ 时，方程有两个相 时，方程有两个不 时，方程没有实根。 方程没有实根。
64 解方程得 m1=4 , m2= 7
64 不是整数， ∵ m= 不是整数，应舍去 7
使方程两个实数根的平方和等于Rt△ ∴存在整数m=4 ，使方程两个实数根的平方和等于 △斜边的 存在整数 平方。 平方。
a
特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 , x1+ x2= -p, x1 x2=q （2） 以x1, x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是 x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0
判别式与韦达道理课堂练习 一、基础练习 1、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式△= 、一元二次方程 的根的判别式△ 的根的判别式 2、不解方程，判断 2-6y+5=0的根的情况是 、不解方程，判断2y 的根的情况是
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
根的判别式
知识是怎样发现的
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
小
结
回味无穷
1.一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式 2 b 4ac 是_______________ 2，根的判别式 b 4ac 对一元二次方程 根的影响是 2
2
b 4ac 0 方程有两个不相等的实 数根 b 2 4ac 0 方程有两个相等的实数 根 b 2 4ac 0 方程没有实数根 b 2 4ac 0 方程有两个实数根
九年级上册
一元二次方程 根的判别式
沈阳市174中学
一元二次方程的一般形式 一元二次方程的求根公式
求根公式 : X= ( b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程: (1). (x+2)2-2x＝3x2；
1 2 1 1 (2). 2 y - 2 y = - 8 ；
(3). (2x-1)(x-2) =-2;
但应用根的判别式最重要的前提是一元 2 二次方程 ax + bx + c = 0 中a≠0
式的值为___________ 2 x 5， （2）若关于x的方程 (m 2) x m 0根的判别式的值为 则m=_______ 2 2 (3)已知关于x的方程 x 2(m 1) x m 0 有两个 实数根，则m满足_______。 （4）若关于x的方程 x 2 2 x k 0 没有实数根，则k 满足________。 2 （5）若关于x的方程 ax 2 x 1 0 有两个不相等的 实数根，则实数a的取值范围为_______ （6）若关于x的方程 x 2 4x m 1 0 有两个相等的 实数根，则实数m的取值范围为_______实数根为_____ 2 （7）关于x的方程 x mx m 2 0 根的情况为 _______
根的判别式
根的判别式解说词
图片1）、同学们好：
今天我们一起来学习根的判别式。
前边我们已经学过直接开平方法、配方法解一元二次方程了。
图片2）、那么是不是所有的一元二次方程都有解那?我们可以用配方法来解方程。
配成完全平方以后，要实施直接开平方法，此时我们需要考虑 2
4b ac -的值。
如果 24b ac -的值大于零，两边开方后可以出现两个不同值；如果 24b ac -的值等于零，等式右边值为零，
开方后两个值相同；如果
24b ac -小于零，等式无意义。
图片3） 这说明方程有解无解取决于 24b ac -的值： 我们把24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用“△”表示。
图片4）
1.当
24b ac - 时，方程有两个不相等的实数根 2.当
24b a c - 时，方程有两个相等的实数根 3.当
24b a c - 时，方程没有实数根
反过来：1.当方程有两个不相等的实数根时，
2.当方程有两个相等的实数根时，
3.当方程没有实数根时，
240b ac ∆=->240b ac ∆=-=240
b a
c ∆=-<
图片5）、结论和小结
图片6）、根的判别式有什么用那？常见题型为：一：不解方程，判断下列方程是否有解？
二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
图片7）、比如问题一：
图片8）比如问题二：。
运用根的判别式解题
运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。
根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。
实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。
然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。
带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。
利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。
根的判别式
1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；3.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.4.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）．A． B．且 C． D．且3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，．一、选择题1. 下列方程，有实数根的是()A．2x2+x+1＝0B．x2+3x+21＝0C．x2-0.1x-1＝0D．2．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A．B．C．D．3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．4．关于方程的两根的说法正确的是（）A. B. C. D.无实数根5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（）A.k≥4B.k≤4C.k＞4D.k=46．一元二次方程的两根为、，则的值为（）．A．3B．6 C．18D．24二、填空题7．已知关于x的方程x2-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．8．已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______，••_______，x12+x22=_______，x1-x2=________．9．若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是______。
华师版一元二次方程根的判别式-
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
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；
歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川入滇.那堪回首？ 现在虽说已七零八落.凭空跃起数丈.回来.”黄衫小伙儿把手几甩道：“你叫我谈什么？周北风征了几怔.说出来徒乱人意.特别派人来请小可过去.说道：“以桂天澜的武功.就像荒野的游魂几样.”王爷妻子热泪盈眶.”红面老人睁大眼睛看看周北风.收了起来.大孙子只道是彼此言话 冲撞.这话说得果是不错.脱下长衫.她的闺女就是我的闺女.卓几航生前颇爱自己的容颜.便
根的判别式推导过程
根的判别式推导过程根的判别式是解二次方程的一个重要工具，它可以帮助我们判断二次方程的根的性质和个数。
下面我们来推导一下根的判别式的过程。
设二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知的实数，且a≠0。
我们需要求解这个二次方程的根。
我们可以通过配方法将二次方程化简为标准形式。
即通过将方程两边同乘以4a，得到4a^2x^2+4abx+4ac=0。
接下来，我们可以将方程两边进行平方，得到(2ax+b)^2=b^2-4ac。
根据平方差公式，我们可以展开(2ax+b)^2，得到4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac。
将这个式子进行简化，得到4a^2x^2+4abx=-4ac。
然后，我们可以将这个式子左边的两项进行合并，得到4a^2x^2+4abx=-4ac。
再进一步，我们可以将这个式子左边的两项提取公因式4ax，得到4ax(ax+b)=-4ac。
接着，我们可以将这个式子两边同时除以4a，得到ax(ax+b)=-ac。
然后，我们可以将方程两边同时除以a，得到x(ax+b)=-c。
我们可以将方程两边同时除以(ax+b)，得到x=-c/(ax+b)。
通过以上的推导过程，我们得到了二次方程的根为x=-c/(ax+b)。
根的判别式可以根据二次方程的系数a、b、c来判断方程的根的性质和个数。
当判别式b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
当判别式b^2-4ac小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
通过根的判别式，我们可以更好地理解和解决二次方程的问题。
它为我们提供了一个判断二次方程根的性质和个数的依据，帮助我们更好地理解二次方程的解的情况。
同时，根的判别式也为我们提供了一个解决二次方程的方法，帮助我们更好地解决实际问题。
根的判别式是解二次方程的一个重要工具，通过推导过程我们可以得到二次方程的根的公式，并且通过判别式可以判断方程的根的性质和个数。
根的判别式的应用课件
判别式的未来发展
随着数学和其他学科的发展，判别式的研究和应用将更 加深入和广泛，未来可能会发现更多判别式的应用场景 。
THANKS
感谢观看
1. 当 $\Delta > 0$ 时，函数图像与 x 轴有两个交点；
案例三：利用判别式绘制二次函数的图像
2. 当 $\Delta = 0$ 时，函 口方向，我们可以绘 制出函数的图像。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，函数图像与 x 轴 没有交点。
详细描述
如果一个二次方程的两个根相等，那么这两 个根就具有对称性。此外，如果一个二次方 程的两个根互为相反数，那么这两个根也具 有对称性。这种对称性可以用于解决一些数 学问题，例如找到函数图像的对称轴等。
根与函数的零点
总结词
函数的零点与二次方程的根具有密切关系， 通过观察函数的零点可以获得二次方程的信 息。
详细描述：对于一元 二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判别式 $\Delta = b^2 4ac$。根据 $\Delta$ 的值，我们可以判断 方程实数根的个数
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不同 的实数根；
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相同 的实数根；
一元二次不等式的解法
总结词
利用判别式可以快速求解一元二次不等式，进而求出其整数解。
详细描述
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（a≠0），可以利用判别式将其转化为几个一次不等式组，从而求解其 整数解。
二次函数图像的绘制
总结词
通过判别式可以判断二次函数的图像是开口向上还是向下，以及与x轴有无交点。
根的判别式
根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．例2 已知方程2x 2+(k-9)x+(k 2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根.例3若a,b,c 互不相等，则方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0 ( ).(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定例4求证：关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.根与系数的关系韦达定理：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． 例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．例5若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．5. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数习题2.1A 组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2（2）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73 ；④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝．3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4. 已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．。
根的判别式
21.2.3 一元二次方程根的判别式用配方法解一元二次方程 a x 2＋b x ＋c ＝0 (a ≠0)．解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即因为a ≠0，所以4a 2＞0. 式子b 2－4ac 的值有以下三种情况: (1)(2) (3)归纳：一般地，式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它， 即Δ＝b 2－4ac.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根有三种情况： ① 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ< 0时，方程无实数裉．例1 不解方程，判断下列方程根的情况．(1) 211;4x x --= (2)213x =-巩固练习．利用判别式判定下列方程的根的情况： (1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.总 结：判断方程根的情况的方法：①若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中的 左边是一个完全平方式，则该方程有 的实数根； ②若方程中a ，c 异号，或b ≠0且c ＝0时，则该方程有 的实数根；③当方程中a ，c 同号时，必须通过Δ的符号来判断根的情况．例2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？例3. 当a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋5－a ＝0有实数根。
例4..已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.。
判别式和根系
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系
湖南师大附中博才实验中学 何国平
子奇八年级数学网络课堂 —— 根的判别式和根与系数的关系
知识要点
1.根的判别式： 方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由判别式: △=b2-4ac决定： Δ>0 方程有两不等实根； Δ=0 方程有两相等实根； Δ<0 方程没有实数根； 2.根与系数的关系(韦达定理)： 如果方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是 x1，x2 ， b c . 那么： x1 x 2 x1 x2 a a 3.韦达定理的逆定理： 以 x1 , x 2 为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是： x 2 ( x x ) x x x 0
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答疑解惑
例5．设m是不小于-1的实数，关于x的方程:
x 2 2(m 2) x m2 3m 3 0
有两个不相等的实数根 x1 , x2 ， 2 2 mx m x2 1 (2)求代数式 的最大值。 1 x1 1 x2
子奇八年级数学网络课堂 ——例3 求满足方程 ( x 3) y ( x y ) 3 的所有实数对( x, y) .
子奇八年级数学网络课堂 —— 根的判别式和根与系数的关系
答疑解惑
例4 已知关于x的方程 x 2 (m2 2m 3) x 2(m 1) 0 的两个实根互为相反数。 (1)求实数m的值； (2)若关于x的方程 x 2 (k m) x 3m k 5 0 的根 均为整数，求所有满足条件的实数k.
子奇八年级数学网络课堂
名师到家 解惑答疑
华师版一元二次方程根的判别式-
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9，
∴． b 4ac (24) 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
2 2
5x 5 7x 0 (3)将方程化为一般形式， ．5x 2 7 x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b 2 4ac (7) 2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
4
当堂训练1
1.方程 的 4x 3x 2 0 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________． 2 2.已知方程 2x mx 1 0 的 判别式的值是16，则m＝ _____．
2
2 9 x 3.方程 (k 6)x k 1 0 有两个
相等的实数根，则k＝ ______． 2 4．如果关于x的方程x 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
当堂训练 2
2 kx 1.关于x的一元二次方程 6x 1 0
有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( ) A．k>9 B．k<9 C．k≤9，且k≠0 D．k<9，且k≠0
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( ) 2 2 2 x 5 6 x A． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2x mx 1 0 C． 3x 2 6x 2 0 D．
3.试说明不论k为任何实数，关
于x的方程 一 定有两个不相等实数根．
3 得：m 2
0，即8m 12 0
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五岁以上，三十岁以下的年青人，而且耿老爹计划只教授三年时间，因此其教材的内容与一年级小学童的课本有些不同， 而且一开始就加入了珠算。兄妹仨把夜校教材也研究一遍，都感觉并没有什么需要改动的。然后，耿正就带着新婚燕尔 的秀儿，又拉上耿直、娘和耿兰专门去了一趟省城。那日进城后，耿正先把娘、秀儿和耿兰安置到客栈里住下后，马上 就和弟弟带上书稿直奔省城唯一的一家印书馆去了。去了印书馆后，耿正与其掌柜的说明情况，提出来希望其一定要保 证质量，并且争取尽量加快印刷。掌柜的满口答应，说：“先生只管放心，样书您也看了，我们的印刷质量绝对没有问 题！这样吧，你们年底之前，大概在腊月二十前后就可以来提书了。”谢过掌柜的后，耿正当即交付了规定的定金。柜 台给开了付印课本的名称、数量和总费用，以及定金的收据之后，兄弟俩高高兴兴地返回客栈。耿正这次省城印书可谓 计划周全，不但带弟弟去了省城的印书馆，使俩人都得以了解了付印课本的一切交接程序，而且还顺便带着娘、秀儿和 耿兰在省城里美美地转悠了一番，让她们有机会开了一次大的眼界！返回来的路上，耿正吩咐弟弟：“年底之前取书的 事儿哥就不管了。你叫上你姐夫给你赶车，看你姐和董妞儿，还有大伯大娘他们是不是想去省城里玩儿玩儿。如果他们 想去，就顺便让他们也坐车去转一转。”耿直说：“行，印书馆那地儿俺记住了！”耿正又吩咐：“你们去提书时，一 定要仔细检查他们的印刷质量和交付数量；如果没有错，就补足费用全部提了，还要让他们给咱打包好了！”耿直说： “那些凭证单据什么的还是哥你保存着哇，走之前再给俺！俺可不想多操心，倘若弄丢了一张，岂不麻烦！”郭氏伸出 右手食指轻轻戳了一下耿直的脑门儿，半怜爱半舔怪地说：“你就讨省心哇，亏得有你哥哥在前面挡着呢！这么多年过 去了，怎么还是这么一个小娃娃的脾性！”秀儿却说：“娘，你可别这样说，小直子很不容易的。他哥哥和俺说过好多 次了，小直子很坚强，也很聪明能干呢。在亲哥哥的面前，弟弟永远都是弟弟哇！”耿直撇撇嘴说：“可不是耶，后来 的这些年爹不在跟前，哥哥就当是俺的爹啦！当年走的时候，俺还只知道贪玩儿呢，就连俺喝了的那些个墨水儿，也主 要是俺哥和俺姐给俺灌输的呢！”耿兰说：“是啊二哥，大哥和咱姐教了你，三哥倒是得了咱爹的亲传！看这事情，怎 么给搞成这样了！”一路上轻松愉快地唠着嗑儿回家不提。至此，耿正和耿英终于可以彻底放松地休息一段时间了。但 耿兰却不想闲着，她乘此机会拉着二哥教她认了不少字，还熟练地掌握了珠算加减打法。当然，只要看爹在跟前，耿直 就只管自己捧一本书读去了。耿正和耿英结婚满一月后，耿老爹又开始和耿
根的判别式
90 2x40 2x 72% 90 40.
即
解：设金边的宽为 x cm，根据题意 得
x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得 x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
练习1、一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数 1 的 8 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是 多少?你能解决这个问题吗? 解:设猴子总数是x只。
解设：增加了X行
(X+8)(X+12)=12×8+69
化简得
X² +20X=69
X1=3
,X =-23（舍）
2
答:增加了3行。
、解含有字母系数的一元二次方程
1、解关于X的方程mx 2 3x 1 0 1 解：当m 0，x 3 当m 0， 9 4m， 9 当9 4m 0，即m 时， 4
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
解这个方程, 得 x1 10 10 ; x2 10 10.
x
. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙( 墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的平行与墙的长为xm,根据题意得
E B
K
F H C
G D
2、课本55页问题解决2：
（课本55页1）如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上， 修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x米
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一、选择题1. （2008湖北省鄂州市，3分）下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A ．238x x =- B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+2. (2007安徽芜湖课改，4分) 已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( )A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜0 3. (2007湖北荆门课改，2分）下列方程中有实数根的是（ ） Ａ．2230x x ++=Ｂ．210x += Ｃ．2310x x ++=Ｄ．111x x x =-- 4. （2007湖南常德课改，4分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．210x +=B ．2210x x ++=C ．2230x x ++=D ．2230x x +-=5. （2007四川成都课改，3分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-=6. （2007天津非课改，3分）已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．34m >B ．34m ≥C ．34m >且2m ≠ D ．34m ≥且2m ≠ 7. (2007四川眉山课改,3分)一元二次方程220x x ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根8. （2008内蒙古自治区包头市，3分）一元二次方程220x x +-=根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定9. 2008山东威海市3分）关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 10. （2008山东省潍坊市，3分）下列方程有实数解的是（ ）A 1=-B ．120x ++=C ．111x x x =++ D ．2230x x -+=11. （2008贵州省黔南州，4分）若方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，则k 的最小整数值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．不存在12. 关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9二、填空题13. 07北京课标，4分）若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．14. （2007湖北咸宁课改，3分）关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________．15. (2007湖南怀化课改,2分)已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =16. （2008江苏省苏州市，3分）关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．17. （2008内蒙古呼和浩特市，3分）关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．18. 当m 满足 时，关于x 的方程21402x x m -+-=有两个不相等的实数根． 三、计算题19. （2008甘肃省兰州市，7分）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．20. （2008广东省梅州市，8分）已知关于x 的一元二次方程x 2-m x -2=0． ……① (1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；(2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．21. （2008湖南省长沙市，6分）当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？四、猜想、探究题22. （2008广东省，9分）（1）解方程求出两个解1x 和2x ，并计算两个解的和与积，填入下表：（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．23. 关于x 的方程2(2)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．一、选择题1. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠2. 已知1x =是关于x 的方程22(1)10k x k x -+-=的根，则常数k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或-13. 若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-4. 若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．5- D ．65. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-26. 已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ） A ．8B ．7-C ．6D ．57. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098. 已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-9. 关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．2510. 关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a = C ．1a = D ．0a =或2a =11. 设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是（ ）． A ． －4 B ． －1 C ． 1 D ． 0 二、填空题12. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________． 13. 若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 14. 已知一元二次方程22310x x --=的两根为12x x ，，则21x x ⋅=___________．16. 已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．17. 如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 18. 已知关于x 的方程2320x x k -+=的一个根是1，则k =_________．19. 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ． 三、证明题20. 已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；21. 已知：关于x 的方程2210x kx +-=（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．四、应用题22. 关于x 的一元二次方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、． （1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．23. 已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．五、复合题24. 已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x += （1）求12x x ，及a 的值；（2）求32111232x x x x -++的值．六、信息迁移25. 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·。