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人教版-7年级-第1讲-有理数的意义-解析版

学员姓名：科目：数学年级：7年级学科老师：授课日期：授课时段：授课时长：家长签字：课题有理数的意义教学目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．重点、难点有理数相关分类讨论考点及考试要求有理数的意义教学内容【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．类型一、正数与负数【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km【答案】D【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m【答案】B【变式4】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm故选：B．【例2】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时C．9月12日19时D．9月12日21时【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．【变式2-1】（2020秋•和平区期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）城市时差/h纽约﹣13悉尼+2伦敦﹣8罗马﹣7A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．【解答】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．故选：A．【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．【变式2-2】（2020秋•清涧县期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟城市悉尼莫斯科伦敦温哥华时差（时）+2﹣5﹣8﹣16如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，∵5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；（2）17﹣16＝1，此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．【例3】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5100%62.5% 8⨯=；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.【变式3-1】（2020秋•青羊区校级月考）股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的0.5%作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：星期一二三四五每股涨﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4+0.5跌注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．（1）星期四收盘时，每股多少元？（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？【解答】解：（1）（﹣0.1）+（+0.4）+（﹣0.2）+（﹣0.4）＝（﹣0.1）+（﹣0.2）+（+0.4）+（﹣0.4）＝﹣0.3（元）25.20+（﹣0.3）＝24.90（元）答：星期四收盘时，每股24.90元．（2）周一的股价：25.20+（﹣0.1）＝25.10（元），周二的股价：25.10+（+0.5）＝25.50（元），周三的股价：25.50+（﹣0.2）＝25.30（元），周四的股价：25.30+（﹣0.4）＝24.90（元），周五的股价：24.90+（+0.5）＝25.40（元），∵24.90＜25.10＜25.30＜25.40＜25.50，∵本周内周二股价最高，是25.50元，25.20×10000×0.5%＝1260（元），25.40×10000×0.5%＝1270（元），1260+1270＝25030（元），（25.40﹣25.20）×10000＝2000（元），2000﹣2530＝﹣530（元），∵小王在本次交易中是亏了，亏了530元．【变式3-2】（2020秋•盐都区月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小智家用电量最多的是月份，该月份应交纳电费元；（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？【分析】（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；（2）估算出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．【解答】解：（1）五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，应缴纳电费0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8×36＝143.8（元），故答案为：五，143.8；（2）∵204.6＞0.5×50+0.6×150，∵用电量大于200度，设用电量为x度，由题意得，0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8（x﹣200）＝204.6，解得，x＝312，答：他家七月份的用电量是312度．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【例4】下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a-一定是负数．D．正整数和正分数统称正有理数．【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a-为正数或0，而不是负数；(D)对【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】√，⨯，⨯，⨯【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数【答案】Ｄ【例5】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{…}，整数集合:{…}，正分数集合:{…}，负分数集合:{…}，分数集合:{ …}，非负数集合：{…}，非正数集合：{ …}.【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数：-3.88，7 23 -；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，7 23 -；非负数：1,0.0708，3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0,7 23 -【变式5-1】（2020秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．【答案】2.【变式5-2】（2020秋•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣12，5分类．【分析】按照有理数的分类解答即可．【解答】解：如图所示：类型三、分数化成有限小数首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.【例6】（2020秋•浦东新区期末）在下列分数中，不能化成有限小数的是（）A．18B．312C．524D．25【分析】首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此解答即可．【解答】解：A、18的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；B、312=14，分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；C、524的分母中含有质因数3和2，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意；D、25的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数，故本选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数，小数与分数的互化，解答此题的关键是熟练掌握小数与分数的互化．【变式6-1】（2020秋•上海期末）在分数38，36，19，324，310中，可化为有限小数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先，要看分数是否是最简分数，不是的，先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此逐项分析后再选择．【解答】解：38的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，3 6=12的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，19的分母中含有质因数3，不能化成有限小数，3 24=18的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，310的分母中只含有质因数2与5，能化成有限小数．故选：C．【点评】此题主要考查有理数中什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【变式6-2】（2020秋•松江区期中）分数116，117，118，119中，能化成有限小数的有几个？（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【解答】解：116是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 117是最简分数，分母中含有质因数17，不能化成有限小数； 118是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；119是最简分数，分母中含有质因数19，不能化成有限小数；所以能化成有限小数的有1个．故选：B ．【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．类型四、探索规律【例7】某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是粒. 【答案】(12+n )【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数：,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是：【答案】901一、选择题1. 下列语句正确的（）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0∵表示没有温度．A . 0B . 1C . 2D . 32. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )A ．0是整数B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A ．前进-18米的意义是后退18米B ．收入-4万元的意义是减少4万元C ．盈利的相反意义是亏损D ．公元-300年的意义是公元后300年4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )A ．甲站的东边70千米处B ．甲站的西边20千米处C ．甲站的东边30千米处D ．甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（）A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量B ．有最大的数C ．没有最小的数，也没有最大的数D ．以上答案都不对6. 下列各数是正整数的是（）A ．－1B ．2C ．0．5D ．2二、填空题1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作．2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .5．是正数而不是整数的有理数是 .6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元（4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．甲地海拔高度是40m ，乙地海拔高度为30m ，丙地海拔高度是-20m ，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，，，... ，...(2)-1,21,-31,41,51-,61,71-, , ,... ,... 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0∵表示没有温度，错误．综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3. 【答案】D【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.4.【答案】C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5. 【答案】C【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.6. 【答案】B二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，112；122，0，-45【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】正分数【解析】正数包括正分数和正整数，因为不是整数，所以只能是正分数.6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，10.03，9.98【解析】03.002.010+-表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03），即大于9.98而小于10.03. 三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；（2）运进-5t 表示运出5t ；（3）浪费-14元表示节约14元；（4）上升-2m 表示下降2m ；(5)向南走-7m 表示向北走7m .提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3．【解析】甲地海拔高度是40m ，表示甲地在海平面以上40m 处；乙地海拔高度为30m ，表示乙地在海平面以上30m 处；丙地海拔高度是-20m ，表示丙地在海平面以下20m 处；所以，最高是甲地，最低是丙地，最高的地方比最低的地方高：40+20=60 （m ）.4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）111,,...,, (892011)--。

第二章---有理数及其运算-讲义-答案版本

%第二章有理数及其运算1 有理数题型一具有相反意义的量及表示方法1．下列选项中，具有相反意义的量是（）A．胜2局与负3局 B．6个老师与6个学生C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米`2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向东走5米记为+5米，那么向西走3米记为（）A．﹣3米B．﹣5米C．+3米D．+5米3．某商场经理对今年上半年每月的利润作了如下记录：月盈利分别是33万元、32万元、万元、54万元，3、4月份亏损分别是万元和万元．试用正、负数表示各月的利润，并算出该商场上半年的总利润．|题型二几何图形的构成4．在﹣3，0，1，﹣2这四个数中，是负数的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．05．在下列各说法中，正确的是（）A．数0的意义就是没有 B．一个有理数，不是整数就是分数C．一个有理数不是正有理数就是负有理数 D．正数和负数统称为有理数6．在﹣，2，0，，﹣9这五个数中，负有理数的个数为个；整数的个数为个．：7下列各数中，既不是整数也不是负数的是（）A．B．5 C．﹣1 D．08．课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．19．（1）统称整数，（2）统称分数，（3）统称有理数．10．．下列各数，哪些是整数，哪些是分数哪些是正数，哪些是负数1，﹣，，﹣789，325，0，﹣20，，1 ．,11．五袋白糖以每袋50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：+，﹣4，+，﹣，+．这五袋白糖共超过多少千克总重量是多少千克]题型三数的集合12．把下列各数填入相应的大括号内：﹣，2，0，﹣，﹣3，+27，﹣15%，﹣1正数集合{ }负数集合{ }整数集合{ }分数集合{ }非负数集合{ }—1 有理数-提升1．小青乘飞机取旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格：飞机距离地面高度h（千米）012~3……飞机舱外面的温度t（℃）82﹣4﹣10……)此时飞机舱外部的温度显示为﹣22℃，地面此时温度为8℃，请你帮小青算算，他所乘坐的飞机此时距离地面（）千米．A．8 B．7 C．6 D．52．下列说法正确的是（）A．有理数分为正数和负数B．﹣a一定表示负数C．正整数，正分数，负整数，负分数统称为有理数D．有理数包括整数和分数3．给出下列各数：+10，﹣2，0，﹣，5，﹣1，，﹣2016，，，其中，是负数的有（）【A．2个B．3个C．4个D．5个4．小明和小红以旗杆为起点，小明向东走15米记作+15米，小红向西走3米记作﹣3米，小明和小红相距（）米．A．18米B．19米C．20米5．﹣，0，2008，，10%，﹣23，，﹣，3，上述数中，整数有，负分数有．6．下列数﹣11、5%、﹣、、、0、﹣、﹣π、2014中，负有理数有个，负分数有个，整数有个．7．邻居张大爷上星期五买进某公司股票，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）星期一;三四五二﹣每股涨跌+2 +﹣1。

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有理数优秀教案•相关推荐有理数优秀教案（精选10篇）作为一位杰出的教职工，时常要开展教案准备工作，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

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有理数优秀教案篇1【教学目标】1、理解有理数加法的实际意义；2、会作简单的加法计算；3、感受到原来用减法算的问题现在也可以用加法算、【对话探索设计】〖探索1〗（1）某仓库第一天运进300吨化肥，第二天又运进200吨化肥，两天一共运进多少吨（2）某仓库第一天运进300吨化肥，第二天运出200吨化肥，两天总的结果一共运进多少吨（3）某仓库第一天运进300吨化肥，第二天又运进—200吨化肥，两天一共运进多少吨（4）把第（3）题的算式列为300+（—200），有道理吗（5）某仓库第一天运进a吨化肥，第二天又运进b吨化肥，两天一共运进多少吨〖探索2〗如果物体先向右运动，再向右运动，那么两次运动后总的结果是什么假设原点为运动起点，用下面的数轴检验你的答案、在足球比赛中，通常把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数、若某场比赛红队胜黄队5：2（即红队进5个球，失2个球），红队净胜几个球〖小游戏〗（请一位同学到黑板前）前进5步，又前进—3步，那么两次运动后总的结果是什么若是后退—1步，又后退3步呢〖补充作业〗1、分别用加法和减法的算式表示下面每小题的结果（能求出得数最好）：（1）温度由下降；（2）仓库原有化肥200t，又运进—120t；（3）标准重量是，超过标准重量；（4）第一天盈利—300元，第二天盈利100元、2、借助数轴用加法计算：（1）前进，又前进，那么两次运动后总的结果是什么（2）上午8时的气温是，下午5时的气温比上午8时下降，下午5时的气温是多少3、某潜水员先潜入水下，他的位置记为、然后又上升，这时他处在什么位置有理数优秀教案篇2教学目标知识与技能：熟记有理数的减法法则，能熟练进行有理数减法运算。

第一讲有理数的相关概念

第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都大于0。

2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。

负数都小于0。

0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

注意：正数和负数是表示相反意义的量。

如：南为正方向，向南km3表示为km-。

31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。

4、无理数：无限不循环小数，如π。

5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：（1）在A 处的数是正数还是负数？（2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。

1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。

1.2.1 有理数(教师版)

1.2 有理数1.2.1有理数知识点1：有理数的概念1.概念：有理数也叫可比数，是指能够写成两个整数比的比例数。

因而，整数和分数统称有理数.2.整数：正整数、零和负整数统称为整数。

自然数：正整数和零。

3.分数：正分数和负分数统称为分数。

⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。

例：0.333……可以化为.知识点2：有理数的分类知识点3：四非数①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点梳理·新认知考点1 有理数的辨别例1在-,π,0,-0.74四个数中,有理数的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】-,0,-0.74是有理数,而π是无限不循环小数,不是有理数,故选C.总结：1.整数和分数统称为有理数.凡是能写成（p,q为整数，且q≠0）形式的数，都是有理数.2.有限小数与无限循环小数都能表示成分数形式，无限不循环小数不是有理数，如π不是有理数．考点2 有理数的分类例2把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．【解析】解：在所给的所有数中，①自然数集合为{0，10…}；②整数集合为{-7，0，10…}；③负数集合为{-7，-3.14，－314…}；④正分数集合为{3.5，1713，0.03%…}；⑤正有理数集合为{0.03%，1713，3.5，10…}．总结:对有理数进行分类，首先要理解以下数的概念：1.正数：像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数．正数的前面可以加上正号（即加号）“+”来表示2.负数：在正数前加上“-”的数叫做负数；3.整数：像-2，-1，0，1，2这样的数叫做整数；4.分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数．考点3 带非字的数例3﹣5，0，﹣3.14，，﹣12，0.1010010001…,+1．99，﹣（1）非负数集合：{ …}（2）非负整数数集合：{ …}（3）非正数集合：{ …}（4）非正整数数集合：{ …}【解析】解：在所给的所有数中，（1）非负数集合：{ 0，，0.1010010001…,+1．99，…}（2）非负整数数集合：{ 0 …}（3）非正数集合：{﹣5，﹣3.14，﹣12，﹣…}（4）非正整数数集合：{ ﹣5，﹣12，…}总结：1.有理数分为正数、0和负数三类，正数和0统称非负数；负数和0统称非正数．2.一个数不是0，则它可能是正数或负数；若一个数不是正数，则它可能是负数或者0；若一个数不是负数，则它可能是正数或者0.基础训练1．下列各数：-1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】解：在-1，2π ，4.112134，0，227 ，3.14中不是有理数是2π：故选B ．2. 在下列数，，2.010010001…，25%，3.1415926，0， …中，属于分数的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：属于分数的有25%，3.1415926，-0.222…，故选B ． 3. 下列表述中，正确的是（）A ．有理数有最大的数，也有最小的数B ．有理数有最大的数，但没有最小的数C ．有理数有最小的数，但没有最大的数D ．有理数既没有最大的数，也没有最小的数【解析】解：有理数既没有最大的数，也没有最小的数．故选D ． 4. 下列说法正确的是（）A ．一个有理数不是整数就是分数B ．正整数和负整数统称为整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D ．0不是有理数【解析】解：A 、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确； B 、正整数和负整数和0统称为整数，故本选项错误； C 、正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故本选项错误； D 、0是有理数，故本选项错误；故选A ．5.下列说法：①-2.5既是负数、分数，也是有理数；②-7既是负数也是整数，但不是自然数；③0既不是正数也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】解：①-2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②-7既是负数也是整数，但不是自然数，，正确；③0既不是正数也不是负数，正确；④0是非负数，正确，则正确的个数是4，故选D ．6. 把下列各数填在相应的大括号内:5，7-8，-10，0，2.4，+3，227，-3.01.正数集合{…};非负数集合{…};整数集合{…};负分数集合{…}.【解析】正数集合,.,,,…;非负数集合,,.,,,…; 整数集合{5,-10,0,+3,…};负分数集合-,-.,….能力晋升1．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、ba、b的形式，则b的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．2【解析】解：由题意可知：a+b，a中有一个为0，且ba，b中有一个为1，当a=0时，则ba没有意义，不成立；∴b=1．故选C．2.下列判断正确的个数是（）①一个有理数不是整数就是分数②一个有理数不是正数就是负数③一个整数不是正数就是负数④一个分数不是正数就是负数⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①一个有理数不是整数就是分数，正确；②一个有理数不是正数就是负数，错误，也可能是0；③一个整数不是正数就是负数，错误，也可能是0；④一个分数不是正数就是负数，正确；⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数，错误，也可能是0；故选B．3. 在有理数集合中，最小的正整数是，最大的负整数是．【解析】解：在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是-1．故答案为1；-1．4. 在-2，1.5，+，0，27，100，-2.1，18，-，-30中,是非负整数的是.【解析】0，27，100，18.5. 在-2，5，-，0.63，0，7，-0.05，-6，9，，，1中,正分数有个,负分数有个,自然数有个,整数有个.【解析】正分数是0.63，，，有3个;负分数是-，-0.05，有2个;自然数是5，0，7，9，1，有5个;整数是-2，5，0，7，-6，9，1，有7个.6.把下列各数分别填入相应的集合内：-2，-3.14，0.3，0，，，-0.1212212221…．（1）正数集合：{ }；（2）负数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）有理数集合：{ }．【解析】解：（1）正数集合：{0.3，，}；（2）负数集合：{ -2，-3.14，-0.1212212221…}；（3）分数集合：{ -3.14，0.3，}；（4）有理数集合：{ -2，-3.14，0.3，0，}．同步检测·新导向1．（2019•武汉模拟）下列各数中，属于正有理数的是（）A．π B．0 C．-1 D．2【解析】解：由题意得：π是无理数，故选项A错误；0是有理数，但不是正数，故选项B错误；-1是负有理数，故选项C错误；2是正有理数，故选项D正确；故选D．2.（2019•沙坪坝区校级模拟）下列四个数中，是正整数的是（）A．-2 B．-1 C．1 D．1 2【解析】解：A、-2是负整数，故选项错误；B、-1是负整数，故选项错误；C、1是正整数，故选项正确；D、12是非正整数，故选项错误．故选C．3．（2019•渝中区校级模拟）下列各数中是负整数的是（）A．-2 B．5 C．12D．2-5【解析】解：A、-2为负整数，故选项正确；B、5为正整数，故选项错误；C、12为正分数，故选项错误；D、2-5为负分数，故选项错误．故选A．4．（2018秋•沈河区期末）在-4，227，0，2，3.14159，1.3，0.1010010001…有理数的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：2，0.1010010001…不是有理数，故选D ．5．（2018秋•卢龙县期末）下列说法正确的是（） A ．0是最小的有理数 B ．一个有理数不是正数就是负数 C ．分数不是有理数 D ．没有最大的负数【解析】解：A 、没有最小的有理数，故本选项错误；B 、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误；C 、分数是有理数，故本选项错误；D 、没有最大的负数，故本选项正确；故选D ．6.（2018秋•门头沟区期末）在有理数-0.2，-3，0，132，-5，1中，非负整数有．【解析】解：非负整数有0，1，故答案为：0，1．7．（2018秋•仪征市期中）有三个有理数，分别是-1、a 、a +b ，或者写成0、-b a、b ，那么数b 的值是．【解析】解：由题意可知：a +b ，a 中有一个为0，且-b a ，b 中有一个为-1，当a =0时，则-b a没有意义，不成立；∴b =-1．故答案为：-1． 8. （2018秋•武邑县校级月考）在数1-13，20%，227，0.3，0，-1.7，21，-2，1.0101001…，+6，π中，分数有个．【解析】解：分数有1-13，20%，227，0.3，-1.7，故答案为：5。

有理数(基础篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数.（1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示；（2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________；（3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________.【答案】（1）解：距离A点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求.（2）；5；9（3）；或1【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 .故答案为9.（ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点，得点表示的数是 .到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1.故答案为，或1.【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。

（2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。

（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。

2．如图，为原点，数轴上两点所对应的数分别为，且满足关于的整式与之和是是单项式，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动.（1）求的值.（2）当时，求点的运动时间的值.（3）当点开始运动时，点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，若，求的长.【答案】（1）解：因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式所以所以m=-40，n=30.（2）解：因为A、B所对应的数分别为-40和30，所以AB=70,AO=40,BO=30，当点P在O的左侧时：则PA+PO=AO=40，因为PB-（PA+PO）=10, PB=AB-AP=70-4t所以70-4t-40=10所以t=5.当点P在O的右侧时:因为PB<PA所以PB-（PA+PO）<0,不合题意，舍去（3）解：①如图1,当点P在点Q左侧时，因为AP=4t,BQ=2t,AB=70所以PQ=AB-（AP+BQ）=70-6t又因为PQ= AB=35所以70-6t=35所以t= ,AP= = ,②如图2，当点P在点Q右侧时，因为AP=4t，BQ=2t，AB=70，所以PQ=（AP+BQ）-AB=6t-70，又因为PQ= AB=35所以6t-70=35所以t=所以AP= =70.【解析】【分析】（1）根据单项式的次数相同，列方程即可得到答案；（2）分情况讨论：当点P在O的左侧时：当点P在O的右侧时.即可得到答案.（3）结合题意分别计算：①如图1,当点P在点Q左侧时，如图2，当点P在点Q右侧时.3．已知，数轴上点A和点B所对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为．（1）填空： ________ ， ________ ．（2）若点 P到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数.（3）现在点 A、点 B分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，点 P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点 A与点 B之间的距离为2个单位长度时，求点 P所对应的数是多少？【答案】（1）-1；3（2）解：依题可得：PA=|x+1|，PB=|3-x|，∵点P到点A、点B的距离相等，∴PA=PB，即|x+1|=|3-x|，解得：x=1，∴点P对应的数为1.（3）解：∵点A、点B 速度分别以 2 个单位长度/秒、 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，∴A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，①当点A在点B左边时，∵AB=2，∴（3+0.5t）-（2t-1）=2，解得：t=，∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，∴×3=4，∴P点对应的数为：-4.②当点A在点B右边时，∵AB=2，∴（2t-1）-（3+0.5t）=2，解得：t=4，∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动，∴4×3=12，∴P点对应的数为：-12.【解析】【解答】解：（1）∵（a+1）2+|b-3|=0，∴，解得：.故答案为：-2；3.【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性列出方程，解之即可得出答案.（2）根据题意可得PA=|x+1|，PB=|3-x|，再由PA=PB得|x+1|=|3-x|，解之即可得出点P对应的数.（3）根据题意可得A点对应的数为2t-1，点B对应的数为3+0.5t，分情况讨论：①当点A 在点B左边时，②当点A在点B右边时，由AB=2分别列出方程，解之得出t值，再由P 点的速度得出点P对应的数.4．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；（2）化简：；（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．【答案】（1）>；<；<（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，则2b -c - (a - 4c - b)．=2b -c - a + 4c + b=3(b+c)-2=【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0<b<1<a∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．5．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式6x3y－2xy＋5的二次项系数为a，常数项为b（1）直接写出：a＝________，b＝________（2）数轴上点P对应的数为x，若PA＋PB＝20，求x的值（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，求经过多少秒后，M、N两点相距1个单位长度【答案】（1）﹣2；5（2）解：①当点P在点A左边，由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴②当点P在点A右边，在点B左边，由PA+PB=20得: x ﹣（﹣2 ）+(5﹣x)=20,∴，不成立③当点P在点B右边，由PA+PB=20得:x ﹣（﹣2 ）+(x﹣5), ∴ .∴或11.5（3）解：设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，由运动知，AM＝t，BN＝2t，① 当点N到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，t＋1＋2t＝5＋2，所以，t＝2秒，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，t＋2t﹣1＝5＋2，所以，t＝秒，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度，t﹣[2t﹣（5＋2）]＝1，所以，t＝6秒；Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，[2t﹣（5＋2）]﹣t＝1，所以，t＝8秒；即：经过2秒或秒或6秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度.【解析】【解答】（1）∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，∴a=-2，b=5，故答案为：-2，5；【分析】（1）根据多项式的相关概念即可得出a,b的值；（2）分①当点P在点A左边，②当点P在点A右边，③当点P在点B右边，三种情况，根据 PA+PB=20 列出方程，求解并检验即可；（3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，故AM＝t，BN＝2t，分① 当点N 到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M 时，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，几种情况，分别列出方程，求解即可.6．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，（1）写出数轴上点B表示的数________；（2）|5－3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若，则=________.②：的最小值为________.（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（＞0）秒．①：当 =1时，A，P两点之间的距离为________；②：当 =________时，A，P之间的距离为2.（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒4个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t=________，P，Q之间的距离为4.【答案】（1）-12（2）6或10；20（3）6；3或5（4）2或4【解析】【解答】解：（1）∵AB=20，点A表示的数是8，B是数轴上位于点A左侧一点，∴点B表示的数是8-20=-12.故答案为：-12.（2）∵|x-8|=2∴x-8=±2解之：x=10或x=6；|x-（-12）|+|x-8|的最小值为8-（-12）=20.故答案为：6或10；20.（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴OP=2t∴AP=8-2t当t=1时，AP=8-2×1=6；当AP=2时，则|8-2t|=2，解之：t=5或t=3.故答案为：6；3或5.（4）∵点P以每秒4个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，∴点Q的速度为每秒8个单位长度，设运动时间为t（t＞0）秒时，P，Q之间的距离为4.∴8t-4t-12=4或12+4t-8t=4解之：t=4或t=2故答案为：2或4.【分析】（1）根据点A表示的数和点B的位置关系，就可得到点B所表示的数。

有理数

有理数一、课前导入：1、小明在书上看到，冬日的一天，某地的最高气温为15℃，最低气温达到-12℃，平均气温是0 ℃，这里面的数是什么数？答案：15是正数-12是负数0既不是正数也不是负数2、，，0.2，-0.5，它们又是什么数呢？答案：分数课程讲义：二、正数和负数的概念1、正数：大于0的数，叫做正数。

正数比0大。

2、在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。

负数比0小。

&零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号。

2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

三、有理数的概念1、有理数：整数和分数统称为有理数。

注意：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。

但是本节中的分数不包括分母是1的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

2、整数包括正整数、零、负整数。

3、分数包括正分数和负分数。

四、有理数的分类1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数与0的关系分类：注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。

五、数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

六、数轴的画法1、画一条直线（一般画成水平的直线）。

2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

1.1-1有理数相关的概念----专题一

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---⋯---⎪⎩⎪⎨⎧⋯⋯655.351321413121321:，，负分数：如，，负整数：如负有理数零，，正分数：如，，如正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯---⋯⎪⎩⎪⎨⎧⋯---⋯655.3512.53121321321，，负分数：如，，正分数：如分数，，负整数：如零，，正整数：如整数有理数1.1有理数相关的概念----专题一一知识要点：1.负数：在正数前面加“—”的数； 0既不是正数，也不是负数 2有理数：整数和分数统称有理数有理数分类说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，零既不是正数，也不是负数.3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.归纳数轴上的点的意义：一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

4. 互为相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。

0的相反数是0.。

几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原点的距离相等。

规定: 在任何一个数的前面添上一个"+"号,表示这个数本身;添上一个"-"号,就表示这个数的相反数.)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a5. 有理数的绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作︱a ︱（1）一个正数的绝对值是它本身；（2） 0的绝对值是0；（3）一个负数的绝对值是它的相反数。

公式表示为：对任何有理数a,总有︱a ︱≥0.6. 有理数大小的比较（1）.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

专题05有理数与无理数-重难点题型(举一反三)(解析版)

专题2.3 有理数与无理数-重难点题型【题型1 有理数概念的辨析】【例1】（2020秋•长乐区校级月考）下列说法错误的是（）A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B．一个有理数不是整数就是分数C．0既不是正数，也不是负数D．负整数、负分数统称为负有理数【分析】利用有理数的分类判断即可．【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；C、0既不是正数，也不是负数，正确，故本选项不符合题意；D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的定义及分类，解题时熟练掌握有理数的定义及不同的分类标准即可解决问题．【变式1-1】（2020秋•襄汾县期中）下列说法中正确的个数有（）①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】结合有理数的分类分析即可．【解答】解：①﹣4.2是负分数是正确的；②3.7不是整数是正确的；③非负有理数包括零，原来的说法错误；④正有理数、0、负有理数统称为有理数，原来的说法错误；⑤没有最小的有理数，原来的说法错误．故说法中正确的个数有2个．故选：B．【点评】本题考查了有理数，涉及的知识点：非负有理数包括正有理数和0；整数包括正整数、负整数和0；没有最小的有理数．此题是基础知识题，需要熟练掌握．【变式1-2】（2020秋•天津期末）下列说法正确的有（）①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】按照有理数的分类对各项进行逐一分析即可．【解答】解：①正有理数是正整数和正分数的统称是正确的；②整数是正整数、0和负整数的统称，原来的说法是错误的；③有理数是正整数、0、负整数、正分数、负分数的统称，原来的说法是错误的；④0是偶数，也是自然数，原来的说法是错误的；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零是正确的．故说法正确的有2个．故选：B．【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【变式1-3】（2020秋•东至县期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；⑥237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【分析】有理数的分类：有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数，依此即可作出判断．【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；④非负数就是正数和0，故错误；⑤−π2是无理数，故错误；⑥237是无限循环小数，所以是有理数，故错误；⑦无限小数不都是有理数是正确的；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．故其中错误的说法的个数为6个．故选：B ．【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【题型2 无理数的概念】【例2】（2020秋•太平区期末）下列各数：﹣1，π3，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2），﹣3.1415，227，﹣0.3⋅，其中无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：﹣1是整数，属于有理数；﹣3.1415是有限小数，属于有理数；227是分数，属于有理数；﹣0.3⋅是循环小数，属于有理数；无理数有π3，1.1212212221…（每两个1之间增加1个2）共2个．故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【变式2-1】（2020秋•鼓楼区校级月考）在314，π，13，﹣0.23，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：在314，π，13，﹣0.23，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3）中，无理数有π，1.131331333133331…（两个1之间依次多一个3），共2个．故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式2-2】（2020秋•张家港市期中）下列一组数：﹣8，2.7，312，π2，−0.6⋅，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）其中是无理数有（）A ．0 个B ．1 个C ．2个D ．3个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：﹣8，0，2是整数，属于有理数；2.7是有限小数，属于有理数；312是分数，属于有理数；−0.6⋅是循环小数，属于有理数；无理数有π2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）共2个．故选：C ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式2-3】（2020秋•梁溪区期中）在−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅这七个数中，无理数的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：−74是分数，属于有理数；1.010010001是有限小数，属于有理数；833是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；﹣π是无理数；﹣2.626626662…是无理数；0.1⋅2⋅是循环小数，属于有理数；所以无理数有﹣π，﹣2.626626662…共2个．故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．【题型3 有理数的分类】【例3】（2020秋•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：①﹣0.3⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤−27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨213．（1）整数集合：{ ③⑥⑦⑨ …}；（2）负数集合：{ ①③⑤⑧ …}；（3）非正数集合：{ ①③⑤⑦⑧ …}；（4）分数集合：{ ①②④⑤⑧ …}；（5）非负整数集合：{ ⑥⑦⑨ …}．【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可．【解答】解：（1）整数集合：{﹣10；18；0，213⋯}；（2）负数集合：{﹣0.3⋅；﹣10；−27；﹣2.3…}；（3）非正数集合：{﹣0.3⋅；﹣10；−27；0；﹣2.3…}；（4）分数集合：{﹣0.3⋅；3.1415；0.28；−27；﹣2.3…}；（5）非负整数集合：{18；0，213⋯}．故答案为：（1）③⑥⑦⑨；（2）①③⑤⑧；（3）①③⑤⑦⑧；（4）①②④⑤⑧；（5）⑥⑦⑨．【点评】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单．【变式3-1】（2020秋•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内．5，14，﹣3，−312，0，2010，﹣35，6.2，﹣1．正数集合{ 5，14，2010，6.2 …}；负数集合{ ﹣3，−312，﹣35，﹣1 …}；自然数集合{ 5，0，2010 …}；整数集合{ 5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1 …}；分数集合{ 14，−312，6.2 …}；负分数集合{ −312 …}；非负数集合{ 5，14，0，2010，6.2 …}；非正整数集合{ ﹣3，0，﹣35，﹣1 …}；【分析】根据正数、负数、自然数、整数、分数、负分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可．【解答】解：正数集合{5，14，2010，6.2…}；负数集合{﹣3，−312，﹣35，﹣1…}；自然数集合{5，0，2010…}；整数集合{5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1…}；分数集合{14，−312，6.2…}；负分数集合{−312⋯}；非负数集合{5，14，0，2010，6.2…}；非正整数集合{﹣3，0，﹣35，﹣1…}．故答案为：5，14，2010，6.2；﹣3，−312，﹣35，﹣1；5，0，2010；5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1；14，−312，6.2；−312；5，14，0，2010，6.2；﹣3，0，﹣35，﹣1．【点评】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．【变式3-2】（2020秋•鼓楼区校级月考）将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0，﹣2213，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，π．有理数集合：{ ﹣7，0，﹣2213，﹣2.55555……，3.01，+9 …}；无理数集合：{ 4.020020002…，π …}；整数集合：{ ﹣7，0，+9 …}；分数集合：{ ﹣2213，﹣2.55555……，3.01 …}．【分析】直接利用有理数，正分数，负整数，负分数，正数，负数的定义分别分析得出答案．【解答】解：有理数合：{﹣7，0，﹣2213，﹣2.55555……，3.01，+9，…}；无理数集合：{4.020020002…，π…}；整数集合：{﹣7，0，+9，…}；分数集合：{﹣2213，﹣2.55555……，3.01，…}．故答案为：﹣7，0，﹣2213，﹣2.55555……，3.01，+9；4.020020002…，π；﹣7，0，+9；﹣2213，﹣2.55555……，3.01．【点评】此题主要考查了有理数，正确把握相关定义是解题关键．【变式3-3】（2020秋•袁州区校级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：﹣11，−35，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．（1）整数集合：{ ﹣11，﹣9，0，+12 …}；（2）分数集合：{ −35，﹣6.4，﹣4% …}；（3）非负整数集合：{ 0，+12 …}；（4）负有理数集合：{ ﹣11，−35，﹣9，﹣6.4，﹣4% …}．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；（2）分数集合：{−35，﹣6.4，﹣4%…}；（3）非负整数集合：{0，+12…}；（4）负有理数集合：{﹣11，−35，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12；（2）−35，﹣6.4，﹣4%；（3）0，+12；（4）﹣11，−35，﹣9，﹣6.4，﹣4%．【点评】本题考查有理数的分类，记住有理数的两种分类方法是解决问题的关键．【题型4 有理数中的新定义集合】【例4】（2020秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23B．24C．24或25D．26【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解．【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，由题意可知，1180＜m＜1260时，100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50，∴这个黄金集合的个数是24或25个；故选C．【点评】本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．【变式4-1】（2020秋•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M ＜23897，则该集合总共的元素个数是（）A．22B．23C．24D．25【分析】根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题．【解答】解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2018﹣a，∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018﹣a＝2018，2018×11＝22198，2018×11.5＝23207，2018×12＝24216，又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，∴该集合总共的元素个数是11.5×2＝23．故选：B．【点评】本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识．【变式4-2】（2020秋•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．（3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．【变式4-3】（2020秋•山西月考改编）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．（1）集合{﹣4，8}（填“是”或“不是”）对偶集合．（2）集合{−112，1012，2}是否是完美对偶集合？请说明理由.【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论；（2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论；【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是；（2）不是；理由如下：因为−112+12=1012，所以{−112，2，1012}是对偶集合，又因为−112+2+1012≠0，所以{−112，2，1012}不是完美对偶集合；【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．。

七年级数学有理数知识点汇总

第一章有理数1.1 正数与负数1.正数和负数的概念①正数：大于0的数叫正数。

（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

如：（3） 0表示一个确切的量。

如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

第1章有理数(易错必刷30题14种题型专项训练)(原卷版)

第1章有理数（易错必刷30题14种题型专项训练）➢ 正数和负数 ➢ 有理数 ➢ 数轴 ➢ 相反数 ➢ 绝对值 ➢ 有理数大小比较 ➢ 有理数的减法➢ 有理数的乘法 ➢ 有理数的乘方 ➢ 非负数的性质：偶次方 ➢ 有理数的混合运算 ➢ 科学记数法—表示较大的数 ➢ 实数大小比较 ➢ 规律型：数字的变化类一．正数和负数（共4小题）1．（2022秋•霍林郭勒市校级月考）如果向东走6km ，记作+6km ，那么﹣3km 表示（） A ．向西走3kmB ．向北走3kmC ．向南走3kmD ．向东走3km2．（2022秋•桂林月考）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作．3．（2022秋•惠济区期中）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km ）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次 ﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣1（1）求收工时距O 地多远？（2）在第几次记录时距O 地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？4．（2022秋•福清市校级月考）超市购进8筐白菜，以每筐25kg 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5．（1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？（2）这8筐白菜一共多少千克？（3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？二．有理数（共1小题）5．（2022秋•旌阳区校级月考）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：﹣2，﹣20%，﹣0.13，，10，，21，6.2，4.7，﹣8．正整数：{ …}；负整数：{ …}；正分数：{ …}；负分数：{ …}．三．数轴（共3小题）6．（2022秋•隆昌市校级月考）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（）A．1B．5C．1或﹣5D．1或57．（2022秋•雁塔区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|+|b﹣c|的值是（）A．2c﹣3a B．a C．2c﹣a D．2c﹣2b8．（2022秋•广信区月考）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|a+c|+|b﹣c|﹣|c﹣b|．四．相反数（共1小题）9．（2022秋•齐河县校级月考）的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．五．绝对值（共1小题）10．（2022秋•启东市校级月考）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．2六．有理数大小比较（共3小题）11．（2022秋•连山区月考）在有理数0，2，﹣1，﹣2中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣1D．﹣212．（2022秋•高明区月考）写出一个比﹣3大的负整数为．13．（2022秋•阿图什市校级月考）在数轴上把下列各数表示出来，并用小于符号从小到大排列出来﹣2，0，|﹣4|，0.5，﹣5，﹣（﹣3）．七．有理数的减法（共1小题）14．（2022秋•扬州月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；＝；＝．观察上述式子的特征，解答下列问题：（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①|23﹣47|＝；②＝；（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝；（3）计算：．八．有理数的乘法（共1小题）15．（2022秋•南安市月考）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么（）A．这两个数都是负数B．这两个数都是正数C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大九．有理数的乘方（共2小题）16．（2021秋•香洲区校级月考）下列说法正确的是（）A．倒数等于它本身的数只有1B．平方等于它本身的数只有1C．立方等于它本身的数只有1D．正数的绝对值是它本身17．（2022秋•桂林月考）下列各数中，互为相反数的是（）A．|﹣1|和1B．﹣3和﹣（﹣2）C．（﹣2）2和﹣22D．﹣3和一十．非负数的性质：偶次方（共1小题）18．（2022春•南岗区校级月考）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b a＝．一十一．有理数的混合运算（共8小题）19．（2022秋•怀柔区校级月考）如果a＞0，那么下面各式计算结果最大的是（）A．B．C．D．20．（2022秋•西城区校级月考）（1）﹣5+1﹣（﹣2）；（2）（﹣）2+8×（﹣）；（3）（+﹣）÷（﹣）；（4）[﹣33×（）2﹣|﹣1|]×（﹣）．21．（2022秋•朝阳区校级月考）计算（能用简便方法的用简便方法）：（1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）；（2）；（3）；（4）．22．（2022•越秀区校级开学）39×+148×+48×．23．（2022•越秀区校级开学）．24．（2022秋•宛城区校级月考）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.250.30.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量：（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元．25．（2022秋•朝阳区校级月考）对于任意的非零有理数a，b，定义：，解决以下问题：（1）计算（﹣3）*4；（2）计算（﹣6）*2*（﹣3）；（3）请你举例验证一下交换律即a*b＝b*a在这一运算中是否成立．（举一个例子即可）．26．（2022秋•庐江县期中）小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时，；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]；（3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．一十二．科学记数法—表示较大的数（共2小题）27．（2022秋•沈丘县月考）2021年末河南省常住人口9883万人，其中城镇常住人口5579万人，乡村常住人口4304万人；常住人口城镇化率为56.45%，比上年末提高1.02个百分点，数据“9883万”用科学记数法可以表示为（）A．9.883×107B．9.883×108C．98.83×107D．98.83×10628．（2022秋•茅箭区校级月考）据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为．一十三．实数大小比较（共1小题）29．（2021秋•松山区期中）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？一十四．规律型：数字的变化类（共1小题）30．（2020秋•新市区校级月考）阅读下面的解答过程．计算：．解：因为，所以原式＝＝＝＝．根据以上解题方法计算：（1）＝﹣（n为正整数）；（2）．（3）．。

第一章有理数

第一章有理数1.正数和负数：（1）大于0的数叫做正数。

像3，1.8%，3.5，+112…… （2）小于0的数叫做负数。

像-3，-1.8%，-3.5，……（3）0既不是正数也不是负数。

说明：（1）一般地，正数前面的“+”号省略不写。

（2）0除了表示“没有”外，还是正数与负数的分界。

2.有理数：（1）正整数、0、负整数统称为整数；（2）正分数、负数数统称为分数。

（3）整数和分数统称为有理数。

（4）有理数的分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负数 0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数（5）分数≠小数⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数：可以化成分数小数无限循环小数：可以化成分数无限小数无限不循环小数：不能化成分数有限小数、无限循环小数可以化成分数，所以我们把它们看成分数。

无限不循环小数不能化成分数，不是有理数，是无理数，例如：π是无理数。

3.数轴：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

负数 0 正数（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示；但数轴上的一个点，却并不一定能用一个有理数来表示。

（4）正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

4.相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例.2的相反数是-2，-2的相反数是2，2和-2互为相反数。

（2）一般地，a 和-a 互为相反数。

这里，a 表示任意一个数，可以是正数、负数、也可以是0.（3）0的相反数是0.（4）a-b 的相反数是b-a 。

（5）相反数的几何意义：在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点两侧，且与原点的距离相等。

例如.表示3和-3的两个点分别位于原点两侧，到原点都是3个单位长度。

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5（6）多重符号的化简的结果是由“-”号的个数决定的，与“+”号无关。

0到1有理数的测度

0到1有理数的测度
0到1之间的有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为0。

换句话说，这些数可以写成分数的形式，例如1/2, 3/4, 5/6等等。

有理数的测度是指这些有理数所占据的长度或大小。

在数学上，我们可以使用数轴来表示有理数，0到1之间的有理数
可以在这个数轴上以分数的形式表示。

测度可以理解为这些有理数
所占据的长度，即在数轴上的距离。

从数轴的角度来看，0到1之
间的有理数所占据的长度是有限的，因为它们都可以用分数表示，
并且在数轴上占据有限的空间。

另一方面，从集合的角度来看，0
到1之间的有理数构成了一个密集的集合，即任意两个有理数之间
都存在着无穷多的其他有理数，因此在这个意义下，有理数的测度
是无限的。

综上所述，0到1之间的有理数的测度可以从数轴的长
度和集合的密集程度两个角度来理解，分别对应着有限和无限的概念。

有理数集_精品文档

有理数集有理数是以整数和分数形式表示的数，是数学中最基本和最常见的数之一。

有理数集包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

在数轴上，有理数按照大小顺序排列，形成一个无限的连续集合。

有理数的定义是可以用两个整数的比来表示的数。

例如，1/2、3/4、-2/5和-7/3都是有理数。

有理数可以用无限循环小数的形式表示，例如1/3=0.3333...和5/6=0.8333...。

有理数也可以用整数的形式表示，例如3和-5。

有理数集的性质：1. 封闭性：有理数集对于加法和乘法运算是封闭的。

即两个有理数相加或相乘的结果仍然是有理数。

例如，1/2 + 3/4 = 5/4，5/9 * -2/3 = -10/27。

2. 密度性：有理数集在实数轴上是密集的。

对于任意两个不相等的有理数a和b(a < b)，总存在一个有理数c满足a < c < b。

这意味着在任意两个有理数之间，都可以找到一个有理数。

3. 有序性：有理数集在实数轴上有良序性。

即任意两个有理数a和b，必然满足a < b、a = b或a > b。

4. 唯一因式分解定理：每个非零有理数可以唯一地分解为素数的乘积，其中素数是指不能分解为其他两个较小的整数的乘积。

5. 有理数的运算封闭：有理数集对于加法、减法、乘法和除法运算是封闭的。

即两个有理数相加、相减、相乘或相除的结果仍然是有理数。

有理数集在日常生活中有许多应用。

例如在购物中，我们使用有理数来表示价格，比如5元或-10元。

在计算分数时，我们使用有理数。

有理数还可以用来表示时间，例如半小时可以表示为1/2。

有理数集在数学中也有广泛的应用。

它是代数学中一个重要的基础概念，对于理解代数运算、方程和不等式有很大的帮助。

有理数集还与整数集和实数集相互关联，构成了数学中重要的数域。

总之，有理数集是数学中基本且常见的数集。

它具有封闭性、密度性、有序性等性质。

有理数集在日常生活和数学领域都有广泛的应用，是数学学习中的基础知识之一。

1.2 有理数(含答案)-

1.2 有理数●单一性知识训练1.2.1 有理数一、有理数的概念1．下列说法正确的是（）A．0既不是正数也不是负数，也不是自然数;B．任意有限小数可以化为分数，但无限循环小数不能化为分数; C．圆周率π是无限不循环小数，故不是有理数;D．0表示没有，它是正数和负数的分界点2．在-227，π，0，0．33四个数中，有理数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在有理数中，最小的自然数是______，最小的正整数是________．4．下列各数：-6，-3.14，-π，13，0.307，4，0.2中，有理数有________个．二、有理数的分类5．下列说法中正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数;B．一个有理数不是整数就是分数;C．有理数是指整数、分数、正数、负数和0;D．有理数是指正数和负数6．在有理数中，不存在这样的数（）A．既是整数，又是负数; B．既不是正数，也不是负数 C．既是正数，又是负数; D．既是分数，又是负数7．把下列各数填入它所属的集合圈内（如图所示）．10，-29，-7，-415，-89，0.1，-6.84，-80，123，7.888．正整数集合负整数集合正分数集合负分数集合8．小于5.5的正整数有_______．9．比负数大的所有有理数中，最小的数是______．10．非负数包括________．1.2.2 数轴三、数轴的定义11．下列说法中不正确的是（）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示;B．数轴上的原点表示0;C．在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2个单位长度;D．数轴上表示-4的点在原点的左边且距离原点4个单位长度12．数轴满足的三个条件是：有________，记作0，•规定了______，•选取了适当的_______．13．数轴上原点左边的点表示______数，原点右边的点表示_____数，_____•点表示0．14．所有的有理数都可以用________的点来表示．四、数轴的画法15．如图所示的数轴中，画得正确的是（）16．判断如图所示中的数轴的对错，并指出错误原因．五、数轴的应用17．在数轴上表示-19的点与表示-10的点之间的距离是（）A．29 B．-29 C．9 D．-918．如图所示，数轴上的点M和N分别表示有理数m和n，那么以下结论正确的是（）A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<019．在数轴上离原点5个单位长度的数有_______个，这些数分别为_____，_____．20．数轴上表示数-4的点在原点的_______，与原点的距离为_______个单位长度．21．如图所示，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示-5，-112，0，2.5，6，回答下列问题．（1）C，B两点间的距离是多少？（2）B，D两点间的距离是多少？（3）A，B两点间的距离是多少？1.2.3 相反数六、相反数的意义及性质22．下列两个数互为相反数的是（）A．-12和0.2 B．-13和0.333 C．-2.25和214D．5和-（-5）23．一个数的相反数仍是它本身，这个数是（）A．1 B．-1 C．0 D．正数24．下列叙述正确的是（）A．符号不同的两个数叫相反数; B．整数的相反数是分数;C．非负数的相反数是非正数; D．一个数的相反数一定是负数25．+12的相反数是______；-13的相反数是______；_______是-12的相反数；______是4.5的相反数；0的相反数是_____；-a的相反数是______．26．若m+n=0，则m，n的关系是______．27．在数轴上点A表示8，C表示互为相反数的两个数，且C和A之间的距离为3，求点B，C对应的数．28．已知x与y互为相反数，求x+y与xy的值．七、化简数的符号29．+（-3）化简符号的结果是（）A．3 B．-3 C．3或-3 D．0 30．下列各对数中，互为相反数的是（）A．+（-8）和（-8） B．-（-8）和+8C．-（-8）和+（+8） D．+8和+（-8）31．化简下列各数的符号．（1）-（+18）=______；（2）-（-58）=______；（3）+（-3.2）=______；（4）+（+9.6）=________；（5）-[-（+12）]=______；（6）-[-（-4）]=_______；（7）-0=______；（8）-[+（-5）]=_______．1.2.4 绝对值八、绝对值的意义及性质32．数轴上表示-13的点到原点的距离是（）A．-13B．13C．-3 D．333．|-13|的相反数是（）A．13B．-13C．3 D．-334．绝对值小于3的负整数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个35．下列说法正确的是（）A．绝对值较大的数较大; B．绝对值较小的数较小; C．绝对值相等的两个数相等; D．两个相反数的绝对值相等36．已知a=-6，b=4，求│a│-│b│的值．37．已知│a│=4，│b│=2，且a>b，求a+b的值．38．计算:（1）│-8│+│-6│；（2）│-327│+│-237│．九、有理数的大小比较:39．用“>”号连接0，│-3│，-│-4│，正确的是（） A．│-3│>-│-4│>0 B．│-3│>0>-│-4│C．-│-4│<│-3│<0 D．0<-│-4│<│-3│40．-3______0，-_____0．273．41．（1）当a>0，b>0，a>b时，1a与1b哪个大？（2）当a<0，b<0，a>b时，1a与1b哪个大？（3）当a>b时，1a与1b哪个大？42．在数轴上画出表示-3，-1，│-2│的点，把这组数从小到大用“<•”号连接起来．●能力提升性训练1．下列说法正确的是（）A．-3是相反数 B．-12与+35是相反数C．-12的相反数是2 D．-0.5的相反数是122．（1）如果│a│=2，则a=____________；（2）如果│a│=b，且a>0，则a=_______；（3）如果│x-3│=0，则│x+2│=_______．3．观察下列按次序排列的一列数，你能发现它们的排列规律是什么吗？请写出它后面的两个数．（1）1，-2，3，-4，______，_______；（2）12，23，34，45，_______，_______．4．把6，-3，2.4，0，-34，-3.14填在相应的大括号里．正整数{ …}；负分数{ …}；非负有理数{ …}；非正有理数{ …} 5．下列数轴（如图所示）画得正确的是哪个？6．有一家商店坐落在一东西走向的马路上，王华从该商店沿街向东走30米，接着向西走60米，则此时王华的位置在什么地方？7．一个动点M从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2秒，到达A•点后立即返回，运动7秒钟到达B点，若动点M运动的速度为每秒2.5个单位长度，求此时B点在数轴上所表示的数．8．已知│x-2│+│4-y│=0，求x，y的值．9．已知零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（毫米）记作正数，不足规定直径长度的数量（毫米）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下：（1）试指出哪件样品的大小最符合要求；（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18mm•～0.22mm 之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品中，哪些是正品？哪些是次品？哪些是废品？10．“严打”期间，交警每天都骑着摩托车沿着南北大街来回巡逻，早晨从A 地出发，晚上最后到达B 地，规定向北为正方向，当天巡逻记录如下（单位：千米）：14，•-•9，18，-7，13，-6，10，-5，则B 地在A 地的什么位置？若摩托车每千米耗油a 升，油箱容量为29a 升，求加满油箱后在涂中需补充多少升汽油？●针对性训练1．下列说法正确的是（）A ．非负有理数就是正有理数;B ．零表示没有，是有理数;C ．正整数和负整数统称为整数;D ．整数和分数统称为有理数 2．下列说法中，正确的个数是（）①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正的，就是负的； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．判断“2π，2π是有理数”，这种说法是否正确．4．指出如图所示所画数轴错误的原因．5．从数轴上观察，大于-4且小于1的整数有哪些．6．求数轴上表示-3的点到表示-5的点的距离．7．在数轴上与+3间的距离为4个单位长度的点是_________． 8．求-a-b 的相反数．9．已知│a│=a，则a的值是（）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数10．比较-96128911和的大小．●中考全接触1．（2006，盐城）-2的相反数是（）A．-2 B．2 C．±2 D．1 22．（2006，攀枝花）-0.5的倒数是（）A．-12B．12C．-2 D．23．（2006，盐城）如果a与-2互为相反数，那么a等于（）A．-2 B．2 C．-12D．124．（2006，深圳）-3的绝对值等于（）A．-3 B．3 C．-13D．135．（2005，无锡）比较-12，-13，14的大小，结果正确的是（）A．-12<-13<14B．-12<14<-13C．14<-13<-12D．-13<-12<146．（2005，吉林）某食品包装袋上标有净含量“385±5（克）”，这包食品的合格净含量范围是_______克～390克．7．（2006，盐城）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是______．8．（中考预测题）在数轴上画出表示数-5，2，│-3│的点，把这组数从小到大用“<”号连接起来．答案:【知识单一性训练】1．C [提示：新规定：0是自然数，故A错误；无限循环小数可以化为分数，故B错误；0不一定表示没有，故D错误．]2．C [提示：理解有理数的概念．]3．0 14．6 [提示：不是有理数．]5．B [提示：根据有理数的定义可知B是正确的．]6．C [提示：既不是正数，也不是负数的数是0．7．正整数集合圈内有：10，123．负整数集合圈内有：-7，-80．正分数集合圈内有：415，0.1，7.888．负分数集合圈内有：-29，-89，-6.84．8.5，4，3，2，1．9．0 [提示：比负数大的所有有理数包括0和正数，而正数大于0，所以最小的数是0．] 10．0和正数11．C [提示：数轴上表示-3的点在原点左边距离原点3个单位长度；表示+1•的点在原点右边距离原点1个单位长度，所以这两个点的距离是4个单位长度，故选C．]12．原点正方向单位长度 [提示：数轴的三要素是判断数轴的依据，•缺一不可．] 13．负正原 [提示：理解数轴上的点与有理数的对应关系．]14．数轴上 [提示：有理数和数轴上的点是一一对应的．]15．A [提示：B中虽有单位长度，但前后长度不一致；C中没有原点；D中无正方向，故只有A正确．]16．解：图中的数轴都是错误的．图（1）中的数轴无单位长度；图（2）中的数轴的负数顺序错误．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，三者缺一不可．17．C [提示：数轴上表示-19的点到原点的距离是19个单位长度，-10的点到原点的距离是10个单位长度，两个数的距离是19-10=9]18．B [提示：数轴上原点右边的数大于0，原点左边的数小于0，故m>0，n<0，•故选B．] 19．2 +5 -520．左侧 4 [提示：数轴上原点左侧的点表示负数．]21．解：（1）C，B两点间的距离为4．（2）B，D两点间的距离是7.5．（3）A，B两点间的距离是3.5．22．C [提示：看两个数是否“只有符号不同”，并注意分数与小数的转化．]23．C [提示：根据相反数的定义，0的相反数仍是0．]24．C [提示：可举反例淘汰A，B，D，如+3和-4符号不同，但不是相反数；整数2的相反数是-2，-2不是分数；0和负数的相反数是非负数．]25．-121312 -4.5 0 a26．互为相反数 [提示：互为相反数的和为0．]27．解：由A表示8，且C和A之间的距离是3，得点C表示的数为5或11，当点C•表示的数是5时，点B表示的数是-5；当点C表示的数是11时，点B表示的数是-11．28．解：因为x与y互为相反数．所以x+y=0，xy=-1．29．B [提示：负数本身是负数，故选B．]30．D [提示：先化简A，B，C，D的符号，再比较结果．]31．（1）-18 （2）58（3）-3.2 （4）9.6 （5）12（6）-4 （7）0 （8）532．B [提示：数轴上的点到原点的距离是正数，-13到原点的距离是|-13|=13，故选B．]33．B [提示：│-13│=13，13的相反数是-13，故选B．]34．A [提示：找到所有绝对值小于3的整数，分别为0，±1，±2，小于3的负整数只有-2，-1，故选A．]35．D [提示：绝对值较大，只能说明这个数离原点远；绝对值相等，说明到原点距离相等，但符号不一定相等，所以A，B，C不正确，故选D．]36．解：因为a=-6，b=4，所以│a│-│b│=│-6│-│4│=6-4=2．37．解：因为│a│=4，│b│=2，所以a=±4，b=±2．因为a>b，所以当a=4，b=2时，a+b=4+2=6；当a=4，b=-2时，a+b=4-2=2．38．解：（1）│-8│+│-6│=8+6=14．（2）│-327│+│-237│=327+237=557．39．B [提示：│-3│=3，-│-4│=-4，所以│-3│>0│-│-4│．故选B．] 40．< < [提示：负数小于0，正数大于负数．]41．解：（1）因为a>0，b>0，且a>b，所以1a<1b．（2）因为a<0，b<0，且a>b，所以1a<1b．（3）因为a>b，所以当a>b>0时，1a<1b；当a>0>b时，1a>1b时；当b<a<0时，1a<1b．42．解：如图所示，所以-3<-1<│-2│．【能力提升性训练】1．D [提示：相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，故A错误；相反数不但要符号相反，而且符号后面的数要相同，故B，C错误，D正确，故选D．] 2．（1）±（2）b （3）5 [提示：绝对值是正数的数有两个，它们互为相反数．]3．（1）5 -6 （2）5667[提示：（1）中四个数，正负间隔排列，所以后面两个数的符号依次为正、负，符号后的数是连续整数，所以应为5，-6．（2）中四个数，分子为连续整数1，2，3，4，分母也是连续整数，依次为2，3，4，5且分母比分子大1，所以依次为56，67．]4．正整数{6，…}，负分数{-34，-3.14，…}，非负有理数{6，2.4，0，…}，•非正有理数{-3，0，-34，-3.14，…}5．提示：解此类题，要明确数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．解：（1）没有原点；（2）单位长度不一致；（3）没有正方向，负数排列顺序不正确；（4）•负数排列顺序不正确；（5）没有原点；（6）正确．6．解：如图所示，王华在C处，即商店西侧30米处．7．解：分两种情形讨论：①当点M位于原点左侧时，如图所示，点M表示的数为-4．又因为2.5×2=5，2.5×7=17.5，所以点A表示的数为1，点B表示的数为-16.5． •②当点M位于原点右侧时，如图所示，点M表示的数为4，同上可得点A表示的数为-9，点B表示的数为-8.5．8．解：因为│x-2│≥4，│4-y │≥0，又因为│x-2│+│4-y │=0，所以x-2=0，•4-y=0，即x=2，y=4．9．解：（1）第4件样品的大小最符合要求．（2）因为│+0.1│=0.1<0.18，│-0.15│=0.15<0.18，│-0.05│=0.05<0.18，所以第1，2，4件样品是正品．因为│-0.2│=0.2，且0.18<0.2<0.22，所以第3件样品为次品．因为│+0.25│=0.25>0.22，所以第5件样品为废品．10．解：因为向北一共走了14+18+13+10=55（千米），向南一共走了9+7+6+5=27（千米），向北比向南多走了55-27=28（千米），所以B 地应在A 地北28千米处．耗油量为（•│14│+│-9│+│18│+│-7│+│13│+│-6│+│10│+│-5│）a=82a （升），所以需补充汽油82a-29a=53a （升）．【针对性训练】1．D [提示：零既不是正数，也不是负数，它是整数．]2．B [提示：0既属于有理数又属于整数，所以②③不正确，①④正确，故选B ．]3．解：不正确．因为π是无限不循环小数，所以不是有理数，故2π，2π都不是有理数． 4．解：图（1）中无正方向，图（2）中无原点和单位长度．5．解：大于-4且小于1的整数有-3，-2，-1，0．6．提示：可利用数轴分析，-3的点到-5的点的距离是2．7．+7和-1 [提示：利用数轴分析有两种结果，一个是+3左侧的点-1，另一个是+•3右侧的点+7．]8．解：-a-b 的相反数是-（-a-b ），即a+b ．9．D [提示：当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=-a ，所以a 是非负数，故选D ．]10．解：因为9696105612121068105610689612||,,.898997911119799799798911--==<->-|==,|又所以【中考全接触】1．B [提示：-（-2）=2，故选B ．]2．C [提示：因为-0.5=-12，所以-12的倒数是-2，故选C ．]3．B [提示：2与-2互为相反数，所以a=2，故选B．] 4．B [提示：│-3│=3，即负数的绝对值是它的相反数．]5．A 提示：正数大于负数，-12，-13，14中是14正数，-12，-13是负数，所以14最大，首先排除B，C．•又因为│-12│=12，│-13│=13，12>，所以-12<-13，故选A．6．380 [提示：“385±5（克）”的意思是这包食品的最多净含量是385+5=390（克），最少净含量是385-5=380（克）．]7．±2 [提示：绝对值的意义．]8．解：在数轴上表示各点，如图所示，所以-5<2<│-3│．。

第一章《有理数》测试(难)

第一章《有理数》测试一．选择题（共9小题）1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个2．若a为有理数，且满足|a|+a=0，则（）A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤03．若|x|=7，|y|=9，则x﹣y为（）A．±2B．±16C．﹣2和﹣16D．±2和±16 4．把﹣1，0，1，2，3这五个数，填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（）A．B．C．D．5．计算×（﹣a）÷（﹣）×a等于（）A．1B．a2C．﹣a D．6．的倒数与4的相反数的商是（）A．﹣5B．5C．D．7．若a+b=0，则下列各组中不互为相反数的数是（）A．a3和b3B．a2和b2C．﹣a和﹣b D．和8．有理数a、b在数轴上分别对应的点为M、N，则下列式子结果为负数的个数是（）①a+b；②a﹣b；③﹣a+b；④﹣a﹣b；⑤ab；⑥；⑦；⑧a3b3；⑨b3﹣a3．A．4个B．5个C．6个D．7个9．计算：（﹣﹣）×（﹣34）的结果为（）A．﹣21B．21C．﹣24D．24二．填空题（共8小题）10．相反数等于本身的数有，倒数等于本身的数有，奇次幂等于本身的数有，绝对值等于本身的数有．11．在数轴上把点A（﹣5）沿数轴移动6个单位后得到点B，则B所表示的数为．12．比较大小：①﹣0.﹣（+）；②+（﹣5）﹣|﹣17|；③﹣32（﹣2）3．13．填“＞”或“＜”或“=”号：①若m＞0，n＞0，且|m|＜|n|，则m+n0，m﹣n0，mn0，0；②若m＜0，n＜0，且|m|＜|n|，则m+n0，m﹣n0，mn0，0；③若m＞0，n＜0，且|m|＜|n|，则m+n0，m﹣n0，mn0，0；④若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，则m+n0，m﹣n0，mn0，0；⑤若m、n互为相反数，则m+n=．14．①125÷（﹣）×=；②1﹣2+3﹣4+5﹣…﹣2014+2015﹣2016+2017=．15．若|6﹣x|与|y+9|互为相反数，则x=，y=，（x+y）÷（x﹣y）=．16．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数为，现已知x1=﹣，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2017=．17．已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C106=．三．解答题（共8小题）18．①399×（﹣6）；②﹣99×3；③﹣60×（3﹣+﹣）④2×（﹣5）+23﹣3÷；⑤﹣14﹣（2﹣0.5）××[﹣]．⑥÷[2﹣（﹣1+2）]×0.4﹣（﹣2）2×（﹣）．20．①1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣…﹣2012+2013﹣2014+2015﹣2016；②（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）；③1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣﹣．21．已知：a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=9，求代数式a+b+c+d的值．22．规定○是一种新的运算符号，且a○b=a2+a×b﹣a+2，例如：2○3=22+2×3﹣2+2=10．请你根据上面的规定试求：①﹣2○1的值；②1○3○5的值．23．如图的图例是一个方阵图，每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和均相等．如果将方阵图的每个数都加上同一个数，那么方阵中每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样就形成新的方阵图．根据图①②③中给出的数，对照原来的方阵图，请你完成图①②③的方阵图？24．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．一．选择题（共9小题）1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个【分析】有理数的分类：有理数，依此即可作出判断．【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；④非负数就是正数和0，故错误；⑤是无理数，故错误；⑥是无限循环小数，所以是有理数，故错误；⑦无限小数不都是有理数是正确的；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．2．若a为有理数，且满足|a|+a=0，则（）A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤0【分析】根据绝对值的性质即可得到a≤0，从而得到答案．【解答】解：∵|a|+a=0，∴|a|=﹣a，∴a≤0，即a为负数或0．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的性质：若a＞0，则|a|=a；若a＜0，|a|=﹣a；若a=0，|a|=0．3．若|x|=7，|y|=9，则x﹣y为（）A．±2B．±16C．﹣2和﹣16D．±2和±16【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可确定出x﹣y 的值．【解答】解：∵|x|=7，|y|=9，∴x=﹣7，y=9；x=﹣7，y=﹣9；x=7，y=9；x=7，y=﹣9；则x﹣y=﹣16或2或﹣2或16．故选：D．【点评】此题考查了有理数的减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．把﹣1，0，1，2，3这五个数，填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（）A．B．C．D．【分析】由图逐一验证，运用排除法即可选得．【解答】解：验证四个选项：A、行：1+（﹣1）+2=2，列：3﹣1+0=2，行=列，对；B、行：﹣1+3+2=4，列：1+3+0=4，行=列，对；C、行：0+1+2=3，列：3+1﹣1=3，行=列，对；D、行：3+0﹣1=2，列：2+0+1=3，行≠列，错．故选：D．【点评】本题为选取错误选项的题，常有一些题目这样设计，目的是要求学生认真读题．本题为数字规律题，考查学生灵活运用知识能力．5．计算×（﹣a）÷（﹣）×a等于（）A．1B．a2C．﹣a D．【分析】根据有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得答案．【解答】解：×（﹣a）÷（﹣）×a=•（﹣a）•（﹣a）•a=a2，故选：B．【点评】本题考查了有理数的除法，解题关键是把有理数的除法转化成有理数的乘法．6．的倒数与4的相反数的商是（）A．﹣5B．5C．D．【分析】依据相反数、倒数的概念先求得﹣1的倒数与4的相反数，然后根据有理数的除法法则求出它们的商．【解答】解：∵﹣1的倒数是﹣，4的相反数是﹣4，∴﹣÷（﹣4）=．故选：C．【点评】主要考查相反数、倒数的概念及有理数的除法法则．7．若a+b=0，则下列各组中不互为相反数的数是（）A．a3和b3B．a2和b2C．﹣a和﹣b D．和【分析】由a与b互为相反数，得到a=﹣b，代入各项检验即可得到结果．【解答】解：A、因为a=﹣b，所以a3=﹣b3，即a3和b3互为相反数，故本选项错误；B、因为a=﹣b，所以a2=b2，即a2和b2不互为相反数，故本选项正确；C、因为a=﹣b，所以﹣a=b，即﹣a和﹣b互为相反数，故本选项错误；D、因为a=﹣b，所以=﹣，即和互为相反数，故本选项错误；故选：B．【点评】此题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．8．有理数a、b在数轴上分别对应的点为M、N，则下列式子结果为负数的个数是（）①a+b；②a﹣b；③﹣a+b；④﹣a﹣b；⑤ab；⑥；⑦；⑧a3b3；⑨b3﹣a3．A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】根据数轴上点的位置得出a，b的范围，即可做出判断．【解答】解：根据题意得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则①a+b＜0，是负数；②a﹣b＜0，是负数；③﹣a+b＞0，是正数；④﹣a﹣b＞0，是正数；⑤ab＜0，是负数；⑥＜0，是负数；⑦＞0，是正数；⑧a3b3＜0，是负数；⑨b3﹣a3＞0，是正数．则结果为负数的个数是5个．故选：B．【点评】此题考查了有理数的混合运算，以及数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．9．计算：（﹣﹣）×（﹣34）的结果为（）A．﹣21B．21C．﹣24D．24【分析】原式先计算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：原式=（﹣﹣）×（﹣81）=﹣9+27+3=21，故选：B．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共8小题）10．相反数等于本身的数有0，倒数等于本身的数有±1，奇次幂等于本身的数有±1，0，绝对值等于本身的数有非负数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，绝对值的性质，可得答案．【解答】解：相反数等于本身的数有0，倒数等于本身的数有±1，奇次幂等于本身的数有±1，0，绝对值等于本身的数有非负数，故答案为：0，±1，±1、0．【点评】本题考查了倒数，利用了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的性质．11．在数轴上把点A（﹣5）沿数轴移动6个单位后得到点B，则B所表示的数为1或﹣11．【分析】考虑两种情况：要求的点在已知点左移或右移6个单位长度．【解答】解：在数轴上把点A（﹣5）沿数轴移动6个单位后得到点B，则B所表示的数为：﹣5+6=1，或﹣5﹣6=﹣11，故答案为：1或﹣11．【点评】此题考查了数轴，要求掌握数轴上的两点间距离公式的运用．在数轴上求到已知点的距离为一个定值的点有两个．12．比较大小：①﹣0.=﹣（+）；②+（﹣5）＞﹣|﹣17|；③﹣32＜（﹣2）3．【分析】先化简符号，再根据实数的大小比较法则比较即可．【解答】解：：①﹣0.=﹣（+），②+（﹣5）＞﹣|﹣17|；③﹣32 ＜（﹣2）3．故答案为：=，＞，＜．【点评】本题考查了对实数的大小比较法则，绝对值，相反数的应用，能正确化简符号是解此题的关键．13．填“＞”或“＜”或“=”号：①若m＞0，n＞0，且|m|＜|n|，则m+n＞0，m﹣n＜0，mn＞0，＞0；②若m＜0，n＜0，且|m|＜|n|，则m+n＜0，m﹣n＞0，mn＞0，＞0；③若m＞0，n＜0，且|m|＜|n|，则m+n＜0，m﹣n＞0，mn＜0，＜0；④若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，则m+n＞0，m﹣n＞0，mn＜0，＜0；⑤若m、n互为相反数，则m+n=0．【分析】各项利用有理数的加减乘除法则，以及相反数定义计算即可得到结果．【解答】解：①若m＞0，n＞0，且|m|＜|n|，则m+n＞0，m﹣n＜0，mn＞0，＞0；②若m＜0，n＜0，且|m|＜|n|，则m+n＜0，m﹣n＞0，mn＞0，＞0；③若m＞0，n＜0，且|m|＜|n|，则m+n＜0，m﹣n＞0，mn＜0，＜0；④若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，则m+n＞0，m﹣n＞0，mn＜0，＜0；⑤若m、n互为相反数，则m+n=0．故答案为：①＞；＜；＞；＞；②＜；＞；＞；＞；③＜；＞；＜；＜；④＞；＞；＜；＜；⑤0【点评】此题考查了有理数的乘除、加减法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．①125÷（﹣）×=﹣180；②1﹣2+3﹣4+5﹣…﹣2014+2015﹣2016+2017=1009．【分析】①将除法变为乘法，再约分计算即可求解；②两个一组计算即可求解．【解答】解：①125÷（﹣）×=125÷（﹣）×=﹣180；②1﹣2+3﹣4+5﹣…﹣2014+2015﹣2016+2017==（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2015﹣2016）+2017=﹣1×1008+2017=﹣1008+2017=1009．故答案为：﹣180；1009．【点评】此题考查了有理数混合运算，有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．15．若|6﹣x|与|y+9|互为相反数，则x=6，y=﹣9，（x+y）÷（x﹣y）=﹣．【分析】根据相反数的概念列出算式，求出x、y的值，计算即可．【解答】解：由题意得，|6﹣x|+|y+9|=0，则6﹣x=0，y+9=0，解得，x=6，y=﹣9，则（x+y）÷（x﹣y）=﹣，故答案为：6；﹣9；﹣．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．16．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数为，现已知x1=﹣，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2017=﹣．【分析】根据题目中的数据可以分别求得前面几个数据值，从而可以发现其中的规律，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，x1=﹣，x2=，x3=，x4=，2017÷3=672…1，∴x2017=，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是发现数字之间的变化规律．17．已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C106=210．【分析】对于C a b（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘b的个数．【解答】解：；；；…；C106==210．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三．解答题（共8小题）18．①399×（﹣6）；②﹣99×3；③﹣60×（3﹣+﹣）．【分析】①原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果；②原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果；③原式利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：①原式=（400+）×（﹣6）=﹣2400﹣=﹣2401；②原式=（﹣100+）×3=﹣300+=﹣299；③原式=﹣185+15﹣20+28=﹣162．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．①2×（﹣5）+23﹣3÷；②﹣14﹣（2﹣0.5）××[﹣]．【分析】①原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；②原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：①原式=﹣10+8﹣6=﹣8；②原式=﹣1﹣××=﹣1．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．①1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣…﹣2012+2013﹣2014+2015﹣2016；②（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）；③1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣﹣．（提示：﹣=﹣1+，…﹣=﹣+，…以此类推！）【分析】①原式结合后，相加即可得到结果；②原式先计算括号中的减法运算，约分即可得到结果；③原式变形后，抵消合并即可得到结果．【解答】解：①原式=﹣1﹣1…﹣1（1008个﹣1）=﹣1008；②原式=﹣×（﹣）×（﹣）×…×（﹣）×（﹣）×（﹣）=；③原式=1+（﹣1+）+（﹣+）+…+（﹣+）+（﹣+）+（﹣+）=．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知：a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=9，求代数式a+b+c+d的值．【分析】把9分解质因数，然后判断出a、b、c、d四个数，再求和即可．【解答】解：9=（﹣1）×（﹣9）=1×9=3×3=（﹣3）×（﹣3），∵a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=9，∴a、b、c、d四个数为﹣1、1、﹣3、3，∴a+b+c+d=﹣1+1﹣3+3=0．【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据9的质因数判断出a、b、c、d四个数的值是解题的关键．22．规定○是一种新的运算符号，且a○b=a2+a×b﹣a+2，例如：2○3=22+2×3﹣2+2=10．请你根据上面的规定试求：①﹣2○1的值；②1○3○5的值．【分析】根据新运算的运算顺序，把﹣2○1，1○3○5列出式子，再根据有理数混合运算的顺序和法则分别进行计算即可．【解答】解：①﹣2○1=（﹣2）2+（﹣2）×1﹣（﹣2）+2=4﹣2+2+2=6；②1○3○5=（12+1×3﹣1+2）○5=（1+3﹣1+2）○5=5○5=52+5×5﹣5+2=25+25﹣5+2=47．【点评】此题考查了有理数的混合运算，掌握新运算的规律是解题的关键，是一道新题型．23．如图的图例是一个方阵图，每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和均相等．如果将方阵图的每个数都加上同一个数，那么方阵中每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样就形成新的方阵图．根据图①②③中给出的数，对照原来的方阵图，请你完成图①②③的方阵图？【分析】（1）图①中正中间的数1变为图②中正中间的数0，所以将图①中各数依次加上2即可；（2）可将图①中各数依次减去3，填表即可；（3）可将图①中各数依次减去7，填表即可．【解答】解：（1）将图①中各数依次加上2，如图①；（2）将图①中各数依次减去3，如图②；（3）可将图①中各数依次减去7，如图③．【点评】本题考查了有理数的加法，九方格题目，趣味性较强，本题的关键是了解九方格的特点．24．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．【分析】（1）第①行有理数是按照﹣2的正整数次幂排列的；（2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半，分别写出第n个数的表达式；（3）根据各行的表达式求出第7个数，然后相加即可得解．【解答】解：（1）第①行的有理数分别是﹣2，（﹣2）2，（﹣2）3，（﹣2）4，…，故第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；（2）第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（﹣2）n+2（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半，即第n个数是×（﹣2）n（n是正整数）；（3）∵第①行的第7个数为（﹣2）7=﹣128，第②行的第7个数为（﹣2）7+2=﹣126，第③的第7个数为×（﹣2）7=﹣64，所以，这三个数的和为：（﹣128）+（﹣126）+（﹣64）=﹣318．【点评】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．25．÷[2﹣（﹣1+2）]×0.4﹣（﹣2）2×（﹣）．【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．依此计算即可求解．【解答】解：÷[2﹣（﹣1+2）]×0.4﹣（﹣2）2×（﹣）=÷（2.5﹣1.25）×0.4﹣4×（﹣）=25÷1.25×0.4+1=20×0.4+1=8+1=9．【点评】此题考查了有理数混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．规律方法，有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．。

有理数

课题名称:有理数教学目标：掌握有理数概念、数轴、相反数、绝对值、有理数运算一．正数、负数整数和分数统称为有理数，有理数也可分为正数、负数和0。

正数是大于0的数，负数是小于0的数。

例1. 下面说法中正确的是( )．(A)正整数和负整数统称整数 (B)分数不包括小数(C)正分数，负分数，负整数统称有理数 (D)正整数和正分数统称正有理数练习1.在下列数中：,31- 11.11111，725.95 95.527，0，＋2004，－2，1.12122122212222，,111-非负有理数有______________________________________。

2.下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是( )．(A)一天凌晨的气温是－4℃，中午比凌晨上升了4℃，所以中午的气温是＋4℃ (B)如果＋8.5m 表示比海平面高8.5m ，那么－19.2m 表示比海平面低－19.2m (C)如果收入增加180元记作＋180元，那么－100元表示支出减少100元 (D)售一件服装盈利20元记作＋20元，那么－30元表示亏本30元例2.画出一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：21，31-，41-，4，3，-2，-1 练习1.数轴的三要素是，数轴上离开原点三个单位的数是＿＿＿＿．2.下列说法正确的是( )(A)有最小的正数，没有最小的负数 (B)有最大的负数，没有最小的负数 (C)有最小的正数，也有最大的负数 (D)既没最大的负数，也没有最小的正数3.在数轴上到－1的距离小于3个单位长度的整数是什么？4.大于763-且小于767的整数有______个；比533小的非负整数是____________．例3.指出下列各数的相反数：（1）0；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--258.3；（3）x -；（4）3-a ；（5）n m +练习1.化简下列各式：－(－2)＋{－[－(－2)]}＋(－2)． =+-+-)]}3([{______．2. 设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点______边，与原点的距离是______个单位长度；表示数－a 的点在原点______边，与原点的距离是______个单位长度．设a 是一个负数，则数轴上表示数a 的点在原点______边，与原点的距离是______个单位长度；表示数－a 的点在原点______边，与原点的距离是______个单位长度．3．下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．例4.已知a 、b 互为相反数，试求1322-+-+ba b a 的值．练习1. 如果x -与2互为相反数，则____=x ；如果1+x 是－3的相反数，那么____=x ；如果3-a 与1+a 互为相反数，那么____=a ;例5.绝对值小于3的正整数是＿＿＿＿．绝对值小于5的负整数是，绝对值在2和5之间的整数是．练习1．一个数的绝对值是正数，这个数一定是( )． (A)正数(B)非零数(C)负数(D)非负数2．一个数的绝对值的相反数是－2，这个数一定是( )． (A)2(B)－2(C)2或－2(D)以上答案都不对3.在数轴上到－1的距离小于3个单位长度的整数是．4．若m ，n 互为相反数，则｜m ｜______｜n ｜；若｜x ｜＝｜y ｜，则x ，y 的关系是______． 5．如果｜x ｜＝2，那么x ＝______；如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______．已知｜x ｜＝2，｜y ｜＝5，且x ＞y ，则x ＝______，y ＝______． 6．当｜a ｜＝a 时，则a______．7．满足3.5＜｜x ｜≤9的x 的整数值是______．例6．已知有理数a ，b 均为负数，c 为正数，且|b|＞|a|＞|c|， (1)在数轴上表示出a ，b ，c 三数的大致位置；(2)试比较a ，b ，c 的大小．练习1. 若02=-a ，则____=a ；若13=-a ，则____=a ；若a a a 2=+，则0____a ．2. 若m 、n 为任意有理数，且0>-n m ，n<0,m<0，则m 、n 的绝对值的关系为 3．若｜a －2｜＋｜b ＋3｜＝0，则a ＝______，b ＝______． 4.数a 在数轴上的位置如图所示，则｜a －2｜＝______．5.若02=-a ，则____=a ；若13=-a ，则____=a ；若a a a 2=+，则0____a ．6.式子｜2x －1｜＋2取最小值时，x 等于( )．7.判断下列结论是否正确，并说明为什么？（1）若b a =,b a =；（2）若b a >，则b a >．例7. 比较下列各组数的大小，并用“＞”连接起来．(1)|;8.0||,7.0|),41(----- (2).|1666.0|%,16),61(---练习1．若a ＞b ，a ，b 均是正数，比较大小：｜a|______｜b ｜；若a ＜b ，a ，b 均是负数，比较大小：｜a ｜______｜b ｜．2．比大小：65-______653,54-______|21|,763--______|,31|-|1|--______|1.0|+-，83.1 -______－1.384，0.0001______－1000，－______－3.14． 3．计算：(1)|－3.9|＋|1.7|－|－4.1|； (2)|－3.1|＋|－1.9|－|－4|；补充1.用“＞”或“＜”填空：若m 、n 为有理数，则（1）若0>mn ，且0>+n m ，则0____,0____n m ；（2）若0>mn ，且0<+n m ，则0____,0____n m ；（3）若0<mn ，且n m <，则0____,0____n m ；（4）若0<mn ，且0>-n m ，则0____,0____n m 2.若a,b 为有理数， (1)若0,0<>b a ，那么0____b a ；（2）若0,0><b a ，那么0____ba （3）若0,0<<b a ，那么0____b a ；（4）若0,0<=b a ，那么0____ba练习判断题(正确的在括号里画“√”，错误的画“×”) ( )1．带有正号的数是正数，带有负号的数是负数． ( )2．有理数是正数和小数的统称．( )3．有最小的正整数，但没有最小的正有理数． ( )4．非负数一定是正数． ( )5．-1.2是负分数．选择1.下列说法中，正确的是( )．(A)无最大正数，有最大负数 (B)无最小负数，有最小正数 (C)无最小有理数，也无最大有理数(D)有最小自然数，也有最小整数2.下列各式中，等号不成立的是( )．(A)｜－5｜＝5 (B)－｜5｜＝－｜－5｜ (C)｜－5｜＝｜5｜ (D)－｜－5｜＝53.|32|--的相反数是( )． (A)23(B)23-(C)32 (D)32- 4.下列判断中，错误的是( )． (A)一个正数的绝对值一定是正数 (B)一个负数的绝对值一定是正数 (C)任何数的绝对值都是正数(D)任何数的绝对值都不是负数5．一个数的绝对值是正数，这个数一定是( )． (A)正数(B)非零数(C)任何数(D)以上都不是6．在－｜－1｜，－｜0｜，)2(--，24中，负数共有( )． (A)4个(B)3个(C)2个(D)1个7．若｜a ｜＋a ＝0，则a 是( )． (A)正数(B)负数(C)正数或0 (D)负数或0 8．若a ＝－1，则－(－｜a ｜)＝( )．(A)1 (B)0 (C)－1(D)1或－19．下列关系一定成立的是( )．(A)若｜m ｜＝｜n ｜，则m ＝n (B)若｜m ｜＝n ，则m ＝n (C)若｜m ｜＝－n ，则m ＝n (D)若m ＝－n ，则｜m ｜＝｜n ｜10．若｜x －2｜＝1，则x ＝( )．(A)3(B)1(C)－1或1 (D)3或111．一个数的绝对值的相反数是－2，这个数一定是( )．(A)2(B)－2(C)2或－2(D)以上答案都不对例8．从－56起，逐次加1，得到一串整数：－55，－54，－53…则第100个数是多少？练习1.计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋2 003－2004＝______．2.从－2004起，逐次加1，得到一串数：－2003，－2002，…，问加______次才能得到－1973．例9.小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．(单位：cm) (1)小虫最后是否回到出发点O?为什么? (2)小虫离开O 点最远时是多少?(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm 奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻?练习1.有一批食品罐头标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，结果如下表：(单位：克)这10听罐头的平均质量是多少克?想一想：有没有好的方法算得又快又准确?2．如图表示某矿井的示意图，以地面为准，A点高度是＋4.2米，B，C两点高度分别是－15.6米和－30.5米，A点比B点高多少?比C点呢?选择题1．如果两个数的和是正数，那么这两个数一定( )．(A)都是正数 (B)只有一个正数 (C)至少有一个正数 (D)不确定2．两数相加，和比每个加数都小，那么这两个数是( )．(A)同为负数(B)两数异号(C)同为正数(D)负数和零3．若m为有理数，则m＋｜m｜的结果必为( )．(A)正数(B)负数(C)非正数(D)非负数4．a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示，且｜a｜＝｜b｜，｜d｜＞｜c｜＞｜a｜，则下列各式中，正确的是( )．(A)d＋c＞0 (B)d＞c＞b＞a (C)a＋b＝0 (D)b＋c＞05．若a＜b，则｜b－a＋1｜－｜a－b｜等于( )．(A)4 (B)1 (C)－2a＋b＋6 (D)不能确定6．若｜a｜＝4，｜b｜＝3，且a，b异号，则｜a－b｜等于( )．(A)7 (B)±1 (C)1 (D)1或77．有理数a，b，c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：(1)｜a｜__｜b｜；(2)a＋b＋c____0：(3)a－b＋c____0； (4)a＋c____b； (5)c－b_____a．8．若｜x｜＝x，并且｜x－3｜＝3－x，请求出所有符合条件的整数x的值，并计算这些值的和．例10.（1）地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为（）（2）一种电子计算机每秒可进行810计算，用科学记数法表示它8分可进行计算（）（3）实施西部大开发战略是党中央面向21世纪的重大决策，西部地区占我国陆地面积的32，我国陆地面积约为960万平方千米，用科学记数法表示我国西部地区面积是（）平方千米，合（）平方米。