2016年高考山东卷理数试题(含答案)

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2016山东省高考数学理科试题及完美解析

俯视图俯（左）视图正（主）视图2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =(A) 12i + (B) 12i - (C) 12i -+ (D) 12i -- （2）设集合{}{}22,,10,xA y y x RB x x ==∈=-<，则A B U =(A) (-1,1) (B) (0,1) (C) (-1,+) (D) (0,+) （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的频率分布直方图，期中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)[)[)[)[)17.5,20,20,22.5,22.5,25,25,27.5,27.5,30,根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A)56 (B) 60 (C) 120 (D) 140（4）若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是(A) 4 (B)9 (C) 10 (D)12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为 (A)1233π+(B) 13(C) 136+(D) 16+（6）已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数())cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）32π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足43m n = ，1cos ,3m n = ，()n tm n ⊥+，则实数t 的值为（A ）4 （B ）4-（C ）94 （D ）94-（9）已知函数()f x 的定义域为R .当0x <是，()2=1f x x -；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（A ）2- （B ）1-（C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x =二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右边的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________. (12)若25(ax+的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =_______.（13）已知双曲线E 1：22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.（14）在[]1,1-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为 .（15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2016年高考理科数学山东卷及答案解析

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内,直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.设x ∈R ,则不等式|3|1x -<的解集为 .2.设32i iz +=,其中i 为虚数单位,则Imz= .3.已知平行直线1l :210x y +-=,2l :210x y ++=,则1l 与2l 的距离是 .4.某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是（米）.5.已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上,则()f x 的反函数1()f x -= .6.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成的角的大小为2arctan 3,则该正四棱柱的高等于 .7.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 .8.在2)n x的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 .9.已知ABC △的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .10.设0a >,0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 .11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ,{23}n S ∈，,则k 的最大值为 .12.在平面直角坐标系中,已知(1,0)A ,(0,1)B -,P是曲线y =上一个动点,则·BP BA 的取值范围是 .13.设,a b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+,则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为 .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 的中心,1(1,0)A .任取不同的两点i A ,j A ,点P 满足i j OP OA OA ++=0,则点P 落在第一象限的概率是 .二、选择题（本大题共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )A .65cos ρθ=+B .65sin ρθ=+C .65cos ρθ=-D .65sin ρθ=-17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=.下列条件中,使得2()n S S n N *<∈恒成立的是( )A .10a >,0.60.7q <<B .10a <,0.70.6q -<<-C .10a >,0.70.8q <<D .10a <,0.80.7q -<<-18.设)(f x ,()g x ,()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题:①若)(()x f g x +,)()(x f h x +,)()(x g h x +均是增函数,则)(f x ,()g x ,()h x 中至少有一个增函数;②若(())x f g x +,)(()f x h x +,)()(x g h x +均是以T 为周期的函数,则)(f x ,()g x ,()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本小题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3π,其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.（Ⅰ）求三棱锥111C O A B -的体积;（Ⅱ）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程;（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线交于A ,B两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π,1F AB △是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;（Ⅱ）设b =.若l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +=,求l 的斜率.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知a R ∈,函数21()log ()f x a x=+.（Ⅰ）当5a =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围;（Ⅲ）设0a >,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足:只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P . （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ,且11a =,22a =,43a =,52a =,67821a a a ++=,求3a ; （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由;（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列,已知1sin ()n n n a b a n +=+∈*N .求证:“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1cos,3m n<>=，21||||||043t n n n∴+=，104∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数【考点】平面向量数量积的运算【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）22232b c a =，即为a2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程(f 3m >（Ⅱ）2a b +=22)b a =+号，231122c ab -≥G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∥且平面GQH GH ⊂面GH ∴∥平面数学试卷第13页（共18页）数学试卷第15页（共18页）（Ⅱ）AB BC =AC ⊥，又OO '⊥面为原点，OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,2CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,OO '=，设(,,n x y z FCB 的法向量，00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，取0x 则1,2,n ⎛=-- ⎝7,7||||OO n OO n OO n ''<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+1)2n ， 126[2232(1)2]n n ++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]1)2)232n n n n n n n +++++++-+=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{c 22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为2232113⎛⎫-= ⎪⎝⎭22332322101111443433144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦3232323232323232111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示：x 1)2x数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）1a =21)1x x+-++--()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭22022)(41)1)x x x ++，令11)x +21111140001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时。

数学-2016年高考真题——山东卷(理)(word版含答案)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z +=-其中i 为虚数单位，则z =( )（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+（D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =( )（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïï-?íïï³ïïî则22x y +的最大值是( )（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )（A ）12π33+ （B）1π33+ （C）13+（D）1+（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是( )（A ）π2（B ）π （C ）π23 （D ）2π（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为( ) （A ）4（B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=( ) （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是()（A ）y =sin x （B ）y =ln x（C ）y =e x（D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________. (12)若（ax 2）3的展开式中x 3的系数是-80，则实数a =_______.（13）已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. （14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .（15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.三、解答题：本答题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）另1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列{}n c 的前n 项和T n .（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望E X.(20)(本小题满分13分)已知()221()ln ,x f x a x x a x -=-+∈R . （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.（21）本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【答案】B考点：注意共轭复数的概念. （2）【答案】C 【解析】试题分析：，，则，选C. 考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算. （3）【答案】D考点：频率分布直方图（4）【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C. 考点：线性规划求最值（5）【答案】C考点：根据三视图求几何体的体积. （6）【答案】A 【解析】}0|{>=y y A }11|{<<-=x x B A B =∞（-1，+）22x y +210OC=试题分析：直线a 与直线b 相交,则一定相交,若相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断. （7）【答案】B 【解析】试题分析：,故最小正周期,故选B. 考点：三角函数化简，周期公式（8）【答案】B考点：平面向量的数量积（9）【解析】试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性（10）【答案】A考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）【答案】3 【解析】,αβ,αβ()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22T ππ==12x >11()()22f x f x +=-12x >()f x 1(6)(1)f f =()f x ()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；满足条件，结束循环，此时，. 考点：循环结构的程序框图（12）【答案】-2 【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理（13）【答案】2考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键. （14）【答案】【解析】试题分析：直线y =kx 与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P =.考点：直线与圆位置关系；几何概型（15）【答案】【解析】试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则，解得，故m 的取值范围是.考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键. 三、解答题：本答题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）a 1,b 8==a 3,b 6==a 6,b 3==i 3=5102552155()rrrrr rr T C ax C ax---+==510522r r -=⇒=252580 2.C a a -=-⇒=-3422(5)9x y -+=d 3=<33k 44-<<[1,1]k ?33224=(3,)+∞24m m m -<m 3>(3,)+∞【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）由知, 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式. （17）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()∏()I 2a bc +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 127（II ）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以'OO 'OO ⊥ABC ,AB BC =AC O .BO AC⊥可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以. 所以二面角的余弦值为. 解法二：考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.BCF (m =-ABC (0,0,1),n =7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==F BC A --713+=n b n 223+⋅=n n n T（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，得，，两式作差，得所以考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=32123413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅223+⋅=n n n T 23236=EX(Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得,,,,,.可得随机变量X 的分布列为()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()32321643434P X ==⨯⨯⨯=所以数学期望.考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20)(本小题满分13分)【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.综上所述，01234614472144121246EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 0≤a)1,0(∈x0)(/>xf)(xf/(1,),()0x f x∈+∞<时)(xf>a/3(1)()(a xf x x xx-=当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）的最大值为，此时点的坐标0≤a )(x f )1,0(),1(+∞20<<a )(x f )1,0()2,1(a ),2(+∞a 2=a )(x f ),0(+∞2>a )(x f )2,0(a )1,2(a),1(+∞1=a /22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+1422=+y x 12S S 49P为)41,22(所以，，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.)1(41||2121+==m m m GF S )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S 222221)12()1)(14(2+++=m m m S S 122+=m t 211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S 211=t 2=t 21S S 4922=m 0>∆P )41,22(12S S 49P )41,22(。

(完整版)2016年山东省高考数学试卷(理科解析)

2016年山东省高考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=( ）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1,b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．设集合A=｛y｜y=2x，x∈R｝，B={x｜x2﹣1＜0｝，则A∪B=（）A．（﹣1，1) B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0,+∞）解：∵A=｛y｜y=2x，x∈R｝=（0，+∞），B=｛x|x2﹣1＜0｝=（﹣1，1),∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）,制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17。

5，30］,样本数据分组为［17.5，20），［20,22.5），[22.5，25），[25,27.5），[27.5，30]．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22。

5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140解:自习时间不少于22.5小时的频率为:(0。

16+0.08+0。

04）×2。

5=0.7,故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140,故选：D4．若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2）,∴｜OA｜＞｜OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+π C．+π D．1+π解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1,高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π,故选:C6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交"时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交"时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC． D．2π解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos(x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B8．已知非零向量，满足4|｜=3|｜，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣解：∵4|｜=3｜｜,cos＜，＞=，⊥（t+），∴•(t+）=t•+2=t｜｜•||•+||2=（）|｜2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x)=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x)=﹣f（x）;当x＞时，f(x+）=f（x﹣）．则f(6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2解：∵当x＞时,f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f(x+1）=f（x）,即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f（x），∴f(1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时,f（x）=x3﹣1，∴f(﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f(﹣1）=2，∴f（6）=2．故选:D．10．若函数y=f(x）的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T 性质．下列函数中具有T性质的是( ）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则函数y=f(x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1,当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时,y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年高考山东卷理数试题(解析版)

绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B 【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（）（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D. 考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”⇒“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==> ，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B. 考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （）（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】试题分析：当12x >时，11()(22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=.考点：循环结构的程序框图【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等. （12）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2 【解析】试题分析：因为5102552155()rrrrr rr T C ax C ax---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.（13）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】试题分析：假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a-，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2. 考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.（14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.三、解答题：本答题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值. 试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=,故 cos C 的最小值为12. 考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解. 试题解析：（I ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI F //E又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ，又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC .（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得B ，(C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以3,FM ==可得F故((0,BC BF =--= .设(,,)m x y z = 是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ，则有//'FM OO ,又'OO ⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC,可得3,FM ==过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ，考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.试题解析：（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n n n c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX .【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236=EX 【解析】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4, 6.由事件的独立性与互斥性，得到X 的分布列，根据期望公式求解.试题解析：(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++由事件的独立性与互斥性， ()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P P A P B P C P D C P D =++++ 323212323132=24343434343432.3⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= , 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯= , ()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= , ()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.(20) (本小题满分13分)已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证23)()(/>-x f x f ，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；3232/)1)(2(22)(x x ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，/3(1)()(a x f x x x x -=. （1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ， )(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-，由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x--+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为41,22( 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）（i ）设)02,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=.所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。

数学-2016年高考真题--山东卷(理)(精校解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2016·山东理，1)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i2．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140 4．(2016·山东理，4)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．125．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 6．(2016·山东理，6)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2016·山东理，7)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π8．(2016·山东理，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－949．(2016·山东理，9)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．210．(2016·山东理，10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e xD ．y ＝x 3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．12．(2016·山东理，12)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 13．(2016·山东理，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________． 14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．15．(2016·山东理，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．三、解答题：本答题共6小题，共75分．16．(2016·山东理，16)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F-BC-A 的余弦值．18．(2016·山东理，18)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )． 20．(2016·山东理，20)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1,2]成立．21．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．答案解析1.解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.答案 B2.解析 ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C. 答案 C3.解析设所求人数为N ，则N ＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D. 答案 D4.解析满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如下图阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.答案 C5.解析由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C. 答案 C6.解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. 答案 A7.解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝π，故选B. 答案 B8.解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.答案 B9.解析当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D. 答案 D10.解析对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3，得y ′＝2x 2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 答案 A11.解析第1次循环：i ＝1，a ＝1，b ＝8，a <b ；第2次循环：i ＝2，a ＝3，b ＝6，a <b ；第3次循环：i ＝3，a ＝6，b ＝3，a >b ，输出i 的值为3. 答案 3 12.解析∵T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝a 5－r C r 5x 5102r -，∴10－52r ＝5，解得r ＝2，∴a 3C 35＝－80，解得a ＝－2. 答案－213.解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案 214.解析由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.答案 3415.解析如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.答案 (3，＋∞) 16.(1)证明由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B .化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.17.(1)证明设FC 中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC ，又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，33，因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F-BC-A 的余弦值为77. 18.解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (3)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.19.解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D . 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝⎛ 14×23×34×23＋34×13⎭⎫×34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝⎛⎭⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512. P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.20.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①0<a <2时，2a>1，当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ②a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③a >2时，0<2a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． (2)证明由(1)知，a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－⎝⎛⎭⎫1－1x －2x 2＋2x 3 ＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈[1,2]．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1,2]，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x ≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x 4. 设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1,2)，使得x ∈(1，x 0)时，φ(x )>0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )<0. 所以h (x )在(1，x 0)内单调递增，在(x 0，2)内单调递减．由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )>g (1)＋h (2)＝32.即f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1,2]成立． 21.(1)解由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )．即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*) 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m.所以直线OD 方程为y ＝－14m x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22，又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)，所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1).所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.。

2016山东高考理科数学试卷及问题详解

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案卸载试卷上无效．3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足i －z z 232=+，其中i 为虚数为单位，则=z （A ）i 21+ （B ）i －21 （C ）i －21+（D ）i －－21【解析】设 )∈,(,+=R b a bi a z ，则i －bi a a bi a z z z z z 23322=+=++=)+(+=+，所以21－b a =,=，故选（B ）（2）已知集合{}{}0122<=,∈,==A －x x B R x y y x ，则=B A（A ）),(11－（B ）),(10 （C ）)+∞,(1－（D ）)+,(∞0【解析】由题意），（），（11=,∞+0=A －B ，所以=B A )+∞,(1－，故选（C ）（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为0.30=2.5×)0.1+0.02(所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是 140=0.301×200）（－人，故选D ．（4）若变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+09322x y x y x ，则22y x +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 【解析】由22y x +是点),(y x 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点),(),,(),,(133020--，所以),(13-是最优解，22y x +的最大值是10，故选C（5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π32+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62+1【解析】由三视图可知,半球的体积为π62, 四棱锥的体积为31,所以该几何体的体积为π62+31，故选C ．（6）已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα、内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面α相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面βα、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交．故选A ．（7）函数)sin cos )(cos +sin (=)(x x －x x x f 33的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）2π3 （D ）π2 【解析】由）（33π+2sin 2=2cos +cos sin 2=)(x x x x x f 所以，最小正周期是π，故选B（8）已知非零向量n m ,满足313>=,<cos ,=4n m n m ，若)+(⊥n tm n 则实数t 的值为（A ）4（B ）—4（C ）49 （D ）—49 【解析】因为241n n m n m nm >=,<cos •=，由)+(⊥n tm n ，有02=+=)+(n tmn n tm n ，即0142=)+(n t ，所以=t —4，故选B（9）已知函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，1－x x f 3=)(；当11≤≤x －时，)(—=)(x f －x f ；当21>x 时，)(=)+(2121x －f x f ，则=)(6f（A ）—2 （B ）—1（C ）0 （D ）2【解析】由)(=)+(2121x －f x f ，知当21>x 时，)(x f 的周期为1，所以)(=)(16f f ．又当11≤≤x －时，)x (f )x (f -=-，所以)(—=)(11－f f ．于是2111163=---=--==])[()()()(f f f ．故选D ．（10）若函数)(=x f y 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称)(=x f y 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（A ）x y sin = （B ）x y ln = （C ）xe y = （D ）3x y = 【解析】因为函数x y ln =，xe y =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3x y =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质．故选A ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为【解析】1=i 时，执行循环体后81=,=b a ，b a >不成立；2=i 时，执行循环体后63=,=b a ，b a >不成立；3=i 时，执行循环体后36=,=b a ，b a >成立；所以3=i ，故填 3.（12）若5)+xax 1（2的展开式中5x 的系数是80－，则实数=a【解析】由553252322580C )1C x －x a xax ==（）（，得2－a =，所以应填2－．（13）已知双曲线)>,>(=:0012222b a by －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ，在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.（14）在],[11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆9522=+)(y x －相交”发生的概率为【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线kx y =与圆9522=+)(y x －相交，得事件发生时k 的取值空间为]43,43[－，其长度为23，所以所求概率为43=223，应填43．（15）在已知函数=)(x f ，其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根，则m 的取值范围是【解析】因为m mx －x x g 422+=)(的对称轴为m x =，所以m x >时m mx －x x f 422+=)(单调递增，只要b 大于m mx －x x g 422+=)(的最小值24m m —时，关于x 的方程b x f =)(在m x >时有一根；又x x h =)(在m x ≤，0>m 时，存在实数b ，使方程b x f =)(在m x ≤时有两个根，只需m b ≤<0；故只需m m m <—24即可，解之，注意0>m ，得3>m ，故填），（∞+3．三、解答题：本答题共6小题，共75分．（16）（本小题满分12分）在AB C ∆中，角C B,A,的对边分别为a,b,c ，已知cosAtanB+cosB tanA =tanB)+2(tanA (Ⅰ)证明：c b a 2=+；（Ⅱ）求C cos 的最小值．【解析】(Ⅰ)由cosAtanB+cosB tanA =tanB)+2(tanA 得 cosAcosBsinBcosAcosB sinA cosAcosB sinC 2+=⨯，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos211231223123222=-=-+≥-=)(b a c ab c ．所以C cos 的最小值为21．（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知H G,分别为FB EC,的中点，求证：GH//平面ABC ；(Ⅱ)已知BC =AB ,32=AC 21=FB =EF ，求二面角A -BC -F 的余弦值．【解析】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,，因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ；又因为MH//B C ，⊂BC 平面ABC ，⊄MH 平面ABC ，所以MH//平面ABC ；所以平面GHM//平面ABC ，由⊂GH 平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ，B C AB = OB A ⊥∴O以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴，建立空间直角坐标系．BC AB ,32AC 21FB EF ==== ，3)(22=--='FO BO BF O O ，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,，可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ，又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，设二面角A -BC -F 为θ，则7771cos ===θ．二面角A -BC -F 的余弦值为77．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，{}n b 是等差数列，且1++=n n n b b a ．(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令nn n n n b a c )2()1(1++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ，于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ； 725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ；411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ；X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（20）（本小题满分13分）已知.,12)ln ()(2R a xx x x a x f ∈-+-=(Ⅰ) 讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ) 当1=a 时，证明23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x xa x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；(2) 当２=a 时，1=2a ， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；(Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =x x x x x ，]2,1[∈x 令x x x ln =)g(－，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ，于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－，所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且 0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增；2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－．即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0>>(1=+:2222b a b y a x C 的离心率是23，抛物线y x E 2=:2的焦点F 是C 的一个顶点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点B A ,，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ． (Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （，由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得 0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ，又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是直线OD 的方程为x m－y 41=．联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－．所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,，所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ．令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t －当21=1t 时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(．所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．。

2016年高考理科数学山东卷-答案

【提示】可令，代入双曲线的方程，求得，再由题意设出，，，的坐标，由，可得，，的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线与圆相交，所以圆心到直线距离小于半径，
，，，，．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
（ⅱ）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标．
【考点】椭圆的简单性质
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为；
（B）选项中的导数是恒大于，斜率成绩不可能为；
（C）选项中的导函数恒大于，斜率成绩不可能为；
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自பைடு நூலகம்时间不少于22．5小时的频率为：，人数是人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
．
（Ⅱ），
，，且，当且仅当时取等号，
又，，，
由余弦定理，
的最小值为．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式，，带入并整理可得，这样根据两角和的正弦公式即可得到，从而根据正弦定理便可得出；

山东省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)

2016年山东省高考理科数学试题与答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足i －z z 232=+，其中i 为虚数为单位，则=z（A ）i 21+ （B ）i －21 （C ）i －21+ （D ）i －－21（2）已知集合{}{}0122<=,∈,==A －x x B R x y y x ，则=B A（A ）),(11－（B ）),(10 （C ）)+∞,(1－（D ）)+,(∞0 （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）1400.040.08 0.100.16（4）若变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+09322x y x y x ，则22y x +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 （5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π32+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62+1 （6）已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα、内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面α相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数)sin cos )(cos +sin (=)(x x －x x x f 33的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）2π3 （D ）π2（8）已知非零向量n m ,满足313>=,<cos ,=4n m n m ，若)+(⊥n tm n 则实数t 的值为（A ）4 （B ）—4（C ）49 （D ）—49（9）已知函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，1－x x f 3=)(；当11≤≤x －时，)(—=)(x f －x f ；当21>x 时，)(=)+(2121x －f x f ，则=)(6f （A ）—2 （B ）—1（C ）0 （D ）2（10）若函数)(=x f y 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称)(=x f y 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（A ）x y sin = （B ）x y ln = （C ）xe y = （D ）3x y =．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9则输出i 的值为（12）若5)+xax 1（2的展开式中5x 的系数是80－，则实数=a （13）已知双曲线)>,>(=:0012222b a by －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为（14）在],[11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆9522=+)(y x －相交”发生的概率为（15）在已知函数=)(x f ，其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根，则m 的取值范围是三、解答题：本答题共6小题，共75分．（16）（本小题满分12分）在ABC 中，角C B,A,的对边分别为a,b,c ，已知cosAtanB+cosB tanA =tanB)+2(tanA (Ⅰ)证明：c b a 2=+；（Ⅱ）求C cos 的最小值．（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知H G,分别为FB EC,的中点，求证：GH//平面ABC ；(Ⅱ)已知BC =AB ,32=AC 21=FB =EF ，求二面角A -BC -F 的余弦值．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，{}n b 是等差数列，且1++=n n n b b a ．(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令nn n n n b a c )2()1(1++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．（20）（本小题满分13分）已知.,12)ln ()(2R a xx x x a x f ∈-+-= (Ⅰ) 讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ) 当1=a 时，证明23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0>>(1=+:2222b a b y a x C 的离心率是23，抛物线y x E 2=:2的焦点F 是C 的一个顶点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点B A ,，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求21S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．参考答案：1、B2、C3、D4、C5、C6、A7、B8、B9、D 10、A 11、 3 12、2－ 13、2 14、4315、），（∞+316、(Ⅰ)由cosAtanB+cosB tanA =tanB)+2(tanA 得 cosAcosBsinBcosAcosB sinA cosAcosB sinC 2+=⨯，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos211231223123222=-=-≥-=)(c ab c ．所以C cos 的最小值为21． 17、(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,，因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ；又因为MH//BC ，⊂BC 平面ABC ，⊄MH 平面ABC ，所以MH//平面ABC ；所以平面GHM//平面ABC ，由⊂GH 平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ，BC AB = OB A ⊥∴O以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴，建立空间直角坐标系．BBC AB ,32AC 21FB EF ==== ， 3)(22=--='FO BO BF O O ，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,，可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ，又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，设二面角A -BC -F 为θ，则7771cos ===θ．二面角A -BC -F 的余弦值为77．18、(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ，于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．19、(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ； 725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ； X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．20、(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；(Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322x x x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ，于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－，所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－．即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立． 21、(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ． (Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m,P 2m （，由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为2=2m m x －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m m x －y 代入1=4+22y x ，得 0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ，又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是直线OD 的方程为x m－y 41=．联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－．所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m m x －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G(0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,，所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ．令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t －当21=1t 时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(．所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．。

16年高考真题——理科数学(山东卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则=z （）（A ）i 21+（B ）i 21-（C ）i 21+-（D ）i 21--2．设集合{}R x y y A x∈==,2|，{}01|2<-=x x B ，则=B A Y （）（A ）()1,1-（B ）()1,0（C ）()+∞-,1（D ）()+∞,03．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]30,5.17，样本数据分组为[),20,5.17[)[)[)[]30,5.27,5.27,25,25,5.22,5.22,20。

根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于5.22小时的人数是（）（A ）56 （B ）60 （C ）120（D ）1404．若变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+09322x y x y x ，则22yx +的最大值是（）（A ）4 （B ）9（C ）10（D ）12 5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）π3231+ （B ）π3231+ （C ）π6231+ （D ）π621+ 6．已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 7．函数()()()x x xx x f sin cos 3cos sin 3-+=的最小正周期是（）（A ）2π （B ）π （C ）23π （D ）π28．已知非零向量,m n u r r满足4||3||m n =u r r ，cos ,13m n =u r r 。

完整word2016年山东省高考数学试卷理科解析

2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（1．若复数z满足）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2z+=3﹣2iz满足，解：复数设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．x2﹣1＜0}，则A∪B=（）2．设集合A={y|y=2B={x|x，x∈R}，A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）x，x∈R}=（0，+∞）解：∵A={y|y=2，2﹣1＜0}=（﹣1，1）B={x|x，∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故选：D22满足，y 4．若变量x，则x+y 的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12解：由约束条件作出可行域如图，第1页（共12页）），（0，2（∵A0，﹣3），C |OC|，∴|OA|＞）．3，﹣1联立，解得B（，∵22x∴．的最大值是10+y ．故选：C ）．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（51+D．πCπ．+πA．π+ B．+ 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，．2R=，可得由棱锥的底底面棱长为1πR=，故半球的体积为：，故= ，1棱锥的底面面积为：，高为1，V=故棱锥的体积，故组合体的体积为：+π122第页（共页）故选：C6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A（cosx﹣sinx）的最小正周期是（（sinx+cosx））x7．函数f（）=．D．2πB．πCA ．（）（sinx+cosx数f（x（）x+）=2sin（=2x+），cosx﹣sinx）=2sin（解：x+）?2cos ，∴T=πB 故选：+），则实数⊥（，cost＜t，＞8的值为．已知非零向量，满足=4|．若|=3||（）．﹣．﹣4 CD．A．4B+），⊥＜（，＞=t解：∵，4||=3||，cos222++）∴?（=tt?=0，）? +|||==t||?|||（解得：t=﹣4，故选：B．3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x．当）的定义域为Rx＜0时，f（x）=x）=9．已知函数f（x﹣）．则f（6）=（时，f（x+）=f（x）﹣f（x）；当x＞A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2﹣），=f）（当xx＞时，f（x+解：∵＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴当x∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），3=xx）时，f（x∵当＜0﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．第3页（共12页））的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则xy=f（10．若函数）称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（3x y=x．y=lnx C．y=e D．A．y=sinx B x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，解：函数y=f（1，则函数y=f （x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣=cosx，满足条件；当y=sinx时，y′′y=lnx时，y恒成立，不满足条件；=＞0当xx时，y′=e恒成立，不满足条件；＞当y=e023 y′=3x恒成立，不满足条件；＞当y=x0时，A故选：小题，每小题5分，共25分.二、填空题：本大题共5，则输出的i的值为011．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为和9解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，故答案为：3255的系数是﹣80，则实数a= ）的展开式中x ．12．若（ax+2525r5r﹣﹣，==）的展开式的通项公式解：（ax+T（ax）a r+1=5﹣10．，解得r=2令552ax∵（80）+的展开式中x的系数是﹣3a∴=﹣80，第4页（共12页）﹣2．得a=CDAB，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E13．已知双曲线E上，：=1﹣（a＞0，，则E 的离心率是的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|±，y=±b=解：令x=c，代入双曲线的方程可得），（c，（c，﹣），D，c由题意可设A（﹣，），B（﹣c，﹣）C ，可得由2|AB|=3|BC|2 2b，=3ac?2=3?2c，即为2222，3e﹣e=，可得2e由b2=0=ca﹣﹣，．解得e=2（负的舍去）．故答案为：222=9相交”5）发生的概+y上随机地取一个数]k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣14．在[﹣1，1率为22=9的圆心为（5，0）5）+y，半径为3．解：圆（x﹣圆心到直线y=kx的距离为，22=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．）要使直线y=kx与圆（x﹣5 +y22）5y=kx与圆（x﹣，使直线[∴在区间﹣1，1]上随机取一个数k=9+y相交相交的概率为=．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是第5页（共12页）=的图象如下：f（x）0解：当m＞时，函数2222=x）（x∵x＞m时，f，m ＞4m﹣m）﹣+4m﹣m ﹣2mx+4m=（x∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，2＜m（m＞04m﹣m），必须2＞3m（m＞即m0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.+．tanA+tanB）=，的对边分别为a，bc，已知2（，16．在△ABC中，角AB，C Ⅰ）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值．（Ⅱ）证明：由得：解：（Ⅰ；=sinA+sinB；（sinAcosB+cosAsinB）得，∴两边同乘以cosAcosB2 ；A+B）=sinA+sinB∴2sin（1）；即sinA+sinB=2sinC（根据正弦定理，；；，带入（∴1）得：∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；2222）a+b∴（；=a+2ab=4c+b2222a∴≥4ab，当且仅当a=b时取等号；+b=4c2ab﹣，且4c又a，b＞0；第6页（共12页）；∴由余弦定理，=；∴．的最小值为∴cosC是圆台FB′的直径，O的直径，EF是上底面圆O17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆的一条母线．；平面ABCFB的中点，求证：GH∥G（I）已知，H分别为EC，的余弦值．﹣A，求二面角F（Ⅱ）已知﹣EF=FB=BCAC=2AB=BCQH，Q，连结GQ、证明：（Ⅰ）取FC中点FB的中点，H为EC、∵G、∥GQ，QH∴，GQBOBO，∴，又∵EFABC，GQH∥平面∴平面．ABCGH∥平面GH?面GQH，∴∵，BO⊥ACⅡ）∵AB=BC，∴解：（，⊥面ABC又∵OO′轴，建立空间直角坐标系，为z为y轴，OO′轴，∴以O为原点，OA 为xOB，，，33，），F（0）（），B0，，2，0）O′（0，00，A则0（，，0）C（﹣2，0，0），﹣，﹣3），=（，2，2=（﹣，2）3，0，0，由题意可知面ABC的法向量为=（的法向量，FCB，z）为面，设=（xy000则，，即），﹣1，，﹣=1取x（，则=10==．﹣cos∴＜，＞=127第页（共页）∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，的余弦值为．﹣A ∴二面角F﹣BC2+8n，{b}是等差数列，且a=b+b．n18．已知数列{a}的前项和S=3n n+1nnnnn（Ⅰ）求数列{b}的通项公式；n=，求数列{c}的前n项和T．（Ⅱ）令c nnn2+8n，=3n （Ⅰ）S解：n∴n≥2时，a=S﹣S=6n+5，1nnn ﹣n=1时，a=S=11，∴a=6n+5；n11∵a=b+b，n+1nn∴a=b+b，nn1n1﹣﹣∴a﹣a=b﹣b．1n+1nn1n﹣﹣∴2d=6，∴d=3，∵a=b+b，211∴11=2b+3，1∴b=4，1∴b=4+3（n﹣1）=3n+1；nn，?2=6（n+1（Ⅱ）c）==n2n T∴]①，2）?2+32?+…+（n+1=6[2?n23nn+12T∴]②，22+（n+1）=6[2?2?+32?+…+n?nn+1n+13n22）?﹣6（]=12+6n+1×=?）2+2T①﹣②可得﹣=6[2?2+2+…+2﹣（n+1nn+1n+2，?2）?23n=﹣（﹣6n n+2T∴．2 =3n?n19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人第8页（共12页），乙每轮猜对的概率是；每轮活分．已知甲每轮猜对的概率是“星队”得0都没猜对，则动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率+++=P=+，= ，，63）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，，4（II，则P（X=0）==]+X=1）=2×，[=（P）（X=2P++=+，=）（X=3=2=×，P=P（X=4）=2×[]+= =P（X=6）X的分布列如下图所示：故2 34X 0 1 6P==+6×+3∴数学期望EX=0×+1×××+4×+2+，a∈）R．x．已知f（）=a（x﹣lnx20 ）的单调性；（I）讨论f（x+对于任意的x∈[1，2]x）＞时，证明II）当a=1f（xf′（）成立．（+，lnx﹣）x=axfⅠ（）解：由（）（第9页（共12页）+）1 ﹣f′（x）=a（得=（x＞0）=．2﹣2＜0恒成立，若a≤0，则ax∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；）和（，+∞）时，f′（x）＞0，10，f（x）为增函数，∈当a＞0，若0＜a＜2，当x （）时，f′（当x∈（1x，）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（若a＞2，当x∈（0x）为增函数，，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（（Ⅱ）解：∵a=1，lnx+﹣．﹣lnx 1=x）﹣（x）=f（xf′（x）=x﹣令F x e∵1+x，＞，∴x＞ln（1+x）1x e∴﹣＞，1＞lnxx，则x﹣=．）＞∴F（x=（x∈[1，2]=，则φ′（x））．（令φx）上为减函数，则2]x）在[1，，∴φ（）＞恒成立．F（x∴+对于任意的x∈[1），2]成立．f即f（x）＞′（x）的离心率是，抛物线E：＞b＞．平面直角坐标系xOy中，椭圆C0：+=1（a212=2y的焦点F 是C的一个顶点．x（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；第10页（共12页），求的最大值的面积为S的面积为S，△PDM△（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG21的坐标．及取得最大值时点P2，），的焦点F为（e=，抛物线=E：x0=2y解：（I）由题意可得22 b=，﹣即有c=a，c=解得a=1，，22=1；x可得椭圆的方程为+4y2=2y，y），可得x）（i）证明：设P（x，（Ⅱ00002的导数为y′=x，即有切线的斜率为x由xy=，0则切线的方程为y﹣y=x（x﹣x），000可化为y=xx﹣y，代入椭圆方程，00222﹣1=0x+4y，）x ﹣8x可得（1+4xy0000设A（x，y），B（x，y），2112，﹣），，即有中点D （可得x+x=21﹣．，可令x=x，可得y=直线OD的方程为y=x﹣0﹣上；即有点M在定直线y=（ii）直线l的方程为y=xx﹣y，令x=0，可得G（0，﹣y），0002）；（=x|x=|FG|?1+x|=x?（+y）则S000001?，）+x??S=|PM||x﹣y|=（=0200=，则2=，则=）≥（1+2x令=tt10第11页（共12页）2﹣（+﹣）==2+=﹣，时，，t=2则当，即x=取得最大值0．的坐标为（，）此时点P1212第页（共页）。

[山东卷]2016年山东卷理科数学(全解析)

输入a, b i = 1 a=a+i,b=b i i=i+1
非负,不符合题意.
第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11.执行右边的程序框图,若输入的 a, b 的值分别为 0 和 9 ,则输出的 i 的值为_______.
【解析】 3 ；第一次循环: a = 1, b = 8 ；第二次循环: a = 3, b = 6 ；第三次循环:
以 f (1) = - f ( -1) = - é( -1) - 1ù = 2 .
3
ë
û
10.若函数 y = f ( x ) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y = f ( x ) 具有
T 性质.下列函数中具有 T 性质的是(
A． y = sin x B． y = ln x
分是底面积为1 ,高为 1 的四棱锥,体积 V2 =
æ 2ö 2 ´ç ç 2 ÷ ÷ = 6 p ,下半部 è ø
2
1 1 1 2 ´ 1 ´ 1 = ,故该几何体的体积为 + p. 3 3 3 6 6. 已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 a , b 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 a 和平面 b 相
( ax )
2
5 - k
5 10 - k 5 æ 1 ö 5 - k k 2 ,令 10 - k = 5 ,得 k = 2 ,因此 C52 a 3 = ç ÷ = a C5 x 2 è xø
k
-80 ,解得 a = -2 .
13.已知双曲线 E :
x 2 y 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, AB, CD 的中点为 E a 2 b 2

2016年高考理科数学山东卷-答案

故概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，则，
，
，
，
，
，
故的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
数学期望．
【提示】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（Ⅱ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到的分布列和数学期望．
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当时，函数的图象如下：
时，，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是．
【提示】作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由得：，
两边同乘以得，，
，即 ①，根据正弦定理，，，，，带入①得，
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设，，则，，，，．
【提示】设出复数，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】，，，，．
【提示】求解指数函数的值域化简，求解一元二次不等式化简，再由并集运算得出答案．
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函ห้องสมุดไป่ตู้及其应用
10.【答案】A

2016年高考理科数学试题山东卷答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学答案（1）【解析】通解设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-．故22()z z a bi a bi +=++-=3a bi +=3-2i ，所以错误!未找到引用源。

，解得错误!未找到引用源。

，所以12z i =-．故选B ．光速解法：设z a bi =+(,)a b R ∈，由复数的性质可得2z z a +=，故2()z z z z z +=++，故2z z +的虚部就是z 的虚部，实部是z 的实部的3倍．故12z i =-，选B ．（2）【解析】集合A 表示函数2x y =的值域，故(0,)A =+∞．由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-，所以(1,)A B =-+∞．故选C ．（3）【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D ．（4）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ,y )为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 重合时，2||OP 即22x y +取得最大值．由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩错误!未找到引用源。

,解得31x y =⎧⎨=-⎩，错误!未找到引用源。

故A (3，-1)．所以22x y +的最大值为32+2(1)-=10．故选C ．（5）【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R ，则22R =2R =，所以半球的体积32142326V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ．（6）【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ．（7）【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ．（8）【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以222||31|cos |||3||t |||<,>|||=-=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n n m n m n m n m m n 4343=-⨯=-．故选B ．（9）【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．（10）【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0，显然12k k ⋅=12x x e e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．（11）【解析】输入a =0,b =9，第一次循环：a =0+1=1，b =9-1=8，i =1+1=2；第二次循环：a =1+2=3，b =8-2=6，i =2+1=3；第三次循环：a =3+3=6，b =6-3=3，a >b 成立，所以输出i 的值为3．（12）【解析】(ax 2+x错误!未找到引用源。

2016年高考理科数学山东卷及答案

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件,A B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z = （）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2. 设集合{}{}22,,10x A y y x B x x ==∈=-<R ，则AB =（）A. 1,1-（）B. 0,1（）C. 1,-+∞（）D. 0,+∞（）3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，20,2[ 2.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x ，y 满足+2,2-39,0,x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则22+x y 的最大值是（）A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 12+33πB. 1+3C. 13D. 1 6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（）A.2πB. πC. 32πD. 2π8. 已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos <m ,n >=13，若n ⊥(t m+n )，则实数t 的值为（）A. 4B. 4-C.94 D. 94-9. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()1f x x -３＝；当x -1≤≤1时，()f x -=()f x -；当12x >时，11(+)()22f x f x -＝.则(6)f = （）A. 2-B. 1-C. 0D. 210. 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）A. y=sin xB. y=ln xC. x y=eD. 3y=x232i,z z +=--------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）第II 卷（共100分）二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别为0和9，则输出的i 的值为 .12.若25ax （的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =________.13. 已知双曲线2222y 100E a b a bx =>>-：（，）.矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是_______.14. 在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_______. 15. 已知函数2|| ()24 x x m x mx m x m f x ⎧⎨-+⎩=，≤，，＞，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知2(tanA+tanB)=tanA tanB+cosB cosA. (Ⅰ)证明：2a b c +=； (Ⅱ)求cos C 的最小值.17. （本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(Ⅰ)已知G,H 分别为EC,FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ； (Ⅱ)已知12EF =FB =AC ==BC ，求二面角F -BC -A 的余弦值.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .20. （本小题满分13分)已知221()(ln ),R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立.21. （本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1,3m n<>=，21||||||043t n n n∴+=，104∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数【考点】平面向量数量积的运算【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）。