通信网理论基础.4排队论[1]

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排队论

G：一般分布。表示到达间隔时间或服务时间服从一般分布。G是General的第一个字母。
EkE：rlkan-爱g 尔朗的分第布一。个表字示母到。达间隔时间或服务时间服从k-爱尔朗分布。E是 D: 定长分布 (常数时间)
H：超几何分布。
L：H项式分布。
Z代表的服务规程典型的有：
FCFS：先来先服务；LCFS：后来先服务；RSS：随机选择服务；
PR：优先权服务。 Ba：集体（批量）服务。 GD：一般规约服务，即通用规约服务。
排队论课件 23
3 基本排队关系
在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队系统，若满足以下三个条件：
（1）排队系统能够进入统计平衡状态；
（2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内到达有k个顾客到达的概率为：
♂
※
排队论课件
11
基本的排队模型
基本组成概念与记号指数分布和生灭过程
♂
排队论课件 12
典型排队系统模型
顾客到达: 在队列中排队服务台服务顾客离开
输入源
。。。
输入源的特性？
到达规律队列大小？
到达方式？
服务规律？
服务协议？
在本单元中，我们主要介绍排队系统的组成和特征，排队系统的到达和服务，经典排队模型等内容。顾客到达规律和服务规律都是通过概率来描述的，所以概率论是排队论的基础。

排队论课件1

排队规则
• （c）从队列的数目看，可以是单列，也可以是多列。 • 在多列的情形，各列间的顾客有的可以互相转移，有的不能（如用绳子或栏杆隔开）。 • 有的排队顾客因等候时间过长而中途退出，有的不能退出（如高速公路上的汽车流），必须坚持到被服务为止。 • 我们将只讨论各列间不能互相转移、也不能中途退出的情形。
§1 基本概念
• 排队论起源于1909 年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章— “自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。 • 排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。
Hale Waihona Puke 排队模型的分类• 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号是： • M――负指数分布（M是Markov的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov性） • D――确定定型（Deterministic） • Ek――k阶受尔朗(Frlang)分布 • GI――般相互独立（General Independent）的时间间隔的分布 • G――一般（General）服务时间的分布
…
…
c
c 2
c d
…c
服务机构
• (d) 服务方式可以对单个顾客进行，也可以对成批顾客进行，公共汽车对站台等候的顾客就成批进行服务，我们将只研究单个单个地服务方式。 • （ e ）和输入过程一样，服务时间也分确定型的和随机型的。自动冲洗（服务）的时间就是确定，但大多数情形的服务时间是随机型的。对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。 • （f）和输入过程一样，服务时间的分布我们总假定是平稳的，即分布的期望值、方差等参数都不受时间的影响。

排队论基础

Network Laboratory
t时刻， k状态则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务率）均不确定——工作于随机状态资源少——顾客排队长——服务质量下降资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资源利用率。（与统计参数和工作方式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论是不可缺少的

k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件

1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率）忙太大不稳

得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t

排队论知识点(一)

排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。

队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。

排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。

排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。

根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。

2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。

根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。

3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。

4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。

5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。

排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。

M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。

2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。

到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。

3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。

到达过程仍然是泊松过程。

4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。

排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。

通信网理论分析要点

图2.2 用于定义泊松过程的时隙
利用上述3点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客到达的概率
p(k)，由下式给出：
p(k)=( T)ke− T/k!（k = 0，1，2，…）
（2.1）
这就是熟知的泊松分布。其平均值E(k)和方差 k2由下式给出:
E(k) kp(k) T
k 0
2 k
E(k 2 ) E 2 (k)
为了对泊松过程进行定义，在时间轴上取一个很小的时隙Dt，如图2.2所示。用下面3个表述来对泊松过程进行定义。
① 在时隙△t中有一个顾客到达的概率定义为λ△t +o(△t)， o(△t)表示△t的更高阶项，当△t →0时，它更快地趋于0； λ 是一比例常数，且λ△t <<1。
② 在△t中没有顾客到达的概率是1− λ△t +o(△t)。 ③ 到达是无记忆的，即在长度为△t的一个时隙内的顾客到达，与以前或以后的时隙中的到达无关。
图2.5 M/M/1排队系统的状态图
在系统状态图中，有顾客到达时，状态以速率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速率m 向左移动一步。在系统处
于统计平衡状态下，可列出系统统计平衡方程：
（2.4）
平衡方程是通过稳态平衡原理来建立的，等式两边分别表
示脱离状态n的速率与由状态n−1或n+1进入状态n的速率。在
Pn (1 ) n ( 1)
（2.5）
式中，＜1是上式能够成立的必要条件。为使平衡得以存在，队列的到达率或负荷必须小于输出容量m 。如果在无限长
排队模型中Pn这一条件不满足，队列就会随时间持续不断地
增长，而永远达不到平衡点。图2.6所示为当 = 0.5时状态概
率的图形表示。
图2.6 M/M/1状态概率（r = 0.5）

排队论

泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单流是它的一个特例。此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或称对时间是齐次的。平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征

排队论

叫做最简单流或泊松流。
♂
对泊松流，从数学上可以证明，在时间t，系统内有n个顾客到达的概率服从泊松分布
※
排队论课件
15
服务系统的决策变量
P n(t)(n t!)net,t0,n0,1,2,
其数学期望 t ，均方差t 。
下面讨论当顾客流是泊松流时，两顾客相
继到达的时间间隔T的概率分布。
设T的分布函数为 FT(t)P{Tt}，这个概率
※
排队论课件
13
服务系统的决策变量
（1）在不相重叠的时间区间内，顾客到达的数量是相互独立的。这称为流的无后效性。
（2）对充分小的时间间隔t ，在时间区间
[t而,t仅与t]区内间有长一度个成顾正客比到。达即的概率与时间t无关，
P 1 (t,t t)( t) o ( t)
式中，P1 表示系统中有一个顾客的概率，表
※
排队论课件
5
服务系统的构成
在一个服务系统中的基本运行过程是这样的：要求某种服务的顾客进入服务系统，当发现服务员都忙着时，就自动排队等待。服务员按某一规律选择队列中的顾客进行服务。服务完后，顾客离开服务系统（见图81）。
因此任何一个服务系统都由下面几部分组 ♂成：
※
排队论课件
6
服务系统的构成
排队论（Queueing Theory）
排队论课件
1
第一节服务系统的基本概念
前言
服务系统的构成
服务系统的主要分类
服务系统的运行指标
服务系统的决策变量
服务系统模型的符号表示法
♂
※
排队论课件
2
前言
人们排队等待某种服务是一个很普遍的
现象。在商店、旅馆、食堂、医院、售票

排队论及其在通信中的应用

排队论及其在通信中的应用姓名：徐可学号:2012202120131 专业：通信与信息系统摘要：排队论又称随机服务系统理论，它广泛应用于通信领域，是通信网络流量设计的基础理论。

本文通过对排队论基本概念的介绍，进而阐述了排队论在通信网中的应用，以实例分析的方法揭示了排队论在通信网络流量设计中的重要作用。

关键词：排队论通信网络Abstract:Queuing theory which is also called the theory of random service system is widely used in the communication field,and it is the basic theory of traffic flow in the communication network design。

This paper introduce the basic concept of queuing theory, and expounds the queuing theory in communication network applications. with a case analysis，this paper reveals the important role of the queuing theory in communication network design 。

Key words: Queuing theory communication network1 排队论基本概念1.1 排队系统的概念把要求服务的一方称为顾客,把提供服务的一方称为服务机构，而把服务机构内的具体设施称为服务员（或服务窗口）。

顾客要求的随机性和服务设施的有限性是产生排队现象的根本原因。

排队论就是利用概率论和随机过程理论，研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系,以便合理地设计和控制排队系统［1］。

排队论(QueuingTheory)

t
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 pn 稳态的物理意义见右图，系
统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。值得注意的是求稳态概率Pn并不一定求t→∞ 的极限,而只需求Pn’(t)=0 即可。
Hale Waihona Puke P (t , t t ) o(t )
n2 n

P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
过渡状态
稳定状态
t
14
图3 排队系统状态变化示意图
2019/2/7 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论主要知识点
排队系统的组成与特征排队系统的模型分类顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布稳态概率Pn的计算标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型 [M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
10
(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq；等待时间服务时间
逗留时间
=
+
2019/2/7
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239

排队论(讲义)

排队论课件 13
随机过程的例子
为了更好的理解随机过程，我们从一个例子开始。例如， n 个同样的电阻，同时记录它们热噪声的电压波形。电阻上的热噪声是由于电阻中的电子的热运动引起的，因此，在t1时刻电阻上的热噪声电压是一个随机变量，并记为 x(t1)，也就是说t1时刻任一电阻r(i)上的噪声电压x(i,t1)是无法预先确切地知道的。这里n支电阻的热噪声电压的集合是这个随机实验的样本空间S。对于某一支电阻，其热噪声电压是一时间函数x(i，t)，是随机过程的样本函数。对所有电阻来说，其热噪声电压就是一族时间函数，记为 x(t)，这族时间函数就是“随机过程”，族中每一时间函数称为随机过程的样本函数。
模型的建立3电话亭模型nknk其中顾客前有个顾客在排队如果简化c1c2为常数并计算第二个人的无需等待返回时间的期望值得用matlab能够作出的函数并从图中得出结果模型的求解4电话亭模型11221uctcpt94模型的求解4电话亭模型第三个人的无需等待返回时间的期望值同理可以算出并用图解法求出模型的求解4电话亭模型131212这种方法太繁琐似乎不好用
3
几何分布
P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, … 它描述在k次贝努里实验中首次出现成功的概率。
排队论课件 9
几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次实验未出现成功的条件下，再经过m次实验（即在n+m次实验中）首次出现成功的概率，等于恰好需要进行m次实验出现首次成功的无条件概率。用式子表达：
排队论
Queueing Theory
主讲：周在莹
CONTENTS
PREPARATION:概率论与随机过程
UNIT 1 排队模型 UNIT 2 排队网络模型 UNIT 3 应用之：QUICK PASS系统结束语

排队论-1

e (t h ) P( A t h | A t ) t e h P( A h) e
2、顾客到达数量
1）、泊松分布（the Poisson distribution）
如果一个离散随机变量满足
e n P ( N n) n!
（n＝0,1,2, ），
指数分布的重要性质：

密度函数对时间严格减少无记忆性
P( A t h | A t ) P( A h)
在不相交的区间内顾客到达的数量是相互独立的，这个性质称为无记忆性
指数分布的无记忆性

引理1：如果服从指数分布，则对任意的非负常数和有
P( A t h | A t ) P( A h)
研究排队论的重要概念——生灭过程
状态：t 时刻排队系统中的顾客数量 t＝0：系统的初始状态，即系统中初始的顾客数量。关心的问题：当初始时刻有i个顾客时，在t时刻有j
每个顾客被服务多少时间也无法预测。
用随机变量分布
ti
一、研究到达过程
1、顾客到达的间隔时间 2、在给定一段时间内顾客到达的数量
对于一个排队系统，如何选择一个能够反映排队情况，并且易于计算的概率分布是十分重要的。
1、到达间隔时间
1）、指数分布指数分布的密度函数期望值方差
a(t ) e t
1分钟内没有顾客到达的概率为0.4724。例如，设每分钟到达的平均人数为0.75人。
则2分钟内0位、1位顾客到达的概率?
=?
2 0.75
泊松分布与指数分布的关系
定理1：到达间隔时间服从参数为的指数分布
的充分必要条件是长度为t的时间段内到达的顾客数量服从参数为 t 的泊松分布（the Poisson distribution）。

排队论

X/Y/Z/A/B/C
前三项意义不变，而 A——系统容量限制N； B——顾客源数m； C——服务规则：FCFS（先到先服务）；LCFC （后到先服务）。
约定：如省略后三项，表示 M / M / 2 / ∞ / ∞ / FCFS
排队系统
湖北工业大学理学院 ZNL
1、队长Ls：指在系统中的顾客数。 2、排队长Lq：指系统中排队等候服务的顾客数。
3、M/M/1参数计算
u M／M／1 模型
（1）系统中平均顾客数（Ls）
LS nPn (1 ) 2 2(1 ) 3 3(1 ) n0 (1 )( 2 2 3 3 )
记
S 2 2 3 3 S 2 2 3 3 4
(1
)S
2
3
1
Ls
1
-λP0+μP1=0
(3)
λPn-1+μPn+1-(λ+μ)Pn=0
(4)
由式(3)得
P1
P0
通过求解可得
Pn
（）n
P0
,
u M／M／1 模型 n 0，1，2，
Pn
n1
P0 ( 1 2
)
P0
1
1
1
1
P0 1 Pn n (1 ), n 1
参数意义：
λ —— 单位时间内到达的平均顾客数 μ —— 单位时间内服务的平均顾客数 ρ —— 服务强度
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为10的指数分布等同于(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为 10的泊松分布
注：(1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是0.1个单位时间.
(2)指一个单位时间内平均到达10个顾客

排队论论述

1971年，一次关于排队论符号标准化会议，将kendall符号扩充为：
X /Y /Z / A/B/C
前三项意义不变， A处填写系统容量限制， B处填写顾客源数目， C处填写服务规则
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号：
M：负指数分布，（M 是 Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即：Markov 性） D：确定型（Deterministic）
13
2. 排队规则
③随机服务（RAND）。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务（PR）。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。
14
2. 排队规则
在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,而与Δt成正比。
30
λ>0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。
③ 普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt）内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高P0+阶P1无+P穷≥2=小1 .
即 Pn (t, t t) o(t) n2
12
2. 排队规则
(2)等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。
例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：
①先到先服务（FCFS ）。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务（LCFS）。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
数学期望:(离散) E(ξ)=

4通信网理论-排队论基础4

We’re Thinking for Innovations… 课件 ftp://202.204.4.143 ; user: txw; pwd: txw
Wireless Technology Innovation Labs, BUPT
7）成批到达的 M / M /1排队模型
1. M / M /1 排队模型：
We’re Thinking for Innovations… 课件 ftp://202.204.4.143 ; user: txw; pwd: txw
Wireless Technology Innovation Labs, BUPT
6）有差错服务的M/M/1排队模型
1. 问题提出：
现实生活中，由于种种原因，服务窗出现差错的事件时有发生，服务的正确性存在一定的概率ρ （ ρ <1）。非闭合式排队系统：因顾客来源多，少量服务差错不影响顾客流的强度闭合式M/M/1/m/m排队系统：讨论有差错服务有意义 We’re Thinking for Innovations… 课件 ftp://202.204.4.143 ; user: txw; pwd: txw
We’re Thinking for Innovations… 课件 ftp://202.204.4.143 ; user: txw; pwd: txw
Wireless Technology Innovation Labs, BUPT
3）可变输入率的M/M/1排队模型
3. 状态图：
λ 0 μ 1 μ λ/2 λ/3 2 μ … K-1 μ λ/k k μ λ/k+1 λ/k+2 K+1 μ …
Wireless Technology Innovation Labs, BUPT

3通信网理论-排队论基础1

σ w2
=
ρ(2 − ρ) (1 − ρ )2
系统时间s = w +τ = 1 μ (1 − ρ )
51
平均闲期
I
=
1
λ
平均忙期 T = 1
μ −λ
空闲率 p0 = 1 − ρ 忙概率 ρ
பைடு நூலகம்
及各变量分布解析结果
平均值结果均取决于 ρ
⎧效率指标 : 窗口占用率η = ρ ρ的三个意义⎪⎨ 稳定性指标: ρ > 1不稳
¾ 在有限时间区间内到达的顾客数是有限的，总能找到1个时间间隔段的尺度，使得在这个时间段内，只来一个电话呼叫
一般可以作如下假设
无后效性（马尔可夫性）
¾ 顾客到达时间相互独立 ¾ 顾客各自随机的打电话
指数分布
可以证明，在上述假设条件下，顾客的到达时间间隔服从指数分布
泊松分布
还可以证明，在T 时间内有k 个顾客到达的概率服从泊松分布
系统时间S
系统效率η
¾ 窗口占用率， η＝r/m
稳定性
¾ ρ=λ/μ
if ρ>m, 不拒绝系统，not stable, if ρ>m, 截至型系统，stable
22
队长k
排队长度—t瞬间系统内的顾客数（含在窗口的）
k—离散随机变量
三种观察： dk—顾客到达时观察队长为k的概率 rk—顾客离去时观察队长为k的概率（以上为有条件抽样） pk—（服务员）随机观察队长为k的概率
就可以了。 ¾ 一般可以作如下假设
一般可以作如下假设
平稳性
¾ 在时间t内，到达k个顾客的概率只与时间t有关，而与时间间隔的起始位置无关
¾ 分别从10点和10点10分开始观察30秒内的呼叫到达，结果在统计上是一致的。

排队论

后到先服务LCFS，
有优先权服务PS，随机服务RF。
（c）混合制排队
队长有限等待时间有限逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限
排队系统的三大要素描述三、服务机制主要包括服务设施的数量、连接形式、服务方式及服务时间分布等. 服务设施的数量：一个或多个，分别称为单服务台与多服务台排队系统；连接形式：串联、并联、混联和网络等；服务方式：单个或成批服务；服务时间的分布：其中服务时间分布是最重要因素，记服务台服务时间为V, 其分布函数为B(t), 密度函数为b(t), 常见的分布有： (1) 定长分布（D）
特别的,当t 1, 有E ( N (1)) , 可看成单位时间内到达顾客的平均数.
Poisson过程有如下性质：
(1) 在[t, t+△t] 时间内没有顾客到达的概率为
P0 (t ) e t (1 t ) o(t ) 1 t
(1) 在[t, t+△t] 时间内恰好有一个顾客到达的概率为 P (t ) 1 P0 (t ) (t ) t 1
无限状态生灭过程定义：设｛N(t)，t ≥0 ｝是一个随机过程（其中N(t)表示时刻 t 系统中的顾客数）。若N(t)的概率分布具有如下性质： 1. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 0，1，2，…。 2. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或离去。则称｛N(t)，t ≥0 ｝是一个生灭过程。
Erlang输入(Ek) 顾客相继到达时间间隔{Xn}相互独立，具有相同的Erlang分布密度函数

排队论及其在通信领域中的应用

排队论及其在通信领域中的应用信息与通信工程学院2010211112班姓名：李红豆学号：10210367班内序号：26指导老师：史悦一、摘要排队论是为了系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。

排队是一种司空见惯的现象，因此排队论可以用来解决许多现实问题。

利用排队论的知识可以来解决通信服务中的排队论问题。

应用排队论一方面可以有效地解决通信服务系统中信道资源的分配问题；另一方面通过系统优化，找出用户和服务系统两者之间的平衡点，既减少排队等待时间，又不浪费信号资源，从而达到最优设计的完成。

二、关键字排队论、最简单流、排队系统、通信三、引言排队论又称随机服务系统,主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。

是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞)现象的规律的一门学科,排队论的创始人Erlang是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。

它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。

可以说,凡是出现拥塞现象的系统,都属于随机服务系统。

随着电子计算机的不断发展和更新,通信网的建立和完善,信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题,从而使排队论理论与应用得到发展。

四、正文1、排队论概述：1.1基本概念及有关概率模型简述：1.1.1排队论基本概念及起源：排队论是一个独立的数学分支有时也把它归到运筹学中。

排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象(排队、等待)的科学也称为随机服务系统理论或拥塞理论。

它专于研究各种排队系统概率规律性的基础上解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。

排队论起源于20世纪初。

当时美国贝尔Bell电话公司发明了自动电话以后如何合理配臵电话线路的数量以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题出现了。

1909年丹麦工程师爱尔兰A.K.Erlang发表了具有重要历史地位的论文“概率论和电话交换”从而求解了上述问题。