电磁学_Ch01 向量分析

2 ∇r = r ˆ ，式中 r 為自原點起算的徑向距離 r = x 2 + y 2 + z 2 。 ○
1 3 ∇ (r 2 ) = 2r 及 ∇ ( ) = − ○
r ˆ ，式中 r 為自源點 ( x ′, y ′, z ′) 至 場點 ( x, y, z ) r r 向量（separation vector） ，而 r 為其長度（參考圖 1–1） 。
§1-5：The Dirac Delta function（狄拉克 得耳他函數）
(1) 一 維 的 得耳他函數（one- dimensional δ- function） ： （參考圖 1–2） ∞ ⎧0 x ≠ 0 定義： δ ( x) = ⎨ 且 ∫ δ ( x)dx = 1 −∞ ⎩∞ x = 0 性質：
ˆ = cos φx ˆ + sin φy ˆ s ˆ = − sin φx ˆ + cos φy ˆ ……（參考課文中問題 1.41） φ ˆ =z ˆ z ˆ ( s cos φ ) + y ˆ ( s sin φ ) + z ˆ ( z) 證明：因 r = x
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東海大學物理系
∂r ˆ cos φ + y ˆ sin φ ………………(s 曲線的切線向量) =x ∂s ∂r ˆ ( s sin φ ) + y ˆ ( s cos φ ) ………( φ 曲線的切線向量) = −x ∂φ ∂r ˆ =z ∂z ∂r ∂s = x ˆ= ˆ cos φ + y ˆ sin φ 因此， s ∂r ∂s ∂r ∂φ ˆ= ˆ sin φ + y ˆ cos φ φ = −x ∂r ∂φ ∂r ∂z = z ˆ= ˆ z ∂r ∂z
1 ○
∫
∞
−∞
f ( x)δ( x)dx = f (0) ……（見課文(1.89)式）
證明：因除在 x = 0 外，在其他點的 f ( x)δ( x) 皆為 0 得 f ( x)δ( x) = f (0)δ( x) 所以得證
∫
∞
−∞
f ( x)δ( x)dx = f (0) ∫ δ( x)dx
∞
= f (0)
得
3 各向量導函數： ○ ∂T 1 ∂T ˆ ∂T ˆ+ ˆ ∇T = s φ+ z ∂s s ∂φ ∂z 1 ∂ 1 ∂vφ ∂v z ( svs ) + + ∇⋅v = s ∂s s ∂φ ∂z
∇ 2T =
1 ∂ ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T (s ) + 2 + s ∂s ∂s s ∂φ 2 ∂z 2 ˆ ˆ ˆ s z sφ 1 ∂ ∂ ∂ ∇× v = s ∂s ∂φ ∂z vs svφ v z
§1-4：Curvilinear Coordinates（曲線坐標）
(1) 球極坐標（Spherical Polar coordinates） ： (r ,θ , φ ) 1 ○ 直角坐標 ( x, y, z ) 與球極坐標 (r ,θ , φ ) 間的關係式為 x = r sin θ cos φ ， y = r sin θ sin φ ， z = r cosθ
ˆ = − sin φx ˆ + cos φy ˆ φ ˆ (r sin θ cos φ ) + y ˆ (r sin θ sin φ ) + z ˆ (r cos θ ) 證明：因 r = x ∂ ˆ (sin θ cos φ ) + y ˆ (sin θ sin φ ) + z ˆ (cos θ ) ………….(r 曲線的切線向量) 得 r=x ∂r ∂ ˆ (r cos θ cos φ ) + y ˆ (r cos θ sin φ ) − z ˆ (r sin θ ) …….( θ 曲線的切線向量) r=x ∂θ ∂ ˆ (− r sin θ sin φ ) + y ˆ (r sin θ cos φ ) ………………..( φ 曲線的切線向量) r=x ∂φ 因此，得單位切線向量各為 ∂r ∂r ˆ= ˆ (sin θ cos φ ) + y ˆ (sin θ sin φ ) + z ˆ (cos θ ) r =x ∂r ∂r ∂r ∂θ = x ˆ ˆ (cos θ cos φ ) + y ˆ (cos θ sin φ ) − z ˆ (sin θ ) θ= ∂r ∂θ ˆ = ∂r ∂φ = − x ˆ (sin φ ) + y ˆ (cos φ ) φ ∂r ∂φ
r r=
（圖 1–1） ˆ + ( y − y′)y ˆ + ( z − z ′)z ˆ ≡ r − r ' = ( x − x′)x
ˆ y ∂ ∂y vy
ˆ z ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ ∂v ∂v ˆ( z − y ) + y ˆ( x − z ) + z ˆ( y − x ) =x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y vz
8 ∇ × (∇T ) = 0 （即所有梯度皆為無轉度向量（all gradients are irrotational） ○ ） 9 ∇ ⋅ (∇ × v ) = 0 （即所有旋度皆為管式向量（all curls are solenoidal） ○ ） 2 、○ 4 、○ 6 及○ 7 式的證明分別如下： 證明：上式中的 ○
(2) 圓柱坐標（Cylindrical coordinates） ： ( s, φ , z ) 1 ○ ( x, y, z ) 與 ( s, φ , z ) 間的關係式為 x = s cos φ ， y = s sin φ ， z = z ˆ,z 2 (x ˆ, φ ˆ, y ˆ, z ˆ ) 與 (s ˆ ) 間的關係式為 ○
2
的分隔
圖中
( x − x' ) 2 +( y − y′) 2 +( z − z ′) 2 ∂v y ∂v z ∂v + (2) 散度（Divergence） ：∇ ⋅ v = x + ∂x ∂y ∂z
ˆ x ∂ (3) 旋度（curl） ： ∇ × v= ∂x vx
1 問題：○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 6 ○
v s
＜引理 2＞： ∫ ∇T ⋅ dl = 0
theorem） ，或散度定理（divergence theorem） 。 (3) 旋度的積分定理： ∫ (∇ × v) ⋅ da = ∫ v ⋅ dl 被稱為史托克斯定理（Stokes’ theorem）或旋度定
s P
理（Curl theorem） 。 ＜引理 1＞： ∫ (∇ × v ) ⋅ da 只有與境界線有關。 ＜引理 2＞： ∫ (∇ × v ) ⋅ da = 0 ………（因為對一封閉面而言，其境界線（如汽球的開口） 可萎縮成一個點，導致線積分為零。）
−∞
（圖 1–2）
2 ○ ∫
∞
−∞
f ( x)δ( x − a )dx = f (a ) ………（見課文(1.92)式）
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電磁學導讀 Chap.1 向量分析
⎧0 若 x ≠ a 證明：因 δ( x − a) = ⎨ 且 ⎩∞ 若 x = a 得 f ( x ) δ( x − a ) = f ( a )δ( x − a )
§1-3：Integral Calculus（積分學）
(1) 梯度的積分定理： ∫ ∇T ⋅ dl = T (b) − T (a) 為沿指定路徑自 a 至 b 時的 T 總變化量。
b a p
b
＜引理 1＞： ∫ ∇T ⋅ dl 與自 a 至 b 的路徑無關。
a
(2) 散度的積分定理 ：∫ (∇ ⋅ v )dτ = ∫ v ⋅ da 被稱為高斯定理 （Gauss’s theorem） 、 格林定理 （Green’s
電磁學導讀 Chap.1 向量分析
Chap. 1
(1) 梯度（Gradient） ： ∇T ≡
向 量 分 析
§1-2：Differential calculus（微分學）
∂T ∂T ∂T ˆ+ ˆ+ ˆ x y z ∂x ∂y ∂z ∂T ∂T ∂T 1 dT = ∇T ⋅ dl ( 因 dT = ( 問題：○ )dx + ( )dy + ( )dz ) ∂x ∂y ∂z
3 各向量導函數： ○ ∂T 1 ∂T ˆ 1 ∂T ˆ ˆ+ ∇T = r θ+ φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂ 1 ∂ν φ 1 ∂ 2 1 ∇⋅v = 2 (sin θν θ ) + ( r vr ) + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂ 2 ∂T 1 ∂ ∂T 1 ∂ 2T ∇ 2T = 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ 2 ˆ r sin θφ ˆ ˆ r rθ ∂ ∂ ∂ 1 ∇× v = 2 r sin θ ∂r ∂θ ∂φ vr rvθ r sin θvφ
∇( fg ) = f∇g + g∇f ∇( A ⋅ B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + ( A ⋅ ∇)B + (B ⋅ ∇) A ………(見下證) ∇ ⋅ ( fA) = f (∇ ⋅ A) + A ⋅ (∇f ) ∇ ⋅ ( A × B) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B) ……………………………(見下證) ∇ × ( fA) = f (∇ × A) + ∇f × A ∇ × ( A × B) = (Β ⋅ ∇) A − ( A ⋅ ∇)B + A(∇ ⋅ B) − B(∇ ⋅ A) …………(見下證) 7 ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A ……………………………………(見下證) ○ ˆ + (∇ 2 Ay )y ˆ + (∇ 2 Az )z ˆ ∇ 2 A = (∇ 2 Ax )x