不连续问题的扩展有限元法分析

合集下载

ABAQUS中扩展有限元(XFEM)功能简介

ABAQUS中扩展有限元（XFEM）功能简介扩展有限元（Extended Finite Element Method）是一种解决断裂力学问题的新的有限元方法，其理论最早于1999年，由美国西北大学的教授Belyschko和Black首次提出，主要是采用独立于网格剖分的思想解决有限元中的裂纹扩展问题，在保留传统有限元所有优点的同时，并不需要对结构内部存在的裂纹等缺陷进行网格划分。

ABAQUS基于在非线性方面的突出优势，在其6.9的版本中开始加入了扩展有限元功能，到6.13做了一些修正，加入了一些可以被CAE支持的关键字。

目前为止，除了手动编程，能够实现扩展有限元常用的商业软件只有ABAQUS，今天，我们就来谈谈ABAQUS 中如何实现扩展有限元。

1. XFEM理论在XFEM理论出现之前，所有对裂纹的静态模拟（断裂）都基本上是采用预留裂缝缺角，通过细化网格仿真裂缝的轮廓。

而动态的模拟（损伤）基本上都是基于统计原理的Paris 方法。

然而，断裂和损伤的结合问题却一直没有得到有效的解决，究其原因，在于断裂力学认可裂纹尖端的应力奇异现象（就是在靠近裂尖的区域应力值会变无穷大），并且尽可能的绕开这个区域。

而损伤力学又没有办法回避这个问题（裂纹都是从尖端开裂的）。

从理论上讲，其实单元内部的位移函数（形函数）可以是任意形状的，但大多数的计算软件都采用了多项式或者插值多项式作为手段来描述单元内部的位移场，这是因为采用这种方法更加便于在编程中进行处理。

但是这种方法的缺点就是，由于形函数的连续性，导致单元内部不可能存在间断。

直到Belytschko提出采用水平集函数作为手段，其基本形式为和上面左边的等式描述了单元内裂缝的位置，右边的等式描述了裂尖的位置。

与之对应的形函数便是和其中H(x)是阶跃函数。

想要了解更深的内容，大家可以参考《Extended Finite Element Method》和庄老师的《扩展有限单元法》这种扩充形函数能够描述单元内位移场在裂缝两边的跳跃性，同时，由于裂缝存在于单元内部，其扩展独立与其他单元，使得计算变得高效。

有限元法的分析过程

有限元法的分析过程有限元法是一种数值分析方法，用于求解实际问题的物理场或结构的数学模型。

它将连续的实体分割成离散的小单元，通过建立节点和单元之间的关系，对物理问题进行逼近和求解。

以下是一般的有限元法分析过程。

1.问题建模和离散化在有限元分析中，首先需要对实际问题进行建模，确定物理场或结构的几何形状和边界条件。

然后，将几何形状分割成一系列小单元，例如三角形、四边形或四面体等。

2.网格生成根据问题的几何形状和离散化方式，生成网格。

网格是由一系列节点和单元组成的结构，节点用于描述问题的几何形状，单元用于划分问题域。

通常，节点和单元的位置和数量会直接影响有限元法的精度和计算效率。

3.插值函数和基函数的选择有限元法中的节点通常表示问题域中的几何点，而节点之间的关系由插值函数或基函数来描述。

插值函数用于建立节点和单元之间的关系，基函数用于对物理场进行逼近。

选择适当的插值函数和基函数是有限元法分析的关键。

4.定义系统参数和边界条件确定相关物理参数和材料性质，并将其转化为数值形式。

在有限元分析中，还需要定义边界条件，包括约束条件和加载条件。

5.定义数学模型和方程根据问题的物理场或结构和所选择的基函数，建立数学模型和方程。

有限元方法可以用来建立线性方程、非线性方程、静态问题、动态问题等。

具体建立数学模型和方程的过程需要根据问题的特点进行。

6.组装刚度矩阵和力载荷向量根据离散化的节点和单元，组装刚度矩阵和力载荷向量。

刚度矩阵描述节点之间的刚度关系，力载荷向量描述外部加载的作用力。

7.求解代数方程通过求解代数方程，确定节点的位移或物理场的数值解。

通常，使用迭代方法或直接求解线性方程组的方法来求解。

8.后处理和分析得到数值解后，可以进行后处理和分析。

包括计算节点和单元的应变、应力等物理量，进行矫正和验证计算结果的正确性。

还可以通过有限元法的网格适应性来优化问题的计算效率和精度。

以上是一般的有限元法分析过程，具体的步骤和方法可能会因不同的问题而有所不同。

扩展有限元2

扩展有限元学习—水平集法
制作：孟宪磊制作日期：12月21号
水平集方法介绍
1999年，美国西北大belytschko 研究组提出的扩展有限元。借助于对研究问题的已有认识，在满足单位分解的前提下，在位移近似函数中增加更能反映实际间断特征的函数项（称为富集函数）提高了计算精度。采用水平集法（LSM）或快速推进法（FMM）描述间断界面，使间断的描述独立于有限元网格，避免了计算过程中的重构。水平集法（level set method ,LSM）是Osher和 Sethian首先提出的一种确定界面位置和追踪界面移动的数值技术。
注：符号距离函数：当函数φ 满足|▽φ|=1时，φ即为符号距离函数。
水平集函数通常取由初始闭合曲线C0生成的的符号距离函数，即设ψ （x，y，0）=0，（x，y）∈R2 是符号距离函数，则有ψ（x，y，0） =±dist（x，y），其中dist（x，y）表示点（x，y）到曲线C0的距离。
为了用符号距离函数构造水平集函数，首先确定界面上离考察点X最近的 X (如图)。矢量 ( X X ) 在点 X 处与界面正交，n为界面上的点 X 处法向单位矢量，定义水平集函数为
( X ,0) ( X X ) n
3.水平集方法的基本方程：考虑零水平集 x(t ) 所对应的水平集函数
，则有
（4-1）（4-2）
( x(t ), t ) 0
对方程（4-1）两边求关于时间的偏导数，有
x ( x(t ), t ) 0 t t
假设F为外法向方向的速度，那么
这其中
x n F t
C (t ) {( x, y), u( x, y, t 关于有n维变量的水平集函数u的演化所导致的水平集的演化过程。其要点是通过这种变化，引入了变中的相对不变：水平集函数u的水平c不变。我们把这种变中的相对不变叫做泛对称。引入了泛对称，就引入了规律，而引入了规律就能推演出水平集在此规律下各种具体条件而演化的具体演化方程。实例：通过把二维平面曲线嵌入到三维曲面，将平面闭曲线演化的问题转化为三维曲面的演化。

扩展有限元方法及应用综述_郭历伦

采用水平集方法后富集函数所采用的极坐标系由水平集函数定义见式14同时计算j积分时由水平集函数定义虚速度矢量14belytschko和blac以及mos等的研究均是基于准静态二维裂纹问题在提出xfem方法时并未涉及裂纹扩展因此仅采用有向距离函数就可以描述裂纹的几何特性无需求解式17sukumar等采用快速推进法研究了三维平面裂纹扩展问题并在后续工作中逐步研究了多个平面裂纹的扩展问题及三维非平面裂纹扩展问题stolarsko等10采用水平集方法研究二维裂纹扩展问题mos位错问题fig5twolevelsetfunctions1112将水平集方法应用于三维非平面裂纹问题中ventura等13提出了矢量水平集vectorlevelset14算法
［３～４］
Ｎ
。对于任意函数Ｖ（，可得ｘ）
Ｉ＝１
。ｘ）Ｖ（ｘ）＝Ｖ（ｘ） ∑ （
Ｉ
设函数ＶＩ（为函数ｕ（在子域 ΩＩ内的局部近似函数，则函数ｕ（在求解域的全局近似可取为ｘ）ｘ）ｘ）
１单位分解函数
由于扩展有限元近似函数的基础是单位分解法，本节将简要介绍单位分解法。单位分解法使用一些，。在每个子域 ΩＩ上定义一个仅在该子域以节点ｘＩ为中心的子域 Ω Ｉ来覆盖整个求解区域即 Ω ∪Ω Ｉ
Ｉ＝１ＮＮ（），（）｝内非零的函数并且要求它们满足单位分解条件：ｘ）＝１。则函数集｛Ｉ＝１称为属于开ＩｘＩｘ ∑ Ｉ（Ｉ＝１ＮＮ覆盖｛ ΩＩ｝Ｉ＝１的单位分解函数
（，，）ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｓｔｅｍｓＥｎｉｎｅｅｒｉｎＣＡＥＰ，Ｐ．Ｏ．Ｂｏｘ９１９４１１，ＭｉａｎａｎＳｉｃｈｕａｎ６２１９００，Ｃｈｉｎａ－ｙｇｇｇｙｇ

扩展有限元方法和裂纹扩展

扩展有限元方法和裂纹扩展1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。

他们正式应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也成为计算断裂力学的重要分支。

XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。

它最明显的特点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。

扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界面独立于有限元网格。

XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹的扩展。

最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。

因为改进的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法的刚度矩阵特性保持一致。

单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法（Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性；水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面位置都可用它的零水平集函数来表示。

(1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数()()x x N I ϕ表示，满足如下等式：()()()x x N x II ϕφ∑= （1）其中，它们满足单位分解条件：f I Iåx ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。

扩展有限元的基本原理

1 引言
有限元法是科学研究和工程分析中使用最多的一种数值分析方法，其数学理论基础和误差估计理论都十分成熟。然而，有限元采用连续函数作为形函数，对于处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内进行高密度网格划分以及在模拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序计算相当复杂，且效率极低[1]。边界元法研究裂纹扩展方面有较成熟的应用，但它不便于处理非线性、多介质等复杂问题。无单元法将整个求解域离散为独立的结点，无需将结点连成单元，因而在裂纹扩展数值模拟中得到了广泛的应用[2,3]。但是现有的各种无单元法存在缺少坚实的理论基础和严格的数学证明；计算时间长、效率低；存在一些未确定的参数，如插值域的大小，背景积分域的大小等；解决复杂的工程和科学问题的研究不够；没有成熟的商业软件包，限制了其实际应用和推广等不足。 1999 年，以美国西北大学 Belytschko 教授为代表的研究组首先提出用扩展有限元（XFEM）来解决不连续问题[4]。XFEM 是基于单位分解的方法（PUM）对单元的形函数加以改进，从而考虑所研究问题的不连续、奇异性和边界层等特性。XFEM 所使用的网格与结构内部几何或物理界面无关，从而克服了裂纹尖端等高应力和变形集中区网格划分的困难，使得模拟裂纹生长也无需对网格进行重新划分。自 XFEM 问世以来，在国际上得到了很快的发展和广泛的应用。在最初的 XFEM 中，位移模式中加进的是裂尖渐进位移场函数的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应系数是相互独立的，这样加强位移场并不是真实的裂尖附近的渐进位移场，因此，局部位移场的精度仍不能令人满意，应力强度因子必须经过后处理才能求出。文[5][6]提出了一种改进的 XFEM，提高了局部位移场的精度，且不需要经过后处理就可以直接求出应力强度因子，从而为分析裂纹扩展提供了方便。文中首先简要介绍了改进扩展有限元的基本原理，然后详细分析了采用该方法分析不连续力学问题需要注意的问题，包括：积分方案、裂纹闭合时的接触问题和裂纹扩展的分析。

xfem动力学

xfem动力学
XFEM（扩展有限元法）是一种在有限元领域内对裂纹和裂纹增长进行建模的技术，它不需要重新进行网格化。

与常规有限元法相比，XFEM能够处理更复杂的不连续力学问题，如裂纹问题等。

在处理裂纹问题时，常规有限元法需要为裂纹单元设置新的边和节点，并对裂纹处重新进行网格划分，这增加了重新划分网格和重新定义边和节点的难度。

而XFEM允许裂纹在单元内的任何表面上传播，而不是只沿单元边界传播，因此消除了对裂纹新断裂面可容许方向的限制。

至于扩展有限元法动力学，其概念可以结合到具体的物理现象和工程应用中。

例如，可以提出XFEM-三维位错动力学耦合框架，该框架提供了两种计算方案：仅含三维位错阶跃扩充的耦合算法以及增加位错芯附近应力场修正项的耦合算法。

通过对比分析几个典型的算例，发现仅含三维阶跃扩充的耦合算法计算效率较高，但是在位错芯附近这种具有高度奇异性的区域，其计算精度不高。

针对存在的问题，提出了增加位错芯附近应力场修正项的方案。

总之，扩展有限元法动力学是一个涉及多个领域和复杂问题的研究领域，需要综合考虑数学、物理、工程等多个方面的因素。

如需更多信息，建议查阅关文献或咨询专业人士。

重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟

重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟靳旭;董羽蕙【摘要】扩展有限元法(XFEM)是一种求解不连续问题的数值方法.它继承了常规有限元法(CFEM)的所有优点,在模拟裂纹扩展、界面、复杂流体等不连续问题时特别有效,近十多年得到了快速发展.介绍了XFEM的基本原理,给出了进行混凝土裂纹扩展分析的方法.利用XFEM模拟混凝土重力坝裂纹扩展,通过对比有、无裂纹情况下的重力坝应力分布,分析裂纹存在对重力坝应力场分布的影响；分析裂纹扩展受网格疏密程度的影响；计算在不同岩基弹性模量下裂纹的扩展方向.%Extended finite element method(XFEM)is a numerical solution for analyzing discontimuity problem . It inherited all the advantages of the conventional finite element method (CFEM) , in the simulation of crack extension , interface, complex fluid and other discontinuities are particularly effective , in the past decade it has been rapid development. The basic theory of XFEM in introduced and the method of analyzing concrete fracture is presented. The XFEM is utilized to simulate the crack propagation in concrete gravity dam. By the contrast of stress distribution under no crack and crack circumstance of gravity dam the discipline of stress field distribution is analyzed; It is also used for influence of mesh density to crack propagation and is calculated the crack propagation direction in batholith elastic modulus.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)033【总页数】6页(P9100-9104,9109)【关键词】重力坝;扩展有限元法;裂纹扩展;网格疏密;弹性模量【作者】靳旭;董羽蕙【作者单位】昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500;昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500【正文语种】中文【中图分类】TV313;TV642.3实际工程中，无论采用多么严格的裂缝控制措施，混凝土结构仍然会带裂缝工作。

XFEM分析

使用X-FEM方法建立间断化扩展特性概述建立离散化扩展特性，如裂纹：●通常被称为扩展有限元方法（XFEM）；●基于单元划分的传统有限元方法扩展；●采用特殊的位移函数，通过扩展自由度允许间断特性的存在；●不需要重新划分网格用于适应几何间断特性；●是一种非常有效和有吸引力的方法，用于模拟任意性、求解相关路径裂纹的裂纹初始及裂纹扩展过程，而不用要求重新划分网格；●可以同时与基于面的粘性行方法（surface-based cohesive behavior）和虚拟裂纹闭合法同时使用（VCCT）；●可以用于计算任意稳定表面裂纹的路径积分，而不需要在裂纹尖端周围重新剖分网格；●允许基于小滑动形式（small-sliding formulation）的裂纹单元之间的接触作用；●允许几何非线性和材料非线性的存在；●当前只对一阶应力/位移固体连续单元有效。

建模方法使用传统有限元方法建立固定不连续性质，如裂纹，要求网格划分符合几何不连续。

因此，很多的网格重构需要建立用以更好地模拟裂纹尖端附近奇异渐进场。

建立扩展裂纹模型更加复杂，这是由于网格需要连续不断地更新以适应裂纹扩展过程中几何不连续性。

扩展有限元方法（XFEM）可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点。

扩展有限元方法由Belytschko and Black（1999）首次提出。

该方法基于整体划分（partition of unity）的概念(Melenk and Babuska 1996)，属于传统有限元方法的扩展。

该整体划分概念使扩展函数（enrichment functions）方便地插入到有限元近似当中。

间断性可以通过与额外自由度相关联的扩展函数（enriched functions）来确定。

然而，扩展有限元方法保留了有限元框架及一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。

节点扩展函数简介（Introducing nodal enrichment functions）为了实现断裂分析，扩展函数通常包括裂纹尖端附近渐进函数（near-tip asymptotic functions）-用于模拟裂纹尖端附近的应力奇异性，及间断函数（discontinuous functions）-用于表示裂纹面处位移跳跃。

基于扩展有限元法的裂纹扩展问题的研究

尖端的应力场受到软夹杂的影响袁孔洞的半径和夹杂半径相同
时袁弹性模量为 Ep E 10E 3 时袁无量纲应力强度因子影
响规律相同遥
孔洞袁无夹杂和无孔洞袁夹杂的弹性模量为 Ep E 10E 3 时袁对裂纹尖端的无量纲应力强度因子影响规律基本相同曰当有孔
6 结论本文介绍了扩展有限元法在裂纹扩展问题上的应用遥算例
8K
2 I
K
2 II
K
2 I
9
K
2 II
(9)
5 模型
图 3 裂纹扩展的轨迹如图 3 所示袁当没有孔洞的时候袁夹杂为软夹杂袁裂纹扩展轨迹偏向于夹杂袁这是因为夹杂的地方强度低于平板的强度袁裂纹扩展轨迹趋向往弱的地方扩展袁而夹杂的弹性模量越小袁偏向的趋势越明显曰而夹杂为硬夹杂时袁裂纹扩展轨迹偏离于夹杂袁而夹杂的弹性模量越大袁偏离的趋势越明显遥当有孔洞的
-102- 科学技术创新
基于扩展有限元法的裂纹扩展问题的研究
苏毅陈庆远刘攀王瑶瑶渊郑州航空工业管理学院航空工程学院袁河南郑州 450046冤
摘要院扩展有限元法渊 XFEM冤是在常规有限元法渊 CFEM冤基础上发展起来的袁用来处理断裂尧孔洞尧夹杂等强弱不连续问题的新型数值计算方法遥本文在有限元法的框架下袁基于单位分解袁通过在裂纹贯穿单元尧裂纹尖端和材料界面等间断单元引入反映待求不连续问题的间断特性富集函数袁给出扩展有限元的位移表达式袁编制扩展有限元法的 MATLB 程序袁最后基于扩展有限元法研究颗粒夹杂和孔洞对裂纹扩展路径和裂纹尖端应力强度的影响遥
interface based on unit partition. And the effects of particle inclusions and voids on the crack propagation path and the stress

扩展有限元法的研究

学位论文作者签名：谢海
日期： 2009 年 1 月 14 日
上海交通大学学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
上海交通大学硕士学位论文扩展有限元法的研究姓名：谢海申请学位级别：硕士专业：固体力学指导教师：冯淼林 20090101
上海交通大学硕士学位论文
扩展有限元法的研究摘要
扩展有限元法(the extended finite element method, XFEM)是解决以裂纹问题为代表的不连续力学问题的有效方法，由于其在保留常规有限元(CFEM)所有优点的基础上，解决了常规有限元需在应力集中区高密度划分单元的所带来的困难，模拟裂纹生长时也无需网格重划分，而得到了快速的发展。本文介绍了扩展有限元的基本理论，并通过编写 ABAQUS 用户子程序 UEL ，在商业软件 ABAQUS 平台的基础上实现了线弹性扩展有限元功能。本文先介绍了有关单位分解法，水平集法的理论，然后论述了基于这两个方法的扩展有限元法；接着对 ABAQUS 用户子程序 UEL 进行简单的介绍，并阐述如果应用 UEL 在 ABAQUS 平台上实现 XFEM。最后，通过三个算例的比较可以看出 XFEM 能在较粗糙的网格前提下，实现了较高的精度和准确度。
保密□，在本学位论文属于不保密□。√ （请在以上方框内打“√” ）
年解密后适用本授权书。
学位论文作者签名：谢海
指导教师签名：冯淼林

基于ABAQUS平台的扩展有限元方法

基于ABAQUS平台的扩展有限元方法扩展有限元方法（XFEM）是一种能够有效处理裂纹、接触、损伤等大变形、大变位问题的计算方法。

该方法扩展了传统有限元方法（FEM），使其能够更准确地模拟物体的断裂行为。

ABAQUS是一款常用的有限元分析软件，提供了XFEM功能，可以在其平台上进行XFEM分析。

XFEM的主要思想是在有限元网格中引入额外的自由度，这些自由度可以用来描述物体内部的裂纹、接触等特征。

通过在网格中引入额外的基函数，XFEM能够通过有限元分析获取到界面上的开裂和断裂行为，从而更准确地预测物体的破坏。

XFEM在ABAQUS平台上的应用主要包括以下几个方面。

1.裂纹模拟：XFEM能够准确地模拟裂纹的扩展行为。

在ABAQUS中，用户可以通过定义裂纹路径和裂纹扩展准则，来模拟裂纹在不同加载条件下的扩展过程。

同时，用户还可以对裂纹的形状、长度、位置等进行控制，以得到更准确的结果。

2.接触分析：XFEM可以模拟接触问题，包括刚性接触和非线性接触。

在ABAQUS中，用户可以通过定义接触面和接触行为，来模拟物体之间的接触行为。

XFEM能够考虑接触面的开裂和闭合，从而更准确地模拟接触问题。

3.损伤模拟：XFEM可以模拟材料的损伤行为，包括塑性、弹塑性和弹性损伤。

在ABAQUS中，用户可以通过定义损伤模型和损伤准则，来模拟材料的损伤行为。

XFEM能够考虑材料中的裂纹行为，从而更准确地模拟损伤问题。

4.多物理场耦合：XFEM可以模拟多个物理场的耦合问题，如固体力学和热传导、固体力学和流体力学等。

在ABAQUS中，用户可以通过定义不同物理场的边界条件和耦合关系，来模拟多物理场耦合问题。

XFEM能够考虑多物理场之间的相互作用，从而更准确地模拟多物理场问题。

总之，基于ABAQUS平台的扩展有限元方法可以更准确地模拟物体的断裂、接触、损伤等问题。

通过在有限元网格中引入额外的自由度，XFEM 能够更准确地描述物体内部的裂纹、接触等特征。

有限元分析及应用

有限元分析及应用有限元分析作为一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的各种结构分析问题。

其基本思想为将复杂的实际结构通过离散化为一个有限个单元，每个单元内部的行为受到基本物理原理的支配，同时单元间的互相作用可以通过相邻节点间的连续性条件进行联系，最终可以得到整个结构的应力、变形等计算结果。

正是由于有限元分析在进行结构分析中的高度有效性，使其成为了工程领域优秀的工具。

自有限元分析方法提出以来，其应用领域逐渐不断拓展。

在建筑领域中，有限元分析可以被用来计算各种建筑结构的静力学和动力学性能，帮助确保建筑的安全性并优化其设计。

在机械工程中，有限元分析可以帮助设计师进行各类零部件和系统的强度、疲劳、热稳定性等的计算，包括汽车、船舶、飞机、火箭等的各种机械结构的分析。

在电子工程领域中，有限元分析可以用来进行各种电子器件中的热学、电磁场以及耦合问题的计算。

在材料科学领域中，有限元分析可以用来进行各种材料中的应力、变形、物理性能的预测，帮助设计出更加高效的材料。

应用有限元方法进行结构分析时，需要选择合适的有限元模型来进行离散化，这需要根据具体问题的需要进行选择。

在离散化后，利用有限元软件进行离散化流程的输入和结果输出。

有限元分析中常用的软件包有ANSYS、ABAQUS、COMSOL 等，它们具备良好的体系结构、流程以及常用算法和概念，能够满足各类不同结构的模拟和计算需要。

在进行有限元分析时，必须保证离散化后的模型能够精确地表达实际结构的内部和边界条件，并且要尽可能地避免数值误差的产生。

这需要考虑诸如模型的精度、单元数量的选择、计算网格及时间步长等方面的问题。

而更加复杂的结构分析问题，则需要进行优化并使用更加高级的有限元分析算法来解决。

有限元分析方法在现代工程技术领域中担任重要角色，为各种复杂结构的设计和应用提供了强有力的支持，也为制造业的提升做出了贡献。

相信，随着技术的不断进步，有限元分析方法在实际应用中发挥更多重要作用的同时，也会不断地得到完善和发展。

不连续问题的扩展有限元法分析

本文主要内容为：（１）采用一种新的积分方案对裂缝贯穿的单元和裂尖单元进行积分，即方便积分，又能减少计算量；（２）采用改进的ＸＦＥＭ进行了张开型裂纹扩展的模拟；（３）采用改进的ＸＦＥＭ进行了闭合型裂纹扩展模拟，算例分析表明若裂缝面间采用完全接触，结点的加强自由度近似为零，从而表明该方法的正确性。
扩展有限元法（ＥｘｔｅｎｄｅｄＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ－ＸＦＥＭ）［９］是基于单位分裂的思想在常规有限元位移模式中加进一些特殊的函数以反映不连续面的存在。在ＸＦＥＭ中，不连续面与计算网格是相互独立的，因此能方便地分析不连续力学问题。ＸＦＥＭ问世后在国际上引起了极大关注，得到了快速发展和广泛应用，比如模拟裂缝的扩展［１０］、模拟剪切带问题［１１］、模拟不同介质的接触问题［１２］和外科切除引起的器官变形模拟［１３］等。在最初的ＸＦＥＭ中存在以下两个问题：（１）位移模式中加进的是裂尖渐进位移场函数的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应系数是相互独立的，这样加强位移场并不是真实的裂尖附近的渐进位移场，因此，局部位移场的精度仍不能令人满意，应力强度因子必须经过后处理才能求出［１４］；（２）裂尖只加强一层单元，这样计算精度与裂尖位置关系很大［１５］。文献［１６］提出了一种改进的ＸＦＥＭ，位移模式中加进的是裂尖渐进位移场函数，从而提高了局部位移场的精度，这样不需要经过后处理就可以直接求出应力强度因子，另外，裂尖加强多层单元。
第１１卷第５期２００７年１０月
文章编号：１００７－７２９４（２００７）０５－０７１６－０７
船舶力学ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｉｐＭｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｖｏｌ．１１Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２００７
不连续问题的扩展有限元法分析

扩展有限元方法和裂纹扩展

扩展有限元方法和裂纹扩展1.1扩展有限元方法(XFEM)基本理论1999 年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。

他们正式应用扩展有限元法(XFEM)这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有限元法(XFEM)成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也成为计算断裂力学的重要分支。

XFEM在有限元的框架下进行求解，无需对构件内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。

它最明显的特点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高⑹。

扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或儿何界面独立于有限元网格。

XFEM主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任何内部细节，按照构件的儿何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹的扩展。

最后通过引入不连续位移模式来表示不连续儿何界面的演化。

因为改进的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法的刚度矩阵特性保持一致。

单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法(Level Set Method).节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单元分解法是通过引入加强函数讣算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM的收敛性; 水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部儿何界面位置都可用它的零水平集函数来表示。

(1)单元分解法的基本思想是任意函数处工)都可以用子域内一组局部函数Ng(x)表示，满足如下等式：此丫)=工"应沁) ⑴I其中，它们满足单位分解条件：玄/%丫) = 1 M⑴是有限元法中的形函数，根I据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。

扩展有限元最大主应力准则

扩展有限元最大主应力准则
有限元分析是一种广泛应用于工程领域的数值分析方法，它可以用来模拟各种结构的力学行为。

在有限元分析中，最大主应力准则是一种常用的判断材料破坏的方法。

然而，这种准则在某些情况下可能会出现误判的情况，因此需要进行扩展。

最大主应力准则是指当材料中最大主应力达到其破坏强度时，材料就会发生破坏。

这种准则在许多情况下都是有效的，但是在某些情况下，它可能会出现误判的情况。

例如，在一些复杂的结构中，由于应力分布的不均匀性，最大主应力可能并不是最能引起破坏的应力。

此外，材料的破坏也可能是由于多种应力的共同作用而引起的，而不是单一的最大主应力。

为了解决这些问题，研究人员提出了一种扩展最大主应力准则的方法，即将最大主应力与其他应力指标结合起来进行判断。

例如，可以将最大主应力与平均应力、剪应力等指标进行比较，从而得出更加准确的破坏判断结果。

此外，还可以采用多种准则进行综合判断，以提高破坏判断的准确性。

扩展最大主应力准则的方法在实际工程中得到了广泛应用。

例如，在航空航天领域中，飞机的结构复杂，应力分布不均匀，因此需要采用扩展最大主应力准则来进行破坏分析。

在汽车工程中，车身结构也存在类似的问题，因此也需要采用扩展最大主应力准则来进行破坏分析。

扩展最大主应力准则是一种有效的材料破坏判断方法，可以提高破坏分析的准确性和可靠性。

在实际工程中，需要根据具体情况选择合适的应力指标进行综合判断，以得出更加准确的破坏分析结果。

有限元和扩展有限元的关系

有限元和扩展有限元的关系
有限元方法和扩展有限元方法都是求解力学问题的数值计算方法。

在一些特定的工程和科学应用中，需要对非常复杂和不规则的几何形态的结构进行建模和分析，有限元方法和扩展有限元方法就可以很好地解决这些问题。

有限元方法将复杂的结构分解成许多小的、简单的有限元单元，然后通过对每个单元的力学特性进行分析，在整个结构上求解出力学问题。

而扩展有限元方法则是对有限元方法的扩展，可以在有限元网格上增加额外的局部自由度，使其更加适用于分析复杂的断裂和损伤行为的问题。

因此，有限元方法可以看作是扩展有限元方法的基础。

扩展有限元方法通过增加局部自由度，可以提高在裂纹或者材料失效的情况下的计算精度。

它是在有限元方法的基础上发展而来的一种方法，除了更容易模拟复杂裂纹模式的形成和扩展外，还能够模拟在较大应变下的材料本构行为。

总之，有限元方法和扩展有限元方法都是有效的数值计算工具，可以帮助工程师和科学家对复杂的结构进行建模和分析，从而预测其力学行为。