随机变量

随机变量的数字特征
周忠荣 编
19
工程 数学
6.2
（续五）
例6-5 求均匀分布X~U(a,b)的数学期望 E(X) 。 解 对于均匀分布X~U(a,b) ，由于
1 ( x) b a 0
(a x b) 其他
b
所以
x E ( X ) x ( x )dx dx a ba x2 b a b 2(b a ) a 2
i 0 n i 1 i n i
n i
2018/10/6
第6章
随机变量的数字特征
周忠荣 编
12
工程 数学
6.1
n
（续十）
续证
i n! i n i pq i 1 i! ( n i )! n np( n 1)! i 1 ( n 1 ) ( i 1 ) p q i 1 ( i 1)![(n 1) ( i 1)]!

第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 20
2018/10/6
工程 数学
6.2
（续五）
2
例6-6 证明正态分布 X ~ N ( , ) 的数 学期望 E ( X ) 。 2 证明 对于正态分布 X ~ N ( , ) ，由于
1 2 2 ( x) e 2π 所以 ( x )2 1 2 2 E( X ) xe dx 2π
e
2018/10/6 第6章

e
周忠荣 编 14

随机变量的数字特征
工程 数学
6.2
连续型随机变量的 数字期望
对于连续型随机变量，也需要有一个反 映随机变量取值的“平均”的数字特征， 但不能用式(6-1)计算它的数学期望。
2018/10/6
第6章
随机变量的数字特征
周忠荣 编
15
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 17
工程 数学
X ( X )x
i 1 i i
n
6.2
（续三）
i
应该是连续型随机变量X数学期望的近似 值。 x max( x1 , x2 ,, xn ) 0 n
且 a ，b 时，若代表
X ( X )x
i 1 i i
i
的极限的广义积分绝对收敛，该极限 n



x ( x )dx lim( lim X i ( X i )xi )
a x 0 i 1 b
应该是连续型随机变量X的数学期望。
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 18
工程 数学
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 2
工程 数学
6.1
离散型随机变量的 数字期望
实例6-1 某幼儿园记录全园小朋友每天 生病人数，连续记录了50天，得到的数 据如下表所示。求该幼儿园的小朋友每 天平均生病人数。
生病人数 天数
2018/10/6 第6章
0 2
1 10
2 15
工程 数学
6.2
（续二）
其对应的概率密度值分别为
( X1 ), ( X 2 ),, ( X n )
这样，连续型随机变量在每个小区间上 取值的概率近似为
( X1 )x1 , ( X 2 )x2 ,, ( X n )xn
由于“离散型随机变量的数学期望等于 其所有可能的取值与对应概率乘积之 和”，当a＜0，b＞0，且|a|与|b|都充 分大时，总和
np C
i0 n 1 i n 1
p q
i
( n 1 ) i
( i i 1)
np( p q)
2018/10/6 第6章
n1
np ( p q 1)
周忠荣 编 13
随机变量的数字特征
工程 数学
6.1
（续十一）
例6-3 证明泊松分布 X ~ P ( ) 的数学期 望 E( X ) 。 证明 对于泊松分布 X ~ P ( ) ，由于 i P{ X i } e ( i 0,1,2, , 0) i! 所以 i i 1 E ( X ) i e e i! i 0 i 1 ( i 1)!
n
若随机变量X的所有可能取值为有限个：
x1, x2,…, xn，则称和式 xi pi 为随机变
量X的数学期望，记作E(X)或EX，即
i 1
E ( X ) xi pi
i 1
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 6
n
工程 数学
6.1
（续四）
若随机变量X的所有可能取值为无限可列
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 21
( x )2
工程 数学
6.2
1 2 π 1
（续六）
( x )2 2 2
续证 E( X )





xe
dx
t2 2

2π



(t )e
t2 2 t2 2
dt (t
工程 数学
第6章
（续）
在实际问题中，或许随机变量的概率分布 很难求得，或许只需要知道随机变量的某 些综合特征。 例如，某中学需要知道全校男生和女生的 平均身高和身高分布的离散程度。因此， 有必要引入用来刻画随机变量的平均值以 及随机变量与其平均值的偏离程度的量， 这就是本章将要介绍的数学期望和方差。 它们是随机变量的两个最重要的数字特征。
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 4
工程 数学
6.1
（续二）
这个问题也可以换一种方法解：用X表 示从全园小朋友每天生病人数，则X是一 个随机变量；再用频率作为概率的估计 值，那么X的概率分布如下表所示，则具 体的计算过程如下： X 0 1 2 3 4 5 P 2/50 10/50 15/50 12/50 9/50 2/50
6.2
（续四）
定义6-2 设随机变量X的概率密度为 ( x ) 若广义积分 积分





பைடு நூலகம்
x ( x )dx 绝对收敛，则称

x ( x )dx 为连续型随机变量X的

数学期望或均值，记作E(X)，即
E ( X ) x ( x )dx

(6-2)
2018/10/6
第6章
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 23
工程 数学
6.3 随机变量函数的数学期望
定理6-1 设离散型随机变量X的概率分布 为 如果 f ( xi ) pi 绝对收敛，则随机变量X i 1 的函数f(X)的数学期望为
E[ f ( X )] f ( xi ) pi
（续九）
例6-2 证明二项分布X~B(n,p)的数学期 望E(X)＝np。 证明 对于二项分布X~B(n,p)，由于 i i n i P{ X i } Cn p q (i＝0,1,2,…,n) 所以 n n
E ( X ) i P{ X i } i C p q i n! i n i pq i 1 i! ( n i )!
工程 数学
6.2
（续一）
如果连续型随机变量X的概率密度为 ( x) 考虑区间[a,b)，将区间[a,b)任意分成n个 首尾相连的小区间，且每个小区间都含 左端点，不含右端点，其长度分别为
x1 , x2 ,, xn
在每个小区间上任取一点，这些点分别 为
X1 , X 2 ,, X n
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 16

x
2π

第6章


te
dt dt 1

2π
e
t2 2

)
dt
由于
2018/10/6

1 e 2π
随机变量的数字特征
周忠荣 编
22
工程 数学
6.2
（续七）
t2 2
续证 由于

因此


1 e 2π
dt 1
E( X ) 2 前面已经指出，正态分布 X ~ N ( , ) 的曲线是关于直线 x 为对称的，所 以，参数 是该分布的均值。本例的结 论验证了这一点。
2 10 15 12 9 2 0 1 2 3 4 5 2.44 50 50 50 50 50 50
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 5
工程 数学
6.1
（续三）
定义6-1 设离散型随机变量X的概率分布 为 P{X＝xi}＝pi (i＝1,2,…)
2018/10/6 第6章
20 0.75 20 0.85
随机变量的数字特征
15 0.2 15 0.09
周忠荣 编
-30 0.05 -30 0.06
10
工程 数学 X P Y P
6.1
20 0.75 20 0.85
（续八）
15 0.2 15 0.09 -30 0.05 -30 0.06
续解 所以获利的数学期望分别为：
2018/10/6 第6章 随机变量的数字特征 周忠荣 编 9
工程 数学
6.1
（续七）
解 这个问题实际上是问从哪一个工厂进 货销售的获利期望较大。设第一、第二 个工厂产品的随机变量分别是X和Y，它 们的所有可能取值都是20、15、－30， 但概率不同。按题给数据，X和Y的概率 分布见下表。
X P Y P