第三章：行波法积分变换法.
数学物理方法(王元明)第三章
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
b 2 4ac A B 4 AB A 2 2 2 2 (d y ) a (d x ) 0 0 4 1 ( a ) 4 a 0 a 0 2 2 x y 双曲型方程 2u 2u 2 2 2 0 0 4 1 1 0 (d y ) (d x ) 0 2 2 x y 椭圆型方程 2 u u a2 2 0 2 4 1 0 0 (dy)2 0 t x 抛物型方程
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
ch3 行波法与积分变换法
9 2 f1 (3 x ) x C 4 3 2 f2 ( x) x C 4
1 2 f ( x ) x C 1 4 f ( x) 3 x2 C 2 4
代入 u( x , y ) f1 (3 x y ) f 2 ( x y ) 得到所求的解为:
行波法与积分变换法
行波法只适用波动方程的初值问题.
积分变换法可用于任何方程类型，但主要用于
自变量为无限的情形，其主要思想：降维 使用积分变换法的两个困难： 1、选取哪一种积分变换 2、逆变换难求
(1)掌握一维波动方程初值问题的达朗贝尔公式；
(2)了解三维波动方程的泊松公式； (3)理解积分变换法在解微分方程中的应用。 重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；
常数值f1(C1)，且这两个数值随特征线的移动(即常数
Ci(i=1，2) 的改变)而改变，所以波动实际上是沿特征 线传播的。
x at 变换 常称为特征变换，行波法也称为特征 x at 线法。
注：
容易看出, 一维波动方程的两族特征线xat=常数, 正好是常微分方程 (dx 1 ( x at ) 2 ( x at ) | | 1 ( x at ) 2 2 1 x at 2 ( x at ) | | 1 ( ) 2 ( ) | d 2a x at 1 1 x at d 2 2 2a x at 即: | u1 u2 | (1 t )
1 3 2 u( x , y ) (3 x y ) ( x y )2 3 x 2 y 2 4 4
2 u 2sin x u cos x u yy cos x u y 0 例2 求方程 xx xy
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
积分变换法
2 2
G (ω ) + F (ω ) 2 G (ω ) 1 ω p U (ω , p ) = = 2 + F (ω ) ⋅ 2 ⋅ p2 + ω 2 p p + ω2 ω
U (ω , t ) = Ce
− a 2ω 2t
C =1
u
2 2
U (ω , t ) = e
− a 2ω 2t
1 2a πt
e
−
x2 4σ 2t
↔ e −a ω t
u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
x2 4σ 2t
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换
2 拉氏变换法 拉普拉斯变换的定义
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换
3.3 积分变换法
1 傅里叶变换法 傅里叶变换的定义 +∞ F (ω , t ) = ∫ f ( x, t )e − jω x dx
−∞
1 +∞ f ( x, t ) = F (ω , t )e jω x dω 2π ∫−∞ 傅里叶变换的性质
微分性 位移性 积分性 相似性 f ( n ) (x) ↔ ( jω ) n F (ω ) f(x − a) ↔ F (ω )e − jω a x 1 ∫0 f (ξ )dξ ↔ jω F (ω ) 1 ω f (ax) ↔ F ( ) a a
F (ω ) f(ξ)dξ ↔ jω
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
第三章 行波法与积分变换法
第三章行波法与积分变换法在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。
本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。
行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。
对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。
但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。
本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。
对于一维波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （3.1） 作如下代换：x at x at ξη=+⎧⎨=-⎩（3.2） 利用复合函数微分法则，得u u u u u x x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 2222222()()2u u u u u x x xu u u ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （3.3）同理有2222222222()()[2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂ （3.4）将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得20u ξη∂=∂∂ （3.5） 将（3.5）式对η积分得()u f ξξ∂=∂，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-⎰ （3.6）其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。
第三章-行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
这里
第三章 积分变换法举例-5
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例题3：有源热传导方程
2 u u a 2 2 f ( x, t ), x , t 0 t x x u ( x,0) ( x),
（1）
解：对（1）两边关于 x 作傅里叶变换
dU ( , t ) a 2 2U ( , t ) F ( , t ), dt U ( ,0) ( ), t0
通过选取积分变换
用来解偏微分方程
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傅里叶变换与拉普拉斯变换的 最重要的用途是求解ห้องสมุดไป่ตู้分方程
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惯用表示
傅里叶变换
F ( ) f ( x) e
i x
拉普拉斯变换
dx
F ( p) f (t ) e pt dt
0
关于t的拉氏反演
u ( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, )u2 ( x, t ) d
0
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例题1：无界波动方程1
2 2u 2 u a 2 t x 2
( x )
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现在反演：
U ( , p)
2
( ) F ( , p) p a 2 2 p a 2 2
F ( , t ) e a
t 0
2
e a t
2 2
U ( , t ) ( )e a 拉氏反演： ( )e
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第三章：行波法与积分变换法 第三章：积分变换法
§3.5 积分变换法举例
行波法与积分变换法
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
在 x t 平面上斜率为
, 对一维波动方程的研究起到重要作用, 常数 称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
1 的两族直线 x at a
x at 称为特征变换, 行波法也叫特征线法. x at
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
1 1 f x f x x 2 at x at ] u x, t 1 [ x d 2 2a x at x 1 x d C f1 x f 2 —达朗贝尔(D’Alembert)公式 .
af '1 x af ' 2 x x ……………②
由第二式得
1 f1 x f 2 x d C .............③ a0 其中 C f (0) f (0) 1 2
x
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
由① ,③ 代入通解表达式，得
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
可以证明，当 ( x, y) 0 时，有两条相异的实特
征线
1 ( x, y) c1,2 ( x, y) c2
因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特 征线做自变量替换 1 ( x, y), 2 ( x, y) 总可以 把双曲型方程化为
2u 2u 2u 2 2 2
代入方程化简得:
2u 0
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
第二式的两端得关于 它的通解为
x
积分得
1 1 u f1 3x f x f 1 f 2 f1 0 f 2 0 C 2 3 3 9 2 3 f f 其中 . 3x x C 解得 1 , f21是两个二次连续可微函数 4 4 1 2 3 于是原方程的通解为 f1 x x C 4 4 ux, y f 3 x y f x y 3 3 1 2 2 f x x C 2 4 4 2 代入初始条件 u | y0 3x , u y | y 0 0 ，得 所求问题的解为
行波法与积分变换法-3-0
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。
数理方程第三章(1)
为正、为零或者为负而确定的。 或者为负而确定的。 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、 型或椭圆型的， 型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双 曲型、抛物型或椭圆型。 曲型、抛物型或椭圆型。
双曲型方程 注2：行波法适用于双曲型方程。 ：行波法适用于双曲型方程。
x = x1 + at
B
x1
x = x2 − at x2 x
B = {( x, t ) | x1 + at ≤ x ≤ x2 − at , t ≥ 0}
决定区域。 称三角区域 B 为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域
进一步的分析其物理意义表明, 进一步的分析其物理意义表明, 在 xot 平面上
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域。 影响区域
x = x1 − at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2, ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.4)
同理可得
∂u2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 = a ( 2 −2 + 2) 2 ∂t ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.5)
将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到 (3.1.1), 可以得到
∂ 2u = 0. ∂ ξ∂ η
行波法-3-2(E)
y
2) 求出 u ( r , t ) 的通解
基于前面的考虑，以下 将证明 ( ru ) 满足一维波动方程： 基于前面的考虑， 满足一维波动方程：
2 ∂ 2 [ru ( r , t )] 2 ∂ [r u ( r , t ) ] =a 2 ∂t ∂ r2 描写一种球面波， 上也果真如此。 出这点， 首先可以预料 u( r , t ) 描写一种球面波，事实 上也果真如此。为了看 出这点，
0
r
∫
0
r
u ( ρ , t ) ρ 2 dρ
∂2 为何跑得如此利索？！ 为何跑得如此利索？！ ∂t 2
S rM
详见附录推证
= a 2 ∫∫
S rM
∂u ∂u 2 ∂ dS = a 2 ∫∫ r dΩ = 4πa 2 r 2 u (r , t ) ∂n ∂n ∂r S rM
将上述两个结果代入（ ），得到 将上述两个结果代入（ 3.25），得到
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u ) =a ( 2 + + ∂ t2 ∂x ∂ y2 ∂ z2
S rM
( 3.21)
M ′(ξ ,η , ζ )
θ
M ( x, y, z )
r
u
∂u ∂t
t =0
= ϕ ( x, y, z )
( 3.22)
ϕ
z x o
t −0
= ψ ( x, y, z )
经过这样一捣鼓
⇒
2 ∂ 2 ( ru) 2 ∂ ( ru ) =a 2 ∂ r2 ∂t
2
的一维波动方程！ 这是一个关于 (ru)ห้องสมุดไป่ตู้的一维波动方程！其通 解为
∂ 2 ( ru) ∂ 2 ( ru) 上式可变型为 a − =0 ∂ r2 ∂ t2
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
达朗贝尔
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (5)
为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理， 为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理， (5)(6) 齐次化原理 把非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程 非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程 的求解问题化为相应的 的情况来处理， 的情况来处理， 从而可以直接利用前面有关齐 次方程的结果。 次方程的结果。
5
u tt = a 2 u xx (−∞ < x < +∞, t > 0),
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(3) (4)
首先我们考察问题(3)(4). 通过自变量变换求解。 自变量变换求解 首先我们考察问题(3)(4). 通过自变量变换求解。 (3)(4) 为此， 为此，令 其逆变换为
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (1)
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(2) (3) (4) (6)
u tt = a 2 u xx (−∞ < x < +∞, t > 0),
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x) u ( x,0) = 0, u t ( x,0) = 0
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(2)
3
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (1)
第三章行波解
第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。
中心：用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。
三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。
（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。
习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。
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方程的形如u=F(x+at)或u=G(x-at)的解称为行波。 其中 u=F(x+at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的 波形，以速度a>0向左（即x轴反向）传播，而波形保 持不变，它称为左传播波； u= G(x-at)则表示以速度a向右传播的波，
称为右传播波。
右传播波 F x at 左传播波 G x at
物理解释：
认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内 的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫 外力作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电 磁波等波动的传播。
3
2 2u u 2 a 0 2 2 t x
将泛定方程改写成以下形式：
(at) x (at) x u 0
6
弦振动方程的通解表达式说明: 弦上的任意扰动总是以行波的形式向左 右两个方向传播出去。 下面我们看到，通过把方程的解表示为右 传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题 的解。这个方法称为行波法。
7
代入初始条件，可得
F ( x) G ( x) ( x), aF '( x) aG '( x) ( x).
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
（1） （2）
F ' ( x) G' ( x) ' ( x).
由（2）、（3）两式，解得
（3）
1 F '( x) (a '( x) ( x)), 2a 1 G '( x) (a '( x) ( x)). 2a
8
再将以上两式关于x 积分一次就得到
2
第一节 一维波动方程的达朗倍尔 解法(行波法)
一、一维波动方程的达朗倍尔解：考虑无界弦的 自由振动问题：
2 2u u 2 t 2 a x 2 , x , t 0 u ( x, 0) ( x), x ut ( x, 0) ( x),
u F ( ) G( )
回到原来的变数x及t，立即得到泛定方程的解 的一般形式即其通解为
u( x, t ) F ( x at ) G( x at )
其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。 由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如 F(x+at)与G(x-at)的两个函数之和。
傅里叶积分定理:设f 在 (,) 内满足下面两个条件：
（1）积分
f ( x) dx
存在；
（2） f(x) 在 (,) 内满足狄里克莱条件：在任意有限 区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则
1 f ( x) 2
(
f ( )e i d )ei x d ,
数学物理方程
朱红波
广东工业大学应用数学学院
1
第三章 行波法、积分变换法
在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题 的方法，行波法与积分变换法. 行波法又称为达朗倍尔方法，它是求解无界域 内波动方程定解问题的一种有效的方法。
积分变换法:
Fourier 变换 Laplace 变换
通过积分变换, 将偏微分方程的某些定解问题 化为常微分方程定解问题来求解。
由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x t u ( x, t ) (( x t ) ( x t )) sin d 2 2 x t 1 x t 1 x ( cos x t ) x sin x sin t 2 2
11
•第二节 一维定解问题的积分变换法
. Fourier变换
1 设 f ( x) 是定义在R上的函数，且 f ( x) C [L, L]
则
f ( x) 可以展开为Fourier 级数 a0 n
f ( x)
n an cos x bn sin x 2 L L n 1
L
其中
1 an L 1 bn L
1 1 x F ( x) ( x) ( )d c1 , 2 2a 0 1 1 x G ( x) ( x) ( )d c2 . 2 2a 0
其中c1与c2是常数。由
F ( x) G( x) ( x),
得到
c1+c2=0.
9
最后我们可得
L
n f ( ) cos d, L n f ( ) sin d, L
n 0,1, 2,
L
L
n 1, 2,
12
1 i i x 定义：如果广义积分 ( f ( ) e d ) e d , 2 对任意的x (, )收敛，则称为f ( x)的Fourier积分。
f ( x 0) f ( x 0) 2
若左端的 f(x)在它的间断点x 处，
13
定义： 如果 f(x) 满足傅里叶积分定理的条件，则 定义
F ( )
f(x) 的傅里叶变换为
f ( x)e ix dx
f ( x)
F ( )
定义
称为
f ( x) 的象函数，
给我们以启发，通过适当的变量代换，令
x at x at
方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
u 0
2
4
2u 0,
u 0
将方程先对积分一次，再对 积分一次， x, t ) ( ( x at ) ( x at )) 2 1 x at ( )d . 2a x at
这个公式称为达朗贝尔公式。
10
举例，求解弦振动方程的柯西问题
2u 2u 2 0 (t 0, x ) 2 t x t 0 : u x, u sin x ( x ) t