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高考数学一轮总复习 综合素质能力测试阶段性测试题十

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高三数学第一轮复习单元测试题—_集合与函数

高三数学第一轮复习单元测试题—_集合与函数

高三数学第一轮复习单元测试题—_集合与函数(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高三数学第一轮复习单元测试题— 集合与函数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．8 2．已知集合M ＝｛x |0)1(3≥-x x ｝，N ＝｛y |y ＝3x 2＋1，x R ｝，则MN ＝（ ）A ．B ．{x |x 1}C ．｛x |x 1｝D ．{x | x 1或x 0}3．有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ； ②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ； ④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .其中真命题的序号是A ．③、④B ．①、②C ．①、④D ．②、③ 4．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ （ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝5．函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是 （ ）A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<6．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．),31(+∞-B ．)1,31(-C ．)31,31(-D ．)31,(--∞7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．R x x y ∈-=,3B ．R x x y ∈=,sinC ．R x x y ∈=,D ．R x x y ∈=,)21(8．函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点 )2,0(P （如图2所示），则方程0)(=x f 的根是=x （ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ） A ．12()()f x f x > B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x =D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）A ．7,6,1,4B ．6,4,1,7C ．4,6,1,7D ．1,6,4,7 11．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f （x ）表示弧AB 与弦AB 所 围成的弓形面积的2倍，则函数y =f （x ）的图象是（ ） 12．关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______.14．设f （x ）＝log 3（x ＋6）的反函数为f －1（x ），若〔f －1（m ）＋6〕〔f －1（n ）＋6〕＝27，则f （m ＋n ）＝___________________．15．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．16．设()xx x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为_____________ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数b x a x x f lg )2(lg )(2+++=满足2)1(-=-f 且对于任意R x ∈,恒有x x f 2)(≥成立. （1）求实数b a ,的值; （2）解不等式5)(+<x x f .18（本小题满分12分）20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？19．（本小题满分12分）已知函数,),,( 1)(2R x b a bx ax x f ∈++=为实数⎩⎨⎧<->=)0( )( )0()()(x x f x x f x F （1）若,0)1(f =-且函数)x (f 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式; （2）在（1）的条件下, 当]2 ,2[-∈x 时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;（3）设0<⋅n m , ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?20．（满分12分）已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （f （x ）－x 2+x ）=f （x ）－x 2+x . （1）若f （2）=3,求f （1）;又若f （0）=a ,求f （a ）;（2）设有且仅有一个实数x 0,使得f （x 0）= x 0,求函数f （x ）的解析表达式.21．（本小题满分12分）设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22．（本小题满分14分）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g （a ）.（1）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f （x ）表示为t 的函数m （t ）；（2）求g （a ）；（2）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a ．参考答案（1）1．C ．{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选择答案C ．2．C ．M ＝｛x |x 1或x 0｝，N ＝｛y |y 1｝故选C3．B ．选由ca r d()B A = ca r d ()A + ca r d ()B + ca r d ()A B 知ca r d ()B A = ca r d ()A +ca r d ()B ⇔ca r d ()A B =0⇔φ=B A .由B A ⊆的定义知ca r d ()≤A ca r d ()B .4．D ．{}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D ．5．A ．∵ 2log 1x y x =- ∴21y x x =- 即221x x y =- ∵1x> ∴11111x x x =+>-- 即2log 01x y x =>-∴函数2log (1)1x y x x =>-的反函数为2(0)21x x y x =>-. 6．B ．由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B ．7．B ．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A ．8．C ．利用互为反函数的图象关于直线y =x 对称，得点（2，0）在原函数)(x f y =的图象上，即0)2(=f ，所以根为x =2.故选C9． B ．取特值()()22,2,2,121->=-==f f x x a ，选B ；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为1-=x ,开口向上的抛物线, 由12x x <, x 1+x 2=0，需分类研究12x x <和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B ;10．B ．理解明文→密文（加密），密文→明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=d m d c z c b y b a x 43222，于是密文14，9，23，28满足，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=6417,428322329214a b c d d d c c b b a ，选B ； 11．D ．当x =2π时,阴影部分面积为14个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时12()2[]24222f ππππ-=-=<,即点（2,22ππ-）在直线y =x 的下方,故应在C 、D 中选;而当x =32π时, ,阴影部分面积为34个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即32()2[]222f ππππ-=⨯-=+32π>,即点（3,22ππ+）在直线y =x 的上方,故选D ．12．B ．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：（1）当t =0或t >1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t <1时方程①有4个根；（3）当t =1时，方程①有3个根.故当t =0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t =0或t =1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104k<<此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21x t -=的解有8个，即原方程的解有8个；当14k =时，方程②有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个；故选B ． 13．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.14．f －1（x ）＝3x －6故〔f －1（m ）＋6〕〔f －1（x ）＋6〕＝3m3n ＝3m ＋n＝27m ＋n ＝3f （m ＋n ）＝log 3（3＋6）＝2．15．1ln 2111(())(ln )222g g g e ===．16．由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<。

高三数学一轮复习 阶段知能检测十 理 广东专用 试题

高三数学一轮复习 阶段知能检测十 理 广东专用 试题

阶段知能检测(十)创作人：历恰面日期：2020年1月1日本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，那么互斥而不对立的两个事件为( )A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红黑球各一个【解析】红黑球各取一个，那么一定取不到白球，故“至少有一个白球〞，“红黑球各一个〞为互斥事件．又任取两球还包含“两个红球〞等，故不是对立事件．【答案】D2．直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，那么直线在y轴上的截距大于1的概率是( )A.15B.25C.35D.45【解析】试验的全部结果构成的区域是[－2,3]，所求事件构成的区域为(1,3]，故所求概率为P＝3－13－－2＝25.【答案】B3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k ＝2,4,6,8,10)，那么D(ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16【解析】 ∵E(ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(ξ)＝15(42＋22＋02＋22＋42)＝8.【答案】 B4．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，假设X 在(0,2)内取值的概率为0.4，那么X 在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8 D【解析】 由对称性知P(X ＜4)＝P(X≤2)＋P(2＜X ＜4) ＝P(X≤2)＋P(0＜X ＜2)＝0.5＋0.4＝0.9. 【答案】 D5．在4次HY 重复试验中，事件A 出现的概率一样，假设事件A 至少发生一次的概率为6581，那么事件A 在一次试验中出现的概率为( ) A .13B .25C .56D ．以上都不对【解析】 设事件A 在一次试验中出现的概率为p ，那么4次HY 重复试验中，A 至少发生一次的概率为1－C 04(1－p)4，由1－C 04(1－p)4＝6581得(1－p)4＝1681，∴1－p ＝23，∴p＝13.【答案】 A图10－16．在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x(0≤x≤π)与x 轴围成如图10－1所示的阴影局部，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是( )A .π4B .1π C .2πD .3π【解析】 所投的点落在阴影局部的概率是P ＝S 阴影S 矩形，又S 阴影＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x | π0＝2，故所求概率为P ＝22π＝1π.【答案】 B7．(2021·高考)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A .110B .18C .16D .15【解析】 如下图，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，一共有C 46＝15(种)选法，其中可以构成矩形的有FECB 、AFDC 、ABDE 三种选法．∴所求事件的概率P ＝315＝15.【答案】 D8．某街头小摊，在不下雨的日子，一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，假设该地区每年下雨的日子约为130天，那么此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A ．60.82元 BC ．58.82元D【解析】 设小摊每天获得ξ元，那么P(ξ＝100)＝235365，P(ξ＝－10)＝130365，∴E(ξ)＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.【答案】 A第二卷二、填空题(本大题一一共6小题，每一小题5分，满分是30分)9．(2021·高考)x(x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字答题)．【解析】 在(x －2x )7的展开式中，T r ＋1＝C r 7x7－r·(－2x)r ＝(－2)r C r 7x 7－2r，令7－2r ＝3，得r ＝2.∴x(x－2x )7的展开式中x 4的系数为(－2)2C 27＝84.【答案】 8410．抛掷3个骰子，当至少有一个5点或者一个6点出现时，就说这次试验成功，那么在54次试验中成功次数n 的期望为________．【解析】 一次试验成功的概率为P ＝1－4×4×46×6×6＝1927，那么n ～B(54，1927)，∴E(n)＝54×1927＝38.【答案】3811．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序一共有________种．【解析】假设甲乙同时参加，先从剩余的5人中选出2人，先排这两人，再将甲乙两人插入其中，那么有C25A22A23种不同的发言顺序．假设甲乙只有一人参加，那么有C12C35A44种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．【答案】60012．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：ξ200 300 400 500P假设进这种鲜花500束，那么期望利润是________元．【解析】依题意，假设进这种鲜花500束，利润应为η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ)＝3.5ξ－500.因E(ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340束，所以E(η)＝E(3.5ξ－500)＝3.5E(ξ)－500＝3.5×340－500＝690元．【答案】69013．(2021·模拟)平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，假设向区域U内随机投一点P，那么点P落在区域A内的概率为________．【解析】 作出可行域知，平面区域U 为△OAB 及其内部，平面区域A 为△ODC 及其内部．又S △OAB ＝12×6×6＝18，S △ODC ＝12×4×2＝4，故所求事件的概率P ＝S △ODC S △OAB ＝418＝29.【答案】 2914．A ，B 两工人在同样条件下每天消费的产品个数一样，而两人消费的次品个数的分布列分别如下表所示：AB根据优胜劣汰，你认为应该是________． 【解析】 E(ξA )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.1＋4×0.1＝1.3， E(ξB )＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3. D(ξA22222＝0.676＋0.018＋0.098＋0.289＋0.729＝1.81, D(ξB2222＝0.507＋0.027＋0.098＋0.578＝1.21， 因此E(ξA )＝E(ξB )，D(ξA )＞D(ξB )， ∴A 应该待岗． 【答案】 A三、解答题(本大题一一共6小题，满分是80分．解答时需写出文字说明、证明过程和演算步骤)15．(本小题满分是12分)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或者6〞，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8〞．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当蓝色骰子的点数为3或者6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． 【解】 (1)①P(A)＝26＝13.②∵两个骰子的点数之和一共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果一共有10个．∴P(B)＝1036＝518.③当蓝色骰子的点数为3或者6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个， 故P(AB)＝536.(2)由(1)知P(B|A)＝P ABP A ＝53613＝512.16．(本小题满分是13分)甲、乙等五名2021年世界大运会志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位效劳，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位效劳的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位效劳的人数，求X 的分布列．【解】 (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位效劳为事件E A ，那么P(E A )＝A 33C 25A 44＝140.∴甲、乙两人同时参加A 岗位效劳的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位效劳为事件E ，那么P(E)＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率是 P(E )＝1－P(E)＝910.(3)随机变量X 可能取的值是1,2，事件{X ＝2}是指有两人同时参加A 岗位效劳，那么P(X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P(X ＝1)＝1－P(X ＝2)＝34，X 的分布列是17.(本小题满分是13某地车主购置甲种保险的概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为0.3.设各车主购置保险互相HY ．(1)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X 的期望． 【解】 设A 表示事件：该地的1位车主购置甲种保险； B 表示事件：该地的1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险； C 表示事件：该地的1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购置． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C ＝A ＋B ， P(C)＝P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D ＝C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X ～B(100,0.2), 即X 服从二项分布， 所以期望 EX ＝100×0.2＝20.18．(本小题满分是14分)(2021·调研)如图10－2所示，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落到A 或者B 或者C.小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．图10－2某商家按上述投球方式进展促销活动，假设投入的小球落到A，B，C，那么分别设为1,2,3等奖．(1)获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)；(2)假设有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或者2等奖的人次，求P(η＝2)．【解】(1)由题意得ξ的分布列为ξ50% 70% 90%P 31638716那么E(ξ)＝316×50%＋8×70%＋16×90%＝4.(2)由(1)知，获得1等奖或者2等奖的概率为316＋38＝916.由题意得η～B(3，916 )，那么P(η＝2)＝C23(916)2(1－916)＝1 7014 096.19．(本小题满分是14分)(2021·课标全国卷)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或者等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各消费了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果．A 配方的频数分布表(2)用B 配方消费的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t ＜94，2，94≤t＜102，4，t≥102.从用B 配方消费的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)．【解】 (1)由试验结果知，用A 配方消费的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3.所以用A 配方消费的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方消费的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42.所以用B 配方消费的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B 配方消费的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42.那么P(X ＝－2)＝0.04，P(X ＝2)＝0.54，P(X ＝4)＝0.42. 所以X 的分布列为X 的数学期望EX 20．(本小题满分是14分)某举行知识竞赛，第一轮选拔一共设有A ，B ，C ，D 四个问题，规那么如下： ①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A ，B ，C ，D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每答复一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题完毕，淘汰出局；当累计分数大于或者等于14分时，答题完毕，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题完毕，淘汰出局；③每位参加者按问题A ，B ，C ，D 顺序答题，直至答题完毕．假设甲同学对问题A ，B ，C ，D 答复正确的概率依次为34，12，13，14，且各题答复正确与否互相之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题完毕时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．【解】 设A 、B 、C 、D 分别为第一、二、三、四个问题．用M i (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题答复正确，用N i (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题答复错误．那么M i 与N i (i ＝1,2,3,4)互为对立事件．由题意得P(M 1)＝34，P(M 2)＝12，P(M 3)＝13， P(M 4)＝14， 所以P(N 1)＝14，P(N 2)＝12，P(N 3)＝23. (1)记“甲同学能进入下一轮〞为事件Q ，Q ＝M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4，由于每一小题答题结果互相HY ，因此P(Q)＝P(M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4)＝P(M 1M 2M 3)＋P(N 1M 2M 3M 4)＋P(M 1N 2M 3M 4)＋P(M 1M 2N 3M 4)＋P(N 1M 2N 3M 4)＝34×12×13＋14×12×13×14＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意，随机变量ξ可能取值为2,3,4，由于每一小题答题结果互相HY ，因此P(ξ＝2)＝P(N 1N 2)＝P(N 1)P(N 2)＝14×12＝18； P(ξ＝3)＝P(M 1M 2M 3)＋P(M 1N 2N 3)＝P(M 1)P(M 2)P(M 3)＋P(M 1)P(N 2)P(N 3)＝34×12×13＋34×12×23＝38； P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－18－38＝12. 所以ξ的分布列为数学期望E(ξ)＝2×18＋3×8＋4×2＝8.。

2025届高中数学一轮复习核心素养测评-拓展拔高练一：集合(含解析)

2025届高中数学一轮复习核心素养测评-拓展拔高练一：集合(含解析)

核心素养测评·拓展拔高练一　集合(时间:45分钟　分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( )A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}2.(5分)(2024·大连模拟)已知集合A={1,a2+4a,a-2},-3∈A,则a=( )A.-1B.-3C.-3或-1D.33.(5分)(2024·成都模拟)定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数.已知集合A={4,26,81,153,370},B={x∈A|x是自恋数},则B的子集个数为( )A.16B.8C.4D.24.(5分)(2024·沈阳模拟)设集合A={x|x(4-x)≥3},B={x|x>a},若A∩B=A,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.(-∞,3]D.(-∞,3)5.(5分)(多选题)方程组x+y=3x-y=-1的解集可表示为( )A.(x,y)|x+y=3 x-y=-1B.(x,y)|x=1y=2C.{1,2}D.{(1,2)}6.(5分)(多选题)(2024·佛山模拟)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x-4<0},则下列关系式正确的是( )A.A∩B={x|-1<x<2}B.A∪B={x|x≤3}C.A∪(∁R B)={x|x>-1}D.A∩(∁R B)={x|2≤x<3}7.(5分)(2024·运城模拟)若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a取值的集合为__________.8.(5分)设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________.≥8},B={x|2-a≤x≤2a-1}.9.(10分)(2024·徐州模拟)已知a为实数,A={x|9-x3(1)若a=2,求A∩B, ∁A B;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.【能力提升练】10.(5分)(多选题)设集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N*},则( )A.P⊂MB.1∉PC.M=PD.M∩P=⌀11.(5分)(多选题)(2024·南充模拟)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7},B= {x|m+1≤x≤2m-1},则使A⊆∁U B成立的实数m的取值范围可能是( )A.{m|6≤m≤10}B.{m|-2<m<2}C.{m|-2<m<-1}2D.{m|5<m≤8}12.(5分)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},用如图所示的阴影部分表示的集合为__________.13.(5分)已知M,N为R的子集,若M∩(∁R N)=⌀,N={1,2},则满足题意的M的个数为________.14.(10分)(2024·深圳模拟)已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|a-2<x<3a},全集U=R.(1)若a=2,求A∩(∁U B);(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.15.(10分)已知集合A={x∈N|3x2-13x+4<0},B={x|ax-1≥0}.时,求A∩B;(1)当a=12(2)若__________,求实数a的取值范围.请从①A∪B=B,②A∩B=⌀,③A∩(∁R B)≠⌀,这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.【素养创新练】16.(5分)(多选题)我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁S A={x|x∈S且x∉A},类似地,对于集合A,B我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集,记作A-B,例如:A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8},下列正确的是( )A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8}B.如果A-B=⌀,那么A⊆BC.已知全集、集合A、集合B关系如图中所示,则B-A⊆∁U BD.已知A={x|x<-1或x>3},B={x|-2≤x<4},则A-B={x|x<-2或x≥4}答案1.【解析】选B.B={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2}.2.【解析】选B.因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2,若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3,当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={1,-3,-5},满足题意,故a=-3成立,若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去,综上所述,a=-3.3.【解析】选B.因为41=4,所以4是自恋数,因为22+62=40≠26,所以26不是自恋数;因为82+12=65≠81,所以81不是自恋数;因为13+53+33=153,所以153是自恋数;因为33+73+03=370,所以370是自恋数;所以B={4,153,370},则子集个数为23=8.4.【解析】选B.解不等式x(4-x)≥3,即x2-4x+3≤0,解得1≤x≤3,即A={x|1≤x≤3},因为A∩B=A,且B={x|x>a},则A⊆B,所以a<1.5.【解析】选ABD.方程组x+y=3x-y=-1的解为x=1y=2,所以方程组x+y=3x-y=-1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以(x,y)|x=1y=2,(x,y)|x+y=3x-y=-1,{(1,2)}均符合题意.6.【解析】选ACD.由x2-2x-3<0,(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,所以A={x|-1<x<3};由2x-4<0,解得x<2,所以B={x|x<2}.对于A,A∩B={x|-1<x<2},故A正确;对于B,A∪B={x|x<3},故B错误;对于C,∁R B={x|x≥2},A∪(∁R B)={x|x>-1},故C正确;对于D,由选项C可知∁R B={x|x≥2},A∩(∁R B)={x|2≤x<3},故D正确.7.【解析】由B⊆A,所以集合B可以是{-1},{1},⌀,当B={-1}时,则-a=1,解得a=-1;当B={1}时,可得a=1;当B=⌀时,可得a=0;所以a的取值的集合为{-1,1,0}.答案:{-1,0,1}8.【解析】由题知a+1=-1,a2-2=2,或a+1=2,a2-2=-1,解得a=-2或a=1.经检验,a=-2和a=1均满足题意.答案:-2或19.【解析】(1)因为a=2,由9-x3≥8,得x≤3,所以A={x|x≤3},B={x|0≤x≤3},所以A∩B={x|x≤3}∩{x|0≤x≤3}=[0,3],∁A B=(-∞,0).(2)因为A∩B=B,所以B⊆A,由(1)知,A={x|x≤3},当B=⌀时,2a-1<2-a,解得a<1;当B≠⌀时,2a -1≥2-a2a-1≤3,解得1≤a≤2,综上所述:实数a的取值范围是(-∞,2].10.【解析】选BC.因为a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2,即M={x∈N*|x≥2},因为b∈N*,b2-4b+6=(b-2)2+2≥2,所以P={y∈N*|y≥2},所以1∉P且M=P.11.【解析】选BC.①当B=⌀时,令m+1>2m-1,得m<2,此时∁U B=R符合题意;②当B≠⌀时,m+1≤2m-1,得m≥2,则∁U B={x|x<m+1或x>2m-1},因为A⊆∁U B,所以m+1>7或2m-1<-2,解得m>6或m<-12,因为m≥2,所以m>6.综上,m的取值范围为{m|m<2或m>6}.12.【解析】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},所以A∩B={2,4},A∪B={0,2,3,4,5,6},所以阴影部分的集合为∁(A∪B)(A∩B)={0,3,5,6}.答案:{0,3,5,6}13.【解析】因为M∩(∁R N)=⌀,所以M⊆N,又N={1,2},所以M={1}或M={2}或M=⌀或M={1,2},故满足题意的M的个数为4.答案:414.【解析】(1)因为A={x|x2-x-6≤0},所以(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3,所以A=[-2,3],当a=2时,B=(0,6),∁U B=(-∞,0]∪[6,+∞),所以A∩(∁U B)=[-2,0];(2)因为B⊆A,所以当B=⌀时,a-2≥3a,解得a≤-1,当B≠⌀时,a-2≥-23a≤3a-2<3a,解得0≤a≤1,所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,1].15.【解析】(1)由题意得,A={x∈N|13<x<4}={1,2,3}.当a=12时,B=x|12x-1≥0={x|x≥2},所以A∩B={2,3}.(2)选择①:因为A∪B=B,所以A⊆B.当a=0时,B=⌀,不满足A⊆B,舍去;当a>0时,B=x|x≥要使A⊆B,则1≤1,解得a≥1;当a<0时,B=x|x≤此时1a<0,A∩B=⌀,舍去,综上,实数a的取值范围为[1,+∞).a选择②:当a=0时,B=⌀,满足A∩B=⌀;当a>0时,B=x|x≥要使A∩B=⌀,则1a>3,解得0<a<13;当a<0时,B=x|x≤此时1a<0,A∩B=⌀,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).3选择③:当a=0时,B=⌀,A∩(∁R B)=A≠⌀,满足题意;当a>0时,B=x|x≥∁R B=x|x<要使A∩(∁R B)≠⌀,则1>1,解得0<a<1;a当a<0时,B=x|x≤∁R B=x|x>此时A∩(∁R B)=A≠⌀,满足题意,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).16.【解析】选BD.对于A.由B-A={x|x∈B且x∉A},得B-A={3,8},故A错误;对于B.由A-B={x|x∈A且x∉B},A-B=⌀,得A⊆B,故B正确;对于C.由Venn图知:B-A如图阴影部分,所以B-A⊆(∁U A)∩B,故C错误;对于D.∁U B={x|x<-2或x≥4},则A-B=A∩∁U B={x|x<-2或x≥4},故D正确.。

高考数学一轮复习综合测试卷(含答案)

高考数学一轮复习综合测试卷(含答案)

综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,集合A={x|1<x≤3},B={x|x>2},则A∩（?U B)=()A.{x|1≤x≤2}B.{x|1≤x<2}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤3}2.已知i是虚数单位,复数(1+3i)(a-i)在复平面内对应的点在第四象限,则a的取值范围是()A.(-3,+∞)B.C.D.(-3,1)3.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的离心率是()A.2B.C.D.34.设直线y=x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为()A.ln 2-1B.ln 2-2C.2ln 2-1D.2ln 2-25.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图,当输入x为6时,输出的y=()A.1B.2C.5D.107.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.48.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A.10 cm3B.20 cm3C.30 cm3D.40 cm39.已知等差数列的前n项和为S n,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足S n S n-1<0的正整数n为()A.2 015B.2 013C.2 014D.2 01610.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()A.36πB.16πC.12πD.11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则的最大值为()A.10B.12C.10+2D.812.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则()A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)<2f(ln 3)D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码是.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.15.若实数x,y满足条件则2x+y的最大值为.16.已知点A(0,3),若圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知a=(sin 2x,2cos2x-1),b=(sin θ,cos θ)(0<θ<π),函数f(x)=a·b的图象经过点.(1)求θ及f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.。

高三数学一轮阶段性测试题12 综合素质能力测试(含解析

高三数学一轮阶段性测试题12 综合素质能力测试(含解析

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(文)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)A ＝{x||x －1|≥1，x ∈R}，B ＝{x|log2x>1，x ∈R}，则“x ∈A”是“x ∈B”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] B[解析] 由|x －1|≥1得x≥2或x≤0，∴A ＝{x|x≥2或x≤0}，由log2x>1得x>2，∴B ＝{x|x>2}， ∵B A ，∴选B ． (理)(2014·福州市八县联考)已知函数y ＝lg(4－x)的定义域为A ，集合B ＝{x|x<a}，若P ：“x ∈A”是Q ：“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a≥4 B ．a≤4 C ．a>4 D ．a<4 [答案] C[解析] A ＝{x|x<4}，B ＝{x|x<a}，∵P 是Q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a>4，故选C ． 2．(2015·广州执信中学期中)下列说法正确的是( )A ．命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B ．命题“∀x≥0，x2＋x －1＜0”的否定是“∃x0＜0，x20＋x0－1＜0”C ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny”的逆否命题为假命题D ．若“p ∨q”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 [答案] D[解析] “若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A 错；否命题既否定条件，又否定结论；而命题的否定只否定命题的结论．“∀x≥0，x2＋x －1<0”的否定是“∃x0≥0，使x20＋x0－1≥0”，故B 错；命题“若A ，则B”的逆否命题是“若綈B ，则綈A”，因此“若x ＝y ，则sinx ＝siny”的逆否命题为“若sinx≠siny ，则x≠y”，这是一个真命题；“p ∨q”为真命题时，p 与q 中至少有一个为真命题，故选D ．3．(文)(2014·北京东城区联考)设a ＝log 132，b ＝log23，c ＝(12)0.3，则( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<c<a D ．b<a<c [答案] B[解析] a ＝log 132<log 131＝0，b ＝log23>log22＝1,0<c ＝(12)0.3<(12)0＝1，∴a<c<b ，选B ． (理)(2014·三亚市一中月考)若函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(2－x)，且当x≠1时其导函数f ′(x)满足xf ′(x)>f ′(x)，若1<a<2，则( ) A ．f(2a)<f(2)<f(log2a) B ．f(log2a)<f(2)<f(2a) C ．f(2)<f(log2a)<f(2a) D ．f(log2a)<f(2a)<f(2) [答案] B[解析] ∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∵xf ′(x)>f ′(x)，∴f ′(x)(x －1)>0，∴x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∵1<a<2，∴2<4a <4，∴1<log24a <2，又2<2a<4，∴1<log24a <2<2a ，∴f(log24a )<f(2)<f(2a)， ∵f(log24a )＝f(2－log2a)＝f(log2a)， ∴f(log2a)<f(2)<f(2a)．4．(2014·三亚市一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝sin(x ＋π3)B ．y ＝sin(x －π3)C ．y ＝sin(2x ＋π3) D ．y ＝sin(2x －π3)[答案] C[解析] 由图知，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝2πω＝π， ∴ω＝2，由y ＝sin(2x ＋φ)过(7π12，－1)点得sin(7π6＋φ)＝－1， ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，故选C ．5．(2015·河南省实验中学期中)设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A[解析] S9S5＝9a55a3＝95×59＝1.6．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知圆x2＋y2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则PA →·PB →的取值范围为( ) A ．(0，12] B ．[－12，0) C ．(－12，0)D ．[－1,0)[答案] B[解析] 设P(x ，y)，则x2＋y2<1，∵|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，∴|PO|2＝|PA|·|PB|，∵A(－1,0)，B(1,0)，∴x2＋y2＝x ＋12＋y2·x －12＋y2，两边平方得，x2－y2＝12，∵－1<y<1，∴x2＋y2－1＝2y2－12∈[－12，32)，∴－12≤x2＋y2－1<0，∴PA →·PB →＝(－1－x ，－y)·(1－x ，－y)＝x2＋y2－1∈[－12，0)，故选B ．(理)(2015·河南八校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C 2＝63，a ＝b ＝3，点P 是边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝( ) A ．0 B ．6 C ．9 D ．12 [答案] B[解析] ∵sin C 2＝63，∴cosC ＝1－2sin2C 2＝1－2×(63)2＝－13， ∴c2＝a2＋b2－2abcosC ＝9＋9－2×9×(－13)＝24， ∴c ＝26，设AB 的中点为M ，则CM ＝CB2－BM2＝32－62＝ 3.∴CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(CM →＋MP →)·2CM →＝2|CM →|2＝6.7．(文)(2014·北京朝阳区期末)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．6B ．24C ．120D ．720 [答案] C[解析] 根据框图的循环结构可知，循环过程依次为：k ＝1，i ＝2，k ＝1×2＝2；i ＝2＋1＝3；k ＝2×3＝6，i ＝3＋1＝4，k ＝6×4＝24，i ＝4＋1＝5，k ＝24×5＝120，i ＝5＋1＝6>5，跳出循环，输出结果k ＝120.故C 正确． (理)(2014·抚顺市六校联合体期中)执行下面的程序框图，则输出的S 的值是( )A ．39B ．21C ．81D ．102 [答案] D[解析] 程序运行过程为：n ＝1，S ＝0，n<4成立， S ＝0＋1×31＝3，n ＝1＋1＝2，n<4成立，S ＝3＋2×32＝21，n ＝2＋1＝3，n<4仍成立，S ＝21＋3×33＝102，n ＝3＋1＝4，此时n<4不成立，跳出循环，输出S 的值102后结束，选D ． 8．(2015·开封市二十二校联考)抛物线y2＝4x 的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则|PF||PA|的取值范围是( ) A ．[22，1] B ．[12，1] C ．[22，2]D ．[1,2][答案] A[解析] 过P 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，则|PF|＝|PB|， ∵抛物线y2＝4x 的焦点为F(1,0)，点A(－1,0)， ∴|PF||PA|＝sin ∠BAP ，设过A 的抛物线的切线方程为y ＝k(x ＋1)，代入抛物线方程可得k2x2＋(2k2－4)x ＋k2＝0， ∴Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，∴k ＝±1， sin ∠BAP ∈[22，1]．9．(2014·江西修水一中、永修一中联考)已知命题p ：“a>0，b>0”是“方程ax2＋by2＝1”表示椭圆的充要条件； q ：在复平面内，复数1－i1＋i 所表示的点在第二象限；r ：直线l ⊥平面α，平面α∥平面β，则直线l ⊥平面β；s ：同时抛掷两枚相同的均匀硬币，出现一正一反的概率为13， 则下列复合命题中正确的是( )A ．p 且qB ．r 或sC ．非rD ．q 或s [答案] B[解析] 若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，则a>0，b>0；当a ＝b>0时，方程ax2＋by2＝1不表示椭圆，∴p 为假命题；∵1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i 表示的点在虚轴上，∴q 为假命题；r 显然为真命题；同时抛掷两枚相同均匀硬币，有四种不同结果，出现一正一反的情形有两种，∴p ＝12，∴s 为假命题．∴p 且q 为假，r 或s 为真，非r 为假，q 或s 为假，选B ． 10．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f(x)＝f(x ＋4)，当x ∈(－2,0)时，f(x)＝2x ，则f(2012)－f(2011)的值为( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2 [答案] A[解析] ∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，又∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2012)＝f(0)＝0，又x ∈(－2,0)时，f(x)＝2x ，∴f(－1)＝12，∴f(2011)＝f(－1)＝12，∴f(2012)－f(2011)＝－12，选A ．(理)(2014·杭州七校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x2＋4x 0≤x<1log2013xx>1，若a 、b 、c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(2,2014)B ．(2,2015)C ．(3,2014)D ．(3,2015) [答案] A[解析] y ＝log2013x ，当x ＝2013时，y ＝1； y ＝－4x2＋4x ，当x ＝12时，y ＝1；又a 、b 、c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a<b<c ，则0<a<12，12<b<1,1<c<2013，且a ＋b ＝1，∴2<a ＋b ＋c<2014，故选A ．11．(2014·宝鸡市质检)设双曲线x2a2－y2b2＝1(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过A(a,0)、B(0，b)两点，若原点O 到l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A ．233或2 B ．2 C ．2或233 D ．233[答案] A[解析] 由题意，直线l 的方程为：x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，∴原点O 到l 的距离为d ＝aba2＋b2＝ab c ，∵原点O 到l 的距离为3c 4，∴ab c ＝3c4，∴3e4－16e2＋16＝0，∴e2＝4或e2＝43，∴e ＝2或e ＝233，故选A ．12．(2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y －kx≤2，y －x －4≤0.确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为(1，－2)，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM →·ON →的最小值是( ) A ．－8 B ．－7 C ．－6 D ．－4[答案] B[解析] 依题意，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y －x －4≤0.所表示的平面区域(如图所示)可知其围成的区域是等腰直角三角形，面积为8，由直线y ＝kx ＋2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y －kx≤2，当k ＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k<0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －kx ＝2，y －x －4＝0，可得D(2k －1，4k －2k －1)，依题意应有12×2×|2k －1|＝1，因此k ＝－1(k ＝3舍去)，故有D(－1,3)，设N(x ，y)，故由z ＝OM →·ON →＝x －2y ，可化为y ＝12x －12z ，∵12<1，∴当直线y ＝12x －12z 过点D 时，截距－12z 最大，即z 取得最小值－7，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·北京东城区联考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，B ＝2π3，则c ＝________. [答案]3[解析] ∵B ＝2π3>π2，b>a ，∴三角形只有一解．由正弦定理得，b sinB ＝a sinA ，即3sin 2π3＝3sinA ，∴sinA ＝12，∴A ＝π6，∴c2＝a2＋b2－2abcosC ＝3＋9－63cos(π－2π3－π6)＝12－63cos π6＝3，∴c ＝ 3.14．(文)(2014·长沙市重点中学月考)阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为________．[答案] 4[解析] 输入x ＝－25，|x|＝25>1成立，x ＝25－1＝4，|x|＝4>1成立，x ＝4－1＝1>1不成立，x ＝3×1＋1＝4，输出x 的值4后结束．(理)(2015·豫南九校联考)若(x ＋a)6的展开式中x3的系数为160，则⎠⎛1a xadx 的值为________．[答案] 73[解析] 由条件知C36a3＝160，∴a ＝2，∴⎠⎛1a xadx ＝⎠⎛12x2dx ＝13x3|21＝73.15．(文)(2014·合肥八中联考)已知△OFQ 的面积为S ，且OF →·FQ →＝1，若12<S<32，则OF →，FQ →夹角θ的取值范围是________． [答案] (π4，π3)[解析] ∵S ＝12|OF →||FQ →|sinθ，1＝|OF →||FQ →|cosθ， ∴S ＝12tanθ，由已知12<S<32，∴1<tanθ<3，∴π4<θ<π3.(理)(2014·长沙市重点中学月考)如图，矩形ORTM 内放置5个大小相同且边长为1的正方形，其中A 、B 、C 、D 都在矩形的边上，则AC →·BD →＝________.[答案] －3[解析] AC →·BD →＝(AP →＋PQ →＋QC →)·(BQ →＋QM →＋MD →)＝AP →·BQ →＋AP →·QM →＋AP →·MD →＋PQ →·BQ →＋PQ →·QM →＋PQ →·MD →＋QC →·BQ →＋QC →·QM →＋QC →·MD →＝0－4＋0＋2＋0＋1＋0－2＋0＝－3.16．(文)(2014·吉林市摸底)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0，则z ＝x ＋y 的最大值是________．[答案] 5[解析] 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0，的可行域，由可行域知，目标函数z ＝x ＋y 过点A(2,3)时z 取最大值，最大值为5.(理)(2014·吉林省实验中学一模)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y ≥12x ，2x ＋y≤10，向量a ＝(y －2x ，m)，b＝(1，－1)，且a ∥b ，则m 的最小值为________．[答案] －6[解析] 作出可行域如图，∵a ∥b ，∴(y －2x)×(－1)＝m ，即m ＝2x －y ，作直线l0：y ＝2x ，平移l0得直线l ：y ＝2x －m ，当l 经过可行域内点A(1,8)时，m 取最小值，mmin ＝2×1－8＝－6.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·文登市期中)已知a ＝(2cosα，2sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，0<α<β<2π. (1)若a ⊥b ，求|a －2b|的值；(2)设c ＝(2,0)，若a ＋2b ＝c ，求α、β的值． [解析] (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又∵a2＝|a|2＝4cos2α＋4sin2α＝4，b2＝|b|2＝cos2β＋sin2β＝1， ∴|a －2b|2＝(a －2b)2＝a2－4ab ＋4b2＝4＋4＝8， ∴|a －2b|＝2 2.(2)∵a ＋2b ＝(2cosα＋2co sβ，2sinα＋2sinβ)＝(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cosα＋cosβ＝1，sinα＋sinβ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cosα＝1－cosβ，sinα＝－sinβ.两边分别平方再相加得：1＝2－2cosβ， ∴cosβ＝12，∴cosα＝12，∵0<α<β<2π且sinα＋sinβ＝0，∴α＝π3，β＝5π3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4，当n≥2时，满足Sn ＋Sn －1＝2an. (1)求证：{Sn}为等差数列；(2)求1a1a2＋1a2a3＋…＋1a9a10的值．[解析] (1)Sn ＋Sn －1＝2an ＝2(Sn －Sn －1)＝2(Sn ＋Sn －1)(Sn －Sn －1)(n≥2)，故有Sn －Sn －1＝12(n≥2)，∴{Sn}是等差数列． (2)由(1)知Sn ＝S4＋(n －4)·12＝n 2，∴Sn ＝n24，∴an ＝Sn －Sn －1＝2n －14(n≥2)，当n ＝1时，a1＝S1＝14，也成立．∴an ＝2n －14，∴原式＝1d (1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1a9－1a10)＝1d (1a1－1a10)＝2(4－419)＝14419. (理)(2014·泸州市一诊)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a3＝6，S10＝110. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}前n 项和为Tn ，且Tn ＝1－(22)an ，令cn ＝anbn(n ∈N*)．求数列{cn}的前n 项和Rn.[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d ，∵a3＝6，S10＝110，∴a1＋2d ＝6,2a1＋9d ＝22， ∴a1＝2，d ＝2，所以数列{an}的通项公式an ＝2＋(n －1)·2＝2n. (2)因为Tn ＝1－(22)an ＝1－(22)2n ＝1－(12)n ， 当n ＝1时，b1＝T1＝12，当n≥2时，bn ＝Tn －Tn －1＝1－(12)n －1＋(12)n －1 ＝(12)n ，且n ＝1时满足bn ＝(12)n ， ∴数列{bn}的通项公式为bn ＝(12)n. ∴cn ＝2n 2n ＝n 2n －1，∴Rn ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1，∴12Rn ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，两式相减得：12Rn ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n2n＝1－12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n ， ∴Rn ＝4－n ＋22n －1.19．(本小题满分12分)(文)(2014·北京市海淀区期末)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱AB 的中点．(1)求证：CD∥平面PAB；(2)求证：PE⊥AD；(3)若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．[解析](1)因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB．又因为CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB．(2)因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD．(3)因为CA＝CB，点E是棱AB的中点，所以CE⊥AB．由(2)可得PE⊥AB，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．(理)(2014·天津河东区一模)如图，已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为2，E 、F 分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E 、F 作平面D1EGF 交BB1于G.(1)求证：EG ∥D1F ；(2)求二面角C1－D1E －F 的余弦值；(3)求正方体被平面D1EGF 所截得的几何体ABGEA1－DCFD1的体积．(棱台体积计算公式：V ＝13H(S 上＋S 下＋[S 上×S 下])其中H 是高，S 上和S 下分别是上下底面的面积．)[解析] (1)证明：在正方体ABCD －A1B1C1D1中，∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面D1EGF ∩平面ABB1A1＝EG ，平面D1EGF ∩平面DCC1D1＝D1F ，∴EG ∥D1F.(2)如图，以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD1为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,2)，E(2,1,2)，F(0,2,1)，∴D1E →＝(2,1,0)，D1F →＝(0,2，－1)， 设平面D1EGF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由n·D1E →＝0，和n·D1F →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02y －z ＝0，取x ＝1，得y ＝－2，z ＝－4，∴n ＝(1，－2，－4)， 又平面ABCD 的法向量为DD1→＝(0,0,2)， 故cos 〈DD1→，n 〉＝DD1→·n |DD1→|·|n|＝1×0＋－2×0＋－4×212＋－22＋－4202＋02＋22＝－42121，∴截面D1EGF 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为42121. (3)设所求几何体ABGEA1－DCFD1的体积为V ， ∵△EGB1～△D1FC1，D1C1＝2，C1F ＝1， ∴EB1＝12D1C1＝1，B1G ＝12C1F ＝12， ∴S △EGB1＝12EB1·B1G ＝12×1×12＝14， S △D1FC1＝12D1C1·C1F ＝12×2×1＝1， 故V 棱台D1FC1－EGB1＝|B1C1|3(S △EGB1＋ S △EGB1·S △D1FC1＋S △D1FC1) ＝23(14＋14×1＋1)＝76，∴V ＝V 正方体－V 棱台D1FC1－EGB1＝23－76＝416.20．(本小题满分12分)(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R.(1)求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设g(x)＝f ′(x)e －x ，求函数g(x)的极值． [解析] ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋1， ∴f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ，∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ， ∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ， ∴a ＝－32，b ＝－3，∴f(x)＝x3－32x2－3x ＋1，f ′(x)＝3x2－3x －3， ∴f(1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g(x)＝(3x2－3x －3)e －x ，∴g ′(x)＝(6x －3)e －x ＋(3x2－3x －3)·(－e －x)， ∴g ′(x)＝－3x(x －3)e －x ，∴当0<x<3时，g ′(x)>0，当x>3时，g ′(x)<0，当x<0时，g ′(x)<0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 所以g 极小(x)＝g(0)＝－3，g 极大(x)＝g(3)＝15e －3. 21．(本小题满分12分)(文)(2015·山西大同市调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额(单位：千元) 人数 频率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3 2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？ [解析] (1)根据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图，(2)根据题意，网购金额在(1,2]内的人数为2424＋16×5＝3(人)，记为a ，b ，C ．网购金额在(4,5]内的人数为1624＋16×5＝2(人)，记为A ，B ．则从这5人中随机选取2人的选法为：(a ，b)，(a ，c)，(a ，A)，(a ，B)，(b ，c)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，(A ，B)共10种．记2人来自不同群体的事件为M ，则M 中含有(a ，A)，(a ，B)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)共6种． ∴P(M)＝610＝35.(理)(2015·赤峰市统考)某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人． (1)求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ，“两人都不享受折扣优惠”为事件B ， 则P(A)＝C212C236＝11105，P(B)＝C224C236＝46105. 因为事件A ，B 互斥，所以P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝11105＋46105＝57105.故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是57105. (2)据题意，ξ的可能取值为0,1,2.其中P(ξ＝0)＝P(B)＝46105，P(ξ＝1)＝C112C124C236＝48105，P(ξ＝2)＝P(A)＝11105. 所以ξ的分布列是：ξ12P46105 48105 11105所以E(ξ)＝0×46105＋1×48105＋2×11105＝70105＝23.22．(本小题满分14分)(文)(2014·长安一中质检)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，点P 是点F 关于y 轴的对称点，过点P 的直线交抛物线于A 、B 两点．(1)试问在x 轴上是否存在不同于点P 的一点T ，使得TA 、TB 所在的直线与x 轴所成的锐角相等，若存在，求出点T 的坐标，若不存在，说明理由； (2)若△AOB 的面积为52，求向量OA →、OB →的夹角．[解析] (1)由题意知，抛物线方程为：y2＝4x 且P(－1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l ：x ＝my －1，代入y2＝4x 消去x 得， y2－4my ＋4＝0，∴Δ＝16m2－16>0，∴m2>1，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧y1＋y2＝4m ，y1y2＝4，假设存在T(a,0)满足题意，则kAT ＋kBT ＝y1x1－a ＋y2x2－a＝y1x2－a ＋y2x1－ax1－a x2－a＝y1my2－1－a ＋y2my1－1－ax1－a x2－a＝2my1y2－1＋a y1＋y2x1－a x2－a＝8m －4m 1＋ax1－a x2－a＝0，∴8m －4m(1＋a)＝0，∴1＋a ＝2，∴a ＝1，∴存在点T(1,0)． (2)设∠AOB ＝θ，S △ABO ＝12|OA →||OB →|sinθ＝52， ∴|OA →||OB →|＝5sinθ，OA →·OB →＝x1x2＋y1y2＝y214·y224＋y1y2＝y1y2216＋y1y2＝4216＋4＝5， ∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝55sinθ＝sinθ，即cosθ＝sinθ，∴tanθ＝1，∴θ＝π4，∴∠AOB ＝π4.(理)(2014·武汉市调研)如图，矩形ABCD 中，|AB|＝22，|BC|＝2，E 、F 、G 、H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF 、EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知OR →＝λOF →，CR ′→＝λCF →，其中0<λ<1.(1)求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x22＋y2＝1上；(2)若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T.是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率kOP 、kOQ 、kOS 、kOT 满足kOP ＋kOQ ＋kOS ＋kOT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知，得F(2，0)，C(2，1)．由OR →＝λOF →，CR ′→＝λCF →，得R(2λ，0)，R ′(2，1－λ)． 又E(0，－1)，G(0,1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1，①直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1.② 由①②，得M(22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵22λ1＋λ222＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋1－λ221＋λ22＝1＋λ221＋λ22＝1， ∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x22＋y2＝1上． (2)假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则直线NF1的方程为y ＝k1(x ＋1)，其中k1＝y0x0＋1，直线NF2的方程为y ＝k2(x －1)，其中k2＝y0x0－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k1x ＋1，x22＋y2＝1.消去y 并化简，得(2k21＋1)x2＋4k21x ＋2k21－2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k212k21＋1，x1x2＝2k21－22k21＋1.∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k21≠1. ∴kOP ＋kOQ ＝y1x1＋y2x2＝k1x1＋1x1＋k1x2＋1x2＝2k1＋k1·x1＋x2x1x2＝k1(2－4k214k21－2)＝－2k1k21－1.同理可得kOS ＋kOT ＝－2k2k22－1.∴kOP ＋kOQ ＋kOS ＋kOT ＝－2(k1k21－1＋k2k22－1)＝－2·k1k22－k1＋k21k2－k2k21－1k22－1＝－2k1＋k2k1k2－1k21－1k22－1.∵kOP ＋kOQ ＋kOS ＋kOT ＝0，∴－2k1＋k2k1k2－1k21－1k22－1＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0.由点N 不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，∴k1k2＝1，即y0x0＋1·y0x0－1＝1.③又y0＝x0＋2，④解③④，得x0＝－54，y0＝34.故满足条件的点N 存在，其坐标为(－54，34)．。

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2022年高三复习阶段性综合复习卷数学试卷新高考

2022年高三一轮复习阶段性综合复习卷（新高考）数 学 试 卷本试卷共4页，22题，全卷满分150分，考试用时120分钟。

考试范围：高中数学（A 版），高考要求的全部内容注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}13A x N x *=∈-<<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--2．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z+=（ ） A 2B ．2C 10D 103．点A B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为2 ） A ．16πB ．24π C ．36π D ．48π4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0- C ．（0，1） D ．[]0,15．已知定义在(0,)+∞的函数()f x ，()()0f x x f x '-⋅<，若0a b <<，则一定有（ ） A ．()()bf a af b < B ．()()bf a af b > C ．()()af a bf b > D ．()()af a bf b <6．已知角α的终边在直线20x y +=上，则cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．45B ．45-C ．35 D ．357．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ''上运动，当平面B EP '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成的角相等时，则D P '的最小值为（ ）A 310B 310C 910D 7108．下列说法不正确的是（ ）A ．在随机试验中，若()()1P A PB +=，则事件A 与事件B 为对立事件，B ．函数()cos 2f x x =的图像可由cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位而得到.C ．在△ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；若A B >，则sin sin A B >D ．在△ABC 中，若tan tan tan 0A B C ++>，则sin cos A B >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，则以下说法正确的是（ ）A ．平面EFC 截正方体所得截面周长为B ．1BB 上存在点P ，使得1C P ⊥平面EFC C ．三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等 D ．1BB 上存在点P ，使得//AP 平面EFC10．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ）A ．sin sin sin sin b a b cB A B C++=++ B ．若A B >，则sin2sin2A B > C ．cos cos a b C c B =+ D ．若()0AB AC BC AB AC +⋅=，且，则△ABC 为等边三角形11．已知方程()()()22120,x i x a b i ab a b R +++-+=∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若方程有一根为0，则0a =且0b = B ．方程可能有两个实数根C ．12ab <时，方程可能有纯虚数根 D ．若方程存在实数根0x ，则00x ≤或02x ≥12．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点1(A x ，12)(y B x ，2)y 的曼哈顿距离为：1212(,)||||d A B x x y y =-+-.在此定义下以下结论正确的是（ ）A ．已知点(0,0)O ，满足(,)1d O M =的点M 轨迹围成的图形面积为2B ．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，满足(d M ，1)(F d M +，2)4F =的点M 轨迹的形状为六边形C ．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，不存在动点M 满足方程：|(d M ，1)(F d M -，2)|1F =D ．已知点M 在圆22:1O x y +=上，点N 在直线:260l x y +-=上，则(d M 、)N 的最小值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数()10,1xy a a a =->≠的图象与直线2y a =有两个公共点，则实数a 的取值范围是____．14．ABC 是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为___________.15．已知12,F F 分别为双曲线2213y x -=的左、右焦点，过2F 且倾斜角为θ的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F △的内切圆1O 的半径为1r ，12BF F △的内切圆2O 的半径为2r ，圆1O 的面积为1S ，圆2O 的面积为2S ，则________.△θ的取值范围是5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭△直线12O O 与x 轴垂直△若122r r +=，则6AB = △12S S +的取值范围是102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知在棱长为12的正四面体ABCD 的内切球球面上有一动点P ，则PA 的最小值为______，的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①23244a a a =+，②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，③2428S S S =⋅，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在递增的等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，______，数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，设n n n c a b =⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使2000n T >成立的最小正整数n 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长．针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线．已知该包装胶带的质量以某项指标值作为衡量标准．为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组：[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，其统计结果及产品等级划分如下表所示：的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈．求()50.5480.63P k <≤的值；（2y ）进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由．参考数据：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=，ln13 2.6≈．19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求证：,,A B C 中至少有一个角大于或等于60；（2）若角,,A B C 成等差数列，证明113:a b b c a b c+=++++.20．己知椭圆C ：22221x y a b+=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，经过点1F 且倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF 的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12AF F ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12BF F ）互相垂直．△若3πθ=，求异面直线1AF 和2BF 所成角的余弦值；△是否存在02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，使得折叠后2ABF 的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．21．已知双曲线22143x y -=的左､右顶点分别为A 和B ，()11,M x y 和()11,N x y -是双曲线上两个不同的动点.（1）求直线AM 与BN 交点的轨迹C 的方程；（2）已知点(1,0)F ，过点A 且斜率为(0)k k >的直线交曲线C 于另一点P ，设直线:2l x =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.22．已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）若()f x 存在零点，求实数a 的取值范围；（2）若0x 是()f x 的零点，求证：002200321x x e a x x --≤<.。

世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：课时提能演练(十) 2.7

世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：课时提能演练(十) 2.7

课时提能演练(十)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( )(A)y=212x (B)y=12x(C)y= 32x (D)y=521x22.函数y=1x-x 2的图象关于( )(A)y 轴对称 (B)直线y=-x 对称 (C)坐标原点对称 (D)直线y=x 对称 3.已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是( ) (A)(0，+∞) (B)(1，+∞) (C)(0，1) (D)(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m 的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(A){x|0<x } (B){x|0≤x ≤4}(C){x|x－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0⎧-⎪≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,-3) (B)(1，+∞) (C)(-3，1)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成立，则实数m 的取值范围为( )(A)(-∞,1) (B)(-∞, 12) (C)(-∞,0) (D)(0,1)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x ∈(0,1)，幂函数y=x a 的图象在直线y=x 的上方，则实数a 的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)= 12x -，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a 的取值范围是_______.9.当0<x<1时，f(x)=x 1.1,g(x)=x 0.9,h(x)=x -2的大小关系是_______________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m -2x且f(4)= 72.(1)求m 的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1. 试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.设y=xα,则由已知得，=2α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)=32x.2.【解析】选A.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)= 1x-x 2,则f(-x)=1x-(-x)2=1x-x 2=f(x),∴f(x)为偶函数，故选A.3.【解析】选A.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1, ∴0＜0.71.3＜1.30.7. 又(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ,∴函数y=x m 在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选D.由(12)m=2，得m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,又∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选C.当a ＜0时，(12)a -7＜1,即2-a ＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0. 当a ≥0＜1,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成立求解. 【解析】选A.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数， ∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0⇒ f(mcos θ)＞f(m-1)⇒ mcos θ＞m-1⇒mcos θ-m+1＞0恒成立， 令g(cos θ)=mcos θ-m+1, 又0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1,则有：()()g 00g 10⎧⎪⎨⎪⎩＞，＞即m 10m m 10-+⎧⎨-+⎩＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1). 答案：(-∞,1)8.【解析】由于f(x)= 12x -在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＞解得：3＜a ＜5.答案：(3,5)9.【解题指南】在同一坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)<g(x)<h(x).答案:f(x)<g(x)<h(x)10.【解析】(1)因为f(4)= 72,所以4m -24=72.所以m=1.(2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, 又f(-x)=-x-2x=-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(3)方法一：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0.所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 方法二：∵f(x)=x-2x ,∴f ′(x)=1+22x＞0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2.设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2.(2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式小于零， 即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)； 当x ＞1或x ＜-1时，(*)式大于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)； ②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警示】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}而失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性而致误. 【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0, ∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，又p ∈Z,∴p=0,1,2.当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421xx -)+(2q-1)·(2212xx -)=(2221xx -)[q(2212xx +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221xx -＜0且2212xx +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数， 必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成立.即2q-1＞q(2212x x +)恒成立.由2212xx +＞32且q ＜0，得q(2212xx +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成立， 则2q-1＞q(2212x x +)恒成立.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证,当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数,∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.。

高三数学第一轮总复习 阶段性测试题十二 综合素质能力

高三数学第一轮总复习 阶段性测试题十二 综合素质能力

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·惠安中学适应性训练)复数z ＝1－i ，则1z＋z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C.32－32i D.32－12i [答案] D[解析] 1z ＋z ＝11－i ＋(1－i)＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.2．(文)(2013·陕西延安中学期中)设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，且B 中元素都有原象，如果A ＝{1,2}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{1}C ．∅或{1,2}D ．{1}或{1,2}[答案] B[解析] ∵f ：x →x 2，∴1∈B,4∈B ，若a ∈B ，则由B 中元素都有原象知，a ＝12或22，∴B ＝{1,4}，∴A ∩B ＝{1}．(理)(2013·山西大学附中月考)在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，给出如下四个结论：①2012∈[1]；②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由类“[k ]”的定义及2012＝4×503＋0，－2＝4×(－1)＋2知，2012∈[0]，－2∈[2]，故①错，②对；③显然正确；设a ＝4n 1＋k ，b ＝4n 2＋k ，(n 1，n 2∈Z ，k ＝0,1,2,3)，则a －b ＝4(n 1－n 2)∈[0]；若a －b ∈[0]，则a －b ＝4n (n ∈Z )，设a ＝4n 1＋k (n 1∈Z ，k ＝0,1,2,3)，则b ＝4(n 1－n )＋k ，∴a ，b 属于同一类，故④正确，故选C.3．(文)(2013·烟台市检测)已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于任意x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2011)＋f (2012)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] C[解析] 由函数f (x )是R 上的偶函数及x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )得f (－2011)＋f (2012)＝f (2011)＋f (0)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝1.故选C.(理)(2013·河北冀州中学期中)如果函数f (x )＝2x－a a ·2x ＋1是奇函数，则函数y ＝f (x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(－1,1]C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a ＝1，∴f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x＋1＝1－22x ＋1，∵2x >0，∴2x＋1>1，∴0<22x ＋1<2，∴－1<f (x )<1，故选C.4．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，若得分的中位数与众数分别为a ，b ，则抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线的距离为( )A. 2B.22C.24D ．2[答案] B[解析] 由茎叶图知，所得分数的中位数为a ＝23＋232＝23，众数b ＝23，抛物线的焦点F (1,0)，双曲线x 2232－y 2232＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故所求距离为22.5．(文)角α的终边经过点A (－3，a )，且点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32[答案] B[解析] A (－3，a )在抛物线x 2＝－4y 的准线y ＝1上，∴a ＝1，∴A (－3，1)，∴sin α＝1－32＋12＝12. (理)(2013·山师大附中三模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6.则目标函数z＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．9 [答案] B[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0，当经过可行域内点A (1,1)时，z 取最小值z min ＝2×1＋1＝3.6．(文)(2013·沈阳四校期中)若实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋3≥0，0≤x ≤3.则2x －y 的最大值为( )A．9 B．3 C．0 D．－3[答案] A[解析]作出可行域如图，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线l0：y＝2x，平移l0，l0向下平移，其纵截距变小，从而z变大，当平移到经过可行域内的点A(3，－3)时，z取最大值，z max＝2×3－(－3)＝9.(理)(2013·成都石室中学一模)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．8 B．18C．26 D．80[答案] C[解析]由框图知，S＝(3－1)＋(32－3)＋(33－32)＝33－1＝26.7．(文)(2013·厦门六中月考)若如图的程序框图输出的y＝4，可输入的x的值的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] D[解析] 由y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x－4＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，log 22－x＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，x 2＝4.∴x ＝3或x ＝－14或x ＝±2，故选D. (理)(2013·南安一中期中)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3cos x 1sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A.2π3B.π3C.π8D.5π6[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，将f (x )的图象左移m 个单位，得到函数g (x )＝2sin(x ＋m －π6)的图象，∵g (x )为偶函数，∴m －π6＝k π＋π2，∴m ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为2π3.8．(文)(2013·福建惠安三中模拟)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥xB ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题 C ．∃x ∈R ，x 2≥xD ．命题“若x ≠y ，则sin x ≠sin y ”的逆否命题 [答案] C[解析] 当0<x <1时，x 2≥x 不成立，A 错；当x 2＝1时，x ＝1或x ＝－1，故B 错；x ＝0时，x 2≥x ，∴C 正确；sin x ＝sin y ⇒/ x ＝y ，故D 错．故真命题为C.(理)(2013·山东鱼台一中质检)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )[答案] B[解析] ∵ab ＝1，∴a ＝1b ，∴g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x ，故f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，选B.9．(文)(2013·唐山一中月考)半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两圆均相切，则一共可作( )个圆．( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 将半径为1和2的圆分别记作⊙O 1和⊙O 2，半径为3的圆记作⊙O ，则⊙O 与⊙O 1、⊙O 2的位置关系为：①⊙O 与⊙O 1外切，与⊙O 2内切，或⊙O 与⊙O 1内切，与⊙O 2外切，这样的圆有2个． ②⊙O 与⊙O 1和⊙O 2都内切，这样的圆有1个．③⊙O 与⊙O 1和⊙O 2都外切，这样的圆有2个，∴共有5个，C 1、C 2、C 3、C 4、C 5为这5个圆的圆心位置，如图．(理)(2013·北大附中河南分校月考)已知函数f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2013x 2012的值为( )A ．－1B ．1－log 20132012C ．－log 20132012D ．1[答案] A[解析] ∵函数的导数为f ′(x )＝(n ＋1)x n， ∴在x ＝1处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝n ＋1， ∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0得x ＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1， ∴x 1x 2…x 2012＝12×23×…×20122013＝12013.∴log 2013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2013x 2012＝log 201312013＝－1，选A.10．(文)(2013·惠安三中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．(－7π12，5π12)B ．(－7π12，－π12)C ．(－3π4，π6)D ．(11π12，17π12)[答案] D[解析] 由图可知，T 4＝2π3－5π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵f (x )的图象过点(5π12，2)，∴2sin(2×5π12＋φ)＝2，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，令k ＝0得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(2x －π3)，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2得，k π－π12≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，取k ＝1得，11π12≤x ≤17π12，故选D.(理)(2013·皖南八校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若FA →＝2FB →，OB →·OA →＝(OB →)2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5[答案] C[解析] ∵OB →·OA →＝(OB →)2，∴OB →·(OA →－OB →)＝0， ∴OB →·BA →＝0，又FA →＝2FB →，∴B 为线段FA 的中点，∴OB 为AF 的中垂线，∴∠AOB ＝∠BOF ＝∠AOF 1＝60°(其中F 1为双曲线的右焦点)，∴ba＝tan60°＝3， ∴双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝2.11．(文)(2013·福建惠安三中模拟)若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．3B ．6 C. 3 D ．2 3[答案] B[解析] 抛物线的焦点F (p2，0)与双曲线右焦点F 2(3,0)重合，∴p ＝6.(理)(2013·皖南八校二次联考)“2012”含有数字0,1,2，且有两个相同数字2，则含有数字0,1,2，且有两个相等数字2(或1)的四位数的个数为( )A ．18B ．24C ．27D ．36[答案] A[解析] 含有相同数字1和含有相同数字2的四位数一样多．含有两个数字1时，先从个位、十位、百位中选一位排0，再从剩下的三个位置中选一位排2，最后排两个1，故共有2C 13·C 13＝18个不同的四位数．12．(文)(2013·东北三省联考)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＋|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则cos 〈a ，b 〉等于( )A ．－12B ．1 C.22D.32[答案] B[解析] 由|a |＋|b |＝|c |及a ＋b ＝c 知，a 与b 的方向相同，∴cos 〈a ，b 〉＝cos0＝1.(理)(2013·汕头市潮阳一中期中)若a >0，b >0，a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，则x 1＋x 2与y 1＋y 2的大小关系是( )A ．x 1＋x 2≤y 1＋y 2B ．x 1＋x 2≥y 1＋y 2C ．x 1＋x 2<y 1＋y 2D ．x 1＋x 2>y 1＋y 2[答案] B[解析] 解法1：取a ＝1，b ＝8，则x 1＋x 2＝103＋173＝9，y 1＋y 2＝2＋4＝6，排除A 、C ，取a ＝b ＝1，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，排除D ，故选B.解法2：(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝(a ＋b )－(3a 2b ＋3ab 2)＝3a 2(3a －3b )＋3b 2(3b －3a )＝(3a －3b )(3a 2－3b 2)＝(3a －3b )2·(3a ＋3b )≥0.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2013·陕西西工大附中训练)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．[答案] 16[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，底面是等腰三角形，其底边长为1，高为1，面积S ＝12，棱锥的高h ＝1，∴体积V ＝13Sh ＝16.(理)(2013·山东日照市月考)定义在R 上的函数y ＝f (x )，若对任意不等实数x 1，x 2满足f x 1－f x 2x 1－x 2<0，且对于任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0成立．又函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，则当1≤x ≤4时，y x的取值范围为________．[答案] [－12，1][解析] 由函数y ＝f (x )，对任意不等实数x 1，x 2满足f x 1－f x 2x 1－x 2<0，可知函数y＝f (x )为R 上递减函数．由函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，可知函数y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以函数y ＝f (x )为奇函数．又f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0，所以x2－2x ≥－2y ＋y 2，即(x －y )(x ＋y －2)≥0，⎩⎪⎨⎪⎧x －yx ＋y －2≥0，1≤x ≤4.表示的平面区域如图所示，y x 表示区域中的点与原点连线的斜率，又k OA ＝－12，所以y x 的取值范围为[－12，1].14．(文)(2013·四川达州市一诊)已知数列{a n}的前n项和满足S n＝2S n－1－1(n≥2，n ∈N*)且a1＝2，则S6的值是________．[答案]33[解析]由S n＝2S n－1－1得，S n－1＝2(S n－1－1)，∴{S n－1}成公比为2的等比数列，∴首项S1－1＝a1－1＝2－1＝1，∴S n－1＝2n－1，∴S n＝2n－1＋1，∴S6＝25＋1＝33.(理)(2013·安徽阜阳市一中二模)某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为________．[答案] 30＋6 5[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥，底面是直角三角形，AC ⊥BC ，其两直角边长为4和5，侧面PAC ⊥底面ABC ，高PD ＝4，易知BC ⊥PC ，S △PAC ＝12×5×4＝10，S △ABC ＝12×4×5＝10，S △PBC ＝12×4×5＝10，又PA ＝25，PB ＝41，AB ＝41， ∴S △PAB ＝12×25×41－5＝65，∴S 表面积＝30＋6 5.15．(文)(2013·江西省南昌市调研)已知函数f (x )＝ln x,0<a <b <c <1，则f a a，f b b ，f cc的大小关系是______． [答案]f a a ＜f b b ＜f cc[解析] 令F (x )＝f x x ，则F ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，F ′(x )>0，∴F (x )在(0，e )上单调递增，∵0<a <b <c <1<e ，∴F (a )<F (b )<F (c )，∴f a a ＜f b b ＜f cc.(理)(2013·河北冀州中学期中)如图，由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积为________．[答案] 43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝－1.∴C (1，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝－x 2，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝－1.∴D (2，－1)．∴S ＝2(⎠⎛01[(－x 24)－(－x 2)]d x )＋⎠⎛12(－x 24＋1)d x ＝2(14＋512)＝43.16．(文)观察下列一组不等式： 23＋53>22·5＋2·52， 24＋54>23·5＋2·53， 25＋55>23·52＋22·53，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是________．[答案] 2m ＋n＋5m ＋n>2m ·5n ＋2n ·5m (m ，n 为正整数)或am ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(其中a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)(理)已知命题“设a 1，a 2是正实数，如果a 1＋a 2＝m ，则有1a 1＋1a 2≥4m”，用类比思想推广，“设a 1，a 2，a 3是正实数，如果a 1＋a 2＋a 3＝m ，则________”．[答案]1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m[解析] a 1＋a 2＝m 推广为a 1＋a 2＋a 3＝m ，1 a1＋1a2≥4m推广为1a1＋1a2＋1a3≥9m.[点评] 原命题证明如下：∵a1，a2>0，∴1a1＋1a2＝1m(1a1＋1a2)·(a1＋a2)＝1m(2＋a2a1＋a1a2)≥1m(2＋2a2a1·a1a2)＝4m.推广命题证明如下：∵a1、a2、a3>0，∴1a1＋1a2＋1a3＝1m(1a1＋1a2＋1a3)(a1＋a2＋a3)＝1m(3＋a1a2＋a2a1＋a2a3＋a3a2＋a3a1＋a1a3)≥1m(3＋2a1a2·a2a1＋2a2a3·a3a2＋2a3a1·a1a3)＝9m.也可以如下证明：1a1＋1a2＋1a3≥331a1·1a2·1a3＝33a1a2a3，而由条件a1＋a2＋a3＝m，得到a1＋a2＋a3≥33a1a2a3⇒13a1a2a3≥3m，故可得1a1＋1a2＋1a3≥33a1a2a3≥9m.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)如图所示，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处．问索道AC长多少？[解析]在△ABC中，BD＝400，∠ABD＝120°，∵∠ADC＝150°，∴∠DAB＝30°，∵BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，∴400sin30°＝ADsin120°，得AD＝4003，在△ADC 中，DC ＝800，∠ADC ＝150°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD ·cos150°＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos150°＝4002×13得AC ＝40013(米)．答：索道AC 长为40013米．(理)(2013·山师大附中三模)已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．[解析] (1)f (x )＝32sin2x －cos 2x －12＝sin(2x －π6)－1， 故T ＝π，最小值为－2.(2)f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，而C ∈(0，π)，∴2C －π6＝π2，得C ＝π3.依据正弦定理将sin B ＝2sin A 可化为b ＝2a ， 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2， ∴a ＝1，b ＝2.18．(本小题满分12分)(文)(2013·北京市房山区期末)某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取40名学生，并统计了他们的政治成绩，这40名学生的政治成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩在[80,90)的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在[90,100]的概率．[解析](1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为40×0.1＝4(人)．(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，由已知和(1)的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，则从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，选取学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，基本事件数为15，事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，所含基本事件数为9，∴P(A)＝915＝3 5.(理)如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC.(1)求证：平面MOE∥平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．[解析](1)证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA.因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC.因为OM∥AC，又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC.(2)证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D . 因为OM ∥AC ，所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝32.所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M (32，32，0)．所以CP →＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)． 设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.所以⎩⎨⎧x ，y ，z ·1，0，2＝0，x ，y ，z ·0，3，0＝0.即⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－15.所以cos θ＝15.19．(本小题满分12分)(文)如图，三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． [解析] (1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线， ∴MD ∥AP ，∵MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴MD ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB ，又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC . (3)由题意可知，MD ⊥平面PBC ， ∴MD 是三棱锥M －DBC 的高，在Rt △BCP 中，BC ＝4，BD ＝PD ＝5，∠BCP 为直角， ∴S △BCD ＝221，又MB ＝10，∴MD ＝MB 2－BD 2＝53， ∴V D －BCM ＝V M －DBC ＝13S △BCD ·MD ＝107.(理)(2013·漳州一中期末)某高校在2013年考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3、4、5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样方法抽取6名学生进入第二轮面试，①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率；②若第三组被抽中的学生实力相当，在第二轮面试中获得优秀的概率均为34，设第三组中被抽中的学生有X 名获得优秀，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)第3组的频率为0.06×5＝0.3； 第4组的频率为0.04×5＝0.2； 第5组的频率为0.02×5＝0.1.(2)第3、4、5组频率之比为0.30.20.1＝321，故用分层抽样方法从第3、4、5组中抽取6人，则第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．①第3组学生数为100×0.3＝30人，设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试为事件M ，则P (M )＝C 128C 330＝1145，所以学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率P (M －)＝1－1145＝144145. ②由题意知X 取值0,1,2,3，由于第三组抽取的3人实力相当，在第二轮面试中获得优秀的概率均为34，故这是3次独立重复试验，∴X ～B (3，34)，且P (X ＝k )＝C k 3(34)k (14)3－k，k ＝0,1,2,3，X 的分布列如下：∴E (X )＝3×34＝94.20．(本小题满分12分)(文)(2013·苏南四校联考)设数列{a n }满足：a n (n ∈N *)是整数，且a n ＋1－a n 是关于x 的方程x 2＋(a n ＋1－2)x －2a n ＋1＝0的根．(1)若a 1＝4，且n ≥2时，4≤a n ≤8，求数列{a n }的前100项和S 100； (2)若a 1＝－8，a 6＝1，且a n <a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． [解析] (1)∵a n ＋1－a n 是关于x 的方程x 2＋(a n ＋1－2)x －2a n ＋1＝0的根， ∴(a n ＋1－a n －2)(2a n ＋1－a n )＝0(n ∈N *)， ∴对一切的正整数n ，a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＝12a n ，若a 1＝4，且n ≥2时，4≤a n ≤8，则数列{a n }为：4,6,8,4,6,8， 所以，数列{a n }的前100项和S 100＝33(4＋6＋8)＋4＝598.(2)若a 1＝－8，根据a n (n ∈N *)是整数，a n <a n ＋1(n ∈N *)，且a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＝12a n 可知，数列{a n }的前6项是：－8，－6，－4，－2,0,2或－8，－6，－4，－2，－1,1或－8，－6，－3，－1,1,3或－8，－6，－2,0,2,4或－8，－6，－2，－1,1,3，因为a 6＝1，所以数列{a n }的前6项只能是－8，－6，－4，－2，－1,1且n >4，n ∈N *时，a n ＋1＝a n ＋2，所以，数列{a n }的通项公式是：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －10，n ≤4，2n －11，n ≥5.[点评] 因为a n ＋1－a n 是方程x 2＋(a n ＋1－2)x －2a n ＋1＝0的根，∴数列{a n }中的项满足a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＝12a n ，由a 1＝－8及a 6＝1可先列出满足a 1＝－8的所有可能的数列的前6项，找出其中满足a 6＝1的，而符合题意的数列前6项只能是－8，－6，－4，－2，－1,1，由于a n 是整数，a 5＝－1为奇数，故当n ≥6时，只能有a n ＋1＝a n ＋2，否则若a n ＋1＝12a n ，则不合a n 是整数的要求，据此可写出{a n }的通项公式．(理)对于数列{a n }(n ＝1,2，…，m )，令b n 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7.定义数列{c n }：c 1，c 2，c 3，…，c m 是自然数1,2,3，…，m (m >3)的一个排列．(1)当m ＝5时，写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{c n }；(2)是否存在数列{c n }，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{c n }，若不存在，请说明理由．[解析](1)∵{c n}：c1，c2，c3，c4，c5是1,2,3,4,5的一个排列，又数列{c n}的创新数列为3,4,4,5,5，∴由创新数列的定义知，c1＝3，∵c1，c2中最大值为4，∴c2＝4，∵c1，c2，c3中最大值为4，∴c3＝1或2，当c3＝1时，∵c1、c2、c3、c4中最大值为5，∴c4＝5，∴c5＝2，故{c n}：3,4,1,5,2，当c3＝2时，{c n}：3,4,2,5,1.∴符合要求的数列{c n}有两个，即3,4,1,5,2和3,4,2,5,1.(2)存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列．数列{c n}的创新数列为{e n}(n＝1,2,3，…，m)．因为e m是c1，c2，…，c m中的最大值，所以e m＝m.由题意知，e k为c1，c2，…，c k中最大值，e k＋1为c1，c2，…，c k，c k＋1中的最大值，所以e k≤e k＋1，且e k∈{1,2，…，m}．若{e n}为等差数列，设其公差为d，则d＝e k＋1－e k≥0且d∈N，当d＝0时，{e n}为常数列，又e m＝m，所以数列{e n}为m，m，…，m.此时数列{c n}的首项c1＝m，其余项是1,2,3,4，…，(n－1)的任意一个排列．当d＝1时，因为e m＝m，所以数列{e n}为1,2,3，…，m.此时数列{c n}为1,2,3，…，m；当d≥2时，因为e m＝e1＋(m－1)d≥e1＋(m－1)×2＝2m－2＋e1，又m>3，e1>0，所以e m>m，这与e m＝m矛盾，所以此时{e n}不存在，即不存在{c n}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．综上，当数列{c n}为以m为首项的任意一个符合条件的数列或{c n}为数列1,2,3，…，m 时，它的创新数列为等差数列．21．(本小题满分12分)(文)(2013·青岛十九中质检)已知△ABC的顶点A、B在椭圆x2＋3y2＝4上，点C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．[解析](1)因为AB∥l，且AB通过原点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x .解得A 、B 两点坐标分别是A (1,1)，B (－1，－1)．∴|AB |＝2 2.又∵AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离． ∴h ＝2，S △ABC ＝12|AB |·h ＝2.(2)设AB 所在直线的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ＋m .消去y 得，4x 2＋6mx ＋3m 2－4＝0.因为A ，B 两点在椭圆上， 所以Δ＝－12m 2＋64>0，－433<m <433. 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－44，且y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m .∴|AB |＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝294m 2－3m 2＋4＝32－6m 22. 又∵BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离， 即|BC |＝|2－m |2.∴|AC |2＝|AB |2＋|BC |2＝－m 2－2m ＋10＝11－(m ＋1)2. ∴当m ＝－1时，AC 边最长．(显然－433<－1<433)所以AB 所在直线的方程为y ＝x －1.(理)(2013·湖南蓝山二中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆过坐标原点O ，试探讨点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．[解析] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a ＝ 3.∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当AB ⊥x 轴时，设AB 方程为：x ＝m ，此时A ，B 两点关于x 轴对称，又以AB 为直径的圆过原点，设A (m ，m )代入椭圆方程得：m ＝32. ②当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m .消去y 得，(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3k2m 2－11＋3k 2＋－6k 2m 21＋3k 2＋m 2＝m 2－3k 21＋3k2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA →·OB →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，故满足3m 2－11＋3k 2＋m 2－3k 21＋3k2＝0，∴4m 2＝3＋3k 2，∴m 2＝34(k 2＋1)，∴点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k2＝321＋k 21＋k2＝32. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值32. 22．(本小题满分14分)(文)(2013·山东泰安一中阶段检测)已知函数f (x )＝13x 3＋ax2＋bx ，a ，b ∈R .(1)曲线C ：y ＝f (x )经过点P (1,2)，且曲线C 在点P 处的切线平行于直线y ＝2x ＋1，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下试求函数g (x )＝m [f (x )－73x ](m ∈R ，m ≠0)的极小值．[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧f1＝13＋a ＋b ＝2，f ′1＝1＋2a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝73.(2)由(1)知，f (x )＝13x 3－23x 2＋73x ，∴g (x )＝m3(x 3－2x 2)，g ′(x )＝mx (x －43)，当m >0时，g (x )在(－∞，0)，(43，＋∞)上递增，在(0，43)上递减，所以g (x )的极小值为g (43)＝－3281m ；当m <0时，g (x )在(－∞，0)，(43，＋∞)上递减，在(0，43)上递增，所以g (x )的极小值为g (0)＝0. (理)(2013·四川达州市一诊)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax ，(a >0)． (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间和极值；(3)求证：4＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋(1＋1n )n ，(n ∈N *)．[解析] (1)f (0)＝ln1－0＝0，f ′(x )＝11＋x －a ，∴f ′(0)＝1－a ，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为：y －0＝(1－a )(x －0)，即y ＝(1－a )x .(2)∵f ′(x )＝11＋x－a ，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，a >0， 令f ′(x )≥0⇒x ≤1a －1，令f ′(x )≤0⇒x ≥1a－1，∵a >0，∴1a －1>－1，∴f (x )在(－1，1a －1]上单调递增，在[1a－1，＋∞)上单调递减，f (x )在1a －1处取得极大值，极大值为：f (1a －1)＝ln 1a＋a －1，f (x )无极小值．(3)当a ＝1时，由(2)知f (x )的极大值为f (0)＝0，∴x ∈(－1，＋∞)，f (x )≤f (0)，∴ln(1＋x )≤x ，当且仅当x ＝0时，取等号． ∴n ∈N *时，ln(1＋1n )<1n ，∴n ln(1＋1n)<1，∴(1＋1n)n<e <3，①又ln(1＋1n )＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ，∴ln2－ln1<1，ln3－ln2<12，…，ln(n ＋1)－ln n <1n ，累加得：ln(n ＋1)－ln1<1＋12＋13＋…＋1n ，∴ln(n ＋1)<1＋12＋13＋…＋1n，②由①＋②得：4＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋(1＋1n)n ，n ∈N *.。

高三一轮数学复习备考试卷归纳

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高三一轮数学复习备考试卷归纳高三年级数学复习试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分..1.若复数的实部与虚部相等，则实数()A(A)(B)(C)(D)2.已知，猜想的表达式为().A.B.C.D.3.等比数列中，，则“”是“”的B(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4.从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有B(A)种(B)种(C)种(D)种5.已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间()上有零点，则的值为A(A)或(B)或(C)或(D)或6.已知函数，其中.若对于任意的，都有，则的取值范围是D(A)(B)(C)(D)7.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则BA.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，8.如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A(A)线段(B)圆弧(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的公差不为，其前项和是.若，，则______.510.的展开式中的系数是.16011.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.12.在直角坐标系中，点与点关于原点对称.点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______.13.数列的通项公式，前项和为，则___________。

301814.记实数中的_大数为，_小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为(ⅰ)若△为等腰三角形，则______;1(ⅱ)设，则的取值范围是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题共14分)已知函数.(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)讨论的单调性;(III)若存在_大值，且，求的取值范围.(18)(共14分)解：(Ⅰ)当时，..所以.又，所以曲线在点处的切线方程是，即.(Ⅱ)函数的定义域为，.当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减.当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增.当时，由，得，由，得，此时在区间内单调递增，在区间内单调递减. (III)由(Ⅱ)知函数的定义域为，当或时，在区间上单调，此时函数无_大值.当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时函数有_大值._大值.因为，所以有，解之得.所以的取值范围是.16.(本小题满分13分)已知函数的一个零点是.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设，求的单调递增区间.(Ⅰ)解：依题意，得，………………1分即，………………3分解得.………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得.………………6分………………7分………………8分………………9分.………………10分由，得，.………………12分所以的单调递增区间为，.………………13分117.(本小题满分13分)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n-2(2)证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga[(1+1)(1+)…(1+)]而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)…(1+)(_)①当n=1时，已验证(_)式成立.②假设n=k(k≥1)时(_)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(_)式成立由①②知，(_)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当0a1时，snlogabn+1 p=18.(本小题满分13分)已知函数，，其中.(Ⅰ)求的极值;(Ⅱ)若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解：的定义域为，………………1分且.………………2分①当时，，故在上单调递减.从而没有极大值，也没有极小值.………………3分②当时，令，得.和的情况如下：↘↗故的单调减区间为;单调增区间为.从而的极小值为;没有极大值.………………5分(Ⅱ)解：的定义域为，且.………………6分③当时，显然，从而在上单调递增.由(Ⅰ)得，此时在上单调递增，符合题意.………………8分④当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意.……9分⑤当时，令，得.和的情况如下表：↘↗当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意.………………11分当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意.综上，的取值范围是.………………13分19.(本小题满分14分)如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点.记△的面积为，△(为原点)的面积为，求的取值范围.19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为.………………1分设，则.………………2分将代入，解得.………………3分所以椭圆的离心率为.………………4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，椭圆的方程可设为.………………5分设，.依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得.………………7分则，，.………………8分因为，所以，.………………9分因为△∽△，所以………………11分.………………13分所以的取值范围是.………………14分(20)(本小题共13分)设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.(Ⅰ)若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的_大值;(Ⅱ)若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的_大值.(20)(共13分)解：(Ⅰ)依据题意，当时，取得_大值为2.(Ⅱ)①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的_大值，其中.由，得.当且仅当，且时，达到_大值，于是.②当不是中的“元”时，计算的_大值，由于，所以.，当且仅当时，等号成立.即当时，取得_大值，此时.综上所述，的_大值为1.高三数学复习试题整理一、选择题。

高三数学第一轮复习试卷

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一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 下列各数中，无理数是（）A. √3B. -√2C. 3/4D. 1.4143. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线4. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (0, 1)C. (1, 2]D. (2, +∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数B. 若两个函数的图像关于x轴对称，则这两个函数互为反函数C. 若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数互为反函数D. 若两个函数的图像关于直线y = x对称，则这两个函数互为反函数7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a和b，使得f(a) + f(b) = 0，则a + b的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 09. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∩ (3, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)10. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ________.12. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则|z|^2 = ________.13. 函数f(x) = log2(3 - 2x)的定义域为 ________.14. 若等比数列{an}的公比q = -2，且a1 = 3，则第5项a5 = ________.15. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(-1) = ________.16. 若不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为 ________.17. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) + f(2) = ________.18. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________.19. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(1)的值为 ________.20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的第4项a4 = ________.三、解答题（每题20分，共60分）21. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，求a，b，c的值。

【走向高考】高考数学一轮总复习 综合素质能力测试阶段性测试题十二 新人教A版

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阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y ＝x －2的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．NC ．[1，＋∞)D ．M[答案] D[解析] 由题意知，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝M ，故选D.(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 12x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1,1)B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 由题意知M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{x |1<x <3}． 2．(2014·泸州市一诊)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x >1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[答案] B[解析] 当x ＝1时，(x －1)2＝0，∴B 为假命题．3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 11＝12，则S 11的值为( )A ．66B ．44C ．36D ．33[答案] B[解析] ∵a 2＋a 5＋a 11＝3a 1＋15d ＝12， ∴a 6＝a 1＋5d ＝4，∴S 11＝11a 6＝44.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( )A ．53B ．54C ．55D ．109[答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，∴a 7＝(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是( )A ．4＋4 3B ．12C ．4 3D ．8[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为3，∴表面积S ＝22＋4×(12×2×2)＝12，故选B.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．4 D ．2[答案] A[解析] 由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为3和2，∴其面积为S ＝2 3.5．(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13C.12D.25[答案] A[解析] 在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QMCNS 矩形ABCD ＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.(理)(2014·山西省太原五中月考)若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45[答案] A[解析] ∵只有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10， ∴展开式的通项T r ＋1＝C r 10·(x )10－r ·(2x 2)r ＝2r ·C r10·x 10－5r 2 ，令10－5r 2＝0得，r ＝2，∴常数项为T 3＝22·C 210＝180. 6．(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k 的值是()A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法1：k ＝1时，k 2－5k ＋4＝0，不满足条件；k ＝2时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝3时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝4时，k 2－5k ＋4＝0不满足条件；k ＝5时，k 2－5k ＋4＝0>0满足条件，此时输出k 的值为5.解法2：由k 2－5k ＋4>0得k <1或k >4，∵初值k ＝1，由“k ＝k ＋1”知步长为1，∴k ∈N ，∴满足k 2－5k ＋4>0的最小k 值为5，故当k ＝5时，满足程序条件，输出k 的值．7．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①f (x ＋1)是偶函数；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1≤x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，则f (2011)，f (2012)，f (2013)的大小关系为( )A ．f (2011)>f (2012)>f (2013)B ．f (2012)>f (2011)>f (2013)C ．f (2013)>f (2011)>f (2012)D ．f (2013)>f (2012)>f (2011) [答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (3)，f (2013)＝f (1)，∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2012)＝f (0)＝f (2)，∵1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，∴f (x )在[1,3]上单调递减，∴f (1)>f (2)>f (3)，∴f (2013)>f (2012)>f (2011)，故选D.8．(2014·海南省文昌市检测)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－3或1<a <32B ．1<a <32C ．a >1或a <－3D ．－3<a <1或a >32[答案] A[解析] 由条件知点A 在圆外，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，4a 2－4(a 2＋2a －3)>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >1，a <32，∴a <－3或1<a <32，故选A.9．(文)(2014·北京东城区联考)要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位C ．向右平移π8单位D ．向左平移π8单位[答案] C[解析] ∵y ＝sin(2x －π4)＝sin[2(x －π8)]，∴将y ＝sin2x 的图象右移π8个单位即可得到y ＝sin(2x －π4)的图象．(理)(2014·开滦二中期中)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] C[解析] ∵f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin(π2＋2x )＝sin2(x ＋π4)，∴要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度．10．(文)(2014·河北冀州中学期中)在平面直角坐标系中，A (3，1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则|OA →＋OB →|的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由条件知|OA →|＝2，|OB →|＝1，∵|OA →＋OB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →＝5＋2OA →·OB →，∴要使|OA →＋OB →|最大，应使OA →·OB →取最大值，又|OA →|，|OB →|为定值，∴当OA →与OB →同向时，|OA →＋OB →|取到最大值，此时OA →·OB →＝2，∴|OA →＋OB →|max ＝3，故选B.(理)(2014·华师一附中月考)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g (x )＝sin x (0<x <π)，h (x )＝ln x (x >0)，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[答案] B[解析] g ′(x )＝cos x ，h ′(x )＝1x ，φ′(x )＝3x 2，由sin x ＝cos x,0<x <π得x ＝π4，∴a ＝π4；由x 3＝3x 2，x ≠0得x ＝3，∴c ＝3. 由ln x ＝1x 及x >0得x >1,0<1x <1，∴1<x <e ，即1<b <e ， ∵π4<1<b <e<3，∴a <b <c . 11．(2014·山西曲沃中学期中)双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C ．1＋ 3 D ．2＋ 3[答案] B[解析] y 2＝4x 的焦点F 2(1,0)， ∵|AF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴由抛物线的定义知A 点的横坐标为1，即AF 2⊥x 轴， 从而|AF 1|＝22，∴2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝22－2， ∴a ＝2－1，∴e ＝c a ＝12－1＝2＋1，故选B.12．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )的部分图象可能是( )[答案] A[解析] 首先f (x )为奇函数，排除D ；其次由f ′(x )＝1－cos x ≥0知f (x )为增函数，排除C ；又在(0，π)上y ＝cos x 单调递减，从而f ′(x )＝1－cos x 单调递增，即在(0，π)上f (x )的切线斜率逐渐增大，曲线向下凸，排除B ，选A.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)函数y ＝3x cos3x9x －1的图象大致为( )[答案] D[解析] 对于f (x )＝3x cos3x9x －1，有f (－x )＝3－x cos (－3x )9－x －1＝3x cos3x 1－9x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；当x 略大于0时，y >0，排除B ；由3x cos3x 9x －1＝0得3x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝π6＋k π3，∴f (x )的零点等间隔出现，排除C ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α－π4)＝________.[答案] －7[解析] ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan α·tan π4＝－34－11＋(－34)×1＝－7.(理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC 中，b cos C ＋c cos Ba ＝________.[答案] 1[解析] 由正弦定理知，b cos C ＋c cos B a ＝sin B cos C ＋sin C cos B sin A ＝sin (B ＋C )sin A＝sin (π－A )sin A＝1.14．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则3x ＋2y的最大值是________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移l 0得直线l ：3x ＋2y ＝u ，当l 经过点A (1,1)时，u 取最大值，u max ＝3×1＋2×1＝5.(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －1≥03x －y －3≤0，则2x －y 的最大值为________．[答案] 2[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0得直线l ：2x －y ＝t ，当平移到l 经过点A (1,0)时，t 取最大值，t max ＝2.[点评] 当直线l ：2x －y ＝t 的纵截距最小时，t 取最大值，故t 最大时，直线l 应过A (1,0)点，而不是B (0,1)点．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，且满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2014＝________.[答案] 4009[解析] ∵{x n }是公差为2的等差数列， ∴x 8<x 9<x 10<x 11，∵奇函数f (x )是定义在R 上的增函数， ∴f (x 8)<f (x 9)<f (x 10)<f (x 11)， 又∵x 8＋x 11＝x 9＋x 10， f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0， ∴x 8<x 9<0且x 11>x 10>0，∴x 10＝－x 9，x 11＝－x 8，∴x 9＝－1，x 2014＝x 9＋2·(2014－9)＝4009.(理)(2014·吉林市摸底)边长是22的正△ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案]433[解析] 因为球O 的体积为43π，即4π3r 3＝43π，所以r ＝3，设正△ABC 的中心为D ，连接OD ，AD ，OA ，则OD ⊥平面ABC ，且OA ＝3，AD ＝263，所以OD ＝(3)2－(263)2＝33，所以球面上的点到平面ABC 的最大距离为33＋r ＝433. 16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题： ①函数f (x )＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点； ②若f ′(x 0)＝0，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值； ③若m ≥－1，则函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．其中正确的是________． [答案] ①③④[解析] ①∵f (1)·f (e)＝－1·(e －1)<0，又f (x )在(1，e)上的图象连续不断，∴f (x )在(1，e)上存在零点，故①正确；②f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题； ③要使函数y ＝log 12 (x 2－2x －m )的值域为R ，应使x 2－2x ＋m 取遍所有正数，∴Δ＝4＋4m ≥0，∴m ≥－1，故③正确；④a ＝1时，f (x )＝1－e x 1＋e x ，f (－x )＝1－e －x 1＋e －x ＝e x －1e x ＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；f (x )＝a －e x1＋a e x为奇函数时，f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －e －x 1＋a e －x ＝－a －e x 1＋a e x ，即a e x －1e x ＋a ＝e x －a 1＋a ex ，∴e 2x －a 2＝a 2e 2x－1，∴(a 2－1)(e 2x ＋1)＝0，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1，∴④正确，故填①③④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且m ＝(sin A ＋sin B ＋sin C ，sin C )，n ＝(sin B ，sin B ＋sin C －sin A )，若m ∥n .(1)求A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值及此时B 的值． [解析] (1)因为m ∥n ，所以(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝sin B sin C ， 根据正弦定理得，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)， 所以A ＝23π.(2)由正弦定理及a ＝3得，S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝3(cos B cos C ＋sin B sin C ) ＝3cos(B －C )，所以当B ＝C 时，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取最大值 3.(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )， ∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)，即f (x )＝cos(2x －φ)， ∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos[2(12x )－π3]，即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈[0，π2]时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{a n }中，a 3＝3，前7项和S 7＝28.(1)求数列{a n }的公差d ；(2)等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 4，求数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *)． [解析] (1)S 7＝(a 1＋a 7)×72＝7a 4＝28，∴a 4＝4，又∵a 3＝3，∴d ＝a 4－a 3＝1.(2)由(1)知数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ， ∴b 1＝2，b 2＝4，∴数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn ，(c 是不为0的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －cn ·c n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 则(2＋c )2＝2(2＋3c )，∴c ＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2n ， n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n －1)＝n 2－n ＋2， n ＝1时，a 1＝2也适合上式，因此a n ＝n 2－n ＋2.(2)b n ＝a n －2n ·2n ＝n －12n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝02＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ， 12T n ＝022＋123＋224＋…＋n －22n ＋n －12n ＋1，用错位相减法可求得T n ＝1－n ＋12n . 19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3.(1)求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； (2)求三棱锥A 1－AB 1C 的体积．[解析] (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥AC ， 又由于AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝3，∴AB ＝2， 则由AC 2＋BC 2＝AB 2可知，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1CB ， ∴平面AB 1C ⊥平面B 1CB .(2)∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴B 到平面ACC 1A 1的距离d ＝1，∵BB 1∥平面ACC 1A 1，∴B 1到平面A 1AC 的距离为1， ∴三棱锥A 1－AB 1C 的体积＝13×(12×1×1)×1＝16. (理)(2014·海南省文昌市检测)如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A ＝60°，AF ＝2FB ，AB ＝6，点E 在CD 上，EF ∥BC ，BD ⊥AD ，BD 与EF 相交于点N .现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．(1)求证：BD ⊥平面BCEF ；(2)求折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值； (3)求三棱锥N －ABF 的体积．[解析] (1)由条件知EF ⊥DN ，EF ⊥BN ， ∴EF ⊥平面BDN ， ∴平面BDN ⊥平面BCEF ， ∵BN ＝平面BDN ∩平面BCEF ，∴D 在平面BCEF 上的射影在直线BN 上， 又D 在平面BCEF 上的射影在直线BC 上， ∴D 在平面BCEF 上的射影即为点B ， 故BD ⊥平面BCEF .(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，∵在原平面图形中AB ＝6，∠DAB ＝60°，∴BD ＝33，∵EF ∥AD ，AF ＝2FB ，∴DN ＝2BN ， ∴BN ＝3，DN ＝23，∴折后立体图形中BD ＝3，BC ＝3， ∴N (0，3，0)，D (0,0,3)，C (3,0,0)，NF →＝13CB →＝(－1,0,0)，∴BF →＝BN →＋NF →＝(－1，3，0)，DN →＝(0，3，－3)， ∴cos 〈BF →，DN →〉＝BF →·DN →|BF →|·|DN →|＝34，∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34.法二：在线段BC 上取点M ，使BM ＝NF ，则MN ∥BF ， ∴∠DNM 或其补角为DN 与BF 所成的角．又MN ＝BF ＝2，DM ＝BD 2＋BM 2＝10，DN ＝2 3. ∴cos ∠DNM ＝DN 2＋MN 2－DM 22DN ·MN ＝34，∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34. (3)∵AD ∥EF ，∴A 到平面BNF 的距离等于D 到平面BNF 的距离， ∴V N －ABF ＝V A －BNF ＝V D －BNF ＝13S △BNF ·BD ＝32，即所求三棱锥的体积为32. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ， ∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ， ∴a ＝－32，b ＝－3，∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3，∴f (1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )，∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 所以g 极小(x )＝g (0)＝－3，g 极大(x )＝g (3)＝15e －3.(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎨⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元．21．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：得到频率分布表如下：为及格)；(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝220＝0.1，b ＝3从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人， 所以估计全校数学成绩的及格率为1320＝65%.(2)设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，则选取学生的所有可能结果为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P (A )＝410＝25.(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：(1)求表中a ，b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝220＝0.1，b ＝3；分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为1320×100%＝65%.(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P (X ＝1)＝C 14C 33C 47＝435；P (X ＝2)＝C 24C 23C 47＝1835；P (X ＝3)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝4)＝C 44C 03C 47＝135. 随机变量X 的分布列为：E (X )＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.22．(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程； (2)若OA →⊥OB →，求k 的值．[解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得，(k 2＋4)x 2＋2kx－3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，∴k ＝±12.(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32.(1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B (0，b )，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，求k 2的值．[解析] (1)由已知2c ＝23，c a ＝32.解得a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得过B 点的直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，∴x D ＝－8k1＋4k 2，y D ＝1－4k 21＋4k 2，依题意k ≠0，k ≠±12.∵|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，∴|BE |2＝|BD ||DE |， ∴b －y D ＝|BE ||DE |＝|BD ||BE |＝b －y Db ，∵b ＝1，∴y 2D －y D －1＝0，解得y D ＝1－52，∴1－4k 21＋4k2＝1－52，解得k 2＝2＋54， ∴当|BD |，|BE |，|DE |成等比数列时，k 2＝2＋54.。

高三数学一轮检测试题含解析 试题

高三数学一轮检测试题含解析 试题

2021届高三数学一轮检测试题〔含解析〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号等填写上在答题卡和试卷规定的正确位置上.2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，那么阴影局部表示的集合是〔 〕A. [1,1]-B. (3,1]-C. (,3)(1,)-∞--+∞D.(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集UN ，再求出集合M 与UN 的交集，即为所求阴影局部表示的集合.【详解】由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1UN x x =<-或者1}x >，又{|31}M x x =-<< 所以{31}UM N x x ⋂=-<<-.应选：D.【点睛】此题考察了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于根底题.21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，那么a bi +=〔 〕A. 12i -+B. 1C. 5【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,那么12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D考点：1、复数的运算；2、复数的模.3.31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，那么实数m =〔 〕A. 2B. -2C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x --展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，那么2m =. 应选：A.【点睛】此题考察了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进展分类讨论，属于根底题.4.函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，那么“()f x 在(3,)+∞上是单调函数〞是“01a <<〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)， 由20x a -->得2x a <-或者2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或者2}x a >+，〔0,a >且1a ≠〕 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<.应选：C.【点睛】此题考察了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于根底题.5.定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，那么()()33log 6log 54f f -+=〔 〕A.32B.33log 22- C. 12-D.32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【详解】定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，当[2,2)x ∈-时，1()()43xf x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 应选：A.【点睛】此题考察了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 6.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，假设AB mAM =，AC nAN =，那么m n +=〔 〕A. 1B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法那么得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点一共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m nAO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点一共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.应选：C.【点睛】此题考察了向量的线性运算，由三点一共线求参数的问题，熟记向量的一共线定理是关键.属于根底题.7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当程度放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．假设将该正方体绕下底面〔底面与程度面平行〕的某条棱任意旋转，那么容器里水面的最大高度为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面〔底面与程度面平行〕的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，应选B.【点睛】此题考察了正方体的几何特征，考察了空间想象才能，属于根底题． 8.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么MN AB 的最大值是〔 〕A.34B.33C.323【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，那么1AF AA =，1BF BB =，又M是AB中点，所以111()2MN AA BB =+，那么1112MNAA BB AB AB+=⋅2AF BF AB+=，在ABF∆中222AB AF BF =+22cos 3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤MN AB ≤B ．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的间隔 ，焦点弦长，抛物线上的点到准线〔或者与准线平行的直线〕的间隔 时，常常考虑用抛物线的定义进展问题的转化．象此题弦AB 的中点M 到准线的间隔 首先等于,A B 两点到准线间隔 之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的间隔 ，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分. 9.某调查机构对全国互联网行业进展调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，那么以下结论正确的选项是〔 〕 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A ：因为互联网行业从业人员中，“90后〞占比为56％， 其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为％和17％， 那么“90后〞从事技术和运营岗位的人数占总人数的0000000056(39.617)31.7⨯+≈.“80前〞和“80后〞中必然也有从事技术和运营岗位的人，那么总的占比一定超过三成， 应选项A 正确；选项B ：因为互联网行业从业人员中，“90后〞占比为56％， 其中从事技术岗位的人数占的比为％，那么“90后〞从事技术 岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈.“80前〞和“80后〞中必然也有从事技术岗位的人，那么总的占比一定超过20％，应选项B 正确； 选项C ：“90后〞从事运营岗位的人数占总人数的比为00000056179.5⨯≈， 大于“80前〞的总人数所占比3％，应选项C 正确；选项D ：“90后〞从事技术岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈， “80后〞的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比， 故不能判断，所以选项D 错误. 应选：ABC.【点睛】此题考察了扇形统计图和条状图的应用，考察数据处理才能和实际应用才能，属于中档题.10.以下说法正确的选项是〔 〕A. “5c =〞是“点(2,1)到直线340x y c ++=的间隔 为3”的充要条件B. 直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃ C. 直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切D. y = 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点到直线的间隔 公式判断选项A 错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B 正确；根据两直线平行的断定及直线与圆相切的断定，可判断选项C 正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D 错误.【详解】选项A ：由点(2,1)到直线340x y c ++=的间隔 为3，可得：6435c++=，解得5c =或者25-， “5c =〞是“点(2,1)到直线340x y c ++=的间隔 为3”的充分不必要条件， 应选项A 错误；选项B ：直线sin 10x y α-+=的斜率sin [1,1]k α=∈-， 设直线的倾斜角为θ，那么0tan 1θ≤<或者1tan 0θ-≤<，3[0,][,)44θπππ∴∈，应选项B 正确；选项C ：直线25y x =-+可化为250x y +-=， 其与直线210x y ++=平行，圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线250x y +-=的间隔 为：d ==，那么直线250x y +-=与圆225x y +=相切，应选项C 正确；选项D ：离心率为c a =ba=假设焦点在x 轴，那么双曲线的渐近线方程为y =，假设焦点在y 轴，那么双曲线的渐近线方程为2y x =±， 应选项D 错误. 应选：BC.【点睛】此题考察了点到直线的间隔 ，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题.11.,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，那么以下命题正确的选项是〔 〕A. 假设,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥B. 假设,//m n αα⊥，那么m n ⊥C. 假设//,m αβα⊂，那么//m βD. 假设//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系，逐一进展判断.【详解】选项A ：假设,m n m α⊥⊥，那么n ⊂α或者//n α， 又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，应选项A 错误；选项B ：假设,//m n αα⊥，那么由线面垂直的性质定理和线面平行的 性质定理可得m n ⊥，应选项B 正确；选项C ：假设//,m αβα⊂，那么有面面平行的性质定理可知//m β， 应选项C 正确；选项D ：假设//,//m n αβ，那么由线面角的定义和等角定理知，m 与α 所成的角和n 与β所成的角相等，应选项D 正确. 应选：BCD.【点睛】此题考察了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等根底知识，需要对每个选项逐一进展判断，属于中档题. 12.函数||()sin x f x e x =，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. ()f x 是周期为2π的奇函数B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C. ()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点D. ()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义断定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点断定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，应选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，应选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin xf x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，应选项C 错误； 当0x =时，()00f x ax =≥=，那么a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x+-'∴=， 令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法那么知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.应选：BD.【点睛】此题考察了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考察综合分析求解与论证才能，属较难题. 三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5665- 【解析】 ∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,∴()()24cos =1sin 5αβαβ+-+=． 又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴25cos()=1sin ()4413ππββ----=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665-14.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如下图.今想用长方形瓷砖铺满地面，每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或者，那么用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.【答案】11 【解析】 【分析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进展分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进展分类，在其中会有一样元素的排列问题，需用到“缩倍法〞. 采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】〔1〕先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的局部，按如下分类：5个：5!15!=，3个，2个：4!4 3!=，1个，4个：3!3 2!=，〔2〕左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的局部：3个：3!1 3!=，1个，2个：2!2=，综上，一一共有1431211++++=〔种〕.故答案为：11.【点睛】此题考察了分类计数原理，排列问题，其中涉及到一样元素的排列，用到了“缩倍法〞的思想.属于中档题.15.?易经?是中国传统文化中的精华，如图是易经八卦〔含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦〕，每一卦由三根线组成〔""表示一根阳线，""表示一根阴线〕，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】3 14【解析】【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或者全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。

高三数学上册综合能力测试题10

高三数学上册综合能力测试题10

高三数学综合能力测试（10）一． 填空题 1.集合},30{R x x x A ∈≤<=，},21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A __________．2. 设i 是虚数单位，复数i z +=11，i t z 22+=R t ∈(），若21z z ⋅是实数，则=t _________．3.已知函数]1,0[,4)(2∈++-=x a x x x f .若)(x f 有最小值2-，则)(x f 的最大值为_________．4. 将函数)3sin(π-=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是_________．5. 如果向量→→→→→→+=--=j m i BC j i AB ,2其中→→j i ,分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且A 、B 、C 三点共线，则m 的值等于_________．6. 若双曲线)0(18222≠=-m my x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的 离心率为_________．7.已知：不等式0log 2<-x x m .在210<<x 上恒成立，则实数m 的取值范围是_________．8. 甲、乙两人进行5场比赛，每场甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，如果有一人胜了三场，比赛即告结束，那么比赛以乙获胜3场负2场而结束的概率是_________．9．满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≤-++-320)3)(1(y y x y x 的点（x,y ）组成的图形面积为______10.如图，在直三棱111C B A ABC -中，AB=BC=2,BB 1=2, 90=∠ABC ,E 、F 分别为AA 1， B 1C 1 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为_______11. 函数x x x f ln )(-=的单调减区间为___________．12. 在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC的面积为_________．13. 数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556，若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ．14.已知点Q b a p 与点),(（1，0）在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法 （1）0132>+-b a （2）0≠a 时，ab 有最小值，无最大值（3）M b a R M >+∈∃+22,使恒成立（4）且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b 的取值范围为（-),32()31,∞+⋃-∞其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上） 二．解答题15．已知函数.cos 2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（1）求)(x f 的最大值及最小正周期； （2）求使)(x f ≥2的x 的取值范围.C16.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF//平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFCB V -1的体积．17. 如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（1）设AD ＝x （x≥0），ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 应在哪里？请予证明CDBFED 1C 1B 1AA 118. 如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST 的取值范围.19. 对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f定义：设)(''x f 是函数)(x f y =的导数)('x f y =的导数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”； 已知函数456)(23++-=x x x x f ，请回答下列问题；（1）求函数)(x f 的“拐点”A 的坐标（2） 检验函数)(x f 的图像是否关于“拐点”A 对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；(3)写出一个三次函数),(x G 使得它的“拐点”是)3,1(（不要过程）20. 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.参考答案一． 填空题1. }31{≤≤-x x2. 23. 14. )621sin(π-=x y 5. 2 6. 2 7. 1161<≤m 8. 818 9. 110. 223 11. （0,1）12.13. 57 14. （3） （4）二．解答题15. 解（I ）x x x x f 2cos 2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 26sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx∴当sin(2)=16x π+时,max ()213f x =+= ππωπ===22||2T （II ）()2f x ∴≥, 2sin(2)126x π∴++≥1sin(2)62x π∴+≥5222666k x k πππππ∴+++≤≤ ()3k x k k Z πππ∴+∈≤≤()2f x ∴≥的x 的取值范围是{|,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤16. 证明：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面（2）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C⇒⊥（3）11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 且C F B F ==112EF BD ==1B F ==13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF⨯⋅⋅⋅=11132⨯=17. 解：（1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x·AE·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x·AE,①CDBFED 1C 1B 1AA 1又S △ADE ＝21 S △ABC ＝23a 2＝21x·AE·sin60°⇒x·AE ＝2.② ②代入①得y 2＝x 2＋22()x－2（y ＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）（2）如果DE 是水管y=当且仅当x 2＝24x ，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2.如果DE 是参观线路，记f （x ）＝x 2＋24x，可知 函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，故f （x ） max ＝f （1）＝f （2）＝5. ∴y max=即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.18. 解：解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0.∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－1x ， 将上式代入②并整理，得 y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b). 分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=21x 2由 y=kx+b 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ y 1+y 2=2(k 2+b)，则 y 1y 2=b 2 . 方法一： ∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2.∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2b b k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0， 于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2.∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 19. .解：（1）依题意，得：5123)(2'+-=x x x f ，0126)(''=-=∴x x f ，得2=x所以拐点坐标是)2,2(-（2方法一：由（1）知“拐点”坐标是)2,2(-,而)2(24)2()2(f x f x f =-=-++，所以223)(23++-=x x x x f 关于点)2,2(-对称。

高考数学一轮复习综合测试卷(含解析)

高考数学一轮复习综合测试卷(含解析)

选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203C ．10D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1. 7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.955 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝－852＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255.8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－22＝22，选B.11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD . 从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝θ＋π4－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB，∴FB 2＝FA ·FD . (3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t －3≤t ≤3解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a )(2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立， ∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ， ∴|x －1|≥a (x －2)．依题意，y ＝|x －1|的图像恒在y ＝a (x －2)图像的上方，而y ＝a (x －2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a ≤1.。

北京中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学试题含解析

北京中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学试题含解析

北京2023～2024学年度第一学期10月阶段性测试高三数学试卷（答案在最后）班级__________姓名__________学号__________考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回．一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.已知复数i1i z =-，则z =（）．A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先化简i 1i z =-得到1i22z =-+，再根据复数模的定义，即可求解.【详解】()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222z +-====-+--+，2z ==.故选：B2.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1}A =，(){3}U C A B = ，则集合B 可能是（）A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】∵{1,2,3,4}U =，(){3}U C A B = ∴{1,2,4}A B ⋃=又∵{1}A =∴{2,4}B =故选：C.3.下列函数()f x 中，其图像上任意一点(),P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是（）．A.()3f x x= B.()f x =C.()e 1x f x =- D.()()ln 1f x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分别画出函数图像，结合计算，即可得到结果.【详解】当2x =时，38x =，2x =，3x x >，故A 错误；当14x =时，12=，14x =x >，故B 错误；当1x =时，e 1e 1x -=-，1x =，e 1xx ->，故C 错误；当10x -<<时，()0f x <，0x >，满足y x <，当0x ≥时，设()()ln 1g x x x =+-，则()11011x g x x x -=-=+'<+，则()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()00g x g ≤=，满足y x ≤，故D 正确；故选：D.4.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A.53 B.23C.13D.59【答案】A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-= .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.已知0.53a =，3log 2b =，2tan 3c π=，则（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.a c b>>【答案】A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a =>=，3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b <<，又2tan3c π==，所以a b c >>.故选：A6.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx3π56πsin()A x ωϕ+055-0根据这些数据，要得到函数sin y A x ω=的图象，需要将函数()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A 【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于ωϕ，的方程组，解方程组得出函数()f x 的解析式，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A =，325362ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26πωϕ==-，，所以()5sin(26f x x π=-，y =5sin 2x ，将()5sin(2)6f x x π=-=5sin[2()]12x π-图象向左平移12π单位后得到y =5sin 2x 的图象.7.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.()11f x --B.()11f x -+ C.()11f x +- D.()11f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.8.已知()sin f x x x =-，命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A.P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B.P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C.P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D.P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，【答案】D 【解析】【分析】求导分析()sin f x x x =-的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可【详解】∵()sin f x x x =-，∴()cos 10f x x '=-≤∴()f x 是定义域上的减函数，∴()()00f x f <=∴命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，是真命题；∴该命题的否定是()00002P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，，.故选：D.9.已知,R αβ∈，则“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．A.②④ B.①③C.①②D.③④【答案】A 【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确.甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故④正确.故选：A二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为______．【答案】10-【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()5152155C 11C r r r r r rr r T x x x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令521r -=-，可得3r =，故1x的系数为()3351C 10-=-.故答案为：10-12.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】 角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.13.设函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足()(1)1f x f x ++>的x 的取值范围是___________.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】分1x ≤-、10-<≤x 和0x >三种情况解不等式即可求解.【详解】当10x +≤即1x ≤-时，()(1)1f x f x ++>即1(2)1x x +++>，可得1x >-，此时无解，当010x x ≤⎧⎨+>⎩即10-<≤x 时，()(1)1f x f x ++>即1121x x +++>，所以120x x ++>，令()12x g x x +=+，则()12x g x x +=+在(]1,0-上单调递增，()()10g x g >-=，所以120x x ++>恒成立，所以10-<≤x 符合题意，当010x x >⎧⎨+>⎩即0x >时，()(1)1f x f x ++>即1221x x ++>恒成立，所以0x >符合题意，综上所述：满足不等式的x 的取值范围是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若方程e 0x ax a -+=有根，则实数a 的取值范围是______．【答案】2e a ≥或a<0，【解析】【分析】构造函数()e 1xf x x =-，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0.【详解】由e 0x ax a -+=得()e 1xa x =-，当1x =，方程显然无根，故1x ≠时，e 1xa x =-，令()e1xf x x =-，则()()()2e 12x xf x x '-=-，令()()()2e 201x xf x x -'=>-，则2x >，故()f x 在()2,+∞单调递增，在()1,2以及(),1-∞单调递减，故2x =时，()f x 取极小值()22e f =，而当1x <时，()e 01xf x x =<-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0，故答案为：2e a ≥或a<0，15.已知函数()f x 由下表给出：x1234()f x 0a 1a 2a 3a 4a 其中(0,1,2,3,4)k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中k 所出现的次数，则4a =__________；0123a a a a +++=__________．【答案】①.0②.5【解析】【分析】假设k ＝4出现次数大于等于1次，即4a 的值大于等于1，推出矛盾，由此得4a ＜1，4a ＝0，同理可得30a =，由此可得02a ≥，从而讨论可得02a =，于是可以得到1a ，2a ∈{1，2}，分类讨论即可得出答案.【详解】(0,1,2,3,4)k a k =等于在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中k 所出现的次数，则{}0,1,2,3,4k a ∈，若k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现次数超过0次，不妨设出现1次，则4a ＝1.设0a ＝4，则k ＝0在“1a ，2a ，3a ”这3个数中出现4次，矛盾，同理k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现过2、3、4次也不可能，即k ＝4不能出现，∴4a ＝0.同理，若k ＝3出现次数超过0次，不妨设k ＝3出现1次，即31a =，设0a ＝3，则k ＝0在“1a ，2a ”这2个数中出现3次，矛盾，故k ＝3不可能出现，∴30a =.∵30a =，4a ＝0，∴k ＝0在“0a ，1a ，2a ，30a =，40a =”中至少出现了2次，∴02a ≥.若0a ＝3或4，即k ＝3或k ＝4出现了1次，则3a 或4a 不为0，矛盾，∴02a =.∴02a =，30a =，40a =，∴1a ，2a ∈{1，2}，∴“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”仅有下列四种可能：①02a =，1a ＝1，2a ＝1，30a =，40a =，②02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =，③02a =，1a ＝2，2a ＝1，30a =，40a =，④02a =，1a ＝2，2a ＝2，30a =，40a =，其中：①中，k ＝1出现2次与1a ＝1矛盾，不可能；②满足题意；③k ＝2出现2次与2a ＝1矛盾；④中，k ＝2出现3次与2a ＝2矛盾；故仅有“02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =”满足题意，故0123a a a a +++=5.故答案为：0；5【点睛】本题关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，4AB =，点E 在线段AB 上，且34AE AB =.（1）求证：CE ⊥平面PBD ；（2）求二面角P CE A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PD CE ⊥，利用相似三角形的判定与性质可得BD CE ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得,,AD CD PD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系D xyz -，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面PCE 和平面ACE 的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD CE ⊥.因为4AB =，34AE AB =，所以3AE =，1BE =.所以2AB BCAD BE==.所以Rt Rt CBE BAD △∽△，所以BD CE ⊥.又因为PD CE ⊥，PD BD D ⋂=，所以CE ⊥平面PBD .【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥.又因为ABCD 是矩形，AD CD ⊥，所以,,AD CD PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,4,0C ，()002P ,,，()2,3,0E ，所以()0,4,2PC =-，()2,1,0CE =-.设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CE n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,420.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则2y =，4z =.于是()1,2,4n =.因为PD ⊥平面ABCD ，取平面ACE 的法向量为()0,0,1m =.则cos ,21m n m n m n ⋅〈〉==.由图可知二面角P CE A --为锐角，所以二面角P CE A --的余弦值是21.17.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题．（1）求ϕ的值；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，求m 的取值范围．条件①：π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；条件②：π12-是()f x 的一个零点；条件③：π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-，（2）由和差角公式以及辅助角公式化简()πsin(2)6f x x =+，由整体法即可代入求解.【小问1详解】选条件①：ππππ3sin cos 1si 63332f n ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭无意义，所以选条件①时()f x 不存在，故不能选①，选条件②．由题设πππ(sin()cos(01266f ϕ-=-++-=，所以πsin()6ϕ-=．因为ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，所以ππ63ϕ-=-．所以π6ϕ=-．选条件③，由题设2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++．整理得πsin()62ϕ-=-．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）π()sin(2)cos 26f x x x =-+1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为ππ63x -≤≤，所以ππ5π2666≤≤x -+．于是，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值1；当且仅当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值12-．又π5π266x +=，即π3x =时，π5π1(sin362f ==．且当πππ2666x ≤≤-+时，()f x 单调递增，所以曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，则1122m ≤<-或1m =m 的取值范围是{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭．18.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“()20P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]10,12(单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k = .当()20P k 最大时，写出k 的值.（只需写出结论）【答案】（1）0.10a =（2）分布列见解析（3）4k =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出a 的值．（2）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（3）根据对立重复试验的概率公式得到方程组，解得k 的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：由频率分布直方图得：2(0.020.030.050.050.150.050.040.01)1a ++++++++=，解得0.10a =．【小问2详解】解：由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为：5000.1050⨯=人，5000.0840⨯=人，5000.0210⨯=人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取：40104504010⨯=++人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，36310201(0)1206C P X C ====，1246310601(1)1202C C P X C ====，2146310363(2)12010C C P X C ====，3431041(3)12030C P X C ====，X ∴的分布列为：X0123P1612310130【小问3详解】解：由（1）可知(]10,12的概率0.120.2P =⨯=，所以()()20202020200.210.20.20.8kkk kk kP k C C --=-=依题意()()()()2020202011P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201121202020111920200.20.80.20.80.20.80.20.8k k k k k k kk k k k k C C C C -----++-⎧≥⎨≥⎩，即()2010.20.820110.80.21k k k k -+⎧⨯≥⎪⎪⎨-++⎪≥⨯⎪+⎩，解得162155k ≤≤，因为k 为非负整数，所以4k =即当20()P k 最大时，4k =．19.设函数()e a xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）1,1a b ==；（2）函数()f x 在R 上单调递增.【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得()()11e 1xf x x -'=-+，令1x t -=，得到函数()f x '的最小值，即可得到()min 110ef x =-+>'.【小问1详解】因为()ea xf x x bx -=+，则()()1e a x f x x b -'=-+，由题意可得，()()1211f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即1e 21a b b -⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可知，()1exf x x x -=+，()()11e 1x f x x -'=-+，令1x t -=，令()e 1t p t t =⋅+，所以()()1e tp t t ='+，当(),1t ∞∈--时，()0p t '<，则函数()p x 单调递减；当()1,t ∞∈-+时，()0p t '>，则函数()p x 单调递增；当1t =-时，函数()e 1tp t t =⋅+有极小值，即最小值，最小值为11e-+，则()min 110ef x =-+>'，则函数()f x 在R 上单调递增.20.已知函数()3211132a f x x x ax +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]0,1的最大值为1，求实数a 的取值范围；（3）若对任意1x ，()20,x ∈+∞，当12x x <时，不等式()()()()121222f x f x a x a x -<---恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值(0)1f =，极小值5(1)6f =；（2）(],0-∞（3）1a ≤-【解析】【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求；（2）求导，得到()()()1f x x x a '=--，讨论a 与1的关系，利用导数，得出()f x 的最大值，进而求出a 的范围.（3）构造函数()()()2g x f x a x =+-，由()()12g x g x <可得到()g x 的单调性，进而可求得a 的范围.【小问1详解】当0a =，()3211132f x x x =-+，()2f x x x '=-，令()0f x '=，则0x =或1x =，则当(,0],[1,)x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以在0x =时，取得极大值(0)1f =；在1x =时，取得极小值5(1)6f =；【小问2详解】()()()1f x x x a '=--，令()0f x '=，得1x =或x a =.当0a ≤时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[]0,1上单调递减，()max ()01;f x f ==成立当01a <<时，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>；当(),1x a ∈时，()0f x '<.故()f x 在()0,a 上单调递增，在(),1a 上单调递减；()()max ()01f x f a f =>=，不合题意；当1a ≥时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[]0,1上单调递增，()()max ()101f x f f =>=，不合题意.综上，实数a 的取值范围是(],0-∞.【小问3详解】设()()()2g x f x a x =+-，根据题意有，120x x <<，12()()<g x g x ，故()g x 单调递增，则()32112132a g x x x x +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()g x 在()0,∞+上单调递增，则有0x >时，()0g x '≥恒成立.而()()212g x x a x =-++'，即()2120x a x -++≥恒成立，参变分离可得，则有21a x x+≤+，而2x x +≥x =时等号成立），所以min 2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即有1a ≤.21.已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,,1,N i i j T S i j S i j a a a i j j +==+++≤<∈ ．（1）对于数列{}n a ：1，2，3，4，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在,*∈i j N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，…，m b ，…．若2024m b ≤，求m 的最大值．【答案】（1）{3T =，5，6，7，9，10}；（2）不存在，理由见解析（3）1003【解析】【分析】1）根据题意给出的集合T 新定义，即可得出答案；（2）使用假设法，假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，进行计算检验，从而得出结论；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意得123a a +=，1231236a a a ++=++=，1234123410a a a a +++=+++=，23235a a +=+=，2342349a a a ++=++=，34347a a +=+=，{3T ∴=，5，6，7，9，10}；【小问2详解】假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，i j ∴+与1j i -+奇偶性不同，又3i j +≥ ，12j i -+≥，1024∴有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =；【小问3详解】由题意得(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故*{2|N T n n =∈，2k n ≠，*N }k ∈，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，∴2024910032m =-=，故m 的最大值为1003．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

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阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y ＝x －2的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．NC ．[1，＋∞)D ．M[答案] D[解析] 由题意知，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝M ，故选D.(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 12x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1,1)B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 由题意知M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{x |1<x <3}． 2．(2014·泸州市一诊)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x >1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[答案] B[解析] 当x ＝1时，(x －1)2＝0，∴B 为假命题．3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 11＝12，则S 11的值为( )A ．66B ．44C ．36D ．33[答案] B[解析] ∵a 2＋a 5＋a 11＝3a 1＋15d ＝12， ∴a 6＝a 1＋5d ＝4，∴S 11＝11a 6＝44.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( )A ．53B ．54C ．55D ．109 [答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，∴a 7＝(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是( )A ．4＋4 3B ．12C ．4 3D ．8[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为3，∴表面积S ＝22＋4×(12×2×2)＝12，故选B.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．4 D ．2[答案] A[解析] 由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为3和2，∴其面积为S ＝2 3.5．(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13 C.12 D.25 [答案] A[解析] 在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QMCN S 矩形ABCD＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.(理)(2014·山西省太原五中月考)若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45[答案] A[解析] ∵只有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10， ∴展开式的通项T r ＋1＝C r 10·(x )10－r ·(2x 2)r ＝2r ·C r 10·x 10－5r 2，令10－5r 2＝0得，r ＝2，∴常数项为T 3＝22·C 210＝180. 6．(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k 的值是( )A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]解法1：k＝1时，k2－5k＋4＝0，不满足条件；k＝2时，k2－5k＋4＝－2不满足条件；k＝3时，k2－5k＋4＝－2不满足条件；k＝4时，k2－5k＋4＝0不满足条件；k＝5时，k2－5k＋4＝0>0满足条件，此时输出k的值为5.解法2：由k2－5k＋4>0得k<1或k>4，∵初值k＝1，由“k＝k＋1”知步长为1，∴k∈N，∴满足k2－5k＋4>0的最小k值为5，故当k＝5时，满足程序条件，输出k的值．7．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①f(x＋1)是偶函数；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1≤x2≤3时，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，则f(2011)，f(2012)，f(2013)的大小关系为()A．f(2011)>f(2012)>f(2013)B．f(2012)>f(2011)>f(2013)C．f(2013)>f(2011)>f(2012)D．f(2013)>f(2012)>f(2011)[答案] D[解析]∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(3)，f(2013)＝f(1)，∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2012)＝f(0)＝f(2)，∵1≤x1<x2≤3时，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，∴f(x)在[1,3]上单调递减，∴f(1)>f(2)>f(3)，∴f(2013)>f(2012)>f(2011)，故选D.8．(2014·海南省文昌市检测)过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－3或1<a <32B ．1<a <32C ．a >1或a <－3D ．－3<a <1或a >32[答案] A[解析] 由条件知点A 在圆外，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，4a 2－4(a 2＋2a －3)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >1，a <32，∴a <－3或1<a <32，故选A.9．(文)(2014·北京东城区联考)要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位C ．向右平移π8单位D ．向左平移π8单位[答案] C[解析] ∵y ＝sin(2x －π4)＝sin[2(x －π8)]，∴将y ＝sin2x 的图象右移π8个单位即可得到y ＝sin(2x －π4)的图象．(理)(2014·开滦二中期中)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] C[解析] ∵f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin(π2＋2x )＝sin2(x ＋π4)，∴要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度．10．(文)(2014·河北冀州中学期中)在平面直角坐标系中，A (3，1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则|OA →＋OB →|的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由条件知|OA →|＝2，|OB →|＝1，∵|OA →＋OB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →＝5＋2OA →·OB →，∴要使|OA →＋OB →|最大，应使OA →·OB →取最大值，又|OA →|，|OB →|为定值，∴当OA →与OB →同向时，|OA →＋OB →|取到最大值，此时OA →·OB →＝2，∴|OA →＋OB →|max ＝3，故选B.(理)(2014·华师一附中月考)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g (x )＝sin x (0<x <π)，h (x )＝ln x (x >0)，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[答案] B[解析] g ′(x )＝cos x ，h ′(x )＝1x ，φ′(x )＝3x 2，由sin x ＝cos x,0<x <π得x ＝π4，∴a ＝π4；由x 3＝3x 2，x ≠0得x ＝3，∴c ＝3. 由ln x ＝1x 及x >0得x >1,0<1x <1，∴1<x <e ，即1<b <e ， ∵π4<1<b <e<3，∴a <b <c . 11．(2014·山西曲沃中学期中)双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C ．1＋ 3 D ．2＋ 3 [答案] B[解析] y 2＝4x 的焦点F 2(1,0)，∵|AF2|＝|F1F2|＝2，∴由抛物线的定义知A点的横坐标为1，即AF2⊥x轴，从而|AF1|＝22，∴2a＝|AF1|－|AF2|＝22－2，∴a＝2－1，∴e＝ca ＝12－1＝2＋1，故选B.12．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数f(x)＝x－sin x(x∈R)的部分图象可能是()[答案] A[解析]首先f(x)为奇函数，排除D；其次由f′(x)＝1－cos x≥0知f(x)为增函数，排除C；又在(0，π)上y＝cos x单调递减，从而f′(x)＝1－cos x单调递增，即在(0，π)上f(x)的切线斜率逐渐增大，曲线向下凸，排除B，选A.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)函数y ＝3x cos3x9x －1的图象大致为( )[答案] D[解析] 对于f (x )＝3x cos3x9x －1，有f (－x )＝3－x cos (－3x )9－x －1＝3x cos3x 1－9x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；当x 略大于0时，y >0，排除B ；由3x cos3x 9x －1＝0得3x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝π6＋k π3，∴f (x )的零点等间隔出现，排除C ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α－π4)＝________.[答案] －7[解析] ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan α·tan π4＝－34－11＋(－34)×1＝－7.(理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC 中，b cos C ＋c cos Ba ＝________.[答案] 1[解析] 由正弦定理知，b cos C ＋c cos B a ＝sin B cos C ＋sin C cos B sin A ＝sin (B ＋C )sin A＝sin (π－A )sin A＝1.14．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则3x ＋2y的最大值是________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移l 0得直线l ：3x ＋2y ＝u ，当l 经过点A (1,1)时，u 取最大值，u max ＝3×1＋2×1＝5.(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －1≥03x －y －3≤0，则2x －y 的最大值为________．[答案] 2[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0得直线l ：2x －y ＝t ，当平移到l 经过点A (1,0)时，t 取最大值，t max ＝2.[点评] 当直线l ：2x －y ＝t 的纵截距最小时，t 取最大值，故t 最大时，直线l 应过A (1,0)点，而不是B (0,1)点．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，且满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2014＝________.[答案] 4009[解析] ∵{x n }是公差为2的等差数列， ∴x 8<x 9<x 10<x 11，∵奇函数f (x )是定义在R 上的增函数， ∴f (x 8)<f (x 9)<f (x 10)<f (x 11)， 又∵x 8＋x 11＝x 9＋x 10， f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0， ∴x 8<x 9<0且x 11>x 10>0，∴x 10＝－x 9，x 11＝－x 8，∴x 9＝－1，x 2014＝x 9＋2·(2014－9)＝4009.(理)(2014·吉林市摸底)边长是22的正△ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案]433[解析] 因为球O 的体积为43π，即4π3r 3＝43π，所以r ＝3，设正△ABC 的中心为D ，连接OD ，AD ，OA ，则OD ⊥平面ABC ，且OA ＝3，AD ＝263，所以OD ＝(3)2－(263)2＝33，所以球面上的点到平面ABC 的最大距离为33＋r ＝433. 16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题： ①函数f (x )＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点； ②若f ′(x 0)＝0，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值； ③若m ≥－1，则函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．其中正确的是________． [答案] ①③④[解析] ①∵f (1)·f (e)＝－1·(e －1)<0，又f (x )在(1，e)上的图象连续不断，∴f (x )在(1，e)上存在零点，故①正确；②f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题； ③要使函数y ＝log 12 (x 2－2x －m )的值域为R ，应使x 2－2x ＋m 取遍所有正数，∴Δ＝4＋4m ≥0，∴m ≥－1，故③正确；④a ＝1时，f (x )＝1－e x 1＋e x ，f (－x )＝1－e －x 1＋e －x ＝e x －1e x ＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；f (x )＝a －e x1＋a e x为奇函数时，f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －e －x1＋a e －x ＝－a －e x1＋a e x ，即a e x －1e x ＋a ＝e x －a1＋a ex ，∴e 2x －a 2＝a 2e 2x－1，∴(a 2－1)(e 2x ＋1)＝0，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1，∴④正确，故填①③④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且m ＝(sin A ＋sin B ＋sin C ，sin C )，n ＝(sin B ，sin B ＋sin C －sin A )，若m ∥n .(1)求A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值及此时B 的值． [解析] (1)因为m ∥n ，所以(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝sin B sin C ， 根据正弦定理得，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)， 所以A ＝23π.(2)由正弦定理及a ＝3得，S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝3(cos B cos C ＋sin B sin C ) ＝3cos(B －C )，所以当B ＝C 时，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取最大值 3.(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )， ∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)， 即f (x )＝cos(2x －φ)， ∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1， 而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos[2(12x )－π3]，即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈[0，π2]时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{a n }中，a 3＝3，前7项和S 7＝28.(1)求数列{a n }的公差d ；(2)等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 4，求数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *)． [解析] (1)S 7＝(a 1＋a 7)×72＝7a 4＝28，∴a 4＝4，又∵a 3＝3，∴d ＝a 4－a 3＝1.(2)由(1)知数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ， ∴b 1＝2，b 2＝4，∴数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn ，(c 是不为0的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －cn ·c n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 则(2＋c )2＝2(2＋3c )，∴c ＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2n ， n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n －1)＝n 2－n ＋2， n ＝1时，a 1＝2也适合上式，因此a n ＝n 2－n ＋2.(2)b n ＝a n －2n ·2n ＝n －12n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝02＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ， 12T n ＝022＋123＋224＋…＋n －22n ＋n －12n ＋1，用错位相减法可求得T n ＝1－n ＋12n . 19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3.(1)求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； (2)求三棱锥A 1－AB 1C 的体积．[解析] (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥AC ， 又由于AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝3，∴AB ＝2， 则由AC 2＋BC 2＝AB 2可知，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1CB ， ∴平面AB 1C ⊥平面B 1CB .(2)∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴B 到平面ACC 1A 1的距离d ＝1，∵BB 1∥平面ACC 1A 1，∴B 1到平面A 1AC 的距离为1，∴三棱锥A 1－AB 1C 的体积＝13×(12×1×1)×1＝16. (理)(2014·海南省文昌市检测)如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A ＝60°，AF ＝2FB ，AB ＝6，点E 在CD 上，EF ∥BC ，BD ⊥AD ，BD 与EF 相交于点N .现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．(1)求证：BD ⊥平面BCEF ；(2)求折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值； (3)求三棱锥N －ABF 的体积．[解析] (1)由条件知EF ⊥DN ，EF ⊥BN ， ∴EF ⊥平面BDN ， ∴平面BDN ⊥平面BCEF ， ∵BN ＝平面BDN ∩平面BCEF ，∴D 在平面BCEF 上的射影在直线BN 上， 又D 在平面BCEF 上的射影在直线BC 上， ∴D 在平面BCEF 上的射影即为点B ， 故BD ⊥平面BCEF .(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，∵在原平面图形中AB ＝6，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝33，∵EF ∥AD ，AF ＝2FB ，∴DN ＝2BN ，∴BN ＝3，DN ＝23，∴折后立体图形中BD ＝3，BC ＝3， ∴N (0，3，0)，D (0,0,3)，C (3,0,0)，NF →＝13CB →＝(－1,0,0)，∴BF →＝BN →＋NF →＝(－1，3，0)，DN →＝(0，3，－3)， ∴cos 〈BF →，DN →〉＝BF →·DN →|BF →|·|DN →|＝34，∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34. 法二：在线段BC 上取点M ，使BM ＝NF ，则MN ∥BF ， ∴∠DNM 或其补角为DN 与BF 所成的角． 又MN ＝BF ＝2，DM ＝BD 2＋BM 2＝10，DN ＝2 3.∴cos ∠DNM ＝DN 2＋MN 2－DM 22DN ·MN ＝34，∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34. (3)∵AD ∥EF ，∴A 到平面BNF 的距离等于D 到平面BNF 的距离， ∴V N －ABF ＝V A －BNF ＝V D －BNF ＝13S △BNF ·BD ＝32，即所求三棱锥的体积为32. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ， ∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ， ∴a ＝－32，b ＝－3，∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3，∴f (1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )， ∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 所以g 极小(x )＝g (0)＝－3，g 极大(x )＝g (3)＝15e －3.(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎨⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元．21．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按150进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：得到频率分布表如下：分数段 (分) [50， 70) [70， 90) [90， 110) [110， 130) [130， 150] 总计 频数 b 频率a为及格)；(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝220＝0.1，b ＝3从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人， 所以估计全校数学成绩的及格率为1320＝65%.(2)设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，则选取学生的所有可能结果为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P (A )＝410＝25.(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表： 分数段 (分) [50， 70) [70， 90) [90， 110) [110， 130) [130， 150] 总计频数 b 频率a0.25(1)求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．[解析](1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝220＝0.1，b＝3；分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为1320×100%＝65%.(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X＝1)＝C14C33C47＝435；P(X＝2)＝C24C23C47＝18 35；P(X＝3)＝C34C13C47＝1235；P(X＝4)＝C44C03C47＝135.随机变量X的分布列为：X 123 4P43518351235135E(X)＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.22．(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA →⊥OB →，求k 的值．[解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得，(k 2＋4)x 2＋2kx－3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，∴k ＝±12.(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32.(1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B (0，b )，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，求k 2的值．[解析] (1)由已知2c ＝23，c a ＝32.解得a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得过B 点的直线方程为y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， ∴x D ＝－8k 1＋4k 2，y D ＝1－4k 21＋4k 2，依题意k ≠0，k ≠±12.∵|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，∴|BE |2＝|BD ||DE |， ∴b －y D ＝|BE ||DE |＝|BD ||BE |＝b －y D b ，∵b ＝1，∴y 2D －y D －1＝0，解得y D ＝1－52， ∴1－4k 21＋4k 2＝1－52，解得k 2＝2＋54，∴当|BD |，|BE |，|DE |成等比数列时，k 2＝2＋54.。

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