2014年高一自主招生(数学)试题

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上海中学自主招生数学试题(含解析)

2
4
【解析】（1）设正五边形 ABCDE ，联结 AC, BE ，且设它们交于点 M ．可以计算得到
ABM ABC 36 ，因此 ABM ACB ，可得 AB2 AM AC ．同时， BMC CBM 72 ，所以 BC MC ．若正五边形边长为 1，则 AB BC CM 1，
设 AC x ，则由 AB2 AM AC 可列方程12 x(x 1) ，解得 x 5 1 （另一负根舍 2
2、设 a b 0 ， a2 b2 4ab ，则 a b
．
ab
【答案】 3 ．
【解析】由条件可得 (a b)2
6ab ，(a b)2
2ab ．因此 (a b)2 (a b)2
6ab 2ab
3．由于 a b 0 ，
a b 0 ，所以 a b 3 ． ab
3、若 x2 x 1 0 ，则 x3 2x2 3
【解析】（1） 0 f 1 f 2 f 3 3 ， f x k 0 有三个实根 x 1, 2, 3 ， f x k x 1 x 2 x 3 ，展开得 c k 6 ，6 c 9 ；（2）方程 f x 10x 0 有三个实根 x 1, 2,3 ，记第 4 个根为 x p ，则 f x 10x x p x 1 x 2 x 3 ， f x x p x 1 x 2 x 3 10x ， f 10 f 6 10 p 9 8 7 100 6 p 7 8 9 60 8104 ．
，解得 3
m n
3 2 3 2
，另一解与
O
重合，舍去．因此 C(3 2
,
3)． 2
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重合，折痕长是
．

高中自主招生数学模拟试题及答案(供参考)

唐山市唐山一中自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 5.若非零的实数,,,a x y z满足等式=22x y xy yz zx+++的值是6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是 8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于x 的函数2y kx =-（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),(x x .试A DEA CBDFEl求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的2515号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.250.25试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是解：这四个实数的和为245763+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是解：去分母得242a a -+，移项得2240a a -+=. t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.1=得2210a a --=，所以1a a-=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是解：∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是解：显然0a ≥.若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意.A BD E故0b a >>.从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=430y z -=；若430y z -==320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >，矛盾.故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-. 同理a c q b c -=-，b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规A CBDFE则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.2014在表中出现的次数是解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯，m是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分设点00(,)C x y ，则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……………12分12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分当0k ≠时，图象与x 轴有交点的条件是解得1k ≤.…………………………………………………………………………分综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分（2）12122(1)3,k k x x x x k k+++==.………………………………………………5分由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+，16 81 2 32 464 108 1128 20316 25 l∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =⋅.设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分 ∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分∴5BC AE AC BE ====.又由AC ∥BD 得，BF BDFC AC=45=，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2PB PQ PO =⋅.…………4分设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =⋅.……………6分 ∴PQ PO PM PA ⋅=⋅, ∴POM ∆∽PAQ ∆， ∴OM AQOP AP=…………………………………………8分 ∴OB AQOP AP=…………………………………………10分又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，∴OBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴OB ACOP AB =，………………………………………12分 ∴AQ ACAP AB=，∴AB AQ AC AP ⋅=⋅.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：12325325++++=.…………………………………………………………2分设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ，则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xyx--.…………………………………4分由题意得，150.25(1)13103250.25(2)2425xy y x xy xy xx +⎧=+⎪⎪+⎨--⎪=+⎪--⎩………………………………………6分由(1)得，59144y x =- (3)……………………………………………………………8分由(2)得，1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xy x xy x x x --=--+--，22131025253103252424325(25)(24)4xy x x y xy x x y x x ⨯--+=⨯--++--，即11550(25)(24)4xy x x x =----………………………………………………………11分将(3)代入(2)得，259111550(25)(24)444x x x x x -=----，解得16x =.………………………………………………………………………………15分故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.把16x =代入（3），得434y =. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分。

高一自主招生数学

2015直升班A 班第二次选拔考——数学试卷（考试时间：120分钟，总分150分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分）1、已知∠A 、∠B 是两个锐角，且满足t B A 45cos sin 22=+，22243sin cos t B A =+，则实数t 所有可能值的和为（）A 、 38－ B 、35－ C 、1 D 、3112、满足不等式m＜n ＜3532的有序整数对（m ，n ）的个数是（）A 、12B 、13C 、14D 、153、如图是一立体的三视图，则该立体图形的体积为（）。

A 、π254+B 、π234+C 、π214+ D 、π+44、已知A 为反比例函数xy 4=图象上一点，点A 的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A 处旋转，保持两直角边始终与x 轴交于D 、E 两点，F （0，－3）为y 轴上一点，连接DF 、EF ，则四边形ADFE 面积的最小值为（）。

A 、24B 、28C 、36D 、485、[]x 表示不超过实数x 的最大整数，在平面上由满足[][]5022=+y x 的点所形成的图形的面积为（）。

A 、3B 、6C 、12D 、256、如图，正方形ABCD 被分成了面积相等的8个三角形，若AG =50，则正方形ABCD 的边长为（）。

A 、10B 、210C 、28D 、27 第4题 D A BC E I F G H第6题侧视图 22 1 俯视图（圆和正方形） 2 2主视图 2 2 1 3B C P 7、如图，在△ABC 中，已知AB =5，BC =8，AC =7，动点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，使△APQ 的外接圆与BC 相切，则线段PQ 长的最小值为（）。

A 、730B 、374 C 、4 D 、38、有2015个整数，任取其中2014个相加，其和恰可取到1、2、…、2014这2014个不同的整数值，则这2015个整数之和为（）。

重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)

6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ A.2 B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………（） A.22个 B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（） A.0 B.3 C.33 D.9 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ． . （第6题图）（正视图）（俯视图）（第7题图）（第16题图）19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.(第21题图)N22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边），试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论．(第22题图) Q ABC EFPO（第23题图）．1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样2、半径为10的圆0内有一点P ，OP=8,过点P 所有的弦中长是整数的弦有条。

2014年自主招生考试模拟试题与答案数学

2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1）步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2）发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；（3）当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数．设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====，而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。

解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-，所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理）所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。

自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．【解析】不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分）【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．I HG FE 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ．易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=．于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =．由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）【解析】不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1．1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6）由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7）由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8）由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

2014年北约自主招生数学试题评析

所以底面半径为 1 ，底面面积为 π，故圆锥的表面积为 6 π + π = 7 π 2 排练组合基础题型，部分均匀的分组题2 10 个人分成 3 组，一组 4 人，两组问题每组各 3 人，求共有几种分法？解：部分均匀的分组问题：分法为：
3 3 C4 10 C 6 C 3 = 2100 种 A2 2
2014 年第 2 期
河北理科教学研究
考试指导
2014 年北约自主招生数学试题评析
山东省滕州市第一中学新校试题综述： 2014 年高水平大学自主选拔学业能力）、 2014 年综合大学自主测试（俗称“华约 ” ）、 2014 选拔录取招生联合考试（俗称“北约 ” 年卓越人才培养合作高校联合自主选择录取（俗称 “卓越 ” ）三大高校联盟自主招生考试落下帷幕．从 2002 年以来，自招走过了十几年的风雨，三大联盟试题整体难度趋于稳定， “三分之一高考，维持着三分之一边缘，三分之一略超纲" 的基本难度． 2014 年北约试卷的结构和 2013 年保持都是 6 道选择加上 4 道解答．选择题（ 1 一致，～ 6 题）偏常规，难度不高，大致相当于高考中等或稍难一点的题目难度．只是在个别题目上考查学生是否有开放的数学思想，比如关于反三角函数的认知（第 6 题）．其他的选比如空间几何体择题也基本属于高考难度，的表面积问题（第一题），排列组合中的分组分配问题（第二题）．解答题（ 7 ～ 10 题）保持了一定难度．问题往往来源于一些很基本的数学常识（比如 tan3° 是无理数），要求学生，给出证明实际上是对学生分析问题解决问题能力的考查，不强调复杂的计算，但是要给，出合理证明则要求学生有一定的数学素养．考题详析： 1 考查空间几何体表面积问题，难度很低， π 的扇形面积为 6 π，求 3 有利于稳定考生情绪题1 圆心角为张彬 277500

2014年自主招生考试模拟试题数学

2014年自主招生考试数学模拟试题—— “华约”模式一、一个赛跑机器人有如下特性：（1）步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2）发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；（3）当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？二、在ABC 中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。

三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值.六、已知()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2224a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。

则x=-2/5.3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。

解析：用排除法。

不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。

所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。

4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。

在直角△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.5.在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是：①sinB<cosC；②sinA<XXX<2；④sinB+sinC<1.解析：A为钝角，则∠B+∠C<π/2.所以：①sinB<sin(π/2-∠C)=cosC；②sinA<sin(∠B+∠C)=XXX<sinB+sinC；③tanB+tanC=(sinB/cosB)+(sinC/cosC)<2；④sinB+sinC<1.故①②④正确。

2014年温州中学提前招生数学测试模拟试题

2014年温州中学提前招生数学模拟测试卷2014.3考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分）1、关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+⋅+>--05)52(20222k x k x x x 的整数解只有2-=x ，则实数k 的取值范围是（）A 、2<kB 、23<<-kC 、23<≤-kD 、23≤≤-k2、已知△ABC 的两条中线的长分别为5、10。

若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（）。

A 、7B 、8C 、14D 、153、有下列四个命题中，真命题的有（）个。

①过直线上一点有且只有一条直线垂直于这条直线；②方程012(2=++）x x 有三个不同的实数解；③非菱形的平行四边形被两条对角线分成了全等的两对三角形，一对是钝角三角形，另一对是锐角三角形；④若二次函数a ax x y ++=2与坐标轴只有一个交点，则a=0或4。

A 、0 B 、1 C 、2 D 、34、一条线段AB ，绕点A 逆时针连续旋转9次，恰好旋转了一周回到原来的位置，如果每一次旋转α°或90－α°（其中0＜α＜90°），那么α有（）种可能的取值。

A 、4 B 、6 C 、8 D 、105、已知平行四边形的对角线交于点O ，∠ADC=40°，E 是边BC 上一点，AD －AB=2BE 。

则∠BEO 的度数为（）。

A 、140°B 、150°C 、160°D 、165°6、若互不相等的实数a 、b 、c 满足ac c cb a ++=++22，ba a a cb ++=++22，则（a+b ）（b+c ）（c+a ）等于（）。

A 、1B 、22C 、1±D 、22±7、点D 、E 分别是等边△ABC 的边AB 、AC 上的点，满足BD=AE ，联结CDBE 交于点O ，已知BO=2，CO=5。

卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)

卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (5)2012年卓越联盟自主招生数学试题 (11)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (14)2013年卓越联盟自主招生数学试题 (20)2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (23)2014年卓越联盟自主招生数学试题262011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值:分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( )A. B. C. D.2.已知则( )A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )A. B. C. D.9.数列共有11项,且满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( )A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。

自主招生考试数学试卷及参考答案

自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。

2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。

4．答题过程不准使用计算器。

祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7．二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8．如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1，则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张（2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程：已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。

北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)

2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。

二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。

2014年自主招生数学选拔试卷(已修改)

√自主招生数学C. 20/21模考试卷(总分120分，考试时间90分钟。

） 1. (8分)过点C(1,-2)的两条相互垂直的直线，与抛物线 =4 分别交与A 、B 两点，则直线AB 的方程可能为( )A. − −2=0B. 2 − −1=0C. −2 −1=0D. −2 −2=02. (8分)方程 +4 −8 + +2=0的实数根的个数（重根依重数计算）是( )A.5B.3C.6D.43. (8分)有个立方体，六面颜色都不相同。

设立一个空间直角坐标系，使得每一面恰垂直于一个坐标轴。

现转动该立方体，但每次只允许绕坐标轴顺时针或逆时针旋转90度，且6种旋转的概率等可能。

则旋转4次之后，立方体恢复原来状态的概率是( )A. 16/216B. 18/216 D. 21/2164. (8分)已知函数 :ℝ →ℝ ∪{0}，对任意的 , , ∈ℝ，都成立1) (0, )=2) ( , ( , ))=03) , ( , ) ≥ ( , ), ( , )则对任意的 , , ∈ℝ，下列等式中不恒成立的是( )A. ( , ), ( , ) =0B. , , ( , ) =0C. , ( ( , ), ) =0D. , ), ( , ) =0 5. (8分)cos 18°−sin 36°=( )A. 5− B.(√5−1)/2 6. (8分)复数z 满足| |=1A. 1/2B. 2/3C. 1D. 3/2( )C.√5/4D. 5/8，则使| −3 +1|取得最小值的z 的实部为( )3/2 枣庄八中数学组陈文编辑7. (18分) 已知m 和n 为互质的正证明： + 为有理数。

8. (18分)已知 =1， =2，且求质的正整数，实数满足 + 和 + 均为有，且对任意的整数n ，都有− =1 lim →均为有理数9. (18分)设 , , , , >010( +10. (18分)如图所示，在平行四边与BD的交点，E、F、G、H分别为OA AH交DC于P，PG交CB于Q，QF交设平行四边形ABCD的面积为1890，求四+ + + + =1，证明：+ + + )≥ + + + + +1 5行四边形ABCD中，O为ACOA、OB、OC、OD的中点，BA与R，RE交AD于S。

2014年自主招生数学面试模拟试题

2014年自主招生面试模拟试题
1．手机上网，对你生活、学习有什么帮助？请谈谈你的做法或看法。

2．谈谈你对“贫富与欲望”这句话的理解。

3．圆周率p为大于3，且小于4，说说你的理由。

4．说说你成绩最突出的一个学科，试分析成就这一现象的原因与途径。

5．如何看待城市的“雾霾天气”？
6．球的体积公式与其面积公式之间有联系吗，说说看。

7．笛卡儿说：“我思故我在。

”请谈谈你对这句话的理解。

8．据有关报道：“北京2016年将实施新的高考方案，其要点是调整考试内容、试卷结构、考试科目的分值。

文史类、理工类总分仍为750分，其中，语文由150分增至180分，数学仍为150分，2016年起高考英语由150分减为100分。

”对于这一改革，请谈谈你的看法。

9．请问：电视上春节晚会的收视率是怎么测算出来的?
10．学习数学将来有用吗？为什么？
11．说说你对“养成教育”的初步认识。

12．在你的成长过程中，对你影响最大的人是谁，说出你的理由。

13．简要说说你的人生理想与规划。

14．对于正偶数的集合与正整数集合，其元素的个数哪个多？说明你的理由。

15．如果你是一个城市的市长，你觉得城市要怎样发展比较好?
16．你对“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

”是怎么看的?
17．数学与物理学科，在现实生活当中，哪个更为重要，谈谈你的认识。

18．你对推迟退休年龄如何看？
19．你喜欢自助旅游还是组团旅游？
20．如果你有一笔钱，请问：你怎样理财使它增值和保值？
1。

高中自主招生考试数学真题-四种命题及其关系真题(配完整解析)

高中自主招生考试数学真题-四种命题及其关系真题（配完整解析）一．选择题（共8小题）1．命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣1C．a＝1，b＝2D．a＝﹣1，b＝1 2．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列说法中，正确的有（）个①，，，0，cos60︒五个数中，其中是无理数的有2个．②关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣10有两个实数根，那么字母m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．③平行四边形，圆，正六边形，线段四个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形．④“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．⑤相等的圆心角所对的弧相等⑥单项式的次数是3次．A．1个B．2个C．3个D．4个4．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．下列说法正确的有（）①在，，π，﹣3.1415926，中，共有3个无理数．②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题是真命题．③若n边形的内角和是外角和的3倍，则它是八边形．④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列正确叙述的个数是（）①每个命题都有逆命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理⑤每个定理一定有逆命题⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．A．1B．2C．3D．48．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b|B．如果|a|＝|b|，那么a＝bC．如果a≠b，那么|a|≠|b|D．如果|a|≠|b|，那么a≠b二．填空题（共16小题）9．命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是．10．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是命题．（填写“真”或“假”）11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为．12．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是．13．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）15．命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是，该逆命题是（填“真”或“假”）命题．16．“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）17．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是．18．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．19．命题“若a2＝b2，则a＝b．”的逆命题是．20．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是，该命题是命题（填真或假）．21．命题：“若a＝b，则a4＝b4”，该命题的逆命题是；该命题的逆命题是命题．（填“真”或“假”）22．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是，该命题的逆命题是命题（填真或假）23．命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：．24．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是．高中自主招生考试数学真题-四种命题及其关系真题（配完整解析）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣1C．a＝1，b＝2D．a＝﹣1，b＝1【解答】解：命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可以取a＝﹣1，b＝1说明．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；②若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2是真命题；③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3．下列说法中，正确的有（）个①，，，0，cos60︒五个数中，其中是无理数的有2个．②关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣10有两个实数根，那么字母m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．③平行四边形，圆，正六边形，线段四个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形．④“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．⑤相等的圆心角所对的弧相等⑥单项式的次数是3次．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确．，，，0，cos60︒五个数中，其中，是无理数．②错误．mx2﹣2x﹣10是代数式，表示方程．③错误．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．④正确．“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．⑤错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．⑥错误．单项式的次数是2次．故选：B．【点评】本题考查无理数、一元二次方程、代数式、中心对称图形、轴对称图形、圆心角与弧之间的关系、单项式的次数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．4．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；它们的逆命题是真命题的个数是2个．故选：B．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④相等的角是对项角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；它们的逆命题是真命题的个数是3个．故选：B．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．6．下列说法正确的有（）①在，，π，﹣3.1415926，中，共有3个无理数．②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题是真命题．③若n边形的内角和是外角和的3倍，则它是八边形．④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：在，，π，﹣3.1415926，中，共有2个无理数，所以①错误；若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此是逆命题为假命题，所以②错误；若n边形的内角和是外角和的3倍，即（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，即它是八边形，所以③正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．下列正确叙述的个数是（）①每个命题都有逆命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理⑤每个定理一定有逆命题⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．A．1B．2C．3D．4【解答】解：把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确；真命题：若a＝b，则|a|＝|b|，其逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，它是假命题，所以②错误；假命题：若am＞bm，则a＞b，其逆命题：若a＞b，则am＞bm，它是假命题，所以③错误；真命题的逆命题不一定是真命题，所以④错误；每个定理一定有逆命题，所以⑤正确；命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题为“若a3＝b3，则a＝b”，它是真命题，所以⑥错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题叫定理；两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题．8．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b|B．如果|a|＝|b|，那么a＝bC．如果a≠b，那么|a|≠|b|D．如果|a|≠|b|，那么a≠b【解答】解：已知本题中命题的题设是a＝b，结论是|a|＝|b|，所以它的逆命题中的题设是|a|＝|b|，结论是a＝b，所以本题中的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b．故选：B．【点评】本题考查了互逆命题的知识．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．二．填空题（共16小题）9．命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b．【解答】解：命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b，故答案为：若﹣a＝﹣b，则a＝b【点评】此题考查命题问题，关键是根据命题的题设和结论进行颠倒得出逆命题即可解答．10．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题．（填写“真”或“假”）【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，故答案为：真．【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为同旁内角互补，两直线平行．【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．故应填：同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．【解答】解：命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．【点评】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．13．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查的是命题的概念、命题的真假判断，掌握逆命题的概念是解题的关键．14．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，【点评】本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该逆命题是真（填“真”或“假”）命题．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的条件是如果a＝b，结论是3a＝3b，故逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该命题是真命题．故答案为：如果3a＝3b，那么a＝b，真．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．也考查了命题的真假判断．16．“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．此逆命题为假命题．故答案为假．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．17．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b．【解答】解：命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是：“若|a|＝|b|，则a＝b”．故答案为若|a|＝|b|，则a＝b【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．18．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．19．命题“若a2＝b2，则a＝b．”的逆命题是若a＝b，则a2＝b2．【解答】解：命题“若a2＝b2，则a＝b”的条件是a2＝b2，结论是a＝b，故逆命题是：若a＝b，则a2＝b2．故答案为如果a＝b，那么a2＝b2．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．20．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假命题（填真或假）．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假命题．故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．21．命题：“若a＝b，则a4＝b4”，该命题的逆命题是若a4＝b4，则a＝b；该命题的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：“若a＝b，则a4＝b4”的条件是：a＝b，结论是：a4＝b4，∴逆命题是：若a4＝b4，则a＝b，若a4＝b4，则a＝±b，故为假命题，故答案为若a4＝b4，则a＝b，假．【点评】本题考查了互逆命题的知识以及真假命题的判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，难度适中．22．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是如果a＝b，那么a2＝b2，该命题的逆命题是真命题（填真或假）【解答】解：命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的条件是如果a2＝b2，结论是a＝b，故逆命题是：如果a＝b，那么a2＝b2，为真命题．故答案为如果a＝b，那么a2＝b2，真．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．23．命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：如果a＝b，那么．【解答】解：命题“如果a＝b”的逆命题是：如果a＝b，那么故答案为：如果a＝b，那么【点评】本题考查了逆命题的概念．关键是明确交换原命题的题设和结论，得到逆命题．24．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b．【解答】解：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是：如果a2＝b2，那么a＝b．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．考点卡片1．四种命题及其关系四种命题及其关系．1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题．3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）3．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．（将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．。

2014自主招生数学模拟试题及答案

数学模拟试题(第一套)一、选择题1.在ABC ∆中，c b a 3=+，则C B A cos cos cos 的最大值为（）.A.817 B. 81 C. 91 D. 818 2. 在正四棱锥ABCD P -中，M ，N 分别为PB ，PD 的中点，且侧面棱长等于底面边长.则异面直线AM 与BN 所成角的余弦为（）.A. 61B. 31C. 32D. 433.掷两枚骰子(每枚有6面，分别是6~1点)，掷到两枚点数之和为7点以下的概率为（）.A. 61B. 125C. 32D. 214.直线1)1(+-=x k y 与曲线21x y -=有两个公共点，则k 的取值范围是（）. A. ]21,0( B. ),0(+∞ C. )21,0( D. ),21(+∞ 5.从10个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到( )种面值.A. 70B. 68C. 66D. 646.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有一半到A 景点，一半到B 景点，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（）A. 1:1:1B. 3:2:1C. 2:2:1D. 3:2:2 7. 在ABC ∆中，在AB 上取点1C 使得AB AC 411=，在BC 上取点1A 使得BC BA 411=，在CA 上取点1B 使得CA CB 411=，1BB 与1CC 交于点2A ，1CC 与1AA 交于点2B ，1AA 与1BB 交于点2C .则=∆∆ABCC B A S S 222（）A.134 B. 74 C. 135 D. 95 8. 从9~1九个数字中取出6个，得到一个顺子(即至少有5个数为连续整数)的棋率为（）.A. 6966A A 4B. 5955A A 5C. 69665955A A 4A A 5-D. 69665955A A 5A A 4- 9. 光线从原点发出，经直线013=+-y x 反射后经过点)0,1(，则光线在直线上的入射点为（）.A. )0,1(-B. )33,0(C. )332,1(D. )33,2(-- 10.63)1(xx x ++的展开式中2x 的系数为（）. A. 20 B. 30 C. 40 D. 50二、解答题11. 在边长为2的正方体为1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点.求点1A 到面ACD 的距离.12. 有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是 64，66，68，70.求这4个数.13. 在ABC ∆中，已知2sin cos sin cos =+ABB A .求证： 90=∠C .13. 把600粒花生分给100只猴子.请证明不管怎样分，至少有8只猴子分的花生一样多.14. 已知a ，b ，c 为正数.求证：2222cb a b ac c a b c b a ++≥+++++.数学模拟试题（第一套）答案一、选择题1.利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系，)sin(3sin 3sin sin B A C B A +==+，2cos 2sin 32cos 2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos 32cos B A B A +=-.而12cos ≤-BA 所以312cos≤+B A ，所以97)cos(-≤+B A ，即97cos ≥C . CC C B A B A C B A cos )cos 1(21cos )]cos()[cos(21cos cos cos -≤++-=81781)2197(2181)21(cos 2122=+-⨯-≤+--=C . 答案： A10. 不妨设棱长为1，取PN 的中点E ，连接ME ，AE .在PAD ∆中，由余弦定理求出413=AE ，在AME ∆中，23=AM ，4321==BN EM ，由余弦定理求出61cos =∠AME . 答案: A11. 解法一:当第一枚1点，第二枚可以1，2，3，4，5点；当第一枚2点，第二枚可以1，2，3，4；当第一枚3点，第二枚可以1，2，3；当第一枚4点，第二枚可以1，2；当第一枚5点，第二枚可以1点，共15种情况，概率为1256152=. 答案： B 解法二:先算和为7点的概率为61，而剩余情况65中，大于7点的概率等于小于7点的概率，各为125. 答案： B12. 由数形结合，过点)1,1(的直线与单位圆的上半圆相交，斜率k 的范围为]21,0(. 答案: A13. 可得到的面值有2，4，5，6，…，64，65，66，68，70，从4到66是连续的，所以共66种. 答案: C14. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则2z x =，2zx y +=，y z =，所以2:2:1::=z y x . 答案： C7. 作11//CC D A ，则4111==BC BA BC BD ，而AB BC 431=，故AB BD 163=，AB AB AB D C 169163431=-=，所以4911221==AC D C AB B A ，13412=AA AB .类似的方法可求出131121=AA C A ，于是1AA 上的三条线段之比1:8:4.同样，可得1BB ，1CC 上的三条线段之比也都是1:8:4.27163298222212221222=⋅=⋅=∆∆C B B A B A C B S S C B A C B A ，139121121==∆∆AA B A S S C AA C B A ，4311==∆∆BC C A S S ABCC AA ，所以134431392716222=⋅⋅=∆∆ABC C B A S S . 答案： A15. 取到12345，⋅⋅⋅，56789之一的概率为5955A A 5，取到123456，…，456789之一的概率为6966A A 4所以得到一个顺子的概率为69665955A A 4A A 5-. 答案： C 16. 入射角等于出射角，进而算出斜率. 答案:B 17. 2x 可以是2个3x 和4个x 1的乘积，也可以是4个x 和2个x1的乘积，所以概率为3056C C C C 22464426=⋅=+. 答案： B二、解答题11. 取AC 的中点F ，容易求出DEF ∆的高DH （就是D 点到面ACD 的距离)为36.因为DE AA //1,DE AA 21=,所以1A到面ACD 的距离为D 点到面ACD 的距离的2倍,即362. 12. 设4个数为a ，b ，c ，d ，且d c b a <<<，则6个和为b a +，c a +，d a +，c b +，d b +，d c +.于是有d c d b c b d a c a b a +<+<+<+<+<+或d c d b d a c b c a b a +<+<+<+<+<+则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+70686664c b d a c a b a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+68706664c b d a c a b a ，分别解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====38363430d c b a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====39353331d c b a13. B A B B A A sin sin 2cos sin cos sin =+，B A B A sin sin 42sin 2sin =+， cos()cos()cos()sin(B A B A B A B A +--=-+， C B A B A C cos )cos()cos(sin +-=-.以下用反证法：假设1sin ≠C ，则CCB A sin 1cos )cos(--=-.只要证明1sin 1|cosC |>-C ，就导致矛盾.事实上，利用)21(1sin cos π<<>+x x x 即得，所以假设1sin ≠C 不成立，即90=∠C .14. 假设没有8只猴子分的花生一样多，那么至多7只猴子分的花生一样多.我们从所需花生最少情况出发考虑:分得0粒，1粒，2粒，…….13粒的猴子各有7只，分得14粒，15粒花生的猴子各有1只，于是100只猴子最少需要分的花生为6661514)13210(7=+++⋅⋅⋅+++⨯粒，现在只有600粒花生，无法使得至多7只猴子分的花生一样多，故至少有8只猴子分的花生一样多.15. 利用柯西不等式2222222)())((cz by ax z y x c b a ++≥++++，得⎝⎛+++++≥++++++++)()()])()()[((22222a c a c bc b cb a b a ac c b b a c a c b c b a222)()(c b a b a b a c++=⎪⎪⎭⎫+++.所以2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++。

高中自主招生考试数学试题(含答案详解)

一中自主招生考试数学试题一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．2．（4分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A．8分钟B．7分钟C．6分钟D．5分钟3．（4分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）A．B．﹣6C．D．64．（4分）（2008•青岛）如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）5．（4分）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：，则线段DE的长是（）A．B．7C．4+3D．3+46．（4分）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）7．（4分）若x+=3，则x2+=_________．8．（4分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________cm2．9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm．10．（4分）对于正数x，规定f（x）=，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=_________．11．（4分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每﹣局的输方去当下﹣局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是_________．12．（4分）（2002•广州）如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S△AIJ=1，则正方形ABCD的面积为_________．三．解答题（共6小题，满分52分）13．（6分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．14．（8分）（2007•丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次．（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由．15．（8分）某中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？16．（10分）如图，⊙O的直径EF=cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=cm．E、F、A、B 四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合．（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．17．（10分）（2008•广东）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．18．（10分）（2008•益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．答案与评分标准一．C ，C ，A ，C ，D ，D甲，256，二．7，40，3，，三．解：（1）集合{1，2}不是好的集合，这是因为8﹣1=7，而7不是{1，2}中的数，所以{1，2}不是好的集合，{1，4，7}是好的集合，这是因为8﹣1=7，7是{1，4，7}中的数，8﹣4=4，4也是{1，4，7}中的数，8﹣7=1，1又是{1，4，7}中的数．所以{1，4，7}是好的集合；（2）答案不唯一．集合{4}、{3，4，5}、{2，6}、{1，2，4，6，7}、{0，8}等都是好的集合．解：（1）踺子踢到小华处的概率是．树状图如下：列表法如下：小丽小王小华小王（小丽，小王）（小王，小华）小华（小华，小丽）（小华，小王）（2）小王．树状图如下：理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是，踢到其它两人处的概率都是，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小．解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米．（2）计划资金y1=4500×80+4500×800=3960000元实用资金y2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950×80+4050×800=396000+3240000=3636000∴节余资金：3960000﹣3636000=324000∴可建绿化面积=平方米答：可绿化面积1620平方米．解：（1）∵∠BAC=30°，AB=，∴BC=又∵⊙O的直径EF=，即半径为，∠ACB=90°，∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切．（如图1所示）（1分）此时运动距离为FO=，∴t=s．（2分）当BC边与⊙O相切时（如图2所示），设切点为G．连接OG，则OG⊥BC．（3分）由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=，∴BO=2．（4分）又FO=，∴BF=．（此步亦可利用相似求解，请参照给分）∴此时s．（5分）由上所述，当秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切．（6分）（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF．（7分）由已知，∠COF=60°，∴．（8分）由图2，设AC与⊙O交于点M，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．（9分）过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC．由（1）可知BG=1则MN=GC=．（10分）∴，∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．（11分）∴．（12分）又∵OM=，∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）∴S△AOM =•OA•h≈1.229cm2此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2．（14分）解：（1）如图3，∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∴∠4=∠5．又∵∠4+∠5=∠2=60°，∴∠4=30°．同理∠6=30°．∵∠AEB=∠4+∠6，∴∠AEB=60°．（2）如图4，∵△DOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7．∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC．∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，∴2∠5=2∠6，∴∠5=∠6．又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，∴∠AEB=60°．解：（1）根据题意可得：A（﹣1，0），B（3，0）；则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），又∵点D（0，﹣3）在抛物线上，∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解之得：a=1∴y=x2﹣2x﹣3（3分）自变量范围：﹣1≤x≤3（4分）（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连接CM，在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°，OC=在Rt△MCE中，∵MC=2，∠CMO=60°，∴ME=4∴点C、E的坐标分别为（0，），（﹣3，0）（6分）∴切线CE 的解析式为（8分）（3）设过点D（0，﹣3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx ﹣3（k≠0）（9分）由题意可知方程组只有一组解即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根，∴k=﹣2（11分）∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3．（12分）。