普通高等学校招生全国统一考试高考数学试题 理(扫描版,无答案)新人教A版
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标卷)解析版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3()B 6()C 8()D 10【解读】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种()B 10种()C 9种()D 8种【解读】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34【解读】选C22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） ()A 12()B 23()C 34()D 45 【解读】选C ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7()B 5()C -5()D -7【解读】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解读】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6()B 9()C 12()D 18【解读】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4()D 8【解读】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷全国卷Ⅱ.理含答案
2019年一般高等学校招生全国一致考试一试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考据号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的地点上．3．选择题的每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，不可以答在试题卷上．4．非选择题一定使用毫米的黑色笔迹的署名笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题一定依据题号次序在答题卡上各题目的答题地区内作答．高出答题地区或在其余题的答题地区内书写的答案无效；在底稿纸、本试题卷上答题无效．6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．参照公式：假如事件A，B互斥，那么球的表面积公式P(AB)P(A)P(B)S4πR2假如事件A，B互相独立，那么此中R表示球的半径P(AB)P(A)P(B)球的体积公式假如事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 4π3 3Rn次独立重复试验中事件A恰巧发生k次的概率此中R表示球的半径k k n k ，，，⋯，n)P n(k)C n p(1p)(k012一、选择题1．sin210（）A．3B．31D．1 22C．222．函数y sinx的一个单一增区间是（），B．3C．，D．3，A．，2．设复数z知足12i，则z（）3z iA．2i B．2i C．2i D．2i 4．以下四个数中最大的是（）A．(ln2)2B．ln(ln2)C．ln2D．ln25．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD 1CA CB，则（）32B．1C．1D．2A．3333x16．不等式0的解集是（）x24A．(2，1)B．(2，)C．(21)，(2，)D．(，2)(1，) 7．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）6B．10C．2D．3A．422 48．已知曲线y x23lnx的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）42A．3B．2C．1D．1 29．把函数y e x的图像按向量a(2，3)平移，获得y f(x)的图像，则f(x)（）A．e x32B．e x32C．e x23D．e x2310．从5位同学中选派4位同学在礼拜五、礼拜六、礼拜日参加公益活动，每人一天，要求礼拜五有2人参加，礼拜六、礼拜日各有1人参加，则不一样的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．设F1，F2分别是双曲线x2y2A，使F1AF290 a2b2的左、右焦点，若双曲线上存在点且AF13AF2，则双曲线的离心率为（）5B．10C．15D．5A．22212．设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA FB FC0，则FA FB FC（）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．(12x2)x 1x8的睁开式中常数项为．（用数字作答）14．在某项丈量中，丈量结果 听从正态散布N(1，2)(0)．若在(0，1)内取值的概率为，则在(0，2)内取值的概率为．15．一个正四棱柱的各个极点在一个直径为 2cm 的球面上．假如正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为cm 2．16．已知数列的通项a n5n2，其前n 项和为S n ，则lim S n ．n 2n →三、解答题：本大题共 6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 在△ABC 中，已知内角A ，边BC 23．设内角B x ，周长为y ．1）求函数yf(x)的分析式和定义域； 2）求y 的最大值．18．（本小题满分 12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1件，假定事件 A ：“拿出的2件产 品中至多有 1件是二等品”的概率 P(A) ． （1）求从该批产品中任取 1件是二等品的概率 p ；（2）若该批产品共 100件，从中随意抽取2件， 表示拿出的2件产品中二等品的件数，求的散布列．19．（本小题满分 12分）S如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；F（2）设SD2DC ，求二面角AEFD 的大小．C D AE B20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x3y4相切．（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴订交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求PAPB的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{a n}的首项a1(0，1)，a n 3an1，n2，3，4，⋯．2（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n a n32a n，证明b n b n1，此中n为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)x3x．（1）求曲线y f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；（2）设a0，假如过点(a，b)可作曲线y f(x)的三条切线，证明：abf(a)．2019年一般高等学校招生全国一致考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参照答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分参照制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右边所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题1．D2．C3．C4．D5．A6．C7．A8．A9．C10．B11．B12．B二、填空题13．4214．15．24216．5 2三、解答题，，得2．17．解：（1）△ABC的内角和A B C，由A B B0C00应用正弦定理，知AC BC sinB 23sinx4sinx，sinA sinAB BC sinC4sin2x．sinA因为y AB BC AC，所以y4sinx4sin 2x230x2，3（2）因为y4sinx cosx 1sinx23 243sinx23x 5，所以，当x，即x时，y获得最大值63．18．解：（1）记A0表示事件“拿出的2件产品中无二等品”，A 1表示事件“拿出的 2件产品中恰有 1件二等品”．则A 0，A 1互斥，且AA 0A 1，故P(A)P(A 0 A 1)P(A 0) P(A 1)(1 p)2 C 12p(1p)1 p 2于是 1 p 2．解得p 1 ，p 2（舍去）．（2）的可能取值为01，，2．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有10020件，故P( 0) C 802 316C 1002．495 P( 1) C 180C 120 160C 1002．495 P( 2) C 20219C 1002．495所以 的散布列为1 2316 160 19 P49549549519．解法一：S（1）作FG ∥DC 交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连接AG ，FG ∥1CD ，又CD ∥AB ，2故FG ∥AE ，AEFG 为平行四边形．G FEF ∥AG ，又AG 平面SAD ，EF 平面SAD ．所以EF ∥平面SAD ．H（2）不如设DC2，则SD4，DG 2，△ADG 为等M腰直角三角形．C取AG 中点H ，连接DH ，则DH ⊥AG ．D又AB ⊥平面SAD ，所以AB ⊥DH ，而ABAGA ，AEB所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故DMH为二面角AEFD的平面角tanDH2DMH2．HM1所以二面角Az EFD的大小为arctan2．S解法二：（1）如图，成立空间直角坐标系D xyz．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，FaF a b G，，，，，，Ea00222EFb M，，．a02D Cyb b A取SD的中点G，则AG．E B0，0，a，0，22x A EF AG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不如设A(1，0，0)，，，，，，，，，11，则，，，，，．B(110)C(010)S(002)E10F0122EF中点M 1111，1，1，，，，，MD⊥EF ，，，222MD222EF(101)MDEF0又EA，1，，EAEF0，EA⊥EF，020所以向量MD和EA的夹角等于二面角A EF D的平面角．cos MD，EA MDEA3．MD EA3所以二面角 A EF D的大小为arccos3．320．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x3y4的距离，42．即r13得圆O的方程为x2y24．（2）不如设A(x1，0)，B(x2，0)，x1x2．由x24即得A(2，0)，B(2，0)．设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得(x2)2y2(x2)2y2x2y2，即x2y22．PAPB(2x，y)(2x，y)x24y22(y21).因为点P在圆O内，故由此得y21．x2y24，x2y2 2.所以PAPB的取值范围为[2，0)．21．解：（1）由a n3an1，n2，3，4，⋯，2整理得1a 1(1a1)．n2n1又1a10，所以{1a n}是首项为1a1，公比为的等比数列，得2n1a n1(1a1)1 2（2）方法一：由（1）可知0a n 3，故b n0．2那么，b n21b n2a n21(3 2a n1) a n2(32a n)3a n 23a n32a n2(32a n)229an(a n1)2.4又由（1）知a n0且a n1，故b n21b n20，所以b n b n1，n为正整数．方法二：由（1）可知0a n 3，a n1，2因为a n13an，2所以bn1a n132a n1(3an)an．23a n3由a n1可得a(32a)，n n23a n 2即a n2(32a n)a n2两边开平方得a n32a n 3a na n．2即b n b n1，n为正整数．。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
高中数学-模块1-高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题全
可编辑修改精选全文完整版模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析 由题意可得，∁R B ＝{x |x <1}，结合交集的定义可得，A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D. 11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________.答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅰ卷数学试卷1.已知集合，，则( ).A. B. C. D.2.若，则( ).A. B. C. D.3.已知向量，，若，则( ).A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).A. B. C. D.5.，则圆锥的体积为( ).A.B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a的取值范围是( ).A. B. C. D.7.当时，曲线与的交点个数为( ).A.3 B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = {1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-1i 1z z =+-z =1i --1i -+1i -1i+(0,1)a = (2,)b x = (4)b b a ⊥- x =cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=3m -3m-3m3m22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <2.1X =20.01S =()21.8,0.1N ()2,N X S服从正态分布，则）A. B. C. D.10.设函数，则( ).A.是的极小值点B.当时，C.当时，D.当时，11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).A.B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，12.设双曲线（，）的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交C 于A ，B两点，若，，则C 的离心率为_________.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><2()(1)(4)f x x x =--3x =()f x 01x <<()2()f x f x <12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->(2,0)F (0)x a a =<2a =-()00,x y 0042y x ≤+2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F 113F A =||10AB =e x y x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =ABC △sin C B =.（1）求B ；（2）若的面积为，求c .16.已知和为椭圆上两点.（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.17.如图，四棱锥中，底面，，，（1）若，证明：平面PBC ；（2）若，且二面角，求AD .18.已知函数.（1）若，且，求a 的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是——可分数列.222a b c +-=ABC △3+(0,3)A 33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>ABP △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =AD PB ⊥//AD AD DC ⊥A CP D --3()ln (1)2x f x ax b x x =++--0b =()0f x '≥()y f x =()2f x >-12x <<1a 2a 42m a +i a ()j a i j <1a 2a 42m a +(,)i j（1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；（2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足——可分数列的概率为，证明：.(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j 3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j m P 18m P >参考答案1.A解析：，选A.2.C解析：3.D解析：，，，，，选D.4.A解析：，，，选A.5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，，选B.6.B解析：在R 上↗，，，选B.7.C{1,0}A B =- 4(2,4)b a x -=- (4)b b a ⊥- (4)0b b a ∴-= 4(4)0x x ∴+-=2x ∴=cos cos sin sin sin sin 2cos cos m αβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=1π93V =⋅⋅=()f x 00e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，，，，，，，，，，，，，，选B.9.BC解析：，，，，A 错.，B 对.，，C 对.，D 错，所以选BC.10.ACD解析：A 对，因为；B 错，因为当时且，所以；C 对，因为，，，时，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>()3(1)(3)f x x x '=--01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，所以有，那么曲线的方程为.B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此最大值一定大于1；D 对，因为.12.解析：由知，即，而，所以，即，代回去解得，所以.13.解析：14.解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、.得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，，，，（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->x a =a -2OF =242a a -⋅=⇒=-(4x +=2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭32||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =6c =4a =32e =ln 21218-32-54-76-16-32-54-78-14-32-58-76-18-32-56-74-16-32-58-74-12-38-54-76-14-38-52-76-18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为15.（1）（2）解析：（1）已知，根据余弦定理，可得：.因为，所以.又因为，即，解得.因为，所以.（2）由（1）知，，则.已知的面积为，且，则，.又由正弦定理，可得.则，，同理.所以解得16.（1）（2）见解析12π3B =c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-=cos C ==(0,π)C ∈π4C =sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =(0,π)B ∈π3B =π3B =π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=ABC △3+1sin 2ABC S ab C =△1πsin 324ab =132ab =2(3ab =+sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b C c A B==π5πsin sin 412c a =5πsin 12πsin 4c a =πsin 3πsin 4c b =2225ππsin sin 421232(3π1sin 42c c ab ⎝⎭===+c =12解析：（1）将、代入椭圆，则.（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，此时不满足条件.②当L 的斜率存在时，设，令、，，消y 可得，17.（1）证明见解析（2）解析：（1）面，平面，又，，平面PAB面，平面，(0,3)A 33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩c =12c e a ∴===:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =1933922ABP S =⨯⨯=≠△3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y 223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =AD =PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥AD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，，B ，C ，D 四点共面，又平面，平面PBC平面PBC .（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系令，则，，，，设平面ACP 的法向量不妨设，，设平面CPD 的法向量为不妨设，则，，二面角，.18.（1）-2（2）证明见解析（3）ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥A //AD BC∴BC ⊂ PBC AD ⊄//AD ∴D xyz-AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C()1111,,n x y z = 1x =1y t =10z =)1,0n t = ()2222,,n x y z = 2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅=== t ∴=AD ∴=23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立而，当且仅当时取“=”，故只需，即a 的最小值为-2.（2）方法一：，关于中心对称.方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移回去关于中心对称.（3）当且仅当，对恒成立令，必有（必要性）当时，对，对恒成立，符合条件，综上：.19.（1），，（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，0b =()ln 2x f x ax x =+-11()02f x a x x'=++≥-02x ∀<<11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--1x =202a a +≥⇒≥-(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-()f x ∴(1,)a ()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a ()f x ⇒(1,)a ()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-23b ≥-(1,2)(1,6)(5,6)(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可其余，，按连续4个为一组即可（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.易知：1，2，…，是可分的因为可分为，…，与，…，此时共种再证：1，2，…，是可分的易知与是可分的只需考虑，，，…，，，记，只需证：1，3，5，…，，，可分去掉2与观察：时，1，3，4，6无法做到；时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，18，，，满足故，可划分为：，，，，…，，，共p 组事实上，就是，，且把2换成p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)k a 1542k m ≤≤+1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤1~4k 42~42r m ++41k +43k +44k +41r -4r 42r +*N p r k =-∈41p -4p 42p +1~42p +41p +1p =2p =3p =4p =(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)2p ∀≥(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组，，…，不可行综上，可行的与至少组故，得证！(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-(0,1)(1,2)(1,)m m -(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。
历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版.doc
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P AB P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121-=++iz i i ，则|z|=( )A.0B.12C.1解析：利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.()()()211222111--=+=+=-+=++-i i z i i i i i i i i ，则|z|=1. 答案：C2.已知集合A={x|x 2-x-2＞0}，则C R A=( ) A.{x|-1＜x ＜2} B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x ＜-1}∪{x|x ＞2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}解析：通过求解不等式，得到集合A ，然后求解补集即可.集合A={x|x 2-x-2＞0}， 可得A={x|x ＜-1或x ＞2}， 则：C R A={x|-1≤x ≤2}. 答案：B3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.A项，种植收入37×2a-60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a，经济收入为2a，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D项正确.因为是选择不正确的一项.答案：A4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.∵S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，∴3×(3a1+322⨯d)=a1+a1+d+4a1+432⨯d，把a 1=2，代入得d=-3 ∴a 5=2+4×(-3)=-10. 答案：B5.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x解析：利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，可得a=1，所以函数f(x)=x 3+x ，可得f ′(x)=3x 2+1， 曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为：y=x. 答案：D6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144-AB ACB.1344-AB ACC.3144+AB ACD.1344+AB AC解析：运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()1113122244=-=-=-⨯+=-EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC .答案：A7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.25C.3D.2解析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短222425+=答案：B8.设抛物线C ：y2=4x的焦点为F，过点(-2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则=FM FN( )A.5B.6C.7D.8解析：求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，过点(-2，0)且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1，2)，N(4，4)，∴FM=(0，2)，FN=(3，4).则FM FN=(0，2)·(3，4)=0×3+2×4=8. 答案：D9.已知函数f(x)=ln0⎧≤⎨⎩，，＞xe xx x，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[-1，0)B.[0，+∞)C.[-1，+∞)D.[1，+∞)解析：由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1，+∞).答案：C10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.p1=p2B.p1=p3D.p 1=p 2+p 3解析：如图：设BC=2r 1，AB=2r 2，AC=2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12-2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22-S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22-12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ， ∴P 1=P 2. 答案：A11.已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A.32B.3D.4解析：求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|.双曲线C ：2213-=x y 的渐近线方程为：y=±3x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F(2，0)的直线为：(x-2)，则：)2⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得322⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ，即M(32，2-)，)23⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得3=⎧⎪⎨=⎪⎩x y N(3)，则3==MN .12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.33 4B.233C.324D.3解析：利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值.正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图所示：正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长2，α截此正方体所得截面最大值为：2323362⎛=⎝⎭.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件22010--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩x yx yy，则z=3x+2y的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得3122=-+y x z，平移直线3122=-+y x z，由图象知当直线3122=-+y x z经过点A(2，0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6.答案：614.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .解析：先根据数列的递推公式可得{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1，当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②，由①-②可得a n=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，∴{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，∴()661126312-⨯-==--S.答案：-6315.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析：方法一：直接法，分类即可求出.1女2男，有122412=C C，2女1男，有21244=C C，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种.方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.336420416=-=C C 种.答案：1616.已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是 . 解析：由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x 在[0，2π)上的值域， 先来求该函数在[0，2π)上的极值点，求导数可得f ′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，令f ′(x)=0可解得cosx=12或cosx=-1，可得此时x=3π，π或53π；∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=3π，π或53π和边界点x=0中取到，计算可得f(3π)=，f(π)=0，f(53π)=，f(0)=0，∴函数的最小值为.答案：2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：每题12分，共60分.17.在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.(1)求cos ∠ADB.解析：(1)由正弦定理得25sin sin 45=∠︒ADB ，求出sin ∠ADB=5，由此能求出cos ∠ADB.答案：(1)如图所示：∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5，∴由正弦定理得：25sin sin45=∠︒ADB，即25sin sin45=∠︒ADB，∴2sin45si52n5︒∠==ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴2223 cos15⎛⎫⎪⎪∠⎭-⎝==ADB.(2)若2BC.解析：(2)由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=25，再由2，利用余弦定理能求出BC.答案：(2)∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=2 5，∵2，∴222cos2582222555 =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯= BC BD DC BD DC BDC.18.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD.解析：(1)利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则AE=12AD，BF=12BC，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC.由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF.又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解析：(2)利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角. 答案：(2)在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故V F-PDE=13PF·S△PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA ⊥面PEF ， 所以DE ⊥EP.设正方形边长为2a ，则PD=2a ，DE=a 在△PDE 中，a ，所以S △PDE=a 2， 故V F-PDE=a 3，又因为S △DEF =12a ·2a=a 2，所以223-==F PDE V PH a a ，所以在△PHD中，sin 4∠==PH PDH PD ，即∠PDH 为DP 与平面ABFD所成角的正弦值为：.19.设椭圆C ：2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程.解析：(1)先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程. 答案：， ∴F(1，0)，∵l 与x 轴垂直， ∴x=1，由22112=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y，解得21=⎧⎪⎨=⎪⎩x y或21=⎧⎪⎨=-⎪⎩x y ， ∴A(1，2)或(1，2-)，∴直线AM的方程为2+=-y x2=y x .(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：(2)分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明. 答案：(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k(x-1)，k ≠0， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为121222+=+--MA MB y y k k x x ，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得()()12121223422-++=--MA MB kx x kx x k k k x x ，将y=k(x-1)代入2212+=x y 可得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0， ∴2122421+=+k x x k ，21222221-=+k x x k ， ∴2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=2121+k (4k 2-4k-12k 2+8k 2+4k)=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB.20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0. 解析：(1)求出()()1822201=-f p C p p ，则()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p ，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p 0=0.1.答案：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则()()1822201=-f p C p p，∴()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p，令f′(p)=0，得p=0.1，当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，∴f(p)的最大值点p0=0.1.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX. (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出EX.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，EX=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验.答案：(2)(i)由(1)知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵EX=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验.21.已知函数()1ln=-+f x x a xx.(1)讨论f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. 答案：(1)函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数()222111-+'=--+=-a x axf xx x x，设g(x)=x2-ax+1，当a≤0时，g(x)＞0恒成立，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2-4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g(x)＞0，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，②当a＞2时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：综上当a ≤2时，f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a ＞2时，在(0，24--a a )，和(24+-a a ，+∞)上是减函数， 则(24--a a ，24+-a a )上是增函数.(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122---＜f x f x a x x .解析：(2)将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论.答案：(2)由(1)知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2=1，则()()()()()()12211221121211ln ln 2ln ln ⎛⎫-=-++-=-+- ⎪⎝⎭f x f x x x a x x x x a x x x x ， 则()()()12121122ln ln 22---=-+--＜f x f x a x x a x x x x ，则问题转为证明2211ln ln --x x x x ＜1即可，即证明lnx 1-lnx 2＞x 1-x 2，即证2lnx 1＞x 1-11x 在(0，1)上恒成立，设h(x)=2lnx-x+1x ，(0＜x ＜1)，其中h(1)=0，求导得()()222221212110--+'=--=-=-＜x x x h x x x x x ，则h(x)在(0，1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)，即2lnx-x+1x ＞0，故2lnx＞x-1 x，则()()12122---＜f x f xax x成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x-3=0，转换为标准式为：(x+1)2+y2=4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解析：(2)利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.答案：(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点(0，2). 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.2=，解得：k=43-或0，(0舍去)故C1的方程为：y=43-|x|+2.[选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)＞1的解集.解析：(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集.答案：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|=21211 21⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，＜xx xx，由f(x)＞1，∴2111⎧⎨-≤≤⎩＞xx或211⎧⎨⎩＞＞x，解得x＞1 2，故不等式f(x)＞1的解集为(12，+∞).(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.解析：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，转化为即|ax-1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜2x，且a＞0，即可求出a的范围.答案：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，∴|x+1|-|ax-1|-x＞0，即x+1-|ax-1|-x＞0，即|ax-1|＜1，∴-1＜ax-1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈(0，1)，∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为(0，2].。
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(附解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设2()3(46i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-2．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ⋂=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z3．已知命题:p x ∃∈R ，sin 1x <；命题:q x ∀∈R ，||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨4．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(1)1f x --B ．(1)1f x -+C ．(1)1f x +-D ．(1)1f x ++5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种7．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭8．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．299．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A ．⨯+表高表距表高表目距的差B ．⨯-表高表距表高表目距的差C ．⨯+表高表距表距表目距的差D ．⨯表高表距-表距表目距的差10．设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b<B ．a b>C ．2ab a<D ．2ab a>11．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．22⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．22⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12．设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．b a c <<D ．c a b<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为_________．14．已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．15．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求2212,,,x y s s ﹔（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ，（2）求二面角A PM B --的正弦值．19．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．20．（12分）设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．21．（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程；（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．答案与解析一、选择题1.C2.C3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.A 10.D11.C12.B二、填空题13.414.3515.16.③④（答案不唯一）三、解答题（一）必考题17.（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（1）；（2）1419.（1）由已知212n nS b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩20.（1）1a =；（2）由（Ⅰ）知，ln(1)11()ln(1)ln(1)+-==+--x x g x x x x x，其定义域为(,0)(0,1)-∞ ．要证()1g x <，即证111ln(1)+<-x x ，即证1111ln(1)-<-=-x x x x ．（ⅰ）当(0,1)x ∈时，10ln(1)<-x ，10x x -<，即证ln(1)1->-xx x ．令()ln(1)1=---x F x x x ，因为2211()01(1)(1)--=-=>--'-x F x x x x ，所以()F x 在区间(0,1)内为增函数，所以()(0)0F x F >=．（ⅱ）当(,0)x ∈-∞时，10ln(1)>-x ，10x x ->，即证ln(1)1->-x x x ，由（ⅰ）分析知()F x 在区间(,0)-∞内为减函数，所以()(0)0F x F >=．综合（ⅰ）（ⅱ）有()1g x <．21.（1）2p =；（2）（二）选考题22.（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）5sin 262πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭和sin 262πρθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．23.（1）(][),42,-∞-+∞ .（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。
2023年高考数学真题-新课标全国Ⅰ卷高考数学试题及答案
21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中
则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命
中率均为 0.8．由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
________．
15. 已知函数 f ( x) = cosx −1( 0) 在区间0, 2π有且仅有 3 个零点，则 的取值范围
是________．
16.
已知双曲线 C : x2 a2
− y2 b2
= 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ．点 A 在 C 上，点 B 在
y
2
20.
设等差数列 an 的公差为d
，且 d
1．令 bn
=
n2 + n an
，记 Sn ,Tn 分别为数列an,bn
的前 n 项和．
（1）若 3a2 = 3a1 + a3, S3 + T3 = 21 ，求an的通项公式；
（2）若 bn 为等差数列，且 S99 − T99 = 99 ，求d ．
D. − 7 9
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0
分.
9. 有一组样本数据 x1, x2 ,, x6 ，其中 x1 是最小值， x6 是最大值，则（ ）
A. x2 , x3, x4, x5 的平均数等于 x1, x2 ,, x6 的平均数
绝密★启用前 试卷类型：A
2023 年普通高等学校招生全国统一考试
高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
1
(A)
2
1
(B)
2
(C) 2
1 tan
则
2
1 tan 2
(D) 2
(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱长都为 a ， 顶点都在一个球面上，
则该球的表
面积为
(A) a 2
(B) 7 a2 3
(C) 11 a2 (D) 5 a2 3
(11) 已知函数 f ( x)
| lg x |,0 x 1 x 6, x 2
k=1, S=0
1 S=S+ k(k+1)
k=k+ 1
是 k<N
否 输出 S
结束
则 { x | f ( x 2) 0}
(A) { x | x 2或 x 4}
(B) { x | x 0或 x 4}
(C) { x | x 0或 x 6}
(D) { x | x 2或 x 2}
(9) 若 cos
4
， 是第三象限的角，
则在命题 q1 ： p1 p2 ， q2 ： p1 p2 ， q3 ： p1
命题是
p2 和 q4 ： p1
p2 中， 真
（ A ） q1 ， q3
（ B ） q2 ， q3
（ C） q1 ， q4
（D） q2 ， q4
(6) 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9， 现播种了 1000 粒， 对于没有发芽的种子， 每粒需
(19)( 本小题 12 分 ) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，
用简单随机抽样方法从该地区调查了
500 位老年人， 结果如下：
是否需要志愿
性别
男
女
需要
40
30
数学(理科)_2022年全国高考甲卷试题(解析版)
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
【小问2详解】
依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
期望 .
20.设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
（1）求C的方程；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥的侧面积公式可得 ，再结合圆心角之和可将 分别用 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
10.椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将 用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学+答题卡+答案+全解全析(2020.6.15)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
姓 名：_________________________________________ 准考证号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．已知集合 P = {x || x |> 2} ， Q = {x | x2 − 2x − 3 ≤ 0}，则 P ∩ Q =
A． (2, +∞)
B． (1, +∞)
C． (2,3]
D．[−1, 2)
其中 x1 ≠ x2 ，则实数 a 的取值范围是
A．
[
5 e
,
e)
B．
(
1 e
,
e)
C．
[1
+
1 e
,
e)
D．
[1
+
1 e
,
5 e
]
12 ． 如 图 ， 已 知 平 面 四 边 形 P'CAB 中 ， AC ⊥ BC ， 且 AC = 6 ， BC = 2 7 ，
P'C = P'B = 2 14 ，沿直线 BC 将 △P'BC 折起到 △PBC 的位置，构成一个四面
品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得 产品质量差的样本数据统计如下：
2023-2024学年全国高中高考专题数学人教A版高考真卷(含解析)
2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）1. 已知集合＝，那么下列表示正确的是（ ）A.B.C.D.2. 在一项调查中有两个变量（单位：千元）和（单位：），如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程类型的是( )A.B.C.D.3. 已知函数，则的最大值为( )A.B.C.D.A {0,1,2}0⊆A0∈A{1}∈A{0,1,2}Ax y t 8y x y=a +bxy=c +d x−√y=m +nx 2y=p +q (q >0)e xf (x)=x sin 2sin x +2f (x)−2−11(+−2)=022−−−−−√4. 方程表示的曲线是( )A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 4 分 ，共计44分 ）5. 设，则不等式的解集为________．6. 已知向量与向量的夹角为，若且，则的值为________.7. 已知是等比数列，＝，＝，则数列前项的和为________．8. 已知点在直线＝，则＝________．9. 若，，则的值域是________．（请用区间表示）10. 已知复数＝，＝（为虚数单位），且是实数，则实数的值为________．11. 若圆的半径为，则________．12. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则________．13. 数据，，，，，，，的第百分位数是________．14. 的展开式中的系数为________．（用数字作答）15. 已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为，则是的________心．(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√x ∈R |x −3|<1a →b →120∘=+c →a →b →⊥c →a →||a →||b →{}a n a 22a 5{}a n 5P(3cos θ,sin θ)l :x +3y 1sin 2θf(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)z 16+2i z 21+ai i +z 1a +−4x −2y +F =0x 2y 23F =△ABC A B C a b c b sin B +c sin C =a sin A A =10，1097654，32280(x −2)6x 3P −ABC P ABC O O △ABC三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 15 分 ，共计60分 ）16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，＝，是的中点．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长．17. 已知是定义域为的奇函数，当时，＝．（1）求；（2）求的解析式．18. （阅读题）在考察野生动物时，常常需要了解野生动物种群的大小，一种常用的方法是，先捕捉一定数量的动物，做上记号（假定记号不会消失），放回到原群体中，过适当时间后，再捕捉第二个样本，统计其中有标记的动物数，最后根据以上资料就可以估计该种群的大小．它的原理是：在捕捉第二个样本时，捉到有标记的动物数是一个服从超几何分布的随机变量，依据超几何分布的期望，就可以估计该种群的大小．现有某野生动物研究小组在山区随机捕捉了只山猫，做上记号后放回山里，一个月后他们又在该山区捕捉了只山猫，发现其中有只有记号．试估计该山区山猫种群的数量． 19. 已知函数在点处的切线与轴平行．（1）求实数，的值；（2）证明：．P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD DC E PC ()PA //BDE ()B −DE −C ()F PB PB ⊥DEF DF f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(x)X 40202f(x)=ax −ln(x +b)(1,1)x a b >(n ∈N,n ≥2)∑k=2n1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）1.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接由查元素与集合，集合与集合间的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】∵集合＝，∴．2.【答案】B【考点】散点图【解析】散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除．选项，故选【解答】解：散点图呈曲线，故排除选项；又因变量的增长速度变慢，故排除，选项.故选.3.【答案】D【考点】三角函数的最值A {0,1,2}0∈A 4C D BA C D B由三角函数的有界性得：设，则，由“对勾函数”的单调性得：，在为减函数，在为增函数，可得结果．【解答】解：设，则，则，设.由“对勾函数”的性质可得：在上单调递减，在上单调递增.又，，所以，所以的最大值为.故选.4.【答案】D【考点】曲线与方程【解析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由，可化为或，∵不成立，∴，∴方程表示的曲线是一条直线．故选．二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 4 分 ，共计44分 ）5.【答案】【考点】绝对值不等式t =sin x +2t ∈[1,3]g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t4t [1,2)(2,3]t =sin x +2t ∈[1,3]x =sin 2(t −2)2g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t 4t g(t)[1,2)(2,3]g(1)=1g(3)=13g =g(1)=1(t)max f (x)1D (+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√=0x −3−−−−−√+−2=0(x −3≥0)x 2y 2+−2=0(x −3≥0)x 2y 2x −3=0(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√D (2,4)由含绝对值的性质得，由此能求出不等式的解集．【解答】解：∵，不等式，∴，解得．∴不等式的解集为．故答案为：．6.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式求出和的值，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．【解答】根据题意，设等比数列的公比为，若＝，＝，则＝＝＝＝＝，所以前项的和＝＝，−1<x −3<1|x −3|<1x ∈R |x −3|<1−1<x −3<12<x <4|x −3|<1(2,4)(2,4)12{}a n q q a 1n {}a n q a 22a 4q 14{}a n 5S 28.【答案】【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意可得＝，两边平方，可得＝ 的值．【解答】∵点在直线＝，∴＝，两边平方，可得＝，9.【答案】【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离参数法即可求解．【解答】解：若，，可得，∵，∴，∴.故答案为：.10.【答案】−893cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θP(3cos θ,sin θ)l :x +3y 13cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θ=−89[−,)3437f(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)==2−2(x +3)−11x +311x +3x ∈[1,4)<≤11711x +3114f(x)∈[−,)3437[−,)34372【考点】复数的运算【解析】由已知求得，再由虚部为求解值．【解答】∵＝，＝，∴＝＝，由题意，＝，即＝．11.【答案】【考点】圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵圆的半径为，∴，解得．故答案为：．12.【答案】【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】+z 10a z 16+2i z 21+ai +z 1(6+2i)+(1−ai)7+(2−a)i 2−a 0a 2−4+−4x −2y +F =0x 2y 23=312(−4+(−2−4F )2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√F =−4−4【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：将数据从小到大排列：，则，故第百分位数为．故答案为：．14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：的通项公式为，令，则，∴的系数为.故答案为：.15.【答案】外【考点】棱锥的结构特征【解析】利用线面垂直的性质定理、勾股定理、三角形外心的性质即可得出．【解答】9.52，2，3，4，5，6，7，9，10，10i =10×80%=880=9.59+1029.5−160(x −2)6=(−2T r+1C r 6x6−r )r 6−r =3r =3x 3(−2=−160C 36)3−160ABC O如图所示，∵顶点在底面上的射影为，∴底面．∴＝＝＝．，，，∵＝＝．∴＝＝．∴是的外心．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 15 分 ，共计60分 ）16.【答案】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，由得＝，解得，∴，．P ABC O OP ⊥ABC ∠POA ∠POB ∠POC 90∘OA =P −O A 2P 2−−−−−−−−−−√OB =P −O B 2P 2−−−−−−−−−−√OC =P −O C 2P 2−−−−−−−−−−√PA PB PC OA OB OC O △ABC AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】Ⅰ利用中位线定理可得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式得解；Ⅲ假设存在，并设出的坐标，根据题设建立方程，解出即可得出结论．【解答】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，()OE //PA ()()F AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →=0→→=1由得＝，解得，∴，．17.【答案】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，故．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据已知可知＝，代入即可求解．（2）设，则，根据时，＝，及＝，＝即可求解函数解析式．【解答】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(0)0f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0(x)=−2,x >0x故．18.【答案】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据，可得，即可得出．【解答】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．19.【答案】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x X ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400X ∼H(n,M,N)E(X)=nM NX ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)数列与函数的综合【解析】（1）求导数，利用，，即可求实数，的值；（2），设，则恒成立，即在上是增函数，等价于，即可证明结论．【解答】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a b k −f(k)=ln k h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)。
2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3-参考解析)
word 格式-可编辑-感谢下载支持2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+=，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，采集并整理了2022年1月至2022年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2022年 2022年 2022年根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2022年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A．-80 B．-40 C．40 D．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A．221810x y -= B．22145x y -= C．22154x y -= D．22143x y -= 【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A．()f x 的一个周期为2π- B．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称C．()f x π+的一个零点为π6x = D．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D选项错误，故选D.π23π53-π36πx y O7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt 初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 10- 2第2次循环结束 90 1 3此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．π B．3π4 C．π２D．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A．24- B．3- C．3 D．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++又∵11a =，代入上式可得220d d +=又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A．63 B．33 C．2３D．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b ==+ 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b a c =-，可得()2223a a c =-，即2223c a = ∴63c e a ==，故选A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有惟一零点，则a =（）A．1-２B．13 C．12D．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有惟一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A．3 B．22 C．5D．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+=． ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ． ∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而0(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+，0215sin 5y λθ==+． 两式相加得：()A O DxyBPCE222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min31411z =⨯-⨯=-．A B (1,1)(2,0)x y -=20x y +-=yx14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那末'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈， 则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]22a AB θθαθ--⋅==∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |2AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=. 当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 2322πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |2θ=． ∴21cos |cos |22βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每一个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 0A A +=，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 3cos 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,27,4AC BC AB ===， 由余弦定理22227cos 27a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD =.由勾股定理223AD CD AC =-=.又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 326ABD S AD AB =⋅⋅=△.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [)1015， [)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为：X 200 300 500P1525 25 ⑵①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆为等边三角形DAB C EDABC EO∴BO AC ⊥ ∴AB BC = AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：22OD a =，32OB a = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面⑵由题意可知V V D ACE B ACE--= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫⎪⎝⎭，30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()13,1,3n =220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()20,1,3n =- 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7n nn nθ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程．DABC EyxOz【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或者1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=， 半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y yy +==，0023x y =+=， 半径22||31r OQ ==+ 则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立word 格式-可编辑-感谢下载支持∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n++++++<+++=-<， 即2111(1)(1)...(1)e 222n+++<． 另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=> 当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n+++∈ ∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222nm +++<， ∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+-2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为普通方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为普通方程 3:20l x y +-= ……③ 联立曲线C 和3l 22204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得32222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 由cos sinx y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得5ρ= 即M 的极半径是5．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得： ①当1-x ≤时显然不满足题意；word 格式-可编辑-感谢下载支持②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. ⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥， 令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥. 而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。