精品10215.3 第1课时 分式方程及其解法1
15.3第1课时分式方程及其解法课件人教版数学八年级上册【01】
4 3 7 xy
分式方程 (3) 3 x x
2
整式方程
(2) 1 3 x2 x
分式方程
（6）2x x 1 10 5
整式方程
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母 中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
新课讲解
2 分式方程的解法
你能试着解这个分式方程吗？
90 60 30+x 30 x
探究新知
解含有整式项的分式方程
例2
解方程
x x-1
-1=（x-1）（3 x+2）.
解：方程两边同乘（x-1）（x+2）
得 （x x+2）-（x-1）（x+2） =3.
化简，得 x+2 =3.
解得 x =1.
检验：当 x =1时，（x-1）（x+2） =0，
因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
90 = 60 30+v 30-v
左边= 90 90 5
30 6 36 2
右边= 60 60 5
30 - 6 24 2
左边=右边，所以v=6是原方程的解.
探究新知
问题3：
解分式方程：
1 x-5
=
10 . x2 -25
追问1： 你得到的解
x=5 是分式方程
1 = 10 x-5 x2 -25
巩固练习
2.指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后 得到的整式方程.
①1 2
2x x 3
②2 4
x 1 x2 1
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x； ②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；
八年级数学上册 15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件2_1-5
而高个子却说：“我虽然比你费劲，但我的金子比你多，回到家里，我比你有钱，比你阔气，比你舒服。”佛陀说完，手臂一挥，泥像真的变成了一个青年。，现在可叫我怎么办呢?” 老头子没有别的办法，只好把他的娃娃老太婆捧在手上抱回家
2 = 3. x−3 x
解： 方程两边乘x(x-3),得
Байду номын сангаас
2x=3x-9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 解方程
x −1 =
3
.
x −1
(x −1)(x + 2)
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
典例精析
例1 解方程
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
◆用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程
x =a
x =a是分式 方程的解
x =a 否 最简公分母是
否为零？
去分母 解整式方程 检验
是 x =a不是分式 方程的解
” 马努打开了船门，他的朋友们都进来了。待到第二日，老鸦终于耐不住质问道：“这一月，难道不给我发工资?” 小两口第一个反应是诧异，继而仿佛明白了什么。 有一天，天气很热，他却不怕热，在路上走个“”形不时还吐痰、说脏话，没大没小地骂人。
初中八年级数学课件 15.3 第1课时 分式方程及其解法
知识要 点
“去分母法”解分式方程的步 骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目 标
1.解分式方程的基本思路和解法.（重点）
2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
导入新课
情境引 入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/ 时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用 时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时 间解相：等设，江江水水的的流流速速为为x千多米少/？时.
分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程
的简解记，为否：则“须一舍化去二。解三检验”. 4.写出原方程的根.
典例精 析
23 例1 解方程x 3 x .
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例2
x 解方程x 1
90 60 ① 30+x 30 x
方程各分母最简公分母是： 解：（方3程0+①x）两(边30同-x乘) （30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)， x=6是原分
解得 x=6.
式方程的解 吗？
检验：将x=6代入原分式方程中5 ，左边= =右 边，因此x=6是原分式方程的解.2
90 60 . 30+x 30 x
八年级数学上册15.3分式方程第1课时分式方程及其解法学案新人教版(new)
15．3 分式方程第1课时分式方程及其解法1．理解分式方程的意义．2．掌握分式方程的基本思路和解法．3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．阅读教材P149～151,完成预习内容．知识探究1．填空：(1)分母中________有未知数的方程叫做整式方程（2)分母中__________的方程叫做分式方程．2．判断下列说法是否正确:①错误!＝5是分式方程;②错误!＝错误!是分式方程;③错误!＝1是分式方程；④错误!＝错误!是分式方程．3．解分式方程的一般步骤：(1)________；（2）________；(3）________；（4)________．自学反馈1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?①错误!＝错误!；②错误!＋错误!＝7;③错误!＝错误!;④错误!＝－1；⑤错误!＝错误!；⑥2x＋错误!＝10；⑦x－错误!＝2；⑧错误!＋3x＝1。
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数．2．解方程：错误!＝错误!.活动1小组讨论例1解方程：错误!＝错误!。
解：方程两边乘(x＋1）(x－1）,得2（x＋1）＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)（x－1)＝0.∴x＝1不是原分式方程的解．∴原分式方程无解．例2解方程：（1）错误!＝错误!＋1；（2)错误!－错误!＝0.解：(1)x＝－错误!。
(2)x＝错误!。
活动2跟踪训练1．解分式方程:(1)错误!＝错误!－2；（2)错误!＋1＝错误!；(3)错误!＝1－错误!。
方程中分母是多项式,要先分解因式，再找公分母．活动3课堂小结解分式方程的思路是：分式方程错误!错误!―→错误!【预习导学】知识探究1．(1）不含（2)含有未知数2。
①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数． 3.（1）去分母(2)解整式方程（3)验根（4）小结自学反馈1．①⑤⑥是整式方程,因为分母中没有未知数．②③④⑦⑧是分式方程,因为分母中含有未知数． 2.x＝1。
新人教版初中数学八年级上册15.3第1课时分式方程及其解法公开课优质课导学案
15.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法学教目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.学教重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学教难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学教过程：一、温故知新：1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？（1）前面我们已经学过了 方程。
（2）一元一次方程是 方程。
（3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
如解方程：163242=--+x x2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -=+206020100.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。
未知数在分母的方程是分式方程。
未知数不在分母的方程是整式方程。
前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。
如解方程：v +20100=v-2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得100（20-v ）=60（20+v ）……………………②解得 v=5观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。
这说明，对于方程①说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
15.3 第1课时 分式方程及其解法人教版八年级上册数学 15.3 第1课时 分式方程及其解法教案1
15．3分式方程第1课时分式方程及其解法1．了解分式方程的概念．(重点)2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点)3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)一、情境导入1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？3．解一元一次方程的一般步骤是什么？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列关于x的方程中，是分式方程的是( )A.3＋x2＝2＋x5B.2x－17＝x2C.xπ＋1＝2－x3D.12＋x＝1－2x解析：A中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程分母含未知数x，故是分式方程．故选D.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．探究点二：分式方程的解法【类型一】解分式方程解方程：(1)5x＝7x－2；(2)1x－2＝1－x2－x－3.解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得x＝－5，检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2，检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点三：分式方程的增根 【类型一】求分式方程的增根若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根可能为( )A ．0B ．2C ．0或2D ．1解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x 的分式方程2x －3＝1－mx －3有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．3解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，即(m －1)x ＝－10.①当m －1＝0时，此方程无解，此时m ＝1；②方程有增根，则x ＝2或x ＝－2，当x ＝2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×2＝－10，m ＝－4；当x ＝－2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×(－2)＝－10，解得m ＝6，∴m 的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计分式方程及其解法1．分式方程的概念； 2．分式方程的解法；3．产生增根的条件．这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错．。
八年级数学上册15.3分式方程第1课时分式方程及其解法教学课件新版新人教版
第1课时 分式方程及其解法
课件说明
• 本课是在学生已经学习了分式方程的概念并能够 解简单的分式方程的基础上，进一步巩固可化为 一元一次方程的分式方程的解法，归纳出解分式 方程的一般步骤，能够列分式方程解决简单的实 际问题．
课件说明
• 学习目标： 1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系 数的分式方程． 2．能够列分式方程解决简单的实际问题． 3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思 想．
课堂练习
练习2
解关于x
的方程 m x
-
n x+1
=0
（m n 0）.
解：∴
x=-
m m-n
．
检验：当
x=-
m m-n
时，（x x+1） 0，
所以，x=-
m m-n
是原分式方程的解．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？
解母系数的分式方程
例3
解关于x 的方程
a x-a
+b=1
（b 1）.
解： ∴
x=
ab-2a b-1
．
检验：当
x=
ab-2a b-1
时，x-a
0，
所以，x=
ab-2a b-1
是原分式方程的解．
课堂练习
练习2
解关于x
的方程 m x
-
n x+1
=0
（m n 0）.
解：方程两边同乘 （x x+1），得 m（x+1）-nx =0. 化简，得 mx+m-nx=0. 移项、合并同类项，得（m-n）x = -m. ∵ m n 0， ∴ mn 0，
八年级数学上册 15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件2_1-5
的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
这个整式方程的解是不是原 分式的解呢？
怎样检验？
◆检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则
整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
◆用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程
x =a
x =a是分式 方程的解
x =a 否 最简公分母是
否为零？
去分母 解整式方程 检验
是 x =a不是分式 方程的解
轻质隔墙板
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
典例精析
例1 解方程
2 = 3. x−3 x
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 解方程
1
(x −1)(x + 2)
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
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15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
一、选择题
1．下列方程是分式方程的是（ ）
(A)2513
x x =+- (B)
315
226
y y -+=- (C)21
2302
x x +-=
(D)81
257
x x +-=
2．（2013温州）若分式的值为0，则x 的值是（ ）
A ． x =3
B ． x =0
C ． x =﹣3
D ． x =﹣4
3．（2013益阳）分式方程的解是（ ）
A ． x =3
B ．]
x =﹣3
C ． x =
D ． x=
4．关于x 的方程4
3
32=-+x a ax 的解为x =1，则a 应取值( ) A.1
B.3
C.－1
D.－3
5．(2013年黄石)分式方程
31
21
x x =
-的解为（ ） A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x =
6．（2012浙江丽水）把分式方程x
x 1
42=+转化为一元一次方程时，方程两边需
同乘以（ ）
A.x
B.2x
C.x+4
D.x （x+4） 7．要使
x x --442与x
x --54
互为倒数，则x 的值是（ ） A 0 B 1 C 1- D 2
1
8．若
3x 与61x -互为相反数，则x 的值为（ ） A.13 B.－1
3 C.1 D.－1 二、填空题 9．（2013淮安）方程
的解是 ．
10．（2013苏州）方程
=
的解为 ．
11．(2010年浙江省金华)分式方程1
12
x =-的解是 ． 12．（2010山东德州）方程x
x 1
32=-的解为x =___________． 13．方程
x
x 5
27=-的解是 ． 14．（2013绍兴）分式方程
=3的解是 ．
15．若分式方程2()2
(1)5
x a a x -=--的解为3x =，则a 的值为__________．
16．若方程
212x a
x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________． 17．如果424x x --的值与5
4
x x --的值相等，则x =___________．
18．（2012四川省资阳市）观察分析下列方程：①32
=+x
x 的解是21==x x 或，
②56=+x x 的解是32==x x 或，③712=+x
x 的解是43==x x 或；请利用它们所
蕴含的规律，求关于x 的方程2243n n x n x ++=+-（n 为正整数）的解，你的答案
是： ． 三、解答题
19．(2013年武汉)解方程：x
x 3
32=-．
20．（2010年浙江台州市）解方程：1
23-=x x ．
21．已知方程5
3
1)1()(2-=-+x a a x 的解为2=x ,则a 的值时多少？
22．（2010福建德化）如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是3-和x
x
--21，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值.
23．若方程k
x x +=+233有负数解,则k 的取值范围是 什么？
-3
x
x
--21 B ． 0
A ．
一、选择题
1．A 2．A 3．B 4．D 5.D 6. D 7. C 8.A
二、填空题
9．2-=x 10．2=x 11．3=x 12．—3 13．5-=x 14．3=x 15．5 16．1- 17．1- 18．43+=+=n x n x 或 三、解答题
19．9=x 20．3=x
21．把2=x 代入原分式方程得
()5822-=+a a ，解得9
10
-=a 22．根据题意可知
321=--x
x
，解得25=x 23．解原分式方程得k x 36-=，
2,036,0><-<∴解得即原分式方程有负解，k x Θ。