1.1 利用函数性质判定方程解的存在
§1.1利用函数性质判定方程解的存在
y f ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
二、二次函数的零点的个数： 二次函数 根据函数 零点的意 2 １）△＞０，方程 ax bx c 0 有两不等实根，二次函数 义探索研 的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． 究二次函 数的零点 2 ２）△＝０，方程 ax bx c 0 有两相等实根（二重根） ， 情况，并 二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个零点． 进 行 交 流，总结 2 ３）△＜０，方程 ax bx c 0 无实根，二次函数的图象 概括形成 与 x 轴无交点，二次函数无零点． 结论． 三、零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数 f ( x) x 2 2 x 3 的图象：
引导学生 探索判断 函数零点 的方法， ， 结合图象 对函数有 一个零点 形成直观 的认识．
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1） f ( x) x 3 3x 5 ； （2） f ( x) 2 x ln(x 2) 3 ； （3） f ( x) e x1 4x 4 ； 课堂小结 本节学习了：①零点的概念；②函数零点的求法；③函数零点的判定方法；④ 判定零点的个数。 1． 教材 P116 第 2、3 题； 2． 求下列函数的零点： （1） y x 5x 4 ；
1
1.函数零点的意义： 函数 y f ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0 实数根，亦即函数
y f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标．
即： 方程 f ( x) 0 有实数根 函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有 交点 函数 y f ( x) 有零点．
2.函数零点的求法： 求函数 y f ( x) 的零点：
课题§1利用函数性质判定方程解的存在
【课题】§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在【课时】第一课时【教学目标】1.知识与技能①正确认识函数与相应方程的关系，理解函数零点的概念,求方程的实数解就是求函数的零点，体会函数知识的核心作用.②掌握零点存在的判定条件，并能利用函数的性质判定方程解的存在性.（2）过程与方法：①由特殊方程的根与相应函数的关系，推广到一般方程与函数的关系.②由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况.③学生自主探究得到零点存在区间的判断方法.（3）情感态度与价值观：①在学习的过程中，体会数形结合思想及函数与方程想的应用.进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间的内在联系.②感受探索学习、发现结论的乐趣.【教学重点、难点】重点：理解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理难点：零点存在性定理的准确理解及零点的确定.【学法与教学用具】学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪【新课导学】（一）实例引课请同学们研究下列函数图像及相应方程根的情况.①函数y=尢一1方与程x—1=O【师】引导学生解方程，画函数图像，分析方程的根与函数图像与X轴交点坐标的关系，引出零点概念. 【生】独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流.发现结论：______________________________________________________________意图：问题比较简单，面向了全体学生，符合学生认知规律，真正让学生思维“动”起来。
让学生感知“函数的零点”概念发生的过程和求函数零点的两种方法：方程求根法与图像法.思考：一般地，对于方程/(X)=O与函数y=f{x}上述关系适应吗？试举例说明！(二)互动交流研讨新知1函数零点的概念：函数y=∕(x)图像与横轴(X轴)的交点的横坐标称为这个函数的零点.注：函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程/(x)=0实数根.概念加强：求下列函数的零点.y=1og2xy=(x-2)∙(x-3)∙(x-4)方程f(%)=0有实数根O函数y=/(%)的图像与A轴有交点。
精 品 教 学 设 计4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
利用函数性质判定方程解的存在
②采用“启发――探究――讨论”的教学模式; ③教学中巧妙地融入人文、数学史教育，对学 生进行数学文化和人文熏陶，提高课堂教学的 品味; ④理论依据：维果茨基“最近发展区”理论；新
课程理论；APOS理论、课堂教学金字塔理论.
• 我们将用两个课时来学习高次方程和任意 方程的近似解的求法,本节课重点解决方程 解的存在性问题,即函数的零点存在性问题.
零点存在性的探索
1、如图: X轴两侧有两点P、Q，现你用一条 不间断的曲线在[a,b]上将P、Q两点连起来， 观察曲线与x轴的交点情况及P、Q两点对应 的y值的乘积情况.
Q
a
y f x
( a, b)
x 2 3 x =0 在区间[-1，0]内有没有实数解， 解法3：方程
方程 3 =x 在区间[-1，0]内有没有实数解，
x 2
x 2 函数 和 y 3 y =x 的图像在区间[-1，0]内有没有交 点
运用几何画板分别在同一个坐标系中作出函数 y 3x 和 2 y =x 的图像，如下：
• “函数零点”这个名称非常妙，点出了事物的本质。 同学们能否给出函数零点的定义？
函数的零点：
f x) 的图像 我们把 函数 y （ 与横轴的交点的横坐标称为这个 函数的零点
思考1：函数零点是一个点？
思考2：函数零点有哪些等价关系？
数根
x0 是方程f(x)=0的实
数
函数y=f(x)的图像与x轴有 交点（ x0 ，0 ）
P
b
零点存在性的探索
思考 4：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？ 探究: （Ⅰ）观察二次函数 f ( x) x 2 2x 3 的图象： 1 在区间 (-2,1) 上有零点 ______ ； f (2) _______ ， ○
北师大版高中数学必修一4.1.1利用函数性质判定方程解的存在课件3
函数 y 3x的图像与函数y x2的
图像在区间-1,0内有交点
1 a 0
x
变式：
若 f (x) 3x x2.问：方程 f (x) 0 在区间 -1,4内有
没有实数解？
分析：f (1) 0 ，f (4) 0不符合定理条件，但我们
发现该方程在区间 -1,4 内是有解的.
y
1 0
所以满足定理条件，则函数 y f (x)在区间
______零点.
观察下面函数图像，如何才能确定零点的存在？
抛必物有线 零与点横，轴若在不满足条内件有也一可个能交0 存点在，零点12
1x
的图像是连续的，在区间（-3,0）之间存数
有零点
1、零点的概念，零点存在判定定理1 以及应用
若函数
在区间
上单调且
则在区间
内，函数
______零点.
所以在 内存在一点a，
，
函数
的图像与x轴有交点
②方程
有实数根
②方程
有实数根
必有零点，若不满足条件也可能存在零点
的图像是连续的，在区间（-3,0）之间存在零点
例1 已知函数
.
方程
有两个相异的实数解，
1利用函数性质判定方程解的存在
在
内存在一点 b， .
作业
预习下一节课
所以满足定理条件，则函数
在区间
若
.
，
不符合定理条件，但我们发现该方程在区间
在 内也有一个交点.
方程
有两个相异的实数解，
1 内是有解的.
因为 f x的图像是开口向上的抛物线，
所以在- ，2内存在一点a，f a 0 ，
在 5， 内存在一点 b，f b 0 .所以
1.1利用函数性质判定方程解的存在
y f(a)>0
x1 x2 x3
O
xf(b)<0
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在 (a,b)上有零点，但不一定满足f(a) ·f(b)<0
y f(a)>0 f(b)>0
x1
O
x
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且 f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。
所以方程 3x x2 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个
大于5,一个小于2.
y
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一 交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
y
f(a)>0 f(b)>0
x1 x2
O
x
典例分析:
北师大版数学教材 必修1
例 2.已知函数 f (x) 3x x2 .问:方程 f (x) 0 在[1,0] 内
有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f (x) 3x x2 的图像是连续的,
又因为 f (1) 2 0 , f (1) 2 0 , 3
作业布置:
• 1.教材P119,习题4—1之A组第 2题.
• 2.教材P119,习题4—1之B组第 1题.
பைடு நூலகம் 课后思考：
请求出方程 x log2 x 0 的一个有解区间 (a,b) , 使得 b a 0.1.
利用函数性质判定方程解的存在(公开课)
注意：
1.零点指的是一个实数，而非 一个点； 2.不是所有函数都有零点.
1 2 y , y x 2 x 3. 如: x
零点是一个点吗?
函数都有零点吗?
等价关系:
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
4.1.1利用函数性质 判定方程解的存在
复习回顾
初中我们学习过
方程x 2 x 6 0解的个数问题， 或者函数y=x x 6的图像与x轴交点个数问题
2
即方程的根与函数图像与x 轴交点之间的关系
一元二次方程的根与二次函数图像与 x 轴交点关系 判别式△ = △＜0 2 △＞ 0 △ =0 b －4ac
f(0)=-6
-6
结论：零点存在定理
函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象 是连续不断的一条曲线, 并且有f(a)· f(b)<0,
那么函数y=f(x)在区间(a, b)内必有零点, 即
存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也就是方程 f(x)=0的根.
对函数零点的存在性定理的理解
(1) 函数零点的存在性定理只能判断函数零 点的存在性，不能判断零点的个数. (2) 只要函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连 续不断，且在区间[a, b]两端的函数值异号, 则 函数y=f(x)在区间[a, b]上必定存在零点. (3) 若函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象连续不 断, 且函数y=f(x)在区间[a, b]也存在零点, 则函 数y=f(x)在区间[a, b]两端的函数值可能同号也 可能异号.
18-19 第4章 §1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在
§1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在学习目标：1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2.掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3.能结合图像求解零点问题．(难点)[自主预习·探新知]函数零点及判定定理阅读教材P115～P116整节的内容，完成下列问题．函数的零点及判定定理(1)函数的零点：①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．思考：(1)函数的零点是点吗？(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？[提示](1)不是点，是数．(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2,2)上有±1两个零点．[基础自测]1．思考辨析(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝x－1x的零点是________．±1[由y＝0，得x－1x＝0，解得x＝±1.]3．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值是________.【导学号：60712354】14[依题意，f(4)＝0，即16a－2log24＝0，解得a＝1 4.]4．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)A[∵f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且f(x)在区间[0,1]上连续，∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点．又f(x)在R上是增函数，则f(x)有唯一零点．故选A.][合作探究·攻重难]求函数的零点(1)y＝－x2－x＋20；(2)y＝x4－1.【导学号：60712355】[思路探究]先因式分解，再确定函数的零点．[解](1)由y＝0，得－x2－x＋20＝0，解得x＝－5或4.所以，其零点为－5和4.(2)由y＝0，得x4－1＝0，解得x＝±1.所以，其零点为－1和1.[规律方法]当方程f(x)＝0易于求解时，可通过解方程f(x)＝0得到函数y ＝f(x)的零点.[跟踪训练]1．求下列函数的零点．(1)f(x)＝log3(x＋1)；(2)f(x)＝(ax－1)(x－1)(a∈R)．[解](1)由f(x)＝0，得log3(x＋1)＝0，x＋1＝30，x＝0.所以，函数f(x)的零点为0.(2)由f(x)＝0，得(ax－1)(x－1)＝0，当a＝0时，f(x)＝－x＋1，令－x＋1＝0，得x＝1，则f(x)的零点为1和当a＝1时，f(x)＝(x－1)2，令(x－1)2＝0，得x＝1，则f(x)的零点为1；当a≠0，且a≠1时，令(ax－1)(x－1)＝0，得x＝1或x＝1a，则f(x)的零点为1和1a.综上所述，当a＝0，或1时，f(x)的零点为1，当a≠0，且a≠1时，f(x)的零点为1和1a.判断零点所在的区间x 12345 6f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间A．2个B．3个C．4个D．5个(2)函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是()【导学号：60712356】A ．(1,2)B ．(2,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e 和(3,4)D ．(e ，＋∞)[思路探究] 在区间(a ，b )上检验f (a )·f (b )是否满足函数零点存在性定理．(1)B (2)B [(1)由已知数表可知f (2)·f (3)＝10×(－7)＜0，f (3)·f (4)＝(－7)×6＜0，f (4)×f (5)＝6×(－4)<0，故函数f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点．(2)∵f (1)＝－2＜0，f (2)＝ln 2－1＜0，∴在(1,2)内f (x )无零点，A 错；又f (3)＝ln 3－23＞0，∴f (2)·f (3)＜0， ∴f (x )在(2,3)内有零点．]母题探究：1.(变条件)已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在区间是( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)C [因为f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，所以f (1)·f (2)<0，所以f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点，又f (x )仅有一个正零点，故选C.]2．(变结论)在(变条件)中，函数y ＝f (x )有负零点吗？[解] 当x ≤－1时，f (x )＝x 3－x －1＝x (x 2－1)－1<－1，当－1<x <0时，f (x )＝x 3－x －1＝x 3－(x ＋1)<－(x ＋1)<0，综上知，当x <0时，f (x )<0，因此，f (x )没有负零点．[规律方法] 1.确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的其他性质，如单调性.零点个数的判断(1)y＝e x＋2x－6；(2)y＝log2x－x＋2.【导学号：60712357】[思路探究]借助函数的单调性和图像解答．[解](1)∵y1＝e x在R上单调递增，y2＝2x－6在R上单调递增，∴y＝e x＋2x－6在R上单调递增．又f(0)＝1＋0－6＝－5＜0，f(3)＝e3＋6－6＝e3＞0.∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点．(2)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝log2x与y＝x－2图像交点个数．在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点．从而函数y ＝log2x－x＋2有两个零点．[规律方法]判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.(2)用定理：零点存在性定理.(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点.[跟踪训练]2．(1)函数f(x)＝x－4x的零点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个(2)函数f (x )＝x13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(1)C (2)B [(1)令f (x )＝0，即x －4x ＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个．故选C.(2)函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的零点个数，即方程x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝0的根的个数，即函数y ＝x 13的图像与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 图像的交点个数；画出两者的图像(如图)，可得交点的个数为1.]函数零点的分布[1．当a >0时，画出函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间(m ，n )内有两个零点图像，并根据图像的特征，写出参数a ，b ，c 满足的条件．提示：⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，m <－b 2a <n ，Δ>0，f (m )>0，f (n )>0.2．对于探究1中的问题，将“a >0”改为“a <0”，进行探究．提示：⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，m <－b 2a <n ，Δ>0，f (m )<0，f (n )<0.当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． [思路探究] 分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果．[解] (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意．(2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝1a <0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. [规律方法] 解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.(2)结合草图考虑三个方面：①开口方向；②Δ与0的大小；③对称轴与所给端点值的关系；④端点的函数值与零的关系.[跟踪训练]3．若本例中的方程至少有一个正根，求实数a 的取值范围.【导学号：60712358】[解] (1)当a ＝0时，方程变为－2x ＋1＝0，解得x ＝12，符合题意．(2)当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a ≥0，1a ＞0，f (0)＞0，解得a ≤1，故0＜a ≤1.(3)当a ＜0时，因为f (0)＝1，故函数f (x )＝ax 2－2x ＋1与x 轴一定有两个交点，故方程ax 2－2x ＋1＝0必有一个正根．综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]．[当 堂 达 标·固 双 基]1．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( )【导学号：60712359】A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个B [由于函数y ＝f (x )在R 上递增，所以函数的图像最多与x 轴有一个交点，即函数y ＝f (x )的零点至多有一个．故选B.]2．y ＝x ＋1的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )A ．－1，(－1,0)B ．(－1,0)，0C ．(－1,0)，－1D ．－1，－1C[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，故交点坐标为(－1,0)，零点是－1.]3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；②函数f(x)在(3,5)内无零点；③函数f(x)在(2,5)内有零点；④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．以上说法错误的是________(将序号填在横线上).【导学号：60712360】①②③[由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．]4．函数f(x)＝2x－3的零点在区间(k，k＋1)内，则整数k的值为________．1[由题意f(k)f(k＋1)＝(2k－3)(2k－1)＜0，解得12＜k＜32.又因k为整数，故k＝1.]5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝2x－3；(4)y＝1－log5x.【导学号：60712361】[解](1)令y＝0，得2x＋1＝0，无解．故函数不存在零点．(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点．(3)令y＝0，得2x－3＝0,2x＝3，解得x＝log23.故函数的零点为log23.(4)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5.故函数的零点为5.。
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
思考：下列方程有解吗？
问
x 1 0 x2 3x 2 0
题
x3 3x 2 0
引
3x x2 0
入
lg x 1 0
x
利用函数性质判定方程解的存在
新
知
探究一：方程的解和相应函数有什么关系？
探
f (x) 0 与 y f (x)
究
问 题： 完成下列表格，思考一元二次方程的实数解 与相应的二次函数图像与x轴的交点有什么关系?
4.给定理再加一个什么条件就能保证函数有唯一零点？
定理解读
1.使用定理需满足 :(1)函数 y=f(x) 在[a,b]上的图 像连续;(2)f(a)f(b)﹤0。
2.满足定理只能判断零点存在，不能判断有几个零点。
a
b
a
b
a
b
a
b
3. 若f(a)f(b)>0,函数也可能有零点。
4.如果函数 y=f(x) 在[a,b]上的图像是连续不断的一 条曲线，f(a)f(b)﹤0,且在[a,b]上具有单调性，那么 这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
例2 已知函数f (x) 3x x2,问方程f (x) 0
在区间[1,0]内有没有实数解？
课堂练习
1.函数f (x) ln x 1的零点所在区间为( A ) x
A（. 1, e）B（. e, e2）C（. e2, e3）D（. e3,e4）
2.方程的( 1 ) x 2
log2
x实根个数为(
y (气温)
6
O
12 x (时间)
2
思考：是否一定有一时刻温度为零度？
探
探究：怎样判断一个函数是否存在零点呢？ 思考： 观察下列两组画面,哪一组画面的小马一定过河了？
新教材高中数学第五章函数应用1-1利用函数性质判定方程解的存在性课件北师大版必修第一册
【对点练习】❷ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－(x－1)2＋1，
解法二：由 x2－1x＝0，得 x2＝1x.
令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象，由图可知两函数图象只有一 个交点，故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点．
(3)当 x≥0 时，令 f(x)＝0，得 x＋1＝0，解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾； 当 x＜0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0，解得 x＝1，与 x＜0 矛盾，∴函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ ＜00，没有零点．
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 函数的零点 (1)零点的概念：如果函数y＝f(x)在实数__a_处__的__函__数__值__等__于__0___，即
___f(_a_)_＝__0__，则a为函数f(x)的零点． (2)零点的意义
思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)所有的函数都有零点吗？ 提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数 f(x)＝x＋1 的零点 是－1，而不是(－1，0)． (2)并不是所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x，y＝x2＋1 均没有零 点．
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【素养目标】 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 【学法解读】 1．理解函数的零点、方程的根与图象与x轴交点三者之间的关 系．(数学抽象) 2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(直观想 象) 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(逻辑推理)
数学高一- (北师大)必修一 1.1利用函数性质判定方程解的存在
§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在问题导学 一、求函数的零点活动与探究1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： (1)f (x )＝1＋log 3x ； (2)f (x )＝4x －16； (3)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.迁移与应用1．求下列函数的零点：(1)f (x )＝－x 2＋2x ＋3；(2)f (x )＝2x －2.2．若函数f (x )＝1x＋a 的零点是－2，则a 的值为________．1．求函数f (x )的零点，基本方法是解方程f (x )＝0，方程的根就是零点． 2．解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解． 二、函数零点个数的判断活动与探究2判断函数f (x )＝x 2－1x 的零点的个数．迁移与应用1．函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 2．求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数．判断函数零点的个数常有以下方法：(1)解方程f (x )＝0，方程根的个数就是函数f (x )的零点的个数；(2)画出函数f (x )的图像，该图像与x 轴交点的个数就是函数f (x )零点的个数； (3)将方程f (x )＝0变形为g (x )＝h (x )，在同一坐标系中画出函数g (x )和h (x )的图像，两个图像交点的个数就是原函数f(x)零点的个数．三、判断方程(函数)在指定区间上是否存在实数解(零点)活动与探究3(1)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()．A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(2)已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？迁移与应用1．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()．A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)2．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．判断一个方程f(x)＝0(函数f(x))在区间[a，b]上是否存在实数解(零点)，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，其次再检验是否满足f(a)·f(b)＜0.若满足，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点，且相应的方程f(x)＝0必有实数解．四、函数零点的综合应用活动与探究4当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？迁移与应用若函数f(x)＝x2＋2x－a的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是________．解决这类问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(3)写出由题意得到的不等式．(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意．当堂检测1．函数f(x)＝x＋1x2＋1的零点是()．A ．1B ．－1C ．±1D ．0 2．函数f (x )＝ln x －1的零点所在的大致区间为( )． A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上零点的个数是( )． A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有4．函数f (x )＝x 2－12log ||x 的零点的个数是________．5．若方程ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求a 的取值范围．答案： 课前预习导学 【预习导引】1．(1)交点的横坐标 (2)f (x )＝0预习交流1 提示：不正确．函数的零点是函数图像与x 轴交点的横坐标，即函数零点的实质是一个实数，而不是几何上的点．预习交流2 提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y ＝1x 和y ＝x 2＋3等都没有零点．对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，计算Δ＝b 2－4ac ，则当Δ＞0时，f (x )有2个零点，当Δ＝0时，f (x )有1个零点，当Δ＜0时，f (x )无零点．2．至少有一个零点 至少有一个实数解预习交流3 (1)提示：函数在(a ，b )内有零点，可能只有1个，也可能有多个．图①和②分别是函数f (x )和g (x )的图像．由图知，f (x )与g (x )的图像在(a ，b )上连续不断，且满足f (a )·f (b )＜0，图①中函数f (x )在(a ，b )内有2个零点，图②中函数g (x )在(a ，b )内有3个零点．由此可见，满足题设条件的函数的零点不一定只有1个．(2)提示：不一定．例如：函数f (x )＝x 2－1在区间(－2,2)内有2个零点，但却有f (－2)·f (2)＞0.(3)提示：不对．例如：函数f (x )＝1x 在闭区间[－2,2]上的图像不连续，虽有f (－2)·f (2)＜0，但f (x )在(－2,2)内没有零点．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)令1＋log 3x ＝0， 则log 3x ＝－1，解得x ＝13，所以函数的零点为x ＝13.(2)令4x －16＝0，则4x ＝42， 解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2.(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2，令(x ＋6)(x －2)x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为x ＝－6. 迁移与应用 1．解：(1)令－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3，即函数的零点是x 1＝－1，x 2＝3. (2)令2x －2＝0，解得x ＝1， 即函数的零点是x ＝1.2．12 解析：依题意知f (－2)＝0，即1－2＋a ＝0，所以a ＝12.活动与探究2 解：(方法一)令f (x )＝x 2－1x ＝0，得x 2＝1x ，即x 3＝1，解得x ＝1，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．(方法二)令f (x )＝x 2－1x ＝0，得x 2＝1x ，设g (x )＝x 2，h (x )＝1x ，在同一坐标系中分别画出函数g (x )和h (x )的图像，由图像可知，两个图像只有一个交点， 故函数只有一个零点．迁移与应用 1．C 解析：令f (x )＝0，即x －4x ＝0.解得x ＝±2.所以f (x )有2个零点．2．解法一：在同一平面直角坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝6－2x 的图像，由图知，两个函数图像只有一个交点，故函数f (x )的零点个数为1.解法二：∵f (2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2＜0， f (3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0， ∴f (2)·f (3)＜0.∴f (x )在(2,3)上有零点． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴函数f (x )有且只有一个零点．活动与探究3 思路分析：(1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可；(2)要判断方程f (x )＝0在区间[－1,0]上有没有实数解，只需看f (－1)，f (0)是否异号即可．(1)C 解析：由于f (－2)＝e －2－2－2＜0，f (－1)＝e －1－1－2＜0，f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e ＋1－2＝e －1＞0，所以f (0)·f (1)＜0，因此零点所在的一个区间是(0,1)．选C.(2)解：∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，又∵函数f (x )＝2x －3x 2的图像是连续曲线，∴f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．迁移与应用 1．C 解析：构造函数，转化为求函数的零点所在的区间．令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是连续且单调的函数，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．2．解：设函数f (x )＝x 3－2x ， ∵f (1)＝1－2＝－1＜0， f (2)＝8－4＝4＞0， ∴f (1)·f (2)＜0.又∵函数f (x )＝x 3－2x 的图像是连续曲线，∴函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数解．活动与探究4 思路分析：令函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，本题的实质是该函数的一个零点在(0,1)上，另一个在(1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对a ＞0，a ＝0，a ＜0作出讨论．解：当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． 当a ＞0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， 因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34＜a ＜1.当a ＜0时，设方程的两根为x 1，x 2， 则x 1·x 2＝1a＜0，x 1，x 2一正一负，不符合题意． 综上，a 的取值范围为34＜a ＜1.迁移与应用 a ＞3 解析：依题意，由图像可知f (1)＜0，即12＋2×1－a ＜0，解得a＞3.【当堂检测】1．B 解析：令f (x )＝0，得x ＋1x 2＋1＝0，即x ＋1＝0，所以x ＝－1. 2．B 解析：因为在给出的区间中，只有f (2)·f (3)＜0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号．3．C4．2 解析：令f (x )＝0，得x 2＝12log ||x .设g (x )＝x 2，h (x )＝12log ||x .画出g (x )和h (x )的图像，由图像可知，两个函数图像有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．5．解：ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解， 即函数f (x )＝ax 2－x －1在(0,1)内有零点， 故f (0)·f (1)＜0，即－1×(a －2)＜0，解得a ＞2.。
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例
a
b
a
b
【注意】
a
b
(1)图像是连续不断的曲线
(2) f a f b 0
a
b
（3）存在指的是至少有一个
小结
1、函数零点的定义
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
2、函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
结 论 并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
4 3 2
.
－1
.
1
0
1
.2
3
x
－2 －3 －4 －5 －6
.
课堂练习
拓展：求下列函数的零点。
(1)y=－x2-x+20； (2)y=2x-1;
评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般 可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的 根，从而得出函数的零点。
探究二：零点存在性定理
1.观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
有 有/无)零点； (1) 在区间(a,b)上____( f(a)· f(b) ____0 < （＜或＞）． 有 有/无)零点； (2) 在区间(b,c)上____( < f(b)· f(c)____0 （＜或＞）． 有 有/无)零点； (3)在区间(c,d)上____( < （＜或＞）． f(c ).f(d) ____0
0
1
2
.
3
4
x
课堂练习
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5 1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为 2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋ 2x－5 , 作出函数f(x)的图像， 如下： 它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。
y
.
－4 －3 －2 －1
y
2 1 －2 －1 －1 －2 －3 －4
O
1
2
3
4
x
（1）函数f(x)在区间[-2, 1]内有零点x＝ ___ , 有 f(－2)· f(1) ____0(<或>) （2）函数f(x)在区间[2,4] 内有零点x＝ ___，有 f(2)· f(4) ____ 0（<或>)
2.函数在区间端点上的函数值的符号情况， 与函数零点是否存在某种关系？
1(1) －x2＋3x＋5＝0 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图像，如下：
y
它与x轴有两个交点，所以 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不 相等的实数根。
－2 －1
8 6
. . . .
4
2
.
0
1
2
3 4
x
课堂练习
1(2) 2x(x－2)＝－3 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图像,如下： 它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
2 x －2x+3=0 x －2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
x2－2x－3=0
2
.
－1
y
2
y
.
－1 －2
y
.0
－3 －4
1 1 2
.
.
x
－1
2 1
. .
.
3 2
530.1 Nhomakorabea.
.
2
.
4
.
1
.
2
.
x
－1
1
0
3
x
方程的实数根 x1=－1,x2=3 函数的图像 与x轴的交点
零点是一个点吗?
函数都有零点吗?
等价关系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
例题与练习：
练习1:利用函数图像判断下列方程有没有根,有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
x
0
x
函数的图像 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
注意：
1.零点指的是一个实数； 2.不是所有函数都有零点.
1 2 y , y x 2 x 3. 如: x
－1
.
y
5 4 3 2 1
. . .
.
0
1
2
3
x
课堂练习
1(3) x2 ＝4x－4 1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图像，如下：
.
y
6 5 4
.
.
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
－1
.
3 2 1
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
没有实数根
y
两个不相等 有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y y
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图像
x1
0
x2
x
0 x1
复习导入：
• 解方程：(1) x 2 x 3 0
2
(2)
x 2x 3 0
2
(3)
x 2x 1 0
2
探究一：函数零点的定义
思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系？
方程
函数 函 数 的 图 像