4.2 常系数高阶线性微分方程

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第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.

§4.2 常系数线性微分方程的解法
一复值函数与复值解
二常系数齐次方程与欧拉方程三非齐线性方程与比较系数法四质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明：一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0

高阶线性微分方程的解法

高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。

常微分方程4.2

（4.23）其中仍为常数，而相应的特征方程为
（4.24）直接计算易得因此从而，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程（4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19）有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32）的求解问题，这里是常数，而为连续函数。（一）比较系数法类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如（4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时，取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。（1）如果，则此时现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程（4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：

高阶线性、常系数齐次微分方程

小结 : 求解
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( 2)
先求 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的通解 Y c1 y1 c 2 y 2 ,
再求 y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) 的一个特解 y*,
(2)
当 f ( x )恒不为零时 , ( 2 ) 叫做非齐次二阶线性方程 , 而与 ( 2)
对应的齐次二阶线性方程为 :
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(3)
定义如果存在 n 个不全为零的常数 k1 , k 2 , , k n , 使
k1 y1 ( x ) k 2 y 2 ( x ) k n y n ( x ) 0
则 y1 y 是 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 的一个特解 . 2
( 证明略 )
定理 2 ~ 4 都可以推广到 n 阶线性方程上去 .
例. 设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 ,C2 是任意常数, 则该方程的通解是 ( D ).
的通解 , 则 y Y y * 是 ( 2) 的通解 .
(2)
的一个特解 , 而 Y c1 y1 c 2 y 2 是对应齐次方程
(3)
证
y P ( x ) y Q ( x ) y
y P ( x ) y Q( x ) y
Y y * P ( x )Y y * Q ( x )Y y *

可以求出 (1) 的另一解

常系数高阶齐次线性微分方程

总结词
通过幂级数展开来求解高阶线性微分方程的一种方法。
VS
详细描述
幂级数法的基本思想是将未知函数表示为一个幂级数，然后利用微分方程的性质，将原方程转化为一个递推关系式，求解这个递推关系式可以得到幂级数的系数，从而得到原方程的解。这种方法适用于具有特定形式的未知函数的高阶线性微分方程。
积分因子法
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在量子力学中用于描述粒子的波函数随时间的变化。例如，在求解氢原子能级问题时，需要用到此类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁波等时，常系数高阶齐次线性微分方程可以用来描述波的传播和演化。
热传导问题
在求解热传导问题时，常系数高阶齐次线性微分方程可以用来描述温度随时间和空间的变化。
在工程问题中的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述系统的动态特性。例如，在航空航天、化工等领域中，此类方程被广泛应用于各种控制系统的建模和仿真。
信号处理
在信号处理中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述信号的滤波、预测和补偿等过程。例如，在通信、雷达和图像处理等领域中，此类方程被广泛应用于信号处理算法的设计和实现。
02 方程的解法
特征方程法
总结词
通过解特征方程来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
特征方程法的基本思想是将高阶线性微分方程转化为多个一阶线性微分方程来求解。首先，我们对方程进行整理，得到一个关于未知函数和其导数的多项式方程，然后令其为0，得到一个关于未知函数的多项式方程，即特征方程。求解特征方程，可以得到一组根，对应于原方程的一组解。

推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法

推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化规律的重要数学工具。

在微分方程的研究中，高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程是常见且具有重要意义的两个类型。

本文将介绍这两种微分方程的解法，并进行推导。

一、高阶线性微分方程高阶线性微分方程（High-order Linear Differential Equation）是指方程中包含高于一阶的导数的线性微分方程。

一般形式可以表示为：\[ a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0 \]其中，$y^{(n)}(x)$表示导数的$n$次导数，$a_n(x), a_{n-1}(x),\cdots, a_1(x), a_0(x)$为已知的函数。

解法如下：1. 设方程的$n$个线性无关的特解为$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$2. 利用特解组合构造齐次线性微分方程的解\[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) \]其中，$C_1, C_2, \cdots,C_n$为常数。

3. 求解常数$C_1, C_2, \cdots, C_n$的值，得到齐次线性微分方程的通解。

二、常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程（Homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients）是指系数为常数的齐次线性微分方程。

一般形式可以表示为：\[ a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) =0 \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为已知的常数。

4.2常系数线性微分方程的解法

对共轭的出现.设1 i是一特征根,则2 i也是特征根,
因而与这对共轭复数对应的, 方程（4.19）有两个复值解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其中b1, b2 , , bn仍为常数,而相应的特征方程为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat

常系数线性微分方程的解法

函数,而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t) 的实部 (t),虚部 (t)和其共轭复数z (t )也都是方程
(4.2)的解.
定理4.2.2 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解二、常系数齐线性微分方程的解法三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复
数z(t)=(t)+i (t)与它对应,则称z(t)是定义在实值
区间[a, b]上的一个复值函数.
例1：求方程
d3 dt
x
3

d2x dt 2

2x

0的一个基本解组。
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l(k 2l n)个复根
为代数方程
F n a1 n1 ... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式；称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程；称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义

高阶线性微分方程的解法和常系数法

高阶线性微分方程的解法和常系数法在微积分学中，微分方程是一种重要的数学工具，而高阶线性微分方程则是其中的一个重要类别。

在解决许多实际问题中，很多时候需要高阶线性微分方程的解法。

本文将详细介绍高阶线性微分方程的解法和常系数法。

一、高阶线性微分方程的定义首先，我们需要明确什么是高阶线性微分方程。

高阶线性微分方程的一般形式可以表示为：$$A_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+A_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+A_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+A_1(x)\frac{dy}{dx}+A_0(x)y=f( x)$$其中，$n$为该微分方程的阶数，$A_n(x),A_{n-1}(x),...,A_1(x),A_0(x)$是已知的函数。

$f(x)$是已知的函数或常数。

二、常系数法针对高阶线性微分方程的解法，最常用的方法是常系数法。

常系数法是指假设方程中系数$A_n(x),A_{n-1}(x),...,A_1(x),A_0(x)$都是常数，从而采用特定的方法求解其通解。

对于高阶线性微分方程：$$a_n\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_2\frac{d^2y}{dx^2}+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中，$a_0,a_1,...,a_n$为常数，我们可以进行如下的步骤：1. 假设通解为：$$y=Ae^{rx}$$其中，$A$和$r$是待定常数。

2. 带入上式得到：$$a_ne^{rx}r^n+A_{n-1}e^{rx}r^{n-1}+...+a_2e^{rx}r^2+a_1e^{rx}r+a_0e^{rx}=f(x)$$3. 对于每个$r$，将上式变形得到关于$r$的方程：$$a_nr^n+A_{n-1}r^{n-1}+...+a_2r^2+a_1r+a_0=0$$4. 解出该方程的所有根$r_1,r_2,...,r_n$。

高阶微分方程

第四章高阶微分方程教学安排说明章节题目：§4．1 线性微分方程的一般理论；§4.2 常系数线性方程的解法§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法学时分配：共16学时。

§4．1 线性微分方程的一般理论（4学时）§4.2 常系数线性方程的解法（8时§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法（4学时）本章教学目的与要求：1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。

4.掌握高阶方程的应用。

教学重点与难点：重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。

难点是待定系数法求特解。

教学内容线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

考核目标1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

课堂教学方案课程名称：§4．1 线性微分方程的一般理论授课时数：4学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解高阶线性微分方程的一般理论，n 阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n 阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。

教学重点、难点：线性微分方程解的性质与结构教学内容§4．1 线性微分方程的一般理论4．1．1 引言一般形式：1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1）其中(),1,2,,i a t i n =及()f t 都是a t b ≤≤上的连续函数。

常系数高阶线性微分方程

04 高阶常系数线性微分方程
定义与性质
要点一
定义
常系数高阶线性微分方程是指形式为$y^{(n)}(x) + a_{n1}y^{(n-1)}(x) + ldots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x)$的微分方程，其中$a_0, a_1, ldots, a_{n-1}$是常数，$f(x)$是已知函数。
解法：特征值法
特征值法是通过将二阶常系数线性微分方程转化为两个一阶常系数线性微分方程来求解的方法。
通过对方程进行变换，得到两个一阶线性微分方程 $y' + lambda y = 0$ 和 $y'' + lambda y' + mu y = 0$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是特征值。然后分别求解这两个一阶方程，得到原方程的解。
工程问题
在解决工程问题时，如控制系统、电路分析等，常系数高阶线性微分方程也是重要的数学工具。
02 一阶常系数线性微分方程
定义与性质
定义
一阶常系数线性微分方程是形如 y' + p(x)y = q(x) 的方程，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。
VS
性质
该方程具有线性性质，即如果 y1 和 y2 是方程的两个解，那么 c1y1 + c2y2 也是方程的解，其中 c1 和 c2 是任意常数。
要点二
性质
高阶线性微分方程具有叠加原理、齐次解、特解等性质，这些性质使得求解高阶线性微分方程成为可能。
解法：降阶法
降阶法是将高阶微分方程转化为低阶微分方程的方法，通过逐次求解低阶微分方程来找到高阶微分方程的解。

高阶线性微分方程的常系数法

高阶线性微分方程的常系数法引言：线性微分方程是数学中的重要分支，常系数法是求解高阶线性微分方程的一种常用方法。

本文将介绍高阶线性微分方程的常系数法及其应用。

一、一阶线性微分方程的常系数法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)为已知函数。

利用常系数法，我们可以将一阶线性微分方程转化为常微分方程来求解。

具体步骤如下：步骤一：求解齐次线性微分方程首先，我们求解齐次线性微分方程：dy/dx + P(x)y = 0其中P(x)为一阶线性微分方程的已知函数。

解该齐次线性微分方程，可以得到通解y0(x)。

步骤二：求取特解其次，我们利用常数变易法求取特解y1(x)。

设特解为y1(x) = u(x)e^(lx)其中l为待定常数，u(x)为待定函数。

将y1(x)代入原方程，则可以得到：d(u(x)e^(lx))/dx + P(x)u(x)e^(lx) = Q(x)化简后得到：e^(lx) * (d(u(x))/dx + l * u(x)) + P(x)u(x)e^(lx) = Q(x)化简后得到：d(u(x))/dx + (l + P(x))u(x) = Q(x)e^(-lx)根据等号两边系数对应相等原则，我们可以得到：l + P(x) = 0l = -P(x)对上式进行求解，可以得到l的值。

将l的值代入上式，可以得到u(x)的表达式。

因此，特解y1(x) = u(x)e^(lx)的表达式为已知。

步骤三：求取通解最后，我们可以得到一阶线性微分方程的通解为：y(x) = y0(x) + y1(x)其中y0(x)为齐次线性微分方程的通解，y1(x)为特解。

二、高阶线性微分方程的常系数法高阶线性微分方程的一般形式为：a_n * d^n(y)/dx^n + a_{n-1} * d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... + a_1 * dy/dx + a_0 * y = f(x)其中a_n, a_{n-1}, ..., a_0为常数，f(x)为已知函数。

高阶线性微分方程

分析物体表面向外界辐射热量的过程，通过高阶线性微分方程可以求解出物体的辐射强度、辐射功率等。
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值解法
对于难以找到解析解的非线性微分方程，数值方法成为求解的主要手段，如有限元法、有限差分法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。高阶线性微分方程作为微分方程的一种特殊类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示为对应齐次方程的通解加上一个特解。

第四章高阶微分方程

ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
y P ( x ) y Q( x ) y 0 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
设对应齐次方程通解为设非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
定理４*：若k个可微k 1次的函数1 ( t )， 2 ( t )，..., n ( t )是
( ２的解，则 ) 1 ( t )， 2 ( t )，..., n ( t )在 a,b 上线性相关的充分
条件是存在某个t0 a,b 使得他们的Wronsky行列式W ( t ) 0。
y2 f ( x ) ( x) c1 , w( x )
积分可得
y1 f ( x ) c , 2 ( x) w( x )
y2 f ( x ) c1 ( x ) C1 dx, w( x ) y1 f ( x ) c2 ( x ) C 2 dx, w( x )
(1)
的微分方程是n阶线性微分方程，其中x是未知函数， t是自变量，ai ( t )( i 1, 2, ..., n)及f ( t )都是定义区间上已知的连续函数。当f (t ) 0时，(1)变成
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 ... an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
(1) (2)
(3)
( x ) y1 c y c1 2 ( x ) y2 c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
设
( x ) y1 c c1 2 ( x ) y2 0

高阶线性、常系数齐次微分方程.

给出k 项: e r x (c1 c2 x ck x k 1 )
x k 1 e [( c c x c x ) cos x 1 2 k 2k项 : (d1 d 2 x d k x k 1 ) sin x ]
k 重实根 r
一对 k 重复根 r1, 2 i
y y x 2 的通解为:
y c1 sin x c2 cos x x 2 2 .
小结 : 求解 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
先求 y P( x ) y Q( x ) y 0 的通解 Y c1 y1 c2 y2 ,
(5)
分三种情况讨论:
r1 , r2 为两个不相同的实根 , r x r x y1 1 2 则 y1 e , y2 e 都是 (1) 的解 , 且 y e ( r1 r2 ) x 常数 . 2
所以, y c1e
r x
1
1). p 2 4q 0 ,
c2e
r x
2
是齐次方程(1) 的通解 .
( 证明略 )
y 2 是 y P( x) y Q( x) y f 2 ( x) 的一个特解,
定理 2 ~ 4 都可以推广到n 阶线性方程上去.
例. 设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 , C2 是任意常数, 则该方程的通解是 ( D ).
是 (1)的通解.
3). p 4q 0 ,
2
p r(1) 的一个解 y1 e
,
y1 e 1
r x
r x
1

高阶线性微分方程的一般理论

1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
2 c t 1 c2 0 0 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 2 c 0 c t 0 2 1
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
2019/3/9 6 常微分方程 -重庆科技学院-李可人
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
/General Theory of Higher-Order Linear ODE/
本节要求/Requirements/
理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构
理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构
5
2019/3/9
常微分方程-重庆科技学院-李可人
4.1.1 引言 /Introducation/
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )

42常系数线性微分方程的解法

et cost, et sin t
为什么？
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例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
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对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
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于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]

dnx dt n

z2
(t)]

dz1(t) dt
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dz2 (t) dt
dz dt
[c

z1
(t
)]

c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)

z2
(t
)

z1
(t
)

dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
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假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解

第四章高阶线性方程

第四章高阶线性方程教学目的：使学生理解高阶线性微分方程的一般理论；熟练掌握常数变易法、特征根法、比较系数法和Laplace 变换；熟练掌握几种可降阶的高阶微分方程的解法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性．教学内容：1、线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法．2、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、Laplace 变换．3、高阶方程的降阶和幂级数解法几种可降阶的高阶微分方程的解法、*幂级数解法．教学重点：高阶线性微分方程的一般理论及解法教学难点：比较系数法求特解教学过程：§4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言本章主要讨论如下n 阶线性微分方程)()()()(1111t f x t a dtdx t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (4.1) 其中),,2,1()(n i t a i =及)(t f 均为区间b t a ≤≤上的连续函数．若0)(≡t f ，则方程(4.1)变为0)()()(1111=++++---x t a dtdx t a dt x d t a dt x d n n n n n n (4.2) 称之为n 阶齐线性微分方程，简称为齐线性方程，称(4.1)为n 阶非齐线性微分方程，简称为非齐线性方程，称(4.2)为对应于方程(4.1)的齐线性方程．方程(4.1)的解的存在唯一性定理定理１若),,2,1()(n i t a i =及)(t f 均为区间b t a ≤≤上的连续函数，则对于任意],[0b a t ∈及任意的)1(0)1(00,,,-n x x x ，方程(4.1)存在唯一解)(t x ϕ=，定义于区间b t a ≤≤上，且满足初始条件：)1(001)1(0000)(,,)(,)(--===n n x dtt d x dt t d x t ϕϕϕ (4.3)证明在下一章给出．4.1.2齐线性方程的解的性质与结构首先讨论齐线性方程(4.2)，易得齐线性方程的解的叠加原理．定理２（叠加原理）若)(,),(),(21t x t x t x k 是方程(4.2)的k 个解，则它们的线性组合)()()(2211t x c t x c t x c k k +++ 也是(4.2)的解，其中k c c c ,,,21 是任意常数．当k n =时，方程(4.2)有解)()()(2211t x c t x c t x c x n n +++= (4.4)在什么条件下，(4.4)能成为n 阶齐线性方程(4.2)的通解？考虑定义在区间b t a ≤≤上的函数)(,),(),(21t x t x t x k ，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21 ，使得恒等式0)()()(2211≡+++t x c t x c t x c k k 对于任意的],[b a t ∈均成立，则称这些函数线性相关，否则就称这些函数在所给区间上线性无关．例（略）由定义在区间b t a ≤≤上的k 个可微1-k 次的函数)(,),(),(21t x t x t x k 所成的行列式)()()()()()()()()()()](,),(),([)1()1(2)1(1212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x W k k k k k k k ---'''≡≡称为这些函数的伏朗斯基行列式．定理３若函数)(,),(),(21t x t x t x k 在区间b t a ≤≤上线性相关，则在],[b a 上它们的伏朗斯基行列式0)(≡t W ．这个定理的逆命题一般不成立（例子见Ｐ105）．定理４若方程(4.2)的解)(,),(),(21t x t x t x k 在区间b t a ≤≤上线性无关，则)](,),(),([21t x t x t x W k 在此区间的任何点上均不等于零，即)(0)(b t a t W ≤≤≠．定理５ n 阶齐线性方程(4.2)一定存在n 个线性无关解．定理６（通解结构定理）若)(,),(),(21t x t x t x n 是方程(4.2)的n 个线性无关解，则方程(4.2)的通解可表为)()()(2211t x c t x c t x c x n n +++= (4.11) 其中n c c c ,,,21 为任意常数．且通解(4.11)包括了方程(4.2)的所有解．推论方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n ．因此可得结论：n 阶齐线性方程的所有解构成一个n 维线性空间．方程(4.2)的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．4.1.3 非齐线性方程与常数变易法考虑n 阶非齐线性方程)()()()(1111t f x t a dtdx t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (4.1) 易见方程(4.2)是它的特殊情形．性质１若)(t x 是方程(4.1)的解，而)(t x 是方程(4.2)的解，则)()(t x t x +也是方程(4.1)的解．性质２方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解．定理７设)(,),(),(21t x t x t x n 是方程(4.2)的基本解组，而)(t x 是方程(4.1)的某个解，则方程(4.1)的通解可表为)()()()(2211t x t x c t x c t x c x n n ++++= (4.14) 其中为任意常数．且通解(4.14)包括了方程(4.1)的所有解．定理告诉我们，要解非齐线性方程，只需知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组即可．事实上，只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线性方程的解．常数变易法设)(,),(),(21t x t x t x n 是方程(4.2)的基本解组，因而))()()(2211t x c t x c t x c x n n +++= (4.15) 为(4.2)的通解．把其中的任意常数i c 看作t 的待定函数),,2,1()(n i t c i =，(4.15)变为 ))()()()()()(2211t x t c t x t c t x t c x n n +++= (4.16)将它代入方程(4.1)，就得到)(,),(),(21t c t c t c n 必须满足的一个方程，但待定函数有n个，为了确定它们，还需再找出1-n 个限制条件，理论上，这些条件可任意给出。