_圆的切线性质与判定定理

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圆的切线与切圆的性质与判定

圆的切线与切圆的性质与判定圆是几何学中的基本概念，它是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。圆具有许多独特的性质和特点，其中之一就是切线和切圆的性质。本文将详细探讨圆的切线以及切圆的性质和判定。

一、切点及切线的定义和性质

1. 切点的定义：对于给定的圆和平面上的一个点，如果这个点与圆上的某一点重合时，我们称这个点和这个圆相切，并把它们的重合点称为切点。

2. 切线的定义：过圆上一点的所有直线中，与该圆只有一个公共点的直线称为切线。

3. 切点与切线的性质：

a) 切线与半径的关系：切线垂直于半径，并且切点和圆心之间的线段与切线垂直。

b) 切线之间的关系：如果两个切点重合，那么这两条切线互相垂直。

c) 切线上的弧度关系：切线上的两个弧度相等。

d) 直径与切线的关系：以切点为端点的切线与过切点的直径互相垂直。

二、切圆的性质与判定

1. 切圆的性质：

a) 切圆的直径与切点垂直。

b) 圆的切线与切圆的切点在一条直线上。

c) 切圆和切圆所在的切线的切点互相垂直。

d) 切点与切圆所在的切线的任意两个切点构成的三角形是等腰三

角形。

2. 切圆的判定：

a) 通过切点作圆的半径，并作与原圆作垂直的线，这条垂线与圆

的交点即为切圆的圆心。

b) 切圆的半径与原圆的半径相等。

三、切线和切圆的应用

1. 圆的切线和切圆的性质在几何证明和计算中具有重要的应用价值。

a) 运用切线和切圆的性质可以证明等腰三角形的性质，从而解决

圆的切线的性质及判定定理

O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，
DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
C
∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC.
E
wk.baidu.com
D
B
又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°.
A
O
又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线.
=180°－(60°+30°) =90° ∴ AB是⊙O的切线.
题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.
练习2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°, 求证：DC是⊙O的切线.
证明：连OC、BC，
C
∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°, ∴∠BOC＝60°. ∴△BOC是等边三角形. ∴BD＝OB＝BC， ∠D＝∠BCD＝30°. ∴∠DCO＝90°. ∴DC⊥OC. ∴DC是⊙O的切线.
2.
如图,点A是⊙O与直线l的公共点,且 l⊥OA .在直线 l
上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△．
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有

圆的切线判定定理及性质定理讲义

一、基础知识归纳

1.切线的判定定理

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可。结论是“直线是圆的切线”。

2．切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。我们分析：这个定理共有三个条件：

一条直线满足（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心任意知道两个，这可以推出第三个。即知2推1。定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT

②经过圆心，垂直于切线⇒过切点

()()12AB M AB MT ⎫⎪

⇒⎬⊥⎪⎭

过圆心为切点

③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心

()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪

⇒⎬⎪⎭

过圆心为切点

二、典型例题解析

【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC 的长.

【例2】如图，⊙O 的直径AB =6cm ，点P 是AB 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，

切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数

【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交

于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？

【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，

切线的判定定理和性质定理

●O
A
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
①过半径的外端点 ②垂直于这条半径
切线
①圆的切线 ②过切点的半径。
切线垂直于半径
判定定理：
性质定理：
１如图, PB切⊙O于点B，PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
2 如图：PA,PC分别切⊙ O于点A,C两点,B为⊙ O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=___
r=3
65°或 115°
如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC 内接于⊙O，且∠CAE＝∠B 1、试说明AE与⊙O相切于点A。 2、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点A吗？
F
切线的判定方法
有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
B
C
A
练习：
O
2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。
辅助线：无切点做垂线，证相等
F
切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A, 直径AB与切线CD有怎样的位置关系?
直径AB垂直于切线CD.
C来自百度文库
D
B
③切线的判定定理．
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

切线的三种判定方法

切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。圆的切线的判定方法有：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的主要性质

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的，(6)是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

圆的切线的性质及判定定理课件

1.垂直于半径的直线是圆的切线对吗？为什么？提示:这种说法错误.根据圆的切线的判定定理，主要考查两个条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于这条半径，这两个条件缺一不可.故此说法错误. 2.经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线对吗？为什么？提示:这种说法正确.因为直径有两个端点，且都为半径的外端，因此具备了切线判定中的两个条件，故此说法正确.
所以∠A= 1∠BOC= 1×134°=67°.
2
2
答案：67°
2.连接OD,设半圆O的半径为r,因为BC=6，
AC=8,BC⊥AC,所以AB=10.因为AC是半圆
O的切线，所以OD⊥AC.又因为BC⊥AC，
所以OD∥BC,所以 OD A即O ,
BC AB
r 10 r , 解得 r 15 ,
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
3.已知D是△ABC的边AC上的一点,AD∶DC=2∶1,∠C=45°, ∠ADB=60°, 求证:AB是△BCD的外接圆的切线.

切线的性质定理和判定定理

判定定理1
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切。通过证明直线与圆的交点唯一，可以判定直线与圆相切。
判定定理2
圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。利用点到直线的距离公式，可以计算出圆心到直线的距离，进而判定直线与圆的位置关系。
结合多种方法解决复杂问题
在解决复杂问题时，可以结合切线性质定理和判定定理，以及其他数学知识如三角函数、相似三角形等，建立方程或不等式组，逐步求解。
同时，要注意灵活运用各种方法，根据问题的具体条件选择合适的解题思路和方法，提高解题效率。
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从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长分别是从该点到切点的线段的长度。
它们的切线长相等
切线长定理的表述
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角形全等，从而得出切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
01
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
02
切线夹角平分线的性质
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
03
切线夹角平分线的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角

切线的判定和性质

切线的性质与判定

1.主要性质

（1）切线和圆只有一个公共点；

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于经过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

2.判定

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法

切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法

切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。

证明圆的切线的性质定理

我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：

假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。

圆的切线的性质

切线的主要性质有以下几点：

1、切线和圆唯有一个公共点；

2、切线和圆心的距离等于圆的半径；

3、切线垂直于经过切点的半径；

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。为此，考生必须努力学习。

连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直

证明圆的切线的迅速方式？

1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。口诀是“见半径，证垂直”。

2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。

3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。

圆的切线的性质及判定定理

三圆的切线的性质及判定定理

[对应学生用书P25]

1．切线的性质

(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.

(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．圆的切线的判定方法

(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．

(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．

[说明]在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．

[对应学生用书P25]

圆的切线的性质

[例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB 于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．

[思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt △OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．

[解]连接OE，

∵AB与⊙O切于点E，

∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.

∵∠C＝90°，∠A＝∠A，

∴Rt△ACB∽Rt△AEO，

∴OE

BC＝

AB.

∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，

∴OE

5＝

12－OE

13，

∴OE ＝10

即⊙O 的半径为10

利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．

圆的切线性质定理

圆的切线的判定与性质

知识点精析

1. 直线与圆有三种位置关系,其中直线与圆只有唯一的公共点,叫直线与圆相切,这个公共点叫切点;这条直线叫圆的切线;

2. 圆的切线的判定与性质：

1判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;

判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径

2圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径;

注意：应用圆的切线性质时,需指出切线和切点,才可推出垂直的结论;

例如：已知如图,PO是∠APB的平分线,以O为圆心的圆与PA相切于点C;

3. 切线长定理：

1切线长定义：从圆外一点向圆作切线,这点与切点的线段长叫切线长;

圆外一点向圆只能做两条切线,因此有两条切线长;

2切线长性质

从圆外一点向圆所引的两条切线长相等,并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角;

例如：从圆外一点引圆的两条切线,若两切线的夹角为60°,两切点的距离为12求圆半径

3三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点

三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

三角形的内心到三角形三边的距离相等

三角形的内心是三角形三角平分线的交点

解题方法指导

一切线长定理的计算

例1. 已知如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,点C在AC上,CD为⊙O直径,⊙O切AB于E,若BC=5,AC=12,求⊙O的半径

切线的性质及判定

一、切线的性质及判定

1．切线的性质

2．切线的判定

3．切线长和切线长定理

切线的性质及判定

（）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．

②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．

③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．（）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

（）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（）证明圆切线辅助线的方法：

①若给出直线与圆有公共点：连半径、证垂直；

②若没给直线与圆的交点：做垂直、证半径；

（）圆中证明角相等的方法：

①同角（或等角）余角相等；

爱智康

2018/06/12

1122⇒AB AB M AB ⊥l ⇒AB AB ⊥l AB M ⇒AB ⊥l AB M AB 1231212

②圆周角定理；③半径相等出等腰三角形；

切线的判定定理

切线的判定方法有三种：

（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的主要性质：

(1)切线和圆只有一个公共点。

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径。

(3)切线垂直于经过切点的半径。

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点。

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

圆的切线的性质及判定定理

三
圆的切线的性质及判定定理
1.理解切线的性质定理及其两个推论,并能解决相关的计算或证
明问题.
2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.
1
2
3
4
1.切线的性质定理
文字语言
圆的切线垂直于经过切点的半径
符号语言
直线 l 与圆 O 相切于点 A,则 OA⊥l
图形语言
作用
证明两条直线垂直
1
2
3
4
【做一做1】如图,直线l与☉O相切于点A,点B是l上异于点A的一
点的直线是圆的切线;(2)距离法:到圆心的距离等于半径的直线是
圆的切线;(3)定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线.
“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到
圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时
要根据题目的具体要求选取合适的方法:若已知要证的切线经过圆
过点D作☉O的切线交AC于E.
求证:DE⊥AC.
分析:由DE是☉O的切线,知OD⊥DE,故要证明DE⊥AC,只需要证
明OD∥AC即可.
题型一
题型二
证明:如图,连接OD,AD.
∵AB为☉O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形,
∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.

圆切线的定理

圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。圆的切线垂直于经过切点的半径。圆的切线，切线的性质定理，圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。切线的性质定理的推论（1）经过切点垂直于切线的线段必是此圆的直径或半径。（2）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。线段DA垂直于直线AB BA为圆o的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．关于圆的定理1、切线定理垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线长定理从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。3、切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB 设ABP 是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT ²=PA·PB 4、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这

一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。

圆的切线的性质及判定定理课件

1.相交相切相离答
2.垂直于切线的圆心案
3.外端切线
名师点拨 1.直线和圆的位置关系我们知道直线与圆有相交、相切和相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点的个数来刻画的．直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点．
直线与圆的位置关系还可以用数量关系表示，如图所示．
设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
2．圆的切线的性质圆的切线的性质定理及它的两个推论可以用一个定理表述为：如果圆和一条直线满足以下三个条件中任意两条，那么就一定满足第三条．它们是：(1)经过圆心；(2)经过切点；(3)垂直于切线．另外圆的切线还有两条性质：一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题中，也常用它们来解决．
3．圆的切线的判定定理在切线的判定定理中要分清题设和结论，题设是：一条直线l满足两个条件：(1)经过半径OA的外端点A；(2)垂直于这条半径OA.结论是：这条直线l是圆的切线．即直线l⊥OA于A，则 l为⊙O的切线．如图：①是切线，②，③不是切线．
4．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及数值计算或距离问题，常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系常选用(3).

_圆的切线性质与判定定理

圆的切线与切圆的性质与判定

圆的切线的性质及判定定理

圆的切线判定定理及性质定理讲义

切线的判定定理和性质定理

切线的三种判定方法

圆的切线的性质及判定定理 课件

切线的性质定理和判定定理

切线的判定和性质

切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法

圆的切线的性质及判定定理

圆的切线性质定理

切线的性质及判定

切线的判定定理

圆的切线的性质及判定定理

圆切线的定理

圆的切线的性质及判定定理 课件

圆的切线的性质及判定定理课件

圆的切线的性质及判定定理课件