(完整版)高中立体几何证明垂直的专题训练

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立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)

第六节面面关系

(一)平行 (二)垂直

1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱

AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .

（1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2）求多面体CDEFG 的体积。 3.如图，已知空间四边形中，,BC AC AD BD ==，E

是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；

B 1

C B

C 1

A 1

A AC⊥平面BDE.

（2）求证：平面

5.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，∠PD

DAB,

60平面ABCD，PD=AD，

⊥

︒

点E为AB中点，点F为PD中点.

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

第六节面面关系答案

（一）平行（二）垂直

1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计

立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题练习(高三党必做)

立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题

一、解答题（本大题共27小题，共324.0分）

1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD

上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（1）证明：MN∥平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

2.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝

AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．

BC＝1

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D

的余弦值．

3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是

BC的中点．

（1）求证：AE⊥B1C；

（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；

（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．

4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD

是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角

形，PB=PD=√6，AP=4AF．

（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；

（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；

（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面

BDF如果存在，求BM

的值，如果不存在，请说明理

由．

5.如图，在直三棱柱ABC-A1B l C1中，AC=BC=√2，

∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；

（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：

立体几何线线垂直专题(史上最全)

立体几何垂直总结

1、线线垂直的判断：

线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：

（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭

同理，AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC

例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：

第8章立体几何专题4 垂直的证明常考题型专题练习——【含答案】

垂直的证明

【方法总结】

1、证明线面垂直的方法：

①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平面；

②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平面．

2、证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．

3、证明面面垂直一般要先找到两个面的交线，然后再在两个面内找能与交线垂直的直线，最后通过证明线面垂直证明面面垂直。【分类练习】

考向一线面垂直

例1、在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，

2DC =，点E 在PB 上

求证：CA 平面PAD；

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【解析】(1)过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF,所以∠DAC=90°,即AC⊥DA，

又PA⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AC⊥PA，

因为PA、AD⊂面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥平面PAD.

例2、如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；

解析：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，

故11B C ⊥BE ．

又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．

例3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练

1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .

2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．

3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.

4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．

(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.

5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.

6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

高中数学必修2立体几何专题_线面垂直专题典型例题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧

◆

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1 如图1，在正方体

1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．

证明：连结MO ，1A M

，∵DB ⊥

1A A ，DB ⊥AC ，1A A

AC A =，

∴DB ⊥平面

11A ACC ，而1

AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2

234MO a =．

在Rt △11A C M 中，2

A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1

AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

◆

利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．

证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．

因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，

AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ，由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ．又∵BC ⊂

平面PBC ，∴AD ⊥BC ．

∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．

（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一

高中数学立体几何专题证明题训练

立体几何专题训练

1．在四棱锥

P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，

且∠ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．

（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ；（2）求证：直线PB ∥平面EMC ．

2．如图，正三棱柱

ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，

D 、

E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F

在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.

(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ；(2)求证：EF ⊥BC 。

3.如图，在长方体

1111ABCD

A B C D 中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1

,2AD

AA a AB

（1）求证：

//MN 面11

ADD A （2）求三棱锥

P DEN 的体积

如图1，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD,ABC=60,E 是BC 的中点，如图

2，将三角

形ABE 沿AE 折起，使平面BAE 平面AECD,F.P 分别是CD,BC 的中点，（1）求证：AE

(2)求证：平面PEF 平面AECD; (3)判断DE 能否垂直于平面

ABC,并说明理由。

A B

D E P

5,如图，

ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，

AB=4a ，BC = CF =2a ，P 为AB 的中点. （1）求证：平面

PCF ⊥平面PDE ；

（2）求四面体PCEF 的体积.

6如图，等腰梯形

ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ，

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练

1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .

4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．

(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.

5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.

6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

高中数学必修二立体几何面面垂直与二面角专题练习(含答案)

面面垂直与二面角

一．选择题（共12小题）

1．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；

②BD⊥FC；

③平面DBF⊥平面BFC；

④平面DCF⊥平面BFC．

则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

2．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）

A．平面BCE⊥平面ABN

B．MC⊥AN

C．平面CMN⊥平面AMN

D．平面BDE∥平面AMN

3．下列命题中错误的是（）

A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β

B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β

C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ

4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论中正确的个数为（）

①DC1⊥D1P ②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为⑤

C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]

A．1B．2C．3D．4

5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=，则该二面角的大小为（）

[最新]高中数学立体几何常考垂直证明题汇总 - 实用

新课标立体几何常考垂直证明题汇总

2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

同理，AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥

又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SAC B C A D ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ．证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O ⋂=，连结1

AO ∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O

C AO = 11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1

（学生版）立体几何专题三：垂直证明题型及方法

（学⽣版）⽴体⼏何专题三：垂直证明题型及⽅法

⽴体⼏何专题三：垂直证明题型及⽅法

基础知识梳理

⼀个关系：线线垂直线⾯垂直

⾯⾯垂直；

三类证法

(1)证明线线垂直的⽅法

①定义：两条直线所成的⾓为90°；②平⾯⼏何中证明线线垂直的⽅法；③线⾯垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ；④线⾯垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b . (2)证明线⾯垂直的⽅法

①线⾯垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α；②判定定理1：

m 、n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α；③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α；④⾯⾯平⾏的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；⑤⾯⾯垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β. (3)证明⾯⾯垂直的⽅法

①利⽤定义：两个平⾯相交，所成的⼆⾯⾓是直⼆⾯⾓；②判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β.

类型⼀：线线垂直证明（共⾯垂直、异⾯垂直）

1.共⾯垂直：实际上是平⾯内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下⼏种模型）

（1）等腰（等边）三⾓形中的中线（2）菱形（正⽅形）的对⾓线互相垂直（3）勾股定理中的三⾓形

（4）利⽤相似或全等证明直⾓。

2.异⾯垂直（利⽤线⾯垂直来证明，⾼考中的意图）

例 1.如图，在四棱锥ABCD P -中，底⾯A B C D 是矩形，已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

证明：AD PB ⊥；

变式1：如图，在边长为2的正⽅形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点

高中数学立体几何初步8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理训练含解析

8.6.3平面与平面垂直

第1课时平面与平面垂直的判定定理

课后·训练提升

基础巩固

1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个半平面α,β所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则该二面角的大小为()

B.120°

C.60°或120°

D.不确定

2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为()

A.60°

B.30°

D.15°

,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.

3.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点.下列说法错误的是()

A.平面PAB⊥平面ABC

B.平面PAB⊥平面POC

C.平面POC⊥平面ABC

PCA⊥平面PCB

PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,所以PO⊥AB,CO⊥AB.

又PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC.

又AB⊂平面PAB,AB⊂平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正确.因为△ABC为等腰直角三角形,O为AB的中点,所以AO=CO.

又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,

所以∠POA=∠POC=90°,即PO⊥CO.

又PO⊥AB,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABC,

又PO⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.

故A正确.故选D.

4.如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,下列说法错误的是()

(学生版)立体几何专题三：垂直证明题型及方法.

立体几何专题三:垂直证明题型及方法

基础知识梳理

一个关系:线线垂直线面垂直

面面垂直 ;

三类证法

(1证明线线垂直的方法

①定义:两条直线所成的角为 90°; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a ⊥ α, b ⊂ α⇒ a ⊥ b ; ④线面垂直的性质:a ⊥ α, b ∥ α⇒ a ⊥ b . (2证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义:a 与α内任何直线都垂直⇒ a ⊥ α; ②判定定理 1:

⎭⎬⎫

m 、 n ⊂ α, m ∩ n =A l ⊥ m , l ⊥ n ⇒ l ⊥ α; ③判定定理 2:a ∥ b , a ⊥ α⇒ b ⊥α; ④面面平行的性质:α∥ β, a ⊥ α⇒ a ⊥ β;

⑤面面垂直的性质:α⊥ β, α∩ β=l , a ⊂ α, a ⊥ l ⇒ a ⊥ β. (3证明面面垂直的方法

①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a ⊂ α, a ⊥β⇒ α⊥ β.

类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直

1. 共面垂直:实际上是平面内的两条直线的垂直 (只需要同学们掌握以下几种模型

(1等腰(等边三角形中的中线 (2菱形(正方形的对角线互相垂直 (3勾股定理中的三角形

(4 利用相似或全等证明直角。

2. 异面垂直 (利用线面垂直来证明,高考中的意图

例 1. 如图 , 在四棱锥 ABCD P -中 , 底面 A B C D 是矩形 , 已知

60, 22, 2, 2, 3=∠====PAB PD PA AD AB .

证明:AD PB ⊥;

微专题3 立体几何中的平行与垂直问题(解析版)

微专题3 立体几何中的平行与垂直问题（解析版）

题型一、线面平行与垂直

证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线。

例1、如图，在四棱锥P ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面PBC；

MD⊥平面P AB.

【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱P A，PD的中点，所以MN∥AD

又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.

又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC.

(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD.

又MD⊂侧面P AD，所以AB⊥MD.

因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A.

又P A，AB在平面P AB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB

【类比训练】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 求证：BB1⊥AC.

解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边

形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中

专题08 立体几何垂直平行的证明(原卷版)

专题8 立体几何平行垂直的证明

一、解答题

1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．

(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；

(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．

2．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．

(1)证明：//OE 平面PAC ；

(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．

3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面

,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥

(1)证明：BD PA ⊥；

(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．

4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，

1222AC AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．

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(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．

(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．

5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB ==

《立体几何中的平行与垂直关系》专题训练

一、单选题1.m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的（

）.

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，

m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（

）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（

）.

A.α内有无数条直线与β平行

B.α，β平行与同一个平面

C.α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行

D.α，β垂直与同一个平面4.已知l ，m 是两条不同的直线，m //平面α，则（

）.

A.若l //m ，则l //α

B.若l //α，则l //m

C.若l ⊥m ，则l ⊥α

D.若l ⊥α，则l ⊥m

5.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（

）.

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，

β平行于同一条直线D.α，

β垂直于同一平面6.如果用m ,n 表示不同直线，α,β,γ表示不同平面，下列叙述正确的是（

）.

A.若m //α，m //n ，则n //α

B.若m //n ，m ⊂α，n ⊂β，则α//β

C.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

D.若m ⊥α，n ⊥α，则m //n

7.如图1，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对

角线

BC 1上运动，则下列四个结论：

图1

①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P //平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；