曲线积分与曲面积分1

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高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)

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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1 计算
L
yds, 其中L是抛物线y x 上点
2
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解

L 1
yds
0
1
y
y x2
0
x
2
2 1 ( x ) dx 2
B
x 1 4 x 2 dx
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M A 1
o
x
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
如果当各小弧段的长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
2 ( t ) 2 ( t ) 0，则曲线积分 f ( x , y )ds
L
存在，且

L
f ( x , y )ds
曲线积分与曲面积分
定义设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,

曲线积分和曲面积分的物理意义

曲线积分和曲面积分的物理意义摘要：1.曲线积分概述2.曲面积分的物理意义3.曲线积分与曲面积分的联系与区别4.实际应用案例分析正文：一、曲线积分概述曲线积分是一种数学工具，用于计算曲线上的物理量，如力、速度、能量等。

它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

曲线积分的基本思想是将曲线划分为无数小段，计算每小段上的物理量与长度的乘积之和。

根据积分路径的不同，曲线积分可分为线积分和面积分。

二、曲面积分的物理意义曲面积分是对曲面上物理量的积分，其基本思想是将曲面划分为无数小面，计算每个小面上的物理量与面积的乘积之和。

曲面积分可分为两类：法向量积分和切向量积分。

法向量积分用于计算曲面上某一点的垂直方向物理量，如压力、温度等；切向量积分用于计算曲面上某一点的切线方向物理量，如速度、力等。

曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的物理意义。

三、曲线积分与曲面积分的联系与区别曲线积分与曲面积分都是对物理量沿路径或曲面的积分。

它们的联系在于都是通过对路径或曲面进行划分，计算各小段或小面上物理量与长度或面积的乘积之和。

然而，它们也有明显的区别。

曲线积分主要针对曲线路径，关注沿路径的变化；而曲面积分针对曲面，关注的是曲面上各点的物理量。

此外，曲线积分可分为线积分和面积分，而曲面积分可分为法向量积分和切向量积分。

四、实际应用案例分析1.电磁学：在电磁学中，曲线积分广泛应用于计算电场线、磁感线等。

通过计算曲线上某一点的电场强度或磁场强度与弧长的乘积之和，可以得到电场线或磁感线的分布情况。

2.流体力学：在流体力学中，曲面积分可用于计算流体沿曲面的速度分布。

通过计算曲面上各点的速度与面积的乘积之和，可以得到流体的速度分布情况，进而分析流体的运动规律。

3.热传导：在热传导问题中，曲线积分可以用于计算温度沿曲线的分布。

通过计算曲线上某一点的温度与弧长的乘积之和，可以得到温度的分布情况，进而分析热传导过程。

总之，曲线积分和曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则原式=dt t y t x t y t xf ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分(,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2x y LLLeds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),(计算方法一：若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

11(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰⎰1()(,)(,)L Dq pdxdy p x y dx q x y dy x y∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰如图：三、格林公式⎰⎰=∂∂-∂∂Ddxdy ypx q )(⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当yp x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关，且⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q Px y∂∂⇔=∂∂ 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

曲线积分曲面积分公式

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。

一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。

它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。

在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。

一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。

它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。

曲线积分和曲面积分

第八章曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１．第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6）奇偶性与对称性如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线：其参数方程： x
分别是和，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]

曲线积分与曲面积分的概念与计算

曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。

本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。

1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。

曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。

要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。

要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。

曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。

要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。

曲线积分和曲面积分1

注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; (保 dl > 0) 证 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
(1) L : y = ψ ( x )
b
a ≤ x ≤ b.
f ( x, y)ds = ∫ f [ x,ψ ( x)] 1 +ψ′2( x)dx. (a < b ) ∫L a
= ∫ f (ρ(θ)cosθ , ρ(θ)sinθ ) ρ2 (θ ) + ρ′2 (θ ) dθ α
推广: 推广 Γ : x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ), z = ω ( t ). (α ≤ t ≤ β )
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
L L 1
其中L由连接而成，其中由 L1 和 L2 连接而成， L1 与 L2 关于 x 轴对称且若 L对称于y轴, f ( x, y )为x的偶函数，则
∫ f (x, y)dl = 2∫ f (x, y)dl
其中L由连接而成，其中由 L1 和 L2 连接而成，且 L1 与 L2 关于 y 轴对称
n
i
=l
4. 当积分曲线 L 的方向改变时，积分值不变即的方向改变时，积分值不变,
∫ f (x, y, z)dl = ∫ f (x, y, z)dl
AB BA
4.性质性质
(1) ∫ [ f ( x, y) ± g( x, y)]ds = ∫ f ( x, y)ds ± ∫ g( x, y)ds.

第二十一章(数分)

178第二十一章曲线积分与曲面积分 ( 1 6 时 )§1 第一型曲线积分与第一型曲面积分( 3 时 )一. 第一型曲线、曲面积分的定义:1. 几何体的质量: 已知密度函数,分析线段、平面区域、空间几何体的质量定义及计算.2. 曲线和曲面的质量:3. 第一型曲线、曲面积分的定义: 定义及记法. 线积分⎰Lfds , 面积分⎰⎰SfdS .4. 第一型曲线、曲面积分的性质: [1]P 356 二. 第一型曲线、曲面积分的计算:1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 .Th22.1 设有光滑曲线)( , )( :t y t x L ψϕ==, ],[βα∈t . ),(y x f 是定义在L 上的连续函数. 则()dt t t t t f ds y x f L⎰⎰'+'=βαψϕψϕ)()()( , )(),(22. ( 证 ) [1]P 357若曲线方程为L :],[ , )(b a x x y ∈=ψ, 则()⎰⎰'+=Lbadx x x x f ds y x f )(1)( , ),(2ψψ.L 的方程为)(y x ϕ=时有类似的公式.例1 设L 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0.⎰+Lds y x )(22. [1]P 200 E1.例2设L 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段.计算第一型曲线积分⎰Lyds . [1]P 200 E2.空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线)( , )( , )( :t z t y t x L χψϕ===,],[βα∈t . 函数)( , )( , )(t t t χψϕ连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有()⎰⎰'+'+'=Ldt t t t t t t f ds z y x f βαχψϕχψϕ)()()()( , )( , )(),,(222.179例3 计算积分⎰Lds x 2, 其中L 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周.[1]P 201E3.解由对称性知,⎰=Lds x 2⎰=Lds y 2⎰L ds z 2⇒⎰L ds x 2=⎰⎰==++L L a ds a ds z y x 32222323)(31π. ( 注意L 是大圆 )第一型曲面积分的计算:Th1 设有光滑曲面 D y x y x z z S ∈=),( , ),( :.),,(z y x f 为S 上的连续函数,则()⎰⎰⎰⎰++=SDy x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 221),(,,),,(.例1 计算积分⎰⎰S zdS , 其中S 是球面 2222a z y x =++ 被平面 h z =)0(a h <<所截的顶部. [1]P 281 E1.Ex[1]P 201 1, 2, 3, 4 .[1]P 283 1, 2, 3 .§2 第二型曲线积分( 3 时 )一. 第二型曲线积分的定义:1.力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功: 先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得 ),(dy dx F W AB⋅=⎰⋂, 即 ds F W L⋅=⎰.2. 第二型曲线积分的定义: ( [1]P 203) 封闭曲线积分的记法.按这一定义,有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为 ⎰+=ABQdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线180AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.3. 第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分. 因此, 第二型曲线积分具有(R )积分的共性, 如线性、关于函数或积分曲线的可加性. 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性, 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.二. 第二型曲线积分的计算:设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψϕ≤≤==t t y t x, )( , )(或βα≥≥t . A ())( , )(αψαϕ, B ())( , )(βψβϕ,即起点A 对应的参数为α,终点B 对应的参数为β; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L 从点A 到点B 的积分为()()[]⎰⎰'+'=+Ldt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(. (证略)例1 计算积分⎰-+Ldy x y xydx )(, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分从点A 到点B 或闭合, 路径为ⅰ> 直线段ABⅱ> 抛物线1)1(22+-=x y ;ⅲ> 折线闭合路径A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 ) . [1]P 205 E1. 例2 计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L :ⅰ> 沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 ); ⅱ> 沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );ⅲ> 沿折线封闭路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0). [1]P 206 E2. 例3 计算第二型曲线积分I =⎰+-+Ldz xdy y x xydx 2)(, 其中L 是螺旋线t a x cos =,bt z t a y == , sin , 从0=t 到π=t 的一段. [1]P 207E3.例4 求在力场) , , (z y x x y ++-作用下,181ⅰ> 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿螺旋线到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功, 其中 L 1: bt z t a y t a x === , sin , cos , ) 20 (π≤≤t .ⅱ> 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿直线L 2到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功. [1]P 207 E4.Ex [1]P 371 1，2，3.§3 Green公式曲线积分与路径无关性( 4 时 )一.Green 公式:设区域D 的边界L 是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线L 的正向规定为: 当人沿边界行走时, 区域D 总在它的左边, 参阅[1]P 224图21—10.与此相反的方向称为负方向,记为—L 或L -. 1. Green 公式:Th21.11 若函数),(y x P 和),(y x Q 在闭区域D ⊂R 2上连续,且有连续的一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx dxdy y P x Q ,其中L 为区域D 的正向边界. (证) [1]P 224.Green 公式又可记为⎰⎰⎰+=∂∂∂∂DL Qdy Pdx dxdy QP y x . 2. 应用举例:对于封闭曲线积分, 可直接应用Green 公式. 对非封闭曲线积分,常采用附加上一条线使变成封闭曲线积分的方法. 例1 计算积分⎰ABxdy , 其中A , ) , 0 (r B ) 0 , (r . 曲线AB 为圆周222r y x =+在第一象限中的部分. [1]P 226 E1. 解法一 (直接计算积分) 曲线AB 的方程为 20 , sin , cos π≤≤==t t r y t r x .182起点A 对应的参数为2π,终点B 对应的参数为0,因此 ⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==AB r t t r tdt r xdy 2200222242sin 2121cos πππ. 解法二 (用Green 公式)补上线段BO 和OA ( O 为坐标原点), 成封闭曲线.设所围区域为D , 注意到∂D 为反向, 以及0=⎰BOA, 有⎰ABxdy ⎰⎰⎰⎰∂-=-=-=DBOADr dxdy xdy xdy 24π.例2 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界(方向任意)[1]P 227 E2.解 2222),( , ),(yx xy x Q y x y y x P +=+-=. (P 和Q 在D 上有连续的偏导数). ()2222222yx x y y x y x y P +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, 22222)(y x x y x Q +-=∂∂. 于是, I =⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=D Ldxdy y P x Q 0.例3 验证区域D 的面积公式|D |⎰-=Lydx xdy 21,L 为D 的正向边界. [1]P 227 例4 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 33π≤≤==t t b y t a x 所界的面积.Ex [1]P 231—232 1，2，3，4.二. 曲线积分与路线无关性:介绍单连通域和复连通域.1. 积分与路径无关的等价条件: [1]P 377Th21.12 设D ⊂R 2是单连通闭区域. 若函数),(y x P 和),(y x Q 在闭区域D 内连续, 且有连续的一阶偏导数, 则以下四个条件等价 :183ⅰ> 沿D 内任一按段光滑的闭合曲线L , 有⎰=+LQ d y P d x 0.ⅱ> 对D 内任一按段光滑的曲线L , 曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关, 只与曲线L 的起点和终点有关.ⅲ> Qdy Pdx +是D 内某一函数u 的全微分, 即在D 内有=du Qdy Pdx +.ⅳ> 在D 内每一点处有 xQ y P ∂∂=∂∂. (证) [1]P 228—230 . 2. 恰当微分的原函数:若有xQ y P ∂∂=∂∂, 则称微分形式Qdy Pdx +是一个恰当微分. 恰当微分有原函数, 它的一个原函数为: ⎰⎰+=xx yy dt t x Q dt y t P y x u 0),(),(),(0.或 . ),(),(),(00⎰⎰+=yy xx dt y t P dt t x Q y x u(其中点) , (00y x ∈D , 当点) 0 , 0 (∈D 时, 常取) , (00y x =) 0 , 0 (.) 验证第一式:⎰⎰+=+=∂∂y y t y y x dt t x P y x P dt t x Q y x P xu0),(),(),(),(00==-+=+=),(),(),(|),(),(0000y x P y x P y x P t x P y x P yy ),(y x P ;同理可得),(y x Q yu=∂∂. 例5 验证式 ydy x dx y x cos ) sin 2 (++是恰当微分,并求其原函数. [1]P 231 E4.Ex [1]P 232 5，6，7.§4 第二型曲面积分 ( 3 时 )一. 曲面的侧:1. 单侧曲面与双侧曲面:2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为)cos , cos , (cos γβα±=,184则上侧法线方向对应第三个分量0>, 即选“+”号时，应有0cos >γ，亦即法线方向与Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧.二. 第二型曲面积分:1. 稳流场的流量: 以流体的流量为例. [1]P 384.2. 第二型曲面积分的定义: [1]P 284—285 . 封闭曲面上的积分及记法.3. 第二型曲面积分的性质: 线性, 关于积分曲面块的可加性.4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设为曲面S 的指定法向, 则 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=[]⎰⎰++SdS z z y x R y z y x Q x z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(.三. 第二型曲面积分的计算:Th22.2 设),,(z y x R 是定义在光滑曲面∈=),(, ),( :y x y x z z S D xy 上的连续函数, 以S 的上侧为正侧(即0),cos(>z ), 则有 ()⎰⎰⎰⎰=SD xydxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(.证 [1]P 287 .类似地, 对光滑曲面∈=),(, ),( :z y z y x x S D yz , 在其前侧上的积分()⎰⎰⎰⎰=SD yzdydz z y z y x P dydz z y x P , , ),(),,(.对光滑曲面∈=),(, ),( :x z x z y y S D zx , 在其右侧上的积分()⎰⎰⎰⎰=SD yzdzdx z x z y x Q dzdx z y x Q , ),( , ),,(.计算积分⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz 时, 通常分开来计算三个积分⎰⎰SPdydz , ⎰⎰SQdzdx , ⎰⎰SRdxdy .为此,分别把曲面S 投影到YZ 平面, ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算.投影域的185侧由曲面S 的定向决定.推论设),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 是定义在光滑曲面 , ),( :y x z z S =∈),(y x D xy 上的连续函数,则有⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=[]⎰⎰++SdS z n z y x R y n z y x Q x n z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(.)]),(,,(),()),(,,(),()),(,,([dxdy y x z y x R y x z y x z y x Q y x z y x z y x P X YD yx⎰⎰+--±=曲面 S 的方向为上侧, 则等式前取“＋”号; 曲面 S 的方向为下侧, 则等式前取“－”号. 例1 计算积分⎰⎰Sxyzdxdy ,其中S 是球面1222=++z y x 在0 , 0≥≥y x 部分取外侧.[1]P 287 E1.例2 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面2222R z y x =++取外侧.解对积分⎰⎰∑+dydz y x )(, 分别用前∑和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有前∑ : ,222z y R x --=222 :R z y D yz ≤+;后∑: ,222z y R x ---= 222 :R z y D yz ≤+.因此, ⎰⎰∑+dydz y x )(=⎰⎰∑前+⎰⎰∑后=()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R 222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-==========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()3023223432214R rR R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑: ,222x z R y --=222 :R z x D zx ≤+;186左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有上∑: ,222y x R z --=222 :R y x D xy ≤+;下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+.因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R 33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上, ⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯.Ex [1]P 289—290 1⑴⑵⑶⑷⑸，2.§5 Gauss公式和Stokes 公式 ( 3 时 )一. Gauss 公式:Th22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成.若函数R Q P , , 在V 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则187⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S V Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ,其中S 取外侧.称上述公式为Gauss 公式或Остроградский―Gauss 公式. 证只证⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂VS Rdxdy dxdydz z R. 设V 是xy 型区域( 即-Z 型体 ) ( 参阅[1]P 291图22—6 ), 其边界曲面S 由曲面 ),( :11y x z z S =下侧 , ∈),(y x D xy , ),( :22y x z z S =上侧 , ∈),(y x D xy . (),(),(21y x z y x z ≤.)以及垂直于XY 平面的柱面3S (外侧)组成. 注意到⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0, 有()d xdy z y x R dz z R dxdy dxdydz z R V D y x z y x z D y x z z y x z z xy xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===∂∂=∂∂),(),(),(),(2121|),,( ()()[]⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R ),(,,),(,,12()⎰⎰-=xyD dxdy y x zy x R ),(,,2()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ),(,,1++=⎰⎰⎰⎰21),,(),,(S S dxdy z y x R dxdy z y x R ⎰⎰3),,(S dxdy z y x Rd x d yz y x R S ),,(⎰⎰=外侧. 可类证⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂V S Pdydz dxdydz x P, ⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂VS Qdzdx dxdydz y Q. 以上三式相加, 即得Gauss 公式. 例1 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(， ∑为球面2222R z y x =++取外侧. (参阅上节例2 )解 x z z y x R z y z y x Q y x z y x P 3),,( , ),,( , ),,(+=-=+=.188. 1 , 1 , 1⇒=∂∂=∂∂=∂∂z R y Q x P . 3 =∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P 由Gauss 公式 ⎰⎰⎰⎰⎰∑=⋅==VR R dxdydz 3343433 ππ. 例2 计算积分⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体V 的表面取外侧. V : a z a y a x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 0. [1]P 291 E1. 解应用Gauss 公式 , 有()⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+-∂∂=V S dxdydz xz y z x y z x y x )()( 22 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=V a a a aa dy a ay a dx x y dy dz dxdydz x y 00004221)()(. 例3 计算积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，∑为锥面22y x z +=在平面4=z 下方的部分，取外法线方向 .解设S 为圆16 , 422≤+=y x z 取上侧, 则S +∑构成由其所围锥体V 的表面外侧, 由Gauss 公式, 有⎰⎰+∑++S zdxdy ydzdx xdydz=⎰⎰⎰⨯=V dxdydz 33锥体V 的体积ππ643643=⋅=; 而 ⎰⎰⎰⎰≤+==++S y x dxdy zdxdy ydzdx xdydz 1622644π 因而, 0 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+∑∑S S . 例4 设V 是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过V 外的点连续收缩为V 上的一点.又设函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 和),,(z y x R 在V 上有连续的偏导数. S 表示V 内任一不自交的光滑封闭曲面, n 是S 的外法线. 试证明: 对V 内任意曲面S 恒有[]⎰⎰=++S dS z n R y n Q x n P 0),cos(),cos(),cos(189 的充要条件是0 =∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P 在V 内处处成立. 证 []⎰⎰⎰⎰++=++SS Rdxdy Qdzdx Pdydz dS z n R y n Q x n P ),cos(),cos(),cos(. )⇐ 由Gauss 公式直接得到.)⇒ 反设不然 , 即存在点∈),,(0000z y x M V , 使()0| 0≠∂∂+∂∂+∂∂M z R y Q x P ,不妨设其0>. 由zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 在点0M 连续, 存在以点0M 为中心且在V 内的小球V ', 使在其内有zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 0>. 以∑表示小球V '的表面外侧, 就有 ⎰⎰⎰⎰⎰'∑>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=V dxdydz z R y Q x P 0 , 与⎰⎰∑=0 矛盾. Ex[1]P 399—400 1, 2 .二. Stokes 公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L 正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L 行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L 的正向.1. Stokes 定理:Th22.4 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 和),,(z y x R 在S (连同L )上连续, 且有一阶连续的偏导数, 则⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎰++L Rdz Qdy Pdx . 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.190 称该公式为Stokes 公式.证先证式 ⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂-∂∂S S L Pdx dxdy y P dzdx z P . 具体证明参阅[1]P 292—293.Stokes 公式也记为 ⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂S L Rdz Qdy Pdx dxdydzdx dydz R Q P z y x . 例5 计算积分⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中 L 为平面1=++z y x 与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向. [1]P 294 E2.2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性:介绍空间单连通、复连通域.Th 22.5 设Ω⊂R 3为空间单连通区域. 若函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 和),,(z y x R 在Ω上连续, 且有一阶连续的偏导数, 则以下四个条件等价:ⅰ> 对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L , 有⎰=++LRdz Qdy Pdx 0; ⅱ> 对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L , 曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路径无关;ⅲ> Rdz Qdy Pdx ++是Ω内某一函数u 的全微分; ⅳ> zP x R y R z Q x Q y P ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ , , 在Ω内处处成立 . [1]P 294 3. 恰当微分的原函数:恰当微分的验证及原函数求法.例6 验证曲线积分⎰+++++Ldz y x dy x z dx z y )()()(与路径无关, 并求被积表达式的原函数),,(z y x u . [1]P 295E3.Ex [1]P400 3，4，5.191。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。

通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为：∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。

对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为：∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥表示其长度。

十一章曲线积分与曲面积分

- -第十一章曲线积分与曲面积分一、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法：即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式：参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义：设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如，（定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算主要使用两个重要定理.格林定理设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意：如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意：这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。

曲线积分与曲面积分知识点

第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、三、内容提要1． 1．曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。

（2）（2）第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

（3）（3）第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。

实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。

二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。

曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。

曲线积分与曲面积分第一类曲面积分

Σ1 o Ry
∫∫ ∫∫ I =
Σ
dS R2 + z2
=
2
Σ1
dS R2 + z2
x
dS =
1+
x
2 y
+
xz2
d
ydz
z
= 1 + ( − y )2 + 0d yd z
H
R2 − y2
= R d ydz R2 − y2
Dyz OR y
∫∫ ∴
I
=
2
Σ1
dS R2 + z2
Σ1 : x = R2 − y2 , ( y, z) ∈ Dyz
n
∫∫ ∑ Σ
f
( x,
y, z)dS
=
lim
λ→0
i =1
f
(ξi ,ηi , ζi
)ΔSi .
积分曲面
被积表达
面积元
式
素
积分和式
注 1º 当函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上连续时,
曲面积分 ∫∫ f ( x, y, z)dS 存在. Σ
2º 曲面形构件的质量可以表示为
分割、近似、求和、取极限；
（4）均为黎曼和的极限. 因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式.
定义10.4 设 I 是Rn中的一个有界的几何形体(直线段、
平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面)，f ( x)是在
在I 上有定义并且有界的数量值函数。将 I 任意划分为
n 个“子块”：ΔI1, ΔI2,L,ΔIn,并将ΔIi的度量(长度,面积,
D yz
2o 若曲面 Σ： y = y( x, z) ( x, z) ∈ Dxz，则

曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧

曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线与曲面积分：计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，应用广泛。

在本文中，我们将探讨曲线积分和曲面积分的基本技巧和计算方法。

在开始之前，我们先对曲线积分和曲面积分进行简要介绍。

1. 曲线积分曲线积分是对曲线上的某个向量场的积分，其计算方法有两种：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对标量函数的积分，而第二类曲线积分是对向量函数的积分。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分也称为沿曲线的线积分，其计算公式为：∫f(x, y, z) • dr = ∫f(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中f(x, y, z)为曲线上的函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分也称为曲线上的向量场的线积分，其计算公式为：∫F • dr = ∫F(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中F为曲线上的向量函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

2. 曲面积分曲面积分是对曲面上的某个标量函数或向量函数的积分，其计算方法也有两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量函数的积分，而第二类曲面积分是对向量函数的积分。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分也称为曲面上的标量场的曲面积分，其计算公式为：∬f(x, y, z) dS，其中f(x, y, z)为曲面上的函数，dS为曲面元素面积。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分也称为曲面上的向量场的曲面积分，其计算公式为：∬F • dS = ∬F(x, y, z) • n dS，其中F为曲面上的向量函数，dS为曲面元素面积，n为曲面上某一点的法向量。

3. 计算曲线积分的基本技巧在计算曲线积分时，我们需要掌握以下基本技巧：3.1 参数化对于曲线上的向量函数，我们需要找到一个参数来表示该曲线，通常使用参数t来表示曲线上的点。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分：曲线积分是一种对曲线上的向量值函数进行积分的方法。

以一维平面曲线为例，设该曲线为C，它求解的是一个向量场F沿着C的积分，因为曲线上每个点都有一个切向量，所以曲线积分可以看作是向量场F与曲线C的点乘积之和。

曲线积分在物理学和工程学领域中得到广泛应用，比如在力学中用于计算质点沿着路径所受的约束力，或者用于计算磁场强度在闭合电路上的流量。

它还可以用于计算平面或曲面上的各种力场沿着路径或曲线的做功。

曲线积分的表示方法有两种，一种是路径坐标表示，即将曲线看作是指定参数范围内的一条参数曲线，即可对F进行积分;另一种是向量积分，即将曲线分解为若干段直线，则曲线积分等于每一段弧长所得到的弧长积分之和。

曲面积分：曲面积分是一种针对曲面上的向量值函数进行积分的方法，它是高维向量积分的扩展。

类似于曲线积分，曲面积分也是一种多个向量态的点积之和。

常见的曲面有球体、圆柱体、圆锥体、平面等等。

对于任意曲面而言，曲面积分就是将向量场沿着曲面的法向量进行积分所得到的积分值。

曲面积分应用广泛，因为它可以用于计算各种物理场的流量，比如电场、磁场、重力场等等。

在计算物理场相互作用时，曲面积分也是不可或缺的数学工具之一。

曲面积分的表示方法有两种，一种是分片曲面表示，即将曲面分解为若干小块，再对每一个小块进行积分求和; 另一种是参数表示，即采用参数方程表示曲面，则曲面积分等于曲面上每一个参数块所得到的面积积分之和。

最后，曲线积分和曲面积分是数学里非常重要的概念，它们在物理领域中扮演着重要的角色，既可以用来理解物理现象，也可以用来解决实际问题。

学习曲线积分和曲面积分，对于深入了解物理学、数学等领域都非常重要。

曲线积分与曲面积分的计算方法

曲线积分与曲面积分的计算方法计算曲线积分与曲面积分是数学中重要的内容，本文将介绍曲线积分和曲面积分的定义和计算方法。

一、曲线积分的定义和计算方法曲线积分是在三维空间中曲线上的函数进行积分运算的一种方法。

曲线积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲线的方程已知，我们可以通过参数化曲线来计算积分；第二种情况是曲线的方程未知，我们可以通过对弧长进行积分来计算。

1. 参数化曲线的曲线积分计算对于参数化曲线C: r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数f(x, y, z)的曲线积分可以表示为：∮C f(x, y, z) ds = ∫f(x(t), y(t), z(t))||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线C上的弧长元素，r'(t)表示曲线C的切向量，||r'(t)||表示切向量的模长。

通过将参数t从t0到t1进行积分，即可计算出曲线积分的结果。

2. 弧长的曲线积分计算如果曲线的方程未知，但是我们可以计算出曲线上任意两点之间的弧长，则可以通过对弧长进行积分来计算曲线积分。

∮C f(x, y, z) ds = ∫f(x, y, z) dl其中，dl表示曲线C上的弧长元素，通过将参数l从l0到l1进行积分，即可得到曲线积分的结果。

二、曲面积分的定义和计算方法曲面积分是在三维空间中曲面上的函数进行积分运算的一种方法。

曲面积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲面的方程已知，我们可以通过参数化曲面来计算积分；第二种情况是曲面的方程未知，我们可以通过将曲面分成小面元然后进行求和来进行计算。

1. 参数化曲面的曲面积分计算对于参数化曲面S: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，函数f(x, y, z)的曲面积分可以表示为：∬S f(x, y, z) dS = ∫∫f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))||r_u × r_v|| du dv其中，dS表示曲面S上的面积元素，r_u和r_v分别表示参数u和v 方向上的切向量，r_u × r_v表示切向量的叉乘，||r_u × r_v||表示叉乘的模长。

曲线积分曲面积分公式总结

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。

曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。

2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。

曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。

曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。

2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。