沪科版八年级(上)数学第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3.4含30°角的直角三角形的性质《典中点》无答案
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 等腰三角形的性质
知1－讲
例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点
D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.
解：∵AB=AC，（已知）
∴∠B=∠C.（等边对等角）
∴∠B=∠C=
1 (180 120)=30.
又∵BD=AD，（已知2 ）
∴∠BAD=∠B=30°.（等边对等角）
（来自教材）
知1－讲
例5求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图(1)，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'
=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
本例是14.2节中已经学
过的判定两个直角三角
形全等的定理“HL”的
证明.
同理，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°
=60°.
（来自教材）
知1－讲
本例中去掉AB=AC这个条件，能否求得∠DAE 的度数？ 本题给你怎样的启示？
知1－讲
例2 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B； (2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数； (3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数． 导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形 的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若 给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解． 解：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°， 解得∠B＝65°.
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 活用“三线合一”巧解题
7．如图，已知 AB∥CD，AE 平分∠BAC，点 E 为 BD 的中点． 求证：(1)CE 平分∠ACD；
证明：延长 AE 交 CD 的延长线于点 F. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠EDF. ∵点 E 为 BD 的中点，∴BE＝DE，∴△ABE≌△FDE， ∴AE＝FE. ∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠F，∴AC＝CF. 又∵AE＝FE，∴CE 平分∠ACD.
(2)AC＝AB＋CD.
证明：由(1)知△ABE≌△FDE，∴AB＝FD. ∴AC＝CF＝CD＋DF＝AB＋CD.
证明：连接 ED，DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
BE＝CD， 在△BED 和△CDF 中，∠B＝∠C，∴△BED≌△CDF，
BD＝CF，
∴DE＝DF.∵G 是 EF 的中点，∴DG⊥EF.
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D，求证： ∠DBC＝12∠BAC.
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. ∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠CAF＝∠BAF＝12∠BAC. ∵AF⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠DBC＝∠CAF.∴∠DBC＝12∠BAC.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3等腰三角形 第5课时 活用“三线合一”巧解题
提示：点击 进入习题
答案显示
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题 6 见习题 7 见习题
1．【马鞍山 12 中期中】如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，AD＝AE，∠1＝30°，求∠EDC 的度数．
证明：连接 AD.∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，∴∠BAD＝∠CAD. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴∠B＝∠CAD＝∠BAD＝45°.∴BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．∴DE＝DF.
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 含30°角的直角三角形的性质
一半
1．【中考·百色】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC 等于( ) A
A．6 C．6 3
B．6 2 D．12
2．【2021·合肥45中月考】如图，一次强台风中，一棵树在离地面5m处折断 ，倒下的部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度是( )
A．5m B．10m C．15m D．20m
在Rt△ACE中，AE＝ AC＝ ×54＝27(cm)．
1 1 同理可得，BF＝27 cm.又∵点A与点B之间的距离为10 cm， 2 2 ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64(cm)．
6．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q ，求证：BP＝2PQ.
解：根据题意，得AP＝t cm，BQ＝t cm.
在△ABC中，AB＝BC＝3 cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t)cm.
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°.
当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BQ＝ BP，即t＝ (3－t)，解得t＝1.
当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，∴BP＝ BQ，即3－t＝ t，解得t＝2.即当t＝1
在△ACD和△BAE中， ∴△ACD≌△BAE(SAS)．∴∠CAD＝∠ABE.
AC＝BA ∵∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°， ∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAQ＝60∠°.C＝∠BAE ∵BQ⊥AD，∴∠QBP＝30°.∴CBPD＝＝2PAQE. ，
7．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发， 分别沿AB，BC的方向匀速运动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时， P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角 三角形？
八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形知识点总结沪科版
第十五章轴对称图形与等腰三角形一、轴对称图形与轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴。
(说明：轴对称图形的对称轴可以是一条，可能是多条或无数条.)2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。
这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点。
3、轴对称性质：（1）如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。
（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1、定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
2∵直线l垂直平分AB，点P∴PA=PB3、 判定:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
∵ PA=PB∴ 点P 在AB 的垂直平分线上三、等腰三角形1、定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等。
简称“等边对等角”。
推论：等边三角形三个内角相等,每一个内角等于60°.（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一)3、判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。
简称“等角对等边"。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、等边三角形A B P1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等,每一个内角等于60°。
3、判定:（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3)有一个角是60°的三角形是等边三角形.五、角的平分线1、性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。
沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形15
基础夯实
整合运用
第 12 页
八年级 数学 上册 沪科版
解：路线为 A→B→P，如图所示．
基础夯实
整合运用
第 13 页
于点 C.
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
基础夯实
整合运用
第3页
八年级 数学 上册 沪科版
2．如图，作∠α 的补角，然后画出补角的平分线．(不写作法，保留作 图痕迹)
Байду номын сангаас基础夯实
整合运用
第4页
八年级 数学 上册 沪科版
解：∠AOC 即为补角，OP 为角平分线，如图所示．
基础夯实
整合运用
基础夯实
整合运用
第6页
八年级 数学 上册 沪科版
解：(1)(2)如答图所示． (4)PH＜CO，理由： ∵垂线段最短， ∴PH＜PO，PO＜OC， ∴PH＜CO.
基础夯实
整合运用
第7页
八年级 数学 上册 沪科版
4．(玉林中考)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论，然后证明你 的结论．(不要求写已知、求证)
八年级 数学 上册 沪科版
15．4 角的平分线 第 1 课时 角平分线的尺规作图
基础夯实
整合运用
第1页
八年级 数学 上册 沪科版
要点感知 1．尺规作图时，用__直尺__(没有刻度)画直线、射线或线段；用__圆圆规规
__作弧或圆． 2．角是__轴轴对对称称__图形，__角平分线__所在的直线是它的对称轴．角平 分线的作法有三种：__折折纸纸法法__、__量量角角器器法法__和__尺尺规规作作图图法法__．
基础夯实
整合运用
第 10 页
八年级 数学 上册 沪科版
沪科版八年级上册15.含30°角的直角三角形的性质课件
含30°角的直角三角形的 性质
1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．这 个定理 将特殊的直角三角形中的角度关系转化为直角三角形 中边的等量关系．在一般情况下，遇到30°角常用的添加辅助 线的方法就是作垂线，构造含30°角的直角三角形，解决相关 的线段问题．
含30°角的直角三角形的 性质
感悟新知
2. 作用 应用于证线段的倍分关系和计算角度.
感悟新知
例 1 [期末·汝州] 已知：如图15.3-15，在△ ADC 中， AD=CD， 且AB ∥ DC，CB ⊥ AB 于B，CE ⊥ AD 交 AD 的延长线于E，连接BE． (1)求证：CE=CB； (2)若∠ CAE=30°，CE=2， 求AC 的长度．
2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长： 根据：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 用途：求线段长度和证明线段倍分关系． 作法：当图形中含有30°角时，通过作垂线构造含有30°角
的直角三角形．
作业提升
请完成教等可得CE=CB. 在 Rt △ AEC 中，根据30°角所对的直角边等于斜 边的一半可求出AC 的长.
教你一招 含30°角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的
数量关系.
感悟新知
(1)证明：∵ AD=CD， ∴∠ DAC= ∠ DCA. ∵ AB ∥ CD， ∴∠ DCA= ∠ CAB， ∴∠ DAC= ∠ CAB. 又∵ CE ⊥ AD，CB ⊥ AB， ∴∠ AEC= ∠ ABC=90° . 又∵ AC=AC， ∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB．
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
学习目标
八年级数学沪科版 第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3 等腰三角形15.3.3 等边三角形的性质和判定【教案】
课题：等边三角形的性质和判定三维目标知识与技能使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度过程与方法熟识等边三角形的性质及判定情感态度与价值观总结代数法求几何角度，线段长度的方法教学重点：等腰三角形的性质及其应用教学难点：简洁的逻辑推理教学方法与手段：教学过程：一、复习巩固1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。
把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。
由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?二、新课在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。
我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述?等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
三个角都相等的三角形是等边三角形有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形也称为正三角形。
修订、增减例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数。
分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC ＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形15
八年级 数学 上册 沪科版
【自主解答】(1)∵△ACM 和△CBN 是等边三角形， ∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝60°，∠NCB＝60°， ∴∠ACM＋∠MCN＝∠NCB＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB， 在△CAN 和△CMB 中，
CA＝CM，
∵∠ACN＝∠MCB， CN＝CB，
第3页
∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ， ∵∠ACP＋∠PCB＝90°，∴∠BCQ＋∠PCB＝90°， 即∠PCQ＝90°，∴△CPQ 是等腰直角三角形．
第 11 页
八年级 数学 上册 沪科版
知能素养小专题(七) 共顶点的等腰三 角形
——教材 P140T12 的变式与应用
第1页
八年级 数学 上册 沪科版
【教材母题】 已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM 和△CBN 是等边三角形，AN 交 CM 于点 E，BM 交 CN 于点 F. 求证：(1)CE＝CF；(2)EF∥AB.
八年级 数学 上册 沪科版
∴△CAN≌△CMB(SAS)．∴∠CMB＝∠CAN. 在△ACE 和△MCF 中，
∠CAE＝∠CMF，
∵AC＝MC， ∠ACE＝∠MCF＝60°，
∴△ACE≌△MCF(ASA)．∴CE＝CF.
第4页
八年级 数学 上册 沪科版
(2)∵CE＝CF，∴△CEF 为等腰三角形， 又∵∠ECF＝180°－60°－60°＝60°， ∴△CEF 为等边三角形． ∴∠CEF＝∠MCA＝60°.∴EF∥AB.
第5页
八年级 数学 上册 沪科版
【变式训练】 1．如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形，求证：BE＝CD.
第6页
八年级 数学 上册 沪科版
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 等腰三角形的判定
()
A．(－3，0) C．(5，0)
B．(－1，0) D．(9，0)
【点拨】∵A(4，0)，B(0，3)，∴AB＝5.当点 D 的坐标为 (－3，0)时，只能作以 PD，PA 为腰的等腰三角形；当点 D 的坐 标为(－1，0)时，可作以 PD，PA 为腰的等腰三角形，也可作以 AP，AD 为腰的等腰三角形(此时 P 点在 B 点)；当点 D 的坐标为 (5，0)时，只能作以 AP，AD 为腰的等腰三角形；当点 D 的坐标 为(9，0)时，只能作以 AP，AD 为腰的等腰三角形(此时 P 点在 B 点)．故选 B. 【答案】B
(2)在(1)中，如果把条件∠B＝2∠C 与结论 CD＝AB＋BD 互换， 仍然成立吗？请说明理由．
解：仍然成立．理由如下： 在线段 DC 上取一点 G，使 DG＝BD，连接 AG. ∵AD⊥BG，BD＝DG，∴AB＝AG.∴∠AGB＝∠B. ∵CD＝AB＋BD，∴CD＝AG＋DG. 又∵CD＝DG＋GC，∴AG＝GC. ∴∠C＝∠CAG.∴∠AGD＝2∠C.∴∠B＝2∠C.
【答案】B
12．【合肥庐阳区校级统考】如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°， 过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E.
(1)求证：CB＝CE；
证明：∵BD⊥AC，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD＋∠C＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠CBD. ∵BE 平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE. ∵∠CBE＝∠CBD＋∠DBE，∠CEB＝∠A＋∠ABE， ∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.
A．2 秒
B．2.5 秒
C．3 秒或 5 秒 D．6 秒
10．【六安金安区期末】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A(4，0)，B(0，3)，点 D 在 x 轴上．若在线段 AB(包括两个
八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案新版沪科版
第15章轴对称图形与等腰三角形【知识与技能】1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质.2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.【过程与方法】初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.【情感与态度】数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.【教学重点】重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【教学难点】难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、典例精讲1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识例1(1)下列几何图形中,①线段②角③直角三角形④半圆,其中一定是轴对称图形的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个(2)图中,轴对称图形的个数是（A）A.4个B.3个C.2个D.1个2.轴对称变换及用坐标表示轴对称［关于坐标轴对称］点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）例2已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.【解】答案如图所示.3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形例3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP,DP,则AP+DP的最小值是 8 .4.线段垂直平分线的性质例4如图,在△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数.【解】在△ABC中,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE⊥BC,而E是BC的中点,∴BE=CE,∴BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ABD=∠CBD=∠C,∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.5.等腰三角形的特征和识别例5 已知:如图,△ABC中,∠ACB为锐角且平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.【解】△EFC为等腰三角形,证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形6.等边三角形的特征和识别例6:如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形.【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∵ED⊥AB,∴∠BDE=90°,∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.同理可得:∠DFE=60°,∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形.例7:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点F.求证:CF=2BF.【解】如图,连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,∴∠B=∠FAB=30°,∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,∴CF=2AF,∴CF=2BF.【教学说明】增加例题,巩固所学知识.三、知识巩固,变式训练1.以下图形有两条对称轴的是（）A.正六边形B.长方形C.等腰三角形D.圆2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A为______.3.等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为______cm.4.如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论,互帮互学）5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为（）A.50°B.90°C.100°D.110°第5题图第6题图6.如图所示,是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置7.如图,在直线上求作一点H,使点H到点A和点B的距离相等.8.四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数.【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B6.提示:连接AB,AC,BC,再分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线,它们的交点即为自来水厂的位置.7.略.8.解:①若P点在正方形ABCD外部,如图（1）所示,∵△PAD为等边三角形,∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∴PA=BA,则△PAB为等腰三角形,∴∠PBA=∠APB.又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°,∴∠PBA=∠APB=15°,同理可得∠CPD=15°,∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD,∴∠BPC=30°.②若点P在正方形ABCD内部,如图（2）所示,∵△PAD为等边三角形∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°,∴∠BAP=30°,PA=BA,∴△ABP为等腰三角形.∴∠ABP=∠APB=75°,∴∠PBC=15°.同理可得:∠PCB=15°,∴∠BPC=150°.四、师生互动,课堂小结1.关于轴对称的点,线段,图形的性质与作法.2.角平分线的性质.3.垂直平分线的性质.4.等腰三角形的性质与应用.5.等边三角形的性质与应用.1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.2.完成练习册中相关复习课的练习.本节设计了“知识框图,整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用,初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案,数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.。
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析《轴对称图形与等腰三角形》是沪科版八年级上数学第15章的内容，本章主要让学生了解轴对称图形的概念，学会判断一个图形是否为轴对称图形，以及掌握等腰三角形的性质。
教材通过生活中的实例引入轴对称图形，让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学素养。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生对实际生活中的几何图形认识不足，对轴对称图形和等腰三角形的概念理解可能存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生观察生活中的几何图形，激发学生的学习兴趣，帮助学生建立清晰的概念。
三. 教学目标1.理解轴对称图形的概念，学会判断一个图形是否为轴对称图形。
2.掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.轴对称图形的概念及判断。
2.等腰三角形的性质及运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受轴对称图形的存在，激发学生的学习兴趣。
2.互动教学法：引导学生观察、讨论、分析，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.实践操作法：让学生动手操作，加深对轴对称图形和等腰三角形性质的理解。
4.归纳总结法：在教学过程中，引导学生总结轴对称图形和等腰三角形的性质，提高学生的表达能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示生活中的轴对称图形和等腰三角形。
2.教学素材：准备一些实际的图形，如卡片、模型等，用于引导学生观察和操作。
3.教学设备：多媒体设备、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的轴对称图形，如剪刀、飞机模型等，引导学生观察并提问：“这些图形有什么特点？”让学生初步感知轴对称图形的存在。
2.呈现（10分钟）讲解轴对称图形的概念，引导学生了解轴对称图形的定义及特点。
数学沪科版八年级(上册)15.3第3课时直角三角形中30°角的性质定理
15.3 等腰三角形
第3课时 直角三角形中30°角的性质定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
导入新课
问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗？
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B
处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求出B处到礁石C的距离.
M
解：(1)如图,以B为顶点，向北偏西60° C
作角， 这角一边与AM交于点C,
D
60° B
30°
则C为礁石所在地；
A
(2)∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，
则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴ BC = 1 AB．
2
B
C
D
证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，
沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形15
基础夯实
整合运用
第7页
八年级 数学 上册 沪科版
6．(固始县期中)如图，已知点 P 是△ABC 三条角平分线的交点，PD⊥AB 于点 D，若 PD＝5，△ACB 的周长为 20，则△ABC 的面积是 5 50 0.
基础夯实
整合运用
第8页
八年级 数学 上册 沪科版
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A(0，7)，B(24，0)，AB＝25.△AOB 内是否有一点 P 到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并求出符 合条件的点 C 的坐标．
8．(株洲中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是 Rt△ABC 的一条 角平分线，点 O，E，F 分别在 BD，BC，AC 上，且四边形 OECF 是正方形． (1)求证：点 O 在∠BAC 的平分线上； (2)若 AC＝5，BC＝12，AB＝13，求 OE 的长．
基础夯实
整合运用
基础夯实
整合运用
第9页
八年级 数学 上册 沪科版
解：有，作∠OAB 和∠AOB 的平分线，两线交于点 C，则点 C 到各边的距 离相等，即为所求． 过点 C 作 CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，CF⊥AB 于点 F， ∵AC 平分∠OAB，OC 平分∠AOB， ∴CD＝CF＝CE， 设 CD＝CF＝CE＝x，
第 12 页
八年级 数学 上册 沪科版
(1)证明：过点 O 作 OM⊥AB 于点 M.先证 OM＝OE＝OF. 又∵OM⊥AB，OF⊥AC， ∴点 O 在∠BAC 的平分线上．
基础夯实
整合运用
第 13 页
八年级 数学 上册 沪科版
(2)解：易证 BE＝BM，AM＝AF， 又 BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而 CE＝CF＝OE， 故 BE＝12－OE，AF＝5－OE，显然 BM＋AM＝AB， 即 12－OE＋5－OE＝13， ∴OE＝2.
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析本章主要内容是轴对称图形与等腰三角形。
学生通过学习本章内容，了解了轴对称图形的概念，学会寻找轴对称图形的对称轴，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。
同时，学生还能够理解等腰三角形的性质，并能应用等腰三角形的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。
但部分学生对于抽象的数学概念和几何图形的理解还有待提高。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对概念的理解，提高空间想象能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的概念，找出常见图形的对称轴，了解等腰三角形的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验成功解决问题的喜悦，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的概念，等腰三角形的性质。
2.难点：寻找轴对称图形的对称轴，运用轴对称和等腰三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现轴对称图形的性质和等腰三角形的性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生运用轴对称和等腰三角形的性质解决问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，帮助学生直观地理解轴对称图形和等腰三角形的性质。
2.教学素材：准备一些关于轴对称图形和等腰三角形的图片和例题，用于引导学生观察和分析。
3.学具：为学生准备一些几何图形，如三角形、正方形等，方便学生操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称图形，如剪刀、飞机等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？学生通过观察，发现这些图形都有一条对称轴，使得图形两部分完全重合。
沪科版八年级上册数学教学课件 第15章 轴对称图形与等腰三角形 等腰三角形
∴∠B=∠C=600.
∴AB=AC=BC.
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=600. 求证：AB=AC=BC. 证明：在△ABC中, ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.（等边对等角） ∵∠B=600, ∴∠C=600, ∴∠A=600. ∴AB=AC=BC.
A
B
C
底角等于60°
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么 它所对的直角边等于斜边的一半.
用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C,(已知)
∴ AC=AB.
(等角对等边)
B
你能证明 这一结论 吗？ A
C
已知：在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
A
证明：作∠BAC的平分线AD.
12
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD，
B
D
C
∴△BAD≌△CAD.（AAS）
基础练习： 3.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. A
求证：AB=AD.
B
证明：∵AD∥BC ,（已知）
∴∠ADB=∠DBC.（两直线平行，内错角相等）
又∵BD平分∠ABC.（已知）
∴ ∠ABD=∠DBC.（角平分线定理）
∴∠ABD=∠ADB.（等量代换）
∴AB=AD.（等角对等边）
D C
可以找出∠B与∠C的关系.
B
C
基础练习： 2.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
E
证明：∵AD∥BC，
A1
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
2
D
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）.