南京信息工程大学高数期末考试试卷a
南京信息工程大学_高等数学试卷
南京信息工程大学_高等数学试卷南京信息工程大学高等数学试卷（A ）年级:___ _____专业:___ _____时间:__ _ 2010.07. __学号:________________姓名:_________________得分:________________一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．若0),,(=z y x F ，且F 可微，z y x F F F ,,非零，则=x z z y y x _______。
2．交换积分次序，=?xxdy y x f dx 331),(_______。
3．过点()4,2,1-与平面0432=-+-z y x 垂直的直线方程为_______。
4．设有点()3,2,1A 和()4,1,2-B ，则线段AB 的垂直平分面的方程为_______。
5．微分方程02=+'-''y y y 的通解是:二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．二元函数),(y x f 在点()00,y x 处两个偏导数),(00y x f x ，),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点连续的______。
（A ）充分而非必要条件； (B) 必要而非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件 2．两平面34=-z x 和152=--z y x 与直线153243-=-=+z y x ______。
（A ）垂直； (B) 平行； (C) 异面； (D) 相交但不垂直。
3．设∑为球面2222a z y x =++，则()=++??∑ds z y x222_____。
（A ）42a π； (B) 48a π； (C) 44a π； (D)434a π。
4．方程xxe y y 22='-''的一个特解具有_______形式。
（A ） ()x e B Ax 2+； (B) xAxe 2； (C) xe Ax 22； (D) ()xe B Ax x 2+。
南京信息工程大学-高等数学(上册)-试卷B(含答案)
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x xxx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10..d )1(177x x x x ⎰+-求11.． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17.设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
南京信息工程大学-高等数学(上册)-试卷B(含答案)
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.)(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11.． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
南京信息工程大学大一数学专业高等代数试卷及答案4
南京信息工程大学试卷20XX －20XX 学年 第 2 学期 高等代数（下） 课程试卷( A 卷)本试卷共 2 页；考试时间 120分钟；任课教师 杨兴东 昝立博 ；出卷时间20XX 年 6月专业 学号 姓名 得分一、填空题（15分）：1．设A 是正交矩阵，则A = ；1-A = ；A 的特征值为 . 2．设3阶方阵A 的特征值为1,0,1-，22B A A E =--,则B = .3．设线性变换ϕ在线性空间V 的一组基321,,εεε下的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， 则ϕ在基1ε，25ε，3ε下的矩阵为 .4. 若3112x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭与204y ⎛⎫⎪⎝⎭相似，则x = ，y = . 5．欧氏空间2R 中基1ε=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31，2ε=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的度量矩阵为 . 二、选择题（15分）：1．如果B A ,都是n 阶正定阵，则下列结论错误的是 （ ） （A ）B A +是正定阵； （B ）B A -是正定阵； （C ）1-A 是正定阵； （D ）B A +-1是正定阵.2．设ϕ是数域P 上线性空间V 的线性变换，α和β是ϕ的分别属于特征值λ和μ 的特征向量，那么 （ ）（A ）若α和β线性无关，则λ≠μ； （B ）若α和β线性相关，则λ≠μ； （C ）若λ=μ，则α和β线性相关； （D ）若λ≠μ，则α和β线性无关． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，且A 与B 相似，则 （ ） （A ）A 与B 有相同的特征矩阵； （B ） A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C ）对任意常数λ, A E -λ与B E -λ相似；（D ）A 与B 相似于同一个对角阵.4. 设n 维线性空间V 的线性变换ϕ在V 的一组基下的矩阵是A ,且A 的秩为r ，则ϕ的值域()V ϕ与核()V ker 的维数分别为 （ ）（A ） ,r r (B) ,r n r - (C) ,n r r - (D) ,0n5. 下列命题中正确的是 （ ） （A ）线性变换在不同基下的矩阵是合同的； （B ）欧式空间中不同基的度量矩阵是相似的； （C ）设B A ,是两个n 阶正定阵，则A 与B 合同； （D ）任意一个复方阵都相似于一个对角阵. 三、（10分） 问t 取何值时，实二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定?四、（12分） 设121211212111,,,11030117ααββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1W =()21,ααL ，2W =()21,ββL ，求21W W ⋂和21W W +的基及维数．五、（12分）求复系数矩阵1332613148A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形．六、（12分）设P 是数域，{}A A P A V T n n =∈=⨯1，{}A A P A V T n n -=∈=⨯2， 证明：(1) 1V 与2V 都是n n P ⨯的子空间；(2) =⨯n n P 21V V ⊕. 七、（16分）设实二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =++ (1) 写出二次型()321,,x x x f 的矩阵A ；(2) 求正交线性替换Py x =化二次型()321,,x x x f 为标准形；(3) 写出二次型()321,,x x x f 的规范形，指出它的秩，正、负惯性指数和符号差，并判别()321,,x x x f 的正定性.八、（8分）设A 为实反对称矩阵，即A A T -=，证明： （1）A 的特征值只能是0或纯虚数； （2）2A E -是正定阵．20xx-20xx 学年《高等代数》（下）期末试卷（A ）参考答案与评分标准一、填空题（本题满分为15分）：1)-4,-6,-12; 2) -24,-25; 3)1112132321223132332222a a a a aa a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭; 4) 011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭; 1,-1; 5)51110⎛⎫ ⎪⎝⎭.二、选择题（本题满分为15分）：1） D ； 2） C ； 3) C ； 4) B ； 5） B ．三、解：二次型的矩阵为1112125t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭----------------2分当A 的顺序主子式都大于0时，即22123111|1|10,10;12=-5401125t t P P t P A tt t t -==>==->==->-时， 原二次型正定；联立方程2210540t t t ⎧->⎨-->⎩,解得405t -<< ----------------8分因此当405t -<<时，原二次型正定。
南京信息工程大学高数期末考试试卷aB
(6 分)
2 2 22、若 un 与 vn 都收敛,则 (un vn ) 2 收敛. n1 n1 n1
2 2 2 2 证：由于 0 (u n vn ) 2 u n vn 2u n vn 2(u n vn ),
(3 分)
2 2 2 2 vn ) 收敛, 并由题设知 un 与 vn 都收敛,则 2(un n1 n1 n 1
2 解：公司利润为 L R x1 x2 15 13 x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
13 8 x2 4 x1 0, 4 x 8 x2 13, Lx 令 1 即 1 2 31 8 x1 20 x2 0, 8 x1 20 x2 31, Lx 3 5 得驻点 ( x1 , x2 ) ( , ) (0.75,1.25) ,而 4 4 1 x1 4 0 , B Lx 1x2 8 , C Lx 2 x2 20 , A Lx D AC B 2 80 64 0 ,
编号
南京信息工程大学试卷
学年 第 1 学期
本试卷共 高等数学 课程试卷( B 卷) 页；考试时间 120 分钟；任课教师 课程组 ；
题序 得分
一
二
三
四
总 分
一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
评 分
阅 卷 人
y 1、已知 f ( x y, ) x 2 y 2 ,则 f ( x, y ) _____________. x
2 y 1 y x y
3 1 1 解： I 1 dy 2 e dx e e 2 y 8 2 2
1 y
南京信息工程大学 高等数学(下册) 试卷及答案
南京信息工程大学高等数学试卷参考答案及评分标准一 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设z y x xy z y x z y x f 42432),,(222-+-+++=求gradf(0,0,0)= -4i+2j-4k2．向量α 和β 构成的角3πϕ=，且8,5==βα ，则βα +=1293．=→→xxy a y x )sin(lim 0 a 4．C 为依逆时针方向绕椭圆12222=+b y a x 的路径,则⎰--+C dy y x dx y x )()(= ab π2-5．微分方程)1(2+='y x y 的通解是12-=x ce y二 选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．直线L ： 37423zy x =-+=-+ 与平面3224=--z y x 的关系是[ A] A ．平行 B ．直线L 在平面上C ．垂直相交D ．相交但不垂直2．y x z 2+=在满足522=+y x 的条件下的极小值为[ ]A ．5B ．-5C ．52D ．-523．设∑为球面2222R z y x =++,则⎰⎰∑++ds z y x )(222=[ C ]A ．dr r r d d Rϕϕθππsin 200022⎰⎰⎰⋅ B. dv R ⎰⎰⎰Ω2 C ． 44R π D.534R π4．级数n i nnx ∑∞=-+12)1(2的收敛半径是 [ D ] A ．23B ．61C ．23或 61D ．25．x xe y y y y =+'+''+'''的通解形式为y= [ A ]A ． x e b ax )(+B ． x e b ax x )(+C ． x e b ax x )(2+D ． []x d cx x b ax e x 2sin )(2cos )(+++三 求下列各题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）1． 计算d x d y y y D ⎰⎰sin D ：2y x = 和 x y = 所围成的区域。
高等数学(A)下期末试卷及答案
来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。
来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。
南京信息工程大学高数期末考试试卷
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1.设1(1),0(),xx x f x x a x ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =-1e。
解()()1111lim 1lim 1x xx x x x e-----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已 知(3)2f '=,则0(3)(3)lim2h f h f h →--=1-。
解 已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h →--'==则(3)(3)1(3)(3)limlim22h h f h f f f h h h→→----=-()1132122f '=-⋅=-⨯=-3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解 令()12sin 0f x x '=-=得6x π=()026622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩ ， 则t dydx==0,22t d y dx==120解()5sin 051cos t t t dydyt dt dx dxt dt======+22t t t dy d dy dx d d y dx dt dxdxdxdt===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭==()()()22cos 1cos sin 1cos 151cos 20t t t tt t =+++==+5. 设1(0)xy xx +=>，则y '=()1ln xx x x x ++解 两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y x x yx'+=+,整理后即得结果6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy--。
南京信息工程大学2020-2021学年第二学期 高等数学课程期末试卷
第 1 页 共 3 页∞∞∞= ⎰ ⎰ 南京信息工程大学 试卷2020－2021 学年 第二学期 高等数学Ⅱ（2） 课程期末试卷( A 卷)考试时间 120 分钟； 出卷时间 2021 年 6 月； 文科各专业 适用一、填空题 (每小题 3 分，共 15 分)(1) 向量a = (1, -2,5) 在向量b = (1, -2, 2) 上的投影为 . (2) 极 限 limsin( xy )= .x →0y →1(3) 函 数 z = (x - y )3+ 2x - 2 y ， 则∂z + ∂z = .∂x ∂y(4) 过点(1,1, 0) 且垂直于平面2x - y + 3z + 5 = 0 的直线方程为 .(5) 微分方程 y ' - y = e x满足y |x =0 = 2 的特解为 ........................ 二、选择题 (每小题 3 分，共 15 分)(1) 设a = (3, -5,8) ， b = (-1,1, x ) ，且a ⊥ b ，则 x = （ ）(A ) 0 (B ) 3 (C ) 2 (D ) 1(2) 函数 z = sin(x - 2 y ) 在点 M (π , π) 6处的全微分dz = （）(A ) - cos(x - 2 y ) (B ) - 1dx + dy2 (C ) cos(x - 2 y )dx - 2 cos(x - 2 y )dy (D ) 12(3) 下列级数中收敛的是 ()(A )∑1(B)∑(-1)n(C)∑ 1(D ) ∑(- 3)nn =1n 3n =1n =1 n =121 1- y(4) 设 Idy 0f (x , y )dx ，则交换积分次序后（）请将所有答案（含填空、选择）写到《试．卷．答．题．册．》上相应位置！ n学院专业班级姓名学号任课教师…………………………………………………装…………………………………订…………………………………线……………………………………………∞ xM第 2 页 共 3 页= ⎰ ⎰1 131 1- x(A) I 0 dx0 11- x 2f (x , y )dy (B) I = ⎰0 dx⎰0 f (x , y )dy 1 1+ x 2 (C) I = ⎰0dx⎰f (x , y )dy(D) I = ⎰0dx⎰f (x , y )dy(5) 特征方程r2- 2r +1 = 0 所对应的齐次线性微分方程是 ()(A) (A ) y ' - 2 y ' +1 = 0(B ) y ' - 2 y ' + y +1 = 0(C ) y ' - 2 y ' + y = 0 (D ) y ' + y ' - 2 y = 0三、计算题 (每小题 5 分，共 30 分)(1) 设函数满足等式 x - az =f ( y - bz ) ，且 f 为可微函数，求∂z , ∂z . ∂x ∂y(2) 计算二重积分⎰⎰ x 2 y dxdy ，其中 D 由曲线 y = x 2 、直线 x = 1 和 x 轴所围闭 D区域.(3) 求曲面e x + 2 y 2 + 3z 2= 6 在点(0,1,1) 处的切平面方程.∞nn 2(4) 判断级数∑(-1)n的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n =1(5) 求微分方程 y ' - 2 y ' - 3y = 3x +1的通解. (6) 将函数 f (x ) = ln(1+ x ) 展开为 x 的幂级数．四、(本题满分 8 分) 设函数 z = f (x - y , xy ), 且 f (u , v ) 具有连续的二阶偏导数，∂z ∂z ∂2 z 求∂x , ∂y , ∂x ∂y .五、(本题满分 8 分) 求微分方程(1+ x 2) y ' = 2xy '满足初值条件 y |x =0 = 1，y ' |x =0 = 3 的特解.六、(本题满分 8 分) 在平面 x + y + 2z = 2 上求一点，使该点到原点的距离最短，并求出最短距离.第 3 页 共 3 页2n ∞n -1n -1 ∞n -1七、(本题满分 8 分) 求幂级数∑(-1)nxn =1的和函数，并求∑(-1)n ． n =1八、(本题满分 8 分) 设二元函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) | x 2+ y 2≤ 1}上连续，且满足 f (x , y ) = 2(x 2 + y 2) - (x + y +1)⎰⎰ f (x , y )dxdy , 求 f (x , y ) .D。
南京信息工程大学大一数学专业高等代数试卷及答案2
南京信息工程大学试卷20XX －20XX 学年 第 1 学期 高等代数(上) 课程试卷( A 卷)本试卷共 3 页；考试时间 120 分钟；任课教师 杨兴东 昝立博 ；出卷时间20XX 年12月一、填空题（本题满分15分, 每题3分）1. 行列式x221x 3x 2121x x321x 5中3x 的系数是 ；4x 的系数是 .2. 设A 为3阶矩阵，且1||,2A =，则*18)61(A A --= .3. 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,(1,2,)i i a b i n ≠≠=，则()r A = .4. 如果()1Bx Ax 1x 242++-，则A = ；B = ．5. 设123,,ηηη是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，1231021,3243ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为 . 二、选择题（本题满分15分, 每题3分）1. 设()923+++=bx ax x x f ，如果2-是()x f 的2重根，则b a ,=（ ）(A)13,225 (B) 13,425 (C) 12,425 (D) 12,2252. 设n 阶方阵A 与B 等价，则（ ）(A) ||||A B = (B) ||||A B ≠ (C) 若||0,A ≠则||0,B ≠ (D) ||||A B =- 3. 设A 是n 阶退化矩阵，则下面说法正确的是（ ）(A) 必有一行元素全为0； (B) 必有两行元素对应成比例；(C) 必有一行向量是其余行向量的线性组合； (D) 任一行向量是其余行向量的线性组合.4. 设A 为n 阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则有（ ）成立(A) *1||||n A A -= (B) *||||n A A = (C) *||||A A = (D) *1||||A A -= 5.,,A B C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有( ) (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = （D ）CBA E = 三、判别下列多项式在有理数域上是否可约. (本题满分10分，每题5分) 1. ()x f =35142788722356--+-+x x x x x ； 2. ()x f =155+-x x .四、(本题满分10分，每题5分) 计算下列行列式：1. 333c b a c b a111； 2. 0222202222022220=n D . 五、(本题满分10分，每种方法各5分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A ，试用两种方法求矩阵A 的逆矩阵.六、(本题满分10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6512,0211,14703,2130,421154321ααααα 的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表示. 七、(本题满分10分) 讨论,a b 取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax (1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解？有无穷多解时，求其全部解.八、(本题满分8分) 已知向量组123,,ααα线性无关，证明向量组1122,βαα=+22323,βαα=+3313βαα=+线性无关.九、(本题满分6分) 已知A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，且260A A E --=，证明：(3)(2)r A E r A E n -++=.十、(本题满分6分) 设3R =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R x x x x x x x 321321,,为3维向量空间，已知3R x ∈ 与实数R 上的三阶方阵A 使得向量组x A Ax x 2,,线性无关，且x A Ax x A 2323-=,记()x A Ax x C 2,,=，求3阶方阵B ，使得1-=CBC A .20XX-20XX 学年第一学期《高等代数》（上）期末试卷（A 卷）参考答案一、填空题（本题满分15分, 每题3分）1. 5,10-;2. 16;3. 1;4.1,2A B ==-；5.21324354k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 二、选择题（本题满分15分, 每题3分）1. B2. C3. C4. A5. C三、（1）利用艾森斯坦判别法，取3,p =则此多项式在有理数域上不可约。
南京信息工程大学大一高数期末考试试卷B
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；《高等数学A 》考试试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.设⎩⎨⎧<+≥=0x 1x 0x e f(x) x ，则 f(x)的一个原函数是 .2.曲线12x 11y ++=与x 轴、y 轴和直线4x =所围成的面积是 .3.已知曲线f(x)y =上的任一点f(x))(x,的切线斜率是2x41+，而且曲线经过定点(2,0)，则曲线方程 .4.1x x 12x 4x f(x)234-+++=在Ｒ上的零点有 个.5.已知(1)'' f 存在，且1xdx)f(e lim3x2xx =⎰→，则=(1)'' f .二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.已知F(x)具有二阶连续导数(x)'F'，则下面正确的是（ ） A.⎰=F(x)dF(x)B. ⎰+=+1]dx (x)'[F'x]dx (x)[F'dC. ⎰+=C F(x)(x)dF'D. ⎰++=+C (x)F'F(x)(x)]dx 'F'(x)[F' 2.=∑=∞→1-n 1i ni 2n e n2lim（ ）A. ⎰2x dx e 2 B. ⎰1x 2dx e 2C. ⎰2 0x2dx e D. ⎰1x 2dx e3.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=， 则⎰=0x (t)dt xF'd （ ）A. (x)dx xF'-B. (x)dx xF'C. (x)dx]xF'[F(x)+-D. (x)]dx xF'[F(x)+-4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a()lim1f x x a→'=--，则 （ ）A.x=a 是f(x)的极小值点B.x=a 是f(x)的极大值点C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点D.x=a 不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐 点。
南京信息工程大学高数期末考试试卷B.doc大一上学期(第一学期)高数期末考试题
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
南京信息工程大学期末2019-2020学年第二学期数学分析课程试卷
∑ ∑ 南京信息工程大学期末试卷2019-2020 学年 第 二 学期 数学分析 II 课程试卷( A 卷)本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；任课教师 出卷时间 2020 年 6 月学院 专业 班 学号 姓名一、填空题（共 10 分，每小题 2 分）1. 设 ，则其导函数 ；2. 如果，则；3. 设函数，则 的 Maclaurin 展开式为；4. 曲线 与轴所围平面图形的面积为； 5. 幂级数的收敛半径为.二、选择题（共 10 分，每小题 2 分）1. 关于函数的可积性，下列说法不正确的是 ()A. 黎曼函数 在 可积B.上的单调函数一定可积C.上的可积函数一定有界 D. 存在原函数的函数一定可积2. 关于广义积分，下列说法正确的是 ()A. 若 收敛，则B. 发散C. 若 收敛，且 存在，则D.收敛 3. 幂级数 在处收敛，则此幂级数在处()A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 可能收敛也可能发散4. 关于数项级数，其前n 项的和为 ，下列说法正确的是()+∞A. 若， 则收敛 B. 若 且 ，则un 收敛n =1C. 若 {S n } +∞有界，则un 收敛D. 若 收敛，则 绝对收敛n =15. 设 ，下列说法正确的是 ( )A. 不可导B. 可导且为的一个原函数C. 可导但不是的一个原函数D. 连续但不可导三、计算题（共30 分，每小题5 分）1． 2.3. 4.5.利用定积分计算极限.6.求星形线在上的弧长(图1).图 1 星形线四、解答题（共16 分，每小题8 分）1.求以为周期的函数的Fourier 展开式，其中2.求幂级数的和函数并利用和函数求级数的和.五、判断敛散性，如果收敛请指出是条件收敛还是绝对收敛（共18 分，每小题 6 分）1. 2. 3.六、证明题（共16 分）1.证明：函数列在上一致收敛，其中.（5 分）2.证明：函数项级数的和函数在上连续.（6 分）3.若是上的连续函数且对有则①是否存在使得；(3 分)②若这样的存在，则问是否唯一？请给出理由. （2 分）。
南京信息工程大学高数期末考试试卷B
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 9 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组课程组课程组 ；出卷时间年学院学院 专业专业 2009 年级年级 班学号学号 姓名姓名 得分一、填空题一、填空题((每小题3分,共15分) 评分阅卷人1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________2、已知p =ò¥+¥--dx ex 2,则=ò¥+--dx e x x0 21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=¢)0,1(xf ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是为通解的微分方程是____________________.评分阅卷人p ï222231x y dxdy --2231x y dxdy --2231x y dxdy --三、计算题三、计算题((每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积转体的体积. .12、求二重极限、求二重极限 11lim22220-+++®®y x y x y x .评分评阅人评分评阅人y x 评分评阅评分评阅人ò 评分评阅评分评阅人)1133-+n n 评分评阅人评分评阅人评分评阅人评分评阅人评分x y 评分评阅人评分评阅人一、填空题一、填空题((每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、p . 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题二、选择题((每小题3分,共15分)6、(C ). .7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题三、计算题((每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积轴旋转的旋转体的体积. . 解：32yx =的反函数为23,0x y y =>。
(完整版)南京信息工程大学高数期末考试试卷B.doc大一上学期(第一学期)高数期末考试题
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7. lim (cos cos cos )→∞-+++=22221L n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
南京信息工程大学-高等数学(上册)-试卷B(含答案)
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.)(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11.． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
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南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.)(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x xxx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10..d )1(177x x x x ⎰+-求11.． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17.设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
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南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7. lim (cos cos cos )→∞-+++=22221L n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
南京信息工程大学大一公共课高等数学试卷及答案
南京信息工程大学 高等数学II 试卷 A 卷 参考答案课程名称：高等数学II 考试学期 XX-10-2适用专业： 考试形式：闭卷 考试时间长度120分钟 共4页一、填空题（每题3分，共15分）1.曲线t z t y t x 3cos ,sin ,2===在（0,0,1）处切线的方程为___0112-==z y x __。
2. 已知)12sin(++=y x e u xy 。
则=du dy y x xe dx y ye xyxy )12cos(2())12sin((+++++。
3. xyz u =在点M )2,1,5(处, 沿点（5,1,2）到点（9,4,14）的方向的方向导数为__1398___。
4. 斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分：空间曲线上的第二型曲线积分 和_空间曲面上的第二型曲面积分之间的关系。
格林(Green)公式指出了下列两类积分：平面上第二型曲线积分和二重积分之间的关系。
5. 把321+x 展开成麦克劳林（Maclaurin ）级数为_2323,3)2(01<<--∑∞=+x x n n n n _。
二、选择题（每题3分，共15分）1. 设)(x f 是周期为π的周期函数, 它在区间],0(π上定义为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<<=)2(,1)20(,)(2πππx x x x x f , 则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于_B_。
(A) 0, (B)212+π, (C)21, (D) 12+π。
2. 微分方程2'x y xy -=-的通解为__D____。
(A) C e y x +=, (B) C x y +-=2, (C) Cx x y +=2, (D) Cx x y +-=2。
3. 变换⎰⎰-221),(y ydx y x f dy 的积分次序为___A____。
(A)dy y x f dx dy y x f dx x x ⎰⎰⎰⎰-+22202110),(),((B)⎰⎰21),(x dy y x f dx (C)dy y x f dx x ⎰⎰-22021),( (D)dy y x f dx x ⎰⎰-2202),(。
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南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．（3分） 2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→xx f x )2(lim4 ．（3分）3．已知22lim ex x kxx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→，则=k 1 ．（3分）4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．（3分） 5．函数653)(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．（3分）6．如果⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1ln(0,0,sin )(x x x x k x x xx f 在0=x 处连续，则=k 1 ．（3分）7．函数xe xf 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：（3分）)10()!1(2!2221)(112<<++++++=++θθn xn nnxn ex n x x x f ．8．函数)0,,()(2≠++=p r q p r qx pxx f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满足拉格朗日中值公式的ξ=2ba +．（3分）9．定积分()dxx x x 1011sin ⎰-+的值为61．（3分） 10．设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dxef exx)(=C e F x+--)(．（3分）二．计算题（要求有计算过程，每小题5分，共40分）11．求极限113lim21-+--→x x x x ．（5分）解：)13)(1()13)(13(lim113lim2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------（3分）42)13)(1(2lim1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------（5分）12.求极限nnn 2sin2lim π∞→．（5分）解：πππππ=⋅=∞→∞→n nn nnn 22sinlim2sin2lim ----------------------------（5分）13．求极限42sin 1lim2xtdt t xx ⎰+→（5分）解：21s i n 21lim42sin 1limsin 1lim224324422=+=⋅+=+→→→⎰xx x xxx x xtdt t x x x x -------（5分）14．设xe y arctan=，求dy ．（5分）解：)(arctan arctanarctanx d e dedy xx==-----------------------------------（2分） dxx x ex dxexx)1(211arctanarctan +=+=----------------------------------（5分）15．求由方程yx e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy．（5分）解：方程两边求关于x 的导数)()(d x d y xy xy dxd+=；)1(dxdy eex dyx yx +=++-------------（3分）所以有)(d xd y xy +=)1(dxdy e yx ++解得 )1()1(y x x y xyx y xy ex yedxdyyx yx --=--=--=++------------------------（5分）16．求由参数方程 ⎩⎨⎧==-tte y e x 23 所确定的函数的二阶导数22dx yd ．（5分）解：ttt tt dtdxdt dyeeee e dxdy2''3232)3()2(-=-===-------------------------------（2分）t ttt t e e e e e dtdx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------（5分）17．求不定积分⎰++dx xx x 2321)(arctan ．（5分）解：⎰⎰⎰+++=++dxxx dx xxdx xx x 23222321)(arctan 11)(arctan ----------------（1分）=xd x dx xarctan )(arctan )111(32⎰⎰++----------------------------------（3分）=Cx x x ++-4)(arctan 41arctan -----------------------------------------------（5分）18．求定积分dxex ⎰+11．（5分）解：令2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----（1分）⎰⎰⎰==+21211122dtte tdt e dx ettx --------------------------------------（2分）22122121)12(2)|2(2)|(2ee e edt e te tt t -=--=-=⎰--------（5分）三．综合题（6分+10分=16分）19．讨论广义积分dxx x p⎰+∞2)(ln 1的敛散性．（6分）解：dxx x dx x x bpb p⎰⎰+∞→+∞=22)(ln 1lim )(ln 1---------------------------------（1分）当1=p 时2ln ln ln ln ln ln ln ln 1)(ln 1)(ln 12222-====⎰⎰⎰b xx d xdx x x dx x x b bbbp+∞=-==+∞→+∞→+∞⎰⎰)2ln ln ln (ln lim )(ln 1lim)(ln 122b dx x x dx x x b bb -------（3分）当1≠p 时])2(l n )[(l n 11|)(l n 11ln )(ln 1)(ln 1112122ppbpbpbpb px px d x dx x x -----=-==⎰⎰---（4分）⎪⎩⎪⎨⎧<∞+>-=--==---+∞→+∞→∞+⎰⎰1,1,)2(ln 11])2(ln )[(ln 11lim)(ln 1lim)(ln 111122p p p b pdx x x dx x x pppb bpb p所以广义积分dxx x p⎰+∞2)(ln 1当1≤p 时发散，当1>p 时收敛。
-------------------（6分）20．求函数xx y 12+=的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．（10分）解：函数的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞令1212232'=-=-=xx xx y ，得驻点3121=x -------------------------（1分）当321>x 时，0'>y ，函数单调增加，当321<x 时，0'<y ，函数单调减少，所以函数的单调增加区间为),21[3+∞，单调减少区间为)0,(-∞和]21,0(3-----（4分）3121=x 为函数的极小值点------------------------------------------------------（5分）令)1(222333''=+=+=xx xy ，得12-=x -------------------------------------（6分）当0>x 或1-<x 时，0''>y ，曲线xx y 12+=为凹的，当01<<-x 时，0''<y曲线xx y 12+=为凸的，所以曲线xx y 12+=的凹区间为 ]1,(--∞和),0(+∞，凸区间为)0,1[-------（8分）曲线的拐点为（-1，0）--------------------------------------------------------------（10分）四、证明题（6分）21．证明当0>>b a 时，bb a b a a ba -<<-ln．证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在区间],[a b 上连续，在区间),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理有：)())(()()('a b b a f b f a f <<-=-ξξ----------（2分）因为xx f 1)('=，所以有：)()(1ln ln a b b a b a <<-=-ξξ-----------（3分）因为a b <<<ξ0，所以b a111<<ξ， -------------------------------------------（4分） 又0>-b a ，所以bb a b a aba )()(1-<-<-ξ即：bba b a aba -<<-ln-------------------------------------------------------（6分）五．应用题（8分）22．求由曲线xxey e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与xe y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为 dxee S xx )(1--=⎰--------------------------------------------------------（2分）2(|)(110-+=+=--ee ee xx ）-------------------------------------------------（4分）所求旋转体体积为))2112dx edx e V xx-⎰⎰-=ππ-----------------------------------------------（6分）2(2|)2121(221022-+=+=--ee eexxππ）-------------------------------------（8分）。