一道方程有解求参数取值范围的问题
【高考数学经典题型】根据方程根的个数求参数取值范围(一题多解)
1 / 3
数形结合，巧解含参方程
若存在[]1,2∈m ，使得关于x 的方程()2
2
+−=
m
m t x
m x
知有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围
是_________.
答案：3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
解法一：分离参数
由题意得：321=−++x x t m m m ，令()323
2,01
,0
1⎧−>⎪⎪++=⎨⎪−+<⎪++⎩x x
x m m m f x x x x m m m ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2222313=1−'−=+++x x m
f x m m m m m
，
则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'f x ，()f x 单调递增； 所以()()23391≥=−+m m f x f m ，如图作出()f x 图像， 要使关于x 的方程()2
2
+−=
m
m t x
m x
知有四个不等的实数根，则有()
230<
t ，
因为()()
23=m
g m 在[]1,2上单调递增，
所以()()min 31>==t g m g ， 综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫
∈− ⎪ ⎪⎝⎭
t .
解法二：直接求导
由题意得，()()22
0−−+=x m x m m t ，令()()()3232
,0,0
⎧−−+>⎪=⎨−+−+<⎪⎩x mx m m t x f x x mx m m t x ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2
=3'−f x x m ，
则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'
m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 要使关于x 的方程()2
2
+−=
m
m t x
求参数的取值范围(解析几何)
03求参数的取值范围
一、基础知识：
求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围
1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：
（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
① 椭圆（以()22
2210x y a b a b
+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-
② 双曲线：（以()22
221,0x y a b a b
-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）
y R ∈
③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞
（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>
（3）点与椭圆（以()22
2210x y a b a b
+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则
2200
22
1x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件
2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围
（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数
的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0a
y x a x
=+>；③ 反比例函数；④
分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
高考数学第一轮复习：《参数取值范围的求法》
高考数学第一轮复习：《参数取值范围的求法》
范围问题是高中数学中最为普遍的问题之一，在高中数学的主要知识板块中都有大量的范围类试题，下面从解题方法的角度对其简要介绍．
建立函数模型的方法
(1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，两条曲线在第一象限的交点记为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )
(A)0，15
(B)15，35 (C)13，＋∞ (D)15，＋∞
(2)在锐角△ABC 中，AC ＝6，B ＝2A ，则边BC 的取值范围是________．
思路点拨：(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c ，以其为变量建立求解目标的函数关系式；(2)求出角A 的取值范围，以其为变量表达BC ，利用三角函数性质得出其范围．
解析：(1)根据已知|PF 2|＝2c ，在椭圆中根据定义2c ＋10＝2a 1，离心率e 1＝c c ＋5
，在双曲线中根据定义10－2c ＝2a 2，离心率e 2＝c 5－c
.由于P ，F 1，F 2三点构成三角形，所以2c ＋2c >10，即c >52，根据10－2c ＝2a 2>0可得0<c <5，
故52<c <5,0<25c 2－1<3，
所以e 1e 2＝c 225－c 2＝125
c 2－1
>13.故选C. (2)根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，
初中数学试题分类汇编：分式方程根据解的情况求值问题综合训练4(选择 附答案)
初中数学试题分类汇编：分式方程根据解的情况求值问题综合训练4（选择 附答案） 1．关于x 的方程
322x m x x +=--的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．6m <
B ．6m ≤
C ．6m <，4m ≠
D ．6m <，2m ≠- 2．关于x 的方程m 3+=1x 11x
--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且
B ． 2 B 3m m >≠
C ．m<2m 3≠且
D ．m>2 3．如果关于x 的分式方程11222a x x
-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩
有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2 C ．-3 D ．2
4．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则
数a 使关于x 的不等式组()1242122123
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233
a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59
5．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程
233x a a x x
-+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6．关于x 的方程3x ＝2x +a 的解与
3242x x -=的解相同，则a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣1 D ．1
高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳
参数取值问题的题型与方法
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<4
5-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上
述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2
x+4sinx+1=-2(sinx -1)2
+3≤3,∴45-a -a+5>3
即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩
⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得
≤5
4
a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+4
5-a 即a+1
-2sin 2
x<5-4sinx+4
5-a ,令sinx=t,则t ∈[
-1,1],整理得
2t
2
-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。设f(t)= 2t 2
-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,
∴
f(x)在[-1，1]内单调递减。∴
只需f(1)>0,即
45-a >a -2.(下同)
例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求
AP
PB
的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：
一元一次不等式求含参数的值或取值范围
一元一次不等式求含参数的值或取值范围
一、解一元一次不等式（组）
1.解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
2.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
3.对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：
F（2，3）＝2a+3b．
（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．
①求a，b的值．
②已知关于p的不等式组求p的取值范围；
（2）若运算F满足，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．
二、一元一次不等式含参问题
1.若不等式（a+1）x＞a+1的解是x＜1，那么a满足（）
A．a＜0B．a＞﹣1C．a＜﹣1D．a＜1
2．若关于x的不等式3﹣x＞a的解集是x＜4，则a＝．
3．已知关于x的不等式（3a﹣2b）x＜a﹣4b的解集是，则关于x的不等式bx﹣a＞
0的解集为．
4.若关于x的不等式x﹣a≤0只有2个正整数解，则a的取值范围为．
三、一元一次不等式组解的相关问题
1.已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是（）
A．a＝5B．a≥5C．a≤5D．a＜5
2.已知关于x的不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是．
3.若不等式组无解，则a的取值范围是．
4.关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0．
（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
5．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程x﹣1＝0就是不等式组的“关联方程”．
集合求参数的取值范围技巧
集合求参数的取值范围技巧
在数学和物理等学科中，我们经常遇到需要求解参数的取值范围的问题。这些
问题包括方程的解集、不等式的解集等等。本文将介绍一些集合求参数取值范围的常见技巧，希望对读者有所帮助。
一、方程的解集
在求解方程的解集时，我们常常需要确定参数的取值范围。以一元二次方程为例，假设方程为 ax^2 + bx + c = 0。其中，a、b、c均为已知常数，x为未知数。我
们可以利用二次函数图像的性质来求解方程的解集。当且仅当二次函数图像与x轴有交点时，方程才有实数解。
首先，我们可以根据二次函数的开口方向和对称轴的位置来判断方程是否有解。如果a>0，二次函数图像开口向上，对称轴在图像下方，方程有两个实数解。如果
a<0，二次函数图像开口向下，对称轴在图像上方，方程没有实数解。
其次，如果方程有解，则对称轴必定在x轴的上方或下方。以二次函数的顶点
坐标（h，k）为中心，向上画一条与x轴平行的直线。如果该直线与二次函数图像有交点，说明方程有解；如果该直线与二次函数图像没有交点，说明方程无解。因此，我们可以通过求解方程f(x) = k来确定参数的取值范围。
二、不等式的解集
当求解不等式的解集时，我们也常常需要确定参数的取值范围。不同类型的不
等式有不同的解法，下面我们以一些常见的不等式类型进行讨论。
1. 一元一次不等式
对于一元一次不等式，我们可以通过移项变换和分析函数的正负性来求解。假
设不等式为ax + b > 0。首先，我们可以通过移项变换将不等式转化为等价的形式，
即 ax > -b。然后，我们根据a的正负来确定解集。如果a>0，则x > -b/a，解集为(-
专题09 分式方程中的参数问题(解析版)
八下数学思维解法技巧培优小专题
专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3
x−1−
x
x−1
=0无解，则m的值是（）
A．3B．2C．1D．﹣1
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解析】解：去分母得：2m﹣3﹣x＝0，
由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
故选：B．
【典例2】（2019•吉安县期末）若m
x−3−
1−x
3−x
=0无解，则m的值是（）
A．3B．﹣3C．﹣2D．2
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：m﹣x+1＝0，
由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：m＝2，
故选：D．
【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−a
x−1−
1
1−x
=3的解为非负数，则a的取值范围为a≤4
且a≠3．
【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−a
x−1−
1
1−x
=3的解为非负数，可以求得a的取值范围．
【解析】解：2x−a
x−1−
1
1−x
=3，
方程两边同乘以x﹣1，得
2x ﹣a +1＝3（x ﹣1）， 去括号，得 2x ﹣a +1＝3x ﹣3， 移项及合并同类项，得 x ＝4﹣a ，
∵关于x 的分式方程
2x−a x−1
−
11−x
=3的解为非负数，x ﹣1≠0，
∴{4−a ≥0(4−a)−1≠0， 解得，a ≤4且a ≠3， 故答案为：a ≤4且a ≠3．
由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练
由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练
【例题选讲】
[例1]已知函数f (x )＝x 2＋2x
－a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当a >0时，若f (x )有唯一的零点x 0，求[x 0]．
注：[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．
(参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609，ln 7＝1.946)
[规范解答](1)∵f (x )＝x 2
＋2x －a ln x ，∴f ′(x )＝2x 3－ax －2x 2(x >0)，由题意得f ′(2)＝0，则2×23－2a －2＝0，a ＝7，
经验证，当a ＝7时，f (x )在x ＝2处取得极值，∴f (x )＝x 2＋2x
－7ln x ，f ′(x )＝2x －2x 2－7x
，∴f ′(1)＝－7，f (1)＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3＝－7(x －1)，即7x ＋y －10＝0．
(2)令g (x )＝2x 3－ax －2(x >0)，则g ′(x )＝6x 2－a ，由a >0，g ′(x )＝0，可得x ＝
a 6，
∴g (x )
由于g (0)＝－2<0，故当x g (x )<0，又g (1)＝－a <0，故g (x )在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x 1，
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.
（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
=-b2a2 •x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2
又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
经典好题：参数方程中的取值范围与最值问题(详解答案)
经典好题：参数方程中的取值范围与最值问题 一、好题精讲
典例：已知曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），点P 是曲线C 上的动点.
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）已知点Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，若P Q 、之间的距离PQ 最小
m 的值. 名师指点：
（1）曲线C
的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）
，可得cos sin y αα
==⎩
，根据
()()
22
sin cos 1αα+=，即可求得答案；
（2）因为点P 是曲线C
上的动点，可设点)
,sin P
αα，直线
:2(0)l y x m m =+>，结合P Q 、之间的距离PQ
公式和辅助角公式，即可求得答案. 满分解答： （1）
曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）
可得cos sin y αα
==⎩
，故()()2
222
sin cos 1y αα+=+= ∴曲线C 的普通方程：2
212
x y +=
（2）
点P 是曲线C 上的动点，
由曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）
，可设点)
,sin P
αα
又
Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，
要保证P Q 、之间的距离PQ 取最小值，
只需保证点)
,sin P
αα到直线:2(0)l y x m m =+>距离最小
设)
,sin P
αα到直线:20l x y m -+=距离为d
根据点到直线距离公式可得：
d
=
=
tan ϕ=0m >
∴()sin 1αϕ-=时d 取最小值，
含参数分式方程问题详解
分式方程参数问题
求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。 例1. 已知关于x 的分式方程
132323-=--+--x
mx
x x 无解，求m 的值。 正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312
=--m
所以m=1或 m=3
5
．
辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程
3
23-=
--x m
x x 有一个正解，求m 的取值范围。 正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32
∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3
辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。 例3：已知关于x 的分式方程4
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.
解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2
又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.
参数方程中的取值范围与最值问题(详解答案)
经典好题：参数方程中的取值范围与最值问题
1．已知曲线C
的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪
⎨=⎪⎩（α是参数），点P 是曲线C 上的动点.
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）已知点Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，若P Q 、之间的距离PQ 最小
m 的值.
解：（1）Q 曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）
可得cos sin y αα
==⎩
，故()()2
222
sin cos 1y αα+=+= ∴曲线C 的普通方程：2
212
x y +=
（2）Q 点P 是曲线C 上的动点， 由曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（α是参数）
，可设点)
,sin P
αα
又Q Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点， 要保证P Q 、之间的距离PQ 取最小值，
只需保证点)
,sin P αα到直线:2(0)l y x m m =+>距离最小
设)
,sin P
αα到直线:20l x y m -+=距离为d
根据点到直线距离公式可得：
d
=
=
tan ϕ=Q 0m >
∴()sin 1αϕ-=时d
取最小值，
=8m =或2m =-(舍)
∴8m =
点评：考查了参数方程化为直角方程和直线与椭圆动点距离最值问题，解题关键是掌握点到直线距离公式和辅助角公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22
1124
x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l
()cos 40a a πθ⎛
⎫
函数思想在求参数取值范围问题中的应用
函数思想在求参数取值范围问题中的应用
作者：王胜军
来源：《科技创新导报》2016年第20期
【关键词】函数思想中学数学思想参数取值范围
【摘要】数学思想是数学教学的立足点，是数学问题考察的核心。求参数取值范围问题是历年高考的重点、难点问题，如何化解该难点是很多老师研究的问题，本文就如何利用函数思想化解该难点提供一种方法供大家参考。
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）7（b）-0000-00
数学教学的目的是向学生传授系统的数学知识，在学习理解应用知识的过程中，发展学生的能力，培养他们良好的个性品质，这其中最重要的是解决问题，获取新知识。因此，在教学过程中不仅要重视知识的教学，使学生掌握好基础知识和基本技能，而且要加强数学思想方法的有机渗透，增强学生利用数学思想解题的能力，使学生充分认识数学思想是教学的灵魂所在。
函数思想是中学数学的基本思想方法。函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决.求参数取值范围的题型在近几年的高考以及各省市的模拟测试中频频出现，这也是高中数学学习的重点及难点，本文给出一些灵活应用数学思想方法解这一类题的例子，以供同仁参考。函数是高中数学的一条主线，数学教学在适当的问题情境下，灵活地在解决问题中有意识地培养学生的函数思想，对启迪学生思维，培养学生能力，优化思维品质，提高教学质量大有稗益。在解题时通常把题目中的参数和未知量分离开来，利用函数有界性解题常能使问题简单化。函数思想在解题中的应用，主要体现在通过建立函数关系式或构造函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
高一数学几何中求参数取值范围的解题技巧
高一数学几何中求参数取值范围的解题技巧
高一数学关于几何中求参数取值范围的解题技巧
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的`点A,B满足的范围求解.
解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若 12 2 ,求向量OF 与FQ的夹角θ的取值范围.
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一道方程有解求参数取值范围的问题——百度知道（25）
1.关于x
的方程2
2201x a x +-=+有实数根，则a 的取值范围是 。
解析：2
221x a x =++ 令t
=(0,1)=，则2
221x t x =+， 262,(0,1)a t t t ∴=-+∈，
2(3)7a t ∴=--在(0,1)上单调递减，
(3,2)a ∴∈-。
2.函数2
11x y x x -=
-+的值域为 。 解析：用判别式法，211x y x x
-=-+即2(1)10yx y x y --+-=， 由2(1)4(1)0y y y ∆=---≥得23210y y +-≤，解得11.3y -≤≤