教师版-鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章第3节相似多边形随堂检测题

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强化训练鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专题测评试题(含答案及详细解析)

八年级数学下册第九章图形的相似专题测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，且111A B C S ＝2，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．8C ．6D ．42、若△ABC ∽△A ′B 'C '，△ABC 与△A 'B 'C '的面积的比为1：4，则△ABC 与△A 'B 'C ′的相似比为（）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC 交AB 于点E ，若ABC 的重心G 在DE 上，则:AB BC 的值是（）A ．3:2B ．7:4C ．2:1D ．8:54、如图，已知123l l l ∥∥，若1AB =，2BC =， 1.5DE =，则EF 的长为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．35、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点1,0A ，()1,2B ，C 在''A B 上，则'C 点坐标为（）A ．()2,4B ．()2,2C ．()4,2D ．()4,46、如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则△EFD 和△BFA 的面积之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：37、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB CD长为（）A．2 B．4 C D．8、如图．在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝2：1，DE＝4，则BC为（）A．6 B．7 C．8 D．99、如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A ．EF •BF ＝DF •CFB ．BE •CD ＝BF •CFC ．AE •AB ＝AD •AC D ．AE •BE ＝AD •DC10、如图，点P 在ΔABC 的边AC 上，下列条件中不能判定ABP ACB ∽△△的是（）A ．ABP C ∠=∠B ．APB ABC ∠=∠C ．::AP AB AB AC =D ．::AB BP AC CB =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若ADE 的面积为23cm ，则四边形BDEC 的面积为 _____．2、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ．若AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，则BC 的长为___．3、如图（1），四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE、CF．（1）:FC BE的值为______．（2）当G、F、C三点共线时，如图（2），若5AB=、AE=BE= ______．4、若35ab=，则a bb+=______．5、已知线段4a=，8b=，则a，b的比例中项线段长等于__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知矩形ABCD中，BE AC⊥于点E，BE．(1)若3AE=，求CE的长；(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．2、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．(1)联结CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．求证：PC 2＝PE •PF ；(2)若AB 2＝BD •DP ，求证：∠BPC ＝90°．3、边长为4的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF ⊥AE ，交CD 边于点F ．(1)求证：△ABE ∽△ECF ；(2)若CF 的长为1，求CE 的长．4、如图，将ABC 绕点A 旋转至A B C '''的位置，点B '恰好在BC 上，AC 与B C ''交于点E ，连接CC '．(1)求证：EC EB EC EA'='； (2)求证：ABB ACC ''∽△△． 5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ．(1)求证：AC 2=AB •AD ；(2)若BD=9，AC=6，求AD 的长．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】依题意，依据位似三角形的性质，可得对应三角形的相似比，又结合面积比为相似比的平方，即可求解．【详解】解：由题知，ABC ∆和111A B C ∆是以点为位似中心的位似三角形，∴ 1:OC OC 为111A B C ∆和ABC ∆的相似比；又1C 为OC 的中点， ∴ 11:2OC OC =；又结合相似三角形的性质可得：111211()4A B C ABC S OC S OC ∆∆==，又1112A B C S ∆=；∴8ABC S ∆=故选：B ．【点睛】本题主要考查位似三角形及相似三角形的性质，关键在熟练应用数形结合的方式分析解答．2、A【解析】【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵△ABC ∽△A ′B 'C '，△ABC 与△A 'B 'C '的面积的比为1：4，∴△ABC 与△A 'B 'C ′的相似比为1：2，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键．3、C【解析】【分析】连接AG ，并延长AG 交BC 于点H ，根据重心性质得AG GH ＝2，由ED ∥BC ，得AE BE ＝AG GH ＝2，再证明EB ＝ED ，设EB ＝ED ＝a ，则AE ＝2a ，根据平行线分线段成比例，求出BC ＝32a ，即可求解．【详解】解：连接AG ，并延长AG 交BC 于点H ，∵G是△ABC的重心，∴AH是△ABC中线，且AGGH＝2，∵ED∥BC，∴AEBE＝AGGH＝2，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，设EB＝ED＝a，则AE＝2a，∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∵EDBC＝AEAB，∴aBC＝23aa，解得：BC＝32 a，∴ABBC＝332aa＝2，故选：C．【点睛】本题考查了三角形重心性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，解决本题关键是掌握三角形重心的性质．4、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，可得EF BC DE AB =，代入数值进行计算即可【详解】解：123l l l ∥∥ ∴EF BC DE AB =， 1AB =，2BC =， 1.5DE =， ∴21.51EF =，解得：3EF =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．5、C【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接CD ，由等腰直角三角形的性质及A 、B 的坐标，可求得点C 的坐标，再根据两个三角形的位似比即可求得点'C 的坐标．【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形∴CD ⊥AB∵()1,0A ，()1,2B∴AB ⊥x 轴∴CD ∥x 轴∴D (1，1)∵等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1 ∴2,0A ，()2,4B '∴A B x ''⊥轴∵C 在''A B 上∴C (2，1)由位似比为2：1，则'C 点坐标为(4，2)故选：C【点睛】本题考查了三角形位似的定义及性质，等腰三角形的性质等知识，掌握三角形位似的定义是关键．6、B【解析】【分析】利用三角形的中位线定理可得DE ：AB ＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵CE ＝AE ，CD ＝DB ，∴ED ∥AB ，DE ＝12AB ， ∴△DEF ∽△ABF ， ∴DEF ABF S S ∆∆＝（DE AB ）2＝14，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7、D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，根据相似比等于位似比计算即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，∴将△OCD放大得到△OAB，点A的坐标为（1，2）点C的坐标为（2，4），∴△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，∴12 ABCD=，∵AB=∴CD=故选：D．【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k．8、A【解析】【分析】根据DE∥BC易证△ADE∽△ABC，根据对应边相似比相等即可求得BC的值．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD DE AB BC=，∵2AD BD=， ∴23AD AB =，又DE =4， ∴423AD AB BC ==， ∴BC =6，故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．9、C【解析】【分析】根据条件证明出ABD ACE ∽，根据性质得：AE AC AD AB =，变形即可得到．【详解】解：BEC CDB ∠=∠， AEC ADB ∴∠=∠，A A ∠=∠，ABD ACE ∴△∽△，AE AC AD AB∴=， AE AB AD AC ∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出ABD ACE ∽．10、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【详解】解：A 、∵∠A =∠A ，ABP C ∠=∠，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；B 、∵∠A =∠A ，APB ABC ∠=∠∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；C 、∵∠A =∠A ，::AP AB AB AC =，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A =∠A ，::AB BP AC CB =，∴无法判断△ABP ∽△ACB ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．二、填空题1、29cm【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得12DE BC = ，DE ∥BC ，从而得到△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质，可得212cm ABC S =△ ，即可求解．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴12DE BC = ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ， ∵ADE 的面积为23cm ，∴212cm ABC S =△ ，∴四边形BDEC 的面积为21239cm ABC ADE SS -=-=．故答案为：29cm【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的性质是解题的关键．2、6【解析】【分析】由DE //BC 可得出∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，进而可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质可得出BC DE ＝AB AD，代入AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4即可求出BC 的长．【详解】解答：解：∵DE //BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴BC DE ＝AB AD ，即4BC ＝32， ∴BC ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．3、【解析】【分析】①连接AF ，AC ，根据正方形及直角三角形的性质可得：AC AF AB AE==，45BAC EAF ∠=∠=︒，结合图形利用各角之间的数量关系得出BAE CAF ∠=∠，依据相似三角形的判定定理及性质即可得出结果；②连接AC ，则ACG 为直角三角形，由正方形的四条边相等及勾股定理得出AC =，CG =结合图形得出FC =【详解】解：①如图所示，连接AF ，AC ，根据正方形及直角三角形的性质可得：AC AF AB AE=45BAC EAF ∠=∠=︒， ∴BAC EAC EAF EAC ∠-∠=∠-∠，即BAE CAF ∠=∠，在ABE 与ACF 中，∵AC AF AB AE== BAE CAF ∠=∠，∴~ABE ACF ，∴FC AC EB AB== ②如图所示：连接AC ，则ACG 为直角三角形，∵FG AG AE ===5AB BC ==，∴AC =，∴CG ===∴FC CG GF =-=由结论①可得：BE FC ==【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4、8 5【解析】【分析】由35ab=，设3,a k则5,b k=再代入求值即可.【详解】解：35ab=，设3,a k则5,b k=∴358,55a b k kb k++==故答案为：8 . 5【点睛】本题考查的是比例的性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.5、【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】解：设a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴c2＝ab＝4×8＝32，解得：c ＝c ＝−故答案为：【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．三、解答题1、 (1)6CE =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及等角的余角相等可得ABE BCE ∠=∠，进而可得ABE BCE △∽△，列出比例式代入数值，即可求得CE ；（2）根据题意点C 关于AD 的对称点为F ，由（1）可得2CE AE =，根据对称可得C ，D ，F 三点共线，进而根据矩形的性质可得//AB CD ，AB CD =，证明ABE CFE ∽△△，得到90CEF AEB ∠=∠=︒，即可证明180CEF BEC ∠+∠=︒，即B ，E ，F 三点共线.(1)∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒.90ABE CBE ∴∠+∠=︒BE AC ⊥，90AEB BEC ∴∠=∠=︒.90BCE CBE ∴∠+∠=︒，ABE BCE ∴∠=∠，ABE BCE ∴△∽△，AE BEBE CE∴=.3AE=，BE=，BE∴==.6CE∴=.(2)由（1）得AE BE BE CE=.2BE=，2CE=.2CE AE∴=.∵点C与点F关于AD对称，90FDA CDA∴∠=∠=︒，CD FD=.180FDA CDA∠+∠=︒，∴C，D，F三点共线．2CF CD∴=．∵四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，AB CD =.BAE FCE ∴∠=∠，2CF AB =.BAE FCE ∠=∠，2CE CF AE AB==. ABE CFE ∴△∽△ 90CEF AEB ∴∠=∠=︒.90BEC =︒∠，180CEF BEC ∴∠+∠=︒∴B ，E ，F 三点共线.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出DC ∥AB ，BC ∥AD ，证明△DCP ∽△BFP ，△DEP ∽△BCP ，由相似三角形的性质得出PC DP PF PB =，PE DP PC PB=，则可得出结论；（2）证明△CDP ∽△BDC ，由相似三角形的性质得出∠DCP ＝∠BDC ，证出∠DPC ＝90°，则可得出结论．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ∥AB ，BC ∥AD ，∴△DCP ∽△BFP ，△DEP ∽△BCP ，∴PC DP PF PB =，PE DP PC PB=， ∴，PC PE PF PC =， ∴PC 2＝PE •PF ；(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∠DCB ＝90°，∵2·AB BD DP =∴DC 2＝BD •DP ， ∴DC BD DP CD=，又∵∠CDP ＝∠BDC ，∴△CDP ∽△BDC ，∴∠DCP ＝∠BDC ，∴∠DCP +∠CDP ＝∠CDP +∠DBC ＝90°，∴∠DPC ＝90°，∴∠BPC ＝90°．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3、 (1)见解析(2)CE =2【解析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF；（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF；(2)解：∵△ABE∽ECF，∴AB BE EC CF=，∴441EC EC-=，解得CE=2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．4、 (1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用两个角相等证明△AEC′∽△B'EC即可；（2）证明∠B＝∠AC′C，利用两个角相等证明相似即可；(1)证明：由旋转的性质可知：∠AC′B′＝∠ACB，∵∠AEC′＝∠B′EC，∴△AEC'∽△B'EC，∴EC EB EC EA'='．(2)证明：由旋转的性质可知：∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC′＝AC，∴∠B＝∠AB′B=180°-∠BAB′，∠AC′C＝∠ACC′=180°-∠CAC′，∴∠B＝∠AC′C，∴△ABB′∽△ACC′．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及旋转的性质，本题属于基础题型．5、 (1)见解析(2)AD的长为3．【解析】【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论；（2）由AC2=AB•AD得到62=（AD+9）•AD，则可求出AD=3．(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠DAC=∠CAB，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD；(2)解：∵AC2=AB•AD，BD=9，AC=6，∴62=（AD+9）•AD，整理得AD2+9AD-36=0，解得AD=-12（舍去）或AD=3，∴AD的长为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专题训练试题(含详解)

八年级数学下册第九章图形的相似专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：OE＝1：3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．202、如图，a∥b∥c，ACCE=12，DF＝12，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．63、如果13a b a -=，那么a b a +的值等于（） A ．53 B ．52 C ．43 D ．24、已知2a =3b ，则下列比例式错误的是（）A ．3a = 2bB ．3a = 2bC ．b a = 23D ．2a = 3b5、如图所示，在直角坐标系中，1,0A ，()0,2B ，以A 为位似中心，把ABC 按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C ''△，则B '的坐标为（）．A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,4--D ．()1,4-6、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上43CE BE =，则△BEF 与△ADF 的周长之比为（）A ．1：3B ．3：7C ．4：7D ．3：47、如图，点 D ，E 分别在△ABC 的边 AB ，AC 上，且满足△ADE ∽△ACB ， ∠AED = ∠B ，若 AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4，则 CE 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．58、如图，在△ABC 中，点D 、E 在边AB 上，点F 、G 在边AC 上，且DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，若Δ1ADF S =，则EBCG S =四边形（）A ．3B ．4C ．5D ．69、如图，E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，连接BE ，BD ，分别交对角线AC 于点F ，O ．则AF ：FO ：OC ＝（）A ．2：1：3B ．3：2：5C ．4：2：7D ．5：3：810、如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长； ②△PAB 的周长； ③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中不会．．随点P 的移动而变化的是( )A．①②③B．①②⑤C．①③④D．①④⑤第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在比例尺1:8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6厘米，则太原到北京的实际距离为________千米．2、已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝______．3、若35ab=，则a bb+=______．4、已知线段4a=，8b=，则a，b的比例中项线段长等于__________．5、如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2 : 3，则CF=____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°．(1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值．(2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．(3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝2．当AG绕着点G运动时，求CQ的最大值．2、如图所示，在△ABC中，∠C=30°，BC=20，AC=16，E为BC中点．动点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P作PD//AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0<t<10）(1)当t＝3时，求PD的长；(2)设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S△DPQ：S△ABC＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．3、如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A 2B 2C 2（△A 2B 2C 2的顶点均在格点上），使△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1；(2)说明△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1相似的依据，并直接写出∠B 2A 2C 2的度数．4、问题提出如图（1），ABC 和DEC 都是等腰直角三角形，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化如图2，当点D ，F 重合时，直接写出表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系的等式：______________________________；(2)再探究一般情形如图1，当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（提示：过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ）(3)问题拓展如图3，若ABC 和DEC 都是含30°的直角三角形，有90ACB DCE ∠=∠=︒，90BAC EDC ∠=∠=︒，点E 在△ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．5、如图1，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现①当0α=︒时，AE BD =________；②当180α=︒时，AE BD=______． (2)拓展探究试判断：当0360α︒≤<︒时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长________．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由位似和平行可找到对应边，由对应边之比可知两图形的相似比，进而得到周长之比，求出周长．【详解】解∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴AD∥EH， ∴13AD OA EH OE ==，即四边形ABCD 与四边形EFGH 相似比为13，∵四边形ABCD 的周长是4，∴EFGH 的周长为12，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的相似比与周长比之间的关系，能够利用相似比求出周长比是解决本题的关键．2、D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出BD 的长．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF =12， ∵DF =12， ∴12BD =12， ∴BD =6，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解决问题的关键．3、A【解析】【分析】根据13a b a -=可得23b a =，根据a b a +=1+b a即可得答案．【详解】 ∵13a b a -=， ∴1-b a =13， ∴23b a =， ∴a b a +=1+b a =53，故选：A ．【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．4、D【解析】【分析】根据比例的性质“如果a c b d=，那么ad bc =”进行解答即可得．【详解】解：A 、32a b=，则23a b =，选项说法正确，不符合题意； B 、32a b =，则23a b =，选项说法正确，不符合题意； C 、23b a =，则23a b =，选项说法正确，不符合题意；D、23a b=，则23b a=，选项说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．5、D【解析】【分析】根据位似得到AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，证得△B'BD≌△ABO，求出B'D=AO=1，AD=4，得到B'的坐标．【详解】解：∵把ABC按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C''△，∴12 ABAB='，∴AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，∵∠B'BD=∠ABO，∴△B'BD≌△ABO，∴B'D=AO=1，BD=BO=2，∴AD=4，∴B'（-1,4），故答案为（-1,4）．【点睛】此题考查了位似图形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握位似的性质及全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．6、B【解析】【分析】通过证明△BEF∽△ADF，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵CE：BE=4：3，∴BE：BC=3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴BE：AD=3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥AD，∴△BEF∽△ADF，∴△BEF与△ADF的周长之比为3：7，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．7、B【解析】【分析】首先利用相似三角形的性质可求出AE 的长，即可求解．【详解】解：∵△ADE ∽△ACB ， AED  B ，∴AB ：AE =AC ：AD ，而AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4∴10：AE =8：4，∴AE =5∴853CE AC AE =-=-= ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．8、C【解析】【分析】利用////DF EG BC ，得到ADF ABC ∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽，利用AD DE EB ==，得到13AD AB =，12AD AE =，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得AEG ∆和ABC ∆的面积，利用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形即可求得结论．【详解】解：AD DE EB ==，∴13AD AB =，12AD AE =． ////DF EG BC ，ADF ABC ∴∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽． ∴2()ADF ABC S AD S AB ∆∆=，2()ADF AEG S AD S AE ∆∆=． 99ABC ADF S S ∆∆∴==，44AEG ADF S S ∆∆==．945ABC AEG EBCG S S S ∆∆∴=-=-=四边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形解答．9、A【解析】【分析】根据矩形的性质可得AD //BC ，AD =BC ，OA =OC =12AC ，可得△AEF ∽△CBF ，由E 是AD 的中点，即可得出12AF CF =，可得AF =13AC ，根据线段的和差关系可得OF =16AC ，进而可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，AD =BC ，OA =OC =12AC ，∴△AEF ∽△CBF ，∵E 是AD 的中点，∴AE =12AD ，∴12 AF AE AECF BC AD===，∴AF=13 AC，∴OF=OA-AF=12AC-13AC=16AC，∴AF：FO：OC＝13AC：16AC：12AC=2：1：3，故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．10、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【详解】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝14×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1、480【解析】【分析】要求两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值，计算即可．【详解】16480000008000000÷= (厘米)48000000厘米=480千米即太原到北京的实际距离为480千米.故答案为480.考查比例尺，根据图上距离，比例尺，实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论.2、3：2【解析】【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，故答案为：3：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．3、8 5【解析】【分析】由35ab=，设3,a k则5,b k=再代入求值即可.【详解】解：35ab=，设3,a k则5,b k=∴358,55a b k kb k++==故答案为：8 . 5本题考查的是比例的性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.4、【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】解：设a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴c2＝ab＝4×8＝32，解得：c＝c＝−故答案为：【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．5、3.6【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2 : 3，可得到23CF BDDF DE==，即263CFCF=-，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴BD DECF DF=，即23CF BDDF DE==，∵等边△ABC的边长为6 ，∴263CFCF=-，解得： 3.6CF=．故答案为：3.6【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题1、 (1)4(2)见解析(3)2【解析】【分析】（1）连CD ，取BC 中点E ，连DE ，根据BCD ∆为30°的直角三角形，得出CDE ∆为等边三角形，证明出DCM DEN ∆∆≌，即可求解；（2）把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，由30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，得,,F B P '在同一直线上，再证明出CFP CF P '∆∆≌即可求解；（3）以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆，根据BC BK AB BG ==，及CBK ABG ∠=∠，证明出CBK ∆∽ABG ∆，连结KG ，得KG =2，2CQ CK KQ ≤+=(1)解：连CD ，取BC 中点E ，连DE ，BCD ∆为30°的直角三角形，CDE ∴∆为等边三角形，60MDN CDE ∠=︒=∠，12∠∠∴=，1260CD DE MCD DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=︒=∠⎩， DCM DEN ∴∆∆≌，CM EN ∴=，4CM CN CE ∴+==，(2)解：把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，得CBF '∆，30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，,,F B P ∴'在同一直线上，1206060ACF ECB ∠+∠=︒-︒=︒，60PCF '∴∠=︒，60CF CF FCP F CP CP CP =⎧⎪∠=︒=='∠⎨⎪'⎩， CFP CF P '∴∆∆≌，PF PF BP BF BP AF ''∴==+=+，(3)解：以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆， 33BC BK AB BG==，又CBK ABG ∠=∠，CBK ∴∆∽ABG∆，CKAG ∴=3CK ∴=连结KG ，易得KG =2，2CQ CK KQ ∴≤+=∴CQ 的最大值为2+【点睛】本题考查了含30的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解．2、 (1)125(2)()2240105y t t t =-+<< (3)4t =或6t =【解析】【分析】（1）根据题意先求得BP ，根据PD AC ∥可得BPD BCA ∽，列出比例式代入数轴求解即可；（2）过点D 作DM BC ⊥于M ，证明BPD BCA ∽，得出比例式，求得45PD t =，根据含30度角的直角三角形的性质气得25DM t =，求得202PQ t =-，根据三角形的面积公式进行计算即可；（3）如图，作AN BC ⊥于N ，根据含30度角的直角三角形的性质，求得182AN AC ==，继而求得ABC S ，由已知条件得出方程，解方程求解即可．(1)当3t =时，3BP =，PD AC ∥，BPD BCA ∴∽PD BP AC PC∴= 即31620PD = 解得125PD =(2)过点D 作DM BC ⊥于M ，如图， E 为BC 的中点，1102BE CE BC ∴===， PD AC ∥，BPD BCA ∴∽，PD BP AC PC∴=，30DPM C ∠=∠=︒， 1620PD t ∴=，12DM PD =， 45PD t ∴=， 25DM t ∴=， BP CQ t ==，202PQ t ∴=-，DPQ ∴△的面积()21222024255y t t t t =-⨯=-，即()2240105y t t t =-+<<，(3)存在t ，使S △DPQ ：S △ABC ＝3：25，4t =或6t =，理由如下，如图，作AN BC ⊥于N则90ANC ∠=︒，30C ∠=︒，182AN AC ∴==， ABC ∴的面积11=2088022BC AN ⨯⨯=⨯⨯=， S △DPQ ：S △ABC ＝3：25，∴ S △DPQ 34880255=⨯=， 2248455t t ∴-+=，解得4t =或6t =．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键．3、 (1)见解析(2)依据见解析，135°【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图，把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定定理两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(1)解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)证明：∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1=A2C2＝2，∠C2A2B2＝135°，根据勾股定理A2B2，∴22112142A C A C ==，221112B B A A ==， ∴2222111112A C A B A C A B ==， ∠C 2A 2B 2=∠C 1A 1B 1＝135°， ∴△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1．∠C 2A 2B 2＝135°，【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，点的平移，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．4、(1)+=AF BF ，理由见解析(2)第(1)问中的结论仍然成立，理由见解析；(3)3+BF【解析】【分析】(1)证明△CBE ≌△CAF (SAS )，得到BE=AF ，由△CDF为等腰直角三角形得到DE，最后再由=+=BF BE DE AF 即可证明；(2)过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，证明△CBE ≌△CAF (SAS )，得到BE=AF ，证明△CFG 为等腰直角三角形得到FG =，最后再由=+=BF BG FG AF 即可证明；(3)同(2)中思路，证明△ACF ∽△BCG，得到=AF ，证明△CFG 为30°、60°、90°三角形，得到=FG，最后再由=+=BF BG GF AF 即可求解． (1)解：如下图2所示，AF ，BF ，CF之间的数量关系的等式为：=AF BF ，理由如下：∵∠ACE +∠ECB =∠ACB =90°，∠ACE +∠FCA =∠DCE =90°，∴∠ECB =∠FCA ，在△ACF 和△BCE 中：==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CF CE FCA ECB AC BC ， ∴△ACF ≌△BCE (SAS )，∴AF=BE ，当D 和F 重合时，由△DEC 为等腰直角三角形知，∴△CFE 为等腰直角三角形，∴DE ，∴=+=BF BE DE AF ．(2)解：第(1)问中结论仍然成立，理由如下：过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，如下图1所示：∵∠ACE +∠ECB =∠ACB =90°，∠ACE +∠DCA =∠DCE =90°，∴∠ECB =∠DCA ，在△ACD 和△BCE 中：==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CD CE DCA ECB AC BC ， ∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠DAC =∠EBC ，∵∠DAC +∠AFB =180°-∠FNA ，∠EBC +∠BCA =180°-∠CNB ，且∠FNA =∠CNB ，∴∠AFB =∠BCA =90°，∴∠DFE =90°∴∠DFE +∠DCE =90°+90°=180°，∴D 、C 、E 、F 四点共圆，∴∠CFE =∠CDE =45°，又∠FCG =90°，∴△FCG 为等腰直角三角形，∴FG =，CF CG =，45∠=FGC ，∴∠CGB =180°-∠FGC =135°，又∠CFA=∠CFE+∠AFB=45°+90°=135°，∴∠CGB=∠CFA，在△CGB和△CFA中：==∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CGB CFAFAC GBC CA CB，∴△CGB≌△CFA(AAS)，∴GB=AF，∴BF BG GF AF=+=+．(3)解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为：3=+BF，理由如下：过C点作CG⊥CF交BF于点G，如图3所示：由(2)可知：∠AFB=∠ACB=90°，∴∠DFE=90°，∴∠DFE+∠DCE=90°+90°=180°，∴D、C、E、F四点共圆，∴∠CFE=∠CDE=30°，∴△CFG 为30°、60°、90°三角形，三边之比为2，∴=FG 由(2)知，∠FAC =∠GBC ，且∠CFA =∠CFG +∠AFB =30°+90°=120°，∠CGB =180°-∠CGF =180°-60°=120°，∴∠CFA =∠CGB ，∴△ACF ∽△BCG ，∴==AF AC BG BC∴=AF∴=+=BF BG GF FC ，∴线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系为：3+BF ．【点睛】本题是三角形全等和相似的综合题，难度较大，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法是解决本题的关键．5、(2)当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化，证明见解析(3)BD 【解析】【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出的AE BD值是多少．②α＝180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC AE ＝BC DB ，求出AE BD的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA ＝∠DCB ，再根据EC DC ＝AC BC ECA ∽△DCB ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴AC ＝∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴AE ＝12AC BD ＝12BC ＝1，∴AE BD ②如图1中，当α＝180°时，可得AB ∥DE ，∵AC AE ＝BC BD，∴AE BD ＝AC BC(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA ＝∠DCB ，又∵EC DC ＝AC BC ∴△ECA ∽△DCB ，∴AE BD ＝EC DC 0°≤α＜360°时，AE BD的大小没有变化． (3)解：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt △BCE 中，CE BC ＝2，∴BE ＝1，∴AE ＝AB +BE ＝5，∵AE BD∴BD②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，BE 1，AE ＝AB -BE =4﹣1＝3，∵AE BD∴BD ，综上所述，满足条件的BD 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

鲁教版(五四制)数学八年级下册第九章图形的相似测试题

第九章图形的相似测试题（时间：90分钟满分：120 分）班级：姓名：得分：一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，其中是相似图形的组数是（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组2.下列各组四条线段中，长度不成比例的是（）A ．1cm ，43cm ，821cm ，27cm B ．12cm ， 14cm ，4cm ，42cmC ．15cm ， 3cm ，7.5cm ，9cm D．10cm ，34cm ，3cm ，52cm3.某一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m ，则该旗杆的高度是（）A. 1.25 mB. 10 mC. 20 mD. 8 m4.如图,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（）A．10 B．20 C．30 D．40第4题图第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图5．三角形的一条中位线将三角形分成的两部分面积之比是（）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:46. 如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB 2=BC?BD B ．AB 2=AC?BD C ．AB?AD=BD?BC D ．AB?AD=AD?CD7.如图，A ，B ，C ，D ，E ，G ，H ，M ，N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC 相似，则点F 应是G ，H ，M ，N 四点中的（）A ．H 或NB ．G 或HC ．M 或ND ．G 或M 8.如图，在?ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9.如图, D,E 是AB 的三等分点, DF ∥EG ∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3等于（ )A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:410. 如图，将△DEF 缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P ，连接DP ，取DP 的中点A ，再连接EP ，FP ，取它们的中点B ，C ，得到△ABC.则下列说法:①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比是1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比是1∶2，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共24分）。

2022年必考点解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专项测评试卷(含答案解析)

八年级数学下册第九章图形的相似专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示，在直角坐标系中，1,0A ，()0,2B ，以A 为位似中心，把ABC 按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C ''△，则B '的坐标为（）．A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,4--D ．()1,4-2、如图，平面直角坐标系xOy 中，ABO CDO ∽，且:1:2OA AC =，若()1,2A ，则点C 的坐标为（）A ．()2,4B ．()3,6C ．()4,2D ．()6,33、如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长； ②△PAB 的周长； ③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中不会．．随点P 的移动而变化的是( )A ．①②③B ．①②⑤C ．①③④D ．①④⑤4、如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是O ，若OA ：OE ＝1：3，且四边形ABCD 的周长为4，则四边形EFGH 的周长为（）A ．8B ．12C ．16D ．205、如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 边上，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 、CD ，相交于点H ，下列结论中正确的是（）A ．EG AE BG BC =B ．AE BE ED EH= C ．=EH DH EB CH D ．=AG BG FG FH6、如图，在ABC 中，DE //BC ，EF //AB ，记1ADE S S =△，2CEF S S =△，3BDEF S S =四边形，则下列关于1S ，2S ，3S 的关系式正确的是（）A ．312S S S =+B ．3S =C ．3SD 7、已知2x ＝3y （x ≠0），则下列比例式成立的是（）A ．23xy = B ．32x y = C ．23x y = D ．23xy = 8、如图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =．点E ，G 分别在边BC ，AD 上，点F ，H 在对角线AC 上．若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是（）A ．2BC ．52D 9、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，位似比为1：2，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B ′的横坐标是（）．A ．21a -+B ．22a -+C ．23a -+D ．22a --10、如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则△EFD 和△BFA 的面积之比是（）A ．1：2B ．1：4C ．1：3D ．2：3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，D 是AC 边上一点，将线段BD 绕点B 顺时针旋转90°至BE ，连接CE ，DE ，DE 与BC 相交于点F ．现给出以下结论：①ABD CDE ∠=∠；②DE BC >；③当3+的最小值为______．（写=时，BF=；④连接AE，则AE BECD AD出所有正确结论的序号）2、如图（1），四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE、CF．（1）:FC BE的值为______．（2）当G、F、C三点共线时，如图（2），若5AB=、AE=BE= ______．3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC边上的黄金分割点，则△ABD的面积为_____．4、在梯形ABCD中，AD BC△、BOC的面积分别是∥，对角线AC与BD相交于点O，如果AOD1cm2、4cm2，那么梯形ABCD的面积等于________cm2．5、如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，线段AB ＝2，点C 是AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），点D （不与C 点，B 点重合）在AB 上，且AD 2＝BD •AB ，那么CD AC＝_____．2、ABC 为等边三角形，D 是边AB 上一点，点G 为AB 延长线上一点，连接CD ，GC ．(1)如图1，若2BG =，4AC =，求GC 的长；(2)如图2，点E 是BC 反向延长线上一点，连接DE ，GE ，若60DCG ∠=︒，CD DE =，猜想线段EG ，CG ，DC 的数量关系，并证明；(3)如图3，点M是AC的中点，将ABC沿直线DM折叠，点A恰好落在CG上的点Q，连接DC，若AC=，CD=CQD的面积．43、如图，∠A＝∠D，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥AB交BD于点F．(1)求证：△CEF∽△DEC；(2)若EF＝3，EC＝5，求DF的长．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=D、E为AB上两点，且∠DCE=45°，(1)求证：△ACE∽△BDC．(2)若AD=1，求DE的长．5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据位似得到AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，证得△B'BD≌△ABO，求出B'D=AO=1，AD=4，得到B'的坐标．【详解】解：∵把ABC按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C''△，∴12 ABAB='，∴AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，∵∠B'BD=∠ABO，∴△B'BD≌△ABO，∴B 'D=AO =1，BD=BO =2，∴AD =4，∴B '（-1,4），故答案为（-1,4）．【点睛】此题考查了位似图形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握位似的性质及全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．2、B【解析】【分析】过点C 作CF ⊥x 轴于F ，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，得出AE ∥CF ，可证AEO CFO ∽，得出OA AE OE OC CF OF ==，根据ABO CDO ∽，得出13OA OB OC OD ==，根据()1,2A ，得出OE =1，AE =2，可得13OA AE OE OC CF OF ===，得出CF =3AE =6，OF =3OE =3即可．【详解】解：过点C 作CF ⊥x 轴于F ，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，∴AE ∥CF ，∴∠OAE =∠OCF ，∠AEO =∠CFO ，∴AEO CFO ∽，∴OA AE OE OC CF OF==， ∵ABO CDO ∽， ∴123OA OB OA OA OC OD OA AC OA OA ====++， ∵()1,2A ，∴OE =1，AE =2， ∴13OA AE OE OC CF OF ===， ∴CF =3AE =6，OF =3OE =3，∴点C （3,6）．故选B ．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，图形与坐标，掌握三角形相似判定的方法与性质，图形与坐标求出是解题关键．3、C【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P 是l 上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【详解】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝12AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝14×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4、B【解析】【分析】由位似和平行可找到对应边，由对应边之比可知两图形的相似比，进而得到周长之比，求出周长．【详解】解∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴AD∥EH，∴13 AD OAEH OE==，即四边形ABCD与四边形EFGH相似比为13，∵四边形ABCD的周长是4，∴EFGH的周长为12，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的相似比与周长比之间的关系，能够利用相似比求出周长比是解决本题的关键．5、B【解析】【分析】根据相似三角形的性质和平行四边形的性质可以判断各个选项中的比值是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图可知，EG AEBG BC≠，故选项A错误；∵AB∥CD，∴△ABE∽△DHE，∴AE BEED EH⋅=，故选项B正确；∵DE∥BC，∴EH DHEB DC=，故选项C错误；∵AB∥CD，∴△ABG∽△FHG，∴AG BGFG HG=，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6、B【解析】【分析】设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系．【详解】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，∵EF∥AB，DF∥BC，∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD＝EF＝b，∵DF∥BC，EF∥AB，∴∠AFD ＝∠ACB ，∠DAF ＝∠EFC ，∴△ADE ∽△EFC ， ∴ADF FEC S S ∆∆＝12S S ＝（AD EF ）2＝22a b， ∵S 1＝12ah ，∴S 2＝22b h a， ∴S 1S 2＝224b h ， ∴bh ＝∵S 3＝bh ，∴S 3＝故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．7、B【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．【详解】解：A.变成等积式是：3x =2y ，故错误；B.变成等积式是：2x =3y ，故正确；C.变成等积式是：3x =2y ，故错误；D.变成等积式是：3x =2y ，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．8、C【解析】【分析】连接EG 交AC 于O ，根据菱形和矩形的性质证明△CEO ≌△AGO ，推出AO=CO ，由勾股定理求出AC 得到AO ，再证明△AOG ∽△ADC ，得到AG AO AC AD=，代入数值即可求出AG ．【详解】解：连接EG 交AC 于O ，∵四边形EFGH 是菱形，∴EG ⊥FH ，OE=OG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠D =90°，AD BC ∥，∴∠ACB =∠CAD ，∴△CEO ≌△AGO ，∴AO=CO ，∵AC∴12AO AC ==∵∠AOG=∠D=90°，∠OAG=∠CAD，∴△AOG∽△ADC，∴AG AO AC AD=，=，∴AG=5 2故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，是图形类的综合题，熟练掌握各知识点是解题的关键．9、C【解析】【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．【详解】解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a-1，B′、C间的水平距离为-x+1，∵△ABC的位似图形是△A′B′C，且位似比为1：2，∴2（a -1）=-x +1，解得：x =-2a +3，故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．10、B【解析】【分析】利用三角形的中位线定理可得DE ：AB ＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵CE ＝AE ，CD ＝DB ，∴ED ∥AB ，DE ＝12AB ， ∴△DEF ∽△ABF ， ∴DEF ABF S S ∆∆＝（DE AB ）2＝14，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二、填空题1、①③④【解析】【分析】根据等边对等角可得45A ACB ∠=∠=︒，根据旋转的性质可得BDE 是等腰直角三角形，进而可得135ABD ADB ∠=︒-∠，135CDE ADB ∠=︒-∠，即可判断①；由于D 是动点，则DE 的长不固定，找到D 为AC 的中点时，说明DE BC =，即可判断②；根据3CD AD =，设AD a =，则3,CD a CE a ==，4AC a =，证明ADB CFD ∽，求得BF ，勾股定理求得OF ，即可求得EF ，进而即可求得比值，即可判断③，作B 关于CE 的对称点B '，连接AB '，根据对称性可知AE BE AE B E AB ''+=+≥，则AE BE +的最小值即为AB '的长，进而勾股定理求解即可．【详解】解：90ABC ∠=︒，4AB BC ==， ∴45A ACB ∠=∠=︒线段BD 绕点B 顺时针旋转90°至BE ， ,45BD BE DBE ∴=∠=︒∴BDE 是等腰直角三角形，45BDE ∴∠=︒180135ABD A ADB ADB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，180135CDE ADB BDE ADB ∠=︒-∠-∠=︒-∠ ∴ABD CDE ∠=∠故①正确，90ABC DBE ∠=∠=︒ABD DBC DBC CBE ∴∠+∠=∠+∠ ABD CBE ∴∠=∠,DB BE AB BC ==ABD CBE ∴△≌△BD BE ∴=，ADB CEB ∠=∠，AD CE =D是AC边上一点，当D为AC中点时，如图，∴12DB AC AD==BD DC BE CE∴===∴四边形BDCE是菱形,AB BC AD DC==DB AC∴⊥∴四边形BDCE是正方形DE BC∴=故②不正确；ABD CBE≌∴45BCE A∠=∠=︒45ACB =︒∠90DCE ∴∠=︒当3CD AD =时，设AD a =，则3,CD a CE a ==，4AC a =在Rt ABC 中，AB BC AC ===在Rt CDE △中，DE ==由①可知ABD CDE ∠=∠，又BAD DCF ∠=∠ ADB CFD ∴∽AD AB CF CD∴=a CF ∴=解得4CF ==BF BC CF ∴=-==如图，过点B 作BO ED ⊥于O ，12BO DO EO DE ∴====在Rt BOF中，OF==EF OE OF∴=-==BFEF∴==BF∴=∴当3CD AD=时，BF=；故③正确连接AE，如图，作B关于CE的对称点B'，连接AB'，则AE BE AE B E AB''+=+≥则AE BE+的最小值即为AB'的长,45CB CB BCE B CE''∴=∠=∠=︒90B CB'∴∠=︒90ABC∠=︒B C AB'∴∥过点A 作AG B C '⊥，交B C '的延长线于点G ，则AG B C '⊥∴四边形ABCG 是矩形又AB BC =∴四边形ABCG 是正方形AG GC ∴=BC B C '∴=4AB BC ==则4,8AG GB '==在Rt AB G '中，AB '=∴ AE BE +的最小值为故④正确故正确的有①③④，故答案为：①③④【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握以上知识是解题的关键．2、【解析】【分析】①连接AF ，AC ，根据正方形及直角三角形的性质可得：AC AF AB AE==，45BAC EAF ∠=∠=︒，结合图形利用各角之间的数量关系得出BAE CAF ∠=∠，依据相似三角形的判定定理及性质即可得出结果；②连接AC ，则ACG 为直角三角形，由正方形的四条边相等及勾股定理得出AC =，CG =结合图形得出FC =【详解】解：①如图所示，连接AF ，AC ，根据正方形及直角三角形的性质可得：AC AF AB AE=45BAC EAF ∠=∠=︒， ∴BAC EAC EAF EAC ∠-∠=∠-∠，即BAE CAF ∠=∠，在ABE 与ACF 中，∵AC AF AB AE== BAE CAF ∠=∠，∴~ABE ACF ，∴FC AC EB AB== ②如图所示：连接AC ，则ACG 为直角三角形，∵FG AG AE ===5AB BC ==，∴AC =，∴CG ===∴FC CG GF =-=由结论①可得：BE FC ==【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．3、5 5【解析】【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，先由等腰三角形的性质得2BE =，由勾股定理求出AE =ABC ∆的面积=BD BC =或BD BC = 【详解】解：过A 作AE BC ⊥于E ，如图所示：AB AC =，122BE CE BC ∴===，AE ∴=ABC ∴∆的面积11422BC AE =⨯=⨯ D 是BC 边上的黄金分割点，∴当BD CD >时，BD BC =，1212BD AE ABD BD ABC BC BC AE ⨯∆==∆⨯的面积的面积 ABD ∴∆的面积5= 当BD CD <时，CD BC =，∴BD BC1212BD AE ABD BD ABC BC BC AE ⨯∆==∆⨯的面积的面积， ABD ∴∆的面积5=；故答案为：55．【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义和等腰三角形的性质．4、9【解析】【分析】由于AD ∥BC ，可得△OAD ∽△COB ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出BO 与OD 的关系，AO 与OC 的关系，从而求出△ABO 和△CDO 的面积，进而求出梯形的面积．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△OAD ∽△COB ， ∴214AOD COB S OA S OC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴AO ：CO =DO ：BO =1：2， ∴=2ABOADO S BO S DO=， ∴2=2cm ABO S ，同理求出2=2cm CDO S2=9cm ABO AOD BOC CDO ABCD S S S S S +++=梯形，故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质，以及三角形面积的求解，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．5、4【解析】【分析】首先利用已知条件可证明△CDF 是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DF =2DE ，而在Rt △CDE 中，由勾股定理可求得DE 的值，即可求得DF 的长，从而求出△CFD 的周长；然后，证明△CDF ∽△BFG ，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：∵DE 是∠ADC 的平分线∴ADE CDE ∠=∠四边形ABCD 是平行四边形AD BC ∴∥ADE CDF DFC ∴∠=∠=∠6CD FC AB ∴===CE DG ⊥2DF DE ∴=在Rt CDE △中90DEC =︒∠，6,2CD CE ==DE∴=2DF DE∴==CDF ∴的周长为12+6,8CF BC AD===862BF BC CF∴=-=-=:6:23:1CF BF∴==AB CD∥CDF BFG∴∽∴31CDFBFGCC=∴BFG的周长为4故答案为：4+【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识是解题的关键．三、解答题1【解析】【分析】利用黄金分割的定义求出AD和BC，再求出CD和AC，即可得解．【详解】解：∵点D在AB上，且AD2＝BD•AB，∴点D 是AB 的黄金分割点，∴AD AB 1，又∵点C 是AB 的黄金分割点，AC ＜BC ，∴BC AB 1，∴CD =AD +BC -AB =4-，∴AC =AD -CD =3∴CD AC ，．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．2、 (1)(2)=+CG CD EG ，理由见解析【解析】【分析】(1)过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，证明△ABE ∽△GBH ，得到==AE AB BE GH BG BH代入数据求出GH =1BH =，最后在Rt △CGH 中，由勾股定理CG(2)在线段CG 上取点F ，并使得CD=CF ，连接DF ，证明△EDG ≌△FDG (SAS )，得到EG =FG ，最后由CG=FG+FC=EG+DC 即可证明；(3)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，过点M 作MN ⊥AB 于N ，ME ⊥QC 于E ，连接AQ 交DM 于F 点，由折叠性质得到DM ⊥AQ ，由MC=MA=MQ 得到△AQC 为直角三角形，进而得到DM∥CG ，证明△AMF ≌△MCE (AAS )，由等面积法求出==ME AF 1==2∆∆⋅=CQD CQM S S CQ ME ． (1)解：过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，如下图所示：∵△ABC 为等边三角形，∠ACE =60°，∴12,2===CE BC AE ∵∠ABE =∠HBG =60°，∠AEB =∠H =90°，∴△ABE ∽△GBH ， ∴==AE AB BE GH BG BH，代入数据AB=AC =4，BG =2，==AE 422=BH∴GH =1BH =，在Rt△CGH中，由勾股定理有：CG故CG的长为(2)CG CD EG，理由如下：解：EG，CG，DC的数量关系为：=+在线段CG上取点F，并使得CD=CF，连接DF，如下图所示，∵∠DCG=60°，∴△CDF为等边三角形，∴DF=DC，∠CDF=60°，由已知：DE=DC，∴DF=DE，∴∠DEB=∠BCD∵∠DEB+∠EDG=∠DBC=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠EDG=∠ACD；又∠GDC=∠A+∠A CD=60°+∠ACD，∠GDC=∠FDC+∠GDF=60°+∠GDF，∴∠ACD=∠GDF，∴∠EDG=∠GDF，在△EDG和△FDG中：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ED FDEDG FDG DG DG，∴△EDG≌△FDG(SAS)，∴EG=FG，∴CG=FG+FC=EG+DC．(3)解：过C点作CH⊥AB于H点，过点M作MN⊥AB于N，ME⊥QC于E，连接AQ交DM于F点，如下图所示：由折叠可知：DA=DQ，MA=MQ，∴DM所在直线是线段AQ的垂直平分线，∴DM⊥AQ，∠AFM=90°，又M为AC的中点，∴MC=MA=MQ ,∴△AQC 为直角三角形，∠AQC =90°，∴∠AFM =∠AQC =90°，∴DM∥CG ，∴∠AMF =∠MCE ，∴△AMF ≌△MCE (AAS )，∴=ME AF ，由等腰三角形的“三线合一”可知，∠HCA =30°，∠BAC =60°，1=22=AH AB ，CH ==在Rt △CDH 中，1=DH ，∴3=+=AD DH AH ，∵M 为AC 的中点，∠BAC =60°，∴122AM AC ==，112AN AM ==，=MN∴=DM在△ADM 中，由等面积法可知：1122⋅=⋅AD MN DM AF ，解得：7==AF ，由折叠可知，MQ=MA=MC ，∴△MQC 为等腰三角形，且底边QC 上的高为==ME AF∴=CE∴2==CQ CE ∵DM∥CG ，∴11==22∆∆⋅==CQD CQM S S CQ ME 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、截长补短法证明线段和差问题、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．3、 (1)证明见解析； (2)163DF =．【解析】【分析】（1）通过CF ∥AB 得到B EFC ∠=∠，然后利用三角形内角和定理有180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，从而得出DCE EFC ∠=∠，外加对顶角DEC CEF ∠=∠，从而得出结论；（2）根据（1）的结论得到比例式EF CE CE ED=，带入数据就可求出DF 的长． (1)∠A ＝∠D ，180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，AEB DEC ∠=∠，∴ B DCE ∠=∠； CF ∥AB ，∴ B EFC ∠=∠，∴ DCE EFC ∠=∠；DEC CEF ∠=∠∴△CEF ∽△DEC△CEF ∽△DEC ， ∴EF CE CE ED=； EF ＝3，EC ＝5， ∴253ED = ∴2516333DF =-= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．利用三角形内角和定理，结合平行线的性质，即可证出．4、 (1)见解析 (2)53DE = 【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出A B ∠=∠，可证明ACE BDC ∽；（2）由勾股定理求出4AB =，由相似三角形的性质得出AC AE BD BC=，可求出DE 的长，则可得出答案． (1)解：证明：90ACB ∠=︒，CA CB =，1(18090)452A B ∴∠=∠=︒-︒=︒，又45CDB A ACD ACD ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒+∠=∠=∠+∠，ACE BDC ∴∽；解：由勾股定理得4AB，设DE长为x，1AD=，3BD∴=，1AE x=+，ACE BDC∽，∴AC AEBD BC=，解得53x=，即53 DE=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明ACE BDC∽．5、 (1)见解析【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质证明CD2=AD•DB，可得结论．(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD．(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴ADCD＝CDBD，∴CD2＝AD•DB，∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6，∵CD＞0，∴CD．【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．。

2022春八年级数学下册第九章图形的相似达标检测卷鲁教版五四制(含答案)

八年级数学下册鲁教版五四制：第九章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝ 6 D．a＝2，b＝5，c＝2 3，d＝15 2．下列各组图形中有可能不相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为( ) A．4 B．5 C．6 D．84．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )3A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为12；④两个相似多边形的面积比为49，则周长的比为1681.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF 等于( )A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.259．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上的一点，DEEC ＝2：3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF 等于( )A ．2：5：25B ．4：9：25C ．2：3：5D ．4：10：2510．如图，在△ABC 中，CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上(与B ，C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC ＝FG ；②S △FAB ∶S 四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ ·AC ，其中正确结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________．12．已知a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 的值为________．13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >A C ．若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE于点G ，CF ＝1，则BC ＝________，△ADE 与△ABC 的周长之比为________，△CFG 与△BFD 的面积之比为________．15．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．16．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持的小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m. 17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s 的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么： (1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？24．如图①，在R t △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明． (3)当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，求线段BD 的长．答案一、1.B 2.A3．C 点拨：因为DE ∥BC ，所以AE ：AC ＝AD ：AB ＝3：9＝1：3，则AC ＝6. 4．A 5.B6．B 点拨： ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE .∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010. ∴AB ＝40 m.7．B8．B 点拨：由∠A ＝90°，CF ⊥BE ，AD ∥BC ，易证△ABE ∽△FCB .∴AB BE ＝CF BC .由AE ＝12×3＝1.5， AB ＝2，易得BE ＝2.5，∴22.5＝CF3.∴CF ＝2.4. 9．D10．D 点拨： ∵四边形ADEF 为正方形，∴∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF . ∴∠CAD ＋∠FAG ＝90°. ∵FG ⊥CA ，∴∠G ＝90°＝∠C .∴∠DAC ＝∠AFG .在△FGA 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠DAC ，AF ＝DA ，∴△FGA ≌△ACD (AAS )．∴AC ＝FG .①正确．∵BC ＝AC ，∴FG ＝BC . ∵∠C ＝∠G ＝90°，∴FG ∥BC . ∴四边形CBFG 是矩形．∴∠CBF ＝90°，S △FAB ＝12FB ·FG ＝12S 四边形CBFG .②正确．∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°.③正确．易知∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ . ∴AC ∶AD ＝FE ∶FQ .∴AD ·FE ＝AD 2＝FQ ·AC .④正确．二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160.12．14 点拨：由a 5＝b 7＝c8，可设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k .∵3a －2b ＋c ＝9，∴3×5k －2×7k＋8k ＝9.∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14. 13．S 1＝S 2 点拨： ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ， ∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2. 14．2；1：2；1：6 15.(3，3)16．14 点拨：如图，作CH ⊥AB 于点H ，交EF 于点P ，则CH ＝DA ＝42 m ．由题意知，CP ＝45 cm ＝0.45 m ，EF ＝15 cm ＝0.15 m. ∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠CBA ，∠CFE ＝∠CAB . ∴△CEF ∽△CBA .∴EF AB ＝CP CH ，即0.15AB ＝0.4542. ∴AB ＝14 m ，即铁塔的高度为14 m.17.163或3 点拨： ∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S . 同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n .三、19.解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴∠H ＝∠D ＝95°. ∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°. ∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴BC FG ＝ABEF.∴x ∶7＝12∶6.解得x ＝14. 20．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF .又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．(2)解：方法一：∵AB ∥FC ， ∴∠GBD ＝∠GCF ，∠GDB ＝∠F . ∴△GBD ∽△GCF .∴GB GC ＝BD CF. ∴22＋4＝1CF.∴CF ＝3. 由(1)得△ADE ≌△CFE ， ∴AD ＝CF ＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.方法二：如图，取BC 的中点H ，连接EH . ∵△ADE ≌△CFE ，∴AE ＝CE .∴EH 是△ABC 的中位线．∴EH ∥AB ，且EH ＝12AB .∴∠GBD ＝∠GHE ，∠GDB ＝∠GEH .∴△GBD ∽△GHE .∴DB EH ＝GB GH .∴1EH ＝22＋2. ∴EH ＝2.∴AB ＝2EH ＝4.22．解：由题意可得DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB ＝DEBC. ∵AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ， ∴1616＋DB ＝2050. ∴DB ＝24 m.∴这条河的宽度为24 m.23．解：(1)由题意知AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时， △QAP 是等腰直角三角形，所以6－t ＝2t ，解得t ＝2.(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ ·CD ＋12AP ·BC ＝(36－6t)＋6t ＝36(cm 2)．在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQ AB ＝AP BC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t6，即t ＝1.2；②当QA BC ＝AP AB 时，△PAQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3.所以当t ＝1.2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝4 5.∴AE ＝CE ＝2 5.∴AE BD ＝2 54＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC ＝4 5，CE ＝2 5，CD ＝4， ∴AE BD ＝AC ＋CE BC ＋CD ＝4 5＋2 58＋4＝52.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB .∴CE CA ＝CD CB，∠EDC ＝∠B ＝90°.在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变， ∴CE CA ＝CD CB仍然成立．又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α， ∴△ACE ∽△BCD .∴AE BD ＝AC BC. 由(1)可知AC ＝4 5.11 ∴AC BC ＝4 58＝52.∴AE BD ＝52. ∴AE BD 的大小不变．(3)当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，如图②，∴BD ＝AC ＝4 5；当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD ＝AC 2－CD 2＝8.又易知DE ＝2，∴AE ＝6.∵AE BD ＝52，∴BD ＝12 55. 综上，BD 的长为4 5或12 55.。

难点详解鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似章节训练试题(含详解)

八年级数学下册第九章图形的相似章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（）cm．A．154B．5 C．152D．82、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，点E是边CB上一动点，过点E作EF//CA交AB于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C为圆心，适当长为半径画弧交CB，CA于点M，点N；②分别以M，N为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线CG．若射线CG经过点D，则CE的长度为（）A ．813B ．1513C ．2013D ．25133、如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转α得到△DEC ，此时点D 落在边AB 上，且DE 垂直平分BC ，则AC DE的值是（）A ．13 B ．12 C ．35 D ．24、2021年7月，占地约2917亩的独秀山公园正式对外全面开放，主办方精心筹建的游乐项目深受广大游客的青睐，其中某两个项目入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（）A ．一支粉笔的长度B ．一支钢笔的长度C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度5、如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（）A ．周长扩大4倍，面积扩大2倍B ．周长扩大2倍，面积扩大4倍C ．周长扩大4倍，面积扩大4倍D ．周长扩大4倍，面积扩大16倍6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若23ABBC，DE＝4，则DF的长是（）A．83B．203C．6 D．107、如图，E是矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，BD，分别交对角线AC于点F，O．则AF：FO：OC ＝（）A．2：1：3 B．3：2：5 C．4：2：7 D．5：3：88、若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（）A． 4 B．9－C．3或9－D．4或12－9、身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（）A．14米B．16米C．18米D．20米10、如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（）A ．∠ADE ＝∠B B ．∠AED ＝∠C C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC= 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是43，BE 、B 1E 1分别是它们对应边上的角平分线，且BE ＝12，则B 1E 1＝_____．2、如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则ADE BEDCS S ∆四边形=_____．3、已知ABC DEF △△，ABC 与DEF 的面积比为1:2，1BC =，则EF 的长为__________．4、如图，边长为5cm 的正方形ABCD ，E ，F 分别从A ，B 两点同时出发，以1cm/s 速度沿射线AB ，射线BC 运动，连结AF ，DE 交于点P ，G 为AD 中点，连结PG ，PB ，若PDG △与ABP △相似，则运动时间t 的值为______．5、如图，矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A ′、C ′处，如果点A ′、C ′、B 在同一条直线上，那么AC AB'的值为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒，点P 是直线BC 上一动点，连接AP ，分别过B 、C 做直线AP 的垂线，垂足分别为点E 、F ，取BC 的中点Q ，连接QE 、QF ．(1)如图1，若点P 在BC 的延长线上且30P ∠=︒，2PC =，求BC 的长；(2)如将2，若P 是BC 的延长线上任意一点，求证：CE BF +=；(3)如图3，作点C 关于直线AP 的对称点C '，连接QC '，若1AC =，请直接写出当QC 取得最大值时PC 的长．2、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上．(1)请作出△OAB 关于直线CD 对称的△O 1A 1B 1；(2)请以点P 为中心，相似比为2，作出△OAB 的同向位似图形△O 2A 2B 2．3、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，连结AF 、CE ．(1)试判断四边形AFCE 的形状，并说明理由；(2)若5AB =，23AE BF =，求EF 的长；(3)连结BE ，若BE CE ⊥，求BF AE的值． 4、如图1，已知等边ABC 的边长为8，点D 在AC 边上，2AD =，点P 是AB 边上的一个动点．(1)连接PC 、PD ．①当AP =______时，APD ACP ∽△△； ②若APD △与BPC △相似，求AP 的长度；(2)已知点Q 在线段PB 上，且2PQ =．①如图2，若APD △与BQC 相似，则ACQ ∠与PDC ∠之间的数量关系是______；②如图3，若E 、F 分别是PD 、CQ 的中点，连接EF ，线段EF 的长是否是一个定值，若是，求出EF 的长，若不是，说明理由．5、如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB 、CD ，小明上午上学时发现路灯AB 在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E 处，他自己的影子恰好落在路灯CD 的底部C 处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD 的灯光下自己的影子恰好落在E 处．(1)在图中画出小明的位置(用线段FG 表示)．(2)若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E 恰好2米，求路灯高．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】EF 是BD 的垂直平分线，则OB =OD ，进而可以判定△BOF ≌△DOE ，得OE =OF ，在相似三角形△BOF 和△BAD 中，即可求FO 的长，根据FO 即可求EF 的长．【详解】解：∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD，∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，∴OE=OF，∵∠OBF=∠ABD，∴△BOF∽△BAD，∴FO AD BO AB=，∵BD，∴BO=5，∴FO=5×68=154，∴EF=2FO=152（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BD的长是解题的关键．2、C【解析】【分析】分析：先利用勾股定理计算出BC＝4，利用基本作图得到CD平分∠ACB，再证明∠DCE＝∠CDE得到EC＝ED，设CE＝x，则EF＝2x，BE＝4﹣x，接着证明△BEF∽△BCA，利用相似比得到25x＝44x-，然后解方程即可．【详解】解：∵∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，∴BC4，由作法得CD平分∠ACB，∴∠DCE＝∠DCA，∵//EF AC，∴∠DCA＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴EC＝ED，∵D点为EF的中点，∴DE＝DF，设CE＝x，则EF＝2x，BE＝4﹣x，∵EF//AC，∴△BEF∽△BCA，∴EFAC＝BEBC，即25x＝44x-，解得x＝2013，即CE的长为20 13．故选：C．【点睛】本题考查了基本作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明DCF DEC ∆∆∽，对应边成比例即可解决问题．【详解】解：如图，设DE 与BC 交于点F ，由旋转可知：CA CD =，AB DE =，BC EC =，B E ∠=∠， DE 垂直平分BC ，DF BC ∴⊥，DC DB =，1122CF BF BC EC ===，DCB B E ∴∠=∠=∠，90DCB FDC ∠+∠=︒，90E FDC ∴∠+∠=︒，90DCE ∴∠=︒，DCF DEC ∴∆∆∽， ∴12CD CF DE CE ==， ∴12AC DE =．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到∽．∆∆DCF DEC4、A【解析】【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离．【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得它们之间的图上距离是155÷2000＝0.0775米＝7.75厘米．大约相当于一支粉笔的长度．故选：A．【点睛】首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．5、D【解析】【分析】由题意得，扩大后的三角形与原三角形的相似比为4，根据相似三角形的周长与面积进行解答即可得．【详解】解：由题意得，扩大后的三角形与原三角形的相似比为4，根据相似三角形的周长之比等于相似比，所以当三角形各边都扩大4倍后，周长也扩大到原来的4倍；根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，所以当三角形各边都扩大4倍后，面积扩大到原来的16倍；故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的周长与面积，解题的关键是熟记相似三角形的周长与面积．6、D【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴DEEF＝ABBC＝23，又DE＝4，∴EF＝6，∴DF＝DE+EF＝10，故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据矩形的性质可得AD//BC，AD=BC，OA=OC=12AC，可得△AEF∽△CBF，由E是AD的中点，即可得出12AFCF，可得AF=13AC，根据线段的和差关系可得OF=16AC，进而可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，AD =BC ，OA =OC =12AC ，∴△AEF ∽△CBF ，∵E 是AD 的中点，∴AE =12AD ， ∴12AF AE AE CF BC AD ===， ∴AF =13AC ，∴OF=OA-AF =12AC -13AC =16AC ， ∴AF ：FO ：OC ＝13AC ：16AC ：12AC =2：1：3，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．8、D【解析】【分析】叫做黄金数，当AC BC >时，AC AB =AC BC <时BC AB =，即AB AC AB - 【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，当AC BC >时，AC AB = ，84AC ==；当AC BC <时，BC AB =，即AB AC AB -8]8AC -84)12AC =-=-综上，AC 的长为4或12-故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是要不重不漏，分情况讨论AC 和BC 之间的长度关系．9、D【解析】【分析】利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可．【详解】解：设旗杆高为x 米，根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：1.6 1.215x = ，解得：20x ，故旗杆高20米，【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程计算出结果，是解决本题的关键．10、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．【详解】解：∵∠ADE ＝∠B ，A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽故A 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；∠AED ＝∠C ，A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽故B 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；AD AEAB AC=，A A ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽故C 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；AD DEAB BC=，条件ADE B ∠=∠未给出，不能判定△ADE 与△ABC 相似，故D 符合题意故选D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．1、9【解析】【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比计算．【详解】解：ABC ∆∽△111A B C ，ABC ∆的周长与△111A B C 的周长的比值是43， ABC ∴∆与△111A B C 的相似比为43， ∴1143BE B E =，即111243B E =，解得，119B E =，故答案为：9．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的对应角平分线比等于相似比．2、13##1：3【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC ∽△ADE ，且BC =2DE ，∴214ADE ABC ED S S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴11413ADEBEDCS S ==-△四边形，故答案为：13．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 3【解析】【分析】利用相似三角形的性质可得21,2ABC DEF S BC S EF 再把1BC =代入解方程即可.【详解】解： ABC DEF △△，ABC 与DEF 的面积比为1:2， 21,2ABC DEF SBCS EF1BC =，22,EF解得：EF =【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解本题的关键.4、5或10【解析】【分析】分两种情况：①E 点在AB 上；②E 点在AB 延长线上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t 即可．【详解】解：分两种情况：①如图1，E 点在AB 上时，,,90AD BA AE BF DAE ABF ==∠=∠=︒，()ADE BAF SAS ∴≌，DE AF ∴=，ADE BAF ∠=∠，90ADE DEA ∠+∠=︒，90BAF DEA ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，AF DE ⊥．DE ==525AD AE t AP DE ==DPPDG BAP ∆∆∽，PDG BAP ∴∠=∠，PGD ∠与BPA ∠是钝角， ∴DG AP A PD B =，解得5t =；②如图2，E 点在AB 延长线上时，,,90AD BA AE BF DAE ABF ==∠=∠=︒，()ADE BAF SAS ∴≌，DE AF ∴=，ADE BAF ∠=∠，90ADE DEA ∠+∠=︒，90BAF DEA ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，AF DE ⊥．DE 25(55AD AE AP DE ==DPPDG△与ABP△，分论讨论，当PDG BAP∆∆∽，∴DGAP APDB=，即525(5)t+÷=解得0=t，即用时5秒，不合题意舍去；当PDG PAB∆∆∽，∴DGAB APDP=，即525÷解得5t=，即用时10秒，符合题意；综上：若PDG△与ABP△相似，则运动时间t的值为5或10，故答案为：5或10．【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．5【解析】【分析】根据题意作出图形，设CD＝AB＝m，根据C D BC'∥可得D DBC A CC A'''=，代入数值求得m，即AB的长，证明ABC CA B''∽，根据AC BCAB A C'='即可求解．【详解】解：如图，矩形ABCD,90AB CD A C ∴=∠=∠=︒设CD ＝AB ＝m ，根据旋转的性质可知C ′D ＝m ，A ′C ＝2+m ，∵C D BC '∥，A C D A BC '''∴∽ ∴D D BC A C C A '''=，即222m m=+，解得m ＝﹣1∴AB 长为﹣211A C A D DC B C AB BC AB ''''∴=+=+=+=+=AB A C '∥ABC CA B ''∴∠=∠90A C ∠=∠=︒ABC CA B ''∴∽∴AC BCAB A C'='==．【点睛】本题考查了进行的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意作出图形，找到相似三角形是解题的关键．三、解答题1、 (1)BC=2；(2)见详解；(3)PC【解析】【分析】（1）在EA上截取GE=PE，连结CG，根据∠COE=30°，CE⊥PG，得出∠PCE=90°-∠CPE=90°-30°=60°，根据等腰直角三角形性质得出∠ACB=∠ABC=45°，证明△PCE≌△GCE（SAS），再证CG=AG=2，利用勾股定理即可求解；（2）证明：连结AQ，先证△QCA等腰直角三角形；再证△CEA≌△AFB（AAS），得出CE=AF，EA=BF，可证△CEA≌△AFB（AAS），最后证明△QEF为等腰直角三角形即可；（3）当QC′⊥AC时QC′最大，根据QC=AQ，可得QC′为AC的垂直平分线，再证△C′CA为等边三角形，可求∠ABF=90°-∠BAF=90°-60°=30°，得出AF=12AB，BFAB=，根据AB=AC=1，求出BCAF=1122AB=，BFAB==PC为m，PB=PC+BC=mPCE∽△PBF，得出PC CEPB BF=1=(1)解：在EA 上截取GE =PE ，连结CG ，∵∠CPE =30°，CE ⊥PG ，∴∠PCE =90°-∠CPE =90°-30°=60°，∵ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ECA =180°-∠PCE -∠ACB =180°-60°-45°=75°，在△PCE 和△GCE 中，CE CE PEC GEC PE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PCE ≌△GCE （SAS ），∴∠PCE =∠GCE =60°，CP =GC =2，∴∠GCA =∠ECA -∠GCE =75°-60°=15°，∵∠CGE =90°-∠GCE =90°-60°=30°，∴∠GAC =∠CGE -∠ECG =30°-15°=15°，∴CG =AG =2，在Rt△CEG 中，EG= ∴EA =EG +AG2，∴BC2==；，(2)证明：连结AQ ，∵点Q 为BC 中点，AB =AC ，∠BAC =90°，∴QC =QA =QB ，∠QCA =∠QAB =45°，AQ ⊥BC ，∵CE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠CAB =90°，∴∠CEA =∠AFB =∠CAB =90°，∴∠ECA +∠CAE =∠CAE +∠FAB =90°，∴∠ECA =∠FAB ，在△CEA 和△AFB 中，CEA AFB ECA FAB AC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴CE =AF ，EA =BF ，∴EF =AE +AF =BF +EC ，∵∠ECA +45°=∠FAB +45°，即∠QCE =∠QAF ，在△CEQ 和△AFQ 中，QC QA ECQ FAQ CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴QE =QF ，∠CQE =∠AQF ，∵∠EQA +∠AQF =∠EQA +∠CQE =90°，∴△QEF 为等腰直角三角形，∴EF，∴CE BF +=；(3)当QC′⊥AC 时QC′最大，∵QC =AQ ，∴QC′为AC 的垂直平分线，∴CC′=C′A =AC =1，∴△C′CA 为等边三角形，∵点C 关于直线AP 的对称点C '，∴AP平分∠CAC′，CE=CE=12，∴∠CAE=30°，∴∠BAF=180°-∠CAE-∠BAC=180°-30°-90°=60°，∵BF⊥EF，∴∠ABF=90°-∠BAF=90°-60°=30°，∴AF=12AB，BFAB=，∵AB=AC=1，∴BC=AF=1122AB=，BFAB==设PC为m，PB=PC+BC=m，∵BF⊥EF，CE⊥EF，∴CE∥BF，∴△PCE∽△PBF，∴PC CEPB BF=1=解得m=经检验符合题意．【点睛】本题考查30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，解分式方程，轴对称性质，掌握以上知识是解题关键．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1在CD的右侧，对应点到CD的距离相等，所此描点、连线即可得；（2）根据位似图形的性质求作即可．(1)如图所示. △O1A1B1即为所求(2)如图所示，△O 2A 2B 2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．3、 (1)四边形AFCE 是菱形．理由见解析(2)EF =(3)BF AE 【解析】【分析】（1）由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得AEO CFO △△≌，从而得AE =CF ，即可证得四边形AFCE 是平行四边形，进而可得四边形AFCE 是菱形；（2）设3AE m =，2BF m =，由四边形AECF 是菱形及勾股定理可求得m ，从而可得BC 的长，由勾股定理可求得AC 的长，从而可得OC 的长，再由勾股定理求得OF 的长，最后求得EF 的长；（3）设AE a =，BF b =，由矩形的性质及BE ⊥CE ，易得CDE BEC △△∽，由相似三角形的性质可得关于a 、b 的方程，即可求得b a的值，从而求得结果．(1)四边形AFCE 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴EAO FCO ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO CO =，90EOA FOC ∠=∠=︒，在AEO △和CFO △中， EAO FCO AO CO EOA FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEO CFO ASA △△≌，∴AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵AC EF ⊥，∴四边形AFCE 是菱形；(2)∵23AE BF =，∴设3AE m =，2BF m =，∵四边形AECF 是菱形，∴3AF AE m ==，EF =2 OE =2OF ，12OC AC =，AC ⊥EF ，在Rt ABF 中，∵222AB BF AF +=，∴222549m m +=，∴m =∴AF FC ==BF =∴BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∴AC =∴12OC AC ==，在Rt △OCF 中，由勾股定理得：∴OF =，∴2EF OF ==(3)设AE a =，BF b =，则AF CF EC a ===，BC a b =+，BF DE b ==． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD CB ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵BE CE ⊥，∴90BEC D ∠=∠=︒，∴CDE BEC △△∽， ∴DE EC EC BC=， ∴b a a a b =+， ∴220b ab a +-=， ∴210b b a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴b a =，∴BF AE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键．根据问题的特点设元是本题的特点．4、 (1)①4；②4或1.6(2)①120ACQ PDC ∠+∠=︒或120PDC ACQ ∠-∠=︒【解析】【分析】（1）①根据相似三角形的判定，列出比例式求解即可；②分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；（2）①根据相似三角形对应角相等，得出BCQ APD ∠=∠或BCQ ADP ∠=∠，再结合等边三角形的性质求解即可；②连接QE 并延长，使QE =EG ，连接DG ，CG ，作AH ⊥BC 于H ，GI ⊥BC 于I ，求出CG 长即可．(1)解：①∵A A ∠=∠，当AP AD AC AP=时，APD ACP ∽△△； ∵等边ABC 的边长为8，2AD =，28AP AP=，解得，4AP =（负值舍去），故答案为：4；②当APD BPC ∽△△时， AP AD BP BC=，即288AP AP =-，解得， 1.6AP =；当APD BCP ∽△△时， AP AD BC BP =，即288AP AP=-，解得，4AP =； AP 的长度为4或1.6．(2)解：①当APD BQC ∽△△时，BCQ ADP ∠=∠，∴180PDC BCQ ∠+∠=︒，∵60BCQ ACQ ∠=︒-∠，∴120PDC ACQ ∠-∠=︒；当APD BCQ ∽△△时，BCQ APD ∠=∠，∵60PDC APD ∠=︒+∠，∴60PDC BCQ ∠=︒+∠，∵60BCQ ACQ ∠=︒-∠，∴120ACQ PDC ∠+∠=︒；故答案为：120ACQ PDC ∠+∠=︒或120PDC ACQ ∠-∠=︒；②线段EF 的长是一个定值，理由如下：连接QE 并延长至G ，使QE =EG ，连接DG ，CG ，作AH ⊥BC 于H ，GI ⊥BC 于I ，∵QE =EG ，PE =DE ，∠PEQ =∠DEG ，∴△PEQ ≌△DEG ，∴DG =PQ =2，∠QPE =∠GDE ，∴DG =AD =2，QP ∥GD ，∴∠DAP =∠GDA =60°，∴△GDA 是等边三角形，∴∠DAG =∠ACB =60°，GA =2，∴GA ∥BC ，∵AH ⊥BC ，GI ⊥BC ，∴HA ∥GI ，∴四边形HAGI 是平行四边形，∴GA = HI =2，∵∵AH ⊥BC ，∴HC =4，HI =2，AH ==GI =CG∵F 分别是CQ 的中点，∴GC=2EF，∴EF=【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质进行推理计算．5、 (1)见解析(2)路灯高3.75米【解析】【分析】（1）作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小明的位置；（2）易得小明的影长，利用EFG EDC∽可得路灯CD的长度．∆∆(1)解：如图，FG就是所求作的线段.(2)上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，∴==，23CG FGFG CD，//∠=∠，∴∠=∠，EGF ECDEFG D∴∆∆∽，EFG EDC∴FG EG=，CD EC∴1.52=，CD5CD=，解得 3.75∴路灯高3.75米．【点睛】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．。

难点详解鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专项测评试卷(含答案详解)

八年级数学下册第九章图形的相似专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（）A．BDAD＝43，AEEC＝43B．ADAB＝23，AEAC＝23C．ADAB＝23，ECAE＝23D．ABAD＝23，ECAE＝122、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB CD长为（）A．2 B．4 C D．3、2021年7月，占地约2917亩的独秀山公园正式对外全面开放，主办方精心筹建的游乐项目深受广大游客的青睐，其中某两个项目入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（）A ．一支粉笔的长度B ．一支钢笔的长度C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度4、如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若8AC =，12CE =，6BD =，则DF 的值是（）A ．15B ．10C ．14D ．95、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（）cm ．A．4-B．4 C．4 D．4-6、如图， 1B B ，是A ∠一边上的任意两点，作BC AC ⊥于点111C B C AC ⊥，于点1C ．若34BC AC ==，，则111B C AC 的值是( )A．43B．34C．45D．357、如图，一副三角板，AD BC，顶点A重合，将ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是 ( ).A．B．C．D．8、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：OE＝1：3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．209、如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A ．EF •BF ＝DF •CFB ．BE •CD ＝BF •CFC ．AE •AB ＝AD •AC D ．AE •BE ＝AD •DC10、如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB =2米，CD =5米，点P 到CD 的距离是4米，则P 到AB 的距离为（）A ．2.5米B ．1.6米C ．1.5米D ．1.2 米第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，点M 是AB 的中点，点G 是ABC 的重心，则GM 的长为______cm ．2、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ．若AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，则BC 的长为___．3、如图，直角三角形ABC中，90AC=，4∠=︒，3CBC=，D为AB的中点，过点D作AB的垂线，交边BC于点E，若点F在射线ED上（不与E点重合），且由点D、B、F组成的三角形与△ABC相似，则DF的长为________．4、如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对．b=，则a，b的比例中项线段长等于__________．5、已知线段4a=，8三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD 是正方形，当E 、F 分别是AB 、AD 的中点时，则DE 与CF 的数量关系为：，位置关系为：．(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ．求证：DE AD CF CD=． (3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE AD CF CD=成立？并证明你的结论． 2、如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点．(1)联结CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．求证：PC 2＝PE •PF ；(2)若AB 2＝BD •DP ，求证：∠BPC ＝90°．3、感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽； ②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．(1)请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；(2)请以点P为中心，相似比为2，作出△OAB的同向位似图形△O2A2B2．5、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．(1)以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；(2)四边形AA1B1B的面积为．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：当ADAB＝AEAC或ADDB＝AEEC时，DE∥BC，B选项中，ADAB＝23，AEAC＝23，∴ADAB＝AEAC，∴DE∥BC，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，根据相似比等于位似比计算即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，∴将△OCD放大得到△OAB，点A的坐标为（1，2）点C的坐标为（2，4），∴△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，∴12 ABCD=，∵AB=∴CD=故选：D．【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k．3、A【解析】【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离．【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得它们之间的图上距离是155÷2000＝0.0775米＝7.75厘米．大约相当于一支粉笔的长度．故选：A．【点睛】首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．4、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵a b c ∥∥， ∴AC BD CE DF= ， ∵8AC =，12CE =，6BD =， ∴8612DF= ，解得：9DF = ．故选：D【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AP AB ， ∵AB 的长度为8cm ，∴AP×8=4（cm ）．故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中ACAB ．6、B【解析】【分析】先证明1190BCA B C A ∠=∠=︒，再证明11ABCAB C ，最后利用相似三角形的性质得出结果．【详解】解：∵BC AC ⊥，111B C AC ⊥， ∴1190BCA B C A ∠=∠=︒，∵∠A =∠A ，∴11ABC AB C ， ∴111B C BC AC AC=， ∵BC =3，AC =4， ∴11134B C BC AC AC ==．故选B ．【点睛】本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．7、D【解析】【分析】根据一副三角板，得到△ABC中，有一个角为60°，一个角为30°；△ADE为等腰直角三角形；再依据两个角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B，∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意；∵∠ACF=∠E，∴BC∥DE，∴∠AFC=∠D，∴△ACF∽△AED，故B不符合题意；∵∠APC和∠DPE是对顶角，∴∠APC=∠DPE，∵∠C=∠E=90°，∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意；∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数，∴不存在相似三角形．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．8、B【解析】【分析】由位似和平行可找到对应边，由对应边之比可知两图形的相似比，进而得到周长之比，求出周长．【详解】解∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴AD∥EH， ∴13AD OA EH OE ==，即四边形ABCD 与四边形EFGH 相似比为13，∵四边形ABCD 的周长是4，∴EFGH 的周长为12，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的相似比与周长比之间的关系，能够利用相似比求出周长比是解决本题的关键．9、C【解析】【分析】根据条件证明出ABD ACE ∽，根据性质得：AE AC AD AB =，变形即可得到．解：BEC CDB ∠=∠，AEC ADB ∴∠=∠，A A ∠=∠，ABD ACE ∴△∽△，AE AC AD AB∴=， AE AB AD AC ∴=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出ABD ACE ∽．10、B【解析】【分析】过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E ；根据平行线的性质，得PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠；根据相似三角形的性质，证明PAB PCD ∽△△、PAF PCE △∽△，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】如图，过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E∴PE AB ⊥∴90PFA PEC ∠=∠=︒又∵AB //CD∴PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠∴PAB PCD ∽△△ ∴25PA AB PC CD == ∵90PFA PEC ∠=∠=︒，PAB PCD ∠=∠∴PAF PCE △∽△ ∴25PF PA PE PC == ∴224 1.655PF PE ==⨯=米故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．二、填空题1、56【解析】【分析】根据勾股定理AB5=，根据点M 是AB 的中点，得出CM =1 2.52AB =，根据点G 是ABC 的重心，得出GM =1152.5336CM =⨯=即可．解：∵ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，根据勾股定理AB5=，∵点M 是AB 的中点，∴CM =1 2.52AB =， ∵点G 是ABC 的重心，∴GM =1152.5336CM =⨯=，故答案为：56．【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线性质，三角形重心性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线性质，三角形重心性质是解题关键．2、6【解析】【分析】由DE //BC 可得出∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，进而可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质可得出BC DE ＝AB AD ，代入AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4即可求出BC 的长．【详解】解答：解：∵DE //BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴BC DE ＝AB AD ，即4BC ＝32，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3、1.875或103【解析】【分析】分两种情况讨论：①∠DBF =∠ABC ；②∠BFD =∠ABC ，利用三角形相似得出结果．【详解】解：DE ⊥AB ，90C ∠=︒，∴90C BDE ∠=∠=︒，∴AB5， ∵D 为AB 的中点，∴BD =1 2.52AB =，分两种情况讨论：①如图1，若∠DBF =∠ABC ，则△ABC ∽△FBD ， ∴DF BD AC BC =即 2.534DF =，解得：DF =1.875；②如图2，若∠BFD =∠ABC ，则△ABC ∽△BFD ， ∴DF BD CB AC =即 2.543DF =，解得：DF =103；综上所述，DF的长为1.875或103，故答案为1.875或103．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的运用．4、6【解析】【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥DC∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．5、【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】解：设a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，∴c2＝ab＝4×8＝32，解得：c＝c＝−故答案为：【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．三、解答题1、 (1)DE=CF，DE⊥CF(2)见解析(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立，证明见解析【解析】【分析】（1）先判断出AE=DF，进而得出△ADE≌△DCF（SAS），即可得出结论；（2）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；（3）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出DE DFAD DG=，证△CGD ∽△CDF ，得出DF CF DG CD=，即可得出答案． (1) 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A =∠ADC =90°，AD =AB =CD ， ∵点E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE =12AB ，DF =12AD ， ∴AE =DF ，在△ADE 和△DCF 中， AE DF A CDF AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ）， ∴DE =CF ，∠AED =∠DFC ， ∵∠AED +∠ADE =90°， ∴∠ADE +∠DFC =90°， ∴∠DGF =90°，∴DE ⊥CF ，故答案为：DE =CF ，DE ⊥CF ；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A =∠FDC =90°， ∵CF ⊥DE ，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DE AD CF CD=；(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DF DE DG AD=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DF CF DG CD=，∴DE CF AD CD=，∴DE AD CF CD=，即当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．2、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出PC DPPF PB=，PE DPPC PB=，则可得出结论；（2）证明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DCP＝∠BDC，证出∠DPC＝90°，则可得出结论．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，BC∥AD，∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，∴PC DPPF PB=，PE DPPC PB=，∴，PC PE PF PC=，∴PC2＝PE•PF；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠DCB＝90°，∵2·AB BD DP=∴DC2＝BD•DP，∴DC BD DP CD=，又∵∠CDP＝∠BDC，∴△CDP∽△BDC，∴∠DCP＝∠BDC，∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，∴∠DPC＝90°，∴∠BPC＝90°．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3、感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AEDE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合题意，当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）△OAB 关于直线CD 对称的△O 1A 1B 1在CD 的右侧，对应点到CD 的距离相等，所此描点、连线即可得；（2）根据位似图形的性质求作即可．(1)如图所示. △O 1A 1B 1即为所求(2)如图所示，△O2A2B2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．5、 (1)图见解析，A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）(2)7.5【解析】【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求作．观察图形得：A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；(2)解：四边形AA1B1B的面积=3×5-12×1×2-12×1×3-12×2×4-12×1×2=7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查作图-位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．。

八年级数学下册 9.3 相似多边形同步测试题鲁教版五四

相似多边形一．选择题（共10小题）1．（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A．10 B． 12 C．D．（2题图）（7题图）（8题图）2．（2015•长沙一模）两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（）A．1：3 B． 1：9 C． 1：D． 2：33．（2015•石河子校级模拟）两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，那么较大的多边形的面积是（）A．44.8 B． 42 C． 52 D． 544．（2015春•泰山区期末）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．5．（2015春•高密市期末）已知两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，则它的最长边为（）A．15 B． 12 C．9 D． 66．（2014春•冷水江市期末）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（）A．48cm B． 54cm C． 56cm D． 64cm7．（2015•梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A．2：1 B．：1 C． 3：D． 3：28．（2014秋•南京期末）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，如图，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为（）A．2 B． C．D．9．（2013•铜仁市模拟）图中，有三个矩形，其中相似的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．没有相似的矩形10．（2013秋•孟津县期中）下列图形中一定相似的一组是（）A．邻边对应成比例的两个平行四边形B．有一条边相等的两个矩形C．有一个内角相等的两个平行四边形D．底角都是60°的两个等腰三角形二．填空题（共6小题）11．（2015春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y= ，a= ．（11题图）（14题图）（16题图）12．（2015春•凉州区校级月考）若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是．13．（2015春•凉州区校级月考）若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于．14．（2014•甘肃模拟）如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为cm2．15．（2014春•靖远县校级月考）两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则较大的五边形面积是cm2．16．（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n= ．三．解答题（共4小题）17．（2014秋•海口期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．18．（2012春•新浦区校级期中）如图：矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．（1）草坪的长与宽的比值m= ，外围矩形的长与宽的比值n= ．（用含有a、b、x的代数式表示）；（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？19．（2007•宁波）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．20．如图，已知△AEO∽△ABC，△AOF∽△ACD，那么四边形ABCD与四边形AEOF相似吗？请说明你的理由．鲁教版八年级数学下册第9章9.3相似多边形测试题参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．A．3．D．4．B．5．A．6．A．7．B．8．D．9．B．10．D．二．填空题（共6小题）11．63 ，a= 85°．12．5：2 ．13．4：5 ．14．815．54 16．．三．解答题（共4小题）17．解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°﹣（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，∴=，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．18．解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），∴草坪的长与宽的比值m=a：b，外围矩形的长与宽的比值n=（a+2x）：（b+2x）；（2）m﹣n=﹣==，∵a＞b＞0，∴m﹣n=＞0，∴m＞n；（3）若图中的两个矩形相似，则需m=n，∵m＞n，∴图中的两个矩形不相似．故答案为：（1）a：b，（a+2x）：（b+2x）．19．解：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，，∵MN=AB，DM=AD，BC=AD，∴AD2=AB2，∴由AB=4得，AD=4；（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为=．20．解：四边形ABCD与四边形AEOF相似，理由如下：∵△AEO∽△ABC，∴∠2=∠1，∠4=∠3，==，∵△AOF∽△ACD，∴∠6=∠5，∠8=∠7，==，∴∠2+∠6=∠1+∠5，即∠EOF=∠BCD，===．在四边形AEOF与四边形ABCD中，∵∠EAF=∠BAD，∠4=∠3，∠EOF=∠BCD，∠8=∠7，===，∴四边形AEOF∽四边形ABCD，即四边形ABCD与四边形AEOF相似．。

综合解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似综合测试试题(含解析)

八年级数学下册第九章图形的相似综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13-的位似图形△OCD ，则点C 的坐标为（） A ．(1,1)-- B ．4,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．41,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(2,1)--2、如果13a b a -=，那么a b a +的值等于（） A ．53 B ．52 C ．43 D ．23、如图，P 为线段AB 上的一点，分别以AP 、PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P 、E 、C 在一条直线上，60DAP ∠=︒，AP a =，BP b =，若EF 平分CFA ∠，则ab为（）A1 B 3C D 4、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（）cm ．A ．4-B ．4C ．4D ．4-5、若3(0)4x xy y =≠，则下列等式成立的是（） A ．3x ＝4y B ．74x y y += C ．315x y =+ D ．1314x y +=+ 6、下列判断正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．若点C 是AB 的黄金分割点，且6cm AB =，则BC 的长为()3cmD ．如果两个相似三角形的面积比为16：9，那么这两个相似三角形的周长比是4：37、如图，△A 'B 'C '是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若BB '＝2OB '，则A B C '''与ABC 的面积之比为（）A ．1：3B ．1：4C ．1：6D ．1：98、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，且111A B C S ∆＝2，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．8C ．6D ．49、如图，ABC 和DEF 中，A D ∠=∠，则添加下列条件后无法判定ABC DEF ∽△△的是（）A ．B E ∠=∠ B ．C F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =D ．BA BC ED EF= 10、下列各组线段中是成比例线段的是（）A ．2cm,4cm,6cm,6cmB ．2cm,4cm,4cm,8cmC ．4cm,8cm,12cm,16cmD ．3cm,6cm,9cm,12cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD 的边长为2，AC ，BD 交于点O ，点E 为△OAB 内的一点，连接AE ，BE ，CE ，OE ，若∠BEC ＝90°，给出下列四个结论：①∠OEC ＝45°；②线段AE 1；③△OBE ∽△ECO +BE ＝CE ．其中正确的结论有 _____.（填写所有正确结论的序号）2、如图，E ，F 是ABCD 对角线AC 上两点，14AE CF AC ==，连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGH S S △△的值为______．3、在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在44⨯的网格中，ABC 是一个格点三角形，如果DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与ABC 相似且面积最大，那么DEF 与ABC 相似比的值是______．4、已知ABC DEF △△，ABC 与DEF 的面积比为1:2，1BC =，则EF 的长为__________．5、如图，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′，AB ′、AC ′分别交对角线BD 于点E 、F ，若AE =4，则EF •ED 的值为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．(1)若AE ＝3，求ED 的长．(2)求EF 的长．2、如图，ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒，点P 是直线BC 上一动点，连接AP ，分别过B 、C 做直线AP 的垂线，垂足分别为点E 、F ，取BC 的中点Q ，连接QE 、QF ．(1)如图1，若点P 在BC 的延长线上且30P ∠=︒，2PC =，求BC 的长；(2)如将2，若P 是BC 的延长线上任意一点，求证：CE BF +=；(3)如图3，作点C 关于直线AP 的对称点C '，连接QC '，若1AC =，请直接写出当QC 取得最大值时PC 的长．3、如图1，已知等边ABC 的边长为8，点D 在AC 边上，2AD =，点P 是AB 边上的一个动点．(1)连接PC 、PD ．①当AP =______时，APD ACP ∽△△； ②若APD △与BPC △相似，求AP 的长度；(2)已知点Q 在线段PB 上，且2PQ =．①如图2，若APD △与BQC 相似，则ACQ ∠与PDC ∠之间的数量关系是______；②如图3，若E 、F 分别是PD 、CQ 的中点，连接EF ，线段EF 的长是否是一个定值，若是，求出EF 的长，若不是，说明理由．4、如图，线段AB ＝2，点C 是AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），点D （不与C 点，B 点重合）在AB 上，且AD 2＝BD •AB ，那么CD AC＝_____．5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ．(1)求证：AC 2=AB •AD ；(2)若BD=9，AC=6，求AD 的长．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-13即可．【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为-13，而A（4，3），∴A点的对应点C的坐标为（-43，-1），故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．2、A【解析】【分析】根据13a ba-=可得23ba=，根据a ba+=1+ba即可得答案．【详解】∵13a ba-=，∴1-ba=13，∴23b a =， ∴a b a +=1+b a =53，故选：A ．【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．3、D【解析】【分析】过点F 作FN EB ∥，交AB 延长线于N ，根据菱形的性质推出∠FBN =∠CPB =60DAP ∠=︒，证明△PBE 是等边三角形，△BFN 是等边三角形，求出BN=FN=BF=b ，证明△CEF ≌△MEF ，得到EM=CE=a-b ，求出BM=BE-EM =2b-a ，证明△ABM ∽△ANF ，得到AB BM AN NF =，即22a b b a a b b +-=+，化简得2230a ab b +-=，求出a =，即可得到答案．【详解】解：过点F 作FN EB ∥，交AB 延长线于N ，∵四边形APCD 、PBFE 是菱形，∴AD PC ∥∥BF ，∴∠FBN =∠CPB =60DAP ∠=︒，∵四边形PBFE 是菱形，∴PB=PE ，∴∠PBE =∠PEB =60︒，∴∠N =∠PBE =60︒=∠FBN ，△PBE 是等边三角形，∴△BFN 是等边三角形，∴BN=FN=BF=b ，∵EF 平分CFA ∠，∴∠EFC =∠EFM ，∵EF=EF ，∠BEF =∠FEC=60︒，∴△CEF ≌△MEF ，∴EM=CE=a-b ，∵BE=PB=b ，∴BM=BE-EM =2b-a ，∵FN EB ∥，∴△ABM ∽△ANF ， ∴AB BM AN NF=, ∴22a b b a a b b +-=+，得2230a ab b +-=∴a ==， ∵a >0，∴a =，∴a b故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程，是一道几何和代数的综合题，正确引出辅助线并熟练掌握各知识点综合应用是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB，∵AB的长度为8cm，∴AP×8=4（cm）．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB．5、B【解析】【分析】根据比例的基本性质逐一判断即可．【详解】解：∵3(0)4xxyy=≠，∴4x=3y，A、3x=4y，不符合题意；B、74x yy+=，∴4x+4y=7y，即4x=3y，符合题意；C、315xy=+，∴5x=3y+3，不符合题意；D、1314xy+=+，∴4x+4=3y+3，即4x+1=3y，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．6、D【解析】【分析】直接利用矩形的判定方法以及相似多边形的性质、黄金分割的性质分别判断得出答案．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、若点C是AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长约为3)cm或cm，故此选项错误；D 、如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了矩形的判定方法以及相似多边形的性质、黄金分割的性质，正确掌握相关性质是解题关键．7、D【解析】【分析】先根据2BB OB ''=可得13OB OB '=，再根据位似图形的性质可得A B AB ''∥，A B C ABC '''△，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】解：2BB OB ''=，13OB OB =∴'， A B C '''与ABC 是位似图形，A B AB ''∴，A B C ABC '''△，OA B OAB ''∴， 13OB A B AB OB ''∴='=，则A B C '''与ABC 的面积之比为2()11:99A B AB ''==，故选：D ．【点睛】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．8、B【解析】【分析】依题意，依据位似三角形的性质，可得对应三角形的相似比，又结合面积比为相似比的平方，即可求解．【详解】解：由题知，ABC ∆和111A B C ∆是以点为位似中心的位似三角形，∴ 1:OC OC 为111A B C ∆和ABC ∆的相似比；又1C 为OC 的中点， ∴ 11:2OC OC =；又结合相似三角形的性质可得：111211()4A B C ABC S OC S OC ∆∆==，又1112A B C S ∆=； ∴8ABC S ∆=故选：B ．【点睛】本题主要考查位似三角形及相似三角形的性质，关键在熟练应用数形结合的方式分析解答．9、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵A D ∠=∠，B E ∠=∠，∴ABC DEF ∽△△ ，故选项A 不符合题意；∵A D ∠=∠，C F ∠=∠，∴ABC DEF ∽△△，故选项B 不符合题意；∵A D ∠=∠，AB AC DE DF=， ∴ABC DEF ∽△△，故选项C 不符合题意； ∵BA BC ED EF=，但,B E ∠∠不一定相等， ∴,ABC DEF 不一定相似，则添加BA BC ED EF=条件后无法判定ABC DEF ∽△△；故选项D 符合题意．故选D ．【点睛】本题考查条件条件使两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理，两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，夹角对应相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似是解题关键．10、B【解析】【分析】根据成比例线段的定义和性质，即可求解．【详解】解：A 、因为2646⨯≠⨯ ，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；B 、因为2844⨯=⨯，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；C 、因为416812⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；D 、因为31269⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段a b c d ,,, ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．二、填空题1、①②④【解析】【分析】通过证明点E ，点B ，点C ，点O 四点共圆，可得∠OEC =∠OBC =45°，故①正确；由题意可得点E 在直径为BC 的圆上，当点E 在AF 上时，AE 有最小值，由勾股定理可得AE 1，故②正确；由圆周角定理可得∠BOE ≠∠OEC ，则∠COE ≠∠BEO ，即△OBE 与△ECO 不相似，故③错误；由“SAS ”可证△COH ≌△BOE ，可得BE =CH ，由线段的和差关系EC =BE ，故④正确，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOC =90°，∠ACB =∠DBC =45°，∵∠BEC =90°，∴∠CEB=∠BOC，∴点E，点B，点C，点O四点共圆，∴∠OEC=∠OBC=45°，故①正确；∵∠BEC=90°，∴点E在直径为BC的圆上，如图，取BC的中点F，连接AF，EF，∴EF=BF=FC=1，在△AFE中，AE＞AF-EF，∴当点E在AF上时，AE有最小值，此时：AF∴AE1，故②正确；∵点E，点B，点C，点O四点共圆，∴∠BOE=∠BCE＜∠BCO=45°，∠OEC=∠CBO=45°，∴∠BOE≠∠OEC，∴∠COE≠∠BEO，∴△OBE与△ECO不相似，故③错误；如图，过点O作OH⊥OE，交CE于H，∵OH⊥OE，∠OEC=45°，∴∠OEC=∠OHE=45°，∴OE=OH，∴EH OE，∵∠EOH=∠BOC=90°，∴∠BOE=∠COH，又∵OB=OC，∴△COH≌△BOE（SAS），∴BE=CH，∴EC=BE+EH=BE，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2、34##0.75【解析】【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得2239()()24ADCBACBGH BGH SS BA S S BG ====，13ADGADC S S =，由此即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD =BC ，DC =AB ，∵AC =CA ，∴△ADC ≌△CBA （SAS ），∴S △ADC =S △ABC ，∵AE =CF =14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ， ∴AG ：DC =AE ：CE =1：3，CH ：AD =CF ：AF =1：3，∴AG ：AB =CH ：BC =1：3，∴BG ：BA =BH ：BC ，∵∠B =∠B ，∴△BGH ∽△BAC ，∴2239()()24ADC BAC BGH BGH SS BA SS BG ====， ∵13ADGADC SS =， ∴913444ADGBGH S S =⨯=，故答案为：34．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【解析】【分析】根据表格求出ABC 的三边长，作出DEF ，求出DEF 的三边长，然后对应的边作比可得比值相等，两个三角形相似，相似比即为对应边的比，此时面积是最大的．【详解】解：由表格可得：AB ==2BC =，AC =，如图所示：作DEF ，2DE DF ==，EF =∵DE DF EF AB BC AC===∴DEF 与ABC【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．4【分析】利用相似三角形的性质可得21,2ABC DEF S BC S EF 再把1BC =代入解方程即可.【详解】解： ABC DEF △△，ABC 与DEF 的面积比为1:2， 21,2ABC DEF SBCS EF1BC =，22,EF解得：EF =【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解本题的关键.5、16【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠BAC =∠ADB =45°，根据旋转的性质得到∠EAF =∠BAC =45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =∠ADB =45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE=，∴EF•ED=AE2，∵AE=4，∴EF•ED的值为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．三、解答题1、 (1)9 2(2)12 5【解析】【分析】（1）证明AEB DEC∆∆∽，得到AE ABDE CD=，把已知数据代入计算即可；（2）根据BEF BCD∆∆∽，得到EF BFCD BD=，同理得到EF DFAB BD=，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【小题1】解：//AB CD ，AEB DEC ∴∆∆∽， ∴AE AB DE CD =， 4AB =，6CD =，3AE =， ∴346DE =，解得：92DE =；【小题2】 //CD EF ，BEF BCD ∴∆∆∽， ∴EF BF CD BD=，同理：EF DF AB BD=， ∴1EF EF BF DF CD AB BD BD+=+=， ∴164EF EF +=，解得：125EF =．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2、 (1)BC =2；(2)见详解；(3)PC【解析】【分析】（1）在EA 上截取GE =PE ，连结CG ，根据∠COE =30°，CE ⊥PG ，得出∠PCE =90°-∠CPE =90°-30°=60°，根据等腰直角三角形性质得出∠ACB =∠ABC =45°，证明△PCE ≌△GCE （SAS ），再证CG =AG =2，利用勾股定理即可求解；（2）证明：连结AQ ，先证△QCA 等腰直角三角形；再证△CEA ≌△AFB （AAS ），得出CE =AF ，EA =BF ，可证△CEA ≌△AFB （AAS ），最后证明△QEF 为等腰直角三角形即可；（3）当QC′⊥AC 时QC′最大，根据QC =AQ ，可得QC′为AC 的垂直平分线，再证△C′CA 为等边三角形，可求∠ABF =90°-∠BAF =90°-60°=30°，得出AF =12AB ，BFAB =，根据AB =AC =1，求出BCAF =1122AB =，BFAB ==PC 为m ，PB =PC +BC =mPCE ∽△PBF ，得出PC CE PB BF=1= (1)解：在EA 上截取GE =PE ，连结CG ，∵∠CPE =30°，CE ⊥PG ，∴∠PCE =90°-∠CPE =90°-30°=60°，∵ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ECA =180°-∠PCE -∠ACB =180°-60°-45°=75°，在△PCE 和△GCE 中，CE CE PEC GEC PE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PCE≌△GCE（SAS），∴∠PCE=∠GCE=60°，CP=GC=2，∴∠GCA=∠ECA-∠GCE=75°-60°=15°，∵∠CGE=90°-∠GCE=90°-60°=30°，∴∠GAC=∠CGE-∠ECG=30°-15°=15°，∴CG=AG=2，在Rt△CEG中，EG=∴EA=EG+AG2，==；∴BC2，(2)证明：连结AQ，∵点Q为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，∴QC=QA=QB，∠QCA=∠QAB=45°，AQ⊥BC，∵CE⊥EF，BF⊥EF，∠CAB=90°，∴∠CEA=∠AFB=∠CAB=90°，∴∠ECA +∠CAE =∠CAE +∠FAB =90°，∴∠ECA =∠FAB ，在△CEA 和△AFB 中，CEA AFB ECA FAB AC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴CE =AF ，EA =BF ，∴EF =AE +AF =BF +EC ，∵∠ECA +45°=∠FAB +45°，即∠QCE =∠QAF ，在△CEQ 和△AFQ 中，QC QA ECQ FAQ CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴QE =QF ，∠CQE =∠AQF ，∵∠EQA +∠AQF =∠EQA +∠CQE =90°，∴△QEF 为等腰直角三角形，∴EF，∴CE BF +=；(3)当QC′⊥AC 时QC′最大，∵QC =AQ ，∴QC′为AC 的垂直平分线，∴CC′=C′A =AC =1，∴△C′CA 为等边三角形，∵点C 关于直线AP 的对称点C '，∴AP 平分∠CAC′，CE =CE =12，∴∠CAE =30°，∴∠BAF =180°-∠CAE -∠BAC =180°-30°-90°=60°，∵BF ⊥EF ，∴∠ABF =90°-∠BAF =90°-60°=30°，∴AF =12AB ，BF AB =， ∵AB =AC =1，∴BC=AF =1122AB =，BF AB ==设PC 为m ，PB =PC +BC =m ，∵BF ⊥EF ，CE ⊥EF ，∴CE∥BF ，∴△PCE ∽△PBF ， ∴PC CE PB BF=1=解得m = 经检验符合题意．【点睛】本题考查30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，解分式方程，轴对称性质，掌握以上知识是解题关键．3、 (1)①4；②4或1.6(2)①120ACQ PDC ∠+∠=︒或120PDC ACQ ∠-∠=︒【解析】【分析】（1）①根据相似三角形的判定，列出比例式求解即可；②分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；（2）①根据相似三角形对应角相等，得出BCQ APD ∠=∠或BCQ ADP ∠=∠，再结合等边三角形的性质求解即可；②连接QE 并延长，使QE =EG ，连接DG ，CG ，作AH ⊥BC 于H ，GI ⊥BC 于I ，求出CG 长即可．(1)解：①∵A A ∠=∠，当AP AD AC AP=时，APD ACP ∽△△； ∵等边ABC 的边长为8，2AD =，28AP AP=，解得，4AP =（负值舍去），故答案为：4；②当APD BPC ∽△△时， AP AD BP BC=，即288AP AP =-，解得， 1.6AP =；当APD BCP ∽△△时， AP AD BC BP =，即288AP AP=-，解得，4AP =； AP 的长度为4或1.6．(2)解：①当APD BQC ∽△△时，BCQ ADP ∠=∠，∴180PDC BCQ ∠+∠=︒，∵60BCQ ACQ ∠=︒-∠，∴120PDC ACQ ∠-∠=︒；当APD BCQ ∽△△时，BCQ APD ∠=∠，∵60PDC APD ∠=︒+∠，∴60PDC BCQ ∠=︒+∠，∵60BCQ ACQ ∠=︒-∠，∴120ACQ PDC ∠+∠=︒；故答案为：120ACQ PDC ∠+∠=︒或120PDC ACQ ∠-∠=︒；②线段EF 的长是一个定值，理由如下：连接QE 并延长至G ，使QE =EG ，连接DG ，CG ，作AH ⊥BC 于H ，GI ⊥BC 于I ，∵QE =EG ，PE =DE ，∠PEQ =∠DEG ，∴△PEQ ≌△DEG ，∴DG =PQ =2，∠QPE =∠GDE ，∴DG =AD =2，QP ∥GD ，∴∠DAP =∠GDA =60°，∴△GDA 是等边三角形，∴∠DAG =∠ACB =60°，GA =2，∴GA ∥BC ，∵AH ⊥BC ，GI ⊥BC ，∴HA ∥GI ，∴四边形HAGI 是平行四边形，∴GA = HI =2，∵∵AH ⊥BC ，∴HC =4，HI =2，AH==GI=CG∵F分别是CQ的中点，∴GC=2EF，∴EF=【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质进行推理计算．4【解析】【分析】利用黄金分割的定义求出AD和BC，再求出CD和AC，即可得解．【详解】解：∵点D在AB上，且AD2＝BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点，∴AD AB 1，又∵点C 是AB 的黄金分割点，AC ＜BC ，∴BC AB 1，∴CD =AD +BC -AB =4-，∴AC =AD -CD =3∴CD AC ，．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．5、 (1)见解析(2)AD 的长为3．【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ∽Rt △ABC ，然后利用相似比可得到结论；（2）由AC 2=AB •AD 得到62=（AD +9）•AD ，则可求出AD =3．(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵∠DAC =∠CAB ，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD；(2)解：∵AC2=AB•AD，BD=9，AC=6，∴62=（AD+9）•AD，整理得AD2+9AD-36=0，解得AD=-12（舍去）或AD=3，∴AD的长为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章综合测试卷含答案

鲁教版（五四制）八年级数学下册第九章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·济南槐荫区期末】已知2x ＝3y (xy ≠0)，则下列比例式成立的是( )A ．x 2＝3yB ．x 3＝y 2C ．x y ＝23D ．y x ＝322．【2023·聊城一模】如图是某商店售卖的花架简图，其中AD ∥BE ∥CF ，DE ＝24 cm ，EF ＝40 cm ，BC ＝50 cm ，则AB 长为( ) A ．803 cmB ．1003 cmC ．50 cmD ．30 cm3．若y x ＝23，则y －x y ＋x的值为( )A ．35B ．15C ．－15D ．254．【2023·菏泽牡丹区期末】如图所示，在△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( ) A ．AD DB ＝DEBCB ．BF BC ＝EFADC ．AE EC ＝BFFCD ．EF AB ＝DE BC5．【2023·济南历城区月考】如图，△ABC 的两条中线BE ，CD 交于点O ，则下列结论不正确的是( ) A ．ED BC ＝12B ．AD AB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △DOE ∶S △COB ＝1∶26．如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对D ．3对7．【2023·青岛期中】两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm，6 cm，若它们的面积和是78 cm2，则较大的五边形的面积是()A．42 cm2B．44.8 cm2C．52 cm2D．54 cm28．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′相似比为1∶2，若点A的坐标为(2，3)，则点A′的坐标为() A．(1，1.5)或(－1，－1.5) B．(4，6)或(－4，－6)C．(－4，6)或(4，－6) D．(－1，1.5)或(1，－1.5) 9．【2023·徐州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB＝DEBC，则AE的长为()A．1 B．2 C．1或32D．1或210．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB．其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为()A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝5，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝4.若以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为()A．103B．135C．135或103D．125或5312．【2023·东营】如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC ，垂足为N ，连接PM .有下列四个结论： ①AE 垂直平分DM ；②PM ＋PN 的最小值为32；③CF 2＝GE ·AE ； ④S △ADM ＝6 2. 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①③二、填空题(每题3分，共18分) 13．若2a －b a ＋b＝34，则b a ＝________．14．【2023·青岛即墨区期末】黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8 m ，则宽约为________m ．(结果精确到0.1)15．【2023·江西】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB ＝40 cm ，BD ＝20 cm ，AQ ＝12 m ，则树高PQ ＝________m.16．已知a 2＝b 3＝c5，且a ＋b ＋c ≠0，则2a ＋3b －2c a ＋b ＋c＝________.17．【2023·广东】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．18．【2023·山东日照期末】如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ ＝12，当AQ ＝________时，△AQD 与△BCP 相似．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．(1)若x3＝y5＝z7，求x－y＋zx＋y－z的值．(2)若a＋23＝b4＝c＋56，且2a－b＋3c＝21，求a∶b∶c.20．【2023·淄博淄川区期末】如图，一个矩形的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a 的值．21．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥A C．若DE＝5，DF＝3，CE＝A D．(1)求AD的值．(2)求AEBE的值．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上．(1)以坐标原点O为位似中心，在第四象限将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1.(2)在(1)的条件下，若△ABC内的点P(2，－1)位似的对应点为点Q，则点Q的坐标为________．23．【2023·邵阳】如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．24．【情境题】小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1 m到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15 m放在D处(即AD＝15 m)，从点D处向后退1.6 m，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74 m，请根据题中提供的相关信息，求出该塔的高度MN(平面镜大小忽略不计)25．【2023·枣庄滕州市一模】如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F点处，延长FE，交DC延长线于点G.(1)求证：△DFG∽△F AD．(2)若菱形ABCD的边长为5，AF＝3，求BE的长．答案一、1．B2．D 【点拨】∵AD ∥BE ∥CF ，∴DE EF ＝AB BC ，即2440＝AB50，∴AB ＝30 cm. 3．C 【点拨】∵y x ＝23，∴y －x x ＝－13，y ＋x x ＝53，∴y －x ＝－x 3，y ＋x ＝53x ，∴y －x y ＋x＝－x 3÷53x ＝－15. 4．C 【点拨】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE ＝BF ，BD ＝EF .∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴AD AB ＝AE AC ＝BF BC ，EF AB ＝CE AC ＝CFCB .∵EF ∥AB ， ∴AE EC ＝BF FC .5．D 【点拨】由题易知AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴ED BC ＝12，A 选项结论正确，不符合题意；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC ，B 选项结论正确，不符合题意；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，C 选项结论正确，不符合题意；∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，∴S △DOE ∶S △COB ＝1∶4，D 选项结论错误，符合题意．6．D 【点拨】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，易知△EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，故有3对相似三角形． 7．D 【点拨】∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm ，6 cm ，∴这两个相似五边形的相似比为2∶3.设较大的五边形的面积为x cm 2，则较小的五边形的面积为(78－x )cm 2，∴78－x x ＝(23)2，解得x ＝54，即较大的五边形的面积为54 cm 2.8．B 【点拨】在同一象限内，∵△ABC 与△A ′B ′C ′是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比是1∶2，点A 的坐标为(2，3)，∴则点A ′的坐标为(4，6)；不在同一象限内，∵△ABC 与△A ′B ′C ′是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比是1∶2，点A 的坐标为(2，3)，∴则点A ′的坐标为(－4，－6)，故选B.9．D 【点拨】在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴AC ＝2BC ＝4，AB ＝23，∠C ＝60°.∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝ 3.∵AD AB ＝DEBC ，∴DE ＝1.如图①，当∠ADE ＝90°时，∵∠ADE ＝∠ABC ，AD AB ＝DE BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB ＝12，∴AE ＝2；如图②，当∠ADE ≠90°时，取AC 的中点H ，连接DH .∵点D 是AB 中点，点H 是AC 的中点，∴DH ∥BC ，DH ＝12BC ＝1，∴∠AHD ＝∠C ＝60°，DH ＝ DE ＝1，∴∠DEH ＝60°，∴∠ADE ＝∠A ＝30°，∴AE ＝DE ＝1，故选D. 10．C 【点拨】由于∠A 公用，因此条件①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；④AC 2＝AD ·AB 都能够单独判定△ABC ∽△ACD ，共3个．11．C 【点拨】当△CDE ∽△CBA 时，∴CD ∶CB ＝CE ∶CA .∵BC ＝6，BD ＝4，∴CD ＝BC －DB ＝2.∵AC ＝5，∴2∶6＝CE ∶5，∴CE ＝53，∴AE ＝AC －CE ＝103；当△CDE ∽△CAB 时，∴DC ∶CA ＝CE ∶BC ，∴2∶5＝CE ∶6，∴CE ＝125，∴AE ＝AC －CE ＝135.综上AE 的长度为135或103.12．D 【点拨】①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝BC ，∠ADC ＝∠DCB ＝90°.∵BF ＝CE ，∴BC －BF ＝DC －CE ，即CF ＝DE ，在△ADE 和△DCF 中，⎩⎨⎧AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ，DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF (SAS)，∴∠DAE ＝∠CDF .∵∠CDF ＋∠ADG ＝90°，∴∠DAE ＋∠ADG ＝90°， ∴∠AGD ＝90°，∴∠AGM ＝90°，∴∠AGM ＝∠AGD .∵AE 平分∠CAD ， ∴∠MAG ＝∠DAG .又∵AG 为公共边，∴△AGM ≌△AGD (ASA)，∴GM ＝GD .又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD 与AC交于点O，交AG于点H，连接HM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM.∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM＋PN的值最小，此时PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN 的最小值是DO的长．∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝42，∴DO＝12BD＝22，即PM＋PN的最小值为22，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADC.又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴DEAE＝GEDE，即DE2＝GE·AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE·AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4.又∵DO＝22，∴S△ADM＝12AM·DO＝12×4×22＝42，故④错误．综上，正确的是①③.二、13．57【点拨】∵2a－ba＋b＝34，∴4(2a－b)＝3(a＋b)，∴a＝7b5，∴ba＝b7b5＝57.14．1.1【点拨】设窗户的宽为x m．∵窗户的宽和长的比是黄金比，∴x1.8≈0.618，∴x≈1.1，∴宽约为1.1 m.15．6【点拨】由题意可得，BC∥PQ，AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，∴∠ABC＝∠AQP，∠ADB＝∠APQ，∴△ABD∽△AQP，∴ABBD＝AQQP，即4020＝12QP，解得QP＝6 m，∴树高PQ＝6 m.16．310【点拨】设a2＝b3＝c5＝k(k≠0)，∴a＝2k，b＝3k，c＝5k，∴2a＋3b－2ca＋b＋c＝2×2k＋3×3k－2×5k 2k＋3k＋5k ＝3 10.17．15【点拨】如图，∵BF∥DE，∴∠ABF＝∠ADE，∠AFB＝∠AED，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD＝BFDE.∵AB＝4，AD＝4＋6＋10＝20，DE＝10，∴4 20＝BF10，∴BF＝2，∴GF＝6－2＝4.∵CK∥DE，∴∠ACK＝∠ADE，∠AKC＝∠AED，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD＝CKDE.∵AC ＝4＋6＝10，AD ＝20，DE ＝10，∴1020＝CK 10，∴CK ＝5，∴HK ＝6－5＝1，∴阴影梯形的面积＝12(HK ＋GF )·GH ＝12×(1＋4)×6＝15.18．514或1或32 【点拨】∵等边三角形ABC 的边长为3，∴AB ＝BC ＝3，∠A ＝∠B ＝60°.设AQ ＝x ，则BP ＝3－12－x ＝52－x .△AQD 与△BCP 相似分两种情况：①当△AQD ∽△BCP 时，AQ BC ＝AD BP ，即x 3＝1252－x，解得x 1＝1，x 2＝32，经检验，x 1＝1，x 2＝32均为原方程的解，且符合题意；②当△AQD ∽△BPC 时，AQ BP ＝AD BC ，即x 52－x＝123，解得x ＝514，经检验，x ＝514是原方程的解，且符合题意．综上所述，AQ 的长是514或1或32.三、19．【解】(1)设x 3＝y 5＝z 7＝k (k ≠0)，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝7k ，∴x －y ＋z x ＋y －z ＝3k －5k ＋7k 3k ＋5k －7k＝5. (2)设a ＋23＝b 4＝c ＋56＝k (k ≠0)，则a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5，∴2(3k －2)－4k ＋3(6k －5)＝21，解得k ＝2，∴a ＝6－2＝4，b ＝8，c ＝7， ∴a ∶b ∶c ＝4∶8∶7.20．【解】∵每个小矩形与原矩形相似，∴1a ＝13a 1，解得a ＝3或－3(舍去)，∴a ＝ 3.21．【解】(1)设CE ＝AD ＝x .∵EF ∥AC ，∴DE CE ＝DF AF ，∴5x ＝3x －3，解得x ＝7.5. ∴AD ＝7.5.(2)∵AD ＝7.5，∴AF ＝4.5.∵EF ∥DB ，∴AE BE ＝AF DF ＝4.53＝32.22．【解】(1)如图，△A 1B 1C 1即为所作．(2)(4，－2)23．(1)【证明】∵CA ⊥AD ，ED ⊥AD ，CB ⊥BE ，∴∠A ＝∠CBE ＝∠D ＝90°，∴∠C ＋∠CBA ＝90°，∠CBA ＋∠DBE ＝90°，∴∠C ＝∠DBE ，∴△ABC ∽△DEB . (2)【解】∵△ABC ∽△DEB ，∴AC BD ＝AB DE ，∴6BD ＝84，∴BD ＝3.24．【解】根据题意得∠BAC ＝∠NAM ，∠ABC ＝∠MNA ＝90°，∴Rt △AMN ∽Rt △ACB ，∴MN BC ＝AN AB ，即MN 1.74＝AN 1①； ∵∠EDF ＝∠NDM ，∠DEF ＝∠MND ＝90°，∴Rt △MND ∽Rt △FED ，∴MN EF ＝DN DE ，即MN 1.74＝15＋AN 1.6②，由①②得AN 1＝15＋AN 1.6，解得AN ＝25 m ，∴MN 1.74＝251，解得MN ＝43.5 m ，∴该塔的高度MN 为43.5 m.25．(1)【证明】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠A ＝∠BCD .由折叠知∠DFG ＝∠BCD ，∴∠A ＝∠DFG .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠FDG .∴△DFG ∽△F AD .(2)【解】由翻折知DF ＝DC ＝5.∵△DFG ∽△F AD ，∴DG DF ＝DF AF ＝FG AD ，即DG 5＝53＝FG 5，∴DG ＝253＝FG ，∴CG ＝DG －DC ＝103.∵AB ＝5，AF ＝3，∴BF ＝2.∵CG ∥BF ，∴易得△CGE ∽△BFE ，∴CE BE ＝CG BF ＝1032＝53，∴CE ＝53BE .∵CE ＋BE ＝BC ＝5，∴83BE ＝5，∴BE ＝158.。

综合解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专项测评试题(含详细解析)

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm 2，则较大多边形的面积为（）A ．16cm 2B ．54cm 2C ．32cm 2D ．48cm 22、已知2x ＝3y （x ≠0），则下列比例式成立的是（）A ．23xy = B ．32x y = C ．23x y = D ．23xy = 3、已知梯形ABCD 的对角线交于O ，AD ∥BC ，有以下四个结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽△BOC ；③S △COD ：S △AOD ＝BC ：AD ；④S △COD ＝S △AOB ；正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图，已知123l l l ∥∥，若1AB =，2BC =， 1.5DE =，则EF 的长为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．35、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（）cm ．A ．4-B ．4C ．4D ．4-6、如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若8AC =，12CE =，6BD =，则DF 的值是（）A ．15B ．10C ．14D ．97、如图，E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，连接BE ，BD ，分别交对角线AC 于点F ，O ．则AF ：FO ：OC ＝（）A ．2：1：3B ．3：2：5C ．4：2：7D ．5：3：88、如图，已知AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，点G 是BD 的中点，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，如果AD ＝1，BC ＝4，那么GE ：BC 等于（）A ．3：8B ．1：4C ．3：5D ．2：39、如图，∥DE BC ，则下列比例式错误的是（）A ．ADDEBD BC = B ．AE ADEC BD =C ．AB ACBD EC = D ．AD AEAB AC =10、如图，已知AB CD EF ∥∥，:3:5AD AF =，12BE =，那么BC 的长等于（）A．2 B．4 C．4.8 D．7.2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知3x yx-=，则yx=______．2、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝_________________．3、如图，点E是ABC的重心，EFG和ABC是以点D为位似中心的位似图形，则EFG与ABC 的面积之比为___________．4、如图，正方形ABCD的边长为2，AC，BD交于点O，点E为△OAB内的一点，连接AE，BE，CE，OE，若∠BEC＝90°，给出下列四个结论：①∠OEC＝45°；②线段AE1；③△OBE∽△ECO+BE＝CE．其中正确的结论有 _____.（填写所有正确结论的序号）5、如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′、AC′分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF•ED的值为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC．(1)求证：△DAF∽△CAE．(2)求证：DFDE＝CECB．2、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．(1)根据题意知：CQ＝，CP＝；（用含t的代数式表示）(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的18？(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？3、如图，已知矩形ABCD中，BE AC⊥于点E，BE．(1)若3AE ，求CE的长；(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．4、如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°．(1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值．(2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．(3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝2．当AG绕着点G运动时，求CQ的最大值．5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得18916S=，计算求解即可．【详解】解：设较大多边形的面积为S由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16∴18916 S=解得32S=故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似比的关系．2、B【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．【详解】解：A.变成等积式是：3x=2y，故错误；B.变成等积式是：2x=3y，故正确；C.变成等积式是：3x=2y，故错误；D.变成等积式是：3x=2y，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式对各选项进行一一判断即可．【详解】解：∵AD∥BC，∵∠BAO不一定等于∠CDO，∴△AOB与△COD不一定相似，①错误；△AOD∽△BOC，②正确；∴S△DOC：S△AOD＝CO：AO＝BC：AD，③正确；S△COD＝S△AOB，④正确，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和判定、梯形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，可得EF BC DE AB =，代入数值进行计算即可【详解】解：123l l l ∥∥ ∴EF BC DE AB =， 1AB =，2BC =， 1.5DE =， ∴21.51EF =，解得：3EF =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AP AB ， ∵AB 的长度为8cm ，∴AP ×8=4（cm ）．故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC AB ．6、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵a b c ∥∥， ∴AC BD CE DF= ， ∵8AC =，12CE =，6BD =， ∴8612DF= ，解得：9DF = ．故选：D【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据矩形的性质可得AD//BC，AD=BC，OA=OC=12AC，可得△AEF∽△CBF，由E是AD的中点，即可得出12AFCF=，可得AF=13AC，根据线段的和差关系可得OF=16AC，进而可得答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，OA=OC=12AC，∴△AEF∽△CBF，∵E是AD的中点，∴AE=12AD，∴12 AF AE AECF BC AD===，∴AF=13 AC，∴OF=OA-AF=12AC-13AC=16AC，∴AF：FO：OC＝13AC：16AC：12AC=2：1：3，故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．8、A【解析】【分析】根据题意由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，点G是BD的中点，设OD=x，OB=4x，则BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，∴OD：OB=AD：BC=1：4，∴设OD=x，OB=4x，则BD=5x，∵点G是BD的中点，BD=2.5x，∴BG=12∴OG=OB-BG=4x-2.5x=1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC=OG：OB=1.5x：4x=3：8．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解决此题的关键是设未知数将OG、OB表示出来．9、A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．【详解】解：∵DE //BC ， ∴,,AD AE AB AC AD AE BD EC BD EC AB AC===； ∴A 错误；故选：A ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．10、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC AD BE AF ==，即可求出BC ．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ， ∴35BC AD BE AF ==，即3125BC =，解得：BC ＝7.2；故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．二、填空题1、13【解析】【分析】利用比例的基本性质，进行计算即可．【详解】解：30x y x-=， 30x y ∴-=，3x y ∴=， ∴13=y x ，故答案为：13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．2、103##133 【解析】【分析】根据AC 2＝AD •AB 可以得到△ACD ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比等于相似比和已知边的长求未知边即可．【详解】解：∵AC 2＝AD •AB ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC CD AB BC= ∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，∴564CD = 解得：CD ＝103，故答案为103．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，解题的关键是利用已知条件证得两个三角形相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求得结论．3、1：9．【解析】【分析】根据位似图形的概念得到EFG ∽ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵点E 是ABC 的重心，∴点E 是AD 的三等分点， ∴13DE DA =， ∵EFG 和ABC 是以点D 为位似中心的位似图形，∴EFG ∽ABC ，EF ∥AB ， ∴13DE EF DA AB ==， ∴21()9EFG ABC S EF S AB ==，故答案为：1：9．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．4、①②④【解析】【分析】通过证明点E，点B，点C，点O四点共圆，可得∠OEC=∠OBC=45°，故①正确；由题意可得点E在直径为BC的圆上，当点E在AF上时，AE有最小值，由勾股定理可得AE1，故②正确；由圆周角定理可得∠BOE≠∠OEC，则∠COE≠∠BEO，即△OBE与△ECO不相似，故③错误；由“SAS”可证△COH≌△BOE，可得BE=CH，由线段的和差关系EC=BE，故④正确，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠ACB=∠DBC=45°，∵∠BEC=90°，∴∠CEB=∠BOC，∴点E，点B，点C，点O四点共圆，∴∠OEC=∠OBC=45°，故①正确；∵∠BEC=90°，∴点E在直径为BC的圆上，如图，取BC的中点F，连接AF，EF，∴EF=BF=FC=1，在△AFE中，AE＞AF-EF，∴当点E在AF上时，AE有最小值，此时：AF∴AE1，故②正确；∵点E，点B，点C，点O四点共圆，∴∠BOE=∠BCE＜∠BCO=45°，∠OEC=∠CBO=45°，∴∠BOE≠∠OEC，∴∠COE≠∠BEO，∴△OBE与△ECO不相似，故③错误；如图，过点O作OH⊥OE，交CE于H，∵OH⊥OE，∠OEC=45°，∴∠OEC=∠OHE=45°，∴OE=OH，∴EH OE，∵∠EOH=∠BOC=90°，∴∠BOE=∠COH，又∵OB=OC，∴△COH≌△BOE（SAS），∴BE=CH，∴EC=BE+EH=BE，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5、16【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴EF•ED=AE2，∵AE=4，∴EF•ED的值为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）首先证明△EAF∽△EAB，得∠AEF＝∠B，再利用三角形内角和定理知∠D＝∠C，从而证明结论；（2）先证明△DAE∽△CAB，再根据△DAF∽△CAE，从而可得AD DFAC EC=，ED DABC AC=，等量代换即可．(1)证明： AE2＝AF•AB，∴EA FA BA AE=，∴∠EAF＝∠BAE，∴△EAF∽△BAE，∴∠AEF＝∠B，又∵∠DAE＝∠BAC，∴∠D＝∠C，又∵∠DAF＝∠CAE，∴△DAF∽△CAE；(2)∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠C，∴△DAE∽△CAB，∴ED DA BC AC=，∵△DAF∽△CAE，∴AD DF AC EC=，∴DE DF BC EC=，∴DF CE DE CB=．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2、 (1)t，4﹣2t(2)32或12(3)65或1611秒【解析】【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．(1)解：AC=3cm，BC=4cm，根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，故答案为：t，4-2t；(2)解：当△CPQ的面积等于△ABC面积的18时，即12（4-2t）•t=18×12×3×4，解得；t=32或t=12；答：经过32或12秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的18；(3)解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则AC QCBC PC=，即3442tt=-，解得t=65；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则PC ACQC BC=，即4234tt-=，解得t=1611；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或1611秒．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．3、 (1)6CE=(2)见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及等角的余角相等可得ABE BCE ∠=∠，进而可得ABE BCE △∽△，列出比例式代入数值，即可求得CE ；（2）根据题意点C 关于AD 的对称点为F ，由（1）可得2CE AE =，根据对称可得C ，D ，F 三点共线，进而根据矩形的性质可得//AB CD ，AB CD =，证明ABE CFE ∽△△，得到90CEF AEB ∠=∠=︒，即可证明180CEF BEC ∠+∠=︒，即B ，E ，F 三点共线.(1)∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒.90ABE CBE ∴∠+∠=︒BE AC ⊥，90AEB BEC ∴∠=∠=︒.90BCE CBE ∴∠+∠=︒，ABE BCE ∴∠=∠，ABE BCE ∴△∽△，AE BE BE CE∴=.3AE =，BE =，BE ∴=CE=. 6CE ∴=.(2)由（1）得AE BE BE CE=. 2BE =， 2CE =.2CE AE ∴=.∵点C 与点F 关于AD 对称，90FDA CDA ∴∠=∠=︒，CD FD =.180FDA CDA ∠+∠=︒，∴C ，D ，F 三点共线．2CF CD ∴=．∵四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AB CD =.BAE FCE ∴∠=∠，2CF AB =.BAE FCE ∠=∠，2CE CF AE AB==. ABE CFE ∴△∽△ 90CEF AEB ∴∠=∠=︒.90BEC =︒∠，180CEF BEC ∴∠+∠=︒∴B ，E ，F 三点共线.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．4、 (1)4(2)见解析(3)2【解析】【分析】（1）连CD ，取BC 中点E ，连DE ，根据BCD ∆为30°的直角三角形，得出CDE ∆为等边三角形，证明出DCM DEN ∆∆≌，即可求解；（2）把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，由30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，得,,F B P '在同一直线上，再证明出CFP CF P '∆∆≌即可求解；（3）以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆，根据BC BK AB BG==，及CBK ABG ∠=∠，证明出CBK ∆∽ABG ∆，连结KG ，得KG =2，2CQ CK KQ ≤+=(1)解：连CD ，取BC 中点E ，连DE ，BCD ∆为30°的直角三角形，CDE ∴∆为等边三角形，60MDN CDE ∠=︒=∠，12∠∠∴=，1260CD DE MCD DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=︒=∠⎩， DCM DEN ∴∆∆≌，CM EN ∴=，4CM CN CE ∴+==，(2)解：把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，得CBF '∆，30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，,,F B P ∴'在同一直线上，1206060ACF ECB ∠+∠=︒-︒=︒，60PCF '∴∠=︒，60CF CF FCP F CP CP CP =⎧⎪∠=︒=='∠⎨⎪'⎩， CFP CF P '∴∆∆≌，PF PF BP BF BP AF ''∴==+=+，(3)解：以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆， 33BC BK AB BG==，又CBK ABG ∠=∠，CBK ∴∆∽ABG ∆，CK AG ∴=3CK ∴= 连结KG ，易得KG =2，2CQ CK KQ ∴≤+=∴CQ 的最大值为2+【点睛】本题考查了含30的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解．5、 (1)见解析【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质证明CD2=AD•DB，可得结论．(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD．(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴ADCD＝CDBD，∴CD2＝AD•DB，∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6，∵CD＞0，∴CD．【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．。

综合解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似综合测评试卷(含答案解析)

八年级数学下册第九章图形的相似综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）2、如图，点D，E 分别在△ABC 的边AB，AC 上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED =∠B ，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE 的长是（）A．2 B．3 C．4 D．53、如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合），以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH．下列结论：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③若BC＝4，CG＝3，则AF＝5；④若12CGBC=，则ΔΔ14EFIDFISS=．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（）A．BDAD＝43，AEEC＝43B．ADAB＝23，AEAC＝23C．ADAB＝23，ECAE＝23D．ABAD＝23，ECAE＝125、在小孔成像问题中，如图（三）所示，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则物体AB的长是像CD长的（）A．2倍B．3倍C．12倍D．13倍6、如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆与ADE ∆是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A 在x 轴上，若点A 的坐标是(10)，，点B 的坐标是(21)，，则点D 的坐标是（）．A ．(21)，B ．(22)，C ．(32)，D ．(33)， 7、将一个三角形的各边都缩小到原来的12后，得到三角形与原三角形（）A ．一定不相似B ．不一定相似C ．无法判断是否相似D ．一定相似8、如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB =2米，CD =5米，点P 到CD 的距离是4米，则P 到AB 的距离为（）A ．2.5米B ．1.6米C ．1.5米D ．1.2 米9、如图， 1B B ，是A ∠一边上的任意两点，作BC AC ⊥于点111C B C AC ⊥，于点1C ．若34BC AC ==，，则111B C AC 的值是 ( )A．43B．34C．45D．3510、如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（）A．19 B．20 C．21 D．22第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果AEEC＝34，那么AEAB＝________________．2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC边上的黄金分割点，则△ABD的面积为_____．3、如图：在平行四边形ABCD中，12BEEC，DE交AC于点F，那么FAFC＝_____．4、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．5、如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°．(1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值．(2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB +AF ＝PF ．(3)如图3，在△ACB 的异侧作△AGB ，其中AG ＝3，BG ＝6，在线段BG 上取点Q ，使BQ ＝2．当AG 绕着点G 运动时，求CQ 的最大值．2、如图，∠A ＝∠D ，AC ，BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AB 交BD 于点F ．(1)求证：△CEF ∽△DEC ；(2)若EF ＝3，EC ＝5，求DF 的长．3、如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1．(1)求证：ABC A B C '''∽△△； (2)ABC 和A B C '''是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O ；如果不是，请说明理由．4、ABC 为等边三角形，D 是边AB 上一点，点G 为AB 延长线上一点，连接CD ，GC ．(1)如图1，若2BG =，4AC =，求GC 的长；(2)如图2，点E 是BC 反向延长线上一点，连接DE ，GE ，若60DCG ∠=︒，CD DE =，猜想线段EG ，CG ，DC 的数量关系，并证明；(3)如图3，点M 是AC 的中点，将ABC 沿直线DM 折叠，点A 恰好落在CG 上的点Q ，连接DC ，若4AC =，CD =CQD 的面积．5、如图是边长为1的正方形网格，△A 1B 1C 1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．2、B【解析】【分析】首先利用相似三角形的性质可求出AE 的长，即可求解．【详解】解：∵△ADE ∽△ACB ， AED  B ，∴AB ：AE =AC ：AD ，而AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4∴10：AE =8：4，∴AE =5∴853CE AC AE =-=-= ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．3、A【解析】【分析】连接AC ，CF ，利用已知条件可以判定ACF ∆为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AH CH =，利用边边边公理即可判定ADH CDH ∆≅∆，说明①的结论正确；假定②成立，则必须AD DF =，利用点E 是边CD 上的动点（不与点C 、D 重合），可知②不一定成立；延长FE 交AB 于点G ，利用勾股定理求出AF 的长度即可判定③不正确；利用同高的三角形的面积比等于它们底的比，计算出12EFIDFI S EI S DI ∆∆==，从而判定④的结论不正确．【详解】解：连接AC ，CF ，如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 为正方形，45ACD ACB ∴∠=∠=︒，45DCF FCG ∠=∠=︒．90ACF ACD FCD ∴∠=∠+∠=︒． H 是AF 的中点，12CH AF AH HF ∴===．在ADH ∆和CDH ∆中，AD CD DH DH AH CH =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ADH CDH SSS ∴∆≅∆．∴①的结论正确；//AD EF ，DAF EFA ∴∠=∠，若AF 平分DFE ∠，则必须EFA DFA ∠=∠，即需要DAF DFA ∠=∠，点E 是边CD 上的动点（不与点C 、D 重合），DA ∴与FD 不一定相等，DAF DFA ∴∠=∠不一定成立，AF ∴平分DFE ∠不一定成立，∴②的结论不正确；延长FE 交AB 于点G ，如图，则4GE BC ==，3EF CG ==，4AB BC ==，3GB EC FG ===，7FG EG EF ∴=+=，431AG AB BG =-=-=，AF ∴∴③的结论错误；//AD EF ，ADI FEI ∴∆∆∽． ∴DI AD EI EF=． 12EF CG AD BC ==， ∴12EI DI =． ∴12EFI DFI S EI S DI ∆∆==． ∴④的结论错误．综上所述，只有①的结论正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形是判定与性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线长性质，勾股定理，同高三角形的面积比等于底的比，角平分线的定义，解题的关键是利用已知条件及相关的定理与性质对每个选项进行判断．4、B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：当ADAB＝AEAC或ADDB＝AEEC时，DE∥BC，B选项中，ADAB＝23，AEAC＝23，∴ADAB＝AEAC，∴DE∥BC，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】由相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，即可解决．【详解】设点O 到AB 的距离为h 1，点O 到CD 的距离为h 2，则h 1=18cm ，h 2=6cm由题意知，△OAB ∽△OCD ∴121836h AB CD h === ∴AB =3CD即物体AB 的长是像CD 长的3倍故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．6、C【解析】【分析】过点,B D 作垂直于x 轴的线交于,F G 点，根据位似变换的性质得到ABC ADE ∆∆∽，且12AB BF AF AD DG AG ===，根据相似三角形的性质求出,DG AG ，即可得到答案．【详解】解：过点,B D 作垂直于x 轴的线交于,F G 点，如下图：,90A A AFB AGD ∠=∠∠=∠=︒，ACF AEG ∴∽，AB BF AF AD DG AG∴==， ABC ∆与ADE ∆是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，12AB BF AF AD DG AG∴===， (1,0),(2,1)A B ，(2,0)F ∴，1,1BF AF ∴==，12BF AF DG AG ==， 2,2DG AG ∴==，(3,0),(3,2)G D ∴，∴点D 的坐标为(3,2)，故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握两个图形相似形的判定及性质．7、D【解析】【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的12，∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，∴得到三角形与原三角形一定相似．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．8、B【解析】【分析】过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E ；根据平行线的性质，得PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠；根据相似三角形的性质，证明PAB PCD ∽△△、PAF PCE △∽△，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】如图，过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E∵AB //CD∴PE AB ⊥∴90PFA PEC ∠=∠=︒又∵AB //CD∴PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠∴PAB PCD ∽△△ ∴25PA AB PC CD == ∵90PFA PEC ∠=∠=︒，PAB PCD ∠=∠∴PAF PCE △∽△ ∴25PF PA PE PC == ∴224 1.655PF PE ==⨯=米故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．9、B【解析】【分析】先证明1190BCA B C A ∠=∠=︒，再证明11ABCAB C ，最后利用相似三角形的性质得出结果．【详解】解：∵BC AC ⊥，111B C AC ⊥， ∴1190BCA B C A ∠=∠=︒，∵∠A =∠A ，∴11ABC AB C ， ∴111B C BC AC AC=，∵BC=3，AC=4，∴1113 4B C BCAC AC==．故选B．【点睛】本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．10、D【解析】【分析】通过证明△BEH∽△FAH，可得HF＝2BH，AH＝HE，由面积数量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，∵CE＝2BE，AF＝2DF，∴BE＝DF，AF＝CE，∵AD∥BC，∴△BEH∽△FAH，∴12 BE BH EHAF HF HA===，∴HF＝2BH，AH＝2HE，∴S△ABH＝2S△BEH＝4，S△AFH＝2S△ABH＝8，∴S△ABF＝12，∴1223362ABCDS⨯⨯==，∴五边形CEHFD的面积3612222=--=，故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积之间的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法与性质．二、填空题1、4 7【解析】【分析】由DE∥AB可得DE CEAB AC=，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，∴~CDE CBA，∴DE CE AB AC=，又∵AEEC＝34，∴DE CEAB AC=＝47，又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴AE DE CE AB AB AC ==＝47，故答案为：47．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．2、5 5【解析】【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，先由等腰三角形的性质得2BE =，由勾股定理求出AE =ABC ∆的面积=BD BC =或BD BC = 【详解】解：过A 作AE BC ⊥于E ，如图所示：AB AC =，122BE CE BC ∴===，AE ∴=ABC ∴∆的面积11422BC AE =⨯=⨯ D 是BC 边上的黄金分割点，∴当BD CD >时，BD BC =，1212BD AEABD BDABC BCBC AE⨯∆==∆⨯的面积的面积ABD∴∆的面积5=当BD CD<时，12CDBC=，∴BDBC1212BD AEABD BDABC BCBC AE⨯∆==∆⨯的面积的面积，ABD∴∆的面积5=；故答案为：55．【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义和等腰三角形的性质．3、32##1.5【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出△ADF∽△CEF，由相似三角形的性质得出FA ADFC CE=，则可得出答案．【详解】解：∵12BECE=，∴23CEBC=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△ADF ∽△CEF ， ∴FA AD FC CE=， ∴32FA BC C CE F ==，故答案为：32．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，证明△ADF ∽△CEF 是解决问题的关键．452【解析】【分析】根据题意作图如下，过C 作BE 的垂线，交于G ，由勾股定理求得AC的性质，可得：5AB EB EC BC ====，若△BCE 是等腰三角形，则EC BC =，勾股定理求出CG BGC CGF ∽，求出52CF =，根据AF AC CF =-，即可求出．【详解】解：D 在边AC 上，将△ABD 沿着直线BD 翻折得△EBD ，BE 交直线AC 于点F ，联结CE ，根据题意作图如下，过C 作BE 的垂线，交于G ，在Rt ABC 中，AC根据翻折的性质，可得：5AB EB EC BC ====，当点D 在边AC 之间上动时，且BE 交直线AC 于点F ，故90BCB ∠>︒，若△BCE 是等腰三角形，则EC BC =，根据等腰三角形的三线合一的性质知，点G 为BE 的中点，12BG BE ∴==CG ∴==90CGF BGC ∠=∠=︒，90GFC GCF GFC GBC ∠+∠=∠+∠=︒，GCF GBC ∴∠=∠，BGC CGF ∴∽，BG BC CG CF∴=，5 CF =，解得：52CF=，52AF AC CF∴=-=，52．【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．5、1：4【解析】【分析】证明△AOB∽△COD，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比．【详解】解：如图，设小方格的边长为1，∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠CDF＝45°，AB=，CD=，∵BE //DF ，∴∠EBO ＝∠FDO ，∴∠ABO ＝∠CDO ，又∠AOB ＝∠COD ，∴△ABO ∽△CDO ，∴S △ABO ：S △CDO ＝（AB ：CD ）2，∴2:1:4ABO CDO S S ==△△，故答案为：1∶4．【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．三、解答题1、 (1)4(2)见解析(3)2【解析】【分析】（1）连CD ，取BC 中点E ，连DE ，根据BCD ∆为30°的直角三角形，得出CDE ∆为等边三角形，证明出DCM DEN ∆∆≌，即可求解；（2）把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，由30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，得,,F B P '在同一直线上，再证明出CFP CF P '∆∆≌即可求解；（3）以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆，根据BC BK AB BG==，及CBK ABG ∠=∠，证明出CBK ∆∽ABG ∆，连结KG ，得KG =2，2CQ CK KQ ≤+=(1)解：连CD ，取BC 中点E ，连DE ，BCD ∆为30°的直角三角形，CDE ∴∆为等边三角形，60MDN CDE ∠=︒=∠，12∠∠∴=，1260CD DE MCD DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=︒=∠⎩， DCM DEN ∴∆∆≌，CM EN ∴=，4CM CN CE ∴+==，(2)解：把ACF ∆绕点C 逆时针旋转120°，得CBF '∆，30150180F BC PBC '∠+∠=︒+︒=︒，,,F B P ∴'在同一直线上，1206060ACF ECB ∠+∠=︒-︒=︒，60PCF '∴∠=︒，60CF CF FCP F CP CP CP =⎧⎪∠=︒=='∠⎨⎪'⎩， CFP CF P '∴∆∆≌，PF PF BP BF BP AF ''∴==+=+，(3)解：以BG 为底边向上作底角为30°的等腰三角形BGK ∆， 33BC BK AB BG==，又CBK ABG ∠=∠，CBK ∴∆∽ABG∆，CKAG ∴=3CK ∴= 连结KG ，易得KG =2，2CQ CK KQ ∴≤+=∴CQ 的最大值为2+【点睛】本题考查了含30的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解．2、 (1)证明见解析； (2)163DF =．【解析】【分析】（1）通过CF ∥AB 得到B EFC ∠=∠，然后利用三角形内角和定理有180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，从而得出DCE EFC ∠=∠，外加对顶角DEC CEF ∠=∠，从而得出结论；（2）根据（1）的结论得到比例式EF CE CE ED=，带入数据就可求出DF 的长． (1)∠A ＝∠D ，180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，AEB DEC ∠=∠，∴ B DCE ∠=∠； CF ∥AB ，∴ B EFC ∠=∠，∴ DCE EFC ∠=∠；DEC CEF ∠=∠∴△CEF ∽△DEC (2)△CEF ∽△DEC ，∴EF CE CE ED=； EF ＝3，EC ＝5， ∴253ED = ∴2516333DF =-= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．利用三角形内角和定理，结合平行线的性质，即可证出．3、 (1)见解析(2)ABC 和A B C '''是位似三角形，见解析【解析】【分析】（1）运用勾股定理求出两个三角形各边的长，再根据相似三角形的判定方法进行判断即可；（2）利用位似图形的性质进行判断即可．(1)证明：∵每个最小正方形的边长均为1，∴BC ==，AB =AC =B C ==''A B ''，A C ''∵111,,,222BC AB AC B C A B A C ======'''''' ∴BC AB AC B C A B A C ==''''''∴ABC A B C '''∽△△ (2) ABC 和A B C '''是位似三角形，位似中心的位置O 如图所示：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的性质，注意位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．4、 (1)(2)=+CG CD EG ，理由见解析【解析】【分析】(1)过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，证明△ABE ∽△GBH ，得到==AE AB BE GH BG BH代入数据求出GH =1BH =，最后在Rt △CGH 中，由勾股定理CG(2)在线段CG 上取点F ，并使得CD=CF ，连接DF ，证明△EDG ≌△FDG (SAS )，得到EG =FG ，最后由CG=FG+FC=EG+DC 即可证明；(3)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，过点M 作MN ⊥AB 于N ，ME ⊥QC 于E ，连接AQ 交DM 于F 点，由折叠性质得到DM ⊥AQ ，由MC=MA=MQ 得到△AQC 为直角三角形，进而得到DM∥CG ，证明△AMF ≌△MCE (AAS )，由等面积法求出==ME AF 1==2∆∆⋅=CQD CQM S S CQ ME ．(1)解：过A 点作AE ⊥BC 于E ，过G 点作GH ⊥BC 延长线于H 点，如下图所示：∵△ABC 为等边三角形，∠ACE =60°，∴12,2===CE BC AE ∵∠ABE =∠HBG =60°，∠AEB =∠H =90°，∴△ABE ∽△GBH ， ∴==AE AB BE GH BG BH，代入数据AB=AC =4，BG =2，==AE 422=BH∴GH =1BH =，在Rt △CGH 中，由勾股定理有：CG故CG 的长为 (2)CG CD EG，理由如下：解：EG，CG，DC的数量关系为：=+在线段CG上取点F，并使得CD=CF，连接DF，如下图所示，∵∠DCG=60°，∴△CDF为等边三角形，∴DF=DC，∠CDF=60°，由已知：DE=DC，∴DF=DE，∴∠DEB=∠BCD∵∠DEB+∠EDG=∠DBC=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠EDG=∠ACD；又∠GDC=∠A+∠A CD=60°+∠ACD，∠GDC=∠FDC+∠GDF=60°+∠GDF，∴∠ACD=∠GDF，∴∠EDG=∠GDF，在△EDG和△FDG中：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ED FDEDG FDG DG DG，∴△EDG≌△FDG(SAS)，∴EG=FG，∴CG=FG+FC=EG+DC．(3)解：过C点作CH⊥AB于H点，过点M作MN⊥AB于N，ME⊥QC于E，连接AQ交DM于F点，如下图所示：由折叠可知：DA=DQ，MA=MQ，∴DM所在直线是线段AQ的垂直平分线，∴DM⊥AQ，∠AFM=90°，又M为AC的中点，∴MC=MA=MQ,∴△AQC为直角三角形，∠AQC=90°，∴∠AFM =∠AQC =90°，∴DM∥CG ，∴∠AMF =∠MCE ，∴△AMF ≌△MCE (AAS )，∴=ME AF ，由等腰三角形的“三线合一”可知，∠HCA =30°，∠BAC =60°，1=22=AH AB ，CH ==在Rt △CDH 中，1=DH ，∴3=+=AD DH AH ，∵M 为AC 的中点，∠BAC =60°，∴122AM AC ==，112AN AM ==，=MN∴=DM在△ADM 中，由等面积法可知：1122⋅=⋅AD MN DM AF ，解得：==AF ，由折叠可知，MQ=MA=MC ，∴△MQC 为等腰三角形，且底边QC 上的高为=7=ME AF∴=CE∴2==CQ CE∵DM∥CG ，∴11==22∆∆⋅==CQD CQM S S CQ ME 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、截长补短法证明线段和差问题、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．5、 (1)见解析(2)依据见解析，135°【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图，把△A 1B 1C 1的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定定理两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(1)解：先取一格点A 2，点A 2向右平移2个单位，得到点C 2，则 A 2C 2＝2，点A 2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B 2，∠C 2A 2B 2＝135°，则△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1；(2)证明：∵A 1C 1＝4，∠C 1A 1B 1＝135°，A 1B 1=A 2C 2＝2，∠C 2A 2B 2＝135°，根据勾股定理A 2B 2， ∴22112142A C A C ==，221112B B A A ==， ∴2222111112A C AB AC A B ==， ∠C 2A 2B 2=∠C 1A 1B 1＝135°， ∴△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1．∠C 2A 2B 2＝135°，【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，点的平移，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．。

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似同步训练练习题(含详解)

八年级数学下册第九章图形的相似同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（）A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：32、在小孔成像问题中，如图（三）所示，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则物体AB的长是像CD长的（）A．2倍B．3倍C．12倍D．13倍3、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 与四边形A 'B 'C 'D '是位似图形．位似中心是（）A ．（8，0）B ．（8，1）C ．（10，0）D ．（10，1）4、如图，D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，13AD AB =，∥DE BC ，若ADE 的周长为6，则ABC 的周长等于（）A ．24B ．18C ．12D ．95、如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，则下列结论：①AF ⊥DE ；②AE EG =；③AM =23MF ；④14AEM ADMS S ∆∆=．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6、如图，△ABC 中，∥DE BC ，25AD AB =，则△ADE 与△ABC 的面积比为（）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．4：257、如图：AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，图中共有相似三角形（）对．A ．4B ．5C ．6D ．78、若32ba =，则a ba +的值等于（）A ．12 B ．52 C ．53 D ．549、如图，a ∥b ∥c ，ACCE =12，DF ＝12，则BD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．610、将一个三角形的各边都缩小到原来的12后，得到三角形与原三角形（）A．一定不相似B．不一定相似C．无法判断是否相似D．一定相似第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′、AC′分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF•ED的值为_____．2、在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BD⊥DE交AC的延长线于点E，则DE＝_____．3、如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC ＝4，BC边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论中：①GH∥DC；②EG∥AD；③EH＝FG；④当∠ABC与∠DCB互余时，四边形EFGH是正方形．正确的有______（填上所有正确结论的序号）5、如图，点阵中的相邻4个顶点的小正方形面积为1，则五边形ABCEF 的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图是边长为1的正方形网格，△A 1B 1C 1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A 2B 2C 2（△A 2B 2C 2的顶点均在格点上），使△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1；(2)说明△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1相似的依据，并直接写出∠B 2A 2C 2的度数．2、如图，在ABC 中，12AB AC ==，10BC =，点D 为AB 的中点，点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，点P 出发后，过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，连接DP ．设点P 的运动时间为()s t ．(1)用含t 的式子表示CP 的长；(2)求证：CPQ 是等腰三角形；(3)当CPQ BPD △△时（点D 和点Q ，点B 和点C 是对应顶点），求t 的值；(4)连接DQ ，当ABC 的某一个顶点在DPQ 的某条边的垂直平分线上时，直接写出t 的值．3、如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，AD ＝2，AC ＝3，ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．(1)求证：ADE ACB ∽；(2)求AG GF的值． 4、菱形ABCD 的边长为6，∠D ＝60°，点E 在边AD 上运动．(1)如图1，当点E 为AD 的中点时，求AO ：CO 的值；(2)如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．5、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．(1)以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；(2)四边形AA1B1B的面积为．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据题意由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，点G是BD的中点，设OD=x，OB=4x，则BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，∴OD：OB=AD：BC=1：4，∴设OD=x，OB=4x，则BD=5x，∵点G是BD的中点，∴BG=12BD=2.5x，∴OG=OB-BG=4x-2.5x=1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC=OG：OB=1.5x：4x=3：8．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解决此题的关键是设未知数将OG、OB表示出来．2、B【解析】【分析】由相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，即可解决．【详解】设点O到AB的距离为h1，点O到CD的距离为h2，则h1=18cm，h2=6cm由题意知，△OAB∽△OCD∴12183 6hABCD h===∴AB=3CD即物体AB的长是像CD长的3倍故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），故选：C．【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得~ADE ABC，利用其性质，相似三角形的周长比等于相似比即可得出．【详解】解：∵∥DE BC，∴~ADE ABC，∵13 ADAB=，∴13ADEABCCC=，∵6ADEC=，∴18ABCC=，故选：B．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．5、B【解析】【分析】先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE=BE=BF、∠DAE=∠ABF=90°、AD=AB，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到∠BAM+∠AEM=90°判定①；假设AE=EG，则AE=BE=EG，则∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，从而推出∠EAG=45°判定②；由BF=AE=BE得到AFBF，然后证明△AEM∽△AFB，进而利用相似三角形的性质得到AM=23MF判定③；先证明△AEM∽△DAM，然后利用AD=2AE得到14AEMADMSS∆∆=判定④．【详解】解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，∴AE=BE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠BAF=∠ADE，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BAM+∠AEM=90°，∴∠AME=90°，故①正确，符合题意；假设AE=EG，则AE=BE=EG，∴∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴∠BEG=∠EAG+∠EGA=90°，∴∠EAG=45°，又∵∠EAG≠45°，∴AE≠EG，故②错误，不符合题意∵BF=AE=BE，AB=2AE，∴AF==，∵∠EAM+∠AEM=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AEM=∠AFB，∵∠AME=∠ABF=90°，∴△AEM∽△AFB，∴AM AE EM AB AF BF==，即2AM AE = ∴AMAE ，∴MF =AF -AM-AE ， ∴AM =23MF ，故③正确，符合题意； ∵∠AEM +∠EAM =90°，∠EAM +∠DAM =90°，∴∠AEM =∠DAM ，∵∠EMA =∠AMD =90°，∴△AEM ∽△DAM ， ∴2211()()24AEM ADM S AE S AD ∆∆===，故④正确，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知相关知识．6、D【解析】【分析】先证明,ADE ABC ∽可得2,ADE ABC S AD S AB 从而可得答案.【详解】解： ∥DE BC ，,ADE ABC ∴∽ 而25AD AB =， 24.25ADE ABC SAD S AB 故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比”是解本题的关键.7、C【解析】【分析】根据相似三角形判定定理判定即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝∠ADB ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFD ，∴△AFE ∽△CFD ，∵∠B 是公共角，∴△ABD ∽△CBE ，∵∠A 是公共角，∴△AEF ∽△ADB ，∴△AEF ∽△CDF ∽△ADB ∽△CEB ．∴图中相似三角形的对数是6对．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理,熟练掌握定理是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据32b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得．【详解】解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠，则23522a b k k a k ++==，故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．9、D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出BD 的长．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF ==12， ∵DF =12，∴12BD =12， ∴BD =6，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解决问题的关键．10、D【解析】【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的12， ∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，∴得到三角形与原三角形一定相似．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题1、16【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠BAC =∠ADB =45°，根据旋转的性质得到∠EAF =∠BAC =45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =∠ADB =45°，∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB 'C '，∴∠EAF =∠BAC =45°，∵∠AEF =∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ， ∴AE EF DE AE=， ∴EF •ED =AE 2，∵AE =4，∴EF •ED 的值为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．2、1207【解析】【分析】由勾股定理可求AC 的长，由矩形的性质可得5OD OB ==，由面积法可求DH 的长，通过证明OD DE OH DH=，即可求解．【详解】解：如图：过点D 作DH AC ⊥于H ，6AB =，8BC =，10AC ∴=，四边形ABCD 是矩形，152AO CO BO DO AC ∴=====， 11··22ADC S AD CD AC DH ==， 6810DH ∴⨯=，245DH ∴=，75OH ∴=， ∵=90DOH ODH ∠+︒∠，=90DOH E ∠+︒∠，∴ODH E ∠=∠90DHO EHD ∠=∠=︒，ODH DEH ∴∆∆∽， ∴OD DE OH DH =，∴572455DE =，1207DE ∴=，故答案为：1207．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．3、2.4##125【解析】【分析】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF =x ，MH =x ，AM =6-x ，再证明△AGF ∽△ABC ，则根据相似三角形的性质得4x =66x -，然后解关于x 的方程即可．【详解】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，∵BC 边上的高是6，即6AH =设正方形DEFG 的边长为x ，则GF =x ，MH =x ，AM =6-x ，∵GF ∥BC ，∴△AGF∽△ABC，∴GFBC=AMAH，即4x=66x，解得x=125，即正方形DEFG的边长为125．故答案为：125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．4、①③④【解析】【分析】①③：根据中位线性质可得，正确；②若AD//BC，根据平行线截线段成比例定理可知：EG∥AD，但BC与AD未必平行，故②不正确；④先说明中点四边形为菱形，再由∠ABC与∠DCB互余得EF⊥FG，四边形EFGH是正方形，所以④正确．【详解】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EH＝12AB，FG＝12AB，GH＝12DC，EF＝12DC，GH∥DC，∵AB＝CD，∴EH＝FG＝GH＝EF，∴四边形EFGH 是菱形，所以选项①③正确；当∠ABC 与∠DCB 互余时，则∠GFC 与∠EFB 互余，EF ⊥FG ，四边形EFGH 是正方形，所以④正确；若BC //AD ，设AC 与BD 交于O ， ∴AO DO AC BD=， ∴22AO DO AG ED=， ∴AO DO AG ED =， ∴AD ∥EG ，但BC 与AD 未必平行，故②不正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查中位线的性质、平行线截线段成比例定理、菱形的判断等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、13130【解析】【分析】如图，先求出△PQH 的面积，再根据相似三角形的性质得出△PGF 的面积和△HCE 的面积，即可求出这个图案的面积．解：如图所示：∵GD ∥QH ，∴△PGF ∽△PQH ， ∴21()9PGF PQHS PG S PQ ∆∆==， 11153522S 2PQH PQ QH ∆=⋅=⨯⨯=， 5S 6PGF ∆=∴， ∵CD ∥PQ ，∴△HCE ∽△HQP ，21()25HCE HQP S HC S HQ ∆∆∴==， 3S 10HCE ∆=∴， ∴五边形ABCEF 的面积=S △PQH -S △PGF -S △HCE -S 矩形ABQG155313112261030=---⨯=，故答案为：13130．【点睛】此题考查了相似三角形判定和性质，关键是根据三角形面积公式解答．1、 (1)见解析(2)依据见解析，135°【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图，把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定定理两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(1)解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)证明：∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1=A2C2＝2，∠C2A2B2＝135°，根据勾股定理A2B2，∴221121 42A C A C ==，221112BBAA==，∴2222111112A C AB AC A B ==， ∠C 2A 2B 2=∠C 1A 1B 1＝135°， ∴△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1．∠C 2A 2B 2＝135°，【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，点的平移，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．2、 (1)102t -(2)见解析 (3)52t =(4)552或5或3 【解析】【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可；（3）根据全等三角形的性质可得BP CP =，列出一元一次方程解方程求解即可；（4）分四种情形，①当点C 在DQ 的垂直平分线上时，连接CD ，过点D 作DT ⊥BC 于T ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，②当点A 在DQ 的垂直平分线上时，③当点C 在PD 的垂直平分线上时，④当点B 在PD 的垂直平分线上时，分别求解即可(1)10,2BC BP t ==102PC BC BP t(2)AB AC =B C ∴∠=∠PQ AB ∥QPC B ∴∠=∠QPC C ∴∠=∠QP QC ∴=∴CPQ 是等腰三角形 (3)CPQ BPD ≅△△CP BP ∴=即2102t t =- 解得52t = (4)①当C 在DQ 的垂直平分线上时，连接CD ，过点D 作DT BC ⊥于点T ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，如图，,A AE BC B AC ⊥=BE EC ∴=Rt AEB中，AE D 为AB 的中点，E 为BC 的中点162DE AC ∴== 162BD AD AB ∴=== DE DB =，DT BE ⊥BT TE ∴=115242BE BC ===12DT AE ∴==152CT =CD ∴==CQ CD ∴==PQ AB ∥CP CQ CB CA∴=即10CP解得CP =1010BP CP ∴=-=5t ∴= 当点A 在DQ 的垂直平分线上时，如图，此时5BP PC ==，此时52t = ③当C 在PD 的垂直平分线上时，如图，CD CP ==10BP ∴=此时5t = ④当点B 在PD 的垂直平分线上时，6BP BD ==，此时632t ==综上所述，满足条件的t 的值为5或52或5或3 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键．3、 (1)见解析(2)2【解析】【分析】（1）由相似三角形的判定方法可证△ADE ∽△ACB ；（2）由相似三角形的性质可得∠ADE ＝∠C ，由角平分线的性质可得∠DAG ＝∠CAF ，可证△ADG ∽△ACF ，可求解．(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ACB ；(2)解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE ＝∠C ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠DAG ＝∠CAF ，∴△ADG ∽△ACF ， ∴AG AD AF AC= ， ∵AD ＝2，AC ＝3，∴23 AGAF=，∴AGGF＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．4、 (1)12(2)见解析【解析】【分析】（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵点E为AD的中点，∴AE＝12AD＝3，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴3162 AO AECO BC===；(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝BC ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D ＝60°，∴∠CAE ＝∠ACB ，△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝60°＝∠B ，∵AE +DE ＝AD ＝6，BF +DE ＝6，∴AE ＝BF ，在△ACE 和△BCF 中，AE BF CAE B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴CE ＝CF ，∠ACE ＝∠BCF ，∴∠ACE +∠ACF ＝∠BCF +∠ACF ＝∠ACB ＝60°，即∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．5、 (1)图见解析，A 1（6，2），B 1（2，4），C 1（8，6）(2)7.5【解析】【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求作．观察图形得：A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；(2)解：四边形AA1B1B的面积=3×5-12×1×2-12×1×3-12×2×4-12×1×2=7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查作图-位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．。

鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似练习(含答案)

A．18.75 米
B．18.8பைடு நூலகம்米
C．21.3 米
D．19 米
8．如图，菱形 ABCD 中，EF⊥AC 于点 H，分别交 AD 及 CB 的延长线交于点 E、F，且 AE： FB=1：2，则 AH：HC 的值为（）
A． 1 3
2 / 11
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
B． 1 5
6．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则 AC 的长为（）
A． 5 -1
B． 5 +1
C． 5 -2
D．3- 5
7．如图，小明为了测量高楼 MN 的高度，在离 N 点 20 米的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退 1.5 米到 C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的 M 点，已知小明的眼睛（点 B）到地面的高度 BC 是 1.6 米，则大楼 MN 的高度（精确到 0.1 米）约是（）
根据题意得， AF = 1 , 4.6 0.8
解得，AF=5.75 米， ∴AB=5.75+0.3=6.05 米. 答：乙树的高度是 6.05 米.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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三、解答题 15．如图，a∥b∥c，直线 m，n 交于点 O，且分别与直线 a，b，c 交于点 A、B、C 和点 D、 E、F，已知 OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求 DE 的长度是？
16．已知：如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 上（点 D 不与 A，C 重合）．若再添加一个条件， 4 / 11
B． BC = DF CE AD
3．下列说法正确的是（）

2022年最新精品解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专题训练试题(含答案解析)

八年级数学下册第九章图形的相似专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是O ，若OA ：OE ＝1：3，且四边形ABCD 的周长为4，则四边形EFGH 的周长为（）A ．8B ．12C ．16D ．202、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，且111A B C S ＝2，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．8C ．6D ．43、如图，////AB CD EF ．若AC CE ＝12，BD ＝3，则DF 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．84、如图：AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，图中共有相似三角形（）对．A ．4B ．5C ．6D ．75、如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD ：DB ＝2：1，DE ＝4，则BC 为（）A ．6B ．7C ．8D ．96、如图，123l l l ∥∥，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若3AB =，2DE =，4EF =，则BC 的长为（）A．4 B．5 C．6 D．87、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）8、若32ba=，则a ba+的值等于（）A．12B．52C．53D．549、如图，点D，E 分别在△ABC 的边AB，AC 上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED =∠B ，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE 的长是（）A．2 B．3 C．4 D．510、已知12ab=，则a bb+的值为（）A．23B．32C．35D．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，∥DE BC，若:3:4AD AB=，则AEEC=____．2、如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 _____米．3、如图，边长为5cm的正方形ABCD，E，F分别从A，B两点同时出发，以1cm/s速度沿射线AB，射线BC运动，连结AF，DE交于点P，G为AD中点，连结PG，PB，若PDG△与ABP△相似，则运动时间t的值为______．4、已知ABC DEF △△，ABC 与DEF 的面积比为1:2，1BC =，则EF 的长为__________．5、如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则ADE BEDCS S ∆四边形=_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC 中，12AB AC ==，10BC =，点D 为AB 的中点，点P 从点B 出发，沿BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，点P 出发后，过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，连接DP ．设点P 的运动时间为()s t ．(1)用含t 的式子表示CP 的长；(2)求证：CPQ 是等腰三角形；(3)当CPQ BPD ≅△△时（点D 和点Q ，点B 和点C 是对应顶点），求t 的值；(4)连接DQ ，当ABC 的某一个顶点在DPQ 的某条边的垂直平分线上时，直接写出t 的值．2、如图，∠A ＝∠D ，AC ，BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AB 交BD 于点F ．(1)求证：△CEF ∽△DEC ；(2)若EF ＝3，EC ＝5，求DF 的长．3、已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD 是正方形，当E 、F 分别是AB 、AD 的中点时，则DE 与CF 的数量关系为：，位置关系为：．(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ．求证：DE AD CF CD=． (3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE AD CF CD=成立？并证明你的结论． 4、如图，ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒，点P 是直线BC 上一动点，连接AP ，分别过B 、C 做直线AP 的垂线，垂足分别为点E 、F ，取BC 的中点Q ，连接QE 、QF ．(1)如图1，若点P 在BC 的延长线上且30P ∠=︒，2PC =，求BC 的长；(2)如将2，若P 是BC 的延长线上任意一点，求证：CE BF +=；(3)如图3，作点C 关于直线AP 的对称点C '，连接QC '，若1AC =，请直接写出当QC 取得最大值时PC 的长．5、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，连结AF 、CE ．(1)试判断四边形AFCE 的形状，并说明理由；(2)若5AB =，23AE BF =，求EF 的长；(3)连结BE ，若BE CE ⊥，求BF AE的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由位似和平行可找到对应边，由对应边之比可知两图形的相似比，进而得到周长之比，求出周长．【详解】解∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴AD∥EH， ∴13AD OA EH OE ==，即四边形ABCD 与四边形EFGH 相似比为13，∵四边形ABCD 的周长是4，∴EFGH 的周长为12，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的相似比与周长比之间的关系，能够利用相似比求出周长比是解决本题的关键．2、B【解析】【分析】依题意，依据位似三角形的性质，可得对应三角形的相似比，又结合面积比为相似比的平方，即可求解．【详解】解：由题知，ABC ∆和111A B C ∆是以点为位似中心的位似三角形，∴ 1:OC OC 为111A B C ∆和ABC ∆的相似比；又1C 为OC 的中点， ∴ 11:2OC OC =；又结合相似三角形的性质可得：111211()4A B C ABC S OC S OC ∆∆==，又1112A B C S ∆=； ∴8ABC S ∆=故选：B ．【点睛】本题主要考查位似三角形及相似三角形的性质，关键在熟练应用数形结合的方式分析解答．3、C【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理得到F A CE C BD D ＝，然后根据比例性质求DF 的长．【详解】解：∵////AB CD EF ， ∴FA CE C BD D ＝， ∵12AC CE ＝，BD=3， ∴312DF =， ∴DF =6．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4、C【解析】【分析】根据相似三角形判定定理判定即可．【详解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ADB＝90°，∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∵∠B是公共角，∴△ABD∽△CBE，∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ADB，∴△AEF∽△CDF∽△ADB∽△CEB．∴图中相似三角形的对数是6对．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理,熟练掌握定理是解题的关键．5、A【解析】【分析】根据DE∥BC易证△ADE∽△ABC，根据对应边相似比相等即可求得BC的值．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DE AB BC=， ∵2AD BD =， ∴23AD AB =，又DE =4， ∴423AD AB BC ==， ∴BC =6，故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．6、C【解析】【分析】由123l l l ∥∥，可得,AB DE BC EF =再代入数据进行计算即可. 【详解】解： 123l l l ∥∥，,AB DE BC EF ∴= 3AB =，2DE =，4EF =，32,4BC6,BC经检验符合题意.故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本题的关键.7、D【解析】【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．8、B【解析】【分析】根据32ba=可设2,3(0)a kb k k==≠，再代入计算即可得．解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠，则23522a b k k a k ++==，故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．9、B【解析】【分析】首先利用相似三角形的性质可求出AE 的长，即可求解．【详解】解：∵△ADE ∽△ACB ， AED  B ，∴AB ：AE =AC ：AD ，而AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4∴10：AE =8：4，∴AE =5∴853CE AC AE =-=-= ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．10、B【解析】根据12a b =求得b =2a ，代入计算即可．【详解】解：∵12a b =， ∴b =2a ， ∴2322a b a a b a ++==，故选：B ．【点睛】此题考查了比例的性质，代数式的化简求值，正确掌握比例的性质是解题的关键．二、填空题1、3【解析】【分析】根据∥DE BC 可得34AD AE AB AC ==，再根据EC AC AE =-，即可求解．【详解】解：∵∥DE BC ， ∴34AD AE AB AC ==， ∴34AE AC =，又∵14EC AC AE AC =-=，∴34314A AE EC C AC ==，故答案为3，【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的有关性质． 2、36【解析】【分析】根据题意，利用相似三角形的判定定理可得~ABP DCP ，再由其性质：相似三角形高的比等于相似比进行求解即可得．【详解】解：如图，∵北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，∴16AB m =，80DC m =，∵AB CD ∥，∴~ABP DCP ，AB PE DC PF=， ∵16AB m =，P 到AB 的距离即9PE m =，∴169809=+EF，解得：36=EF m ，∴河宽为36米，故答案为：36．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 3、5或10【解析】【分析】分两种情况：①E 点在AB 上；②E 点在AB 延长线上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t 即可．【详解】解：分两种情况：①如图1，E 点在AB 上时，,,90AD BA AE BF DAE ABF ==∠=∠=︒，()ADE BAF SAS ∴≌，DE AF ∴=，ADE BAF ∠=∠，90ADE DEA ∠+∠=︒，90BAF DEA ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，AF DE ⊥．DE ==5AD AE t APDE == DPPDG BAP ∆∆∽， PDG BAP ∴∠=∠，PGD ∠与BPA ∠是钝角，∴DG AP A PD B=，解得5t =；②如图2，E 点在AB 延长线上时，,,90AD BA AE BF DAE ABF ==∠=∠=︒，()ADE BAF SAS ∴≌，DE AF ∴=，ADE BAF ∠=∠，90ADE DEA ∠+∠=︒，90BAF DEA ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，AF DE ⊥．DE 25AD AEAP DE ==DPPDG △与ABP △，分论讨论，当PDG BAP∆∆∽，∴DGAP A PD B =，即525(5)t +÷=解得0=t ，即用时5秒，不合题意舍去；当PDG PAB ∆∆∽，∴DGAB A PD P =，即525÷解得5t=，即用时10秒，符合题意；综上：若PDG △与ABP △相似，则运动时间t 的值为5或10，故答案为：5或10．【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．4【解析】【分析】利用相似三角形的性质可得21,2ABC DEF S BC S EF 再把1BC =代入解方程即可.【详解】解： ABC DEF △△，ABC 与DEF 的面积比为1:2， 21,2ABC DEF SBC S EF1BC =，22,EF解得：EF =【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解本题的关键.5、13##1：3【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC ∽△ADE ，且BC =2DE ， ∴214ADE ABC ED S S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴11413ADEBEDCS S ==-△四边形，故答案为：13．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．三、解答题1、 (1)102t -(2)见解析(3)52t = (4)552或5或3 【解析】【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可；（3）根据全等三角形的性质可得BP CP =，列出一元一次方程解方程求解即可；（4）分四种情形，①当点C 在DQ 的垂直平分线上时，连接CD ，过点D 作DT ⊥BC 于T ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，②当点A 在DQ 的垂直平分线上时，③当点C 在PD 的垂直平分线上时，④当点B 在PD 的垂直平分线上时，分别求解即可(1)10,2BC BP t ==102PC BC BP t(2)AB AC =B C ∴∠=∠PQ AB ∥QPC B ∴∠=∠QPC C ∴∠=∠QP QC ∴=∴CPQ 是等腰三角形 (3)CPQ BPD ≅△△CP BP ∴=即2102t t =- 解得52t = (4)①当C 在DQ 的垂直平分线上时，连接CD ，过点D 作DT BC ⊥于点T ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，如图，,A AE BC B AC ⊥=BE EC ∴=Rt AEB 中，AE D 为AB 的中点，E 为BC 的中点162DE AC ∴== 162BD AD AB ∴=== DE DB =，DT BE ⊥BT TE ∴=115242BE BC ===12DT AE ∴==152CT =CD ∴==CQ CD ∴==PQ AB ∥CP CQ CB CA∴=即10CP解得CP =1010BP CP ∴=-=5t ∴= 当点A 在DQ 的垂直平分线上时，如图，此时5BP PC ==，此时52t = ③当C 在PD 的垂直平分线上时，如图，CD CP ==10BP ∴=此时5t =④当点B 在PD 的垂直平分线上时，6BP BD ==，此时632t ==综上所述，满足条件的t 的值为5或52或5或3 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键．2、 (1)证明见解析； (2)163DF =．【解析】【分析】（1）通过CF ∥AB 得到B EFC ∠=∠，然后利用三角形内角和定理有180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，从而得出DCE EFC ∠=∠，外加对顶角DEC CEF ∠=∠，从而得出结论；（2）根据（1）的结论得到比例式EF CE CE ED=，带入数据就可求出DF 的长． (1)∠A ＝∠D ，180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，AEB DEC ∠=∠，∴ B DCE ∠=∠； CF ∥AB ，∴B EFC∠=∠，∴DCE EFC∠=∠；DEC CEF∠=∠∴△CEF∽△DEC (2)△CEF∽△DEC，∴EF CECE ED=；EF＝3，EC＝5，∴253 ED=∴2516333 DF=-=【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．利用三角形内角和定理，结合平行线的性质，即可证出．3、 (1)DE=CF，DE⊥CF(2)见解析(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立，证明见解析【解析】【分析】（1）先判断出AE=DF，进而得出△ADE≌△DCF（SAS），即可得出结论；（2）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；（3）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出DE DFAD DG=，证△CGD ∽△CDF ，得出DF CF DG CD=，即可得出答案． (1) 解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠ADC =90°，AD =AB =CD ，∵点E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE =12AB ，DF =12AD ， ∴AE =DF ，在△ADE 和△DCF 中，AE DF A CDF AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ），∴DE =CF ，∠AED =∠DFC ，∵∠AED +∠ADE =90°，∴∠ADE +∠DFC =90°，∴∠DGF =90°，∴DE ⊥CF ，故答案为：DE =CF ，DE ⊥CF ；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠FDC =90°，∵CF ⊥DE ，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DE AD CF CD=；(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DF DE DG AD=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DF CF DG CD=，∴DE CF AD CD=，∴DE AD CF CD=，即当∠B+∠EGC=180°时，DE ADCF CD=成立．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．4、 (1)BC=2；(2)见详解；(3)PC【解析】【分析】（1）在EA上截取GE=PE，连结CG，根据∠COE=30°，CE⊥PG，得出∠PCE=90°-∠CPE=90°-30°=60°，根据等腰直角三角形性质得出∠ACB=∠ABC=45°，证明△PCE≌△GCE（SAS），再证CG=AG=2，利用勾股定理即可求解；（2）证明：连结AQ，先证△QCA等腰直角三角形；再证△CEA≌△AFB（AAS），得出CE=AF，EA=BF，可证△CEA≌△AFB（AAS），最后证明△QEF为等腰直角三角形即可；（3）当QC′⊥AC时QC′最大，根据QC=AQ，可得QC′为AC的垂直平分线，再证△C′CA为等边三角形，可求∠ABF=90°-∠BAF=90°-60°=30°，得出AF=12AB，BFAB=，根据AB=AC=1，求出BCAF=1122AB=，BFAB==PC为m，PB=PC+BC=mPCE∽△PBF，得出PC CEPB BF=1=(1)解：在EA 上截取GE =PE ，连结CG ，∵∠CPE =30°，CE ⊥PG ，∴∠PCE =90°-∠CPE =90°-30°=60°，∵ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ECA =180°-∠PCE -∠ACB =180°-60°-45°=75°，在△PCE 和△GCE 中，CE CE PEC GEC PE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PCE ≌△GCE （SAS ），∴∠PCE =∠GCE =60°，CP =GC =2，∴∠GCA =∠ECA -∠GCE =75°-60°=15°，∵∠CGE =90°-∠GCE =90°-60°=30°，∴∠GAC =∠CGE -∠ECG =30°-15°=15°，∴CG =AG =2，在Rt△CEG 中，EG= ∴EA =EG +AG2，∴BC2==；，(2)证明：连结AQ ，∵点Q 为BC 中点，AB =AC ，∠BAC =90°， ∴QC =QA =QB ，∠QCA =∠QAB =45°，AQ ⊥BC ， ∵CE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠CAB =90°， ∴∠CEA =∠AFB =∠CAB =90°，∴∠ECA +∠CAE =∠CAE +∠FAB =90°， ∴∠ECA =∠FAB ，在△CEA 和△AFB 中，CEA AFB ECA FAB AC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴CE =AF ，EA =BF ，∴EF =AE +AF =BF +EC ，∵∠ECA +45°=∠FAB +45°，即∠QCE =∠QAF ，在△CEQ 和△AFQ 中，QC QA ECQ FAQ CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴QE =QF ，∠CQE =∠AQF ，∵∠EQA +∠AQF =∠EQA +∠CQE =90°，∴△QEF 为等腰直角三角形，∴EF，∴CE BF +=；(3)当QC′⊥AC 时QC′最大，∵QC =AQ ，∴QC′为AC 的垂直平分线，∴CC′=C′A =AC =1，∴△C′CA 为等边三角形，∵点C 关于直线AP 的对称点C '，∴AP平分∠CAC′，CE=CE=12，∴∠CAE=30°，∴∠BAF=180°-∠CAE-∠BAC=180°-30°-90°=60°，∵BF⊥EF，∴∠ABF=90°-∠BAF=90°-60°=30°，∴AF=12AB，BFAB=，∵AB=AC=1，∴BC=AF=1122AB=，BFAB==设PC为m，PB=PC+BC=m，∵BF⊥EF，CE⊥EF，∴CE∥BF，∴△PCE∽△PBF，∴PC CEPB BF=1=解得m=经检验符合题意．【点睛】本题考查30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，解分式方程，轴对称性质，掌握以上知识是解题关键．5、 (1)四边形AFCE 是菱形．理由见解析(2)EF =(3)BF AE 【解析】【分析】（1）由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得AEO CFO △△≌，从而得AE =CF ，即可证得四边形AFCE 是平行四边形，进而可得四边形AFCE 是菱形；（2）设3AE m =，2BF m =，由四边形AECF 是菱形及勾股定理可求得m ，从而可得BC 的长，由勾股定理可求得AC 的长，从而可得OC 的长，再由勾股定理求得OF 的长，最后求得EF 的长；（3）设AE a =，BF b =，由矩形的性质及BE ⊥CE ，易得CDE BEC △△∽，由相似三角形的性质可得关于a 、b 的方程，即可求得b a的值，从而求得结果．(1)四边形AFCE 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴EAO FCO ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO CO =，90EOA FOC ∠=∠=︒，在AEO △和CFO △中， EAO FCO AO CO EOA FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEO CFO ASA △△≌，∴AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵AC EF ⊥，∴四边形AFCE 是菱形；(2)∵23AE BF =，∴设3AE m =，2BF m =，∵四边形AECF 是菱形，∴3AF AE m ==，EF =2 OE =2OF ，12OC AC =，AC ⊥EF ，在Rt ABF 中，∵222AB BF AF +=，∴222549m m +=，∴m =∴AF FC ==BF =∴BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∴AC =∴12OC AC ==，在Rt △OCF 中，由勾股定理得：∴OF =，∴2EF OF ==(3)设AE a =，BF b =，则AF CF EC a ===，BC a b =+，BF DE b ==．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD CB ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵BE CE ⊥，∴90BEC D ∠=∠=︒，∴CDE BEC △△∽， ∴DE EC EC BC=， ∴b a a a b =+， ∴220b ab a +-=， ∴210b b a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴b a =，∴BF AE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键．根据问题的特点设元是本题的特点．。

难点解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专项测评试卷(含答案详解)

八年级数学下册第九章图形的相似专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（）A．14米B．16米C．18米D．20米2、将一个三角形的各边都缩小到原来的12后，得到三角形与原三角形（）A．一定不相似B．不一定相似C．无法判断是否相似D．一定相似3、如图，由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点1A的线段分别与1BC，BE交于点M，N，则11MB NB+=（）A B C D ．14、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（）cm ．A ．4-B ．4C ．4D ．4-5、如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，连接DE ，下列条件不能判定△ADE 与△ABC 相似的是（）A ．∠ADE ＝∠B B ．∠AED ＝∠C C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC= 6、下列判断正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．若点C 是AB 的黄金分割点，且6cm AB =，则BC 的长为()3cmD ．如果两个相似三角形的面积比为16：9，那么这两个相似三角形的周长比是4：37、点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，可推出DE ∥BC 的条件是（）A ．BD AD ＝43，AE EC ＝43B ．AD AB ＝23，AE AC ＝23 C ．AD AB ＝23，EC AE ＝23 D ．AB AD ＝23，EC AE ＝12 8、如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，CD ⊥BD ，且测得AB ＝4m ，BP =6m ，PD ＝12m ，那么该古城墙CD 的高度是（）A ．8mB ．9mC ．16mD ．18m9、如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =6cm ，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为（）cm ．A ．154B ．5C ．152D ．810、如图，在△ABC 中，点D 、E 在边AB 上，点F 、G 在边AC 上，且DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，若Δ1ADF S =，则EBCG S =四边形（）A．3 B．4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，BD⊥DE交AC的延长线于点E，则DE＝_____．2、如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG 于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．3、如图，长方形ABCD中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x的正半轴上，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，CF所在的直线方程为y x=EF的长为______．4、如图：△ABC中，点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝_____．5、如图，点阵中的相邻4个顶点的小正方形面积为1，则五边形ABCEF的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．(1)联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；(2)若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．2、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD 上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．(1)求BC的长；(2)当GE＝GD时，求AE的长；(3)当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．3、如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．4、如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．(1)若AE ＝3，求ED 的长．(2)求EF 的长．5、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，连结AF 、CE ．(1)试判断四边形AFCE 的形状，并说明理由；(2)若5AB =，23AE BF =，求EF 的长；(3)连结BE ，若BE CE ⊥，求BF AE的值．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可．【详解】解：设旗杆高为x 米，根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：1.6 1.215x ，解得：20x ，故旗杆高20米，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程计算出结果，是解决本题的关键．2、D【解析】【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的12， ∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12，∴得到三角形与原三角形一定相似．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、D【解析】【分析】本题可通过相似三角形A1B1M和NBM得出的关于NB，A1B1，MB，MB1的比例关系式来求，比例关系式中A1B1，BB1均为正方形的边长，长度都是1，因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可得出所求的值．【详解】解：∵A1B1∥BN，∴△A1B1M∽△NBM，又A1B1＝BB1＝1，∴NB：A1B1＝MB：MB1，即NB：1＝MB：（MB−1），整理，得MB＋NB＝MB•NB，两边同除以MB•NB得11MB NB+=1；故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，综合性比较强．4、B【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB ， ∵AB 的长度为8cm ，∴AP ×8=4（cm ）．故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC AB ．5、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．【详解】解：∵∠ADE ＝∠B ，A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽故A 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；∠AED ＝∠C ，A A ∠=∠∴ADE ABC △△∽故B 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；AD AEAB AC=，A A ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽故C 能判定△ADE 与△ABC 相似，不符合题意；AD DEAB BC=，条件ADE B ∠=∠未给出，不能判定△ADE 与△ABC 相似，故D 符合题意故选D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．6、D【解析】【分析】直接利用矩形的判定方法以及相似多边形的性质、黄金分割的性质分别判断得出答案．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B 、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C 、若点C 是AB 的黄金分割点，且AB =6cm ，则BC 的长约为3)cm 或cm ，故此选项错误；D 、如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了矩形的判定方法以及相似多边形的性质、黄金分割的性质，正确掌握相关性质是解题关键．7、B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：当ADAB＝AEAC或ADDB＝AEEC时，DE∥BC，B选项中，ADAB＝23，AEAC＝23，∴ADAB＝AEAC，∴DE∥BC，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．8、A【解析】【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE∵EP⊥BD∴∠APB=∠CPD∵AB⊥BD，CD⊥BD ∴∠ABP=∠CDP=90° ∴△ABP∽△CDP∴AB CD BP PD=∴4128(m)6AB PDCDBP⨯⨯===故选：A【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．9、C【解析】【分析】EF是BD的垂直平分线，则OB=OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE=OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．【详解】解：∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD，∵∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，∴OE =OF ，∵∠OBF =∠ABD ，∴△BOF ∽△BAD ， ∴FO AD BO AB=，∵BD ，∴BO =5，∴FO =5×68=154， ∴EF =2FO =152（cm ）．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BD 的长是解题的关键．10、C【解析】【分析】利用////DF EG BC ，得到ADF ABC ∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽，利用AD DE EB ==，得到13AD AB =，12AD AE =，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得AEG ∆和ABC ∆的面积，利用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形即可求得结论．【详解】解：AD DE EB ==， ∴13AD AB =，12AD AE =．////DF EG BC ，ADF ABC ∴∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽． ∴2()ADF ABC S AD S AB ∆∆=，2()ADF AEG S AD S AE ∆∆=． 99ABC ADF S S ∆∆∴==，44AEG ADF S S ∆∆==．945ABC AEG EBCG S S S ∆∆∴=-=-=四边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形解答．二、填空题1、1207【解析】【分析】由勾股定理可求AC 的长，由矩形的性质可得5OD OB ==，由面积法可求DH 的长，通过证明OD DE OH DH=，即可求解．【详解】解：如图：过点D 作DH AC ⊥于H ，6AB =，8BC =，10AC ∴=，四边形ABCD 是矩形，152AO CO BO DO AC ∴=====，11··22ADC S AD CD AC DH ==， 6810DH ∴⨯=，245DH ∴=，75OH ∴=， ∵=90DOH ODH ∠+︒∠，=90DOH E ∠+︒∠，∴ODH E ∠=∠90DHO EHD ∠=∠=︒，ODH DEH ∴∆∆∽， ∴OD DE OH DH =， ∴572455DE =，1207DE ∴=，故答案为：1207．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．2、144【解析】【分析】根据DG∥BC得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGEF的边长为x．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴DG AP BC AH=，∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，即DG AH PH CB AH-=，由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，得16 4816x x-=，解得x＝12．∴正方形DEFG的边长是12，∴S正方形DGEF＝DE2＝122＝144．故答案为：144．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．3、【解析】【分析】连接EC，利用一次函数与坐标轴的交点坐标求得F(0)，C(12，0)，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC=90°，最后证Rt△GEC~Rt△GFE，利用相似的性质即可求出FG的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接EC，令x=0，则y y=0，则x=12，∴F(0，C(12，0)，∴OF，OC=AD=12，由勾股定理得：FC=，∵E为AD中点，∴AE =DE =12AD =6，设FG =a ，则GC =a ，由翻折知，△AEF ≌△GEF ，∴AE =GE =6，∠AEF =∠GEF ，∠EGF =∠EAF =90°=∠D ，∴GE =DE ，∴EC 平分∠DCG ，∴∠DCE =∠GCE ，∵∠GEC =90°-∠GCE ，∠DEC =90°-∠DCE ，∴∠GEC =∠DEC ，∴∠FEC =∠FEG +∠GEC =12×180°=90°， ∴∠FEG +∠GEC =90°，∠FEG +∠EFG =90°，∴∠GEC =∠EFG ，∴Rt △GEC ~Rt △GFE ，∴GE GC GF GE =，即6a =，解得：a (舍去)或a FG∴EF故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE ，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．4、1：3：5【解析】【分析】根据DG ∥BC 得出△ADG ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：∵点D 、F 是AB 边的三等分点，点E 、G 是AC 边的三等分点，∴DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，设△ADE 的面积为m ， ∴21()4ADE AFG SAD S AF ==， ∴S △AFG ＝4m ，∵21()9ADE ABC SAD S AB ==， ∴S △ABC ＝9m ，∴S △ADE ＝m ，S 四边形DEFG ＝S △AFG ﹣S △ADE ＝4m ﹣m ＝3m ，S 四边形BCGF ＝S △ABC ﹣S △AFG ＝9m ﹣4m ＝5m ，∴S △ADE ：S 四边形DEFG ：S 四边形BCGF ＝1：3：5，故答案为：1：3：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 5、13130【解析】【分析】如图，先求出△PQH 的面积，再根据相似三角形的性质得出△PGF 的面积和△HCE 的面积，即可求出这个图案的面积．【详解】解：如图所示：∵GD ∥QH ，∴△PGF ∽△PQH ， ∴21()9PGF PQHS PG S PQ ∆∆==， 11153522S 2PQH PQ QH ∆=⋅=⨯⨯=， 5S 6PGF ∆=∴， ∵CD ∥PQ ，∴△HCE ∽△HQP ，21()25HCE HQP S HC S HQ ∆∆∴==， 3S 10HCE ∆=∴， ∴五边形ABCEF 的面积=S △PQH -S △PGF -S △HCE -S 矩形ABQG155313112261030=---⨯=，故答案为：131 30．【点睛】此题考查了相似三角形判定和性质，关键是根据三角形面积公式解答．三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出PC DPPF PB=，PE DPPC PB=，则可得出结论；（2）证明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DCP＝∠BDC，证出∠DPC＝90°，则可得出结论．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，BC∥AD，∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，∴PC DPPF PB=，PE DPPC PB=，∴，PC PE PF PC=，∴PC2＝PE•PF；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠DCB＝90°，∵2·AB BD DP=∴DC2＝BD•DP，∴DC BD DP CD=，又∵∠CDP＝∠BDC，∴△CDP∽△BDC，∴∠DCP＝∠BDC，∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，∴∠DPC＝90°，∴∠BPC＝90°．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2、 (1)BC=(2)AE=(3)当t时，CG取得最小值为【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，由勾股定理可得出答案；（2）过点G作MN⊥AB，证明△EMG≌△GND（AAS），得出MG＝DN，设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，证明△DGN∽△GFN，由相似三角形的性质得出GN NFDN GN=，得出方程3t＝10﹣t+210tt-，解方程求出t的值可得出答案；（3）连接BD，交EF于点K，证明△BEK∽△DFK，得出比例线段2233BK BE tDK DF t===，求出BD＝10DK＝DK的中点，连接OG，点G在以O为圆心，r＝OC，OG，求出CG的最小值和t的值即可．(1)解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，∵AB＝10，CD＝15，∴CH＝5，又∵BH＝AD＝10，∴BC==(2)解：过点G作MN⊥AB，如图2，∵AB CD∥，∴MN⊥CD，∵DG⊥EF，∴∠EMG＝∠GND＝90°，∴∠MEG+∠MGE＝90°，∵∠EGM+∠DGN＝90°，∴∠GEM＝∠DGN，∵EG＝DG，∴△EMG≌△GND（AAS），∴MG＝DN，设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，∵点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，∴BE＝2t，AE＝10﹣2t，DF＝3t，CF＝15﹣3t，∵AM＝DN，AD＝MN，∴a+b＝10，a﹣b＝10﹣2t，解得a＝10﹣t，b＝t，∵DG⊥EF，GN⊥DF，∴∠DNG＝∠FNG＝90°，∴∠GDN+∠DFG＝∠GDN+∠DGN＝90°，∴∠DFG＝∠DGN，∴△DGN∽△GFN，∴GN NF DN GN，∴GN2＝DN•NF，∴NF＝2210GN tDN t=-，又∵DF＝DN+NF，∴3t＝10﹣t+210tt-，解得t＝5又∵0≤t≤5，∴t＝5∴AE＝10﹣2t＝(3)解：如图3，连接BD，交EF于点K，∵BE DF∥，∴△BEK∽△DFK，∴2233 BK BE tDK DF t===，又∵AB＝AD＝10，∴BD AB＝∴DK ＝35BD = 取DK 的中点，连接OG ，∵DG ⊥EF ，∴△DGK 为直角三角形，∴OG ＝12DK =∴点G 在以O 为圆心，r ＝的圆弧上运动，连接OC ，OG ，由图可知CG ≥OC ﹣OG ，当点G 在线段OC 上时取等号，∵AD ＝AB ，∠A ＝90°，∴∠ADB ＝45°，∴∠ODC ＝45°，过点O 作OH ⊥DC 于点H ，又∵OD ＝，CD ＝15，∴OH ＝DH ＝3，∴CH ＝12，∴OC则CG 的最小值为3，当O ，G ，C 三点共线时，过点O 作直线OR ⊥DG 交CD 于点S ，∵OD ＝OG ，∴R 为DG 的中点，又DG ⊥GF ，∴OS∥GF，∴点S是DF的中点，OC SC OG SF=，∴DS＝SF＝32t，SC＝15﹣32t，315232tt-=，∴t，即当t时，CG取得最小值为【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，最小值问题，圆的基础知识，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．3、 (1)见解析(2)依据见解析，135°【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图，把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定定理两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(1)解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)证明：∵A 1C 1＝4，∠C 1A 1B 1＝135°，A 1B 1=A 2C 2＝2，∠C 2A 2B 2＝135°，根据勾股定理A 2B 2， ∴22112142A C A C ==，221112B B A A ==， ∴2222111112A C A B A C A B ==， ∠C 2A 2B 2=∠C 1A 1B 1＝135°， ∴△A 2B 2C 2∽△A 1B 1C 1．∠C 2A 2B 2＝135°，【点睛】本题考查了作图﹣相似变换，点的平移，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．4、 (1)92(2)125【解析】【分析】（1）证明AEB DEC ∆∆∽，得到AE AB DE CD=，把已知数据代入计算即可；（2）根据BEF BCD ∆∆∽，得到EF BF CD BD =，同理得到EF DF AB BD =，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【小题1】解：//AB CD ， AEB DEC ∴∆∆∽， ∴AE AB DE CD =， 4AB =，6CD =，3AE =， ∴346DE =，解得：92DE =；【小题2】 //CD EF ， BEF BCD ∴∆∆∽， ∴EF BF CD BD=，同理：EF DF AB BD =， ∴1EF EF BF DF CD AB BD BD +=+=， ∴164EF EF +=，解得：125EF =．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、 (1)四边形AFCE 是菱形．理由见解析(2)EF =(3)BF AE 【解析】【分析】（1）由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得AEO CFO △△≌，从而得AE =CF ，即可证得四边形AFCE 是平行四边形，进而可得四边形AFCE 是菱形；（2）设3AE m =，2BF m =，由四边形AECF 是菱形及勾股定理可求得m ，从而可得BC 的长，由勾股定理可求得AC 的长，从而可得OC 的长，再由勾股定理求得OF 的长，最后求得EF 的长；（3）设AE a =，BF b =，由矩形的性质及BE ⊥CE ，易得CDE BEC △△∽，由相似三角形的性质可得关于a 、b 的方程，即可求得b a的值，从而求得结果． (1)四边形AFCE 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴EAO FCO ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO CO =，90EOA FOC ∠=∠=︒，在AEO △和CFO △中， EAO FCO AO CO EOA FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEO CFO ASA △△≌，∴AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵AC EF ⊥，∴四边形AFCE 是菱形；(2)∵23AE BF =，∴设3AE m =，2BF m =，∵四边形AECF 是菱形，∴3AF AE m ==，EF =2 OE =2OF ，12OC AC =，AC ⊥EF ，在Rt ABF 中，∵222AB BF AF +=，∴222549m m +=，∴m =∴AF FC ==BF =∴BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∴AC =∴12OC AC ==，在Rt △OCF 中，由勾股定理得：∴OF =，∴2EF OF ==(3)设AE a =，BF b =，则AF CF EC a ===，BC a b =+，BF DE b ==．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD CB ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵BE CE ⊥，∴90BEC D ∠=∠=︒，∴CDE BEC △△∽， ∴DE EC EC BC=， ∴b a a a b =+， ∴220b ab a +-=， ∴210b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴b a =，∴BF AE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键．根据问题的特点设元是本题的特点．。

鲁教版五四制八年级下册数学第九章图形的相似相似多边形

解：这种说法不正确．比如，如图的两个菱形，每个菱形的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所以它们不相似．
13．如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，∠A＝62°，∠B＝70°， ∠H＝140°，AD＝18，EF＝15，FG＝14，EH＝12，求∠G 的度数及 AB，BC 的长．
解：∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，∴∠E＝∠A＝62°，∠F ＝∠B＝70°.又∵∠H＝140°，∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°，∴ ∠G＝88°.∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，∴EAHD＝AEBF＝FBGC.又 ∵AD＝18，EF＝15，FG＝14，EH＝12，∴AB＝22.5，BC＝21.
LJ版八年级下
第九章图形的相似
9.3 相似多边形
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1D 2A 3D 4B
5C 6B 7C 8B
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9C 10 C 11 B 12 见习题
13 见习题 14 见习题 15 见习题 16 见习题
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1．下列说法中正确的是( D ) A．对应角相等的多边形一定是相似多边形 B．对应边的比相等的多边形是相似多边形 C．边数相同的多边形是相似多边形 D．对应角相等、对应边成比例的多边形是相似多边形
8．如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝2，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点处，若四边形 DFEC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 等于( ) A. 5 B. 5＋1 C．4 D．2 3
【点拨】设 AD＝x，由题易知 FD＝x－2，FE＝2. ∵四边形 DFEC 与矩形 ABCD 相似， ∴FEDF＝AADB，即x－2 2＝x2. 解得 x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5(不合题意，舍去)，经检验 x1＝1＋ 5 是原方程的解．故选 B.

达标测试鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似综合测评练习题(无超纲)

八年级数学下册第九章图形的相似综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（）A ．周长扩大4倍，面积扩大2倍B ．周长扩大2倍，面积扩大4倍C ．周长扩大4倍，面积扩大4倍D ．周长扩大4倍，面积扩大16倍2、如图，已知AB CD EF ∥∥，:3:5AD AF =，12BE =，那么BC 的长等于（）A ．2B ．4C ．4.8D ．7.23、若点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，则AC 的长是（）A ． 4B ．9－C ．3或9－D ．4或12－4、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，且111A B C S ∆＝2，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．8C ．6D ．45、如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()2,2A ，()4,2B ，()4,4C ，以原点为位似中心，在原点的异侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为1:2，则线段DF 的长度为（）A B ．2 C ．D ．46、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为()3,2-、()2,3-，以原点O 为位似中心，在原点的异侧按1∶3的相似比将OAB 放大，则点B 的对应点B '的坐标为（）．A ．()6,9-B ．()9,6-C ．()6,4-D ．()4,6-7、下列各组线段中是成比例线段的是（）A．2cm,4cm,6cm,6cm B．2cm,4cm,4cm,8cmC．4cm,8cm,12cm,16cm D．3cm,6cm,9cm,12cm8、如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为（）A B．2：3 C．2：5 D．4：99、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是4米，则P到AB的距离为（）A．2.5米B．1.6米C．1.5米D．1.2 米10、如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG，AE AH，AC交HG，EF于点M，Q，若要求APQ的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（）A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPHC．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形HDFP和矩形PGCF第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点E 在▱ABCD 的边CD 的延长线上，连接BE 分别交AD 、AC 于F 、G ．图中相似的两个三角形共有 _____对．2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，如果AE EC ＝34，那么AE AB ＝________________．3、点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >．若2cm AB =，则AC =______cm ．4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若ADE 的面积为23cm ，则四边形BDEC 的面积为 _____．5、在平面直角坐标系中，△ABC 中点A 的坐标是（2，3），以原点O 为位似中心把△ABC 放大，使放大后的三角形与△ABC 的相似比为3：1，则点A 的对应点A ′的坐标为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE 2＝AF •AB ，∠DAE ＝∠BAC ．(1)求证：△DAF ∽△CAE ．(2)求证：DF DE ＝CE CB． 2、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3cm ，BC =4cm ，动点P 从点B 出发以2cm /s 速度向点C 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm /s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t ．(1)根据题意知：CQ ＝，CP ＝；（用含t 的代数式表示）(2)t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18？ (3)运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？3、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC m AC n=，CD AB ⊥于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ．(1)[探究发现]：如图1，若m n =，点E 在线段AC 上，猜想DE 与DF 的数量关系，并说明理由；(2)[数学思考]：①如图2，若点E 在线段AC 上，求证：DE n DF m=； ②当点E 在直线AC 上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)[拓展应用]：若AC =BC =DF =CE 的长．（可结合题意，另行画图）4、如图，∠A ＝∠D ，AC ，BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AB 交BD 于点F ．(1)求证：△CEF ∽△DEC ；(2)若EF ＝3，EC ＝5，求DF 的长．5、如图，E 是矩形ABCD 边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF 相交于点P ，连接PC ，过点A 作AQ PC ∥交PD 于点Q ．(1)求证：2PC AQ =；(2)已知2AD PD DE =⋅，10AB =，12AD =，求BF 的长；(3)当F 是BC 的中点时，求:AP PF 的值；-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】由题意得，扩大后的三角形与原三角形的相似比为4，根据相似三角形的周长与面积进行解答即可得．【详解】解：由题意得，扩大后的三角形与原三角形的相似比为4，根据相似三角形的周长之比等于相似比，所以当三角形各边都扩大4倍后，周长也扩大到原来的4倍；根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，所以当三角形各边都扩大4倍后，面积扩大到原来的16倍；故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的周长与面积，解题的关键是熟记相似三角形的周长与面积．2、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴35BC ADBE AF==，即3125BC=，解得：BC ＝7.2；故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．3、D【解析】【分析】叫做黄金数，当AC BC >时，AC AB =AC BC <时BC AB =，即AB AC AB - 【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，当AC BC >时，AC AB = ，84AC ==；当AC BC <时，BC AB =，即AB AC AB -8]8AC -84)12AC =-=-综上，AC 的长为4或12-故选D ．本题考查了黄金分割，解题的关键是要不重不漏，分情况讨论AC 和BC 之间的长度关系．4、B【解析】【分析】依题意，依据位似三角形的性质，可得对应三角形的相似比，又结合面积比为相似比的平方，即可求解．【详解】解：由题知，ABC ∆和111A B C ∆是以点为位似中心的位似三角形，∴ 1:OC OC 为111A B C ∆和ABC ∆的相似比；又1C 为OC 的中点， ∴ 11:2OC OC =；又结合相似三角形的性质可得：111211()4A B C ABC S OC S OC ∆∆==，又1112A B C S ∆=； ∴8ABC S ∆=故选：B ．【点睛】本题主要考查位似三角形及相似三角形的性质，关键在熟练应用数形结合的方式分析解答．5、A【解析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），∴AB＝2，BC＝2，由勾股定理得：AC∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，AC∴线段DF的长度为12故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6、A【解析】【分析】直接利用位似图形的性质以及结合B点坐标直接得出点B′的坐标．【详解】解：∵以点O为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB放大，点B的坐标分别为(−2，3)．∴点B的对应点B′的坐标为（6，-9），故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．7、B【解析】【分析】根据成比例线段的定义和性质，即可求解．【详解】解：A 、因为2646⨯≠⨯ ，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；B 、因为2844⨯=⨯，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意；C 、因为416812⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；D 、因为31269⨯≠⨯，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段a b c d ,,, ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA∴::AD A D OA OA '''== ，∴四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′的面积比为22:2:3= ．故选：B【点睛】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．9、B【解析】【分析】过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E ；根据平行线的性质，得PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠；根据相似三角形的性质，证明PAB PCD ∽△△、PAF PCE △∽△，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】如图，过点P 作PE CD ⊥，分别交AB 于点F ，交CD 于点E∵AB //CD∴PE AB ⊥∴90PFA PEC ∠=∠=︒又∵AB //CD∴PAB PCD ∠=∠，PBA PDC ∠=∠∴PAB PCD ∽△△∴25PA AB PC CD == ∵90PFA PEC ∠=∠=︒，PAB PCD ∠=∠∴PAF PCE △∽△ ∴25PF PA PE PC == ∴224 1.655PF PE ==⨯=米故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．10、B【解析】【分析】设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩形AEPH 的面积为：ab ，矩形HDFP 的面积为：3a b ，矩形PEBG 的面积为：3b a，以及APQ 的面积，HDFP AEPH S S -矩形矩形，进而比较可【详解】解：∵矩形ABCD 被分割成4个小矩形，设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，矩形AEPH ~矩形HDFPAE HD EP HP∴= 2AE HP a PF HD EP b⋅∴===222a ab AD BC EP PF b b b+∴==+=+= 矩形AEPH ~矩形PEBG ，AE EP EP EB∴= 22EP b EB AE a∴== 2b FC EB a∴== ∴矩形AEPH 的面积为：ab矩形HDFP 的面积为：3a b矩形PEBG 的面积为：3b a∴HDFP AEPH S S -=矩形矩形3a b -ab 32a ab b-= EQ BC ∥AEQ ABC ∴∽2222EQ AE a a b BC AB a b a a∴===++ 2222222222a a a b a a EQ b a b b a b b b⎛⎫+∴=⨯+=⨯= ⎪++⎝⎭ 11=22APQ AEQ AEP S S S AE EQ AE EP ∴-=⋅-⋅△△ ()1=2AE EQ EP ⋅- 22232111=222a a b a ab a b a b b b ⎛⎫--=⨯-=⨯⨯ ⎪⎝⎭()1=2HDFP AEPHS S -矩形矩形故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，进行的性质，题中相等量两较多，关系复杂，设参数是解题的关键．二、填空题1、6【解析】【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥DC∵△ABG ∽△CEG ，△AGF ∽△CGB ，△EFD ∽△EBC ，△ABF ∽△DEF ，△ABF ∽△EBC 五对，还有一对特殊的相似即△ABC ≌△ADC ，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．2、47【解析】【分析】由DE ∥AB 可得DE CE AB AC=，进而结合题干中的条件得到AE ＝DE ，即可求解．【详解】解：∵DE ∥AB ，∴~CDE CBA ， ∴DE CE AB AC=，又∵AE EC ＝34， ∴DE CE AB AC =＝47，又∵AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠BAD ＝∠DAE ，∴AE ＝DE ， ∴AE DE CE AB AB AC ==＝47，故答案为：47．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．31##1-【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AC AB ，把2AB cm =代入计算即可．【详解】解：点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，AC ∴，而2AB cm =，21)AC cm ∴=．1．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．4、29cm【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得12DE BC = ，DE ∥BC ，从而得到△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质，可得212cm ABC S =△ ，即可求解．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴12DE BC = ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ， ∵ADE 的面积为23cm ，∴212cm ABC S =△ ，∴四边形BDEC 的面积为21239cm ABC ADE SS -=-=．故答案为：29cm【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的性质是解题的关键．5、(6,9)或(6,9)--【解析】【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -进行解答．【详解】解：以原点O 为位似中心，把ABC ∆放大，使放大后的三角形与ABC ∆的相似比为3:1，则点(2,3)A 的对应点A '的坐标为(6,9)或(6,9)--．故答案为：(6,9)或(6,9)--．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）首先证明△EAF∽△EAB，得∠AEF＝∠B，再利用三角形内角和定理知∠D＝∠C，从而证明结论；（2）先证明△DAE∽△CAB，再根据△DAF∽△CAE，从而可得AD DFAC EC=，ED DABC AC=，等量代换即可．(1)证明： AE2＝AF•AB，∴EA FA BA AE=，∴∠EAF＝∠BAE，∴△EAF∽△BAE，∴∠AEF＝∠B，又∵∠DAE＝∠BAC，∴∠D＝∠C，又∵∠DAF＝∠CAE，∴△DAF∽△CAE；(2)∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠C，∴△DAE∽△CAB，∴ED DA BC AC=，∵△DAF∽△CAE，∴AD DF AC EC=，∴DE DF BC EC=，∴DF CE DE CB．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2、 (1)t，4﹣2t(2)32或12(3)65或1611秒【解析】【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．(1)解：AC=3cm，BC=4cm，根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，故答案为：t，4-2t；(2)解：当△CPQ的面积等于△ABC面积的18时，即12（4-2t）•t=18×12×3×4，解得；t=32或t=12；答：经过32或12秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的18；(3)解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则AC QCBC PC=，即3442tt=-，解得t=65；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则PC ACQC BC=，即4234tt-=，解得t=1611；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或1611秒．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．3、 (1)DE＝DF，见解析(2)①见解析；②成立，见解析(3)【解析】【分析】（1）根据BC,ACmm nn==得出BC＝AC，根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，得出∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，根据CD⊥AB，DE⊥DF，得出∠CDE＝∠BDF，再证△CDE≌△BDF（AAS），得出DE＝DF 即可；（2）①根据∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°，得出∠A＝∠BCD，可证∠ADE＝∠CDF，得出△ADE∽△CDF，利用相似三角形性质得出DE ADDF DC=，根据∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，可证△ADC∽△CDB，得出AD ACDC BC=，根据ACBCnm=，得出DE ACDF BCnm==；②仍然成立，根据∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，得出∠CDE＝∠BDF，再证△ADE∽△CDF，得出DE ADDF DC=，根据△ADC∽△CDB，得出AD ACDC BC=，根据ACBCnm=，可证DE AC DF BC n m==即可；（3）根据△ADE∽△CDF，得出DE AC1DF BC2==，可得AD AE DE1CD CF DF2===，证出CF＝2AE，根据DF＝DE＝EF，根据勾股定理EF＝E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE，根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（CE] 2＝40 ，②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2CE）] 2＝40 ，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2CE）] 2＝40，解方程即可．(1)结论为：DE＝DF证明：∵BC,ACmm nn==∴BC＝AC，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，∵CD⊥AB，DE⊥DF，∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CD F=90°∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，ECD B EDC FDB CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CDE ≌△BDF （AAS ），∴DE ＝DF ，(2)①∵∠A +∠ACD ＝90°∠ACD +∠BCD ＝90°∴∠A ＝∠BCD ，∵∠ADE +∠CDE ＝90°，∠CDE +∠CDF ＝90°∴∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ， ∴DE AD DF DC=， ∵∠A ＝∠BCD ，∠ACD ＝∠B ，∴ △ADC ∽△CDB ， ∴AD AC DC BC=， ∵AC BC n m= ， ∴DE AC DF BC n m ==； ②仍然成立，∵∠CDE +∠BDE ＝90°，∠BDF +∠BDE ＝90°，∴∠CDE ＝∠BDF ，∴∠ADE ＝∠CDF ，∵∠A＝∠BCD，∴△ADE∽△CDF，∴DE AD DF DC=，∵△ADC∽△CDB，∴AD AC DC BC=，∵ACBCnm=，∴DE ACDF BCnm==；(3)由（2）得△ADE∽△CDF，∴DE AC1 DF BC2==，∴AD AE DE1CD CF DF2===，∴CF＝2AE，∵DF＝∴DE＝连结EF，∵∠EDF＝90°，∴EF＝①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE，∵CE2+CF2＝EF2，∴CE＝CE＝（舍去），∴CE＝②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+ [ 2CE）] 2＝40 ，∴CE CE＝－舍去)，∴CE③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE ＝CE （均不满足题意），综上所述，CE ＝【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．4、 (1)证明见解析； (2)163DF =．【解析】【分析】（1）通过CF ∥AB 得到B EFC ∠=∠，然后利用三角形内角和定理有180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，从而得出DCE EFC ∠=∠，外加对顶角DEC CEF ∠=∠，从而得出结论；（2）根据（1）的结论得到比例式EF CE CE ED=，带入数据就可求出DF 的长． (1)∠A ＝∠D ，180A B AEB D DCE DEC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，AEB DEC ∠=∠，∴ B DCE ∠=∠；CF ∥AB ，∴ B EFC ∠=∠，∴ DCE EFC ∠=∠；DEC CEF ∠=∠∴△CEF ∽△DEC (2)△CEF ∽△DEC ， ∴EF CE CE ED=； EF ＝3，EC ＝5， ∴253ED = ∴2516333DF =-= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．利用三角形内角和定理，结合平行线的性质，即可证出．5、 (1)见解析 (2)256BF = (3)23AP PF = 【解析】【分析】（1）判断出AEQ CDP ∠=∠，AQE CPD ∠=∠进而得AEQ CDP ～△△，即可得出结论；（2）先判断出ADP EDA ～△△，得出DAP DEA ∠=∠，进而判断出DEA AFB ∠=∠，再判断出DAE ABF ～△△，即可得出结论；（3）先判断出ADE BGE ≌△△，得出AD BG =，进而判断出2GC BG BC AD =+=，再判断出2AD BF =，2BG BF =，进而判断出 2233AD BF GF BF ==，判断出ADP FGP ～△△，即可得出结论． (1)证明：∵AQ PC ∥∴AQE CPD ∠=∠∵AE CD ∥∴AED CDE ∠=∠∴AEQ CDP ～△△∴AQ AE PC CD= ∵E 为AB 中点∴12AE CD = ∴12AQ PC = ∴2PC AQ =(2)解：∵2AD PD DE =⋅ ∴AD PD DE AD= 又∵EDA ADP ∠=∠∴ADP EDA ～△△∴DAP DEA ∠=∠∵DAP AFB ∠=∠∴DEA AFB ∠=∠又∵DAE ABF ∠=∠∴DAE ABF ～△△ ∴ADAEAB BF =， 12510BF = ∴256BF = 故答案为：256(3)解：延长DE 交CB 的延长线于点G∵E 为AB 中点∴AE BE =， DAE GBE ∠=∠，AED BEG ∠=∠∴ADE BGE ≌△△∴AD BG =∵AD BC ∥∴ADP FGP ～△△ ∴2332APAD AD PF GF AD === 故答案为：23．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．。

2021-2022学年最新鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专题训练试题(精选)

八年级数学下册第九章图形的相似专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法正确的是（）A ．有两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似B ．各有一个角是50°的两个等腰三角形相似C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似2、如图，已知AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，点G 是BD 的中点，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，如果AD ＝1，BC ＝4，那么GE ：BC 等于（）A ．3：8B ．1：4C ．3：5D ．2：33、如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，则下列结论：①AF ⊥DE ；②AE EG =；③AM =23MF ；④14AEM ADMS S ∆∆=．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4、如图，树AB 在路灯O 的照射下形成影子AC ，已知路灯高5PO =m ，树影3AC =m ，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5AP =m ，点C 、A 、P 在同一水平线上，则树的高度AB 长是（）A ．3mB ．2mC ．23mD ．103m 5、若3(0)4x xy y =≠，则下列等式成立的是（） A ．3x ＝4y B ．74x y y += C ．315x y =+ D ．1314x y +=+ 6、如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝5，AB ＝3，点E 是边CB 上一动点，过点E 作EF //CA 交AB 于点F ，D 为线段EF 的中点，按下列步骤作图：①以C 为圆心，适当长为半径画弧交CB ，CA 于点M ，点N ；②分别以M ，N 为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G ；③作射线CG ．若射线CG 经过点D ，则CE 的长度为（）A ．813B ．1513C ．2013D ．25137、如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转α得到△DEC ，此时点D 落在边AB 上，且DE 垂直平分BC ，则AC DE的值是（）A ．13 B ．12 C ．35 D ．28、如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（）A ．都相似B ．都不相似C ．只有甲中两个三角形相似D ．只有乙中两个三角形相似9、身高1.6m 的小刚在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m ，则旗杆高为（）A ．14米B ．16米C ．18米D ．20米10、2021年7月，占地约2917亩的独秀山公园正式对外全面开放，主办方精心筹建的游乐项目深受广大游客的青睐，其中某两个项目入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（）A ．一支粉笔的长度B ．一支钢笔的长度C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A ，(4,2)B ．以原点O 为位似中心，将线段AB 缩小后得到线段DE ，若1DE =，则端点D 的坐标为______．2、已知点P 是线段AB 的黄金分割点，,4cm PA PB AB >=，那么PA =________cm ．3、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的延长线上的一点，DE 与边BC 相交于点F ，27BE AE =，那么BF的值为________________．FC4、点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝8，那么AP＝_____．5、如图，直角三角形ABC中，90AC=，4∠=︒，3CBC=，D为AB的中点，过点D作AB的垂线，交边BC于点E，若点F在射线ED上（不与E点重合），且由点D、B、F组成的三角形与△ABC相似，则DF的长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．(1)求证：△ABE∽△ECF；(2)若CF的长为1，求CE的长．2、如图，在菱形ABCD中，AB＝15，过点A作AE⊥BC于点E，AE＝12，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQ⊥BC，交BA于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．(1)直接写出线段PQ 的长（用含t 的代数式表示）；(2)当正方形PQMN 与四边形AECD 重合部分图形为四边形时，求t 的取值范围；(3)连接AC 、QN ，当△QMN 一边上的中点在线段AC 上时，直接写出t 的值．3、问题提出如图（1），ABC 和DEC 都是等腰直角三角形，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化如图2，当点D ，F 重合时，直接写出表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系的等式：______________________________；(2)再探究一般情形如图1，当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（提示：过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ）(3)问题拓展如图3，若ABC 和DEC 都是含30°的直角三角形，有90ACB DCE ∠=∠=︒，90BAC EDC ∠=∠=︒，点E 在△ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．4、感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽； ②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．5、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝10，CD ＝15，点E ，F 分别为线段AB ，CD 上的动点，连接EF ，过点D 作DG ⊥直线EF ，垂足为G ．点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．(1)求BC的长；(2)当GE＝GD时，求AE的长；(3)当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可得．【详解】解：A、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，选项说法错误，不符合题意；B、各有一个角是50°的两个等腰三角形不一定相似，选项说法错误，不符合题意；C、有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；D、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形不一定相似，选项说法错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．2、A【解析】【分析】根据题意由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，点G是BD的中点，设OD=x，OB=4x，则BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，∴OD：OB=AD：BC=1：4，∴设OD=x，OB=4x，则BD=5x，∵点G是BD的中点，BD=2.5x，∴BG=12∴OG=OB-BG=4x-2.5x=1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC=OG：OB=1.5x：4x=3：8．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解决此题的关键是设未知数将OG、OB表示出来．3、B【解析】【分析】先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE=BE=BF、∠DAE=∠ABF=90°、AD=AB，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到∠BAM+∠AEM=90°判定①；假设AE=EG，则AE=BE=EG，则∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，从而推出∠EAG=45°判定②；由BF=AE=BE得到AFBF，然后证明△AEM∽△AFB，进而利用相似三角形的性质得到AM=23MF判定③；先证明△AEM∽△DAM，然后利用AD=2AE得到14AEMADMSS∆∆=判定④．【详解】解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，∴AE=BE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠BAF=∠ADE，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BAM+∠AEM=90°，∴∠AME=90°，故①正确，符合题意；假设AE=EG，则AE=BE=EG，∴∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴∠BEG=∠EAG+∠EGA=90°，∴∠EAG=45°，又∵∠EAG ≠45°，∴AE ≠EG ，故②错误，不符合题意∵BF =AE =BE ，AB =2AE ，∴AF ==，∵∠EAM +∠AEM =90°，∠BAF +∠AFB =90°，∴∠AEM =∠AFB ，∵∠AME =∠ABF =90°，∴△AEM ∽△AFB ， ∴AM AE EM AB AF BF==，即2AM AE = ∴AMAE ，∴MF =AF -AM-AE ， ∴AM =23MF ，故③正确，符合题意； ∵∠AEM +∠EAM =90°，∠EAM +∠DAM =90°，∴∠AEM =∠DAM ，∵∠EMA =∠AMD =90°，∴△AEM ∽△DAM ， ∴2211()()24AEM ADM S AE S AD ∆∆===，故④正确，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知相关知识．4、B【解析】【分析】结合题意，根据相似三角形的性质，通过证明ACB PCO △∽△，得AB AC PO CP=，根据相似比计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得：//AB OP∴CAB CPO ∠=∠∵ACB PCO ∠=∠∴ACB PCO △∽△ ∴AB AC PO CP = ∵3AC =m ， 4.5AP =m∴7.5m CP AC AP =+= ∴352m 7.5AC PO AB CP ⨯⨯=== 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．5、B【解析】【分析】根据比例的基本性质逐一判断即可．【详解】解：∵3(0)4xxyy=≠，∴4x=3y，A、3x=4y，不符合题意；B、74x yy+=，∴4x+4y=7y，即4x=3y，符合题意；C、315xy=+，∴5x=3y+3，不符合题意；D、1314xy+=+，∴4x+4=3y+3，即4x+1=3y，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．6、C【解析】【分析】分析：先利用勾股定理计算出BC＝4，利用基本作图得到CD平分∠ACB，再证明∠DCE＝∠CDE得到EC＝ED，设CE＝x，则EF＝2x，BE＝4﹣x，接着证明△BEF∽△BCA，利用相似比得到25x＝44x-，然后解方程即可．【详解】解：∵∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，∴BC4，由作法得CD平分∠ACB，∴∠DCE＝∠DCA，∵//EF AC，∴∠DCA＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴EC＝ED，∵D点为EF的中点，∴DE＝DF，设CE＝x，则EF＝2x，BE＝4﹣x，∵EF//AC，∴△BEF∽△BCA，∴EFAC＝BEBC，即25x＝44x-，解得x＝2013，即CE的长为20 13．故选：C．【点睛】本题考查了基本作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明DCF DEC∆∆∽，对应边成比例即可解决问题．【详解】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA CD =，AB DE =，BC EC =，B E ∠=∠， DE 垂直平分BC ，DF BC ∴⊥，DC DB =，1122CF BF BC EC ===，DCB B E ∴∠=∠=∠，90DCB FDC ∠+∠=︒，90E FDC ∴∠+∠=︒，90DCE ∴∠=︒，DCF DEC ∴∆∆∽， ∴12CD CF DE CE ==， ∴12AC DE =．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到DCF DEC ∆∆∽．8、C【解析】【分析】根据相似三角形判定定理对甲、乙中两个三角形逐一判定即可得答案．【详解】∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，∴两个三角形的三个内角分别对应相等，∴甲中两个三角形相似， ∵8364≠， ∴乙中两个三角形不相似，∴只有甲中两个三角形相似，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角分别对应相等的两个三角形相似；两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；熟练掌握判定定理是解题关键．9、D【解析】【分析】利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可．【详解】解：设旗杆高为x 米，根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：1.6 1.215x = ，解得：20x ，故旗杆高20米，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程计算出结果，是解决本题的关键．10、A【解析】【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离．【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得它们之间的图上距离是155÷2000＝0.0775米＝7.75厘米．大约相当于一支粉笔的长度．故选：A ．【点睛】首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．二、填空题1、(1,1)【解析】【分析】利用线段长的关系得出位似比，进而求出D 点坐标即可．【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B∴AB ＝2，∵以原点O 为位似中心，将线段AB 缩小后得到线段DE ，DE ＝1，∴两图形的位似比为2:1∴端点D 的坐标为：(1,1)故答案为：(1,1)【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题的关键．2、2【解析】【分析】设AP 的长为x ，由黄金分割点可知AP PB AB AP =，有x 4x 4x -=，求出符合要求的解即可．【详解】解：设AP 的长为x ，由黄金分割点可知AP PB AB AP = ∴x4x 4x -=去分母得：()244x x =⨯-解得12x =-（舍去）或2252x 经检验2x =是方程的解∴AP 的长为()2cm故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割，分式方程的应用．解题的关键在于列正确的分式方程并求解．3、2 5【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，CD＝AB，即可证得△BEF∽△CDF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB，∴△BEF∽△CDF，∵27 BEAE=，∴25 BE BEAB CD==，∴25 BF BEFC CD==．故答案为：25．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4、4##4-+【解析】【分析】，代入求值即可．【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，∴84AP AB ===，故本题答案为： 4．【点睛】本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键．5、1.875或103【解析】【分析】分两种情况讨论：①∠DBF =∠ABC ；②∠BFD =∠ABC ，利用三角形相似得出结果．【详解】解：DE ⊥AB ，90C ∠=︒，∴90C BDE ∠=∠=︒，∴AB5， ∵D 为AB 的中点，∴BD =1 2.52AB =，分两种情况讨论：①如图1，若∠DBF =∠ABC ，则△ABC ∽△FBD ， ∴DF BD AC BC =即 2.534DF =，解得：DF =1.875；②如图2，若∠BFD =∠ABC ，则△ABC ∽△BFD ，∴DF BDCB AC=即2.543DF=，解得：DF=103；综上所述，DF的长为1.875或103，故答案为1.875或103．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的运用．三、解答题1、 (1)见解析(2)CE=2【解析】【分析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF；（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF；(2)解：∵△ABE∽ECF，∴AB BE EC CF=，∴441EC EC-=，解得CE=2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．2、 (1)PQ＝4t(2)97＜t≤157(3)158或157或52【解析】【分析】（1）根据题意以及勾股定理，求得BE的长，根据PQ∥AE，可得BQP BEA∽，进而可得BQ＝5t，PQ＝4t；（2）当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，分别求得t的值，进而求得t的取值范围；（3）分三种情况讨论，即当,,QM MN QN的中点在AC上，根据相似三角形的性质与判定，列出比例式，解方程求解即可(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AB＝15，AE＝12，∴BE9，∵PQ⊥BC，∴PQ∥AE，BQP BEA∴∽∴BQ BP PQ BA BE AE==，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动3PB t∴=∴315912 BQ t PQ==，∴BQ＝5t，PQ＝4t；(2)当MN与AE重合时，BP+PN＝BE，∵四边形PQMN是正方形，∴PN＝PQ＝4t，∴3t+4t＝9，∴t＝97．当点N与点C重合时，BP+PN＝BN＝BC，∵四边形ABCD是菱形，AB＝15，∴BP+PN＝BN＝BC＝15，∵四边形PQMN是正方形，∴PN＝PQ＝4t，∴3t+4t＝15，∴t＝157．∴当97＜t≤157时，重叠部分是四边形；(3)当AC经过MN的中点R时，∴RN＝12MN＝12PQ＝2t，∵PQ∥AE，MN∥PQ，∴MN∥AE，∴NC NR CE AE，∴2 612 NC t=，∴NC＝t，∵CE＝BC﹣BE＝15﹣9＝6，∴BN+CN＝BP+PN+CN＝7t+t＝15，解得t＝158．当AC经过QM的中点W时，∵QM∥BC，AQW ABC∴∽∴AQ QWAB BC=，即21515AQ t=，∴AQ＝QW＝2t，∴AQ＝AB＝BQ＝15﹣5t＝2t，解得t＝157．当AC经过QN的中点K时，设AC交QM于H，∵QM∥BC，AQH ABC ∴∽∴AQ QH AB BC=，∴AQ＝QH，∵QM∥BC，K是QN的中点，∴KQ＝KN，∠KQH＝∠KNC，∠KHQ＝∠KCN，∴△KHQ≌△KCN（AAS），∴QH＝CN，∴AQ＝QH＝CN，∴AB﹣BQ＝BN﹣BC，即15﹣5t＝7t﹣15，解得t＝52，综上所述，满足条件的t的值为158或157或52．【点睛】本题考查了动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)+=AF BF，理由见解析(2)第(1)问中的结论仍然成立，理由见解析；(3)3+BF【解析】【分析】(1)证明△CBE≌△CAF(SAS)，得到BE=AF，由△CDF为等腰直角三角形得到DE，最后再由=+=BF BE DE AF即可证明；(2)过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，证明△CBE ≌△CAF (SAS )，得到BE=AF ，证明△CFG 为等腰直角三角形得到FG =，最后再由=+=BF BG FG AF 即可证明；(3)同(2)中思路，证明△ACF ∽△BCG，得到=AF ，证明△CFG 为30°、60°、90°三角形，得到=FG，最后再由=+=BF BG GF AF 即可求解． (1)解：如下图2所示，AF ，BF ，CF之间的数量关系的等式为：=AF BF ，理由如下：∵∠ACE +∠ECB =∠ACB =90°，∠ACE +∠FCA =∠DCE =90°，∴∠ECB =∠FCA ，在△ACF 和△BCE 中：==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CF CE FCA ECB AC BC ， ∴△ACF ≌△BCE (SAS )，∴AF=BE ，当D 和F 重合时，由△DEC 为等腰直角三角形知，∴△CFE 为等腰直角三角形，∴DE ，∴=+=BF BE DE AF ．(2)解：第(1)问中结论仍然成立，理由如下：过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，如下图1所示：∵∠ACE +∠ECB =∠ACB =90°，∠ACE +∠DCA =∠DCE =90°，∴∠ECB =∠DCA ，在△ACD 和△BCE 中：==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CD CE DCA ECB AC BC ， ∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠DAC =∠EBC ，∵∠DAC +∠AFB =180°-∠FNA ，∠EBC +∠BCA =180°-∠CNB ，且∠FNA =∠CNB ，∴∠AFB =∠BCA =90°，∴∠DFE =90°∴∠DFE +∠DCE =90°+90°=180°，∴D 、C 、E 、F 四点共圆，∴∠CFE =∠CDE =45°，又∠FCG =90°，∴△FCG 为等腰直角三角形，∴FG =，CF CG =，45∠=FGC ，∴∠CGB =180°-∠FGC =135°，又∠CFA =∠CFE +∠AFB =45°+90°=135°，∴∠CGB =∠CFA ，在△CGB 和△CFA 中：==∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩CGB CFA FAC GBC CA CB ， ∴△CGB ≌△CFA (AAS )，∴GB=AF ，∴BF BG GF AF =+=+．(3)解：线段AF ，BF ，CF之间的数量关系为：3=+BF ，理由如下：过C 点作CG ⊥CF 交BF 于点G ，如图3所示：由(2)可知：∠AFB =∠ACB=90°，∴∠DFE =90°，∴∠DFE +∠DCE =90°+90°=180°，∴D 、C 、E 、F 四点共圆，∴∠CFE =∠CDE =30°，∴△CFG 为30°、60°、90°三角形，三边之比为2，∴=FG 由(2)知，∠FAC =∠GBC ，且∠CFA =∠CFG +∠AFB =30°+90°=120°，∠CGB =180°-∠CGF =180°-60°=120°，∴∠CFA =∠CGB ，∴△ACF ∽△BCG ，∴==AF AC BG BC∴=AF∴=+=BF BG GF FC ，∴线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系为：3+BF ．【点睛】本题是三角形全等和相似的综合题，难度较大，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法是解决本题的关键．4、感知：（1）AE DE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAP =∠CPD ，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AEDE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、 (1)BC =(2)AE =(3)当t 时，CG 取得最小值为【解析】【分析】（1）过点B 作BH ⊥CD 于点H ，则四边形ADHB 是矩形，由勾股定理可得出答案；（2）过点G 作MN ⊥AB ，证明△EMG ≌△GND （AAS ），得出MG ＝DN ，设DN ＝a ，GN ＝b ，则MG ＝a ，ME ＝b，证明△DGN∽△GFN，由相似三角形的性质得出GN NFDN GN=，得出方程3t＝10﹣t+210tt-，解方程求出t的值可得出答案；（3）连接BD，交EF于点K，证明△BEK∽△DFK，得出比例线段2233BK BE tDK DF t===，求出BD＝10DK＝DK的中点，连接OG，点G在以O为圆心，r＝OC，OG，求出CG的最小值和t的值即可．(1)解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，∵AB＝10，CD＝15，∴CH＝5，又∵BH＝AD＝10，∴BC==(2)解：过点G作MN⊥AB，如图2，∵AB CD∥，∴MN⊥CD，∵DG⊥EF，∴∠EMG＝∠GND＝90°，∴∠MEG+∠MGE＝90°，∵∠EGM+∠DGN＝90°，∴∠GEM＝∠DGN，∵EG＝DG，∴△EMG≌△GND（AAS），∴MG＝DN，设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，∵点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，∴BE＝2t，AE＝10﹣2t，DF＝3t，CF＝15﹣3t，∵AM＝DN，AD＝MN，∴a+b＝10，a﹣b＝10﹣2t，解得a＝10﹣t，b＝t，∵DG⊥EF，GN⊥DF，∴∠DNG＝∠FNG＝90°，∴∠GDN+∠DFG＝∠GDN+∠DGN＝90°，∴∠DFG＝∠DGN，∴△DGN∽△GFN，∴GN NF DN GN，∴GN2＝DN•NF，∴NF＝2210GN tDN t=-，又∵DF＝DN+NF，∴3t＝10﹣t+210tt-，解得t＝5又∵0≤t≤5，∴t＝5∴AE＝10﹣2t＝(3)解：如图3，连接BD，交EF于点K，∵BE DF∥，∴△BEK∽△DFK，∴2233 BK BE tDK DF t===，又∵AB＝AD＝10，∴BD AB＝∴DK ＝35BD = 取DK 的中点，连接OG ，∵DG ⊥EF ，∴△DGK 为直角三角形，∴OG ＝12DK =∴点G 在以O 为圆心，r ＝的圆弧上运动，连接OC ，OG ，由图可知CG ≥OC ﹣OG ，当点G 在线段OC 上时取等号，∵AD ＝AB ，∠A ＝90°，∴∠ADB ＝45°，∴∠ODC ＝45°，过点O 作OH ⊥DC 于点H ，又∵OD ＝，CD ＝15，∴OH ＝DH ＝3，∴CH ＝12，∴OC则CG 的最小值为3，当O ，G ，C 三点共线时，过点O 作直线OR ⊥DG 交CD 于点S ，∵OD ＝OG ，∴R 为DG 的中点，又DG ⊥GF ，∴OS∥GF，∴点S是DF的中点，OC SC OG SF=，∴DS＝SF＝32t，SC＝15﹣32t，315232tt-=，∴t，即当t时，CG取得最小值为【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，最小值问题，圆的基础知识，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．。

2021-2022学年鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专项训练试题(含解析)

八年级数学下册第九章图形的相似专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为()3,2-、()2,3-，以原点O 为位似中心，在原点的异侧按1∶3的相似比将OAB 放大，则点B 的对应点B '的坐标为（）．A ．()6,9-B ．()9,6-C ．()6,4-D ．()4,6-2、如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若23=AB BC ，DE ＝4，则DF 的长是（）A ．83 B ．203 C ．6 D ．103、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，位似比为1：2，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B ′的横坐标是（）．A ．21a -+B ．22a -+C ．23a -+D ．22a --4、若点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，则AC 的长是（）A ． 4B ．9－C ．3或9－D ．4或12－5、如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则△EFD 和△BFA 的面积之比是（）A ．1：2B ．1：4C ．1：3D ．2：36、如图，已知AB CD EF ∥∥，:3:5AD AF =，12BE =，那么BC 的长等于（）A ．2B ．4C ．4.8D ．7.27、如图，已知△ABC ∽△DEF ，若∠A ＝35°，∠B ＝65°，则∠F 的度数是（）A ．30°B ．35°C ．80°D ．100°8、如图，在下列四个条件：①∠B =∠C ，②∠ADB =∠AEC ，③AD :AC =AE :AB ，④PE :PD =PB :PC 中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是（）A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．19、如图，点P 在ΔABC 的边AC 上，下列条件中不能判定ABP ACB ∽△△的是（）A ．ABP C ∠=∠B ．APB ABC ∠=∠C ．::AP AB AB AC =D ．::AB BP AC CB =10、如图， 1B B ，是A ∠一边上的任意两点，作BC AC ⊥于点111C B C AC ⊥，于点1C ．若34BC AC ==，，则111B C AC 的值是 ( )A ．43B ．34C ．45D ．35第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线a ∥b ∥c ，它们依次交直线m ，n 于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，已知AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，那么BF 等于 ___．2、已知点P 是线段AB 的黄金分割点，,4cm PA PB AB >=，那么PA =________cm ．3、在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AOD △、BOC 的面积分别是1cm 2、4cm 2，那么梯形ABCD 的面积等于________cm 2．4、在比例尺1:8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6厘米，则太原到北京的实际距离为________千米．5、如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则ADE BEDCS S ∆四边形=_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，线段AB ＝2，点C 是AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），点D （不与C 点，B 点重合）在AB 上，且AD 2＝BD •AB ，那么CD AC＝_____．2、如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （3，1），B （1，2），C （4，3）．(1)以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的2倍得到△A 1B 1C 1，作出△A 1B 1C 1，写出A 1，B 1，C 1的坐标；(2)四边形AA 1B 1B 的面积为．3、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC m AC n=，CD AB ⊥于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ．(1)[探究发现]：如图1，若m n=，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；(2)[数学思考]：①如图2，若点E在线段AC上，求证：DE n DF m=；②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)[拓展应用]：若AC=BC=DF=CE的长．（可结合题意，另行画图）4、边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．(1)求证：△ABE∽△ECF；(2)若CF的长为1，求CE的长．5、已知，DEF是ABC的位似三角形（点D、E、F分别对应点A、B、C），原点O为位似中心，DEF与ABC的位似比为k．(1)若位似比12k=，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出DEF；(2)若位似比k n=，ABC的面积为S，则DEF的面积＝______．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】直接利用位似图形的性质以及结合B点坐标直接得出点B′的坐标．【详解】解：∵以点O为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB放大，点B的坐标分别为(−2，3)．∴点B的对应点B′的坐标为（6，-9），故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k．2、D【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴DEEF＝ABBC＝23，又DE＝4，∴EF＝6，∴DF＝DE+EF＝10，故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3、C【解析】【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．【详解】解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a-1，B′、C间的水平距离为-x+1，∵△ABC的位似图形是△A′B′C，且位似比为1：2，∴2（a-1）=-x+1，解得：x=-2a+3，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．4、D【解析】【分析】叫做黄金数，当AC BC >时，AC AB =AC BC <时BC AB =，即AB AC AB - 【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，当AC BC >时，AC AB = ，84AC ==；当AC BC <时，BC AB =，即AB AC AB -8]8AC -84)12AC =-=-综上，AC 的长为4或12-故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是要不重不漏，分情况讨论AC 和BC 之间的长度关系．5、B【解析】【分析】利用三角形的中位线定理可得DE ：AB ＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵CE ＝AE ，CD ＝DB ，∴ED ∥AB ，DE ＝12AB ， ∴△DEF ∽△ABF ， ∴DEF ABF S S ∆∆＝（DE AB ）2＝14，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC AD BE AF ==，即可求出BC ．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ， ∴35BC AD BE AF ==，即3125BC =，解得：BC ＝7.2；故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．7、C【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【详解】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F=∠C=80°，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．8、C【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，再直接由概率公式求解即可．【详解】解：∵∠BPE=∠CPD，①当∠B=∠C，则△BPE∽△CPD成立，①符合题意；②当∠ADB=∠AEC，即∠CDP=∠BEP，则△BPE∽△CPD成立，②符合题意；③当AD:AB=AE:AC，又∠A公共，则△ACE∽△ABD，∴∠B=∠C，∴△BPE ∽△CPD 才成立；而当AD :AC =AE :AB ，就不能推出△BPE ∽△CPD ，③不符合题意；④当PE :PD =PB :PC ，则△BPE ∽△CPD 成立，④符合题意；四个选项中有三个符合题意，∴随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是34=0.75，故选：C ．【点睛】本题考查了概率公式，相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．9、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【详解】解：A 、∵∠A =∠A ，ABP C ∠=∠，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；B 、∵∠A =∠A ，APB ABC ∠=∠∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；C 、∵∠A =∠A ，::AP AB AB AC =，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A =∠A ，::AB BP AC CB =，∴无法判断△ABP ∽△ACB ，故本选项符合题意；【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．10、B【解析】【分析】先证明1190BCA B C A ∠=∠=︒，再证明11ABCAB C ，最后利用相似三角形的性质得出结果．【详解】解：∵BC AC ⊥，111B C AC ⊥， ∴1190BCA B C A ∠=∠=︒，∵∠A =∠A ，∴11ABC AB C ， ∴111B C BC AC AC=， ∵BC =3，AC =4， ∴11134B C BC AC AC ==．故选B ．【点睛】本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．二、填空题【解析】【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式AC BDCE DF=，再代入求出DF，再求出BF即可．【详解】解：∵直线a∥b∥c，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=4.5，∵BD=3，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5.故答案为：7.5．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键．2、2【解析】【分析】设AP的长为x，由黄金分割点可知AP PBAB AP=，有x4x4x-=，求出符合要求的解即可．【详解】解：设AP 的长为x ，由黄金分割点可知AP PB AB AP = ∴x4x 4x -=去分母得：()244x x =⨯-解得12x =-（舍去）或2252x经检验2x =是方程的解∴AP的长为()2cm故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割，分式方程的应用．解题的关键在于列正确的分式方程并求解．3、9【解析】【分析】由于AD ∥BC ，可得△OAD ∽△COB ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出BO 与OD 的关系，AO 与OC 的关系，从而求出△ABO 和△CDO 的面积，进而求出梯形的面积．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△OAD ∽△COB ，∴214AOD COB S OA S OC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴AO ：CO =DO ：BO =1：2， ∴=2ABOADO SBO S DO=，∴2=2cm ABO S ，同理求出2=2cm CDO S2=9cm ABO AOD BOC CDO ABCD S S S S S +++=梯形，故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质，以及三角形面积的求解，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．4、480【解析】【分析】要求两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值，计算即可．【详解】16480000008000000÷= (厘米) 48000000厘米=480千米即太原到北京的实际距离为480千米.故答案为480.【点睛】考查比例尺，根据图上距离，比例尺，实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论.5、13##1：3【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC∽△ADE，且BC=2DE，∴214 ADEABCEDSS BC⎛⎫==⎪⎝⎭，∴11413ADEBEDCSS==-△四边形，故答案为：1 3．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．三、解答题1【解析】【分析】利用黄金分割的定义求出AD和BC，再求出CD和AC，即可得解．【详解】解：∵点D在AB上，且AD2＝BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点，∴AD AB 1，又∵点C 是AB 的黄金分割点，AC ＜BC ，∴BC AB 1，∴CD =AD +BC -AB =4-，∴AC =AD -CD =3∴CD AC ，．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．2、 (1)图见解析，A 1（6，2），B 1（2，4），C 1（8，6）(2)7.5【解析】【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．(1)解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作．观察图形得：A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；(2)解：四边形AA1B1B的面积=3×5-12×1×2-12×1×3-12×2×4-12×1×2=7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查作图-位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．3、 (1)DE＝DF，见解析(2)①见解析；②成立，见解析(3)【解析】【分析】（1）根据BC,ACmm nn==得出BC＝AC，根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，得出∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，根据CD⊥AB，DE⊥DF，得出∠CDE＝∠BDF，再证△CDE≌△BDF（AAS），得出DE＝DF 即可；（2）①根据∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°，得出∠A＝∠BCD，可证∠ADE＝∠CDF，得出△ADE∽△CDF，利用相似三角形性质得出DE ADDF DC=，根据∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，可证△ADC∽△CDB，得出AD ACDC BC=，根据ACBCnm=，得出DE ACDF BCnm==；②仍然成立，根据∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，得出∠CDE＝∠BDF，再证△ADE∽△CDF，得出DE ADDF DC=，根据△ADC∽△CDB，得出AD ACDC BC=，根据ACBCnm=，可证DE AC DF BC n m==即可；（3）根据△ADE∽△CDF，得出DE AC1DF BC2==，可得AD AE DE1CD CF DF2===，证出CF＝2AE，根据DF＝DE＝EF，根据勾股定理EF＝E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE，根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（CE] 2＝40 ，②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2CE）] 2＝40 ，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2CE）] 2＝40，解方程即可．(1)结论为：DE＝DF证明：∵BC,ACmm nn==∴BC＝AC，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，∵CD⊥AB，DE⊥DF，∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CD F=90°∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，ECD B EDC FDB CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CDE ≌△BDF （AAS ），∴DE ＝DF ，(2)①∵∠A +∠ACD ＝90°∠ACD +∠BCD ＝90°∴∠A ＝∠BCD ，∵∠ADE +∠CDE ＝90°，∠CDE +∠CDF ＝90°∴∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ， ∴DE AD DF DC=， ∵∠A ＝∠BCD ，∠ACD ＝∠B ，∴ △ADC ∽△CDB ， ∴AD AC DC BC=， ∵AC BC n m= ， ∴DE AC DF BC n m ==； ②仍然成立，∵∠CDE +∠BDE ＝90°，∠BDF +∠BDE ＝90°，∴∠CDE ＝∠BDF ，∴∠ADE ＝∠CDF ，∵∠A＝∠BCD，∴△ADE∽△CDF，∴DE AD DF DC=，∵△ADC∽△CDB，∴AD AC DC BC=，∵ACBCnm=，∴DE ACDF BCnm==；(3)由（2）得△ADE∽△CDF，∴DE AC1 DF BC2==，∴AD AE DE1CD CF DF2===，∴CF＝2AE，∵DF＝∴DE＝连结EF，∵∠EDF＝90°，∴EF＝①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE，∵CE2+CF2＝EF2，∴CE＝CE＝（舍去），∴CE＝②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+ [ 2CE）] 2＝40 ，∴CE CE＝－舍去)，∴CE③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE＝CE（均不满足题意），综上所述，CE＝【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．4、 (1)见解析(2)CE=2【解析】【分析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF；（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠FEC ，∠B =∠C =90°，∴△ABE ∽△ECF ；(2)解：∵△ABE ∽ECF ， ∴AB BE EC CF=， ∴441EC EC -=，解得CE =2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE =∠FEC ，∠B =∠C =90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．5、 (1)见解析(2)2n S【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系可得()()()6,6,82,4,0A B C ---，，横纵坐标都乘以12-，得()()()3,3,4,1,2,0D E F --，顺次连接,,D E F 即可得到DEF ；（2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．(1)如图所示，(2)k n =，ABC 的面积为S ，21=ABC DEF S S n ∴ 21DEF S S n ∴=△ 则DEF 的面积2n S故答案为：2n S【点睛】本题考查了平面直角坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质解题的关键．。

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