第12章例题-质点系刚体的动静法-平动-门

3、刚体定轴转动的动能定理dθd...

解: J r2dm R2dm R2 dm mR2
J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
OR dm
例2.12 求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm dV 2rdr l
dJ r 2dm 2lr3dr
M
ri
Fi
i
2、质点系对轴的角动量定理
设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动
n
i 1
Miz
d dt
n i1
(ri mi vi
sini
)
因有：vi ri
i
2
n
i 1
Miz
d dt
n
[
i 1
(miri2 )]
vi O ri mi
转动惯量J
n
i 1
Miz
d dt
(Jω)
dLz dt
2L
3
因为 d d d d dt d dt d
所以 d 3g cos
d
2l
积分 d 3g cos d
0
0 2l
得 3g sin
l
四、定轴转动的动能定理
1、转动动能
Ek
n i1
1 2
mi ri 2 2
1n (
2 i1
miri2 )2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
2.6 刚体的定轴转动
一刚体定轴转动的描述
1. 刚体--特殊的质点系
(1) 无限多的质点组成的有限大小的质点系（实际上是物质连续分布的物体，其微分体积称为质元)； (2) 无论施加多大的力都不会改变形状和大小，即任意两点间的距离不会因施力和运动而改变；

理论力学第12章达朗贝尔原理

基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。

如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。

理论力学-达朗贝尔原理及其应用

FI2 1、平移 m2 FI1 FIR FIn mn m1 m aC
t aC
FIR ＝－m a C
a
n C
C
n FR
t n 2、定轴转动 FIR ＝－m aC ＝－m( aC aC )
FR
3、平面运动 FIR ＝－m a C
C

O
FR
Ft R
aC
12.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关！
理论力学第三篇动力学
第三篇动力学
第12章达朗贝尔原理
第12章达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理 12.2 质点系的达朗贝尔原理 12.3 刚体惯性力系的简化
第12章达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
z m A
FI2 a1
m C FIi m2 a2
mi
FR FIi mi ai maC
主矢
ai
FIR maC
主矢与刚体的运动形式无关。
主矩
12.3 刚体惯性力系的简化
刚体平移时，惯性力系向质心简化 ● 主矢
1.刚体作平移
m1
FIR maC
FI2
m2 FI1
a2 maC FIR an m FIn n
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题3
FnIi FtIi F at an
Ny
r
a
FI1
A
mg
解：对象：系统受力：如图运动：略方程： FNx 惯性力 F I1 n FI 2 a F dm a
B m2g

材料力学第12章

集中质量势能
由静态量与冲击动态量之关系得杆件变形能为由能量守恒于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移最大静应力发生在B截面，其表达式为综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足处任取一微段，有
该点向心加速度为惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段，有积分可求出叶片的总伸长
解得从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度，环的横截面积A和材料的容重，求此环横截面上的正应力

第十二章达朗贝尔原理汇总

d 0 gl
2l
P l2 sin
3
2g
假想地加上惯性力, 由质点系的达朗贝尔原理
FAx A
Rg
PB x
MA(F) 0:
Rgd
cos
p
l 2
sin
0
代入Rg 的数值, 有
Pl sin ( 2l 2 cos 1) 0
2
3g
故有＝0或
arc
c
os
( 3g
度绕该轴转动, 如图。求角速度与角的关系。
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx
y C
的加速度的大小为
an (x sin )2
微元段的质量 dm ＝ Pdx/gl 。在该微元段
虚加惯性力dFg, 它的大小为
dFg
dm an
p 2
Fi(e) Fgi 0
MO(Fi(e) ) MO(Fgi ) 0
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。
称ΣFgi为惯性力系的主矢， ΣMO(Fgi)为惯性力系的主矩。
例3 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以匀角速
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。
例题
达朗贝尔原理
O θ l
例1. 如图所示一圆锥摆。质量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ =60º 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。

第十二章达朗伯原理

（12－2）
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第十二章达朗贝尔原理
若在自然轴系上投影则有
dv FI ma m dt 2 v n FI man m

（12－3）
上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线的
两个分力：切向惯性力FI和法向惯性力F n ，他们的方向分别
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第十二章达朗贝尔原理
达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，
故又称为动静法。动静法在形式上将动力学问题化为静力平
衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。
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第十二章达朗贝尔原理
第一节
惯性力的基本概念
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第十二章达朗贝尔原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；（2）以转动中心（转轴系与质量对称平面的交点）为简化中心。特殊情况：（1）转轴通过刚体的质心O，如图（a）所示。此时
ac 0
FI R 0
M IO 0
（2）刚体作匀速转动，如图（b）所示。此时
0
并记作 F ，则有 I
FI ma
（12－1）
可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态的施力物体上。将（14－1）式可向固定直角坐标系投影有
d 2x FIx m ax m 2 dt d2y FIy m ay m 2 dt d 2z FIz m az m 2 dt
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第十二章达朗贝尔原理
第三节
刚体惯性力系的简化

理论力学：第12章达朗伯原理

ai ri ， ain ri2 ， Qi miri ， Qin miri2
向轴 O 点简化：（如图）
主矢——惯性力： Q
Qi

(miai )

MaC

MaC
MaCn
Q
Qn

主矩——惯性力偶： M gO mO (Qi ) mO (Qi ) (Qi ri ) (miri2 ) IO
l 2
cos 45

0
(2)
考虑(a)式，(1)(2)方程包含 4 个未知量：
aCx， aCy，， TB 。
选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图
aCx aCy a A aCA
考虑刚才的处理方式，列上式投影方程时避开 aA，即在 NA 方向投影。
在 NA 方向投影： aCx cos 45 aCy sin 45 0 aC A sin(45 30 ) (3) 式中 aC A l

)Q 2
2

M IO
b
(Q sin FIC )(r 2 sin )
(6)
Lb
b
Q cos ( 2 2 cos ) M IC G 3 0
将前面结果代入以上三式，解得
Q(Q sin P)
XH
cos
P 2Q
(Q sin P)2 YH P 2Q G
提问：可以么？
ΣmA (F ) 0
TBl cos 30
mg
l cos 30 2

FIx
l sin 30 2

FIy
l cos 30 2

大学物理刚体的转动知识点及试题带答案

刚体的转动一、基本要求：1、理解刚体的概念；了解刚体的平动和转动；掌握转动惯量的物理意义；掌握力矩的物理意义及其计算。

2、理解转动惯量的物理意义及其计算；掌握刚体定轴转动的转动定律及计算。

3、理解质点和刚体的角动量；掌握角动量守恒定律的适用条件及应用；掌握刚体转动动能的概念及计算。

二、主要内容： 1、刚体：是在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。

是一个理想化的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。

即运动过程中没有形变的物体。

2、平动：当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。

3．转动：刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。

这条直线叫作转轴。

4、描述刚体转动的物理量引入：刚体作定轴转动时，刚体上的各点都绕定轴作圆周运动。

刚体上各点的速度和加速度都是不同的，用线量描述不太方便。

但是由于刚体上各个质点之间的相对位置不变，因而绕定轴转动的刚体上所有点在同一时间内都具有相同的角位移，在同一时刻都具有相同的角速度和角加速度，故采用角量描述比较方便。

为此引入角量：角位置、角位移、角速度、角加速度。

5、角量与线量的关系半径R ，角位移θ∆ 弧长 θ∆⋅=∆R s 线速度v: ωθR t R t s v t t =∆∆=∆∆=→∆→∆lim lim法向加速度： 222)(ωωr RR R v a n === 切向加速度： αωωτ⋅=⋅===R dtd R R dt d dt dv a )( 结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；而各点的线位移、线速度和线加速度均与r 成正比。

6转动定律：刚体在合外力矩的作用下，刚体所获得的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

● 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； ● 转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。

吉林大学理论力学课件-第12章

i i i i
w O
M O IO I
t t a F IR F IR
n F IR ＝－ m a C ＝－ m ( τ + a C ) a τ n C C C C 主矢： IR
2 τ M IIO ＝ M O ( F τ) FI i ＝－ ( m i r 2 ) å i i i a＝－ J O a 主矩： O å O I i O
☆刚体作平面运动（平行于对称平面）
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。以质心C为基点，将平面运动分解 C 为跟随基点的平移和绕基点的转动。对于刚体上的任意质点，对于刚体上的任意质点，
i i
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 1、分析质点所受的主动力和约束力； 1 、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 2 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 3 4、应用达朗贝尔原理表达式求解 4 、应用达朗贝尔原理表达式求解
＝－ m i r a τ , m i r w 2 n ) ( － i i 2 i i i i
C n n F IR F IR
F IR IR
m i
a a
F IR ＝å I i ＝å ( m i a i ) F I i － i i ＝－m a C IR C
第12章达朗贝尔原理 12 达朗贝尔原理
(D’Alembert Principle)
第12章达朗贝尔原理 12

《工程力学》刚体的平移与绕定轴转动

§12.3 刚体绕定轴转动
M点的加速度：
a
dv dt
d r r d
dt
dt
r
an
v2
r 2
r
r 2
即：切向加速度为法向加速度为
an (r12.213） a r
M点全加速度的大小和方向为
(12.14)
a a2 an2 R 2 4
tan
a an
2
（12.15）（12.16）
间的二阶导数。
说明：
1. 角加速度是代数量，角加速度的单位ra是d / s2 。 2. 角加速度的大小：表示角速度变化的快慢。角加速度的正负号：表示角速度变化的方向：
① 若 >0：表示角加速度与转角的正方向一致。 ② 若<0：表示角加速度与转角的正方向相反。
§12.3 刚体绕定轴转动
3.当α与ω同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作
yc
m1 y1 m1
m2 y2 m2
m2 m1 m2
e sin t
由此可求得质心C 的加速度为
acx
d2 xc dt 2
m2 m1 m2
eω2 cos ωt
acy
d2 yc dt 2
m2 m1 m2
eω2 sin ωt
§12.2 质心运动定理
利用质心运动定理的投影式，有
m1 m2 acx Fx m1 m2 acy Fy G1 G2
将 acx ,代acy入，解得机座对电动机的约束力为 Fx m2e 2 cost Fy G1 G2 m2e 2 sin t
说明：
1.在 Fx , 的Fy表达式中，由重力引起的约束力 G1称为G静2 反力；

理论力学刚体的简单运动课件

A
vMr0.36 m s－ 1
理论力学刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大方小向右手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt

大学物理刚体运动

动量
力矩是描述力对物体转动效应的物理量，其大小等于力的大小与力臂的乘积，方向垂直于力和力臂所在的平面。
力矩
刚体的动量、动量和力矩
刚体的动能和势能
动能
动能是描述物体运动能量的物理量，其大小等于质量与速度平方的乘积的一半，方向与速度方向相同。
势能
势能是由于物体在一定位置或状态时所具有的能量，常见的有重力势能、弹性势能等。
大学物理刚体运动
CATALOGUE
目录
刚体运动的基本概念刚体的转动运动刚体的线性运动刚体的振动刚体的相对运动刚体运动的实例分析
01
刚体运动的基本概念
刚体
在任何力的作用下，其形状和大小都不会发生变化的理想化物体。
刚体的特点
不发生形变，质点间的距离保持不变。
刚体的分类
可动刚体和固定刚体。
质点和刚体的位移
速度是描述物体运动快慢的物理量，其大小等于位移与时间的比值，方向与位移方向相同。
速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，其大小等于速度变化量与时间的比值，方向与速度变化量方向相同。
加速度
质点和刚体的位移、速度和加速度
动量是描述物体运动状态的物理量，其大小等于质量与速度的乘积，方向与速度方向相同。
通过测量刚体的质量、质心到旋转轴的距离和角速度，可以计算出转动动能和转动势能。
在国际单位制中，转动动能的单位是焦耳，转动势能的单位也是焦耳。
转动势能
转动动能和转动势能的计算
转动动能和转动势能的单位
转动动能和转动势能
平衡条件的推导
根据牛顿第二定律和力矩的定义，可以推导出刚体的平衡条件。
平衡条件的应用
详细描述
陀螺的运动可以看作是围绕其自转轴的旋转运动。在理想情况下，忽略空气阻力和摩擦力，陀螺的运动可以简化为一个旋转运动。其运动规律可以用角动量守恒定律进行描述，即L=Iω，其中L是角动量，I是转动惯量，ω是角速度。

第12章例题-质点系刚体的动静法-all

r F
工程力学第 10 章动量原理
如图所示，质量 m = 50 kg 的均质门，支承于静止在水平轨道的辊子 A、B 上。现有水平力 F = 100 N 作用门上，尺寸如图。试求辊子的反力（不计辊子的摩擦）及门的加速度。 r r FB 解 (1) 受力、运动分析 FA
F = maC
轿车行驶过程中急刹车假设刹车过程为匀减速且车轮不转求地面对前后轮的法向约束力
工程力学第 10 章动量原理
如图所示，质量 m = 50 kg 的均质门，支承于静止在水平轨道的辊子 A、B 上。现有水平力 F = 100 N 作用门上，尺寸如图。试求辊子的反力（不计辊子的摩擦）及门的加速度。 r r FB 解 (1) 受力、运动分析 FA
(5) 讨论 1. 无摩擦圆柱沿斜面滑动
工程力学第 10 章动量原理
aC = g sin θ α = 0
r* α F
r Ff
r FN
1 µ 2. 摩擦很小， < tan θ 3
不足以纯滚动
C
r G
aC
M* r
θ
圆柱沿斜面有滑动、也有滚动 α×aC /R =
12
版权所有张强钟艳玲
G 1G 2 * F = aC M = JCα = Rα 2g g
*
(4) 由达朗伯原理，求解
∑ M C = 0 ⇒ M * − F f ⋅ R = 0 Fx = 0 ⇒ G sin θ − Ff − F * = 0 ∑ ∑ Fy = 0 ⇒ G cos θ − FN = 0
r* α F
r a
r* F
r FfA r A FA
C
r mg mg

第十二部分动静法及应用

（1）小车以a0作铅垂向上的匀加速度运动；（2）小车以a0作水平向右的匀加速度运动；（3）小车以a0沿倾角为a的斜面作向上的匀加速度运动。
解：（1）小球有铅垂向上的加速度a0。惯性力Q=-ma0向下。
（2）小球有水平向右的加速度a0。惯性力Q=-ma0水平向左。
（3）小球有沿斜面方向的加速度a0。惯性力Q=-ma0沿斜面向下。
第三节刚体动约束力分析
将动静法应用于刚体，就量重G=1.3kN的小车，自横梁上的光滑斜面籍自重下滑，当小车滑行至M处时，h=0.6l，l=1.4m，a=30°
求：如图示位置时支座A、B处的约束力。解：（1）先单独取小车为研究对象，求出它沿斜面下滑的加速度。
Fk Qk Nk 0 Mo (Fk ) Mo (Qk ) Mo (Nk ) 0
即质点系的达朗伯原理：质点系在运动过程中的每一个瞬时，作用于质点系上所有外力与假想地加在质点上的惯性力，在形式上构成平衡力系。
例、如下图所示，小车内有悬线挂一质量为m的小球。当小车作下列三种不同方式的匀加速度直线运动时，求出悬线的拉力T值。
第一节惯性力与动静法
一、质点的惯性力概念
任何物体都有保持静止或均速直线运动状态的属性，称为惯性。
当物体受到外力作用而产生运动状态的变化时，运动物体即对施力物体产生反作用力，因这种反作用力是由于运动物体的惯性所引起的，故称为运动物体的惯性力，以Q来表示。
其大小等于运动物体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反，作用对象是施力物体。
第二节刚体运动时惯性力系的简化
一、平动刚体刚体平动时，其惯性力系可简化为一个通过质心的合力，此合力的方向与
加速度方向相反，其值等于刚体的质量与加速度的乘积。即
二、定轴转动刚体刚体绕垂直于对称平面的转轴转动

刚体运动的动力学方程解析

二、刚体定轴转动的动力学方程
三、刚体定轴转动动力学方程的应用
四、动静法
质点系的达朗伯原理
五、点的复合运动
• 点的速度合成
六、刚体的复杂运动
基点法
速度投影法
速度瞬心法
J
＝J＝1对2 对M1mRmM:2
:m
Rm2 g
T m2a a
g T1
T ma
R
m
a
amgR
a R
2
解方程得：
a
m m M
g
2
R
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？（J = mR2 ）
J
＝
A
J
＋
C
m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广: 若有任一轴与过质心的轴平行且相距d ，刚体对其转动惯量为: J J C m d 2 , 称为平行轴定理。
dc
第三节刚体简单运动动力学方程的应用
主要研究刚体定轴转动动力学方程的应用
一、已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的外力例12-4
二、已知作用于刚体上的力矩，求转动规律例12-5 例12-6
第四节动静法
节
一、质点的达朗伯原理
二、质点系的达朗伯原理
平面任意力系的平衡条件: （1）力系中各力在X 轴和Y轴上投影的代数和为零；（2）力系中各力对平面内任一点的力矩的代数和为零
动静法的应用：刚体的平动和绕定轴转动 1、刚体的平动

刚体习题及答案知识讲解

➢ 撞击前后系统的动量是否守恒？为什么？ ➢ 动能是否守恒？为什么？ ➢ 角动量是否守恒？为什么？（2）子弹和轮开始一起运动时，
轮的角速度是多少？
θ A v0 cos
v0 sin
R
例6.一块质量为M＝1kg 的木板，高L＝0.6m，可以其一边为轴自由转动。最初板自由下垂.今有一质量m＝10g的子弹，垂直击中木板A点，l＝0.36m，子弹击中前速度为500m/s，穿出后的速度为200m/s，求： (1) 子弹给予木板的冲量
解法一：用转动定律求解
在恒力矩和摩擦力矩作用下，0—10s内有：
M M r J1
1 1t1
M
Mr
J
ω1 t1
移去恒力矩后，0—90s内有：
Mr J2
0 1 2t2
Mr
J
2
t2
J Mt1t2
1(t1 t2 )
54kg m2
解题过程尽可能用文字式，最后再带入数字。
解法二:
0-10s: 0-90s:
m 的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为 m的物体，如图。求当物体由静止下落h 时的速度v。
例11.如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为 m，平放在摩擦系数
为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度 ω0 绕过中心 o 且垂直于
桌面的轴转动，试求:
0
（1）作用在杆上的摩擦力矩;
（2）经过多长时间杆才会停止转动。
人 : Mg T 2 Ma
物:
1
1
T1 - 2 Mg = 2 Ma
轮： (T2 T1)R J
a R
2 a 7g
o
T2
T1
A Ba
Mg 1

刚体的转动惯量

L I 常量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）

物理刚体运动

角位移

角速度
d dt
角加速度 d
dt

4.角速度矢量
ω
角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。
在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。
角速度矢量
例1:一飞轮转速n=1500r/min，受制动后均匀减速，经t=50 s后静止。（1）求角加速度α和飞轮从制动开始到静止所转转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的速度；（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。
刚体对 o 点的角动量，等于各个质点角动量的
矢量和。
对于定轴转动，我们感兴趣的只是 L 对沿 Oz 轴的分量 Lz，叫做刚体绕定轴转动的角动量。
而这个分量Lz 实际上就是各质点的角动量沿 Oz 轴的分量 Li z 之和。
从图中可以看出： Lix Li cos
因此
Lz Li cos mi Rivi cos
r

m2

m1

1 2
m
r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0
时，有
T1

T2

2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度 a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。