2009年成考数学试题
高等数学试卷-00023 2009年10月真题及答案
全国2009年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________. 9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n n x 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
2009年成人高考专升本数学试题及答案
试介绍成人高等学校招生全国统一考试（简称“成人高考”）是为我国各类成人高等学校选拔合格新生以进入更高层次学历教育的入学考试。
考试分专科起点升本科(简称专升本)、高中起点升本科（简称高起本）和高职（高专）三个层次。
全国成人高等学校招生统一考试成人高等教育属国民教育系列，列入国家招生计划，国家承认学历，参加全国招生统一考试，各省、自治区统一组织录取。
成考教材成考用书除了大纲全国统一以外，教材辅导书试题集都没有做统一规定。
考生在选择教材时应谨慎。
选择辅导书、习题集时要看看出书组织单位是否是合法的法人，编写小组是否有正式的名称，出版社、出版单位最好选正规的单位。
购书时应该到大书店或者各区县成考办购买以防盗版、假冒伪劣辅导资料回家害人，选择辅导书不能贪多也不可贪便宜。
一般而言，高中起点升专(本)科的教材就分为人民教育出版社、高等教育出版社，还有人大出版社和成教出版社出版等，专升本教材则由中央广播电视大学出版社、人民教育出版社、高等教育出版社出版等。
具了解，如果上辅导班的话高中起点的教材用人民教育出版社的，专升本的教材用电大版高教版的比较多。
但是如果是自学呢？最好用高教版的教材。
授课方式成人高考的授课方式大体分为脱产、业余及函授三种形式，考生应根据自身的情况来选择适合自己的学习形式。
业余：业余授课方式一般在院校驻地招收学生，安排夜晚或双休日上课，所以，适合在职考生报考。
脱产：年龄较小或者想进入大学校门体验大学生活的考生可选择脱产的形式。
脱产学习就是在校内进行全日制学习方式，其管理方式与普通高校一样，对学生有正常的、相对固定的授课教室、管理要求，有稳定的寒暑假期安排。
注：2008年起，普通高校停止招收成人脱产班。
函授：该种学习形式也适合上班族人，业余时间少的考生。
函授教学主要以有计划、有组织、有指导的自学为主，并组织系统的集中面授。
函授教学的主要环节有：辅导答疑、作业、试验、实习、考试、课程设计、毕业设计及答辩。
2009年成人高考专升本高数二试题
2009年成人高考专升本高数二试题一、选择题:1～10小,每小题4分,共40分. 1. 2tan(1)lim 1x x x →-=-A . 0B . tan1C .4πD . 22. 设2sin ln 2y x x =++，则y '= A . 2sin x x -+B . 2cos x x +C . 12cos 2x x ++D . 2x3. 设函授()ln xf x e x =,则(1)f '= A . 0B .1C . eD . 2e4. 函授()f x 在[]0,2上连续,且在(0,2)内()f x '＞0，则下列不等式成立的是 A . (0)f ＞(1)f ＞(2)f B . (0)f ＜(1)f ＜(2)f C . (0)f ＜(2)f ＜(1)fD . (0)f ＞(2)f ＞(1)f5. (2)x x e dx +=⎰A . 2xx e C ++B . 22x x eC ++ C . 2xx xe C ++D .22x x xe C ++6.12011d dx dx x =+⎰ A . 21dx x+ B .211x+ C .4πD . 07. 若22()x x f x e dx e C =+⎰,则()f x =A . 2xB . 2xC . 2xeD . 18. 设函数tan()z xy =,则z x∂=∂ A . 2cos ()x xy -B . 2cos ()xxyC .2cos ()yxyD .2cos ()yxy -9. 设函数()z f u =,22u x y =+且()f u 二阶可导，则2zx y∂=∂∂A . 4()f u ''B . 4()xf u ''C . 4()yf u ''D .4()xyf u ''10. 任意三个随机事件A ，B ，C 中至少有一个发生的事件可表示为( ) A . A B C ⋃⋃ B . A B C ⋃⋂ C . A B C ⋂⋂ D .A B C ⋂⋃二、填空题:11～20小题,每小4分,共40分.11. 22343lim 3x x x x x→-+=- . 12. 1lim 13xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 13. 设函数223,1()2,11,1x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则0(lim ())x f f x →= .14. 已知3y ax =在1x =处的切线平行于直线21y x =-,则a = . 15. 函数sin y x x =,则y ''= .16. 曲线52108y x x =-+的拐点坐标00(,)x y = . 17.xdx ⎰= .18. 3x e dx =⎰ . 19.1ln exdx x=⎰. 20. 设函数2ln()z x y =+,则全微分dz = .三、解答题: 21～28题,共70分.解答应写出推理、演算步骤. 21. (本小题满分8分)求311ln lim1x x xx →-+-. 22. (本小题满分8分)设函数sin xy e =,求.dy23. (本小题满分8分)计算1ln xdx x +⎰.24. (本小题满分8分)计算arcsin xdx ⎰.25. (本小题满分8分)有10件产品,基中8件是正品,2件是次品,甲、乙两人先后各抽取一件产品,求甲先抽到正品的条件下,乙抽到正品的概率. 26. (本小题满分10分)求函数22()f x x x=-的单调区间、极值、凹凸区间和拐点. 27. (本小题满分10分) (1)求在区间[]0,π上的曲线sin y x =与x 轴所围成图形的面积.S （2）求（1）中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V . 28. (本小题满分10分)求函数222482z x y x y =++-+的极值.09年试题参考答案和评分参考一、选择题：每小题4分，共40分。
2009年成人高等学校招生全国统一考试(数学)
2009年成人高等学校招生全国统一考试数学（文史财经类）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。
(1) 集合M={1,2,3}，N={1,3,5}，则MN=（A ）∅ （B ）{1,3} （C ）{5}（D ）{1,2,3,5}(2) 函数sin cos y x x =+的最大值为（A ）1（B ）2（C ）12（D(3) ,a b 为实数，则22a b >的充分必要条件为（A ）a b >（B ）a b > （C ）a b < （D ）a b >-(4) 抛物线24y x =的准线方程为（A ）4x =（B ）2x = （C ）1x =- （D ）4x =-(5) 不等式210x ->的解集为（A ）{}|1x x > （B ）{}|1x x <- （C ）{}|11x x x <->或 （D ）{}|11x x -<<(6) 点(3,2),(3,2),P Q P Q -则与（A ）关于x 轴对称（B ）关于y 轴对称 （C ）关于直线y x =对称（D ）关于直线y x =-对称 (7) 公比为2的等比数列{}n a 中，12317,a a a a ++==则（A ）73-（B ）1 （C ）73（D ）7(8) 正六边形中，由任意三个顶点连线构成的三角形的个数为（A ）6 （B ）20 （C ）120 （D ）720(9) 如果04πθ<<，则（A ）cos sin θθ<（B ）cos tan θθ< （C ）tan cos θθ<（D ）sin tan θθ<(10) 下列函数中，在其定义域上为增函数的是（A ）y x = 6（B ）2y x =（C ）3y x = （D ）4y x =(11) 多少分3,60,2,ABC AB B BC ===中，则AC=（A（B （C ）4（D (12) 过点()1,2且与直线230x y +-=平行的直线方程为（A ）250x y +-= （B ）230y x --= （C ）240x y +-=（D ）20x y -=(13) 平面上到两定点()()121,0,1,0F F -距离之和为4的点的轨迹方程为 （A ）22143x y += （B ）22143x y -= （C ）22134x y += （D ）22y x =(14) 斯蒂芬2220x y a x y a +=+-==与直线相切，则（A ）4（B ）2（C（D ）1(15) 设1a b >>，则（A ）0.30.3ab> （B ）33a b< （C ）33log log a b <（D ）33log log a b >(16) 某人打靶，每枪命中目标的概率都是0.9，则4枪中恰有2枪命中目标的概率为（A ）0.0486 （B ）0.81 （C ）0.5 （D ）0.0081 (17) 函数1y x=的图像在 （A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第三、四象限 （D ）第二、四象限 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
09年成考试题及答案
09年成考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 成人高考的全称是什么？A. 成人高等教育考试B. 成人高等教育入学考试C. 成人高等教育自学考试D. 成人高等教育统一考试答案：B2. 成人高考的报考条件是什么？A. 年满18周岁B. 具有高中同等学力C. 具有大专以上学历D. 以上都是答案：D3. 成人高考的考试时间通常在每年的什么时候？A. 3月B. 6月C. 9月D. 12月答案：C4. 成人高考的考试科目通常包括哪些？A. 语文、数学、英语B. 政治、历史、地理C. 物理、化学、生物D. 以上都是答案：A5. 成人高考的录取分数线是如何确定的？A. 由国家统一划定B. 由各高校自行确定C. 由考生所在省份确定D. 由考生所在学校确定答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 成人高考的报名通常在每年的______月进行。
答案：52. 成人高考的考试形式包括______和______两种。
答案：笔试、面试3. 成人高考的录取原则是______。
答案：择优录取4. 成人高考的考试内容通常以______为基础。
答案：高中知识5. 成人高考的考试合格后，考生将获得______。
答案：入学资格三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述成人高考与普通高考的主要区别。
答案：成人高考主要针对成人，考试时间通常在9月，报考条件相对宽松，考试科目通常包括语文、数学、英语等。
而普通高考针对普通高中毕业生，考试时间通常在6月，报考条件较为严格，考试科目包括语文、数学、英语以及文综或理综。
2. 成人高考的考试流程是怎样的？答案：成人高考的考试流程通常包括报名、资格审查、缴费、领取准考证、参加考试、查询成绩、参加录取等环节。
3. 成人高考的考试合格后，考生可以享受哪些待遇？答案：考试合格后，考生可以享受与普通高校学生相同的待遇，包括学籍注册、学历证书发放、享受国家助学金等。
四、论述题（每题30分，共30分）1. 请论述成人高考在终身教育体系中的作用和意义。
2009年成人高考高中起点升专科、本科《数学》(理科)试卷及详解【圣才出品】
15．圆
（r＞0，θ为参数）与直线 x－y＝0 相切，则 r＝（ ）．
A．
B．
C．2 D．4 【答案】A
【解析】消去圆的参数方程中的参数 ，有（x－1）2＋（y＋1）2＝r2，圆心为（1，
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－1）．因为圆和 x－y＝0 相切，应有
17．某人打靶，每枪命中目标的概率都是 0.9，则 4 枪中恰有 2 枪命中目标的概率为 （ ）．
A．0.0486 B．0.81 C．0.5 D．0.0081 【答案】A 【解析】所求概率应为
A．{x|－1≤x＜1}
B．
C．{x|－1＜x≤1}
D．
【答案】B
【 解 析 】 解 不 等 式 3x ＋ 1 ≥ 0 ， 得
， 集 合 B ＝ {x|x ＜ 1} ， 所 以
．
2．设 z＝1＋2i，i 为虚数单位，则
A．－2i
B．2i
C．－2
D．2
【答案】D
【解析】z＝1＋2i，则
，所以
（ ）．
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2009 年成人高考高中起点升专科、本科《数学》（理科）试卷及详解
－、选择题：本大题共 17 小题，每小题 5 分，共 85 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．集合 A 是不等式 3x＋1≥0 的解集，集合 B＝{x|x＜1}，则集合 A∩B＝（ ）．
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B．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D．甲是乙的充分必要条件 【答案】D 【解析】由于 y＝2x 是（－∞，＋∞）内的增函数，所以 2a＞2b 等价于 a＞b，亦即甲 是乙的充分必要条件．
2009年成人高考专科起点升本科《高等数学(二)》真题及详解【圣才出品】
D．2x2＋xex＋C
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【答案】A
【解析】根据丌定积分加法原则
．
6．
（ ）．
A．
B． C． D．0 【答案】D 【解析】因为定积分
是个常数，故对其求导为 0．
7．若 A．2x B．x2 C． D．1 【答案】A 【解析】由
，则
＝（ ）．
（1） （2）
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28．求函数 z＝x2＋2y2＋4x－8y＋2 的极值．（本题满分 10 分）
解：令
，得
， ，且 A＝2＞0，所以 f（－2，2）＝－10 为极小值．
10 / 10
，得
3 / 10
，故
．
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8．设函数 z＝
，则 （ ）．
A．
B．
C．
D． 【答案】C
【解析】
．
9．设函数 z＝
，u＝x2＋y2 且
二阶可导，则
（ ）．
A．4 B．4x C．4y D．4xy 【答案】D
【
解
析
】
，
．
10．任意三个随机事件 A、B、C 中至少有一个发生的事件可表示为（ ）． A．A∪B∪C
21．计算
（本题满分 8 分）
解：由洛必达法则得
22．设函数 y＝esinx，求 dy．（本题满分 8 分）
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解：
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则
23．计算 解：
（本题满分 8 分）
24．计算 解：
2009年成人高考(高起点)语数外试题附答案word版
2009年成人高等学校招生全国统一考试语文答案必须答在答题卡上的指定位置,答在试卷上无效。
一、(18分，每小题3分)1．下列词语中加点的字，读音相同的一项是A．默．不作声磨．坊蓦．然墨．守成规B．怦．然心动蓬．勃烹．饪朋．比为奸C．摇．唇鼓舌遥．望造谣．杳．无音信D．束．手无策宽恕．赎．罪述．而不作2．下列各组词语中，没有错别字的一项是A．防范兼收并蓄流离失所过尤不及B．配给染眉之急貌合神离旗开得胜C．企盼相机行事手疾眼快置若罔闻D．滞留曲指可数借古讽今昭然若揭3．依次填人下面一段文字横线处的词语，恰当的一项是不管是修缮是重建，对于文化遗迹来说，要义在于保存。
圆明园废墟是北京城最有历史感的文化遗迹之一，把它完全铲平，造一座崭新的圆明园，多么得不偿失。
何必要抹去昨夜的故事，去收拾前夜的残梦。
吏何况，收拾起来的前夜的残梦，今日的游戏。
A．或即使仅是不是B．还如果仅是不是C．还如果不是只是D．或即使不是只是4．依次填入下列各句横线处的词语，恰当的一项是①没有丰富的生活积累和深厚的艺术功底，是很难写出高的作品来的。
②这座经历了数百年风雨的古塔。
，随时都有倒塌的可能。
③任何人都可能被别人批评和议论，但必须是的和实事求是的。
④恶劣的自然条件极大地着这个边远小镇的经济发展。
A．晶位侵蚀善煮制约B，品格侵袭善意限定C．品格侵蚀诚意限定D．品位侵袭诚意制约5．下面句子没有语病的一项是A．“中国消除贫困奖评选表彰活动”，旨在评选表彰那些为中国的扶贫事业做出了积极贡献。
B．我们每个人都有自己独立的精神领地，其他人不要以为凭借善良就可以随意闯入。
C．我深切体会到翻译在促进国家民族间的文化交流中所起到的重要作用是巨大的D．嘈杂的拍摄现场本来鸦雀无声、一片寂静，大家都用眼神敬意地注视着这位敬业的老导演。
6．填人下面横线处，与上下文衔接最恰当的一项是去年夏天，我在杭州一所疗养院里休养。
江岸后面是起伏的山峦和绵延不断的树林。
A．这儿的景色真是美极了!六和塔静静地矗立在钱塘江边，帆影点点的江面上波光粼粼，B．那儿的景色真美!六和塔静静地矗立在钱塘江边，江面上帆影点点，波光粼粼，C．那儿的景色真美!六和塔在钱塘江边矗立着，江面上帆影点点，波光粼粼，D．这儿的景色真是美极了!六和塔在钱塘江边矗立着，帆影点点的江面上波光粼粼，二、(12分，每小题3分)阅读下面的现代文，完成7—10题。
2009年成人高考真题
2009年全国成人高考高起点语文真题及答案2009-12-916:51/html/2009/12/xm1371254071921900218810.html2009年全国成人高考高起点数学（文）真题及答案2009-12-917:4/html/2009/12/xm34443771921900214586.html2009年全国成人高考高起点英语真题及答案2009-12-917:13/html/2009/12/xm7412719219002936.html2009年全国成人高考高起点历史地理真题及答案2009-12-919:5/html/2009/12/xm97613840191921900214064.html2010年成人高考高起点语文模拟题2010-8-415:23页面功能【字体：大中小】【打印】【关闭】一、基础知识（18分，每小题3分）1.下列各组词语中，加点字的注意没有错误的一组是A.自缢（yì）伶俜（pīn）编纂（zuǎn）载（zǎi）笑载言B.契（qiè）阔婀娜（nuó）修茸（qì）渐（jiàn）车帷裳C.诘（jié）问诟（ɡòn）厉詈（lì）骂不可遏（è）制D.解剖（pāo）吐哺（pǔ）煦（xū）暖熠（yì）熠发光2.下列各组词语中，字形全对的一组是A.锐智禅让厘定原墙周庭才华卓著B.发祥国萃遨翔与世常辞皇恩浩荡C.恬退对现逡巡有目共堵泰然自若D.社稷鬻卖嗜好心悦诚服鼎鼎大名3.依次填入下面横线处的词语，恰当的一组是①科学传播不可能起到立竿见影的效果，如果谁这样想，谁就会科学，最终将会危害科学。
②近几年我国出土了大量先秦时期的典籍，使我们有可能对过去被判为伪书的作品重新加以。
③每天赛季开始之前，足球队有关人员都要欧洲各国，耗费大量的精力和财力去请外援。
A.误解甄别周游B.曲解鉴别漫游C.误解鉴别漫游D.曲解甄别周游4.下列各句中加点的成语使用正确的一句是A.这次试验眼着就要成功了，大家一定要坚持下去，千万不要懈怠，如果功亏一篑，实在可惜。
2009年成考专升本高数真题及答案
/cctvchildren/dongmanshijie/videopage/index.shtmlLXGIWYL = 一般武器KJKSZPJ = 暴力武器UZUMYMW‘= 超级武器HESOYAM = 恢复生命值, 防弹衣, $250kOSRBLHH = 增加两颗警星ASNAEB = 清除警星(偷渡和闯如军事基地无效) AFZLLQLL = 好天气ICIKPYH = 非常好的天气ALNSFMZO = 变阴暗天气AUIFRVQS = 下雨的天气CFVFGMJ = 雾深的天气YSOHNUL = 时间过的更快PPGWJHT = 快速游戏LIYOAAY = 慢速游戏AJLOJYQY = 暴动BAGOWPG = 街上的人见了你都逃跑(胆大者会向你开枪) FOOOXFT = 行人拥有武器AIWPRTON = 坦克CQZIJMB = 破旧的车JQNTDMH = 农场工人的车PDNEJOH = 赛车1VPJTQWV = 赛车2AQTBCODX = 葬礼车KRIJEBR = 环座型贵宾车UBHYZHQ = 垃圾车RZHSUEW = 高尔夫车CPKTNWT = 附近所有车爆炸XICWMD = 看不见的汽车PGGOMOY = 完美的处理SZCMAWO = 自杀ZEIIVG = 所有的红绿灯变绿灯YLTEICZ = 攻击性的驾驶员LLQPFBN = 粉红的交通(所有车变粉红色) IOWDLAC = 黑色的交通(所有车变黑色) AFSNMSMW = 船可以飞BTCDBCB = 肥胖JYSDSOD = 强壮值全满KVGYZQK = 薄的ASBHGRB = Elvis 在各处BGLUAWML = Peds 用武器攻击你, 火箭发射者CIKGCGX = 海滩党MROEMZH = 各处一组成员BIFBUZZ = 团队控制街道AFPHULTL = 忍者主题BEKKNQV = 所有丑女被你吸引BGKGTJH = 交通是便宜的汽车GUSNHDE = 交通是快速的汽车RIPAZHA = 汽车会飞JHJOECW = 未知JUMPJET = 战斗机Spawn HydraKGGGDKP = 水翼船Spawn Vortex HovercraftJCNRUAD = 非常的繁荣COXEFGU = 所有的汽车有Nitro All Cars Have Nitro(氮气) BSXSGGC = 未知Cars Float Away When HitXJVSNAJ = 总是午夜的OFVIAC = 橘色天空21:00MGHXYRM = 雷雨CWJXUOC = 沙暴LFGMHAL = 跳的更高BAGUVIX = 无限健康CVWKXAM = 无限氧气AIYPWZQP = 降落伞YECGAA = 火箭飞行器JetpackAEZAKMI = 不被通缉LJSPQK = 警星全满IAVENJQ = 百万打洞器AEDUWNV = 不会饥饿IOJUFZN = 暴动模态PRIEBJ = 玩趣屋主题MUNASEF = 肾上腺素模态WANRLTW = 无限弹药, 没有再装填OUIQDMW = 当驾驶的时候可以在车内使用准星瞄准攻击THGLOJ = 交通畅通FVTMNBZ = 交通是国家车辆SJMAHPE = 补充每一个子弹BMTPWHR = 国家车辆和Peds,拿天生的2个卡车用具ZSOXFSQ = 补充每一个(火箭筒)OGXSDAG = 最大威望Max RespectEHIBXQS = 最大性感Max Sex AppealVKYPQCF = Taxis 车可以跳舞NCSGDAG = 武器熟练度全满VQIMAHA = 更好的驾驶技能OHDUDE = 猎人(Ah-64阿帕奇战斗机)AKJJYGLC = 四轮摩托车AMOMHRER = 超长拖粪车EEGCYXT = 推土机URKQSRK = 杂技飞机Spawn Stunt PlaneAGBDLCID = 越野型大脚车回答者：爲楽谁 - 护国法师十五级发消息加为好友12-15 00:43 圣安地列斯的秘籍：LXGIWYL = 一般武器KJKSZPJ = 暴力武器UZUMYMW = 超级武器HESOYAM = 恢复生命值, 防弹衣, $250kOSRBLHH = 增加两颗警星ASNAEB = 清除警星(偷渡和闯如军事基地无效)AFZLLQLL = 好天气ICIKPYH = 非常好的天气ALNSFMZO = 变阴暗天气AUIFRVQS = 下雨的天气CFVFGMJ = 雾深的天气YSOHNUL = 时间过的更快PPGWJHT = 快速游戏LIYOAAY = 慢速游戏AJLOJYQY = 暴动BAGOWPG = 街上的人见了你都逃跑(胆大者会向你开枪)FOOOXFT = 行人拥有武器AIWPRTON = 坦克CQZIJMB = 破旧的车JQNTDMH = 农场工人的车PDNEJOH = 赛车1VPJTQWV = 赛车2AQTBCODX = 葬礼车KRIJEBR = 环座型贵宾车UBHYZHQ = 垃圾车RZHSUEW = 高尔夫车CPKTNWT = 附近所有车爆炸XICWMD = 看不见的汽车PGGOMOY = 完美的处理SZCMAWO = 自杀ZEIIVG = 所有的红绿灯变绿灯YLTEICZ = 攻击性的驾驶员LLQPFBN = 粉红的交通(所有车变粉红色) IOWDLAC = 黑色的交通(所有车变黑色) AFSNMSMW = 船可以飞BTCDBCB = 肥胖JYSDSOD = 强壮值全满KVGYZQK = 薄的ASBHGRB = Elvis 在各处BGLUAWML = Peds 用武器攻击你, 火箭发射者CIKGCGX = 海滩党MROEMZH = 各处一组成员BIFBUZZ = 团队控制街道AFPHULTL = 忍者主题BEKKNQV = 所有丑女被你吸引BGKGTJH = 交通是便宜的汽车GUSNHDE = 交通是快速的汽车RIPAZHA = 汽车会飞JHJOECW = 未知JUMPJET = 战斗机Spawn HydraKGGGDKP = 水翼船Spawn Vortex HovercraftJCNRUAD = 非常的繁荣COXEFGU = 所有的汽车有Nitro All Cars Have Nitro(氮气) BSXSGGC = 未知Cars Float Away When HitXJVSNAJ = 总是午夜的OFVIAC = 橘色天空21:00MGHXYRM = 雷雨CWJXUOC = 沙暴LFGMHAL = 跳的更高BAGUVIX = 无限健康CVWKXAM = 无限氧气AIYPWZQP = 降落伞YECGAA = 火箭飞行器JetpackAEZAKMI = 不被通缉LJSPQK = 警星全满IAVENJQ = 百万打洞器AEDUWNV = 不会饥饿IOJUFZN = 暴动模态PRIEBJ = 玩趣屋主题MUNASEF = 肾上腺素模态WANRLTW = 无限弹药, 没有再装填OUIQDMW = 当驾驶的时候可以在车内使用准星瞄准攻击THGLOJ = 交通畅通FVTMNBZ = 交通是国家车辆SJMAHPE = 补充每一个子弹BMTPWHR = 国家车辆和Peds,拿天生的2个卡车用具ZSOXFSQ = 补充每一个(火箭筒)OGXSDAG = 最大威望Max RespectEHIBXQS = 最大性感Max Sex AppealVKYPQCF = Taxis 车可以跳舞NCSGDAG = 武器熟练度全满VQIMAHA = 更好的驾驶技能OHDUDE = 猎人(Ah-64阿帕奇战斗机)AKJJYGLC = 四轮摩托车AMOMHRER = 超长拖粪车EEGCYXT = 推土机URKQSRK = 杂技飞机Spawn Stunt PlaneAGBDLCID = 越野型大脚车操作类AJLOJYQY = 行人互相攻击BAGOWPG = 行人都来攻击你FOOOXFT = 行人全副武装BLUESUEDESHOES = 行人变成猫王BGLUAWML = 行人用武器攻击你，路上只有军人，牛仔，帮派成员。
专升本高等数学(一)真题2009年
，其中σ为区域D的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积 为4，可知
． 20．设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)
在点(2，3)处的切线方程为______． [答案] y=3． [解题指导] 本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程． 由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知
．因此
解法2
． 17．设z=sin(y-x2)，则
=______． [答案] COS(y-x2)． [解题指导] 本题考查的知识点为偏导数运算． 求
时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此
． 18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______． [答案] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)． [解题指导] 本题考查的知识点为平面方程． 已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平
[答案] B [解题指导] 本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数 值．
故选B． 6．设f(x)为连续函数，
( )． A．f(2x) B．2f(x) C．-f(2x) D．-2f(x) [答案] A [解题指导] 本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函
数，则F'(x)=
=( )． A．2x+1 B．2xy+1 C．x2+1 D．2xy [答案] B．
[解题指导] 本题考查的知识点为偏导数计算． 求 时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3， 因此
2009年河南专升本高数真题+答案解析
2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（ ）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（ ）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（ ）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（ ）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（ ）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（ ） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（ ）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（ ）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（ ）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（ ）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（ ）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（ ） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ ）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（ ）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（ ）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29． 函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（ ） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________． 【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________． 【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________． 【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________． 【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________． 【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx． 【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一 方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+． 方法二 令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰． 【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51． 求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=， 所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小． 【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>． 令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题 （6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根． 【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>， 所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。
2009年河南专升本高数真题+答案解析
2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（ ）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（ ）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（ ）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（ ）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（ ）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（ ） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（ ）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（ ）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（ ）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（ ）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（ ）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（ ） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ ）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（ ）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（ ）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29． 函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（ ） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________． 【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________． 【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________． 【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________． 【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________． 【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx． 【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一 方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+． 方法二 令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰． 【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51． 求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=， 所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小． 【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>． 令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题 （6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根． 【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>， 所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。