2016年八年级数学下册2.5.1矩形的性质同步练习(新版)湘教版

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湘教版数学八年级下册-第2章第5节《矩形》同.docx

初中数学试卷鼎尚图文**整理制作2015-2016学年湘教版八年级数学下册第2章第5节《矩形》同步测试与解析一．选择题（共10小题）1．（2016•灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC 是等边三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S △AOE =S △COE ，其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，矩形CEFG 上的点G 在CD 边，EF=a ，CE=2a ，连接BD 、BF 、DF ，则△BDF 的面积是（）A ．32B ．16C ．8D ．16+a 23．（2016•鄂州一模）如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是（）A ．（74，72）、（﹣12，4） B ．（32，3）、（﹣23，4） C ．（32，3）、（﹣12，4） D ．（74，72）、（﹣23，4）4．（2014•大庆校级模拟）下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A ．∠A+∠B=90°B ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BDC ．AB ∥CD ，AD=BC ，AC=BD D ．AC=BD ，∠A=90°5．（2014•吴江市模拟）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：第1题图第2题图①AB ∥DC ；②AB=DC ；③AC=BD ；④∠ABC=90°；⑤OA=OC ；⑥OB=OD ．则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（）A ．①②③B ．②③④C ．②⑤⑥D ．④⑤⑥6．（2014春•曲阜市期末）已知：线段AB ，BC ，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对7．（2016春•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.48．（2015春•武汉校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值是（）A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．29．（2014•永嘉县校级模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（）第7题图第8题图A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.510．（2014•乐清市二模）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少二．填空题（共7小题）11．（2015春•太康县期末）如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，则最快 s 后，四边形ABPQ 成为矩形．12．（2014春•淮阴区校级月考）已知平面上四点A （0，0），B （4，0），C （4，2），D （0，2），直线y=mx ﹣m+2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为．13．（2012•团风县模拟）如图．△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是．14．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE=CD ，连接AE 交BC 于F ，∠AFC=n ∠D ，当n= 时，四边形ABEC 是矩形．第11题图第13题图第14题图第15题图15．（2013秋•扬中市校级月考）如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B=；如图2，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）．16．（2016•淅川县一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P 是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是．17．（2016春•建湖县校级月考）矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为．三．解答题（共6小题）18．（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．19．（2015•枣庄校级模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．（1）证明：△A1AD1≌△CC1B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形．（直接写出答案）20．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．21．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．22．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．23．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为；对图（3）的探究结论为；证明：如图（2）试题解答参考一．选择题（共10小题）1．（2016•灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=12（180°﹣∠OBE）=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE，∴④正确；故选C．2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）A．32 B．16 C．8 D．16+a2解：根据题意得：△BDF的面积=8×4+2a•a+12×2a（4﹣a）﹣12×8×4﹣12a（2a+8）=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2﹣4a=16；故选：B．3．（2016•鄂州一模）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（74，72）、（﹣12，4）B．（32，3）、（﹣23，4）C．（32，3）、（﹣12，4）D．（74，72）、（﹣23，4）解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标（﹣2，1），点C纵坐标为4，∴AF=1，FO=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，∴，∴EC=32，∴点C坐标（﹣12，4），∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN﹣BN=3，BM=AE=3，OM=EC=32，∴点B坐标（32，3），故选C．4．（2014•大庆校级模拟）下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．∠A+∠B=90°B．AB∥CD，AB=CD，AC=BDC．AB∥CD，AD=BC，AC=BD D．AC=BD，∠A=90°解：A、不能判断四边形ABCD为矩形，故A选项错误；B、由AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，所以平行四边形ABCD为矩形．故B正确．C、不能判断四边形ABCD为矩形，故C选项错误；D、AC=BD，∠A=90°，不能判断四边形ABCD为矩形，故D选项错误；故选B．5．（2014•吴江市模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥解：A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；故选：C．6．（2014春•曲阜市期末）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对解：由甲同学的作业可知，CD=AB ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD 是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM ，MD=MB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD 是矩形．所以乙的作业正确；故选A ．7．（2016春•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.4解：连结AP ，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=2234+=5，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ．∵M 是EF 的中点，∴PM=12 AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=345=2.4，∴AP最短时，AP=2.4，∴当PM最短时，PM=12AP=1.2．故选A．8．（2015春•武汉校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2解：如图，连接CD．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=12BC•AC=12AB•CD，即12×4×3=12×5•CD，解得CD=2.4，∴EF=2.4．故选B．9．（2014•永嘉县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5解：连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：12×4=12×5×AP，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．10．（2014•乐清市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少解：如图，连接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．二．填空题（共7小题）11．（2015春•太康县期末）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4，故答案为：4．12．（2014春•淮阴区校级月考）已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y=mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为﹣1．解：∵点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），∴四边形ABCD为矩形，∵直线y=mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y=mx﹣m+2过矩形的对角线的交点，而矩形的对角线的交点坐标为（2，1），∴2m﹣m+2=1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．13．（2012•团风县模拟）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是23．解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=12 BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=2，∴DF=12BC=1，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，∴tan30°=，即AD=3，∴CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=23．故答案为：2314．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．15．（2013秋•扬中市校级月考）如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B=50°；如图2，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A=90°（填上你认为正确的一个答案即可）．解：（1）∵∠BAC=80°，∴∠EAC=100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC=50°，∵AD∥BC，∴∠B=∠EAD=50°；（2）添加的条件是∠A=90°，理由是：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：50°，∠A=90°．16．（2016•淅川县一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P 是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是4＜a＜5．解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴对角线AC==10，∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），∴8＜AP＜10，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=12 AP，∴4＜a＜5．故答案为：4＜a＜5．17．（2016春•建湖县校级月考）矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为10cm2或15cm2．解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC又∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．当AE=2cm，DE=3cm时，AD=BC=5cm，AB=CD=AE=2cm．∴矩形ABCD的面积是：2×5=10cm2；当AE=3cm，DE=2cm时，AD=BC=5cm，AB=CD=AE=3cm，∴矩形ABCD的周长是：5×3=15cm2．故矩形的周长是：10cm2或15cm2．故答案是：10cm2或15cm2．三．解答题（共6小题）18．（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．19．（2015•枣庄校级模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．（1）证明：△A1AD1≌△CC1B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形．（直接写出答案）（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1∴AA1=CC1，∠A1=∠ACB，A1D1=CB．∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）．（6分）（2）解：∵∠CAB=60°，又∵四边形ABC1D1是菱形，∴∠BC1A=60°，∴△ABC1是等边三角形，∴AC1=BC1，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°∴∠C1BC=∠ACB=30°，∴BC1=CC1=AC1，即C1为AC的中点，∴当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．（9分）20．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，FB=FM，∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，∵CE=AC，∴AC=CE=DM，∵FB=FM，∴BF⊥DF．21．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．解：有两对全等三角形，分别为：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE．解法一：求证：△AA′E≌△C′CF．证明：由平移的性质可知：∵AA′=CC′，又∵∠A=∠C′，∠AA′E=∠C′CF=90°，∴△AA′E≌△C′CF．解法二：求证：△A′DF≌△CBE．证明：由平移的性质可知：A′E∥CF，A′F∥CE，∴四边形A′ECF是平行四边形．∴A′F=CE，A′E=CF．∵A′B=CD∴DF=BE，又∵∠B=∠D=90°，∴△A′DF≌△CBE．22．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，∵△AOB是等边三角形，∴AO=BO．∴AC=BD．∴平行四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，∴BC==43cm，∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×43cm=163cm2．23．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为PA2+PC2=PB2+PD2；对图（3）的探究结论为PA2+PC2=PB2+PD2；证明：如图（2）解：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据（1）中的结论可得，在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2，两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，同样根据（1）中的结论可得，在矩形BCNM中有PC2+PM2=PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2=PD2+PM2，两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．。

2022年湘教版八年级下《矩形的性质》同步练习(附答案)

2.5 矩形2.5.1 矩形的性质要点感知1 有一个角是__________角的平行四边形叫作矩形.预习练习1-1四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：_______________，可使它成为矩形.要点感知 2 矩形的四个角都是__________，对边相等，对角线__________，对角线__________.预习练习2-1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，那么∠AOB的大小为( )°°°°要点感知3矩形是中心对称图形，__________是它的对称中心.矩形是轴对称图形，__________都是矩形的对称轴.预习练习3-1 矩形是轴对称图形，矩形的对称轴有__________条.知识点1 矩形的定义1.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件可以是__________.2.如图，在2×3的矩形方格图中，矩形个数有__________个.3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB=CD，EF=GH；(2)摆放成如图2所示的四边形，那么这时窗框的形状是__________，根据数学道理是：____________________；(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是__________形，根据的数学道理是：____________________.知识点2 矩形的性质4.如图，在矩形ABCD中，假设AC=2AB，那么∠AOB的大小是( )°°°°第4题图第5题图第6题图5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.假设AC=4，那么四边形CODE的周长是( )A.46.如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，以下结论不正确的选项是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC7.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，那么BD的长为__________.第7题图第8题图第9题图8.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC,BD相交于点O，那么图中等腰三角形的个数是__________.9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，假设AB=6 cm，BC=8 cm，那么△AEF的周长=__________cm.10.:如图，在矩形ABCD中,E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.11.矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F(不与顶点重合)，那么以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( )A.△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cmC.△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cmD.△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定12.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，那么折痕EF的长为( )55第12题图第13题图13.如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN，假设AB=22，BC=23，那么图中阴影局部的面积为__________.14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.15.如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，假设AD=3，BD=6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC.16.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)假设∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.参考答案要点感知1直预习练习1-1 答案不唯一，如∠ABC＝90°要点感知2 直角互相平分相等预习练习2-1 B要点感知3 对角线的交点过每一组对边中点的直线预习练习3-1 21.答案不唯一，如∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°2.183.〔2〕平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形〔3〕矩有一个角是直角的平行四边形是矩形4.C5.C6.A7.108.4个9.910.证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠D=∠B=90°，∵BE=DF，∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.11.B 12.D 13.614.∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.∴AO=AB=4.∴AC=2AO=8.15.(1)证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，∠DFE=∠BFC，∠E=∠C，DE=BC，∴△DEF ≌△BCF(AAS).(2)在Rt △ABD 中，∵AD=3，BD=6.∴∠ABD=30°.由折叠的性质可得：∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.16.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD.又∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形.∴BE ＝AC.∴BD ＝BE.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OC ＝BO ＝OD ＝4，即BD ＝8.∵∠DBC ＝30°，∴∠ABO ＝90°-30°＝60°.∴△ABO 是等边三角形，即AB ＝OB ＝4，于是AB ＝DC ＝CE ＝4.在Rt △DBC 中，DC=4，BD=8，BC ＝22BD CD =43.∵AB ∥DE ，AD 与BE 不平行，∴四边形ABED 是梯形，且BC 为梯形的高.∴四边形ABED 的面积＝12·(AB+DE)·BC ＝12·(4+4+4)·43＝243. 14.1.2 幂的乘方一、选择题1．计算〔-a 2〕5+〔-a 5〕2的结果是〔〕A ．0B ．2a 10C ．-2a 10D ．2a7 2．以下计算的结果正确的选项是〔〕A ．a 3·a 3=a 9B ．〔a 3〕2=a 5C ．a 2+a 3=a 5D ．〔a 2〕3=a6 3．以下各式成立的是〔〕A ．〔a 3〕x =〔a x 〕3B ．〔a n 〕3=a n +3C ．〔a+b 〕3=a 2+b 2D ．〔-a 〕m =-a m4．如果〔9n 〕2=312，那么n 的值是〔〕A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题5．幂的乘方，底数________，指数________，用字母表示这个性质是_________．•6．假设32×83=2n ，那么n=________．7．n为正整数，且a=-1，那么-〔-a2n〕2n+3的值为_________．8．a3n=2，那么a9n=_________．三、解答题9．计算：①5〔a3〕4-13〔a6〕2②7x4·x5·〔-x〕7+5〔x4〕4-〔x8〕2③[〔x+y〕3]6+[〔x+y〕9]2④[〔b-3a〕2]n+1·[〔3a-b〕2n+1]3〔n为正整数〕10．假设2×8n×16n=222，求n的值．四、探究题11．阅读以下解题过程：试比拟2100与375的大小．解：∵2100=〔24〕25=1625375=〔33〕25=2725而16<27∴2100<375．请根据上述解答过程解答：比拟255、344、433的大小参考答案：1．A 2．D 3．A 4．B5．不变；相乘；〔a m〕n=a mn〔m、n都是正整数〕6．14 7．1 8．8 9．①-8a12；②-3x16；•③2〔x+y〕18；④〔3a-b〕8n+5 10．n=3 11．255<433<344。

湘教版八年级下册数学习题课件：第2章 2.5 第1课时矩形的性质

16．如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处． (1)求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2)若 AB＝6，AC＝10，求四边形 AECF 的面积．
(1)证明：∵折叠，∴AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90° ，∠AME＝ ∠B＝90° ，∴∠ANF＝90° ，∠CME＝90° ，∵四边形 ABCD 为矩形，∴AB ＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∴AM－MN＝CN－MN，即 AN＝CM，在 ∠FAN＝∠ECM △ANF 和△CME 中，AN＝CM ，∴△ANF≌△CME(ASA)，∴ ∠ANF＝∠CME AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形 AECF 是平行四边形；
A．8 C．4
B．6 D．2
4．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，AE⊥BD 于 E.若∠ DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是( C A．18° C．45° B．36° D．72° )
5．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为( C ) A．3 C．2.5 B．3.5 D．2.8
14．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为 F.求证：DF＝DC.
证明：连接 DE.∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE.∵在矩形 ABCD 中，AD∥ BC，∠C＝90° ，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠DEC＝∠AED，又∵DF⊥AE， ∴∠DFE＝∠C＝90° ，∵DE＝DE，∴△DFE≌△DCE，∴DF＝DC.

湘教版八年级数学下册矩形知识点分类训练(Word版含答案)

湘教版八年级数学下册《2-5矩形》知识点分类训练（附答案）一．矩形的性质1．一次数学课上,老师请同学们在一张长为18厘米,宽为16厘米的长方形纸板上,剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形,且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其它两个顶点在长方形的边上,则剪下的等腰三角形的面积为（）平方厘米．A．50或60B．40或50或80C．30或40或50D．30或50或80 2．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC：∠EDA＝1：2,且AC＝8,则EC的长度为（）A．2B．2C．4D．3．如图,在矩形ABCD中,点F为边AD上一点,过F作EF∥AB交边BC于点E,P为边AB上一点,PH⊥DE交线段DE于H,交线段EF于Q,连接DQ．当AF＝AB时,要求阴影部分的面积,只需知道下列某条线段的长,该线段是（）A．EF B．DE C．PH D．PE4．如图,E、F分别是矩形ABCD边上的两点,设∠ADE＝α,∠EDF＝β,∠FDC＝γ,若∠AED＝α+β,下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°5．在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F．若AD＝,AB＝1,则AF2＝（）A．8﹣4B．10﹣4C．8+4D．10+46．如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝6,点F是AB的中点,E为BC边上一点,且EF⊥ED,连接DF,M为DF的中点,连接MA,ME．若AM⊥ME,则AE的长为（）A．5B．C．D．7．如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠BAD的平分线交BC于E,若∠EAC＝15°,则∠COE＝（）A．45°B．60°C．75°D．30°8．已知点P是矩形ABCD内一点,连接AP、BP、CP、DP,若S△ABP+S△CDP＝S△ADP+S△BCP,则关于点P的位置,正确的说法是（）A．一定是对角线交点B．一定在对角线上C．一定在对边中点的连线上D．可以是任意位置9．如图是一块矩形ABCD的场地,长AB＝102,宽AD＝51,从A、B两处入口的中路宽都为1,两小路汇合处路宽为2,其余部分种植草坪,则草坪面积为（）A．5050B．4900C．5000D．499810．如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是边AB上一点,且OE⊥AC．设∠AOD ＝α,∠AEO＝β,则α与β间的关系正确的是（）A．α＝βB．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°11．如图,矩形ABCD中,E,F是CD上的两个点,EG⊥AC,FH⊥AC,垂足分别为G,H,若AD＝2,DE＝1,CF＝2,且AG＝CH,则EG+FH＝（）A．+1B．C．3D．12．如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC于点E,DF平分∠ADC,交EB的延长线于点F,BC＝6,CD＝3,则为（）A．B．C．D．13．如图所示,P是矩形ABCD内的任意一点,连接P A,PB,PC,PD,得到△P AB,△PBC,△PCD,△PDA,设它们的面积分别是S1,S2,S3,S4,给出如下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1,则S4＝2S2；④若S1＝S2,则S3＝S4,其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图,在矩形ABCD中,AD＝AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF,其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．矩形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一部分是平行四边形,依照图中标注的数据,图中空白部分的面积为．16．如图,矩形ABCD中,,连结对角线AC,E为AC的中点,F为边AB上的动点,连结EF,作点C关于直线EF的对称点C′,连结C′E,C′F,CF,若△EFC′与△ACF 重叠部分面积等于△ACF面积的,则AG EG（填“＞”、“＝”或“＜”）,BF ＝．17．如图,在矩形ABCD中,点P在对角线AC上,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD．若PB＝2,PD＝6,图中阴影部分的面积为9,则矩形ABCD的周长为．18．如图,在矩形ABCD中对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,连接OE,若AD＝6,AB＝8,则OE＝．19．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计）,则这个平行四边形的最小内角为度．20．如图,在平行四边形ABCD中,点G,H分别是AB,CD的中点,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C处同时出发相向而行,到C,A时停止运动．若两动点的速度均为1cm/s,AB ＝14cm,BC＝18cm,AC＝24cm,经t秒后,四边形GFHE为矩形,则此时t的值为．21．已知矩形ABCD的对角线AC,BD的长度是关于x的方程x2﹣px+p+3＝0的两个实数根,则此矩形面积的最大值是．22．如图,一块长为a米,宽为b米的矩形土地被踩出两条小路（过A,B间任意一点作AD的平行线,被每条小路截得的线段长都是2米）．若小路①,②的面积分别为S1,S2,则S1,S2的大小关系是s1s2．23．如图所示,图形的周长为厘米．24．如图,在矩形ABCD中,E,F分别为AD,AB上一点,且EF＝EC,EF⊥EC,若DE＝2,矩形ABCD 的周长为24,则矩形ABCD的面积为．25．如图,长方形ABCD中,AB＝4,AD＝3,长方形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB＝90°,CP＝CB,延长CP交AD于点E,则AE＝．26．如图,矩形ABCD的面积为16cm2,它的两条对角线交于点O1,以AB、AO1为邻边作▱ABC1O1,设▱ABC1O1的对角线交于点O2,同样以AB、AO2为邻边作▱ABC2O2,…,依此类推,则▱ABC6O6的面积为cm2．27．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①,AD＞CD）沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,求矩形ABCD长与宽的比值．28．如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于点F,设＝λ（λ＞0）．若λ＝1,求证：CE＝FE；29．如图,将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠,已知AF∥BE,DF∥CE,CE交AF于点G,过点G作GH∥EF,交线段BE于点H．（1）判断∠CGH与∠DFE是否相等,并说明理由；（2）①判断GH是否平分∠AGE,并说明理由；②若∠DF A＝52°,求∠HGE的度数．30．如图,在▱ABCD中,点E,F是直线BD上的两点,DE＝BF．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若BD⊥AD,AB＝5,AD＝3,四边形AFCE是矩形,求DE的长．二．矩形的判定31．已知Rt△ABC,∠ABC＝90°,小明按如下步骤作图,①以A为圆心,BC长为半径作弧,以C 为圆心,AB长为半径作弧,两弧相交于点D；②连接DA,DC,则四边形ABCD为．32．如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE＝DC,连接AE,交BC于点F,连接AC、BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；（2）若∠AFC＝2∠ADC,求证：四边形ABEC是矩形．33．如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,AD∥BC,∠ADC＝∠ABC,OA＝OB．（1）如图1,求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,若AD＝12,AB＝5,求PE+PF的值．34．已知：如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度,求证：四边形ADCN是矩形．35．如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,过A点作AF∥BC,且AF＝BD,连接CF交AD于点E．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝AC,试判断四边形AFBD形状,并说明理由．36．如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA 的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．37．已知：如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论．三．矩形的判定与性质38．如图,在△ABC中,∠A＝90°,AC＝8,AB＝6,点D是BC边上的动点（不与B,C重合）过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F,则EF的最小值是（）A．3B．C．5D．39．如图,平行四边形ABCD中,AC＝6,BD＝8,点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC 移动,点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C,求（1）中矩形边BQ的长．40．如图,已知▱ABCD,延长AB到E,使BE＝AB,连接BD,ED,EC,若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC,若AD＝6,CD＝3,求AC的长．41．矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4．点E,F在对角线AC上,点M,N分别在边AD,BC上．（1）如图1,若AE＝CF＝1,M,N分别是AD,BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2,若AE＝CF＝0.5,AM＝CN＝x（0＜x＜2）,且四边形EMFN为矩形,求x的值．42．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO＝BO,DE 平分∠ADC交BC于点E,连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2,求△OEC的面积．43．如图,在平行四边形ABCD中,点M,N是AD边上的点,BM,CN交于点O,AN＝DM,BM＝CN．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．（2）若∠BOC＝90°,MN＝1,AM•MD＝12,求矩形ABCD的面积．44．如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3,求∠EAO的度数．参考答案一．矩形的性质1．解：分三种情况讨论：①如图1所示：BE＝BF＝10,等腰三角形的面积＝10×10÷2＝50（cm2）；②如图2所示：BE＝16﹣10＝6（cm）,BF＝＝8（cm）,等腰三角形的面积＝10×8÷2＝40（cm2）；③如图3所示：DE＝18﹣10＝8（cm）,DF＝＝6（cm）,等腰三角形的面积＝10×6÷2＝30（cm2）．故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC＝90°,AC＝BD＝8,OA＝OC＝AC＝4,OB＝OD＝BD＝4,∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠OCD,∵∠EDC：∠EDA＝1：2,∠EDC+∠EDA＝90°,∴∠EDC＝30°,∠EDA＝60°,∵DE⊥AC,∴∠DEC＝90°,∴∠DAC＝30°,∴DC＝AC＝4,∴EC＝DC＝2,故选：B．3．解：过点P作PM⊥EF于点M,如图：∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠C＝90°,∵EF∥AB,∴EF∥DC,∴∠EDC＝∠DEF,∵PH⊥DE,PM⊥EF,∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°,又∵∠PQM＝∠EQH,∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC,在△PMQ和△DCE中,,∴△PMQ≌△DCE（ASA）,∴PQ＝DE,∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2,∴故选：B．4．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A＝∠ADC＝90°,∵∠ADE＝α,∠EDF＝β,∠FDC＝γ,∴α+β+γ＝90°,∵∠AED+α＝90°,∠AED＝α+β,∴2α+β＝90°,∴α+β+γ＝2α+β,∴α＝γ,故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝1,BC＝AD＝,∵点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,∴AB＝BE＝1,CE＝CF＝﹣1,∴DF＝CD﹣CF＝2﹣,∴AF2＝AD2+DF2＝3+7﹣4＝10﹣4,故选：B．6．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAF＝90°,∵EF⊥DE,∴∠DEF＝90°,∵FM＝DM,∴AM＝EM＝DF＝×＝,∵AM⊥ME,∴∠AME＝90°,∴AE＝＝＝2,故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AO＝BO,∠BAD＝∠ABE＝90°,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝45°,又∵∠CAE＝15°,∴∠BAO＝45°+15°＝60°,∴△ABO是等边三角形,∴AB＝BO,又∵∠BAE＝45°＝∠AEB,∴AB＝EB,∴BO＝BE,∴∠BOE＝＝75°,∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°,故选：A．8．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC,AB＝CD,作PE⊥AD于E,延长EP交BC于F,如图所示：则PF⊥BC,EF＝AB,∵△ADP的面积+△BCP的面积＝AD•PE+BC•PF＝BC（PE+PF）＝BC•EF＝BC•AB,∴△ADP的面积+△BCP的面积＝矩形ABCD的面积,同理：△ABP的面积+△CDP的面积＝矩形ABCD的面积,∴△ADP的面积+△BCP的面积＝△ABP的面积+△CDP的面积；故选：D．9．解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后,草坪正好可以拼成一个新的矩形,且它的长为：102﹣2＝100,宽为51﹣1＝50．所以草坪的面积应该是长×宽＝100×50＝5000．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OD,∴∠OAD＝∠ODA,∵∠AOD＝α,∴∠OAD＝（180°﹣α）,∵OE⊥AC,∴∠AOE＝90°,∵∠AEO＝β,∠DAE＝90°,∴∠OAD＝∠AEO,∴（180°﹣α）＝β,∴α+2β＝180°．故选：D．11．解：过点E作EM⊥AB于M,延长EG交AB于Q,则△EQM是直角三角形．∵EG⊥AC,FH⊥AC,∴∠CHF＝∠AGQ＝90°,∵矩形ABCD中,CD∥AB,∴∠FCH＝∠QAG,在△FCH和△QAG中,,∴△FCH≌△QAG（ASA）,∴AQ＝CF＝2,FH＝QG,∵∠D＝∠DAM＝∠AME＝90°,∴四边形ADEM是矩形,∴AM＝DE＝1,EM＝AD＝2,∴MQ＝2﹣1＝1,∴Rt△EMQ中,EQ＝＝＝,即EG+QG＝EG+FH＝．故选：B．12．证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC＝BD,∠ADC＝90°,OA＝OD,∴∠COD＝2∠ADO,又∵BE⊥AC,∴∠EOB+∠EBO＝90°,∵∠EBO＝∠BDF+∠F,∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝90°,又∵DF平分∠ADC,∴∠ADO+∠BDF＝∠ADC＝45°,∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝45°+∠ADO+∠F＝90°,∴∠ADO+∠F＝45°,又∵∠BDF+∠ADO＝45°,∴∠BDF＝∠F,∴BF＝BD,∴AC＝BF,∵BC＝6,CD＝3,∴AD＝6,∴BF＝AC＝＝3,∵S△ABC＝AC•BE＝AB•BC,∴BE＝,∴＝＝,故选：C．13．解：如图,过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,∴此时两三角形的高的和为AB,即可得出S1+S3＝矩形ABCD面积；同理可得出S2+S4＝矩形ABCD面积；∴②S2+S4＝S1+S3正确；当点P在矩形的两条对角线的交点时,S1+S2＝S3+S4．但P是矩形ABCD内的任意一点,所以该等式不一定成立．故①不一定正确；③若S3＝2S1,只能得出△APB与△PDC高度之比,S4不一定等于2S2；故此选项错误；∵S2+S4＝S1+S3；若S1＝S2,则S3＝S4,∴④正确．故选：B．14．解：∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE＝45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE＝AB,∵AD＝AB,∴AE＝AD,在△ABE和△AHD中,,∴△ABE≌△AHD（AAS）,∴BE＝DH,∴AB＝BE＝AH＝HD,∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°,∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°,∴∠AED＝∠CED,故①正确；∵AB＝AH,∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°,∠OHE＝∠AHB（对顶角相等）,∴∠OHE＝67.5°＝∠AED,∴OE＝OH,∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°,∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°,∴∠DHO＝∠ODH,∴OH＝OD,∴OE＝OD＝OH,故②正确；∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°,∴∠EBH＝∠OHD,在△BEH和△HDF中,,∴△BEH≌△HDF（ASA）,∴BH＝HF,HE＝DF,故③正确；∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD,∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；∵AB＝AH,∠BAE＝45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故⑤错误；综上所述,结论正确的是①②③④共4个．故选：C．15．解：∵矩形ABCD的面积是ab,阴影部分的面积是：ac+bc﹣c2,∴图中空白部分的面积是：ab﹣（ac+bc﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．故答案为：ab﹣bc﹣ac+c2．16．解：∵AB＝4,BC＝2,∴AC＝＝＝2,∵E为AC的中点,∴AE＝EC＝,∴S△AEF＝S△ECF,∵点C关于直线EF的对称点C′,∴△CEF≌△C'EF,CE＝C'E＝,∴S△CEF＝S△C'EF,∵△EFC′与△ACF重叠部分面积等于△ACF面积的,∴S△EFG＝S△AEF＝S△CEF＝S△C'EF,∴AG＝EG,FG＝C'G,在△C'EG和△F AG中,,∴△C'EG≌△F AG（SAS）,∴AF＝C'E＝,∴BF＝AB﹣AF＝4﹣,故答案为：＝,4﹣．17．解：作PM⊥AD于M,交BC于N．则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴AM＝PE＝BN,AE＝MP＝DF,MD＝PF＝NC,BE＝PN＝FC,S△ADC＝S△ABC,S△AMP＝S△AEP,S△PBE＝S△PBN,S△PFD＝S△PDM,S△PFC＝S△PCN,∴S△EBP＝S△DPF,且S△EBP+S△DPF＝9,∴EP×BE＝PF×DF,且EP×BE+PF×DF＝9,∴EP×BE＝PF×DF＝∵BE2+EP2＝BP2＝20,PF2+DF2＝PD2＝36,∴BE+EP＝,PF+DF＝3∴BE+EP+PF+DF＝+3∴AB+AD＝+3∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2+6故答案为：2+618．解：过点O作OM⊥AB于点M,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC＝∠DAB＝90°,OA＝OB＝OC＝OD,又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE＝45°,∴△DAE为等腰直角三角形,∴AE＝DA,∵AD＝6,AB＝8,∴AE＝6,BE＝2,在Rt△DAB中,AC＝＝＝10,∴OA＝OB＝5,∵OM⊥AB,∴AM＝MB＝4,∴OM＝＝＝3,又∵ME＝MB﹣EB＝4﹣2＝2,在Rt△OME中,OE＝＝＝,故答案为：．19．解：过点C作AB的垂线垂足是E,如图所示：∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状,并使其面积为矩形木框的,∴BC＝CE,∵sin∠CBE＝＝,∴∠CBE＝∠A＝45°．故答案为：45．20．解：连接GH,如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵点G,H分别是AB,CD的中点,∴BG＝CH,BG∥CH,∴四边形BCHG是平行四边形,∴GH＝BC＝18,当EF＝GH＝18时,平行四边形GFHE是矩形,分两种情况：①AE＝CF＝t,EF＝24﹣2t＝18,解得：t＝3；②AE＝CF＝t,EF＝24﹣2（24﹣t）＝18,解得：t＝21；综上所述：当t为3s或21s时,四边形EGFH为矩形；故答案为：3或21．21．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD,∵矩形ABCD的对角线AC,BD的长度是关于x的方程x2﹣px+p+3＝0的两个实数根,∴Δ＝p2﹣4×1×（p+3）＝0,解得：p1＝6,p2＝﹣2（不符合题意,舍去）,则方程为x2﹣6x+9＝0,即AC＝BD＝3,由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2＝9,∵S＝AC×BD,∴S≤AC×BD＝,故答案为：．22．解：∵过A,B间任意一点作AD的平行线,被每条小路截得的线段长都是2米,∴S1＝2b平方米；S2＝2b平方米．∴S1＝S2．故答案为：＝．23．解：仔细观察可看出,右下方的阶梯的水平方向的线段的和等于6厘米,垂直方向的线段的和等于8厘米．则其周长刚好等于矩形的周长＝2×（8+6）＝28厘米．故答案为28．24．解：∵四边形ABD是矩形,∴AB＝CD,AD＝BC,∠A＝∠D＝90°,∵EF⊥EC,∴∠FEC＝90°,∴∠AEF+∠DEC＝90°,∵∠DCE+∠DEC＝90°．∴∠AEF＝∠DCE,在△AEF和△DCE中,,∴△AEF≌△DCE（AAS）．∴AE＝CD,AF＝DE＝2,∴AD＝AE+DE＝AE+2,∵矩形ABCD的周长为24,∴2（AE+ED+CD）＝24,∴2（2AE+2）＝24,解得：CD＝AE＝5,∴AD＝7,∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35,故答案为：35．25．解：延长AP交CD于F,∵∠APB＝90°,∴∠FPB＝90°,∴∠CPF+∠CPB＝90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB＝∠ABC＝90°,BC＝AD＝3,∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°,∴∠EAP＝∠ABP,∵CP＝CB＝3,∴∠CPB＝∠CBP,∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP,∵∠EP A＝∠CPF,∴∠EAP＝∠APE,∴AE＝PE,∵CD2+DE2＝CE2,∴42+（3﹣AE）2＝（3+AE）2,解得：AE＝,故答案为：．26．解：∵四边形ABCD是矩形,∴O1A＝O1C,O1B＝O1D,AC＝BD,∴O1A＝O1C＝O1B＝O1D,∴＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×16cm2＝4cm2,∵四边形ABC1O1是平行四边形,O1A＝O1B,∴四边形ABC1O1是菱形,∴AC1＝2O2A,O1B＝2O1O2＝2O2B,AC1⊥BO1,∴平行四边形ABC1O1的面积是AC1×BO1＝×2AO2×BO1＝2××AO2×BO1＝2×4cm2＝8cm2,∴△ABO2的面积是＝2cm2,同理平行四边形ABC2O2的面积是4cm2,平行四边形ABC3O3的面积是2cm2,平行四边形ABC4O4的面积是1cm2,平行四边形ABC5D5的面积是cm2,平行四边形ABC6O6的面积是cm2,故答案为：．27．解：连接DE,如图：∵沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,∴四边形ABEF为正方形,∴∠EAD＝45°,由第二次折叠知,M点正好在∠NDG的平分线上,∴DE平分∠GDC,∴∠GDE＝∠CDE,∵DG为折痕,∴∠DGE＝90°＝∠C,而DE＝DE,∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS）,∴DC＝DG,∵∠EAD＝45°,∠DGA＝90°,∴△AGD为等腰直角三角形,∴AD＝DG＝CD,∴矩形ABCD长与宽的比值为,故答案为．28．解：（1）证明：连接DE,如图：∵四边形ABCD为矩形,∴∠C＝90°,AD∥BC,∴∠ADE＝∠CED,∵DF⊥AE,∴∠DFE＝90°,∴∠DFE＝∠C,∵＝λ＝1,∴AD＝AE,∴∠ADE＝∠FED,∴∠FED＝∠CED,在△DFE和△DCE中,,∴△DFE≌△DCE（AAS）,∴CE＝FE；29．解：（1）∠CGH＝∠DFE,理由：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴CG∥DF,∵GH∥EF,∴∠AGC＝∠AFD,∠AGH＝∠AFE,∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH,∠DFE＝∠DF A+∠AFE,∴∠CGH＝∠DFE；（2）①GH平分∠AGE；理由如下：∵GH∥EF,∴∠AGH＝∠AFE,∠HGE＝∠GEF,∵CE∥DF,∴∠1＝∠GEF,∵∠1＝∠GFE,∴∠GFE＝∠GEF,∴∠AGH＝∠EGH,∴GH平分∠AGE；②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠,∴∠EFG＝∠1,∵∠DFG＝52°,∴∠EFG＝64°,∵GH∥EF,∴∠AGH＝∠AFE＝64°,∵∠EGF＝∠DFG＝52°,∴∠HGE＝64°．30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC．∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠CBF．又DE＝BF,∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴AE＝CF,∠AED＝∠CBF．∴AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵BD⊥AD,AB＝5,AD＝3,∴BD＝＝4,连接AC交EF于O,∴DO＝BD＝2,∴AO＝＝,∵四边形AFCE是矩形,∴AC＝EF,AO＝AC,EO＝EF,∴AO＝EO＝,∴DE＝EO﹣DO＝﹣2．二．矩形的判定31．解：四边形ABCD为矩形．理由：∵AD＝BC,AB＝DC,∵∠ABC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形．故答案为：矩形．32．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵CE＝DC,∴AB＝EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形；（2）∵由（1）知,四边形ABEC是平行四边形,∴F A＝FE,FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠ADC,∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF,∴∠ABC＝∠BAF,∴F A＝FB,∴F A＝FE＝FB＝FC,∴AE＝BC,∴四边形ABEC是矩形．33．证明：（1）∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD＝180°,∠ADC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD＝∠BCD,∴OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∵OA＝OB,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形；（2）如图,连接OP,∵AD＝12,AB＝5,∴BD＝＝＝13,∴BO＝OD＝AO＝CO＝,∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15,∴S△AOP+S△POD＝15,∴××FP+××EP＝15,∴PE+PF＝．34．证明：①∵CN∥AB,∴∠DAC＝∠NCA,在△AMD和△CMN中,∵,∴△AMD≌△CMN（ASA）,∴AD＝CN,又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,∴AD＝CN；②∵∠BAN＝90度,四边形ADCN是平行四边形,∴四边形ADCN是矩形．35．证明：（1）连接DF．∵D是BC边上的中点,∴BD＝DC,∵AF∥BC,且AF＝BD,∴AF∥DC,且AF＝DC,∴四边形ACDF是平行四边形,∴AE＝ED；（2）四边形AFBD是矩形,理由如下：由（1）得,四边形ACDF是平行四边形,∵AB＝AC,BD＝DC．∴AD⊥BC,即∠ADB＝90°．∴平行四边形AFBD是矩形．36．（1）证明：∵CE平分∠ACB,∴∠1＝∠2,又∵MN∥BC,∴∠1＝∠3,∴∠3＝∠2,∴EO＝CO,同理,FO＝CO,∴EO＝FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形．理由：∵EO＝FO,点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形,∵CF平分∠BCA的外角,∴∠4＝∠5,又∵∠1＝∠2,∴∠2+∠4＝×180°＝90°．即∠ECF＝90°,∴四边形AECF是矩形．37．（1）证明：在△ADF和△CDE中,∵AF∥BE,∴∠F AD＝∠ECD．又∵D是AC的中点,∴AD＝CD．∵∠ADF＝∠CDE,∴△ADF≌△CDE．∴AF＝CE．（2）解：若AC＝EF,则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF＝CE,AF∥CE,∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC＝EF,∴平行四边形AFCE是矩形．三．矩形的判定与性质38．解：∵Rt△ABC中,∠A＝90°,AC＝8,BA＝6,∴BC＝10,连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴四边形EAFD是矩形,∴EF＝AD,当AD最小时,则EF最小,根据垂线段最短可知当AD⊥BC时,则AD最小,∴EF＝AD＝＝,故选：B．39．解：（1）当时间t＝7秒时,四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t＝7秒时,P A＝QC＝7,∵AC＝6,∴CP＝AQ＝1∴PQ＝BD＝8∵四边形ABCD为平行四边形,BD＝8∴AO＝CO＝3∴BO＝DO＝4∴OQ＝OP＝4∴四边形BPDQ为平形四边形,∵PQ＝BD＝8∴四边形BPDQ为矩形,（2）由（1）得BO＝4,CQ＝7,∵BC⊥AC∴∠BCA＝90°BC2+CQ2＝BQ2∴BQ＝．40．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵BE＝AB,∴BE＝CD,∴四边形BECD是平行四边形,∵AD＝BC,AD＝DE,∴BC＝DE,∴▱BECD是矩形；（2）如图,∵CD＝3,∴AB＝BE＝3．∵AD＝6,∠ABD＝90°,∴BD＝＝＝3,∴CE＝3,∴AC＝＝＝3．41．（1）证明：连接MN,如图1所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD＝BC,∠B＝90°,∴∠EAM＝∠FCN,AC＝＝＝5,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM＝DM＝BN＝CN,AM∥BN,∴四边形ABNM是平行四边形,又∵∠B＝90°,∴四边形ABNM是矩形,∴MN＝AB＝3,在△AME和△CNF中,,∴△AME≌△CNF（SAS）,∴EM＝FN,∠AEM＝∠CFN,∴∠MEF＝∠NFE,∴EM∥FN,∴四边形EMFN是平行四边形,又∵AE＝CF＝1,∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3,∴MN＝EF,∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN,作MH⊥BC于H,如图2所示：则四边形ABHM是矩形,∴MH＝AB＝3,BH＝AM＝x,∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x,∵四边形EMFN为矩形,AE＝CF＝0.5,∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4,在Rt△MHN中,由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42,解得：x＝2±,∵0＜x＜2,∴x＝2﹣．42．（1）证明：∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD＝180°,∠ADC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD＝∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,OB＝OD,∵OA＝OB,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F,如图所示．∵四边形ABCD是矩形,∴CD＝AB＝2,∠BCD＝90°,AO＝CO,BO＝DO,AC＝BD,∴AO＝BO＝CO＝DO,∴BF＝FC,∴OF＝CD＝1,∵DE平分∠ADC,∠ADC＝90°,∴∠EDC＝45°,在Rt△EDC中,EC＝CD＝2,∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．43．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,AB∥DC,AD∥BC,∴∠A+∠D＝180°,∵AN＝DM,∴AM＝DN,在△ABM和△DCN中,,∴△ABM≌△DCN（SSS）,∴∠A＝∠D,∵∠A+∠D＝180°,∴∠A＝∠D＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形．（2）解：∴△ABM≌△DCN,∴∠AMB＝∠DNC,∵AD∥BC,∴∠AMB＝∠OBC,∠DNC＝∠OCB,∴∠OBC＝∠OCB,∵∠BOC＝90°,∴△OBC是等腰直角三角形,∴AMB＝∠OBC＝45°,∴△ABM是等腰直角三角形,∴AB＝AM,∵AM•MD＝12,AN＝DM,∴AM（AM﹣1）＝12,解得：AM＝4,或AM＝﹣3（舍去）,∴AB＝AM＝4,MD＝3,∴AD＝AM+MD＝7,∴矩形ABCD的面积＝AD×AB＝7×4＝28．44．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∵AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,∴∠AEO＝∠DFO＝90°,在△AEO和△DFO中,,∴△AEO≌△DFO（AAS）,∴OA＝OD,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形．（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝∠BAD＝90°,OA＝OB,∴∠OAB＝∠OBA,∵∠BAE：∠EAD＝2：3,∴∠BAE＝36°,∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°,∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°。

八下第2章四边形2-5矩形2-5-1矩形的性质习题新版湘教版

【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°.
∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，
∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴S△BCE＝12×BE×CE＝12×6×8＝24，
第2章四边形
2.5 矩形 2.5.1 矩形的性质
1．有一个角是___直__角___的平行四边形叫作矩形，也称为长方形．
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2．矩形的四个角都是____直__角____，对边__平__行__且__相__等__，对角线__互__相__平__分__且__相__等___．
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3．矩形是中心对称图形，__对__角__线__的__交__点__是它的对称中心．矩形是轴对称图形，_过__每__一__组__对__边__中__点___的直线都是矩形的对称轴．
由题易知S矩形ABCD＝2S△BCE.∴S矩形ABCD＝2×24＝48.
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13．[张家界永定区期中]如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证：DB＝DE；
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD. 又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形， ∴DE＝AC，CD＝AE，∴DB＝DE.
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4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AC＝8，则OB的长度为( B ) A．2 B．4 C．6 D．8
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5．[中考·怀化]如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点 O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C ) A．4 B．6 C．8 D．10

八年级数学下册第2章四边形2.5矩形2.5.1矩形的性质练习新版湘教版

八年级数学下册第2章四边形2.5 矩形习题课件(新版)湘教版

复习课件
八年级数学下册第2章四边形2.5 矩形习题课件（新版）湘教版
【教材P63】
解：∵ EF⊥FC， ∴∠AFE+∠DFC = 90°. 又∠DCF +∠DFC = 90° ∴∠DCF =∠AFE. 又∠A=∠D = 90°，EF = FC, ∴Rt△FAE≌ Rt△CDF. ∴AE = DF = 4 cm.
【教材P63】
证明：因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ＝DC. 又因为M 是AD 的中点,所以AM ＝DM. 在△ABM 和△DCM 中, AB ＝DC, AM ＝DM,BM ＝CM, 所以△ABM≌△DCM(SSS).所以∠A ＝∠D. 因为AB∥DC,所以∠A＋∠D ＝180°. 所以∠A ＝∠D ＝90°.
所以四边形 EFGH 是矩形.
【教材P64】
证明: 因为四边形 ABCD 是矩形,
所以OA
＝OB
＝OC
＝OD
＝
1 2
AC
＝
1 2
BD.
又因为E,F,G,H 分别是OA,OB,OC,OD 的中点,
所以 OE ＝
1 2
OA,
OF
＝
1 2
OB,
OG
＝
1 2
OC,
OH ＝
1 2
OD.
所以
OE
＝OF
＝OG
＝OH
＝
1 2
EG
＝
1 2
FH.
由 OE ＝OG, OF ＝ OH 得四边形 EFGH 是平行四边形.
由EG ＝FH 得 □ EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
八年级数学下册第2章四边形2.5 矩形习题课件（新版）湘教版

湘教版八年级数学下册矩形同步练习题(Word版含答案)

湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,D为边AC上一动点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F,则EF的最小值为（）A．4.8B．C．D．132．如图,四边形ABCD中,以对角线AC为斜边作Rt△ACE,连接BE、DE,BE⊥DE,AC,BD互相平分．若2AB＝BC＝4,则BD的值为（）A．2B．C．3D．43．如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA＝OB,若AD＝4,∠AOD＝60°,则AB 的长为（）A．4B．2C．8D．84．如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定5．如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC,AE＝CE,BE＝2,则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．126．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD＝50°,那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题7．如图,在矩形纸片ABCD中,边AB＝12,AD＝5,点P为DC边上的动点（点P不与点D,C 重合）,将纸片沿AP折叠,则CD′的最小值为．8．如图,四边形ABDE是长方形,AC⊥DC于点C,交BD于点F,AE＝AC,∠ADE＝62°,则∠BAF的度数为．9．如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE ＝15°,则∠BOE的度数等于．10．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD＝120°,AB＝1,则BC的长为．11．如图,矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,点P在对角线BD上,且BP＝BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为．三．解答题12．如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H,求证：四边形EFGH是矩形．13．在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,AF＝CE,连接DF,CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时,若CE＝3,BC＝5,求CD的长．14．如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点A作AF⊥CD,垂足为F,延长DC到点E,使CE＝DF,连接BE．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB＝5,CF＝2,AC⊥BD,连接OE,求OE的长．15．如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO＝CO,BO＝DO,且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC,若∠ADF：∠FDC＝2：1,则∠BDF的度数是多少？16．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°．（1）求作点D,使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下,连接BD,若AB＝3,BC＝1,求BD的长．17．如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE＝DF,∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF,若AB＝4,∠ABC＝60°,BF平分∠ABC,求平行四边形ABCD的面积．18．如图,在▱ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE＝CF,连结BE、CE．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若DE＝AB,∠ABC＝130°,求∠DEC的度数．19．如图,已知点E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形,且边长为6,求四边形ABFC的面积．20．如图,已知四边形ABCD是平行四边形,延长AB到E,使BE＝AB,连接BD、ED、EC．若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连结AC、若AD＝5,CD＝2,求AC的长．参考答案一．选择题1．解：如图,连接BD,∵∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,∴AC＝＝＝13,∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,∴四边形DEBF是矩形,∴EF＝BD,由垂线段最短可得BD⊥AC时,线段BD最短,则EF最小,此时,S△ABC＝BC•AB＝AC•BD,即×12×5＝×13•BD,解得：BD＝,∴EF的最小值为．故选：B．2．解：连接OE,如图所示：∵2AB＝BC＝4,∴AB＝2,∵AC,BD互相平分,∴OA＝OC,OB＝OD,四边形ABCD是平行四边形,∵以AC为斜边作Rt△ACE,∴OE＝OA＝OC＝AC,∵BE⊥DE,∴OE＝OB＝OD＝BD,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC＝4,∠BAD＝90°,∴BD＝＝＝2,故选：A．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴OD＝OB＝BD,OA＝OC＝AC,∵OA＝OB,∴OA＝OD,AC＝BD,∴▱ABCD是矩形,又∵∠AOD＝60°,∴△AOD为等边三角形．∴∠ADB＝60°．∴tan∠ADB＝＝．∴AB＝AD＝4．故选：A．4．解：连接OP,如图所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∠ABC＝90°,S△AOD＝S矩形ABCD,∴OA＝OD＝AC,∵AB＝15,BC＝20,∴AC＝＝＝25,S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75,∴OA＝OD＝,∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75,∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,∴∠BAC+∠BCA＝90°,∵AE平分∠BAC,AE＝CE,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA,∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°,∴AE＝CE＝2BE＝4,AB＝2,∴BC＝BE+CE＝6,∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．6．解：∵矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴DB＝AC,OD＝OB,OA＝OC,∴OA＝OD,∴∠CAD＝∠ADO,∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO,∴∠CAD＝25°,故选：B．二．填空题7．解：连接AC,当点D'在AC上时,CD'有最小值,∵四边形ABCD是矩形,AB＝12,AD＝5,∴∠D＝∠B＝90°,AD＝BC,∴AC＝,由折叠性质得：AD＝AD'＝5,∠AD'P＝∠D＝90°,∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8,故答案为：8．8．解：∵四边形ABDE是矩形,∴∠BAE＝∠E＝90°,∵∠ADE＝62°,∴∠EAD＝28°,∵AC⊥CD,∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC,AD＝AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°,∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°,故答案为：34°．9．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD,∠BAD＝90°,∴OA＝OB,∠DAE＝∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB,∴AB＝BE,∵∠CAE＝15°,∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°,∠BAC＝60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB＝OB,∠ABO＝60°,∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°,∵AB＝OB＝BE,∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．10．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,OA＝AC,OB＝BD,AC＝BD,∴OA＝OB,∵∠AOD＝120°,∴∠AOB＝60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA＝AB＝1,∴AC＝2OA＝2,∴BC＝＝＝；故答案为：．11．解：∵矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,∠BAD＝∠BCD＝90°,∴BD＝＝13,∵BP＝BA＝5,∴PD＝BD﹣BP＝8,∵BA＝BP,∴∠BAP＝∠BP A＝∠DPQ,∵AB∥CD,∴∠BAP＝∠DQP,∴∠DPQ＝∠DQP,∴DQ＝DP＝8,∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3,∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得BQ＝＝＝3．故答案为：3．三．解答题12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD＝180°,∵BH,CH分别平分∠ABC与∠BCD,∴∠HBC＝∠ABC,∠HCB＝∠BCD,∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°,∴∠H＝90°,同理∠HEF＝∠F＝90°,∴四边形EFGH是矩形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵AF＝CE,∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形,∵BE⊥CD,∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形,∴DE＝BF,∵CF平分∠DCB,∴∠DCF＝∠BCF,∵AB∥CD,∴∠DCF＝∠CFB,∴∠BCF＝∠CFB,∴BF＝BC＝5,∴DE＝BF＝5,∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵CE＝DF,∴CE+CF＝DF+CF,即EF＝CD,∴AB＝EF,∴四边形ABEF是平行四边形,又∵AF⊥CD,∴∠AFE＝90°,∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴OB＝OD,平行四边形ABCD是菱形,∴AD＝CD＝AB＝5,∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3,∵AF⊥CD,∴∠AFD＝90°,∴AF＝＝＝4,由（1）得：四边形ABEF是矩形,∴∠BEF＝90°,BE＝AF＝4,∵CE＝DF＝3,∴DE＝CD+CE＝8,∴BD＝＝＝4,又∵OB＝OD,∴OE＝BD＝2．15．（1）证明：∵AO＝CO,BO＝DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠ADC,∵∠ABC+∠ADC＝180°,∴∠ABC＝∠ADC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°,四边形ABCD是矩形,∵∠ADF：∠FDC＝2：1,AC＝BD,∴∠FDC＝30°,∵DF⊥AC,∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°,∵AO＝CO,BO＝DO,∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠DCO＝60°,∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．16．解：（1）如图所示：四边形ABCD就是所求作的矩形．（2）在Rt△ABC中,AB＝3,BC＝1,∴AC＝＝＝,∵四边形ABCD是矩形,∴BD＝AC＝．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD,BC∥AD,又∵BE＝DF,∴BC﹣BE＝AD﹣DF,即EC＝AF,∴四边形AECF为平行四边形,又∵∠AEC＝90°,∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵∠AEB＝90°,∠ABE＝60°,∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°,∴BE＝AB＝2,∴AE＝＝＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFB＝∠CBF,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF＝∠CBF,∴∠AFB＝∠ABF,∴AF＝AB＝4,∵四边形AECF是矩形,∴EC＝AF＝4,∴BC＝BE+EC＝2+4＝6,∵∠AEC＝90°,∴AE⊥BC,∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴ED∥BF．∵ED＝AD﹣AE,BF＝BC﹣CF,AE＝CF,∴ED＝BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∵DF⊥BC,∴∠DFB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,∠ADC＝∠ABC＝130°,∵DE＝AB,∴DE＝CD,∴．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAE＝∠CFE,∵点E是▱ABCD中BC边的中点,∴BE＝CE,∵∠AEB＝∠FEC,∴△ABE≌△FCE（AAS）,∴AB＝FC,∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形,又∵AF＝BC,∴平行四边形ABFC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形,∴∠ACF＝90°,∵△AFD是等边三角形,∴AF＝DF＝6,CF＝DF＝3,∴AC＝＝＝3,∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵BE＝AB,∴BE＝CD,∴四边形BECD是平行四边形,∵AD＝BC,AD＝DE,∴BC＝DE,∴平行四边形BECD是矩形；（2）解：∵CD＝2,∴BE＝AB＝CD＝2．∴AE＝2AB＝4,由（1）得：四边形BECD是矩形,∴CE＝BD,∠DBE＝90°,∴∠ABD＝90°,∴CE＝BD＝＝＝,在Rt△ACE中,由勾股定理得：AC＝＝＝．。

湘教版八年级数学下册课后练习题-矩形的性质2

1ODCB AONM DCBA E DCBAOEDCB A 2.5 矩形 2.5.1 矩形的性质1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 2. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（） A ．对角线互相平分且相等 B ．四个角相等 C ．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直3. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=6, BC=8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.4. 一个矩形周长是16cm, 对角线长是7cm, 那么它的面积为__________________.5. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若OA=1,, 那么∠BDC 的大小为________________.6. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMDONCSS=. 其中正确的是______________.7. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.8. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.9. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_______. 10. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么CE=________；BE=_________11. 如图, 在矩形ABCD中, AP=DC, PH=PC,2PHD CBAFEDC BAFEDCBA（1）求证：△ABH≌△PAD；（2）求证: PB平分∠CBH.12. 如图，在矩形ABCD中, △CEF为等腰直角三角形,（1）求证：AE=AB；（2）若矩形ABCD的周长为16cm, DE=2cm,求△CEF的面积.13.如图, 在矩形ABCD中, AD=12, AB=7, DF平分∠ADC, AF⊥EF,（1）求证：AF=EF；(2)求EF长;14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△C1DE CDA3（2）求图中阴影部分的面积.★15. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCEFD。

新湘教版初中数学八年级下册2.5.1矩形的性质2精编习题

ODCBAON M DC BA 25 矩形251 矩形的性质1 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A 对边相互平行B 对角线相等对角线相互平分 D 对角相等 2 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直3 在矩形ABD 中对角线交于O 点，AB=6 B=8 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________4 一个矩形周长是16c 对角线长是7c 那么它的面积为__________________5 如图矩形ABD 的对角线交于O 点若OA=1 B= 那么∠BD 的大小为________________6 如图矩形ABD 对角线交于O 点且满足AM=BN 给出以下结论 ①MN //D; ②∠DMN=∠MN; ③OMDONCS S= 其中正确的是______________PHD CBAEDCBAOEDC BA7 如图在矩形ABD 中 AE 平分∠BAD ∠AE=15︒ 那么∠BOE 的度数为__________________8 在矩形ABD 中 AB=3 B=4 P 为形内一点那么PA+PB+P+PD 的最小值为__________________9 在△AB 中 AM 是中线 ∠BA=90︒ AB=6c A=8c 那么AM 的长为_______10. 如图在矩形ABD 中DE ⊥A 于点E B=那么E=________；BE=_________11. 如图在矩形ABD 中 AP=D PH=P （1）求证：△ABH ≌△PAD ；（2）求证 PB 平分∠BHF EDCB AFE D CBA12 如图，在矩形ABD 中 △EF 为等腰直角三角形（1）求证：AE=AB ；（2）若矩形ABD 的周长为16c DE=2c 求△EF 的面积13. 如图在矩形ABD 中 AD=12 AB=7 DF 平分∠AD AF ⊥EF （1）求证：AF=EF ； (2)求EF 长;14.如图，在矩形ABD中，AB=3，B=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△1DE（2）求图中阴影部分的面积★15 如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC=，F是AE中点．求证：BF DF⊥．CC1D ABAB CEFD。

2016年八年级数学下册2.5.2矩形的判定同步练习(新版)湘教版

矩形的判定01课前预习要点感知1 三个角是________角的四边形是矩形．预习练习1－1 在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D，则四边形ABCD是________形．要点感知2 对角线________的平行四边形是矩形．预习练习2－1(娄底中考)如图，要使□ABCD成为矩形，应添加的条件是_____________________________________________________________________________________________________________________________________________(只填一个)．02当堂训练知识点1 三个角是直角的四边形是矩形1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否为直角D．测量四边形的其中三个角是否都为直角2．如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为________(只填写拼图板的代码)．3．(湘西中考)如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)求证：四边形BFDE为矩形．知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形4．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠1＝∠25．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC ＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥6．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形．03课后作业8．在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是（）A．AB＝AD B．OA＝OBC．AC＝BD D．DC⊥BC9．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AB＝DC11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 312．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有(填写序号)________．13．(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．14．(枣庄中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．挑战自我15．(张家界中考)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN∥BC.设MN 交∠ACB 的角平分线于点E ，交∠ACB 的外角角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．参考答案课前预习要点感知1 直预习练习1－1 矩要点感知2 相等预习练习2－1 答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC ＝BD 等当堂训练1．D 2.①②③④3.证明：(1)∵DE⊥AB，BF ⊥CD ，∴∠AED ＝∠CFB＝90°.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C.在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED＝∠CFB，∠A ＝∠C，AD ＝CB.∴△ADE ≌△CBF(AAS)．(2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB.∴∠CDE ＋∠DEB＝180°.∵∠DEB ＝90°，∴∠CDE ＝90°.∴∠CDE ＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE 为矩形．4.C5.C6.607.证明：∵∠1＝∠2，∴BO ＝CO ，即2BO ＝2CO.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，BO ＝OD.∴AC ＝2CO ，BD ＝2BO.∴AC ＝BD.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．课后作业8．A 9.D 10.C 11.A 12.①④13.证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC，∴BD ⊥AC ，AD ∥CD. ∵四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD.∴BE ＝CD ，BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC ＝90°.∴四边形BECD 是矩形．14.(1)证明：∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC.∵A E ＝CF ，∴OE ＝OF.∵DF∥BE，∴∠OEB ＝∠OFD.又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BOE ≌△DOF.(2)∵△BOE≌△DOF， ∴OD ＝OB.∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵OD ＝12AC ，OD ＝12BD ， ∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．15.(1)证明：∵CF 平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF ＝∠FCD＝∠CFO.∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE ，∴OE ＝OF.(2)由(1)知：OF ＝OC ，OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC .∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC ＝180°.∴∠ECF ＝∠OCF＋∠OCE＝90°.∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132. (3)当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形．理由：由(1)知OE ＝OF ，当点O 移动到AC 中点时有OA ＝OC ， ∴四边形AECF 为平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF 为矩形．。

八年级数学下册 2.5.1《矩形的性质》课时作业 (新版)湘教版

《矩形的性质》一、选择题1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对边相等C 、对角相等D 、对角线互相平分2.下面性质中，矩形不一定具有的是（）A.对角线相等B.四个角相等C.是轴对称图形D.对角线互相垂直3、下列叙述错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分。

B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形4、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm二、填空题1、矩形的一组邻边长分别是3cm 和4cm 则它的对角线长是。

2、矩形ABCD 的对角线的长为2，∠BDC=300,则矩形ABCD 的面积为______.3、矩形两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为3.6cm ，则对角线的长为_____cm.4、矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AB=6，BC=8，则△ABO 的周长为_____5、在Rt △ABC 中，斜边AC 上的中线和高分别是6cm 和5cm ，则Rt △ABC 的面积是。

6、已知矩形的一条对角线的长度为2cm ，两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的各边长是 .三、解答题1、如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，ED=5cm ，EC=3cm ，求矩形的周长。

2矩形ABCD 中，AB=2BC ，AE=AB ，求∠EBC 的度数。

3如图，矩形AEFG 和矩形ADCB 的大小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L 型图案，已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。

4如图，已知矩形ABCD 中，F 是BC 上一点，且AF=BC ，DE ⊥AF ，垂足是E ，连接DF ．求证：（1）△ABF ≌△DEA ；（2）DF 是∠EDC 的平分线．参考答案：一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ； A D C B E A B C D E A B G F E D C 1 2 第1题第2题第3题第4题二、1、5cm；2；3、7.2cm；4、16,；5、30cm2；6、1cm；三、1、CD=4=AB，又AE平分∠BAD ∴BE=AB，BC=7矩形的周长=2(4+7)=22；2、∵AE=AB， AB=2BC， AD=BC，∴AE=2AD，△ADE是直角三角形，∴∠AED=30°=∠EAB ，∵AE=AB，∴∠AEB=75°=∠ABE ，∴∠EBC=15°；3、∠1=45 °,∠2=15 °；4、提示：（1）由AAS得证结论。