4-第四章 摩 擦

第四章 摩 擦前言：在实际工程和生活中，摩擦既有好处又有坏处。

如：(1) 摩擦制动器，皮带轮传动，摩擦轮转动等都是靠摩擦力来工作，如汽车制动距离：雪佛兰科鲁兹41.09m 、北京现代悦动42.53m 、东风悦达起亚福瑞迪44.26m 、奥迪A6 35.2m 、奔驰E320 35.8m 、宝马530 36.1m 。

(2) 给机器运转带来阻力。

按照物体表面相对运动的情况，将摩擦分为： （1）滑动摩擦 ：动滑动摩擦、静滑动摩擦。

（2）滚动摩擦，§4.1 滑动摩擦滑动摩擦：当两个物体接触有相对滑动，或相对滑动趋势时，在接触处的公切面内将受到一定的阻力，阻碍其滑动，这种现象称为滑动摩擦 一、静滑动摩擦力两个物体互相接触，当其接触表面之间有相对滑动的趋势而彼此作用阻碍相对滑动力的阻力，称为静滑动摩擦力。

由实验表明：静摩擦力随着主动力的不同而改变，且max 0F F ≤≤静摩擦的大小和方向由受力物体的平衡关系确定，但最大静摩擦力却与接触面的性质与两接触面之间的静压力有关，即：max F f N =⋅max F ：物体处于临界平行状态时，摩擦力的最大值(将要滑动而未滑动) f:静摩擦系数 N: 物体之间的正压力注：1) 当物体未达到临界平等时，则F 由平衡方程确定，若达到临界平衡，则max F F f N ==⋅举例：求1) 若物体静止2) 若物体处于临界平衡状态，F解：1) 受力分析0=∑X αcos P F =2) G P N +=αsin ()max sin F F f P G α==⋅+例2αsin P G Y -=∑()f P G F ⋅-=αsin从以上两个例子来看，说明推动物体比拉物块费力。

二、 动滑动摩擦力当两个相互接触的物体，其接触表面之间有相对滑动时，彼此之间作用的阻力，称为动滑摩擦力。

大小： N f F ⋅'='f '：动滑力系数 f f '<方向：与相对运动方向相反 工程上：max F F '=例1：每块砖重Q ，分析如图2、3砖头之间摩擦力 。

（1）分析整体 0=∑Y Q F F B A 2== （2）分析 1转 0=∑Y Q F F A ==-21（3） 研究2砖 0=∑Y 03221=----Q F F 032=-F§4.2 有摩擦时的平衡问题一、摩擦角与自锁现象 (1) 摩擦角ϕ全反力:法向反力N 与摩擦力F 的合力R 称为支撑面对物体的全反力。

全反力R 与法向反力N 的夹角α随着摩擦力F 的增大而增大，当物体处于将 动而未动的临界状态时，即max F F =，α也达到最大值，(ϕ是最大全反力max R 与N 之间的夹角)Gmaxtan F f Nϕ== ϕarctg f = 可见：摩擦角ϕ与摩擦系数都是表示材料表面性质的常量,与主动力P 的大小无关，(而F 与动力大小有关)。

(2) 自锁现象作用物体上主动力的合力P 的作用线在摩擦用内，即ϕα≤，则无论这个力怎样大，总有一个全反力R 与之平衡，物体保持静止，若ϕα>，则无论动力有多小，物体也不可能保持平衡,因为静摩力max F F <,则R 与N 的夹角α不能超过ϕ，若处于临界状态，则max F F =，ϕα=,若ϕα>，则R 与N 的夹角大于ϕ，max F F >,物块滑动，不能平衡。

所以:当主动力P 与法向力N 的夹角ϕα≤，无论主动力多大，物块保持平衡，称这种现象为自锁现象，这种与摩擦角(摩擦系数)有关的平衡条件称为自锁条件。

思考：如图所示物块与斜面之间的摩擦角 ︒=30ϕ, 斜面倾角为︒20 分析物体块的状态 (1) 静止 (2) 上滑 (3) 下滑例2：如图鄂式破碎机的两板之间的夹角为α，已知矿石与鄂板间的摩擦角为ϕ，矿石自重不计，间α至少为多大时,矿石不至于滑出.max Fmax F解：1) 选处于临界平衡状态矿石为研究对象，受力分析如图 则 max A A A =+R N Fmax B B B =+R N F2) 根据二力平衡条件B A R R -=A R 与B R 作用在同一条直线AB 上，且OBA OAB =<=<ϕ∴ ϕα=2若要使矿石不至于上滑则：ϕα2≤讨论：用摩擦角的特点是：在受力图上画出临界状态时全反力，它与法线的夹角为摩擦角，再根据平衡条件，求出未知量。

二、有摩擦时的平衡问题考虑有摩擦时的平衡主要分为三大类问题： (一) 判定物体所处的状态(静止、临界平衡、滑动) 方法一：设F 是由平衡条件求出的摩擦力。

max F 计表示最大最静摩擦力 当max F F < 物体静止，此时F F = 当max F F < 处于临界平衡，此时max F F =当max F F < 物体滑动，max F F F '==方法二：利用摩擦角来判定，主动力合力P(或者合反力R)与接触面法线的夹角α。

max B Fϕα< 静止ϕα= 处于临界平衡 ϕα> 滑动（二）非临界状态的平衡问题(求平衡范围)例3：如图所示，尖劈机构，A 、B 块重量不计，在B 块上端作用有P 300N =的力，A 、B 之间摩擦系数35.0=f ，B 与斜面之间光滑，要保持机构平衡，求作用在A 块上的水平力F 的范围。

解：取B 为研究对象（1）B 块处于将要下滑的临界状态 0=∑X 11cos30sin300F Q P +︒-︒=0=∑Y 11sin30cos300N Q P -︒-︒=11fN F =11sin30cos30N Q P =︒+︒()1sin30cos30(sin30cos30)56.7Q P f f N =︒-︒︒+︒=（2） B 块将要上滑的临界状态0=∑X 12cos30sin300F Q P -+︒-︒= 0=∑Y 22sin30cos300N Q P -︒-︒=21fN F =2(cos30sin30)/(cos30sin30)348.7Q P f f =︒+︒︒-︒=由整体受力分析 F=Q 56.7348.7N F N ≤≤例4：电工攀登电线杆采用的套钩如图，设电线杆直径mm d 300=，套约尺寸，mm b 100=，与电线杆摩擦系数3.0=f ，钩重不计，问自踏脚处到电线杆轴线的距离应为多少时，才能保证工人安全操作。

解：以钩套为研究对象，受力分析如图0=∑X B A N N =0=∑G M2 ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅F a d F b N B A A f N F A A ⋅= fN F B B ⋅= mm fba 1672==例5：梯子长为l ，B 端与墙光滑接触，A 端与地面之间的摩擦系数为f ，梯重量不计，现有一重为P 的人往上爬，若让人爬上顶端B 处而梯子不滑，求梯与墙壁间的夹角α。

解：（1）分析梯子受力并建立平衡方程0=∑X B A N F = 0=∑X A N P =0=∑A M ααcos sin l N l N B A = （2）平衡条件B A N N tg =αf N F A A ⋅≤ f N tg A ⋅≤α f tg ≤α arctgf ≤αA（3）临界状态下的平衡问题例6：如图所示，滑块A 、B 分别重100N ，如图由联动装置连接杆AB(平行于︒30的斜台，CB 水平，C 为光滑铰链，杆重不计，滑块与地面间的摩擦系数为5.0=f ，试确定不引起滑块移动的外力P 的大小。

(最大外力P)解：分析：不能确定A 、B 块哪个先达到临界状态，应分别取A 、B 为研究对象，求出其在临界状态时的P ，比较最小的力，则为本题所求的。

（1）取物块A 为研究对象，设A 处于临界状态，受力如图 0=∑Y030sin =︒-+-A A A R N G0=∑X ()030cos =︒-+A A R F f N F A A ⋅= N R A 3.81=研究结点C130sin P R A =︒ N P 65.401= （2）取处于临界状态的B 为研究对象，受力如图 0=∑X 030sin 30cos =︒--︒B B B G F R0=∑Y ()030cos 30sin =+︒-︒-B B B N G R f N F A B ⋅= 46.151=B R研究结点C︒=︒30cos 60cos 2P R A N P 44.872= P ≤40.65kNABARB例7：已知：半径为r ，重P 的三个相同的圆柱A 、B 、C 叠在一起，求，平行时接触处摩擦系数的最小值。

解：分析：设柱与柱之间摩擦系数为f ，柱与地面之间摩擦系数为f '当各接触处的摩擦力同时达到极限值，物系保持平衡，此时所求得的摩擦系数为最小的摩擦系数。

（1） 取圆柱A 为研究对象，受力如图0=∑A M 0=⋅-⋅r F r F C B0=∑X 030cos30cos 30sin 30sin =︒+︒-︒-︒C B C B F F N N 0=∑Y ()()030sin 30cos =-︒++︒+P F F N N C B C B B B N f F ⋅= C C N f F ⋅= ︒+︒=30sin 230cos 2f PN C︒+︒=30sin 230cos 2f PfF C（2） 取圆柱C 为研究对象，受力分析如图0=∑C M 0=⋅-⋅r F r F D C0=∑D M ()cos30cos30sin30sin30sin300C D C F r r F r N r ︒+︒+︒⋅︒-︒⋅=0=∑Y 030sin 30cos =︒-︒--C C D F N P NP N D 23=F C FF D FD D F N f '=⋅sin 300.268cos301f ︒==︒+()0.0893cos30sin 30ff f '==︒+︒§4.3 滚动摩阻的概念滚动摩阻：物体在另一物体表面滚动或具有滚动的趋势，除受到滑动摩擦力F 外，这要受到一个阻碍滚转动的阻力偶作用。

a. 由于路面变形所产生的分布阻力；b. 分布力向A 点进行简化R→，f M c. R 分解为N 、F(方向反力N ，滑动摩擦力F) d. N 与f M 垂直，则可进一步合成N '→N N =' f M Nδ=： 表示车轮开始滚动力时，法向力N 偏离A 点的最大距离，称滚动摩阻系数。

max f M N δ=⋅max f f O M M ≤≤ 滚动保持平衡例8：设轮子半径为R ，轮的O 作用力Q ，轮子与水平面的滚动摩擦系数为δ，试求静摩擦系数f 为多少时，方能使轮子滚动而不滑动(纯滚动)。

解：受力分析如图（1）分析轮子受力，建立平衡方程0=∑Y P N =0=∑X F Q = (此时没达到Fmax) （2）轮子处于既将滚动的临界状态条件 max f Mr M N δ≤=⋅（3）轮开始滚动条件0=∑A M f Q R M ⋅=P N R Q ⋅=⋅=⋅δδ当 R P Q ⋅≥δ (此时轮开始滚动) （4） 轮子处于即将滑动时的临界平衡状态max F F f N <=⋅0=∑Y P N = 0=∑X F Q = P f R P ⋅≤⋅δ f R δ≥分析：圆轮不滑动的条件 max F F ≤ 圆轮不滚动条件 max f f M M ≤圆轮纯滚动条件： max f f M M ≥ max F F ≤例9：如图所示，钢管直径cm d 5=，钢管与木板及木箱之间的滚动摩擦系数均为04.0=δ，试求推动木箱所需的水平力P ，已知滑动摩擦系数为0.4，若使木箱直接在地板上滑动，求推动木箱所需的P 力。