5.1二次函数

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苏科版九年级下5.1二次函数的图象和性质(第1课时)课件

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1.函数 y= （m 为常数）．（ m-2） x 2 + mx - 3
（1）当 m ______ ≠ 2 时，这个函数为二次函数；（2）当 m ______ = 2 时，这个函数为一次函数．
2.填空：（1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是S _________ = 4πr 2 ；（2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、 12月的月平均增长率为 x , 那么该厂12月份化肥产量 y (t）与 x 之间的函数关系式为_____________.
四、典例赏析
例某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）．（1）如果用 18 m 的建筑材料来修建绿地的边缘（即周长），求 S 与 x 的函数关系，并求出 x 的取值范围．（2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少 m ？ xm
3.下列函数中,哪些是二次函数？
（1）y ax (a 0)
2
（ 3） s
3 2t
2
1 （ 2） y x x
（ 4） y r
2
（5） y ax2 bx c
（ 6） y x 3 x 2 1
1 2 y ( x 2) 3 4.函数 2
中的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？
九年级
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5.1 二次函数的图象和性质（第1课时）
一、生活中的二次函数
1.观察图片中喷泉喷出的水注，能否用函数关系式来表示？
2.正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之间有什么关系？

二次函数的知识点总结

二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。

二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。

2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。

4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。

三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。

2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。

3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。

四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。

2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。

3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。

五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。

2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。

3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。

一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。

其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。

三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。

当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。

2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。

5.1《二次函数》教学设计

通常，二次函数的自变量x可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围受到实际意义的限制．
定义教学二
生活中有许多二次函数的实例，你还能举出一些例子吗？
学生归纳总结二次函数的概念．
学生举例说明生活中二次函数的实例．
通过观察、思考、交流等活动，让学生归纳二次函数的定义，明确二次函数自变量的取值范围．
二次程（教师）
学生活动
设计思路
回顾复习
回顾我们学习过的函数有哪几种？你能分别写出它们的表达形式吗？
回顾已学知识，尝试写出一次函数（正比例函数）、反比例函数表达形式．
回顾已学的函数知识，为二次函数的出现做准备．
情境创设
水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的周长C、面积S分别与半径r之间有怎样的函数关系？这两个函数关系式有何差异？
当x＝－8时，y＝－2×（－8）2＝－128．
通过对例题的解析，加强学生对本节内容的理解．
总结
1．二次函数的定义；
2．二次函数的一般形式；
3．会化一般形式，确定a、b、c．
培养学生反思的习惯．
课后作业
课本P8习题5.1第1、2、3题．
数学教学设计
教材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.1二次函数
教学目标
1．经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；
2．通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义；
3．通过实例分析，进一步感受函数的三要素和自变量取值范围的确定．
教学重点
分别写出C、S关于r的函数关系式，观察比较两个函数关系式之间的差异．
由学生熟悉的情景入手，用问题激发学生探究欲望，很自然地引入二次函数．

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重点和难点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、经济等其他学科中也经常出现。

下面我们来详细总结一下二次函数的相关知识点。

一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。

其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的最高次必须是二次，并且二次项系数\（a\）不能为\（0\）。

如果\（a ＝ 0\），那么函数就变成了一次函数。

二、二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线。

抛物线的形状由二次项系数\（a\）决定：1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。

2、＼（｜a|＼）越大，抛物线的开口越窄；＼（｜a|＼）越小，抛物线的开口越宽。

抛物线是轴对称图形，对称轴为直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。

二次函数的顶点式为\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\），其中\（（h, k)＼）是抛物线的顶点坐标。

当抛物线的顶点坐标已知时，通常使用顶点式来表示二次函数，这样可以更方便地求出函数的最值等性质。

四、二次函数的一般式与顶点式的转化由一般式\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）通过配方法可以转化为顶点式：＼＼begin{align}y&＝ax^2 ＋ bx ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＼end{align}＼所以顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。

二次函数的知识点总结

二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。

4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。

零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。

5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。

二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。

通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。

2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。

3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。

4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。

三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。

华师版26.2.5.1二次函数的交点公式ok

直线x=1
（-1,0）、（3,0）
x1 x2 x 2
归纳：二次函数 y a( x x1 )(x x2 ) 的对称轴是直线
x1 x2 顶点是（ , 代入解释求 y） 2
二次函数的图像和性质
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新知练习：
练习：
新知练习：
1、(1)二次函数 y=x2-４x+3 的对称轴是_____
(2)二次函数y=2x² -mx-4的对称轴是直线x=-2，则 m=_______ 2、如果抛物线y=x2+px+q 的顶点坐标是（2，-1），则p= ______;q=_______ 3、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上，那么b等于多少？
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新知练习：
练习：求下列二次函数的对称轴和顶点坐标
1y x 1x 2 2y 2x 2x 3 (3) y 32 x x 4
二次函数的图像和性质
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新知归纳：
（1）若二次函数
y ax2 bx c(a 0)
与x轴的交点坐标是
( x1 ,0)、 ( x2 ,0)
，则该函数可以表示为
( x1 ,0)、 ( x2 ,0)
二次函数的图像和性质
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新知练习：
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.
新知探索：
26.2.5.2 二次函数二次函数的交点式 (交点公式的确定及作图应用)

二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。

下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。

一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。

- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。

二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。

- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。

3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。

- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。

2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。

- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。

四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。

2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。

3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。

4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题、解析几何和函数图像的分析等方面都有重要应用。

下面我将详细总结二次函数的知识点。

一、二次函数的定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二、二次函数的图像：1.函数的对称轴：对称轴是函数图像关于其顶点对称的直线。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

如果a>0，则对称轴是向下开口的抛物线；如果a<0，则对称轴是向上开口的抛物线。

2.函数的顶点：顶点是函数图像的最高点或者最低点。

顶点的坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

3.函数的开口方向：如果a>0，则函数开口向下，图像是一个向下的抛物线；如果a<0，则函数开口向上，图像是一个向上的抛物线。

4.函数的图像关于对称轴对称，左侧和右侧的图像相同。

三、二次函数的常用形式：1. 标准型：y = ax^2 + bx + c。

2.顶点型：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

3.因式分解型：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为函数的零点。

四、二次函数的性质：1. 零点：也称为函数的根或者解，即使方程ax^2 + bx + c = 0的解。

二次函数的零点可以通过因式分解、求根公式或者配方法来求得。

2. 判别式：Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次方程的解的情况。

a.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根。

b.如果Δ=0，则方程有一个实数根。

c.如果Δ<0，则方程没有实数根，但可能有复数根。

3.对称性：抛物线在对称轴处对称，即f(x)=f(-x)。

4.单调性：对称轴两侧函数的增减情况是一样的，当a>0时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增，当a<0时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。

5.最值：函数的最高点或最低点即为函数的最值，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

九年级数学下册第5章二次函数5.1二次函数作业设计（新版）苏科版

九年级数学下册第5章⼆次函数5.1⼆次函数作业设计（新版）苏科版九年级数学下册第5章⼆次函数5.1⼆次函数作业设计（新版）苏科版5.1 ⼆次函数⼀、选择题1．在下列y 关于x 的函数中，⼀定是⼆次函数的是链接听课例1归纳总结( ) A ．y ＝2x 2B ．y ＝2x －2C ．y ＝ax 2D ．y ＝a x22．下列函数中是⼆次函数的有( )①y ＝x ＋1x ；②y ＝3(x －1)2＋2；③y ＝(x ＋3)2－2x 2；④y ＝1x2＋x .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知⼆次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－34．下列函数关系中，是⼆次函数的是链接听课例2归纳总结( ) A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系 B ．当距离⼀定时，⽕车⾏驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三⾓形的周长C 与边长a 之间的关系D ．圆⼼⾓为120°的扇形的⾯积S 与半径R 之间的关系5．共享单车为市民出⾏带来了⽅便，某单车公司第⼀个⽉投放a 辆单车，计划第三个⽉投放y 辆单车．设该公司第⼆、三两个⽉投放单车数量的⽉平均增长率为x ，那么y 与x 之间的函数表达式是( )A ．y ＝a (1＋x )2B ．y ＝a (1－x )2C ．y ＝(1－x )2＋a D ．y ＝x 2＋a ⼆、填空题6．⼆次函数y ＝12(x －2)2－3中，⼆次项系数为__________，⼀次项系数为__________，常数项为________．7．已知关于x 的函数y ＝(a 2－4)x 2＋2x 是⼆次函数，则a ________.8．设矩形窗户的周长为6 m ，则窗户⾯积S (m 2)与窗户的⼀边长x (m)之间的函数表达式是____________，⾃变量x 的取值范围是________.链接听课例3归纳总结9．某商场将进价为40元/套的某种服装按50元/套售出时，每天可以售出300套．市场调查发现，这种服装每提⾼1元售价，每天销量就减少5套．如果商场将每套售价定为x(x＞50)元，每天的销售利润为y元，那么y与x之间的函数表达式为10．如图，正⽅形EFGH的顶点在边长为2的正⽅形ABCD的边上．若设AE＝x，正⽅形EFGH 的⾯积为y，则y与x之间的函数表达式为________________．三、解答题11．已知关于x的函数y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋2.(1)当函数是⼆次函数时，求m的值；(2)当函数是⼀次函数时，求m的值．12．如图，⽤⼀段长为30⽶的篱笆围⼀个⼀边靠墙(墙的长度为20⽶)的矩形鸡场．设BC 边的长为x⽶，鸡场的⾯积为y平⽅⽶．(1)写出y与x之间的函数表达式(不要求写出⾃变量的取值范围)；(2)此函数是⼆次函数吗？如果是，指出此函数的⼆次项系数、⼀次项系数和常数项．13．如图，在长为200 m、宽为80 m的矩形区域内修建等宽的三条路(图中阴影部分)．试写出路⾯⾯积y(m2)与路的宽度x(m)之间的函数表达式．(不要求写出⾃变量的取值范围)链接听课例2归纳总结14．某店销售⼀种⼩⼯艺品，该⼯艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件⼯艺品的售价提⾼1元，每周就会少售出2件．设每件⼯艺品的售价提⾼x元，每周从销售这种⼯艺品中获得的利润为y元．(1)填空：每件⼯艺品售价提⾼x元后的利润为________元，每周可售出⼯艺品________件，y关于x的函数表达式为____________；(2)若y＝384，则每件⼯艺品的售价应定为多少元？15．某⼯⼚前年的⽣产总值为10万元，去年相对前年的年增长率为x，预计今年相对去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y 万元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)当x＝20%时，今年的总产值为多少？(3)在(2)的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？参考答案⼀、1．A2．[解析] B ①y ＝x ＋1x 不是⼆次函数，因为1x是分式；②y ＝3(x －1)2＋2变形后为y ＝3x2－6x ＋5，是⼆次函数；③y ＝(x ＋3)2－2x 2变形后为y ＝－x 2＋6x ＋9，是⼆次函数；④y ＝1x 2＋x 中1x2是分式，不是⼆次函数．3．[解析] A 把x ＝3代⼊⼆次函数y ＝3(x －2)2＋1，得y ＝3×(3－2)2＋1＝4.故选A. 4．[解析] D A 项，y ＝mx ＋b ，当m ≠0(m 是常数)时，是⼀次函数，错误；B 项，t ＝sv，当s ≠0时，是反⽐例函数，错误；C 项，C ＝3a ，是正⽐例函数，错误；D 项，S ＝13πR 2，是⼆次函数，正确．5．[解析] A 增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)．若该公司第⼆、三两个⽉投放单车数量的⽉平均增长率为x ，则第⼆个⽉投放单车a (1＋x )辆，第三个⽉投放单车a (1＋x )2辆，故y 与x 之间的函数表达式是y ＝a (1＋x )2.故选A.⼆、6． 12 －2 －1[解析] 把函数表达式化为⼀般形式，再写出各项的系数和常数项．∵y＝12(x －2)2－3＝12x 2－2x －1，∴⼆次项系数为12，⼀次项系数为－2，常数项为－1. 7． ≠±2 [解析] 根据⼆次函数的定义，知a 2－4≠0，解得a ≠±2.8． S ＝－x 2＋3x 0＜x ＜3 [解析] S ＝x (3－x )＝－x 2＋3x ，⾃变量x 的取值范围是0＜x ＜3.9． y ＝－5x 2＋750x －22000 [解析] y ＝(x －40)[300－5(x －50)]＝－5x 2＋750x －22000. 10． y ＝2x 2－4x ＋4 [解析] 如图所⽰：∵四边形ABCD 是边长为2的正⽅形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝2，∴∠1＋∠2＝90°. ∵四边形EFGH 为正⽅形，∴∠HEF ＝90°，EH ＝FE ，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∴△AHE ≌△BEF (AAS)，∴AE ＝BF ＝x ，AH ＝BE ＝2－x . 在Rt△AHE 中，由勾股定理，得EH 2＝AE 2＋AH 2＝x 2＋(2－x )2＝2x 2－4x ＋4，即y ＝2x 2－4x ＋4. 三、11．解：(1)由m ＋3≠0，m 2＋m －4＝2，得m ＝2.∴当m ＝2时，y 是x 的⼆次函数．(2)由?m ＋3＝0，m ＋2≠0，得m ＝－3；由m 2＋m －4＝1，m ＋3＋m ＋2≠0，得m ＝－1±212；由?m 2＋m －4＝0，m ＋2≠0，得m ＝－1±172.综上所述当，m ＝－3或m ＝－1±212或m ＝－1±172时，y 是x 的⼀次函数． 12．解：(1)∵BC 边的长为x ⽶，且鸡场ABCD 是矩形鸡场，∴AB ＝12(30－x )⽶，鸡场的⾯积＝AB ·BC ＝12(30－x )·x ，∴y ＝－12x 2＋15x .(2)此函数是⼆次函数，⼆次项系数是－12，⼀次项系数是15，常数项是0.13．[解析] 应⽤等⾯积变换可将三条路均平移靠边，则路的⾯积就等于⼤矩形的⾯积减去空⽩矩形的⾯积．解：由题意，得y＝200×80－(200－2x)(80－x)，整理，得y＝－2x2＋360x.14．[解析] (1)根据售价每提⾼1元其销售量就减少2件可得售价提⾼x元，则销售量减少2x，根据利润＝(售价－进价)×销量列出代数式即可．(2)根据(1)中所求得出，y＝384时，代⼊y与x关系式，列出⽅程求解即可．解：(1)∵该⼯艺品每件进价为12元，售价为20元，∴每件⼯艺品售价提⾼x元后的利润为(20－12＋x)＝(8＋x)元．∵把每件⼯艺品的售价提⾼1元，每周就会少售出2件，∴每周可售出⼯艺品(40－2x)件，∴y关于x的函数表达式为y＝(40－2x)(8＋x)＝－2x2＋24x＋320.(2)∵y＝384，∴384＝－2x2＋24x＋320，整理，得x2－12x＋32＝0，(x－4)(x－8)＝0，解得x1＝4，x2＝8.4＋20＝24，8＋20＝28，答：每件⼯艺品的售价应定为24元或28元．15．解：(1)前年的⽣产总值为10万元，去年的⽣产总值为10(1＋x)万元，今年的⽣产总值为10(1＋x)2万元，∴y＝10(1＋x)2＝10x2＋20x＋10.(2)当x＝20%时，y＝10×1.22＝14.4.即今年的总产值为14.4万元．(3)三年的总产值为10＋10×1.2＋14.4＝10＋12＋14.4＝36.4(万元)．[素养提升]解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x m，∴AB＝(18－3x)m，∴V(m3)与x(m)之间的函数表达式为V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x.x的取值范围为0(2)根据题意，得1.5x(18－3x)＝36，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4.。

新苏科版九年级数学下册《5章二次函数 5.1 二次函数》教案_17

5.1二次函数学习目标：1．使学生理解二次函数的概念．2．使学生能够根据实际问题列出二次函数关系式，了解如何确定自变量的取值范围．教学过程：一、知识回顾1．正方形的边长是x ，周长为y ，求y 与x 之间的函数表达式．这是函数。

2．已知长方形的长为x ，宽为y 。

若面积为 20,求y 与x 的函数表达式．这是 ___________函数。

3.函数的定义：4.一次函数的关系式是y = （）；它的图像是 .5．反比例函数的关系式是y = （）．它的图像是 .二、情景引入1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展．扩展的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是．2．用长16m 的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,求生物园面积y （m 2）与长（m ）之间的函数关系式. 那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = ．3．一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框（边框宽不计）。

已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元.设镜面宽为x 米，求总费用y 与镜面宽x 之间的函数关系式.（1）镜面的费用；（2）边框的费用为；（3）其他费用为；（4）总费用y 为 .三、探究归纳：1．上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？2．一般地，我们把形如：y = （）的函数称为二次函数．其中是自变量，是因变量，这是关于函数．注意：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式.（2）a,b,c 为常数，且0 a .（3）等式的右边最高次数为2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.(4)通常，二次函数自变量x 可以取任意实数.但在实际问题中，他们的取值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ ① ② ③四、典型评析例1．判断下列函数是否为二次函数．如果是，写出其中a 、b 、c 的值．墙x x ①123212+-=x x y （） ②)5(-=x x y （） ③231x y -=（） ④23)2(3x x x y +-=（） ⑤12312++=x x y （） ⑥652++=x x y （） ⑦1224-+=x x y （） ⑧c bx ax y ++=2（） ⑨（）例2．已知函数()()12222-++-=-x m x m y m是二次函数，求m 的值．若是一次函数呢？例3．写出下列问题中y 与x 之间的函数表达式,并写出自变量的取值范围：（1）如图，在长200m 、宽140m 的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为x(m),绿地面积为y （m 2）（2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t ，设该厂11月、12月的月平均增长率为x ，12月份化肥的产量为y （t ）.(3)如图，用长50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x （m ）,面积为y （m 2）.五、课堂练习（1）如果函数11++=+kx x y k 是二次函数,则k 的值一定是______ .（2）如果函数 1232++=+-kx x y k k 是二次函数,则k 的值一定是______ . （3）如果函数()13232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值一定是______ .（4）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体的棱长a(cm)之间的函数表达式。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是数学中一种重要的函数形式，具有较广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数的定义、性质、图像与变换、解析式、根与判别式、与其他函数的关系以及应用等知识点。

一、定义与性质：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

二次函数的定义域为全体实数集R，值域根据a的正负值有所不同。

二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下。

性质1：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。

性质2：当二次函数的对称轴为x=h时，最高/最低点的横坐标为x=h，纵坐标为f(h)。

性质3：如果a>0，则抛物线开口向上，最低点为最小值；如果a<0，则抛物线开口向下，最高点为最大值。

二、图像与变换：二次函数的图像为一条抛物线，关键要素有顶点、对称轴、开口方向以及最高/最低点等。

1.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。

2.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条线，其方程为x=-b/2a。

3.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。

4.最高/最低点：顶点即为最高或最低点，纵坐标为二次函数的最值。

变换1：平移变换二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于横轴上下平移h个单位的函数为f(x) = a(x-h)^2 + bx + c。

变换2：垂直伸缩与翻转二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于纵轴上下压缩k倍且翻转ξ度的函数为f(x) = a(k(x-ξ))^2 + bx + c。

三、解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

根据实际问题的要求，可以确定二次函数的具体形式。

二次函数概念与性质

二次函数概念与性质二次函数是高中数学学科中的一个重要内容，是解决实际问题和数学建模的常用工具之一。

在本文中，我们将探讨二次函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该函数。

一、二次函数的定义二次函数是指函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$（其中 $a\neq 0$），其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$、$c$ 是常数。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由 $a$ 的正负决定。

当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1. 零点：二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点就是方程$ax^2+bx+c=0$ 的解。

利用求根公式可以求得零点的坐标。

如果零点存在，那么抛物线与 $x$ 轴相交于该点。

2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴的方程可以通过将 $x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到。

对称轴将图像划分为两个对称的部分。

3. 顶点：对称轴与抛物线的交点称为顶点。

顶点的坐标可以通过将$x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到，再带入函数表达式求得 $y$ 的值。

4. 最值：当二次函数的开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。

5. 单调性：当 $a>0$ 时，二次函数递增；当 $a<0$ 时，二次函数递减。

6. 函数图像：通过确定顶点、零点和对称轴等关键点，可以绘制出二次函数的图像。

借助图像可以更直观地理解函数的性质。

三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如：1. 物体自由落体：当一个物体自由落体时，其下落过程可以用一个二次函数来描述。

通过分析二次函数的图像，我们可以得到物体的运动规律，计算出物体的高度、速度等相关信息。

2. 抛体运动：抛体运动也可以使用二次函数来描述。

二次函数可以帮助我们预测抛体的轨迹、最高点、最远距离等。

初中数学二次函数知识点归纳

初中数学二次函数知识点归纳二次函数是数学中的一个重要概念，是高中数学中的一部分，也是初中数学的基础。

掌握了二次函数的知识，可以帮助我们解决现实生活中的许多问题。

在这篇文章中，我将对初中数学二次函数的知识点进行全面的归纳与总结。

一、二次函数的定义与图像特征二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是实数且a≠0。

下面是二次函数的图像特征：1. 函数的顶点：二次函数的图像是一个抛物线，这个抛物线的顶点的横坐标可以通过求导或者用公式x = -b/2a来求得。

顶点的纵坐标即为函数的最小值或最大值，具体取决于二次函数的开口方向。

2. 函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点并与y轴垂直的一条直线，可以通过找到顶点坐标的横坐标来得到对称轴的方程。

3. 函数的开口方向：当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。

4. 函数的零点：二次函数的零点是使得函数值等于零的横坐标，可以通过解方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

根据判别式Δ=b^2-4ac的正负可以得到二次函数的零点个数和类型。

二、二次函数的性质1. 判别式：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次函数的零点的类型。

当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数无实数根。

2. 零点与因式分解：对于给定的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，若其零点为x1和x2，则可以将二次函数因式分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)的形式。

3. 轴对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。

也就是说，对于任意横坐标为x的点，当点的纵坐标为y时，存在一个对称于横坐标轴上的点(-x,y)也在图像上。

4. 幂函数与二次函数关系：二次函数是幂函数x^2的逐项系数不为0的特例。

通过将二次函数进行平移、压缩、拉伸等变换，可以将二次函数变换为幂函数的形式。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。

在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。

本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。

一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。

二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。

开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。

顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。

对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。

三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。

2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。

对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。

3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。

判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。

4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。

5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。

二次函数概念及其性质

二次函数概念及其性质二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在代数学和几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念、性质以及一些相关的知识点。

一、二次函数的定义二次函数是一个以自变量的平方为最高次项的函数。

一般来说，二次函数的标准形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

二、二次函数的图像特征1. 首先，二次函数的图像通常为一条平滑曲线，被称为抛物线。

抛物线可以开口向上，也可以开口向下。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 其次，二次函数的图像关于其顶点对称。

顶点是抛物线的最低点或最高点，其中横坐标为-x轴方向的对称点。

顶点坐标可以通过求解二次函数的一次导数为零得到。

3. 最后，二次函数的图像可能与x轴相交于两个点、一个点或者没有交点。

这取决于二次函数与x轴的交点个数以及判别式的值。

三、二次函数的性质1. 首先，二次函数的导数是一个一次函数，它可以用来表示抛物线的切线斜率。

具体来说，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) =2ax + b。

2. 其次，二次函数的最值点即为其顶点。

当a>0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。

最值点的横坐标可以通过求解二次函数的一次导数为零得到。

3. 最后，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相等。

对称轴是抛物线的对称轴，它是一条垂直于x轴过抛物线顶点的直线。

对称轴的方程可以通过顶点的横纵坐标得到。

四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动的位移随时间的变化；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、收益等与产量的关系；在工程学中，二次函数可以用来优化问题和设计曲线等。

总结起来，二次函数是一种以自变量的平方为最高次项的函数。

它具有抛物线的图像特征，且与x轴的交点个数取决于判别式的值。

苏科版数学九年级下册《5.1 二次函数》教学设计2

苏科版数学九年级下册《5.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析苏科版数学九年级下册《5.1 二次函数》是学生在学习了函数、方程等知识后的进一步拓展。

本节课主要介绍二次函数的定义、性质以及图像。

教材通过具体的例子引导学生理解二次函数的概念，并通过大量的练习让学生熟练掌握二次函数的性质和图像。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但二次函数相对于一次函数和反比例函数来说，较为复杂，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二次函数的本质，并通过大量的练习让学生熟练掌握。

三. 教学目标1.理解二次函数的定义和性质。

2.能够绘制二次函数的图像。

3.能够运用二次函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。

2.二次函数图像的绘制。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解二次函数的性质，通过小组合作让学生互相讨论和学习。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的概念，例如：抛物线的顶点问题。

让学生思考什么是二次函数，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的定义和性质，引导学生理解二次函数的本质。

通过具体的例子让学生了解二次函数的图像特点。

3.操练（10分钟）让学生通过练习题来巩固对二次函数的理解。

教师可以设置一些填空题、选择题和解答题，让学生在练习中掌握二次函数的性质。

4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生互相讨论如何绘制二次函数的图像。

教师可以设置一些小组任务，让学生在合作中加深对二次函数图像的理解。

5.拓展（10分钟）让学生运用二次函数解决实际问题，例如：抛物线与直线的交点问题。

教师可以设置一些应用题，让学生在解答中运用二次函数的知识。

6.小结（5分钟）教师引导学生对本次课程的内容进行总结，巩固所学知识。

2020-2021学年第一学期初三《5.1 二次函数》同步练习卷(含答案)

2020-2021学年第一学期初三《5.1二次函数》同步练习卷一．选择题（共5小题）1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．y＝2x+1C．y＝x2+x﹣2D．y2＝x2+3x2．已知函数：①y＝3x﹣1；②y＝3x2﹣1；③y＝﹣20x2；④y＝x2﹣6x+5，其中是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若y＝（m2+m）﹣x+3是关于x的二次函数，则（）A．m＝﹣1或m＝3B．m≠﹣1且m≠0C．m＝﹣1D．m＝34．下列函数不属于二次函数的是（）A．y＝（x﹣1）（x+2）B．y＝（x+1）2C．y＝1﹣x2D．y＝2（x+3）2﹣2x25．下列函数中，是二次函数的有（）（1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣；A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）6．若y＝（m2+m）+3m是二次函数，那么m＝．7．函数是一条开口向上的抛物线，则m＝．8．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k＝．9．若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为．10．若y＝（m2+m）x是二次函数，则m的值是．11．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．12．函数的图象是抛物线，则m＝．13．下列函数：①y＝6x2+1；②y＝6x+1；③y＝+1；④y＝+1．其中属于二次函数的有（只要写出正确答案的序号）．三．解答题（共7小题）14．已知y＝（m+1）是二次函数，求m的值．15．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点（1，0）和点（2，1）．（1）求a、b的值；（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标．16．已知二次函数y＝﹣x2+2x．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．17．已知抛物线：y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）．（1）写出抛物线的对称轴：直线；（2）当a＝﹣1时，将该抛物线图象沿x轴的翻折，得到新的抛物线解析式是；（3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值．18．二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．（1）求b、c的值；（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．20．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C．（1）求AB的长；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P．若新抛物线经过原点O，且∠POA＝∠ABC，求新抛物线对应的函数表达式．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【分析】利用二次函数定义就可以解答．【解答】解：A、，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；B、y＝2x+1，是一次函数，错误；C、y＝x2+x﹣2，是二次函数，正确；D、y2＝x2+3x，不是函数关系式，错误．故选C．【点评】本题考查二次函数的定义．2．【分析】分别根据一次函数及二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①y＝3x﹣1是一次函数；②y＝3x2﹣1；③y＝﹣20x2；④y＝x2﹣6x+5是二次函数．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．3．【分析】利用二次函数的定义得出其系数不为0，次数为2，进而求出即可．【解答】解：∵y＝（m2+m）﹣x+3是关于x的二次函数，∴m2+m≠0，m2﹣2m﹣1＝2，解得：m1≠0，m2≠﹣1，m3＝﹣1，m4＝3，故m＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键．4．【分析】整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可解答．【解答】解：A、整理为y＝x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；B、整理为y＝x2+x+，是二次函数，不合题意；C、整理为y＝﹣x2+1，是二次函数，不合题意；D、整理为y＝12x+18，是一次函数，符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次函数的定义．5．【分析】一般地，如果y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．根据定义的一般形式进行判断即可．【解答】解：（1）y＝3x2++1，右边有分式，不是二次函数；（2）y＝+5是二次函数；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2＝﹣6x+9，不是二次函数；（4）y＝1+x﹣是二次函数．故是二次函数的有2个．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．二．填空题（共8小题）6．【分析】根据题意，令m2﹣2m﹣1＝2且m2+m≠0即可．【解答】解：∵y＝（m2+m）+3m是二次函数，∴m2﹣2m﹣1＝2且m2+m≠0，解得m1＝﹣1（舍去），m2＝3．故答案为3．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟悉二次函数的定义和一元二次方程的解法是解题的关键．7．【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣2＝2，进而利用抛物线开口向上，进而得出答案．【解答】解：由题意得出：m2﹣2＝2，解得：m1＝2，m2＝﹣2，∵抛物线开口向上，∴m﹣1＞0，∴m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，注意抛物线的开口方向是解题关键．8．【分析】是二次函数，那么x的指数为2；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，那么二次函数图象的开口向上，可得二次项的系数大于0．【解答】解：由题意得：k2+k﹣4＝2；k+2＞0；解得：k＝﹣3或k＝2；k＞﹣2；∴k＝2【点评】用到的知识点为：二次函数中未知数的最高次数是2；在对称轴的右侧y随x 的增大而增大，那么二次项的系数大于0．9．【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m＝2，求出m即可．【解答】解：∵函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，∴m+2≠0且m2+m＝2，解得：m≠﹣2且m＝﹣2，m＝1，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y＝ax m+bx+c（abc都是常数）是二次函数，那么a≠0且m＝2．10．【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得：m＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．11．【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k＝0时，这个函数是二次函数．故答案为：0．【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．12．【分析】根据二次函数的定义列式求解即可．【解答】解：根据二次函数的定义，m2+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，所以，m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．13．【分析】根据二次函数的定义回答即可．【解答】解：①是二次函数，②一次函数，③未知数的次数不是2，不是二次函数，④未知数的次数不是2，不是二次函数．故答案为：①．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．三．解答题（共7小题）14．【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．【解答】解：∵y＝（m+1）是二次函数，∴，解得m＝2．【点评】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．15．【分析】（1）将两点的坐标代入二次函数的解析式求得a、b的值即可；（2）确定二次函数的解析式后利用配方法确定顶点坐标即可．【解答】解：（1）把（1，0）和（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，∴，∴y＝x2﹣2x+1；（2）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2∴二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0）．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的确定二次函数的解析式，难度不大．16．【分析】（1）确定出顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后作出大致函数图象即可；（2）根据函数图象写出二次函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围；（3）根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的二次函数图象的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【解答】解：（1）函数图象如图所示；（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝﹣（x+2）2．（或y＝﹣x2﹣4x﹣4）【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，以及二次函数图象与几何变换，作二次函数图象一般先求出与x轴的交点坐标和顶点坐标．17．【分析】（1）对称轴x＝﹣＝﹣＝2；（2）a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x﹣5，对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣5），图象沿x轴的翻折后，顶点为（2，5），a＝1即可求解；（3）由题意得：△＝0即可求解．【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝﹣＝2，故答案是2；（2）a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x﹣5，对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），图象沿x轴的翻折后，顶点为（2，1），a＝1，故新的抛物线解析式是：y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5；（3）由题意得：△＝b2﹣4ac＝16a2+20a＝0，解得：a＝﹣．【点评】主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法．18．【分析】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1即可求出未知数的值；（2）把a代入二次函数y＝ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【解答】解：（1）点P（1，m）在y＝2x﹣1的图象上∴m＝2×1﹣1＝1代入y＝ax2∴a＝1（2）∵点P在在y＝ax2图象上，∴得a＝1∴次函数表达式：y＝x2∵函数y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）y＝x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．19．【分析】（1）把A、C点的坐标代入y＝﹣+bx+c得，然后解方程组即可；（2）作MN⊥x轴于点N，如图，利用M是线段AP的中点得到MN＝2，再利用旋转的性质得PM＝PB，∠MPB＝90°，接下来证明△PMN≌△BPE得到PE＝MN＝2，则D（2+t，4），然后根据抛物线的对称性得到D点坐标为（5，4），所以2+t＝5，最后解t的方程即可．【解答】解：（1）把A（0，4）和C（8，0）代入y＝﹣+bx+c得，解得b＝，c＝4；（2）作MN⊥x轴于点N，如图，∵M是线段AP的中点，∴MN＝2，∵AD⊥BE，BE⊥x轴，∴DE＝OA＝4，∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，∴PM＝PB，∠MPB＝90°，∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠BPE，在△PMN和△BPE中，∴△PMN≌△BPE，∴PE＝MN＝2，∴OE＝2+t，∴D（2+t，4），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，而点A、点D为对称点，∴D点坐标为（5，4），∴2+t＝5，解得t＝3，即当t为3时，点D落在抛物线上．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质和旋转的性质；会应用三角形全等的知识解决线段相等的问题．20．【分析】（1）求得A、B点的坐标，然后根据勾股定理即可求得；（2）根据平移的规律即可求得新抛物线对应的函数表达式．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，∴A（0，﹣1），∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）﹣2，∴B（1，﹣2），∴AB ＝＝；（2）∵A（0，﹣1），∴抛物线向上平移1个单位经过原点，此时四边形ABPO是平行四边形，∴∠POA＝∠ABC，此时新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x，抛物线y＝x2﹣2x，关于y轴对称的抛物线为：y＝x2+2x，图象经过原点，且∠POA＝∠ABC，∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x或y＝x2+2x．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键．11。

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