2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”18.推理与证明

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最新高考一轮复习金榜聚焦：推理与证明问题经典回顾精品讲义

推理与证明经典问题回顾主讲教师：丁益祥北京陈经纶中学数学特级教师开篇语数学解题离不开推理与证明．这里的推理主要指合情推理和演绎推理，证明主要指直接证明、间接证明以及利用数学归纳法证明．合情推理有归纳推理和类比推理两种形式：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是一般到特殊的推理．反证法是间接证明的主要形式，证明的思路是：通过否定结论，导出矛盾，进而说明原结论正确．开心自测题一：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．题二：设127,,,a a a 是１，２，…，7的一个排列，求证：乘积()()()127127T a a a =-⋅-⋅⋅-为偶数．考点梳理１．合情推理的两种形式（１）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

归纳推理是由特殊到一般的推理。

（２）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳或类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

２．演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

演绎推理是一般到特殊的推理。

演绎推理的“三段论”模式：（１）大前提——已知的一般原理；（２）小前提——所研究的特殊情况；（３）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

３．直接证明与间接证明（１）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

高考数学理科一轮复习全国通用课件第14章推理与证明6

形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形为
.
记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，下面列出了部分k边形数中第n个数的表达
式：
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
以此类推，下列结论错误的是( )
A．N(5，4)＝25
B．N(3，7)＝18
C．N(5，10)＝145
D．N(10，24)＝1 000
推理与证明
【解析】类比直线方程求法，利用空间向量的数量积可得(－1)·(x －2)＋(－2)·(y－3)＋1·(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0. 【答案】x＋2y－z－4＝0
推理与证明
考点2 演绎推理
3．[课标全国Ⅱ202X·7]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
推理与证明
上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示为下图．
推理与证明
考点1 合情推理
(1)归纳推理的一般思路：通过视察个别情况发现某些相同本质，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．即
(2)类比推理常见的情形：平面与空间类比、低维与高维类比、等差数列与等比数列类比、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．即
A．P>Q C．P<Q
【答案】C
则P，Q的大小关
B．P＝Q D．由a的取值决定
推理与证明
6．[安徽安庆202X期末]用分析法证明：

【把脉高考新题探究】2014届高考数学复习汇编全程必备10 推理与证明

《把脉最新高考—新题探究（数学）》2014届高三高考复习全程必备【反应高考走向的典型题】10.推理与证明1.【北京市石景山区2013届高三期末】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈；② []22-∈； ③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪； ④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】因为201340253=⨯+，所以[]20133∈，①正确。

2153-=-⨯+，[]23-∈所以②不正确。

③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。

整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a-b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.2.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考】对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），定义：设()f x ''是函数()y f x ='的导数，若方程()0f x ''=有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++=（）（A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013【答案】A【解析】令32115()33212h x x x x =-+-，12()1212m x x x ==--，则g （x ）=h （x ）+m （x ）．则2'()3h x x x =-+，''()21h x x =-令1''()210,2h x x x =-==，所以h （x ）的对称中心为（，1）．设点p （x 0，y 0）为曲线上任意一点，则点P 关于（，1）的对称点P ′（1﹣x 0，2﹣y 0）也在曲线上，∴h （1﹣x 0）=2﹣y 0 ，∴h （x 0）+h （1﹣x 0）=y 0+（2﹣y 0）=2． ∴h （）+h （）+h （）+h （）+…+h （） =[h （）+h （）]+[h （）+h （）]+[h （）+h （）]+…+[h （）+h （）]=1005×2=2010．由于函数m （x ）=的对称中心为（，0），可得m （x 0）+m （1﹣x 0）=0． ∴m （）+m （）+m （）+m （）+…+m （） =[m （）+m （）]+[m （）+m （）]+[m （）+m （）]+…+[m （）+m （）]=1005×0=0． ∴g （）+g （）+g （）+g （）+…+g （）=h （）+h （）+h （）+h （）+…+h （） +m （）+m （）+m （）+m （）+…+m （）=2010+0=2010，选A.3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = ，(,2)f n = ．【答案】2 22n -【解析】根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212f f f f f =+=+==⨯=。

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第十一讲推理与证明

第十一讲推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论直接证明与间接证明直接证明综合法分析法间接证明反证法数学归纳法数学归纳法的原理数学归纳法的应用1．(反证法)用反证法证明命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”时，假设的内容应为________．【解析】 “x ＝y ＝0”的否定是“x ，y 中至少有一个不为0”．【答案】 x ，y 中至少有一个不为02．(三段论推理)“三角函数是周期函数(大前提)，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数(小前提)，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数(结论)”，上面推理的错误是________．【解析】 y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2不是三角函数，故小前提错误．【答案】小前提错误 3．(归纳推理)观察下列不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， … …照此规律，第五个不等式为________．【解析】观察所给每个不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的底数与右端值的分母相同，且每行右端分数的分子构成以a 1＝3，公差d ＝2的等差数列，故第5个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162＜1164．(类比推理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝________.【解析】设四面体S －ABC 的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O－SAC＋V O －SBC ，即：V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得：r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】3VS 1＋S 2＋S 3＋S 45．(直接证明)在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是________(形状)．【解析】 ∵sin A sin C ＜cos A cos C ， ∴cos(A ＋C )＞0，即cos B ＜0， ∴∠B 为钝角，△ABC 为钝角三角形．【答案】钝角三角形【命题要点】 ①归纳等式；②归纳不等式.(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.【思路点拨】重点分析k 与n 2及n 的导数的关系，从而归纳出N (n ，k )，则N (10,24)可求．【自主解答】由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎫k2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】 1 0001．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．变式训练1 (2013·南昌模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.【解析】观察所给等式知，第n 个等式的右边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n2＋n2. 【答案】 (－1)n ＋1n2＋n 2【命题要点】 ①类比过程；②类比结论.(2013·金华模拟)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB 2；类比此性质，如图3－3－1，在四面体P —ABC 中，若P A ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为________．图3－3－1【思路点拨】由直角三角形的高联想到空间四面体的高，连结CO 并延长构造直角三角形，充分利用直角三角形中的已知结论求解．【自主解答】连结CO 且延长交AB 于点D ，连结PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，由已知可得1h 2＝1PC 2＋1PD2.易知AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD .在Rt △APB 中，由已知可得1PD 2＝1P A 2＋1PB 2，故1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2. 【答案】 1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 21．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．常见的类比的知识点：(1)平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题．通过类比得到的结论不一定正确．因此需要对结论加以证明．(2)等差数列与等比数列之间的类比等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m＋a n ＝a p ＋a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q )．(3)椭圆与圆、椭圆与双曲线的定义与性质间的类比． (4)实数运算律与向量的运算律．变式训练2 (2013·无锡模拟)先阅读第①题的解法，再解决第②题： ①已知“a ＝(3,4)，b ＝(x ，y )，a·b ＝1，求x 2＋y 2的最小值．” 解：由|a·b |≤|a |·|b |⇒1≤5x 2＋y 2⇒x 2＋y 2≥125，故x 2＋y 2的最小值为125.②已知实数x ，y ，z 满足：2x ＋3y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________；【解析】设a ＝(x ，y ，z )，b ＝(2,3,1)，则a·b ＝1，由|a·b |≤|a |·|b |⇒1≤14 x 2＋y 2＋z 2⇒x 2＋y 2＋z 2≥114，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为114.【答案】 114【命题要点】 ①证明与数列有关的命题；②利用导数证明不等式；③证明立体几何问题.(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.【思路点拨】 (1)利用a ，d 表示b n ，然后根据b 1，b 2，b 4成等比数列，得到a 与d 的关系，最后求S nk 与S k 的关系．(2)设出b n ，将b n 与S n 代入b n ＝nS nn 2＋c ，利用等式恒成立证明．【自主解答】 (1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有 ⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c＝0.1．解答本例第(2)小题时，把b n ＝nS nn 2＋c 转化为关于n 的等式是解题的关键，再利用多项式恒等列方程组证明．2．对充分必要条件的证明应分两步完成：一是证充分性；二是证必要性． 3．在证明与数列有关的命题时，要充分利用等差、等比数列的性质，及求和方法．变式训练3 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【证明】 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n .又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.(2013·无锡模拟)已知数列{a n }满足关系式a n ＋1＝na n＋2，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：n ＋1≤a n ＜n ＋1＋1；(3)求证：n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜2(n ＋3－3)．【思路点拨】 (1)根据递推式和初始值求解即可；(2)根据已知的递推式a n ＋1＝na n＋2，使用数学归纳法进行证明；(3)根据(2)的结果进行证明．【自主解答】由题意，知a 2＝52，a 3＝145，a 4＝4314.(2)证明由a n＋1＝na n＋2及a1＝2，知a n＞0.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2满足1＋1≤a1＜1＋1＋1，成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，k＋1≤a k＜k＋1＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋1＝ka k＋2＞kk＋1＋1＋2＝k＋1＋1.a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2.下面用分析法证明：kk＋1＋2＜k＋2＋1.欲证kk＋1＋2＜k＋2＋1，只需证k＋k＋1＜(k＋1)k＋2，只需证(k＋k＋1)2＜[(k＋1)k＋2]2，只需证2k＋1＞0，此式显然成立．所以kk＋1＋2＜k＋2＋1成立．从而a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2＜k＋2＋1.由①②可知，对一切k∈N*，n＋1≤a n＜n＋1＋1成立．(3)证明由(2)，知1n＋1＋1＜1a n≤1n＋1，而1n＋1＋1≥1n＋1＋n＝n＋1－n，1n＋1＝2(n＋1)＋(n＋1)＜2n＋3＋n＋2＝2(n＋3－n＋2)，所以n＋1－n＜1a n＜2(n＋3－n＋2)，所以(2－1)＋…＋(n＋1－n)＜1a1＋1a2＋…＋1a n＜2(4－3)＋…＋2(n ＋3－n ＋2)，所以n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜2(n ＋3－3)．1．本例中已知a n ＋1与a n 的关系，但无法求出a n ，故第(2)小题适合用数学归纳法证明，第(3)小题是有关和式的不等式，适合用不等式放缩证明．2．在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用上归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．变式训练4 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．【解】 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明由(1)知当b ＝2时，a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由均值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.证明题是考查学生条理的逻辑思维能力、规范的书写运算能力的有效载体，它涉及到函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等知识，特别是不等式与数列知识的综合证明，命题形式灵活多样，需在复习备考过程中引起高度重视．利用放缩法证明不等式(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上．(1)求证：数列{S nn}是等差数列；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)设C n ＝T n 22n ＋3，求证：C 1＋C 2＋…＋C n >2027.【规范解答】 (1)证明 ∵点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上，∴S n ＋1＝n ＋1n ·S n ＋n ＋1，2分两边同除以n ＋1，得S n ＋1n ＋1－S nn＝1.∴{S nn }是以3为首项，1为公差的等差数列.4分(2)由(1)可知，S nn ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，经检验，当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，于是b n ＝a n ·2a n ＝(2n ＋1)·22n ＋1，5分∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n ＝3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1＋(2n ＋1)·22n ＋1，①∴4T n ＝3·25＋…＋(2n －3)·22n －1＋(2n －1)·22n ＋1＋(2n ＋1)·22n ＋3.②两式相减，解得：T n ＝(23n ＋19)·22n ＋3－89.8分 (3)证明 ∵C n ＝T n 22n ＋3＝2n 3＋19－19·(14)n，9分∴C 1＋C 2＋…＋C n ＝23·n (n ＋1)2＋19·n －19·14[1－(14)n ]1－14＝3n 2＋4n 9－127＋127·(14)n >3n 2＋4n 9－127≥79－127＝2027.12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能利用(S n ，S n ＋1)在直线上来推导{S nn }相邻项的关系；(2)错位相减求和操作不当致误；(3)因{C n }的通项公式比较复杂不会恰当的进行变形．防范措施 (1)注意{S nn}是一个数列，整体代换寻找递推关系式；(2)运用错位相减法应注意以下三点：①错位，即幂指数相同的项要对齐；②差的符号；③新等比数列的项数；(3)与和式有关的不等式，有两种处理方式，一是先求和，再证明结论成立；二是若不易求和，可用放缩法转化和式，再求和证明．1．观察下列等式1＝13＋5＝85＋7＋9＝217＋9＋11＋13＝409＋11＋13＋15＋17＝65……按此规律，第12个等式的右边等于________．【解析】观察等式右边的数1＝1×1,8＝2×4,21＝3×7,40＝4×10,65＝5×13，每一个数为等式的序号与以1为首项，公差为3的等差数列相应项的乘积，故第12个等式的右边为12×(1＋11×3)＝408.【答案】4082．△ABC内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A、B、C三个顶点，共2 017个点，把这 2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为________．【解析】三角形内部每增加一个点，可比原来多出2个三角形，设三角形内部n个点，形成小三角形的个数为a n，则a n＋1＝a n＋2，且a1＝3，数列{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而a2 014＝3＋(2 014－1)×2＝4 029.【答案】 4 029。

高三数学高考总复习：推理与证明

数学高考总复习：推理与证明知识网络目标认知考试大纲要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．重点：1.利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解分析法、综合法、反证法、数学归纳法等几种常用的证明方法，并能它们证明一些简单的数学命题.难点：1．用分析法、综合法、反证法、数学归纳法等几种常用的证明方法，证明一些简单的数学命题.2．利用归纳和类比等进行简单的推理.知识要点梳理知识点一：合情推理与演绎推理1．推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．2．合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．3．演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．知识点二：直接证明与间接证明1．综合法(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．(2)综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：.........2．分析法(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)分析法的思维框图：.........得到一个明显成立的条件.3．反证法(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．知识点三：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当取第一个值时结论正确；（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确，由（1）（2）确定对时结论都正确。

2014高考数学一轮汇总训练《合情推理与演绎推理》理新人教A版

第五节合情推理与演绎推理[备考方向要明了]式，并能运用[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选A 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①②不正确，③正确．4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．5．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[自主解答] (1)记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f (0)＋f (1)＝33，f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33，猜想f (x )＋f (1－x )＝33，证明：∵f (x )＝13x＋3， ∴f (1－x )＝131－x ＋3＝3x3＋3·3x ＝3x33＋3x.∴f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x 33＋3x＝13＝33.[答案] (1)C利用本例(2)的结论计算f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)的值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝33，∴f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)＝[f(－2 014)＋f(2 015)]＋[f(－2 013)＋f(2 014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 015×33＝2 015 33.———————————————————归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝14n2(n＋1)2.答案：14n2(n＋1)2[例2] (2013·广州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.[自主解答] 法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m. 所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m qn －m可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m dc，所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n －m⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n ＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1qn －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m，所以b m＋n ＝n －m d nc m. [答案] n －m d nc m———————————————————类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．————————————————————————————————————————2．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D . 求证：1AD＝1AB＋1AC .那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．证明：如图所示，∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴△ABD ∽△CAD ，△ABC ∽△DBA ， ∴AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.同理可得在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.故猜想正确．理[例3] 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) 的值．[自主解答] (1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－a a x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)可知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.则f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3. ———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab 时，∵a >0，b >0， ∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x 2>x 1≥a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．法二：∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)， ∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0，得x ＝ a b，当0＜x ≤a b 时，－ax2≤－b ， ∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x ≥ a b 时，－ax2＋b ≥0，即f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] 法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. [名师点评] 1．本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式．(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式．2．解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来．(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明．[变式训练] 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C ，试判断△ABC 的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解：(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C 可化为1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ，所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋1解析：选A ∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n 的指数次方，即p ＝n n.3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．4．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ，即：V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得：R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．解析：从左右对称入手考虑．(1)4位回文数第1、4位取1,2,3,4,5,6,7,8,9之一有C 19＝9种选法．第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90个，即4位回文数有90个．(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n ＋1(n ∈N *)位回文数有9×10n个．答案：90 9×10n9．(2013·包头模拟)如图，矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′夹在两条平行线l 1、l 2之间，且A ′B ′＝mAB ，则容易得到矩形ABCD 的面积S 1与矩形A ′B ′C ′D ′的面积S 2满足：S 2＝mS 1.由此类比，如图，夹在两条平行线l 1、l 2之间的两个平行封闭图形T 1、T 2，如果任意作一条与l 1平行的直线l ，l 分别与两个图形T 1、T 2的边界交于M 、N 、M ′、N ′，且M ′N ′＝mMN ，则T 1、T 2的面积S 1、S 2满足________．椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2是夹在直线y ＝a 和y ＝－a 之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为________．解析：如图，任取一条与x 轴平行的直线，设该直线与x 轴相距h ，则这条直线被椭圆截得的弦长l 1＝2b a 2－h2a，被圆截得的弦长l 2＝2a 2－h 2，则l 1l 2＝ba ，即S 椭圆S 圆＝b a. 故S 椭圆＝b a·πa 2＝πab . 答案：S 2＝mS 1 πab三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 …4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a －y 2b＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理：y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．12．观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．1.正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2解析：选A 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝⎝⎛⎭⎪⎫24a 2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12＝1 0232 048a 2. 2．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350；(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－1 280×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＋1 120×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，即n ＋4p ＝－200，(2)联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50. 故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962. 答案：9623．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n (n ∈N *)的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，…，22－12＝2×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n2＝n n ＋12.类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________(n ∈N *)．解析：由(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3×12＋3×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16.答案：n n ＋12n ＋164.已知：在梯形ABCD 中，如图，AB ＝DC ＝DA ，AC 和BD 是梯形的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，(小前提) ∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .(结论) 同理可证DB 平分∠CBA .。

2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：6.5推理与证明

(2)反证法主要适用于以下两种情形： ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只需研究一种或很少的几种情形． (3)可能出现矛盾的四种情况： (ⅰ)与题设矛盾；(ⅱ)与反设矛盾；(ⅲ)与公理、定理矛盾；(ⅳ) 在证明过程中，推出自相矛盾的结论．
答案 C
题型二归纳推理例 2.设 f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…， f(10)的值，同时作出归纳推理，并用 n＝40 验证猜想的结论是否正确．
解析首先分析题目的条件，并对 n＝1、2、3、4、5、6、7、 8、9、10 的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．
(2)用综合法证明的基本步骤第一步：分析题目的条件，搜寻已知条件和要证结论之间的有关数学公理、定理，确定解决问题的方法；第二步：综合所得信息进行推理论证，从而证得结论． (3)用综合法解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要通过细致地分析，把其中的隐含条件明确表示出来． (4)用综合法证明时，步骤的叙述用肯定的语气按证明思路叙述下来即可．
(2)合情推理与演绎推理的联系与区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
(5)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用
的互为否定的表述形式是有必要的.

2014数学文补教案—第六章不等式与推理证明

第六章不等式、推理与证明【知识特点】（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。

（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。

（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。

（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。

（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。

（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。

【重点关注】不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。

（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。

（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。

（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。

（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。

（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。

（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。

（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明

高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二直接证明与间接证明命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立，即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立，即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立，即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0，所以原不等式成立．命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根．证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾．因此，所给三个方程不可能都只有一个实根．教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m，等式两边平方得3＋n m ＝9nm，即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ，所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9，只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α，因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9，即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。

【人教A版】2014年高考数学最新复习课件(理科) - 第11单元-算法初步、复数、推理与证明

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双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题
第65讲算法初步
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考试大纲
1．算法的含义、程序框图 (1)了解算法的含义，了解算法的思想． (2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． 2．基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
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使用建议
(2)体现新课标理念．编写过程中尽量体现以学生为主体，在试题的选择上，以便于学生自主学习，自主探究为出发点，培养学生的创新能力．比如合情推理这一知识点，为创新性试题的命制提供了较好的空间，对于这部分试题的选取都体现了新颖性．
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使用建议
2．教学建议尽管本单元内容是新课标考纲中新增的内容，除算法、复数内容外，突出了对学生推理与创新能力的考查，但教学中仍然要以掌握基础知识、基本方法为出发点，切不可盲目加大难度．教学时要做好以下几点： (1)对算法初步教学的建议：由于试题主要考查程序框图和基本算法语句，复习该部分时要抓住如下要点：一是程序框图的三种基本逻辑结构，弄清三种基本逻辑结构的功能和使用方法，结合具体题目掌握好一些常见的计算问题的程序框图题，如数列求和，累加、累乘等程序框图；二是理解基本算法语句，搞清楚条件语句与条件结构的对应关系，循环语句与循环结构的对应关系等．
第十一单元算法初步、复数、推理与证明
第65讲第66讲算法初步数系的扩充与复数的引入
第67讲
第68讲
合情推理与演绎推理
数学证明
单元网络
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核心导语
一、算法与程序框图 1．框图：利用条件结构和循环结构的程序框图是重点． 2．语句：基本算法语句与框图的对应．二、复数 1．概念：复数的核心概念是基础． 2．运算：复数的四则运算以及乘方、求模运算是重点．三、推理与证明综合应用：常与立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等知识综合.

2014版高考数学知识点讲座：考点28 推理与证明(解析版)

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点28推理与证明（解析版）加（*）号的知识点为了解内容,供学有余力的学生学习使用一.考纲目标掌握合情推理与演绎推理;熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析。

二.知识梳理1．合情推理包括归纳推理和类比推理．2．归纳推理（1）概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理（简称归纳）．(2)特点:归纳是从特殊到一般的过程．（3）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．3．类比推理(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．（2）类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想）．4．演绎推理(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则）导出特殊情况下的结论的推理,叫做演绎推理．（2)特征：当前提为真时，结论必然为真．（3)“三段论"是演绎推理的一般模式,包括：①大前提-—已知的一般原理；②小前提—-所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．5．直接证明(1）综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→错误!→错误!→…→错误!（其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．（2）分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示:Q⇐P1→错误!→错误!→…→错误!.6．间接证明反证法:假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．三．考点逐个突破1.归纳推理［例1］已知f (x）＝错误!（x≠－错误!,a〉0)，且f（1)＝log162，f(－2）＝1。

2014年湖南省科大附中高考数学一轮训练：推理与证明

2014年湖南省科大附中高考数学一轮训练：推理与证明学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D.在数列{a n）中，a1=1，a n=，可得a2=1，a3=1，由此归纳出{a n}的通项公式a n=1【答案】C【解析】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理．故选C．推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．本题考查简单的演绎推理，易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念，属于基础题．2.正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A.16B.14C.12D.10【答案】B【解析】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第三次碰撞点为H，且DH=（1-）×=，作图可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．由题意作出其图象，由图可得碰撞次数．本题考查了学生的作图能力，属于基础题．3.“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A.大前提错导致结论错B.小前提错导致结论错C.推理形式错导致结论错D.大前提和小前提错都导致结论错【答案】A【解析】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选：A对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论．本题考查演绎推理的基本方法，考查指数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的．4.已知α是锐角，则下列各式成立的是（）A.sinα+cosα=B.sinα+cosα=1C.sinα+cosα=D.sinα+cosα=【答案】C【解析】解：由α是锐角，即0＜α＜，则sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（），由于＜＜，则＜sin（）≤1．即有1＜sinα+cosα．则A，B，D错，C对．故选C．由两角和的正弦公式得到sinα+cosα=sin（），再由α是锐角，求出1＜sinα+cosα．即可判断C正确．本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．5.设a，b，c大于0，则3个数a+，b+，c+的值（）A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【答案】D【解析】证明：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选D．假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，又利用基本不等式可得a++b++c+≥6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．从而得出正确选项．本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾是解题的关键．6.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．故选A．因为总保持PE⊥AC，那么AC垂直PE所在的一个平面，AC⊥平面SBD，不难推出结果．本题考查学生应用线面垂直的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．7.给出下列四个推导过程：①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2=2；②∵x，y∈R+，∴lgx+lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2=4；④∵x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=-[（-（））+（-（））]≤-2=-2．其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】解：对于①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2=2，当且仅当a=b时取等号，故①正确，对于②∵x，y∈R+，但是lgx，lgy不一定大于0，故不能用基本不等式，故②错误，对于③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2=4；成立的条件是a＞0，故③错误，对于④x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=-[（-（））+（-（））]≤-2=-2．当且仅当x+y=0时取等号，故④正确．故选：D基本不等式a+b≥2的成立条件是a＞0，b＞0，然后判断即可本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题，8.用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A.=B.＜C.=且＞D.=或＜【答案】D【解析】解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题．9.反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都小于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个小于60°【答案】B【解析】解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．10.设，，，则P，Q，R的大小顺序是（）A.P＞Q＞RB.P＞R＞QC.Q＞P＞RD.Q＞R＞P【答案】B【解析】解：∵P-R==2＞0∴P＞RR-Q==（）-（）而=9+2，=9+2，而18＞14，∴＞即R＞Q，综上P＞R＞Q，故选B．要比较它们的大小，作差，R-Q与零大小，即可转化为与的大小，观察它们的被开方数和相等，所以可以用平方的方法进行比较．根据完全平方公式分别计算，展开都是两部分，其中整数部分相同，只需再进一步比较其带根号的部分即可求解．此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．此题采用了平方的方法，属基础题．11.下列推理是归纳推理的是（）A.A，B为定点，动点P满足||PA|-|PB||=2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线B.由a1=2，a n=3n-1求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇【答案】B【解析】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．D选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B．根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．12.“猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，所以一切哺乳动物都用肺呼吸”．此推理方法是（）A.完全归纳推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理B【解析】解：“猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，所以一切哺乳动物都用肺呼吸”，从猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，归纳出一切哺乳动物的共性：都用肺呼吸，此推理方法是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理．故选：B．本题考查的是归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=-k是对称函数，那么k的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：由于在（-∞，2]上是减函数，故满足①，又f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，∴所以a和b是关于x的方程在（-∞，2]上有两个不同实根．令t=，则x=2-t2，t≥0，∴k=-t2+t+2=-（t-）2+，∴k的取值范围是，，故答案为：，．函数在定义域（-∞，2]上是减函数，由②可得f（a）=-a，f（b）=-b，由此推出a和b是方程在（-∞，2]上的两个不同的实根．利用换元法，转化为∴k=-t2+t+2=-（t-）2+在[0，+∞）有两个不同实根，解此不等式求得k的范围即为所求．本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和b是方程在（-∞，2]上的两个根，是解题的难点，属中档题．14.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的______ ”．三个内角都小于60°【解析】解：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的三个内角都小于60°．故答案为：三个内角都小于60°．利用反证法所证明的命题的否定为假设，写出结论即可．本题考查反证法的步骤，基本知识的考查，正确写出命题的否定是解题的关键．15.已知数列{a n）的通项公式为a n=2n-3，将数列中各项进行分组如下．第1组：a1；第2组：a2，a3；…；如果第k组的最后一个数为a m，那么第k+1组的（k+1）个数依次排列为：a m+1，a m+2，…，a m+k+1（m，k∈N*），则第10组的第一个数是______ ．【答案】89【解析】解：∵前9组一共有1+2+3+…+9=45个数，∴第10组的第1个数是a46=2×46-3=89．故答案为：89由题设条件知前9组一共有45个数，所以第10组的第1个数是a46=2×46-3=89本题考查数列的递推公式，解题时要注意公式的合理运用．16.n2个正整数排列如下：1，2，3，4，…，n2，3，4，5，…，n+13，4，5，6，…，n+2…n，n+1，n+2，n+3，…，2n-1则这n2个正整数的和S= ______ ．【答案】n3【解析】解：第一行1，2，3，4，…，n的和为1+2+3+…+n=；第二行2，3，4，5，…，n+l的和为+n；第三行3，4，5，6，…，n+2的和为+2n；…∴这n2个正整数的和S可看首项为，公差为n的前n项和则S=n×+=n3故答案为：n3分别求出前3行的和，然后发现规律，这n2个正整数的和S可看首项为，公差为n的前n项和，然后利用等差数列的求和公式解之即可．本题主要考查了等差数列的求和，解题的关键将这n2个正整数的和S可看首项为，公差为n的前n项和，属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.若x＞0，y＞0，x+y＞2，求证：＜2，＜2至少有一个成立．【答案】证明：假设＜2，＜2均不成立，则≥2，≥2，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴1+x+1+y≥2y+2x，∴x+y≤2，这和已知条件x+y＞2相矛盾，所以假设不成立，∴原命题成立．【解析】运用反证法，假设＜2，＜2均不成立，则≥2，≥2，从而可得x+y≤2，这和已知条件x+y＞2相矛盾，即可得到结论．本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，正确引出矛盾是关键．18.若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（Ⅱ）已知函数h（x）=具有性质M，求a的取值范围；（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log a x（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．【答案】解：（Ⅰ）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得2x0+1=2x0+2得：…（2分）即2x0=2，解得x0=1，∴函数f（x）=2x具有性质M．…（4分）（Ⅱ）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0，∵h（x）具有性质M，∴存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得lg=化为2（+1）=+a整理得：（a-2）+2ax0+2a-2=0有实根…（5分）①若a=2，得x0=-，满足题意②若a≠2，则要使（a-2）+2ax0+2a-2=0有实根，只需满足△≥0，即a2-6a+4≤0，解得a∈[3-，3+]∴a∈[3-，2）∪（2，3+]…（8分）综合①②，可得a∈[3-，3+]…（9分）（Ⅲ）解：函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，整理，得0×x+b=0，当b≠0时，关于x的方程（*）无解∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；②若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax-c=0，解得x=．∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）一定具备性质M．③若f（x）=（k≠0），则方程（*）可化为x2+x+1无解∴f（x）=（k≠0）不具备性质M；④若f（x）=a x，则方程（*）可化为a x+1=a x+a，化简得（a-1）a x=a即a x=当0＜a＜1时，方程（*）无解∴f（x）=（k≠0），不恒具备性质M；⑤若f（x）=log a x，则方程（*）可化为log a（x+1）=log a x，化简得x+1=x显然方程无解；∴f（x）=（k≠0），不具备性质M；综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）【解析】（Ⅰ）把函数f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），解出x0，从而求解；（Ⅱ）根据h（x）具有性质M，即存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得到一个关于x0，的方程，其中含有参数a，并对a进行讨论，从而求出a的取值范围；（Ⅲ）已知函数y=f（x）恒具有性质M，转化为关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解，因为①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log a x（a＞0且a≠1）的函数，把其代入进行一一验证是否具有性质M；此题是一道综合性比较强的题，考查了二次函数的图象和性质的应用，出现了新定义，这是高考的热点，围绕这个新定义出了三问，但是都不是很难，运用了分类讨论的思想，是一道中档题；19.设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．【答案】证明：f（0）=c为奇数f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数所以a，b同奇偶假设整数根t，所以f（t）=0即at2+bt+c=0若a，b同为偶数，则at2+bt为偶数，所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾若a，b同为奇数，若t为偶数则at2+bt为偶数若t为奇数则at2+bt为偶数所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾综上所述方程f（x）=0无整数根【解析】先通过条件得到a，b同奇偶，然后分别讨论若a，b同为偶数与同为奇数两种情形，然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根．本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．20.证明：已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数．【答案】证明：假设+是有理数，则（+）（-）=a-b由a＞0，b＞0则+＞0即+≠0∴∵a，bÎQ且+∈Q ∴∈Q即（-）∈Q这样（+）+（-）=2∈Q从而ÎQ（矛盾）∴+是无理数【解析】本题利反证法证明：假设+是有理数，则（+）（-）=a-b这样推出（+）+（-）=2∈Q，从而ÎQ（矛盾）最后得出+是无理数．此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．21.已知a，b，c∈R*，且a+2b+3c=6，（1）求a2+2b2+3c2的最小值；（2）求证：++≥．【答案】解：（1）利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2≥==6，当且仅当==，即a=b=c=1时，a2+2b2+3c2取得最小值为6．（2）证明：++≥===（*），当且仅当==，即==，即a：b：c=1：3：5，即a=、b=、c=时，（*）式取到等号．【解析】（1）由条件利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2≥=，从而求得a2+2b2+3c2取得最小值．（2）根据++≥，以及a+2b+3c=6，即可证得结论．本题主要考查柯西不等式的应用，注意式子的变形，属于基础题．22.已知△ABC的三边长为a、b、c，若，，成等差数列．求证：B不可能是钝角．【答案】证明：（用反证法证明）∵，，成等差数列，∴，∴b2≤ac即ac-b2≥0．假设B是钝角，则cos B＜0，由余弦定理可得，cos B=≥＞．这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．∴B不可能是钝角．证明：（用综合法证明）∵，，成等差数列，∴，即2ac=b（a+c），由余弦定理和基本不等式可得，cos B=≥=1-=1-=1-，∵a，b，c为△ABC三边，∴a+c＞b，∴1-＞0，∴cos B＞0，∴∠B＜900，因此B不可能是钝角．【解析】用反证法证明：利用等比数列以及基本不等式转化为：ac-b2≥0，假设结论不成立，推出矛盾结论，即可证明原命题正确；用综合法证明：通过等比数列以及余弦定理基本不等式推出cos B≥1-，利用三角形两边和大于第三边，推出cos B＞0，得到结论．本题考查推理与证明的基本方法，反证法与综合法的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

高考高三数学一轮热点由已知到未知的推理技巧与方法

高考高三数学一轮热点、难点一网打尽第56讲由已知到未知的推理技巧与方法考纲要求:1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．基础知识回顾:一、合情推理1．归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用举例:类型一、归纳推理1、形的推理例1．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．2、式的推理例2．已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为__________________.例3．观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74……照此规律，第五个不等式为__________．3、数的推理例4．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．点评：运用归纳推理时的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．类型二、类比推理例5．已知点A(x 1，ax 1)，B(x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a>1)的图象上任意不同两点，依据图象(图略)可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1，sin x 1)，B(x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x(x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立．例6．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．点评：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．类型三、演绎推理例7．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .点评：演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成方法、规律归纳:类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．比如：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象； ③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象； ④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．实战演练:1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( ) A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 5·b 8<b 4·b 73．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( ) A ．22项 B ．23项 C ．24项D ．25项4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10)D ．(10,1)5．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)26.对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________． 7.将全体正整数排成一个三角形数阵 12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．8.把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三a，若a n=2015，则n _________.角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{}n9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°c os 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋co s248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1。

北京交通大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：推理与证明 Word版含答案]

北京交通大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f 1(x)=sinx+cosx ，f n+1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)= f ′1(x)，f 3(x)= f ′2(x)，…，f n+1(x)=f ′n (x)，n ∈N*，则f 2012 (x)= ( ) A ．sinx+cosx B ． sinx －cosx C ．－sinx ＋cosx D ．－sinx －cosx【答案】B2．设函数f 是定义在正整数有序对集合上的函数，并满足： ①(,),f x x x = ②(,)(.)f x y f y x = ③()(,)(,),(12,16)(16,12)x y f x y yf x x y f f +=++则的值是( )A ．96B ．64C ．48D ．24【答案】A3．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个奇数”时正确的反设是( )A ．a 、b 、c 都是偶数B ．a 、b 、c 都是奇数C ．a 、b 、c 中至少有两个奇数D ．a 、b 、c 中或都是偶数或至少有两个奇数【答案】D4．每设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++( ) A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-【答案】C5．已知数列{}n a 的前n 项和2(2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a 等于( ) A ．22(1)n + B ．2(1)n n +C ．221n - D ．221n - 【答案】B6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中至少有一个偶数”．正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数【答案】B7．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件【答案】Ａ8．在证明命题“对于任意角θ，44cossin θθ-=cos 2θ”的过程：“44cos sin θθ-=222222(cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθ+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．反证法D ．归纳法【答案】B9．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； ②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比“若数列{}n b 为等比数列，则有15152151076b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论( ) A ．只有①正确 B ．只有②正确 C ．都正确D ．都不正确【答案】C10．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】Ｃ 11．求形如()()g x y f x =的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+，于是得到：'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x =+，运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( ) A ．(e,4) B ．(3,6)C ．(0,e)D ．(2,3)【答案】C12．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若正数c b ，，a 满足14=++c b a ,则c b a 2++的最大值为．【答案】21014．从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般结论是【答案】2(+1)++(3n 2)=(21)n n n +--15．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1. (选修12P 35练习题4改编)“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________.答案：大前提错误解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错． 2. (选修12P 35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)3. (选修12P 29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析：等式右边的底数为左边的项数．4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可得扇形的面积公式为________．答案：12rl1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S －M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]题型1 归纳推理例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1) 求a 1，a 2，a 3；(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .解：(1) 当n ＝1时，S 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1；当n ＝2时，S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0.∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2.(2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a 2＝－3、a 3＝－12、a 4＝13、a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.(解法2)由a n ＋1＝1＋a n1－a n，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ，a 3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，a 4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3. 题型2 类比推理例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a 38解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3.备选变式（教师专享）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线：x 2a 2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中m 2a 2－n2b2＝1.又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m ，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n2x 2－m2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得k PM ·k PN ＝b 2a2.题型3 演绎推理例3 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①，而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．备选变式（教师专享）设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －11－a n＝ 1.(1) 求{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解：由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n ＝n.所以a n ＝1－1n . (2) 证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n－1n ＋1，S n＝1111n nkk k b ====-邋1. 观察下列不等式：1＋122＜32；1＋122＋132＜53；1＋122＋132＋142＜74；…；照此规律，第五个不等式是________．答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1162. 观察下列各式：a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3；a 3＋b 3＝4；a 4＋b 4＝7；a 5＋b 5＝11；…；则a 10＋b 10＝________．答案：123解析：(解法1)由a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3得ab ＝－1代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.(解法2)令a n ＝a n ＋b n，易得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶8解析：考查类比的方法，V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18，所以体积比为1∶8.4. (选修12P 31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________ .答案：14解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h ，底面面积为S ，正四面体SABC 的内切球的半径为R ，球心为O ，连结OS 、OA 、OB 、OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V S ABC ＝V O SAC＋V O SAB ＋V O SBC ＋V O ABC ＝13SR ＋13SR ＋13SR ＋13SR ＝43SR ＝13Sh ，所以R ＝14h.5. (2013·镇江期末)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝________．答案：1－1（n ＋1）·2n1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为________．答案：80解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n∈N *)的整数解(x ，y)个数为4n ，故|x|＋|y|＝20的整数解(x ，y)的个数为80.2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．答案：q解析：T n ＝b n1qn （n －1）2，n T n ＝b 1(q)n －1. 3. 若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn，如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，四面体A 1ABC 的直度为________．答案：1解析：n ＝4，m ＝4，m n ＝44＝1.4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0yb2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是________．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝1解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1yb2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1. 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0xa2－y 0yb 2＝1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.[备课札记]。

2014年高考个性化辅导高考真题推理与证明

2014年理科高考数学真题解析分类汇编：推理与证明8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人8．B[解析] 假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．20．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.15．、[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6[解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析] 由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．14．猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．14．F ＋V －E ＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.M2 直接证明与间接证明 4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.M3 数学归纳法 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p . 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数．当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式． (2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ①当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。

2014高考数学(理科)一轮精练M单元推理与证明(2013高考真题+模拟新题).DOC

M 单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理15．B13，J3，M1[2013·福建卷] 当x ∈R ，|x|<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x.两边同时积分得：∫1201dx ＋∫120xdx ＋∫120x 2dx ＋…＋∫120x n dx ＋…＝∫12011－x dx ，从而得到如下等式：1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： C 0n ×12＋12C 1n ×122＋13C 2n ×123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝__________．15.1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1 [解析] (1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n，两边同时积分得C 0n ∫1201dx ＋C 1n ∫120xdx ＋C 2n ∫120x 2dx ＋…＋C n n ∫120x n dx ＝∫120(1＋x)n dx ，得C 0n ×12＋12C 1n ×122＋13C 2n ×123＋…＋1n ＋1C n n×12n ＋1＝1n ＋132n ＋1－1. 14．M1[2013·湖北卷] 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1 000 [解析] 观察得k 每增加1，n 2项系数增加12，n 项系数减少12，N(n ，k)＝k －22n2＋(4－k)n2，故N(10，24)＝1 000.16．B7、M1[2013·山东卷] 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a ≥1，ln ＋(a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b )＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立；③中，当a b ≤1，即a ≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln ab ＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab ＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b ≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln a ＋b2，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b ，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln a ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．14．M1[2013·陕西卷] 观察下列等式： 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n（n＋1）2.M2直接证明与间接证明20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2，…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1，2，3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤a n≤….因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a n＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以A n＝B n＋d n≤B n.又因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.于是，A n＝a n，B n＝a n＋1.因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k<m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m>2，于是，B m＝A m－d m>2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}>1.故d m－1＝A m－1－B m－1<2－1＝1，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.M3数学归纳法M4 单元综合1．[2013·黄山质检] 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k(k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)1．B [解析] 根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k(k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故答案为B.2．[2013·石景山期末] 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是a －b ∈[0]．其中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．C [解析] 因为2 013＝402×5＋3，所以2 013∈[3]，①正确．－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确．因为整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类，所以③正确．整数a ，b 属于同一“类”，则整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是a －b ∈[0]，故④正确．所以正确的结论个数为3，选C.3．[2013·汕头期末] 已知2＋23＝2 23，3＋38＝3 38，4＋415＝4 415，若6＋a t ＝6 a t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a －t ＝________．3．－29 [解析] 类比等式可推测a ＝6，t ＝35，则a －t ＝－29. 4．[2013·福州期末] 已知点A(x 1，ax 1)，B(x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1，sin x 1)，B(x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x(x ∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．4.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22[解析] 函数y ＝sin x 在x ∈(0，π)的图像上任意不同两点A ，B ，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，所以sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.[规律解读] 类比推理中的结论要注意问题在变化之后的不同，要“求同存异”才能够正确解决问题．5．[2013·云南师大附中月考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为________．5．x ＋2y －z －2＝0 [解析] 设B(x ，y ，z)为平面内的任一点，类比得平面的方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.6．[2013·黄山质检] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝log n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)．定义：使乘积a 1·a 2·…·a k 为正整数的k(k ∈N *)叫作“简易数”．则在[1，2 012]内所有“简易数”的和为________．6．2 036 [解析] ∵a n ＝log n (n ＋1)＝lg （n ＋1）lg n，∴a 1·a 2·…·a k ＝1·lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg （k ＋1）lg k ＝lg （k ＋1）lg 2＝log 2(k ＋1)，则“简易数”k使log 2(k ＋1)为整数，即满足2n ＝k ＋1，所以k ＝2n －1，则在[1，2 012]内所有“简易数”的和为21－1＋22－1＋…＋210－1＝2（1－210）1－2－10＝1 023×2－10＝2 036.。

高考数学一轮检测第18讲推理与证明精讲精析新人教A版

（考黄金）2014届高考数学一轮检测第18讲推理与证明精讲精析新人教A 版2013年考题1.（2013江苏高考）设≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。

满分10分。

证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0，即3332a b +≥2232a b ab +.2.(2013山东高考)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n n b b b b b b +++>成立【解析】因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r=+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅L .下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅>L 成立.当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立.假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······2462k k b b b k b b b k ++++=⋅⋅>L 成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123·······246222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+L2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立. . 由①、②可得不等式恒成立.2012年考题1、（2012安徽高考）设数列{}n a 满足3*110,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N --∈…; （Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c ++>+-∈-L【解析】（Ⅰ）必要性：∵120,1a a c ==-，又∵2[0,1]a ∈，∴011c -剟，即[0,1]c ∈.充分性：设[0,1]c ∈，对任意*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈.当1n =时，10[01]a =∈，. 假设当n k=时，[0,1](1)k a k ∈…，则31111k k a ca c c c +=+-+-=„，且31110k k a ca c c+=+--厖，1[0,1]k a +∈.由数学归纳法知，[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立. (Ⅱ) 设103c <<，当1n =时，10a =，结论成立；当2n …时，∵311n n a ca c -=+-，∴3211111(1)(1)(1)n n n n n a c a c a a a -----=-=-++.∵103c <<，由（Ⅰ）知1[0,1]n a -∈，∴21113n n a a --++„且10n a -…， ∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c --------=L剟剟，∴()113,*n n a c n N --∈….(Ⅲ)设103c <<,当1n =时，2120213a c =>--，结论成立；当2n …时，由(Ⅱ)知()1130n na c -->…，∴21212(1)1[1(3)]12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ---->-=-+>-.∴222222112212[(3)(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++L L L 2[1(3)]2111313n c n n c c -=+->+---.2、（2012上海高考）已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++L ．（1）若1231264a a a a ++++=L ，求的值；（2）求证：当是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数，使得在121m T +，122m T +，L ，1212m T +中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．【解析】（1）12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴= ………………..4分（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分（3）()1241.m T m m =-≥121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;n n n n n n m m T m n m m T m r n m m T m r n m m T m r n m m T m =++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分3、（2012浙江高考）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121•++∈=-+N n a a a n n n ．记n n a a a S +++=Λ21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。