一类二阶微分方程三点边值问题的正解
一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性
解以及多个正解 的存在性． 抽象空 间中带脉冲的奇异边 值问
题是脉冲微分方程领域 比较新的分支 ， 文献 ［ ． ］ ７ 【 分别讨 论 ］８
了两类奇异脉 冲微分方 程解及正解 的存在性 ． 文献【】 Ｒ １在
ｙｘ ．∈ＣＰＰ， ∈ｃＰＸＥＰ，＝ｘ Ｃ［ＥＸ １ ｔ － ∈ＰＩ ［， Ｉ ［ ，］ ｛∈Ｐ ，］ （ｔ ｋ 】ｋ Ｑ Ｊ ｘ） ＞０ ∈
非线性脉冲微分方程是微分方程的一个 重要分支 ， 文献
【 ， 】 ［， 】１１ １【 及 ６ 【 ， ０针对不 同的方程类型， 】２ 】９ ［ 在不同的空 间中分
Ｐ ［Ｅ＝ｘ －￣， （ ｔ 续 ， ｔｔ左 连 续 右 极 限 ＣＪ Ｉ｛Ｊ－ ｘ Ｉ ＃ｔ连 ， ：－Ｅ ’） 在 在 ＝ｋ
引理 ２ ｘ Ｃ【Ｅ ｎｃ［，】 【 ＥＰ ，］ 。’ 是方 程（） 剖 Ｊ ＪＥ １的正解 当且仅 当 ｘ Ｃ［Ｅ是方程（ 正的不动点． ＥＰ ，］ Ｊ ２ ）
则 Ａ在 Ｐ ｃｎ。 ｎ（ ） 中至少有一个不动点． 考察算子方程 Ａ （＝ （ 中 ｘＩｘ１ ） ） 其
解的存在性 ， ２ Ｂ ｎｃ 间中利用严格集压缩算子 范 文【】 ａａｈ空 在
数形式 的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论 了方程（） １的一种特
Ａ（ Ｇ，（ （ｘ） ＋ Ｉ （＋—ｉ （ｘ ） ｘ： （），）（ｄ ∑［ｘ）（Ｏ（ｋ’ ］ ｔ ） ｔ ｓ ｓ ・ ｓ ｋｔ ｔ ｋｔ ㈨ ｓ ｘ ，ｓ ｆ ） （ｋ ｔ ｘ） ） ，
，
ｓ１ｔ ｃ （７ （ ） ｃｔ － ＋ ｑ－ ￣
１ ｅｑ － ｃ
Ｔ≤ｓ ≤１ ｌ ≤ｔ
记 Ｉ ｂ】 。 ＝ ’ ．
一类二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性
文 章 编 号 ： ０ ８ ０ ７ （ ０ １ ０ — ０ ３ ０ １ ０ — １ １ ２ １ ） ２０ ２ — ８
一
类 二 阶 奇 异 微 分 方 程 边 值 问 题 正 解 的存 在 性 苏 源自恒 ， 志 明 ， 郭 白定 勇
（ 州 大 学 数 学 与信 息科 学 学 院 ， 东 广 州 ５ ０ ０ ） 广 广 １ ０ ６
正 解 。 结 果 推 广 了现 有 文 献 中 的相 关 结 论 。 该
关 键 词 ： 阶 奇 异 微 分 方 程 ； 解 ； 值 问题 ； 界 点 理 论 二 正 边 临 中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ １ 文 献 标 志码 ： Ａ
１ 引 言 及 主 要 结 果
在微分 方 程研究 的诸 多方 向中 ， 值 问题 正解 的存在 性具 有广泛 的应用背 景 和重要 的理论 意义 。 边 例
＋ 。 。１ ８ 。 ９ １年 ， ｅｅｔｃ ｉ Ｌ 运用 打靶 法 在 边 值条 件 （ ） ０和 甜 Ｍ ） Ｂ ｒｓｙｋ 等 ４ ０＝ （ 一０下 ， 研究 二 阶微 分 方 程 ＋（ Ｎ一１ Ｉ＝ｆ ｕ 正解 的存 在性 ， 中 ， ） ｔ （） 其 Ⅳ＞ １ 正整数 。２ ０ 为 ０ ５年 ， ｏ ｈ ｕ ｅ等［改 进 了文 献 Ｅ ］ Ｂ ｎｅｒ ５ ４ 的 方 法 ， 与 文 献 Ｅ － 同的边 值 条 件 下 ， 正 整 数 Ｎ＞ １ 推 广 到任 意 实 数 正 ０ 研 究 了二 阶微 分 方 程 在 ４相 ］ 将 ， ＞ ，
（） １
（） ２
其 中 ， Ｅ（ ， × ，（） 一个 连续 函数 ， ０ 一０ 故 方程 （） ￡ Ｍ Ｏ ＋ｃ ） ｃ￡是 ３ Ｐ（ ） ， １ 在 一０处具 有奇 异性 。 在本 文 中 ， 如下 的基本 假设 ： 作
一类二阶三点非齐次边值问题正解的存在性
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈｓｐ ｐ ｒ ｗ ｕ ｙｔ ｅｅ ｉ ｅ ｃ ｆ ｏｉ ｖ ｏｕｉｎｏ ｅ ｉｄ—ｏ ｄ ｒ ｈｅ ｓ ｒ ｃ ｎｔｉ ａ ｅ ， ｅ ｓ ｄ ｈ ｘｓ ｎ ｅｏ ｐ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｆ ａ ｓｃｎ ｔ ｔ ｉ ｏ ｒｅ ｔｒｅ—ｐ ｉ ｔ ｏ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｏ ｎ － ｏｎ ｎ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｂ ｕ ｄ ｎ ａｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｒ ａ ｗ￣ｅ Ｂ ｓｎ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ， ｅ ｇ ｔａｒ ｓｌ ｏ ｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ｅ ｐ ｓ ｉｅ ｓ ｌｔ ｎ ｕ ｍ． ｙ ｕ ｉｇ Ｓ ｈ ｎ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏｅ ｗ ｅ ｕｔｆ ｔ ｘｓ ｎ ｅｏ ｔ ｏ ｉ ｖ ｏｕｉ ． ｉ ｔ ｅ ｈ ｔ ｆ ｈ ｔ ｏ Ｋｅ ｗ ｒ ｓ Ｂ Ｌ１ａ ｙｖ ｌ ｅ ｐ ｙ ｏ ｄ ｏｕｄ ｒ ａｕ ｗ￣ｅ ｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ ｅ ｉ ｅ ｃ ｆｔｅ ｐ ｓ ｉｅｓ ｌｔ ｎ ｍ ｉ ｄ ｐ ｉｔｔ ｏ ｅ ｘｓ ｎ ｅｏ ｏｉ ｖ ｏｕｉ ｘ ｈ ｔ ｈ ｔ ｏ
１ 引 言
非线性 微 分方程 边 值 问题 的研究 首先 是 由 Ｉ’ Ｉｉ 始的 ， ｕｔ讨 论 了几类 三 点 问题 。后 ｎ开 Ｇｐ ａ
来更多的多点边值 问题引起人们更加普遍的兴趣。刘斌 ［］ １ 讨论了下面的边值问题 ：
（ ） （ ）（ （ ） ＝ （ ＜ｆ ） ｕ（） ０ ｕ １ ＝Ⅱ （ ） ｆ ＋Ⅱ ｆ 厂ｕ ｆ） ｏｏ ＜１， Ｏ ＝ ， （ ） ｕ 叩 （ ．） １１ 其中 ０ ＜１０ ７ ， ＝［，］ Ｅ Ｃ ［ ， ＜ａ ， ＜７ ＜１， ０ １． （０ ＋∞）［ ， ｆ ， ＋∞） ； （ ） （０ １，０ ＋∞）并 ０ ） Ⅱ ｆ ∈Ｃ ［ ，］ ［ ， ）
一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌｆ ｈ ｅｇＵ ｉ ｒｉ Ｎ ｔ ａＳ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｉ ｎ ｎｖ ｓｙ（ ａ ห้องสมุดไป่ตู้ ｅ ｅ ｉｏ ） Ｃ ｆ ｅ ｔ ｕ ｌｃ ｎ Ｅ ｉ
Ｖ０． ． １２６ Ｎｏ ３
且
ａ
（－）Ｏ １ｓ ｆ 一． ， ｋｔ） （ｓ ，＝ （＿） １ ｓ ， （ ｓ （ ｓ， １ ）ｔ ） － －－
０≤ ｔ ｓ － ≤ ＜ ｑ ￣
０≤ｔ ≤１且 ｓ ≤ｓ ≥
≤ ｇ≤ ｔ １ ≤
Ｊ１一 （ｓ 。 ＝０－咖２ｄ＋ —咖】 ＜ 。ｂ （￥ （ｓ ｏ８ ｓ ＋ （ ） ｄ １－ ｓ ＜ ）
１ ５言 Ｉ
为 了证明此定理 ， 我们首先做如下准备 ：
２ 预 备 知 识 和 引 理
非线性常微分方程三点边值问题的研究起源于 Ｃｕ ｔ ｐ ［ ａＪ
此后 ，许 多作 者借 助于 Ｌｒｙ ｓｈｕ ｅ 连续性理论及 ｋａ— ｅａ—ｃａｄ ｒ ｒｓ ｎ ｓｌ ｉ ｓ ｏｅ ｋｉ 不动点理论 （ １【 【 【］ 究 了三点边值 问题． ｓ ’ 见【】 】 】 ） ２３４ 研
（． １） １
ｎ： ｎＫ．
那么 Ａ至少有一个不动点在 Ｋｆ（ ＼Ｑ。． ３ ）
引 理 ２２ （ １［１【０） 设 ０ １ ｌ ． ［ 、 、１】 ７ ９ ＜１ ， ＜ ｄＥＲ 则 对 于 ＶＹ ∈
正解 的存在性． 中 ｅ（，） ｔＯ 其 Ｏ１，ｏ ． ＜ 定义 （， ｅｃ ｏ１×ｃ ０１被称 为边 值问题 （ ．） ｕ ） ￣， ｖ （ ） ２ ，） （ １ 的一 １
Ｍａ ． ０ ０ ｒ２ １
一类二阶微分方程边值问题的正解
ｌ（ ＩＩ ｌ ＋ｌ Ｉ ｘｔ ，Ｉ ｌ Ｉ ） １ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
近年 来 ． 分 方程 边 值 问题 正 解 的存 在 性 问题 微
后 ， ，） 用 尺 是一个 Ｂ ｎ ｃ 间 。 ｅ Ｃ ， ｎ ｃ ， ａａｈ空 ｘＰ Ｒ） ２ Ｒ 叫做 问题 （ ．） ） １１ 的解 ， 满足 （．） 它 １１ 中的所 有等式 。
ｆ１
Ｊ＝ｔ ， ＋考 虑如 下脉 冲积 分边 值 问题 ： ｍ （ ｔ。 ｍ）
（） Ｉｆ，（ ｆ） ０ ｆ ＋． ） （） ＝ ， ｌ （
Ａ Ｘ
＂
（ ）Ｅ ， 是 非负 的 ， 且 （， ， ≥１ 里 Ｈ３ Ｌ 【 １ ｇ ０】 并 ０１ ） 这
ｒ１
ｔ ∈Ｊ
Ｊｇｄｒ Ｊ （ｔ 。（ｔ 。ｔ 。 ｔ）ｔ ｇｄ ｔ， ）
要 条件 为 中诸 函数 ） 及其 导数 ） 都在． 一致 有 ， 上
０ ｄ
（ 卜
（
） ＋
ｒ ）
（ 卜
＋∑ （ ｔｌｕｋ，ｔ以 ｆ ＤＡ（） Ｅ — ｔ）
定 理 １ 设条件 ） （ ３ 立 。如 果下 列条 件 之 ： 一／ ） ／成
一
界 且在 每个Ｊ（＝ ， ， ， ， 上等 度连续 。 ｋ ０ １２ … ｋ
令 ． ０１ ， ＝０ ｔ＜ｏ ＜ ＋ １ ，＝ ｛ ， ， ， ０ ｔ １ｔ ：［ 】 ＜ … ＜ １ ， ｔ ｔ ＝ １２
…
意 子 区间 不恒 为 ０ 。 ２ Ｃ ， 。０且 ｈ ） （ ，】 有界 ＝１２ … ， 。 一。 ， ， ｍ）
，
ｔ｝Ｒ ＝［，－ ， ｔ，＋ ， ０ １ … ， １ ｍ， ｍ ， ０ － ＝（ ｌ Ｋ＝ ， ， ｍ一 ， ４ ∞１ ｋ 】
一类变号二阶三点边值问题正解的存在性
ｒ ＋Ａ ｆ （ ｔ ， Ｍ （ ￡ ） ）＝ ０ ， ０＜ｔ ＜１ ，
另外对于 ［ ０ ， １ ］ 上的任一子区间 ， ｈ （ ｔ ） 不恒为零 ； （ Ｈ ３ ）Ａ Ｓ ｈ （ 叼一 ８ ｔ ） ≥ 一 （ ７ ７ ＋ｔ ） ， ｔ ∈［ ０ ， １一 叼］ ， 其 中 ｈ （ ｔ ）＝ｍ ａ ｘ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， ｈ 一 （ ｔ ） ＝一 ｍ ｉ ｎ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， 且
∈［ ０ ， １ ］ ， ｕ （ ０ ）＝ （ ７ ／ ） ， Ｍ （ １ ）＝ １ ３ ｕ （ 叼） 至少一 个正解的存在性．
关键 词 ： 变号 ； 边值 问题 ； 格 林 函数 ； 正 解 中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． １ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ３ － ０ ９ ７ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ０１ － ６ ５ － ０ ４
（ Ｈ１ ） ＿ 厂 ∈Ｃ （ ［ ０， ＋。 。） ， （ ０， ＋ ） ） ， 且ｊ Ｅ 减； （ Ｈ ２ ）ｈ∈Ｃ （ ［ ０， １ ］ ， Ｒ） 且ｈ （ ｔ ） ＞０ Ｉ ， ｔ ∈［ ０ ， ］ ； （ ｔ ） ≤
０ ， ｔ ∈［ ， １ ］ ．
由 Ⅳ部分不同密度 构成 的金属 支索 丝一致 截 面 的振动 问
信 阳师范学 院学报 ： 自然科 ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘｉ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２ Ａ ｐ ｒ ． ２ ０ １ ３
一类奇异二阶三点边值方程组正解的存在性
ｌ Ｅ Ｑ－Ｎ ｌ ， ａ Ｋ，Ｉ ≤ ｌ １ １ Ａｕ
容易证明： 如果 （） Ａ在 ｃ ｏ １ 中的一个 ｔ是 ［ ，］ 不 动点 ， 么边 值 问题 （ ．） 那 １ １ 有一个 解 （ ， ， 中 “ ）其
Ｉ ， ｎ Ｋ， ｌ ｕＥ ａ “
那 么 Ａ 至少 有一 个不 动点在 Ｋ Ｎ （ ＼ 。 Ｑ ） 引 理 ２２ ． 列边值 问题 设 ａ≠ １则 对 于 ｙＥ ｃ－ ，］下 ， ｌ １， ｏ
研 究 的文 章却 很少 见 。 文献 ［ ］ 究 了一类 二 阶 三 ７研
定 义 （ ）∈ Ｃ（ ，） ０ １ 被称 为边值 ， ０ １ ×ｃ（ ，） 问题 （ ．）的 一 个 正 解 ， 果 （ ， ）满 足 边 值 问 题 １１ 如 Ⅱ秽
（ ．） １ １ 且对于 Ｖ ∈ （ ，）有 （ ）＞ ０ （ ）＞ ０ ０１， ， ｔ 。
２ １ 年 ８月 ０１
廊坊师范学 院学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ａ ｇａｇＴ ａｈｒ Ｃ Ｕｇ （ ａｕｎｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｎ ｆｎ ｅｃｅｓ ｏ ｅｅ Ｎ ｔｒａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｌ ｅ ｉ
Ａｕ ２ ｇ． ０１ｌ
第 １ 卷 第 ４期 １
ｆｔ （， ）≤ Ｐ （ ） １ ， （ ， ）≤ Ｐ （ ） ２ Ｙ ， １ｔ ｑ（ ｇ ｔＹ ） ２ ｔ ｑ （ ）
点边值方程组正解的存在性 。本文主要研究下列奇 异 非线 性 二 阶三点边 值 方程组
卜 Ｍ ＝ 厂 ｔ ） ｔ （ ， ） （ ， ， ∈ ０ １ ｛ 一 ＝ ｇ（ ， ， ∈ （ ， ） ｔ ） ｔ ０ １ （ ．） １ １ “（ ）＝ （ ）＝０ Ｍ １ ０ ０ ， （）＝ 口 （ ） １ （ ） 叩 ， ）＝ （ 叼
一类奇异二阶三点边值问题正解的存在性
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２一ｌ ｌ 一 ２ １
基金项 目： 甘肃省 自然科 学基金项 目 （ ３ Ｚ Ｓ ４ ２一Ｂ ０ ２ ５—０ ２ １ ） ； 甘 肃省教 育厅科研 项 目（ １ ０ １ ３ Ｂ一 ０ ３ ）
作者简 介： 魏
２ ０
嘉（ １ ９ ８ ２ 一） ， 男， 甘 肃靖远 人． 讲 师， 硕士 ， 主要从 事微分方程边值 问题研 究．
一
类奇异 二阶 三点边值 问题正解 的存在性
魏 嘉， 王 静
（ 甘 肃联 合 大 学 师 范 学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要： 运 用锥 上的 Ｇ ｕ ｏ —Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ ’ ｓ不动点定理证明 了奇异二阶 三点边值 问题 一 ＝ Ａ ｈ （ ｔ ） ｔ ， Ｈ ） ， ０
Ｉ
— 一
一 一 ．
方程多点边值问题受到了广泛 的关注 ， 其研究成 果 如文 献 ［ ２— ６ ］ ． 在文 ［ ２］ 中， Ｓ ｕ ｎ和 Ｗｅ ｉ 通 过 运
用 锥上 的拉 伸与 压缩 不动 点定 理证 明了半 正二 阶 三 点边值 问题 ｕ ” ＋Ａ ｆ （ ｔ ， ｕ （ ｔ ） ）＝ ０， ０＜ｔ ＜１ ， ｕ （ ｏ ）
＜ ｔ ＜ １ ， ｕ （ ０ ）＝ｏ ｔ ｕ （ ｒ ／ ） ， “ （ １ ）： （ ）至 少一 个或 两个正解的存； 锥不动点定理 ； 正解
中图 分 类 号 ： ０ １ ７ ５ 文 献 标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ ４— ５ ２ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ ２ ０— ０ ４
魏
嘉， 王
静： 一类奇异二阶 三点边值 问题 正解的存在性
一类二阶三点奇异脉冲微分方程边值问题的多个正解
摘要： 利用不动点指数， 研究了一类二阶三点奇异脉冲微分方程边值问题 ， 在一定的条件下得到了此类
方程至少存在两个正解．
关键 词 ： 奇异； 正解； 格林函数； 全连续算子； 不动点指数 中 图分类 号 ： １７９ Ｏ ７． １ 文献标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ １ ３７２０ ）１ ０９０ １０— ３（０８０— ３—４ ５ ０
其 中 ｎ：０ １一 ［ ，。 （ ， ） Ｏ 。 ）是连 续 的 ， 并且 在 ｔ ，一１处 可 能奇 异 ， ＜ ｔ＜￡…＜ ＜ １是 给定 的．Ｊ （ ，） ＝０ ￡ Ｏ 。 一 ０１，
Ｒ 一（ ，。 ， Ｅ Ｃ Ｉ ， ） Ｊ ∈（ ， ） Ａ 一 ０ 。 ） ｆ （ ×Ｒ Ｒ ， Ｒ Ｒ ， ｘ ｌ 一 （ 一 （ ）， 里 （ ￡ ） 这 ￡ ）是 ３ （） ｔ ２ ￡在 ＝ｔ
性 或次线 性 ， 用不 动点 指数 得到 了 方程 的两个 正解 ． 运
为 了方便 起见 我们 列 出本文 使用 的假 设
（ ） Ｈ。
一［ 。Ｏ 。， ｆ ∈
，
＞ Ｒ 。， ｉ ｌ ｍ
—
１ ３
一∈１ Ｚ ＞。 满 Ｒ Ｚ 。ｎ Ｒ且 足。／＋ ｏｆ ｆ． ｉ ［ Ｏ ３ ， 一Ａ专 ５ ．
一类二阶微分方程三点边值问题对称解的存在性
文章 编号 ：６３— ０７ ２０ ）６— ４ ６— ３ １７ ２５ （０ ８ ０ ０ ８ ０
一
类 二 阶微 分 方 程三 点边 值 问题 对 称解 的存 在 性
．
宋
姝 ， 张玲 玲
（ ．山西工程职 业技 术学 院基 础部 ， １ 太原 ０００ ２ ３０ ９； ．太原理 工 大学数 学 系， 太原 ００２ ） ３０４
在 －超线性 增长 或 次线 性增 长 的前提 下 ， 明 厂 证
（ ｆ ∈ Ｃ ［ ，］Ｘ［ ，＋∞ ） ［，＋∞） ， Ｈ） （０１ ０ ，０ ）对
Ｖ ｕ∈［， ∞］ ・ ） ０１ 上关于 ＝ ０ ＋ ， 在［， “ ］ ÷对称。
（ （） ∈ Ｃ ［ ，］ ［ Ｈ） ｔ （ ０ １ ，０，＋∞ ） ）在 ［ ，］ ０ １
摘 要： 讨论 了边值 问题 一ｕ （）（，（） ， （ ）“（ ）一 （ ）＝“ ＝ ， ￡ｕ ｆ ） ｕ １ ０ １ （１） 当 面（） ￡ｕ ￡ ，）满
．
足适 ＂的条件 时， ３ － 根据 Ｌ ｇｅｔ ｌａ 三解 定理 ＇ ｅｇ ｔＷｉｉｍｓ — ｌ 得到 了这 类边值 问题三 解存在 的充分条件 ， 改进 了相
分方程多点边值问题解的存在性 ， 许多学者 已进行
了研究 ， ¨ 。 见 ４ 。然 而 关 于 微 分 方 程 的对 称 正 解 的
一
ｆ ∈ ：≤ ， ） “ 一）（ ≥， “） Ｅ ｏ（ ＝（ ， ） ０ （ Ｍ ｕ １
是 Ｅ中的锥 。
文献数 量非 常有 限 。 ２０ ０７年 ， 文献 ［ ］ 究 了问题 ５研
第２ ９卷
第 ６期
太
原
科
技
大
学
学
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
对所 有 ∈ｃ［ ，］边 ｏ１ ，
作者简 介 ： 李刚钊 （９ ５一）男 ， １８ ， 湖南衡 阳人 ， 南华大学数理学院硕士研究生． 主要研 究方向 ： 分数 阶微分方程
８ ２
南华 大学学报（自然科学版 ）
２１ 年 ｌ ０１ ２月
值 问
ｌ
ｆ ＋ｖ ￡ 一。 。 ￡ １ ｆ、
）Ｉ≤ ｌ（ ，）Ｉ， 义集合 Ｉ Ｉ ｕ Ｉ定
＝
｛ Ｍ ） （ ）ＥＰ，Ｉ “ ）Ｉ≤ ｝ （ ， Ｉ ， Ｉ（ ， Ｉ ｌ ，
则 当（ ，）∈ａ ｎＰ， 。 有 『 （ ，）ｌ≤ ｌ ｕｔ Ｉｄｇ１ Ａ， ，）＝１ Ｊ ｕ ｌ ｌ ，）『 ｅ（ 一 力Ｉ ａ （ ） ， ０ ．
等 价的积 分 方程 ， 用锥 不动 点定理 ， 利 获得 了方程 解 的存 在 性 的充分 条件． 关键 词 ： 正解 ； 三点 边值 问题 ； 不动点 定理 锥
中图分类 号 ： ２ １８ ０ ４． １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｔｈ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎｓｆ ｒ Ｔｈ ｅ － ｉ ｕｎ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｓ ｅ Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｒ ｅ ｐｏｎｔＢｏ ｄａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌｍ
何子 区间上不 一致趋 于零 ．
（ ）ｏ＝ ｌ ｍ ｆ ｉ ｍ
＋
Ａｘ 了 ）＞
＝ｌｒ ｉ ａ
枷
＋
＞ ０，
变量 ， 而是 整体 去考 虑的 ．
讨论 如 下三 点边 值 问题 的 正解 问题 ：
＝
掣 ＞ ＝ ）Ｑ 一 （＞ ｌ — ｉｘ — ｍ ∞ ｇ
，
ｆ ｔ ＋Ａ （）（ ￡ ） ０， ｕ（） ０ ￡厂 （） ＝ ０＜￡ ， ＜１ 【 ｔ （）＋Ａ （）（ （） ００＜ ＜１ ｂ ｔ－ Ｍ ｔ ）＝ ， ｔ ， 厂
一类二阶三点边值问题无穷多个正解的存在性
ｆ （ ）一 （） ‘ ￡ ）一 ０ ０＜ ｔ １ ￡ ￡／（ ） （ ， ＜ ， ，
改进 和 推广文 献 ［ ］的相关 结论． １ 引理 １ ［ 设 ０＜ ｊ １ ａ∈ Ｒ， ７ ， ＜ 则对 Ｙ∈ ｃ［ ， ｏ １， ］ 边值 问题
Ｉｏ一 ，） （ 一 ） （ 一 ，） ｏ （ ， １
ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｌ ｐｅ ｏ ｉ ｖ ｓ ｌｔ ｎ ｆｒ ｉｄ ｏ ｅ ｏ ｄ．ｒ ｅ ｔ ｒｅｐ ｉｔ ｂ ｕ ｄ ｒ ｖ ｌｅ ｘｓｅ ｃ ｆ ｍｕｔ ｌ ｉ ｐ ｓ ｉｅ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ａ ｋｎ ｆ ｓｃ ｎ ． ｄ ｒ ｈ ｅ． ｏｎ ｏ ｎ ａ ｙ ａｕ ｔ ｏ ｏ ．
一
类二 阶三点 边值 问题
［， ） Ｏ ∞ 连续 且存 在 ｔ ∈ （ ， ） 使得 ａ ｔ） ０ 厂： 。 Ｏ１ ， （。 ＞ ；
Ｉ（＋ （ （￡ 一 ， ｔ ＇ ｆ ￡ ａ）ｕ） ０ ＜ ＜１ ） ｔ （） ０ ” ｆ
，ｏ （ ）一 ｏ， １ （ ）＋ ， 叩 （ ）一 ０
摘要 ： 利用 Ｋｒｓｏｅ’ ｉ锥 拉 伸 与 锥压 缩 不 动点 定 理 ， 究 一 类 二阶 三点 边 值 问题 ａｎ ｓｌ ｋｉ ｓ 研
｛。２），，：＜＜ 的解在问， 其穷个解在的分件 进 ）。ｆｕ）０ ｈ正存性题 到无多正存性充条， 和 ｕ）ａ１ ’ ＂－，）（＝０ （：（（ｔ）。 ｔ ｔ） －（ Ｉｔ＋ （ 得 改
汪 灵枝 ， 晓 洁 ， 发 金 姚 秦
ＷＡＮＧ Ｌｎ —ｈ ， ｉｇｚ ｉＹＡＯ Ｘ ａ — ｅ ＱＩ ａｊ ｉｏｊ ， Ｎ Ｆ — ｎ ｉ ｉ
（ 州师 范高 等专科 学校 数学 与计算 机科 学 系 ， 西柳 州 ５ ５ ０ ） 柳 广 ４ ０ ４
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
如果 y≥0 并且 0 ＜ β ＜ u（ t） ＜
t∈ ［η， 1 ］
}
（ 1 － β） t + βη 1 － αη － β（ 1 － η）
∫ （ 1 － s） y（ s） ds，
0
1
0， 1］ × C［ 0， 1］为 Banach 空间并 令 X = C［ 赋予范数为 v） ‖ = max｛ | u | ， | v| ｝ ， v） ∈ X ‖（ u ， （ u ， 其中 w = max w （ t） t∈ ［0 ， 1 ］ v） 是 ． v ） 是式 （ 1 ） ， 当（ u ， 式 （ 2 ） 的解当且仅当 （ u，
同理 | A2 v | =
∫
1 0
G（ t， s） b（ s） f（ u（ s） ） ds s） b（ s） ） ds ∫ G（ t，
0 1
≤L
v） ‖ = max ｛ | A1 v | ， | A2 u | ｝ 有界， 因此‖A（ u， A 有界． （ c） 从（ a ） 知道 A 对 （ u， v ） 连续， v） 对 t 而 （ u， ［ 0 ， 1 ］ ， A 在闭区间 上连续 所以 是等度连续映射． Ascoli 定理［ 5］得知 A 是全连续 根据 Arzela映射．
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
李刚钊， 欧阳自根
（ 南华大学 数理学院， 湖南 衡阳 421微分方程的三点边值问题的正解 ， 通过将微分方程转化为 ， ， 等价的积分方程 利用锥不动点定理 获得了方程解的存在性的充分条件 ．
关键词： 正解； 三点边值问题； 锥不动点定理 中图分类号： O241. 81 文献标识码： A
0
1
0
+ ε） H1
1 － αη － β（ 1 － η） · 1 － β + βη
一类二阶三点边值问题正解存在性
（，）∈ ［ ，】 ｔｕ ０ １ ｝×【 ＋∞） ０． ｝＝一Ｍ ＜０，
（２ Ｈ ）一∞ ＜ ｉｆｇ ｔＭ ： ｎ ｛ （ ， ）
１９ ９９年， 马如云首先研究三点边值问题 『 ” （） ｕ ＝０ ＋口 ￡ ） ，
【 （ ）＝０ ａ （ ） ＝Ｍ １ ， ＜叼 ＜１ ｕ０ ，ｕ 卵 （ ）０ 正解 的存 在性 ， 出研究 这类 问题 的关 键条 件 提 ０＜口７＜１， 在非 线性项 满 足超线 性或 次线 性 的 ７ 并 前 提下 ， 立 了正 解 的存 在 性 结 果 ． 后 ， ａａ ｏ． 建 此 Ｋ ｒｋ ｓ
一
类 二 阶 三 点 边 值 问题 正福建 泉州 ３２ ０ ） ６０ ０
摘
要： 二阶边值 问题在控制理论 中有 重要 的应 用价值。Ａ－］ ４ 常常需要 知道在非 线性项满足超 线性或次线性的情况 ＇ ｔ
下正解的存在性的结论 。文章利 用 Ｋａｎ ｓｇｉ ｒｓｏｅｋＵ不动点定理 ， 立 了一类二阶广 义 Ｓｕｍ—ｉ ｖｌ 边值 问题 在有限区间上 建 ｔｒ Ｌｏ ｉｅ ｕ ｌ
ｔ 和 Ｔｓ ａ ｓＷｅｂ Ｐ ｌ ｉｅ， ｅｗ ｉａ 人 推 ａ ｓ ａｍ ｔ ， ｂ ，ａ ｍｄｓＧ ｅ ｏ等 ｏ ａ ｇ 广 和发展这些 结果 到更 广泛 的边 界条 件 的情形 ．
，
ｇ ｕ ｆ ｔｕ ｉ ＂＋Ａ （ ， ） ＋ｆ
其 中 Ａ ＞０ ＞００ ＜ｒ ， ， ／＜１０＜ａ＜１． ， 并且 作如 下假设 ：
（ ）一∞ ＜ ｉｆ ｔⅡ ： Ｈ１ ｎ ｛ ， ）
ｆ” ｔ“ ｕ ＋ ， ）＝０ ， 【 （ ）＝０ ａ 田 ＝ｕ （ ）０ ＜叼 ＜ １ ｕ０ ，／ （ ） ｚ １ ， 。
ＨＥ Ｊａ － ｎ ｉｎ ｆ ｇ ｅ
二阶三点边值问题正解的存在性
＠
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ． ０ ０ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇ ｇ
二 阶 三 点边 值 问题 正 解 的存 在 性
李娜娜 范进 军
（ 山东师范大学数 学科学学 院， 济南 ２ ０ １ ５ ０４）
摘
要
利用锥拉压定理研 究一类二阶奇异微分 方程 三点边值 问题正解的存在性 ， 改进和推广 了已有 结果 。 二阶方程 三点边值条件 锥拉压定理 Ａ
ｈ ｔ ｌ（ １ｈ （ ， ） （ ，＋∞ ） 其 中 ｑ∈ （）Ｉ ）Ｉ， ： ０ １ ０ ｇ ，
＝ｍ Ｉ ｔ Ｉ 其 中 ∈ ｌ ）ｌ， （
ｃ ，， ）＜ 并 ［Ｐ ＋ 且 詈】 ∞
） 坠 ｇ ［
（ Ｈ）
仙】 ＜
引理 １ 设 Ｓ Ｃ Ｊ 有界， Ｌ在 ＿ 等岗 ， ［ ３ Ｃ （， ＿ ） 且 ｓ ，Ｅ 续 贝 （） ｓ （（）， ．ｆ ＝｛（） Ｓｔ ． 。 ０ ｓ ＝ｌ ５ ）其中 ｓ ） ｔ： ，∈， ｌ （ ｅ ） 引理 ２ … 设 Ｖ＝｛ ） ［ ， 且 存 在 ｇ∈ ｃ ， Ｅ］
理， 研究 Ｂ ｎ ｃ ａａ ｈ空 间中一类 带奇 异 的二 阶微 分 方程
（ｉ ∈Ｐ，Ｉ ｌ＝ｒ ， 不 大 于等 于 ， 当 ｉ ） Ｉ １ 时 且 ｌ ｌ ｓ Ｉ ｌ＝ 时 不小 于 等于 ； 则 Ａ在 Ｐ（ 中至 少具 有一个 不 动点 。 ）
２ 主要结果
边值问题 ， 得到有两个正解存在的结果 。
（） １
并设 Ａ Ｐ ｒ 一Ｐ为严格集压缩算子且满足下面两 ： ｆ） ．
条件 之一 ：
（） ∈Ｐ，ｌ ｌ ｉ Ｉ ｌ＝ｒ ， 不 小 于 等 于 ， 当 时 Ａ 且 Ｉ ｌ ｓ ， 不大 于等 于 ； ｌ ｌ＝ 时
一类广义二阶常微分方程三点积分边值问题正解的存在性
一类广义二阶常微分方程三点积分边值问题正解的存在性汪惠;刘宏亮;欧阳自根
【期刊名称】《南华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(026)004
【摘要】该文运用了格林公式的性质和锥上不动点定理,建立了一个广义二阶常微分方程三点积分边值问题在超线性和次线性条件下至少有一个正解的存在性定理.同时给出了在这一边值条件下至少有两个正解存在的充分条件.
【总页数】6页(P56-60,64)
【作者】汪惠;刘宏亮;欧阳自根
【作者单位】南华大学数理学院,湖南衡阳421001
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带有p-Laplacian的二阶三点微积分边值问题伪对称正解的存在性 [J], 刘洋;柏传志
2.非线性二阶常微分方程四点积分边值问题正解的存在性 [J], 刘宏亮;欧阳自根;汪惠
3.一类二阶奇异微分方程三点积分边值问题的正解 [J], 林秋莲;王全义
4.次线性条件下奇异二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性 [J], 沈文国;宋兰安
5.超线性条件下奇异二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性 [J], 沈文国;宋兰安
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一类奇异二阶常微分方程三点边值问题的多个正解
ｙ ， 一 ｛ 其
却７ ，． ｝
） １ ｚ （ ≤ （ｘ） ｆ ， （ ， ｆ ｃ ≤ ２ ｚ ） ０＜ ｆ １ ≤ ；
（ ）ｆ （ ）＞ ０， （ ）＞ ０ Ｈ５ ｌ １ １ ．
定 义 ｌ 若 （） ［ ， ］Ｎ Ｃ （ ， ） （） ｆ Ｅ ｃ ｏ １ ０ １ ， ｆ 满
。卜㈤ 而 ＜ ｄ ＜
Ｉ ｌ＜ １ ｌ Ｉ ｌ ＜ ｌ
，
则 （） １ 至少有两个 ｃ ｏ １ ［ ，］正解 ，。 足 ０＜ ｒ 满 ＜ ＜ Ｒ， 中 ｒＲ为给定 的常数． 其 ， 证 明 对 于 任 意 取 定 的 （）∈ ｃ ｏ １ ， ｆ ｆ ［ ，］ （）
边 值 问题
Ｇｔ ）：』 — ，≤ｓ、 、 （ ｓ： Ｊ — ｏ 、 ≤ ， （ ） ， （） ６ ，）一 ｓ ≤ ６
ｌ（ ｆ １一 ｓ ， ） ０≤ ｔ≤ ｓ≤ １ ・
Ｃ（Ｏ Ｃ ） ［ ，× ） ［ ，３ ，Ｏ Ｃ ） ； × ３
（ Ｈ ）存 在常数 － （ ， Ｏ＜ －≤ － １ ，２ ≤ ） ，
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ． ０７
文 章 编 号 ：１ ０ － １ ０ ２ ０ ） ２ ０ ７ － ３ ０ ０ １ ９ （ ０ ７ ０ － １ ６０
一
类奇异二阶常微分方程三点边值 问题的多个正解
沈 文 国
（ 州工业高等专科学校 基础学科部 ， 州 ７０５） 兰 兰 ３ ０ ０
ห้องสมุดไป่ตู้
摘
要 ：讨论 一 类 奇异 非 线性 二阶 常 微分 方 程 三点 边 值 问题 正解 的存 在 性 问题 ， 先 得 出 与 所 研 究 首
奇 异 边 值 问题 等 价 的积 分算 子 方 程 ， 次是 在 ｏ ｏ １空 间上 构造 锥 并 且 证 明算 子 在所 构 造 的锥 上 是 其 Ｅ ，］
微分方程的边界值问题
微分方程的边界值问题微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种变化和关系。
边界值问题是微分方程的一个特殊类型，它在许多实际问题中具有重要意义。
本文将介绍微分方程的边界值问题并探讨其应用。
一、什么是微分方程的边界值问题是一类特殊的微分方程问题。
在这类问题中，除了给出方程的微分形式，还需要给出边界条件，即在特定的边界位置上给出方程解的值或导数值。
边界条件的给定使问题具有唯一的解。
二、一阶我们先来看一阶微分方程的边界值问题。
一阶微分方程是指方程中出现的最高阶导数为一阶的微分方程。
常见的一阶微分方程的边界值问题为：y'(x) = f(x, y(x)), a ≤ x ≤ by(a) = α, y(b) = β其中，y'(x)表示y关于x的导数，f(x, y(x))是给定的函数，a和b是给定的边界值，α和β是给定的常数。
三、二阶接下来我们讨论二阶微分方程的边界值问题。
二阶微分方程是指方程中出现的最高阶导数为二阶的微分方程。
常见的二阶微分方程的边界值问题为：y''(x) = f(x, y(x), y'(x)), a ≤ x ≤ by(a) = α, y(b) = β其中，y''(x)表示y关于x的二阶导数，f(x, y(x), y'(x))是给定的函数。
四、边界值问题的应用微分方程的边界值问题在科学和工程领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，边界值问题可以用来描述杆、梁、薄膜等结构的变形情况。
在工程学中，边界值问题可以用来计算流体的流动状态和热传导问题。
在经济学中，边界值问题可以用来分析市场行为和经济增长。
五、总结微分方程的边界值问题是微分方程中重要的问题类型，它描述了在特定的边界条件下微分方程的解。
一阶和二阶微分方程的边界值问题是常见的类型，其应用广泛且多样化。
边界值问题在自然科学、工程技术和社会经济等领域都具有重要的作用。
在解决实际问题时，我们需要根据具体情况选择适当的微分方程模型和边界条件，并运用合适的数值或解析方法求解。
一类二阶常微分方程组边值问题三个正解的存在性
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅｐｒｂｅ ；ｐ ｓｔｖ ｏｕ ｉｎ ； ｙｗｏ ｄ ：ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｏ ｌｍ ｏｉｉｅｓｌ ｔｏ ｓ
ｏ ｎ ；ｃ ｎ ｐ ｉｔ ｏ ｅ
１ 问题 的提 出
现代工程技术领域有许多问题可转化为微分方 程或方程组 的边值 问题． 关于边值问题解及正解 的
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上 海 理 工 大 学 学 报
第２ ９卷 第１ 期
Ｊ ．Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｈ ｎ ｈ ｉｏ ｃｅ ｃ ｄＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｉｅｓｔ ｆＳ ａ ｇ ａ ｆｒＳ ｉｎ ｅａ ｃ ｎ ｌ ｎ ｇ Ｖｏ． ９ Ｎｏ １ ２ ０ １２ ． ０ ７
研究受 到 了 中外 学 者 的广泛 关 注 ， 取 得 了一 定 的 并
（ Ｕ （ ） ｈ （ ） １Ｕ （ ）Ｕ （ ） Ｅ） ｔ ＋ １ｔ ｆ （ １ｔ ， ２ ｔ ）＝ ０ １ “ （ ） ｈ （ ） ２Ｕ （ ）Ｕ （ ） ｔ ＋ ｔ ｆ （ １ｔ ， ２ ｔ ）＝ ０ ２ ａ Ｕ （ ） １ （ ） １ １０ 一 Ｕ ０ ＝ ） Ｕ （ ） １ （ ） ， １１ ＋ Ｕ １ ＝０ １ ａ Ｕ （ ） ２ （ ） ２ ２０ 一Ｐ Ｕ ０ ＝ ） Ｕ （ ） ２ （ ） ， ２ １ ＋ “ １ ＝０ ２ （） ２ （） １
ＬＧ ｏｓａｇ ＬＵＸ－ｉ ， ＪＡ Ｍｅ， Ｌ Ｃ ｕ－ｎ ， Ｌ Ｆｎ － ｉ Ｉ ａ －ｈｎ ， Ｉ ｉ ｎ ｐｇ Ｉ ｉ Ｉ ｈ ｎｌｇ ｉ Ｉ ａｇｆ ｅ
（ ｏｌ ｅ ｆＳ ｉ ｃ，Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｓａ ｇ ａ ｆ ｒ ｃ ｎｅ ｎ ｅｈ ｏ ｇ Ｃ ｌｇ ｃ ｎｅ ｎｖ ｓｙｏ ｈ ｎｈ ｉ ｏ ｉ ｃ ａ ｄＴ ｃｎｌ ｙ，Ｓ ａ ｇａ ０ ０３， ｈｎ ｅ ｏ ｅ ｅｉ ｆ Ｓｅ ｏ ｈ ｎｈ ｉ ０ ９ Ｃ ｉ ２ ａ）
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[收稿日期] 2009-11-07[作者简介] 王彩华(1971-),女,中国人民武装警察部队学院基础部讲师,硕士,研究方向:微分方程与动力系统。
一类二阶微分方程三点边值问题的正解王彩华(中国人民武装警察部队学院,河北廊坊065000)摘 要 主要应用不动点指数方法,在Banach 空间C [0,1]中研究一类二阶微分方程三点边值问题u !(t )+a (t )f (u (h (t )))=0 t ∀(0,1)u #(0)=0, u ( )=u (1),至少一个或两个正解的存在性,其中 ∀(0,1),0< <1。
关键词 三点边值问题;不动点指数;锥;正解Positive Solutions to Singular Three point Boundary Value Problemsof a Class of Second Order Differential EquationsWAN G Cai huaAbstract I n this paper ,by using the fix ed point methed,w e establish the ex istence of at least one or at least two posi tive solutions to the three point boundar y v alue problem for a second order differential equation in Banach C [0,1]u !(t )+a (t )f (u (h (t )))=0 t ∀(0,1)u #(0)=0, u ( )=u (1)Wher e ∀(0,1),0< <1。
Key words thr ee point boundar y value problem;fix ed po int index ;cone;positiv e solution∃中图分类号%O 175.8 ∃文献标识码%A ∃文章编号%1674-3229(2010)01-0010-051 引言在1992年,Gupta 首先研究非线性常微分方程三点边值问题。
由于其在物理方面的重要作用,其后三点边值问题的研究引起了许多学者的关注,见文献[2]、[3]、[4]、[5]。
然而,很少有人用非线性泛函方法研究微分方程的三点边值问题。
本文受文献[6]、[7]的启发,研究下列二阶微分方程u !(t )+a (t )f (u (h (t )))=0 t ∀(0,1)u #(0)=0, u ( )=u (1)(1.1)其中 ∀(0,1),0< <1,f &C ([0,+∋),[0,+∋))。
为了导出边值问题(1.1)一解或多个正解的存在性,我们做如下假设:(H 1)a ∀C ([0,1],[0,+∋))且存在x 0∀[0,1],使得a (x 0)>0。
(H 2)h ∀C ((0,1),(0,1])且满足对t ∀(0,1),t (h (t )(1。
定义 u (t )为边值问题(1.1)的正解是指u (t )满足边值问题(1.1)且对于t ∀(0,1)有u (t )>0。
设f 0&=lim u )0+f (u )u,f ∋&=lim u )∋f (u )u。
r = (1- )1- ,m =11- ∗10(1-s )a (s )d s ,l = 1- ∗1(1-s )a (s )d s 。
本文的主要结果如下:定理1.1 假设(H 1),(H 2)成立,并且存在常数b ,c 满足0<b (min 1m,r 2c 使得,(A 1)对于0(t (1,b (u (br2时,有f (u )+1lb 成立;,10,2010年2月廊坊师范学院学报(自然科学版)F eb.2010第10卷第1期Journal of Langfang T eachers College(N aturnal Science Edition)V ol.10No.1(A2)对于0(t(1,0(u(c时,有f(u)( 1m c成立,那么边值问题(1.1)至少有一个正解。
定理1.2 假设(H1),(H2)成立,如果下列假设(A3)f0=f∋=∋;(A4)存在一个常数>0,使得f(u)<1 m,u∀[0,]成立,那么边值问题(1.1)至少有两个正解u1和u2使得0<u1<<u2。
定理1.3 假设(H1),(H2)成立,如果下列假设(A5)f0=f∋=∋;(A6)存在一个常数1>0,使得f(u)>1l1,u∀[r1,1]成立,那么边值问题(1.1)至少有两个正解u1和u2使得0<u1<1<u2。
2 预备引理定义2.1 设E是一个实Banach空间,P是E 中的一个非空、凸闭集,如果P满足下列性质: (B1)对u∀P,!+0,有!u∀P;(B2)若u,-u∀P,则u=∀(∀是E中的零元素),则P是E中的一个锥。
如果P E是一个锥,我们在P中引出序关系−(.:对于u,v∀P我们记作u(v当且仅当v-u∀P。
定义凸集P r,P r(r>0):P r={y∀P y< r},P r={y∀P y(r}。
引理2.2 设K是Banach空间E中的一个闭凸集且设D是一个有界开集使得D k&=D/K0#。
设T&D k)K是一个紧算子。
假设对于!x∀∃D k,有x0Tx:(D1)(存在性)如果i(T,D k,K)00,那么T 在D k中有一个不动点。
(D2)(正规化)如果u∀D k,那么i(u^,D k,K) =1。
其中对于x∀D k有u^(x)=u。
(D3)(同伦性)设%&[0,1]1D k)K是一个紧算子,使得对于x∀∃D k和t∀[0,1]时有x0%(t,x),那么i(%(0,,),D k,K)=i(%(1,,),D k, K)。
(D4)(可加性)如果u1,u2是D k中不相交且相对开子集,使得对x∀D k\(U12U2)时x0Tx,那么i(T,D k,K)=i(T,U1,K)+i(T,U2,K),其中i(T,U j,K)=i(T\∀U j,U j,K)(j=1,2)。
引理2.3 设K是Banach空间E中的一个锥,对于>0,定义&={x∀K x<}。
假设T&&)K是一个紧映射,使得对x∀∃&时,x 0Tx,(E1)如果对于x∀∃&,x(Tx,那么i(T,&,K)=0;(E2)如果对于x∀∃&,x+Tx,那么i(T,&,K)=1。
引理2.4 设 01,则对于y∀C[0,1],边值问题u!(t)+y(t)=0 t∀(0,1)u#(0)=0, u( )=u(1)(2.1)有唯一解,u(t)=-∗t0(t-s)y(s)d s- 1- ∗ 0( -s)y(s)d s +11- ∗1(1-s)y(s)d s。
引理2.5 设0< <1,如果y∀C[0,1]且y+0,那么问题(2.1)的唯一解u(t)满足u(t)+ 0,t∀(0,1)。
引理2.6 设0< <1,如果y∀C[0,1]且y+0,那么问题(2.1)的唯一解u(t)满足mint∀[0,1]u(t)+r u。
3 定理的证明定义P={u u∀C[0,1],u+0,mint∀[0,1]u(h(t)) +r u},显然,P是一个锥。
定义一个算子T&C[0,1])C[0,1],其中Tu(t)=-∗t0(t-s)a(s)f(u(h(s)))d s-1- ∗( -s)a(s)f(u(h(s)))d s+11- ∗1(1-s)a(s)f(u(h(s)))d s(3.1)由Ascoli Ar z ela定理,容易证明T是全连续的。
由引理2.4可知,u(t)是边值问题(1.1)的解当,11,第10卷,第1期王彩华:一类二阶微分方程三点边值问题的正解2010年2月且仅当u 是如(3.1)所定义的算子方程T u =u 的一个解。
因此由t (h (t )(1,t ∀(0,1),我们得到min t ∀[0,1]u (h (t ))+min t ∀[0,1]u (t )(3.2)由引理2.6,我们得到m in t ∀[0,1]u (h (t ))+min t ∀[0,1]u (t )+r u (3.3)这样,由引理2.5和(3.3)表明T (P ) P 。
定理1.1的证明:如果u ∀ P c ,则u (c ,即0(u (t )(c ,!t ∀[0,1],因此有u (h (t ))(c ,由(A 2)有f (u (h (t )))(1m c 。
另外,由于对t ∀(0,1)有a (t )f (u (h (t )))+0及引理2.4和2.5可知,T u (t )+0。
Tu =max t ∀[0,1]Tu (t )=max t ∀[0,1]Tu (t )=max t ∀[0,1]-∗t(t -s )a (s )f (u (h (t )))d s- 1- ∗0( -s )a (s )f (u (h (t )))d s +11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (t )))d s(max t ∀[0,1]11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (t )))d s=11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (t )))d s (11- ∗10(1-s )a (s )d s 11m c =c 因此,T & P c ) P c 。
另外,由f ∀C ([0,+∋),[0,+∋)),(H 1)及引理2.6,我们得到m in t ∀[0,1]T u (t )+r T u ,!u ∀ P c (3.4)其次,当0(t (1,b (u (t )(b r 2,我们得到:b (u (h (t ))(b r2。
由(A 1)我们有f (u (h (t )))+1lb ,又由于(Tu )!(t )=-a (t )f (u (h (t ))),t ∀[0,1],则对于0< <1,min t ∀[0,1]T u (t )=T u (1),而m in t ∀[0,1]T u (t )=Tu (1)=-∗1(1-s )a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗ 0( -s )a (s )f (u (h (s )))d s +11- ∗10(1-s )a (s )f (u (h (s )))d s= 1- ∗1(1-s )a (s )f (u (h (s )))d s - 1- ∗ 0( -s )a (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗10a (s )f (u (h (s )))d s-1- ∗10sa (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗ 0a (s )f (u (h (s )))d s +1- ∗ 0sa (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗10a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗1 sa (s )f (u (h (s )))d s - 1- ∗ 0a (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗1a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗1sa (s )f (u (h (s )))d s + (1- )1- ∗ 0a (s )f (u (h (s )))d s>1- ∗1a (s )f (u (h (s )))d s- 1- ∗1 sa (s )f (u (h (s )))d s =1- ∗1 (1-s )a (s )f (u (h (s )))d s + 1- ∗1(1-s )a (s )d s 1bl =b 。