计算方法课件_易大义主编

则 p(x) = q(x)，
以下我们分别作画
p(x) 与 q(x)的图。
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p(x)

q(x)
上例说明，即使数学上的恒等公式，用计 算机来算，结果也是不一样的。
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§1.2 误差的种类及其来源

一. 误差来源
实 际 问 题 ( 数 学 模 型
高等数学、线性代数、程序设计语言

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教材

《计算方法》,
易大义等,
浙江大学出版社, 2002年第2版
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主要参考书

1.《数值分析引论》,
易大义 陈道琦,
浙江大学出版社, 1998年第1版
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主要参考书

（P11 1.4.4 ）
1 反之，若 er ( x ) 10 ( n1) 2(a1 1) 则x 至少有n位有效数字。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系

证： a1 10m x * (a1 1) 10m，故当x * 因



总成绩：100％。
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课程基本信息

总学时 56
其中上课40学时；上机16学时。

主要讲授如何解决各种工程技术问题，用数学语 言描述问题，即建立数学模型，将之转化为一个 数学问题，寻求合适的近似计算方法，编程计算， 充分发挥计算机的记忆和快速运算功能，寻求最 佳方案。 本课程先修课程为：
插值法 数值逼近 本 课 程 的 内 容 数据拟合的最小二乘法 数值积分和数值微分* 线性方程组的求解 数值代数 非线性方程组的求解 矩阵特征值* 常微分方程的数值方法
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第一章
数值计算中的误差
3 学时
本章内容
§1.1 引言 §1.2 误差的种类及其来源 §1.3 绝对误差和相对误差 §1.4 有效数字及其与误差的关系 §1.5 误差的传播与估计 §1.6 选用算法应遵循的原则 小结 作业与实验
值班军官对连长: 根据营长的命令, 明晚8点哈雷彗
星将在操场上空出现。如果下雨的话, 就让士兵穿 着野战服列队前往礼堂, 这一罕见的现象将在那里 出现。
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§1.2 误差的种类及其来源
连长对排长:
根据营长的命令, 明晚 8 点, 非凡的哈 雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上 下雨, 营长将下达另一个命令, 这种命令每隔 76 年 才会出现一次。
有限过程代替无限过程的误差（无穷级数
右端是截断误差。
x x si n x ( x ) ...... 3! 5!
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3
5
§1.2 误差的种类及其来源
4.

舍入误差 /* Roundoff Error */
计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于 是产生舍入误差。 例如：在 10 位十进制数限制下：
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班长对士兵:
§1.3 绝对误差和相对误差

一．绝对误差 /* absolute error */
设
称
x
——准确值，x * ——近似值。
*
*
e( x ) x x 为 x 的绝对误差(简称误差) | e( x ) | 为 x * 的绝对误差限。

二．相对误差 /* relative error */
注: 四舍五入规则修正为四舍五以上入, 五时若前一
位是偶数则5舍去, 奇数则进一, 以减少积累误差。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系

例4：x 32.93，x * 32.89， ＝ 1 x x * 0.04 0.05 101 2 1 x x * 102 3 2 故 x * 有 3 位有效数字，分别是 3，，。 2 8 由于 x * 中的数字 9 不是有效数字， 故 x * 不是有效数。

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本章要求

1. 熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位, 熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数 值方法； 2. 熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有 效数字概念； 3. 熟悉公式；



4. 熟悉选用算法应遵循的原则。
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联系方式

课程网站
http://202.195.66.5/start/StudyNA/
(校内访问)

E－mail地址
xznuckj@

办公室
泉山9＃701室
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本课程成绩的组成

平时成绩（占15％）：包括出勤、课堂提 问、讨论情况等。 实验成绩（占25％）：包括出勤、实验报 告（预习报告）等。 期末成绩（占60％）。

2.《数值分析基础教程》,
李庆杨,
高等教育出版社,
2001年第1版
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主要参考书

3.《数值方法和MATLAB实现与应用》, （美） Gerald Recktenwald 著 伍卫国 万群 张辉 等译, 机械工业出版社,
2004年第1版

其他各类有关 “数值分析” 和 “计算方法” 的书
有n位有效数字时， 0.5 10m n1 1 r 10 n1 a1 10m 2a1 x 反之，由 1 x r (a1 1) 10 10 n1 2(a1 1)
设 x (0.a1a 2 a n a p )10m (a1 0, p ) 1 若 x * x 10m n ( P10 1.4.2) 2 则说 x *具有n位有效数字，分别是 1 , a 2 , , a n a 若n＝p，则称 x *为有效数。
计算方法
计算机学院
陈克建
诚信声明

本课件中大量采用网络及其他渠道搜集的相关文 字信息和图片信息，这些信息因数量较大，无法 一一列明出处，本人在此郑重声明：这些相关资 料的版权归原作者所有，本文引用仅仅用于教学 目的。如有不妥，请与本人联系，联系方式： xznuckj@。 在此对相关资料的作者所付出的辛勤劳动表示衷 心的感谢，并对作者表示诚挚敬意！ 本人郑重承诺：尊重知识，尊重劳动，尊重版权， 学术诚信。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系

二．有效数位与误差的关系 e ( x *)
1. 有效数位n越多，则绝对误差e ( x ) 越小 （由定义1.4.2 ） 2. 定理：若近似数x 具有n位有效数字，则 1 ( n 1 ) er ( x ) 10 2a1
排长对班长:
明晚 8 点, 营长将带着哈雷彗星在礼 堂中出现, 这是每隔 76 年才有的事。如果下雨的 话,营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 在明晚 8 点下雨的时候, 著名的 76 岁 哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服, 开着他那 “彗星”牌汽车, 经过操场前往礼堂。
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§1.1 引言

解决科学技术和工程问题的步骤:
实际问题 数学问题 提供计算方法
程序设计

的数学模 型简化成一系列算术运算和逻辑运算, 以便 在计算机上求解, 并对算法的稳定性、收敛 性和误差进行分析。
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§1.1 引言

舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。
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§1.2 误差的种类及其来源

据说, 美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右, 哈雷彗星将
可能在这个地区看到, 这种彗星每隔 76年才能看见 一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合, 我将 向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话, 就在 礼堂集合, 我为他们放一部有关彗星的影片。
e( x ) 称 er ( x ) 为 x * 的相对误差。 x * e( x ) 实用中，常用 表示 x 的相对误差。 x 称 er ( x ) 为 x * 的相对误差限。
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§1.4 有效数字及其与误差的关系

一．有效数字 /* significant digits */
例1，例2 的结果的根源 建 立 算 法 截方 断法 误误 差差 ) ( 上 机 计 算 舍 入 误 差
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结
果
模 型 误 差
观 测 误 差
初 值 误 差
)
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§1.2 误差的种类及其来源

二. 误差分类
1.
模型误差（描述误差）/* Modeling Error */ 题之差。
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《计算方法》课程体系

第一章
数值计算中的误差


第二章
第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
插值法
曲线拟合的最小二乘法 数值积分 非线性方程的数值解法 方程组的数值解法 常微分方程数值解法