05-06-3期中高数(B)试卷(A)

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高数b1期中考试试卷(A卷)A4精简版,分值,分类统计(可演示)

河南理工大学第一学期《高等数学b-1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例100%(4分)1．函数1sin )(2+=x x x f 在区间),(+∞-∞内是( )．（A ）有界函数（B ）单调增函数（C ）偶函数（D ）单调减函数等价无穷小(4分)2．当0→x 时，下列与x 同阶但不等价的无穷小量是（）．（A ）x x -sin（B ）x x sin 2 （C ）)1ln(x - （D ）1-x e(4分)2．已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a ．求极限，，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则(4分)3．若极限22arctan lim 2=∞→xx k x ，则=k （）．（A ）2（B ）0 （C ）21 （D ）1(4分)1．若531lim e x k x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→，则=k ． (6分)1．计算极限⎪⎭⎫⎝⎛--+→x x x x 2cos 1)1ln(lim 0．间断点类型判断，导数定义，综合(4分)4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)()(x x x x f x F ，其中函数)(x f 在0=x 处可导，0)0(,0)0(=≠'f f ，则点0=x 是函数)(x F 的（）．（A ）连续点（B ）第一类间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点或间断点不能由此确定间断点类型判断，极限，综合(6分)6．讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性．若有间断点，判断其类型．导数定义(4分)5．设)(x f 可导，|)sin |1)(()(x x f x F +=，若欲使)(x F 在0=x 处可导，则必有（）．（A ）0)0(='f （B ）0)0()0(='-f f（C ）0)0()0(='+f f （D ）0)0(=f(4分)3．已知2)3(='f ，则=--→h f h f h 2)3()3(lim 0 ．(8分)1．设函数)(x f 满足下列条件：(1) 对一切x 、R y ∈，恒有)()()(y f x f y x f +=+；(2) )0(f '存在．证明)(x f 在R 上处处可导．求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法(4分)4．已知函数)(x y y =由方程0162=--++e x xy e y 确定，则=')0(y ．(6分)2．设22ln arctany x x y +=，求dxdy ． (6分)3．已知x x x x y +++=3333，求y '． (6分)5．已知函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 及22dx y d ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式(4分)6．设2sin)(x x f =，则)()26(πf 的值等于（）．（A ）2621- （B ）2621 （C ）262（D ）0泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式(4分)6．函数x x f tan )(=的带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式为．三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题(8分)2．设2e b a e <<<，证明：)(4ln ln 222a b ea b ->-．导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率(6分)4．求函数31292)(23-+-=x x x x f 的极值． (4分)5．椭圆41622=+y x 在点)2,0(处的曲率为．水平，铅直，斜渐近线。

大学高数期中考试试卷

大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。

05-06高数期末(下)试题(A)

中国农业大学2005 ~2006 学年第二学期高等数学（A 、B ）课程考试试题 (A 卷)试题（2006/6）一、填空题（满分15分，每小题3分，共5道小题），请将答案写在横线上.1．函数yz x u 2=在点)1,1,1(P 处沿(2,2,1)方向的方向导数为_____________.2．函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值=___________.3．设L 为圆周922=+y x ，取逆时针方向，则曲线积分⎰-+-L dy x x dx y xy )2()32(2=__________.4．设⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x f 0101)(2，且以π2为周期，则)(x f 的傅里叶级数在点π=x 处收敛于_____________.5．微分方程0)(=++dx y x xdy 的通解为__________________.二、选择题（满分15分，每小题3分，共5道小题），请将合适选项填在括号内.1. 设有直线L :21211-=+=-z y x 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏ （） (A) 垂直； (B) L 在∏上； (C) 平行； (D) 斜交.2．下列命题不正确的是（）(A)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点连续；(B)),(y x f 在点),(00y x 的偏导数存在，则),(y x f 在该点连续；(C)),(y x f 的偏导数在点),(00y x 连续，则),(y x f 在该点可微；(D)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点的偏导数存在.3．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑ydS 的值是（） (A) 334 ； (B) 0； (C) 34； (D) π.4．设α为常数，则级数∑∞=-13]1sin [n nn n α（） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 敛散性与α有关； (D) 发散.5．若21,y y 是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，21,C C 为两个任意常数，则2211y C y C y +=（）(A ) 是该方程的解； (B ) 是该方程的特解；(C ) 是该方程的通解； (D ) 不一定是该方程的解.三、（10分）求过点)2,1,3(0-P 且通过直线12354:z y x l =+=-的平面方程.四、（10分）设函数),(y x z z =由方程)(22z x yf z x -=+确定，其中f 为可微函数，证明：x y z y x z z =∂∂+∂∂.五、（10分）计算积分：⎰⎰⎰⎰+x x x dy y x dx dy y x dx 242212sin 2sin ππ.六、（11分）设)(x f 具有二阶连续导数，1)0(',0)0(==f f ，曲线积分dy y x x f dx y x f xy y x L ])('[])([222++-+⎰与路径无关，求)(x f .解：由xQ y P ∂∂=∂∂，整理得)(x f 满足微分方程2)()(x x f x f =+''七、（12分）求幂级数∑∞=-1121n n n x n 的收敛域，并求其和函数.八、（12分）计算曲面积分⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数.九、（5分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(='=f f ，证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.。

高数期中考试B卷

2018-2019高等数学期中考试试题（第七、八章） 2018.5 A 卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、微分方程 22560d y dy y dx dx的通解是 . 2、微分方程 32329350d y d y dy y dx dx dx的通解是 . 3、微分方程 21y x y 的通解为 .4、微分方程 2230d y y dx得通解是 . 5、微分方程 2221x y y x e 的待定系数法确定的特解形式（不必求出系数）是 .二、选择题（每小题5分，共130分）1、函数221x c y c e （其中12,c c 是任意常数）是微分方程2220d y dy y dx dx的 [ ] （A ）通解；（B ）特解；（C ）不是解；（D ）是解，但不是通解，也不是特解.2、微分方程 ny P x y Q x y （n 为整数） [ ] （A ）当0n 或1时为伯努利方程；（B ）当0n 或1时为伯努利方程；（C ）当0n 或1时为线性方程；（D ）为全微分方程.3、函数 y y x 的图形上点 0,2 的切线为236x y ，且 y x 满足微分6y x 则此函数为 [ ]（A ）32y x （B ） 232y x（C ）333260y x x （D ）323y x x . 4、方程 210cos3x y y y e x 的一个特解应具有形式为 [ ]（A ） cos3sin 3x ea xb x ；（B ） cos 3sin 3x x ae x bxe x ；（C ） cos3sin 3xe ax x bx x ；（D ） cos 3sin 3x x axe x be x . 5、268x x y y y e e 特解形式为 [ ]（A ） 2x x ae be （B ） 2x x ae bxe（C ） 2x x axe be （D ） 2x x axe bxe .6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（） A 2B 4C 3D7. 求点到直线L ：的距离是：（）A 138B 118C 158D 18. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C ，求三角形的面积是：（） A2 B 364 C 32D 39. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D ．10、若非零向量a,b 满足关系式 a b a b ，则必有（）；A a b =a b ；B a b ；C 0 a b =；D a b =0．11、设,a b 为非零向量，且a b , 则必有（） A a b a b B a b a b C a b a b D a b a b12、已知 2,1,21,3,2 a =,b =，则Pr j b a =（）； A 53； B 5； C 3； D13、直线11z 01y 11x 与平面04z y x 2 的夹角为（）A 6； B 3； C 4； D 2．14、点(1,1,1)在平面02 1z y x 的投影为（）（A ）23,0,21；（B ）13,0,22；（C ） 1,1,0 ；（D ）11,1,22．15、向量a 与b 的数量积 a b =（）. A a rj b a ； B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b ．16、非零向量,a b 满足0 a b ，则有（）．A a ∥b ;B a b ( 为实数)；C a b ；D 0 a b ． )10,1,2( M 12213 z y x z )1,0,1(1M )1,1,2(2 M 01 y x17、设a 与b 为非零向量，则0 a b 是（）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．18、设234,5 a i j k b i j k ，则向量2 c a b 在y 轴上的分向量是（）．A 7B 7jC –1；D -9k19、方程组2222491x y z x 表示（）. A 椭球面； B 1 x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在1 x 平面上的投影.20、方程 220x y 在空间直角坐标系下表示（）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 012xy z 则该直线必（）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴. 22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t,则必有（）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ； D 21L L .23、直线 34273x y z 与平面4223x y z 的关系为 ( )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1, a b ,且(,)4a b , 则 a b = ( )． A 1； B1 ； C 2； D.25、下列等式中正确的是( )．A i j k ；B i j k ；C i i j j ；D i i i i ．26、曲面22x y z 在xoz 平面上的截线方程为 ( )．A 2x z ；B 20y z x ；C 2200x y z ；D 20x z y．三、解答题I 微分方程部分1.（10分）求微分方程 ln 1ln xy x y x x 的通解.2、（10分）求2332(64)(126)0x y y dy x xy dx 的通解.3、（10分）求微分方程261dy y x y dx x的通解.4、（10分）求微分方程 0xy y 的通解.5、（10分）求方程 (4)20y y y 的通解.II 空间解析几何与向量代数部分1．分别按下列条件求平面方程(1)平行于xoz 面且经过点 3,5,2 ；(2)通过z 轴和点 2,1,3 ；(3)平行于x 轴且经过两点 2,0,4 和 7,1,5。

苏教版高中数学必修五第二学期期中考试.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏省南通中学2005—2006学年度第二学期期中考试高一数学试卷（时间120分钟，满分150分）第I 卷一、选择题：（每小题5分，共10题，合计50分）1. 直线062=-+-=+ay x y ax 和互相垂直，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．无解2. 在△ABC 中，已知2=b ，A=60︒，B=45︒，则a 的值为（）A ．1 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ． 63. 等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=++a a a a a a ,则75a a +的值为（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．244. 一个三角形三条边之比为6:8:9,那么该三角形是（）Ａ．钝角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．锐角三角形Ｄ．三内角之比为6:8:95. 若)0,0(01>>=-+y x y x ，则11++x y 的取值范围是（）A ．),0(+∞B ．)2,21( C ．]2,21[ D ．)1,21(6. 已知点A(－1,1)，B(3,1)，点C 在坐标轴上，090=∠ACB ，则满足条件的C 有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7. 已知点A （3，1）和点B （4，6）分别在直线3x －2y+a=0两侧，则a 的取值范围是（）A 、a ＜－7或a ＞0B 、a=7或a=0C 、－7＜a ＜0D 、0＜a ＜78. 若不等式02≥+++ax n mx x 的解集为}2,13|{≥-<≤-x x x 或，则n m a ++=（） A ．－4 B ．－6 C ．0 D ． 59. 已知等差数列{}n a 前n 项的和n s ，若,22nm s s n m =则56a a 的值是（） A ．2536 B ．56 C ．911 D ．1113 10. 各项的倒数成等差数列的数列叫做调和数列。

人教A版高中数学必修五高一下期中(B卷)答案.docx

湖北省部分高中春季期中联考高一数学B 试卷参考答案一、选择题二、填空题11、2(1)21(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩12、25 13、1415、4三、解答题16、解：（1）由正弦定理得 3sin sin cos B A B =⋅ tan 3B ∴=6B π∴=……6分（2）由7().12C A B π=π-+=△ABC 外接圆半径R = a 2Rsin A 2 ∴==……8分……10分 1S ab 2∴=1sin C 2=……12分 17、解：设{}n a 公差为d ，则1, 2+d ，4+6d 成等比数列.2(2)46 0d d d ∴+=+∴=或2……2分又{}n a 递增 0d ∴> 故d=2……4分21n a n ∴=- ……6分②1111335(21)(21)n T n n =+++⨯⨯--L 111111(1)()()2335212121n n n n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥-++⎣⎦L ……9分由777152115n n T n n <⇒<∴<+……11分故最大正整数6n =……12分18、解：（1）由题意得(2)cos cos a c B b C -=……2分由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=……4分又1sin 0,cos 2(0,),3A B B B ππ>∴=∈∴=又……6分（2）设AC 边中点为D ，由222117(),(2)242BD BA BC BD BA BC BA BC =+∴=++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2BD =，故AC边的中线的长2……12分（其它解法相应给分）()111111111110.80.3,0.80.3()0.50.3......20.60.5(0.6)......40.60.6}0.60.6}......60.50n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --------=++=∴=+-=+∴-=-≠-=-=-19.解:(1)依题意a a b 且a b a a a a 分a a 分当a 时,{a 当a 时,{a 不分未成等比数列成等比数讨论的扣2分(2)当a 时,a 列由{111111.6}0.6(0.6)()210.60.1() (821)0.40.1() 1.3223238...... 1.3....12n n n n n n n n n a a a a a a a A B n -----=-⋅∴=-⨯=+⨯>>∴≥成等比数列知从第3个星期一开始选的人数超过选a a a 分b 由a b 得故的人数的倍分20、解：（Ⅰ）由1cos ,sin ,33B B ===得由b 2=a c 及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B = 于是BC A C A A C A C C C A A CA2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+=+2sin 1sin sin 4B BB===--------------------6分（Ⅱ）由2cos ,cos ,6,6.1223BA BC ca B B ca b ⋅=⋅====r u r得由可得即由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a ccosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=10.222()222,a c a c ac a c +=++=+=分21、解：（1）设{}n a 公比为q ，由212n n n S S S ++=+12n+212()= 1 20n n n a a a a a +++∴++∴+=12q ∴=- 又1214a a +=- 112a ∴=- 1()2n n a ∴=-. .……6分（2）2n n nnb n a ==⋅ 1212222n n T n =⨯+⨯++⋅L 1212222n n T n =⨯+⨯++⨯L231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯L 两式相减得 212222n n n T n +-=⨯++-⨯L 1(1)22n n T n +∴=-⋅+. .……9分若2(1)(1)n n m T n -≤--对2n ≥恒成立，则1121n n m +-≥- 令11()21n n f n +-=- 121(21)21(1)()0(21)(21)n n n f n f n +++-⋅-+-=<--Q{}()f n ∴是递减数列 . .……13分1()(2)7f n f ∴≤=17m ∴≥故最小值为17. .……14分。

陕西省榆林中学2005-2006学年度第一学期高三年级期中考试理科数学试卷(集合、函数、导数)(附参考答案)

榆林中学2005——2006学年第一学期高三年级中期测试理科数学试题(卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至6页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,各考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{|P x y ==,集合{|Q y y ==,则P 与Q 的关系是 ( ) A.P=Q B.P QC.P ≠⊂QD.P ∩Q=∅2.如果命题p 的逆命题是q ,命题q 的否命题是r ,那么命题p 是命题r 的 ( ) A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.非上述判断3.设复数)(C z i z ∈+在映射f 下的象为i z ⋅,则i 21+-的原象为 ( ) A.i -2 B.i +-2 C.i D.24.设全集}54321{，，，，=U ,集合A B U 、⊂,且}4{=B A ,}52{)(，=B A C U ,则满足条件的集合A 有( )A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知0)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,则=-b a( )A.0B.1C.2D.-16.设定义域为R 的函数)(x f 、)(x g 都有反函数,且函数)2(+x f 和)3(1--x g 的图象关于直线x y =对称,若2003)1(=g ,则)3(f 等于 ( )A.2003B.2004C.2005D.20067.若函数f(x)＝2log (a ax x 32+-)在区间[2,+∞)上递增,则实数a 的范围是( )A.(-∞,4]B.(-4,4]C.(-4,2)D.(-∞,-4)∪[2,+∞)8.若函数)(x f y =的图像可由函数)1lg(+=x y 的图像绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)= ( ) A.110--x B.110-x C.x --101 D.x 101-9.若一系列函数的解析式相同,值域也相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么解析式为2x y =,值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A.4个B.8个C.9个D.16个10.函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如右图所示的一条直线,则y f x =()图象的顶点在( )A.第I 象限B.第II 象限C.第III 象限D.第IV 象限11.设)(x f 、)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时)(x f '⋅)(x g +)(x f ⋅)(x g '＞0,且0)3(=-g ,则不等式)(x f ⋅)(x g ＜0的解集是 ( )A.),3()0,3(∞+-B.)3,0()0,3( -C.),3()3,(∞+--∞D.)3,0()3,( --∞ 12.甲、乙两人同时从A 地赶往B 地,甲先骑自行车到中点后改为跑步,而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车,最后两人同时到达B 地.又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,并且两人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①～④中的某一个来表示,则甲、乙两人的图象只可能分别是( )A.甲是图①,乙是图②B.甲是图①,乙是图④C.甲是图③,乙是图②D.甲是图③,乙是图④高三年级中期测试数学试题(卷)第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意:第Ⅱ卷共4页,用钢笔或圆珠笔在试题卷中写答.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.曲线C:21x e y -=与直线1-=x 的交点为P,则C 在P 处的切线方程是________.14.已知关于x 的不等式b a x b a 2)2(->-的解集是{>x x |3},则关于x 的不等式0<+b ax 的解集是_________.15.设1C 、2C 、3C 、4C 分别表示函数x x f 3)(1=,||23)(x x f =,x x f -=3)(3,||43)(x x f -=的图象,给出以下四个命题:①1C ⊆2C ;②3C ⊆4C ;③1C ∪3C =2C ∪4C ;④1C ∩3C =2C ∩4C .其中正确命题的序号为____________.16.给出下列结论:①“p 且q”为真是“p 或q”为真的充分不必要条件;②“p 且q”为假是“p 或q”为假的充分不必要条件;③“p 或q”为真是“⌝p”为假的必要不充分条件;④“⌝p”为真是“p 且q”为假的必要不充分条件.其中真命题的序号为____________.三、解答题:本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设p:{42|2++=x x y y },q:{a x ax y y 42|2+-=},若p 是q 的充分条件,试求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)平面上有n (n∈+N )条直线,其中任意两条直线都相交,且无三线共点,设这样的n 条直线把平面分成的块数为)(n f .试由)1(f 、)2(f 、)3(f 、)4(f 、…猜测)(n f 的解析式,并用数学归纳法证明你的结论.19.(本小题满分12分)设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-+=>--+=0).( 1)1(0),( ),0( 111)(22x x x bx a x x x x f (1)如果f(x)在x=0处极限存在,求实数a 、b 的值;(2)如果f(x)在x=0处连续,求实数a 、b 的值.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线x ＝1对称.(1)求f(0)的值,并证明f(x)是周期函数;(2)若x ∈]1,0(时f(x)＝x,求x ∈R 时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.21.(本小题满分12分)如图,三个机器人321M M M 、、和检测台M 位于一条直线上.三个机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测,送检程序规定:当1M 把零件送达M 处时,2M 即刻自动出发送检,当2M 把零件送达M 处时,3M 即刻自动出发送检.设2M 的送检速度为, 且送检速度是1M 的2倍、3M 的3倍.(1)求三台机器人321M M M 、、把各自生产的零件送达检测台M 处的时间总和;(2)现要求321M M M 、、送检时间总和必须最短,请你设计出检测台M 在该直线上的位置(M 与321M M M 、、均不能重合).22.(本小题满分14分)已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.(1)求)(x f 、)(x g 的表达式;(2)求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解;(3)当1->b 时,若212)(xbx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.数学答案要点及评分标准一、选择题:每小题5分,满分60分.1.C;2.B;3.D;4.A;5.C;6.D;7.B;8.A;9.C; 10.A; 11.D; 12.B. 二、填空题:每小题4分,满分16分.13.032=+-y x ; 14.}5|{->x x ; 15.③④; 16.①③三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题满分12分.解:p 、q 分别表示函数422++=x x y 与函数a x ax y 422+-=的值域. 由3)1(4222++=++x x x ≥3,知p:y∈[3,+∞). (3分) 而q 受参数a 的影响,须分类讨论.(1)若a =0,则x y 2-=,q:y∈R ,满足p ⇒q;(5分)(2)若a ≠0,则)(x f =a x ax 422+-是二次函数: ①当a ＜0时,q:y∈]14,(aa --∞,此时p ⇒q 不成立; ②当a ＞0时,欲使p ⇒q ,须使[3,+∞)⊆[aa 14-,+∞),314≤-a a ,0＜a ≤1.(11分) 综上所述,a 的取值范围为0≤a ≤1.(12分)18.本小题满分12分.解:2)1(=f ,4)2(=f ,7)3(=f ,11)4(=f ,…,猜测2)1()(+=n n n f +1(n∈+N ). (5分) 证明:(1)1=n 时,已验证2)1(=f 成立;(6分)(2)假设=n k 时命题成立,即f(k )=2)1(+k k +1,再加一条直线l ,则l 必与前k 条直线相交,有k 个交点,这些点将l 分为k +1段,每一段将原平面分为两部分,共增加了k +1个部分,所以f(k +1)=f(k )+k +1=2)1(+k k +1+k +1=2)2)(1(++k k +1, 即=n 1+k 时命题也成立.(10分) 由(1)、(2)两步,可知2)1()(+=n n n f +1对一切n∈+N 成立.命题得证.(12分)19.本小题满分12分.解:(1)-→0lim x f(x)=-→0lim x )11(-+x x b=-→0lim x =++++-+)11()11)(11(x x x x b -→0lim x 211bx b =++;(3分)+→0lim x f(x)=+→0lim x (11122--+x x )=+→0lim x (1)11(222-++xx x )=+→0lim x (21x +)=1;(6分)∵f(x)在x=0处极限存在,∴+→0lim x f(x)=-→0lim x f(x),得2b＝1, 即b=2,a ∈R.(8分)(2)∵f(x)在x=0处连续,∴0lim →x f(x)=f(0).由(1)知,0lim →x f(x)＝1,又f(0)=a,∴a=1;∴a=1,b=2 (12分)20.本小题满分12分.解:(1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数,∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0; (1分) 又函数f(x)图象关于直线x ＝1对称,∴f(x)=f(2-x), f(x+2)=f(2-(x+2))=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数; (3分) (2)由已知x ∈]1,0(时f(x)＝x,又由(1)知f(0)=0, 设x ∈)0,1[-,则x -∈]1,0(,f(-x)=-x, ∵f(x)为奇函数,∴-f(x)=-x,f(x)=x, 即x ∈]1,1[-时f(x)=x ① (5分) 又设x ∈]3,1[,则2-x∈]1,1[-,f(2-x)=2-x,∵f(x)的图象关于直线x ＝1对称,∴f(x)=f(2-x)=2-x, 即x ∈]3,1[时f(x)=2-x ② (7分) 由①与②,知x ∈]3,1[-时f(x)=1-|x-1|. (8分) 设x ∈R 是任意给定的一个实数,则必存在k ∈Z,使得x-4k∈]3,1[-, 从而f(x-4k)=1-|(x-4k)-1|=1-|x-4k-1|,由(1)知f(x)是周期为4的周期函数,即f(x)=f(x-4k), 所以,f(x)=1-|x-4k-1|(k ∈Z), (10分) 如图.(略) (12分) 21.本小题满分12分.解:(1)由题设条件知,检测台M 的位置坐标为0,机器人321M M 、、M 与检测台的距离分别为2,1,3.故机器人321M M 、、M 按程序把各自的生产零件送达检测台M 处的时间总和为.143131212V V V V y =++=(3分) (2)设x 为检测台M 的位置坐标,则机器人321,,M M M 与检测台M 的距离分别为|1||,)2(|---x x 和|3|-x ,于是机器人送交检测台M 的时间的总和为|).3|3|1||2|2(131|3||1|21|)2(|-+-++=-+-+--=x x x V V x V x V x y (7分)只要求|3|3|1||2|2)(-+-++=x x x x f 取最小值.∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤<≤-+--<+-=).3(66),31(12),12(142),2(66)(x x x x x x x x f ,由其图象可知,x∈[1,3]时,所对应的f(x)均取最小值12,即送检时间总和最短为V12.(11分)依题意,检测台M 与321,,M M M 均不能重合,故可将检测台M 设置在直线上机器人2M 与3M 之间的任何位置(不含2M 、3M 的位置),都能使各机器人321,,M M M 的送检时间总和最短.(12分)22.本小题满分14分.解:(1),2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①(1分)又xax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ②(2分) 由①②得2=a . (3分) ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=(4分)(2)由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得知(h 当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. (8分)(3)xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-=', 当]1,0(∈x 时)(x f 为减函数,其最小值为1.令212x bx y -=,322xb y +='则,∵]1,0(,1∈->x b ,∴]1,0(0在>'y 恒成立.∴函数212xbx y -=在]1,0(∈x 为增函数,其最大值为2b-1,依题意⎩⎨⎧≤-->1121b b ,解得11≤<-b 为所求范围.(14分)命题人柳逢祥 2005年28日。

高数(A,B)(上)期中试卷答案(03～09)

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D 二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.,第一类（跳跃）间断点 0=x3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!−+−+−+−+−+−<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()−−x xy e xy dx x xy e5. 6.(1)−−n !222sin 2(cos )2sec ′−+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1. 2.e lim (sin0→+∞=x3. 212(24(1)′=−y e π+ππ 4.设222sin , 1=−=dy d yt dx dx −. 四、（8分）求证，时当 0 >x x x x sin 63<−. (用函数的单调性来证明)五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。

六、（8分）2>−a 时，有两个相异的实根；2=−a 时，有一个实根；2<−a 时，没有实根。

七、（6分）设，对在区间上用罗尔定理即可得证。

3()()=F x x f x ()F x [0,1]八、（8分）所求点为,22P a b )。

2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 2. 3=n 2=−a 3. ()10(0)90=f4.1(1,2−− 5. ()()()()()211,0211−−+<<+−x x x θθ1二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 011lim cot sin 6→⎛⎞⋅−=⎜⎟⎝⎠x x x x 12. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎞−+=⎢⎥⎜⎟++⎝⎠⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e3. ()21e d 2cos e +++=−x yx yx dy x y y x 4. 22223d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==−++22y y t x t t x t t . 5. 1,1,2===a b c 1（注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求）四.(8分) 用函数的单调性来证明。

2005高数B(下)期中课程试卷

一、选择题（每小题4分，共20分）1. 设函数()f x 与()g x 在[,]a b 上连续且都大于零，则在区间[,]a b 上由曲线(),()y f x y g x ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ D ）. （A ）22[()()]ba f x g x dx π-⎰（B ）22[()()]baf xg x dx π-⎰（C ）2|()()|baf xg x dx π-⎰（D ）22|()()|b af xg x dx π-⎰.2.若非零向量b a ,.满足=-b a b a+，则必有（ D ）.（A ）b a +=b a - （B ）b a = （C ）0=⨯b a （D ）0=⋅b a3. 考虑二元函数),(y x f 的四条性质①),(y x f 在点),(00y x 处连续， ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续， ③),(y x f 在点),(00y x 处可微， ④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在，若用“Q P ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ A ）. （A ）②⇒③⇒① （B ）③⇒②⇒① （C ）③⇒④⇒① （D ）③⇒①⇒④ 4. 已知曲线224y x z--=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ C ）.（A ）)2,1,1(- （B ）)2,1,1(- （C ）)2,1,1( （D ）)2,1,1(--5．微分方程1,x y y e a b ''-=+的一个特解应具有形式为（为常数）_______D______. A) x ae b + B)x axe bx + C)x ae bx + D)x axe b +二、填空题（每小题4分，共20分） 1、球面9222=++z y x与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程为。

高等数学期中考试试卷及答案

郑州轻工业学院2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×（每题2分，共10分）1、若数列{}n x 收敛，数列{}n y 发散，则数列{}n n x y +发散．（）2、lim ()x f x →∞存在的充分必要条件是lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在．（） 3、00011lim sin lim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅=．（） 4、lim 1sin x x x→∞= ．（） 5、若()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内连续，且()()0f a f b ⋅<，则()f x 在(,)a b 内有零点．（）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知'(3)2,f = 则0(3)(3)lim 2h f h f h→--= ． 2、1arctan n y x ππ=++，则1'|x y == ． 3、曲线x y e =在点 __ 处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,)e 的弦平行．4、函数ln[arctan(1)]y x =-，则dy = ．5、0x →时，1cos x -是x 的阶无穷小．三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的 ( )．(A) 充分条件；（B ）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件． 2、 ()f x 在0x x =处有定义是0lim ()x x f x →存在的 ( ) (A) 充分条件；（B ）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件．3、若函数22(1)1(),()1+1x x f x g x x x --==-，则（） (A) ()()f x g x =；（B ）1lim ()()x f x g x →=； (C) 11lim ()lim ()x x f x g x →→=； (D) 以上等式都不成立．4、下列命题中正确的是 ( )(A)无穷大是一个非常大的数；（B ）有限个无穷大的和仍为无穷大；(C)无界变量必为无穷大； (D) 无穷大必为无界变量．5、10001lim(1)n n n+→∞+的值是 ( ) (A) e ；（B ）1000e ； (C) 1000e e ⋅； (D)其他值．四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、x →∞ ；2、20ln(1)lim sec cos x x x x →+-；3、0lim x x x +→．五、计算下列各题（每题6分，共18分） 1 21sin x y e =，求dy ；2 3ln x t y t=⎧⎨=⎩，求22d y dx ；3 arctan x y y +=, 求dy dx 。

05-06-3高等数学B期中试卷答案东南大学高等数学试卷

,
1 xn ln(1 x) （2 分+2 分） n1 n
故
n1
n2 1 xn n
x (1 x)2
ln(1
x)
(| x | 1) （1 分）
13．解： 12 5x 6 5x x2
1 1
x
1
（2 分） 1n
1 x
n0
xn 6n
xn , （2 分+2 分）
n0
6
12 5x
6 5x x2
（1 分）， a1 a2 AB 0 ， a1不平行于a2 ，两直线相交（2 分）
n=a1 a2 0, 2, 1 （2 分）得平面方程为 2y z 4 0 （2 分）
五．（16）（本题满分 8 分）方程两边对 x 求偏导： 5z4 z z4 4xz3 z 3yz2 z 0 (1)
an
an
an A
Sn有界（4 分）
则级数
n1
1
an1 an
收敛.（1
分）
七．（18）（本题满分 7 分）
xn
fn (x)
n
C
e
x
fn
(1)
e n
fn (x)
xnex n
（3 分）
n1
fn (x)
n1
xnex n
ex
n1
xn n
ex ln(1 x) ,
x [1,1) （3 分+1 分）
6 yz
z y
z x
3yz2
2z xy
0,得
2z xy
（| 0，0）
3 25
（4 分）
六．（17）（本题满分 7 分）
an
单调递减，an 0

东南大学历年高数期中考试汇编

历年高数期中试卷汇总02-03非电下期中试卷一、单项选择题（2143'=⨯'）在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是：（A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。

1．∑∞=-2ln )1(n n nn（）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n nu （）； 3．3sin313π∑∞=n n n n（）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p xdx（）。

二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设平面01472 =-++z y x ：π及直线32 ,1 ,31-=+==t z t y t x L ：， 332111 2--=+=--z y x L ：，则（）（A ）π∥1L ；（B ）1L ⊥π；（C ）π∥2L ；（D ）2L ⊥π。

2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕x 轴旋转而成的曲面方程为（）（A ）122222=++b z y a x ；（B ）122222=++b y a z x ；（C ）2222b y a x z +=；（D ）12222-+=by a x z 。

3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（）（A ）b a ⊥；（B ）c b ⊥；（C ）a c ⊥；（D ）共面 , ,c b a。

4．两非零向量a 及b 的方向角分别为 , ,γβα及γβα''' , ,，则=) ,cos(b a（）（A）γβαγβα'''+cos cos cos cos cos cos ；（B ）γγββαα'+'+'cos cos cos cos cos cos ；（C）)cos()cos()cos(γγββαα'++'++'+；（D ）)cos()cos()cos(γγββαα'-+'-+'-。

高二数学5月期中阶段性测试试题(共7页)

效实中学2021-2021学年高二数学5月〔期中〕阶段性测试(cèshì)试题一．选择题〔每一小题3分，一共30分〕1、假设集合，那么A． B. C. D.2、袋中一共有15个除了颜色外完全一样的球，其中有10个白球，5，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A. B. C. D.3、甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相纪念，那么甲丙相邻的概率为A. B. C.110D.4、函数，的图像与轴有3个公一共点，求的范围A． B. C. D.5、数列中，恰好有6个7，3个4，那么不一样的数列的个数A． B． C．D．6、给出以下命题：①“〞是“方程〞有实根〞的充要条件；②假设“〞为真，那么“〞为真；③假设函数值域为，那么④命题“假设，那么〞为真命题其中正确的选项是A．①③ B.①④ C. ②④ D.③④7、，那么(nàme)A． B． C．D．8、函数〔其中为自然对数的底数〕，那么使成立的x的取值范围是A． B. C. D.9、随机变量满足，，其中，令随机变量，那么A．B． C、 D．10.函数，假设函数图象上存在两个不同的点与函数图象上两点关于轴对称，求的取值范围A． B. C. D.二．填空题〔单空每一小题3分，多空每一小题4分，一共24分〕11. ▲；12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方(duìfāng)写一条毕业留言，那么全班一共写了______▲_______条毕业留言.13函数_▲； _▲；14. 在的二项展开式中，只有第项的二项式系数最大，那么_▲，假设所有项的系数和为，那么含的项的系数为___▲___.15、函数单调递增区间为 _▲；假设函数的取值范围为 _▲；16、水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购置．甲、乙、丙、丁4位同学前去购置，每人只选择其中一种，这4位同学购置后，恰好买了其中3种水果，那么他们购置水果的可能情况有 _▲种．17、记有3个零点，那么实数的取值范围是 _▲三．解答题〔18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题11分，一共46分〕18、的展开式中，各项系数和与二项式系数和的差为992．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数(xìshù)最大的项．19、 (1)由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数一共有几种？(2)我校高三学习雷锋志愿小组一共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，如今从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多项选择1人，求不同的选取法的种数。

2005~2006第一学期期中考试高三数学试卷

2005～2006第一学期期中考试高三数学试卷说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第П卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

2．请将选择题的答案填涂在答题卡上。

第І卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集U=R ，M={1，2，3，4}，{|1}N x x x R =≤+∈，则M∩C U N=A ．{4}B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4} 2．已知)1,(),2,1(x b a ==，且2+与-2平行，则x 等于A ．1B ．2C ．21 D ．41 3．若0a b <<，则下列不等式不能成立．．．．的是A ．ba 11>B ．b a )21()21(>C ．||||0a b >>D ． 22ab>4．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，则函数)21()21()(--+=x f x f x g 的定义域是 A ．[0,2]B ．]23,21[-C ．]25,21[D ．]23,21[5．设c OC b OB a OA ===,,，当b a c μλ+=，且1=+μλ时，点C 在 A ．直线A B 上B ．线段AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ．直线AB 上，但除去点B6．已知等差数列{a n }的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107．若不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是2131<<x ，则实数m 的取值范围是 A ．]21,34[-B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,C ．]34,21[-D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,348．在△ABC 中，面积22()S a b c =--，则sin A =A ．1715 B ．178 C ．1513D ．1713 9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数cos 2y x =的图象A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 10．已知等差数列{a n }的公差0d <，若4624a a ⋅=，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为A ．50B ．45C ．40D ．3511．实系数方程220x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则12--a b 的取值范围是A ．)1,41(B ．)1,21(C ．)41,21(-D ．)21,21(-12．正实数12,x x 及函数()f x 满足)(1)(14x f x f x-+=，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 A ．4B ．2C ．54 D ．41第П卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

高数b1期中考试试卷(A卷)A4精简版,分值,题型分类统计

河南理工大学第１学期《高等数学b1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例100%收敛数列性质(4分)1．下列命题正确的是 ( )．（A ）有界数列必定收敛（B ）单调数列必定收敛（C ）无界数列必定发散（D ）发散数列必定无界(4分)3．设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且0lim =→∞n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则下列正确的是（）．（A ）+∈<N n b a n n ,（B ）+∈<N n c b n n , （C ）n n n c a ∞→lim 不存在（D ）n n n c b ∞→lim 不存在等价无穷小(4分)2．当0→x 时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（）．（A ）x 2sin 21 （B ）)1ln(x - （C ）x x -sin （D ）x cos 1-求极限，重要极限，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则(4分)1．极限)sin 11sin (lim 0x xx x x -→的结果是( )．（A ）1（B ）0 （C ）1- （D ）不存在 (4分)2．()=-→x x x 101lim． (6分)1．求极限xx x x x sin tan lim 20-→．连续性，间断点类型判断，综合极限，综合导数定义，证明连续 (4分)5．设函数x xe e xf 11321)(++=，则0=x 是函数)(x f 的（）．（A ）连续点（B ）跳跃间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点 (6分)5．求)1()(22--=x x x x x f 的连续区间，若有间断点，指出间断点的类型． (9分) 2. 证明函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=-0,0,1)(2111x e x e x x f x x ，在点0=x 处连续．闭区间上连续函数的性质，证明题，应用根的存在性定理导数定义求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法，相关变化率问题(4分)3．设)45)(34)(23)(12()(----=x x x x x x f ，则=')0(f． (6分)2．设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求dx dy ． (6分)3．求x x y sin =（0>x ）的导数．(6分)6．设⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ，)(t f ''存在，且0)(≠''t f ，求22dx y d ． (6分)7．注水入深m 8、上顶直径m 8的圆锥形容器中，其速率为min /43m ．试问当水深为m 5时，其表面上升的速率为多少？求微分（与求导是等价的）(4分)5．设()21ln x e y +=，则=dy ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式 (4分)4．设x y sin =，则=)10(y （）．（A ）x sin （B ）x cos （C ）x sin -（D ）x cos - (4分)4．设函数)(x f 具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f ='，设2≥n ，且为正整数．则=)()x f n （． (6分)4．已知x x y sin 2=，求）（20y ．泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题(9分)1. 证明罗尔定理．如果函数)(x f 满足：（１）在闭区间[]b a ,上连续；（２）在开区间()b a ,内可导；（３）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，那么在()b a ,内至少有一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率水平，铅直，斜渐近线(4分)1．函数224)(x x f -=的图形的水平渐近线的方程为．。

福建省高二下学期期中考试数学(B卷)试题(解析版)

高二下学期期中考试数学（B 卷）试题一、单选题1．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E =“甲元件故障”，F =“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（）A ．E FB ．E FC ．ED ．F E F ⋃【答案】B【分析】根据并联电路可得答案.【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为. E F 故选：B2．在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则该数列的公差为（） a b n ,a b A ． B ． 1b an -+b an -C ．D ．2b an -+2a bn -+【答案】A【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解.【详解】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项， a b n ,a b 2n +设该数列的公差为，则.d ()211b a b ad n n --==+-+故选：A.3．已知某运动员每次射击击中目标的概率为.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，80%至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生2,3,4,5,6,7,8,9了20组随机数：7527029371409857034743738636 6947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（） A ．0.8 B ．0.75 C ．0.7 D ．0.65【答案】B【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），共有15组， {}2,3,4,5,6,7,8,9即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 150.7520=据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：B.4．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率0.7为（） A ． B ．C ．D ．0.70.910.9730.981【答案】C【分析】分为三种情况：第一次通过，第二次通过，第三次通过，结合相互独立事件概率乘法公式求解.【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为. 0.70.30.70.30.30.70.973P =+⨯+⨯⨯=故选：C.5．已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线（垂足为）:E 2213y x -=F F E B 交另一条渐近线于点，则线段的长度为（） C BCA ．1BC ．2D ．【答案】B【分析】根据已知可推得双曲线的渐近线为，进而得出，即可推得y =60BOC BOF ∠=∠=︒.然后列出直线的方程为，求出点到直线的距离，根据勾股定理得BC FB =FC 20x +=O FC.【详解】由已知可得，，，， 1a =b =2c =所以双曲线的渐近线为，y =所以，所以， 160BOF COF ︒∠=∠=60BOC BOF ∠=∠=︒所以是线段的垂直平分线，所以. OB FC BC FB =因为，， ()2,0F -1FC OB k k =-=所以，直线的方程为，即， FC )2y x =+20x +=，1=所以. BC FB b ==故选：B.6．设分别为椭圆的左､右焦点，点在上，若，12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B C 112F A BF = ，则椭圆的离心率为（） 2125F B F A=C A BCD【答案】C【分析】设，根据题意和椭圆的定义求得，得到，利用勾股定理，得到1BFm =3a m =24AF m =在直角中，列出方程求得，结合离心率的定义，即可求解.290BAF ∠= 12AF F △c =【详解】如图所示，设，因为且，则，1BF m =112F A BF =2125F B F A =122,5AF m BF m ==由椭圆的定义可得，即， 122BF BF a +=3a m =又由，所以，1226AF AF a m +==24AF m =所以，可得，所以224,53,AB m AF m BF m ===22222AB AF BF +=290BAF ∠=在直角中，可得，即，得， 12AF F △2221122AF AF F F +=222(2)(4)(2)m m c +=c所以椭圆的离心率为c e a ==故选：C.7．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，∠AFB 是馈源的方向角，记为，焦点F 到顶点的距离f 与θ口径d 的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线fd馈源的方向角满足，，则其焦径比为（）θtan θ=-A B C D 【答案】C【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛22(0)y px p =>,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2A d y =物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．x 4tan 23θ=p d 2f pd d =【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，22(0)y px p =>,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，代入抛物线方程可得：，解得，2A d y =222d px ⎛⎫= ⎪⎝⎭28d x p =由于22tan2tan 1tan 2θθθ==--tan 2θ=tan 2θ=又，化为：， 22tan228d p d p θ=-2280dp -=解得或（舍） p =p =∴2f p d d ==故选：C .8．在编号分别为的n 名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两(0,1,2,,1)i i n =⋅⋅⋅-枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数如果恰好为i ，则选编号为i 的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（） A ． B ．C ．D ．2n =3n =4n =6n =【答案】C【解析】首先求出两枚骰子的点数之和可能的取值对应的概率，再分别讨论四个选项中的取值对n 应的余数的概率，若每一个余数的概率都相等则是公平的，若不相等则不公平，即可得正确选项. 【详解】由题意知两枚骰子的点数之和为，则可能为，X X 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，，，， ()1236P X ==()2336P X ==()3436P X ==()4536P X ==()5636P X ==，，，，，()6736P X ==()5836P X ==()4936P X ==()31036P X ==()21136P X ==， ()11236P X ==对于选项A ：时，2n =0,1,i =，，()1351023636362P i ⎛⎫==++⨯= ⎪⎝⎭()246421136363636362P i ==++++=所以是公平的，故选项A 不正确； 2n =对于选项B ：时，，3n =0,1,2i =，， ()254110363636363P i ==+++=()363113636363P i ==++=，所以是公平的，故选项B 不正确； ()145212363636363P i ==+++=3n =对于选项C ：时，4n =0,1,2,3i =，， ()351103636364P i ==++=()442136369P i ==+=， ()153123636364P i ==++=()2625336363618P i ==++=因为概率不相等，所以不公平，故选项C 正确； 4n =对于选项D ：时，6n =0,1,2,3,4,5i =，，， ()511036366P i ==+=()611366P i ===()151236366P i ==+=，，， ()241336366P i ==+=()331436366P i ==+=()421536366P i ==+=所以是公平的，故选项D 不正确， 6n =故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解题意，对于所给的值的每一个余数出现的概率相n 等即为公平，不相等即为不公平.二、多选题9．设，是两个随机事件，则下列说法正确的是（） A B A ．表示两个事件至少有一个发生 A B +B ．表示两个事件至少有一个发生 AB AB +C ．表示两个事件均不发生 A B +D ．表示两个事件均不发生 AB 【答案】ACD【分析】根据随机事件的表示方法，逐项判断即可. 【详解】因为，是两个随机事件，A B 所以表示两个事件至少有一个发生，故A 正确； A B +表示两个事件恰有一个发生，故B 错误；AB AB +表示两个事件均不发生，故C 正确； A B +表示两个事件均不发生，故D 正确.AB 故选：ACD.10．某班级体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）A ．乙同学体温的极差为0.2C B ．乙同学体温的众数为，中位数与平均数相等 36.4C C ．甲同学的体温比乙同学的体温稳定 D ．甲同学体温的第70百分位数为 36.6C 【答案】AB【分析】求出乙同学体温的极差即可判断A ，将乙同学体温数据从小到大排列，得到众数、平均数、中位数，即可判断B ，根据折线图判断C ，根据百分位数计算规则判断D ；【详解】对于A ，乙同学体温的极差为，故A 正确；36.536.30.2C -= 对于B ：乙同学的体温从低到高依次为， 36.3C,36.3C,36.4C,36.4C,36.4C,36.5C,36.5C 故众数为，中位数为， 36.4C 36.4C 平均数为，故B 正确； ()136.336.336.436.436.436.536.536.47++++++=C 对于C ：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故C 错误；对于D ：甲同学的体温从低到高依次为， 36.2C,36.2C,36.4C,36.4C,36.5C,36.5C,36.6C 由，可知数据的第百分位数为第项数据，故D 错误. 70%7 4.9⨯=70536.5C 故选：AB11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数，用表x y 示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“”，事件“为奇(),x y A =7x y +=B =xy 数”，事件“”，则下列结论正确的有（） C =3x >A ．与互斥但不对立B ．与对立A B A BC ．与相互独立D ．与相互独立A CBC 【答案】AC【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为个，列举得出事件包含的样本点，36,,A B C 然后根据互斥对立事件的概念以及相互独立，即可得出答案. 【详解】由已知可得，样本空间包含的样本点的个数为个. 36由题可知，“”，“奇数”，“”，A =7x y +=B =xyC =3x >对于A 、B 项，事件包含的样本点有，，，，，，共6个， A ()1,6()2,5()3,4()4,3()5,2()6,1所以. ()61366P A ==事件包含的样本点有，，，，，，，，，共9个， B ()1,1()1,3()1,5()3,1()3,3()3,5()5,1()5,3()5,5所以. ()91364P B ==所以与互斥但不对立，故A 正确，B 错误；A B 事件包含的样本点有，，，，，，，，，C ()4,1()4,2()4,3()4,4()4,5()4,6()5,1()5,2()5,3()5,4，，，，，，，，，共18个， ()5,5()5,6()6,1()6,2()6,3()6,4()6,5()6,6所以. ()181362P C ==事件包含的样本点有，，，共3个， AC ()4,3()5,2()6,1所以，， ()313612P AC ==()()1116212P A P C ⋅=⨯=所以， ()()()P AC P A P C =⋅所以与独立，故C 正确；A C 对于D 项，事件包含的样本点有，，，共3个， BC ()5,1()5,3()5,5所以，，()313612P BC ==()()111428P B P C =⨯=所以，故D 项错误. ()()()P BC P B P C ≠故选：AC.12．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两2:4E y x =F x C l C E ,A B 点，且，下列命题正确的有（）(1)CA CB λλ=>A ．直线的斜率l ()()1,00,1k ∈-⋃B ．若，则 32BF =4AF =C ．若，则 2λ=2AF BF =D ．存在使得平分 λBF AFC ∠【答案】ACD【分析】A 选项，由判别式可判断选项正误；B 选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；121=x x C 选项，如图，过A ，B 作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；11,A B 11AA BB A D 选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义∽BFM AFN A A 60AFN ∠= 12,x x 可求得；方法2，设关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，λB x B ',,A F B '60AFN ∠= 后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用13x =结合，可得，即可得，后同方法tan tan2AFC BFC ∠∠=2122214,x x y x ==22231030x x -+=213x =1.【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线()1,0C -()1,0F l 1x my =-()()1122,,,A x y B x y 方程联立：，消去x 得：.241y xx my ⎧=⎨=-⎩2440y my -+=由题：，又由韦达定理知：. 216160m ->12124,4y y m y y +==A 选项，由题可得或，则，故A 正确； 2161601m m ->⇒>1m <-()()11001,∪,k m=∈-B 选项，由抛物线定义可知：， 2231122BF x x =⇒=+=则，()()()222121212*********x x my my m y y m y y m m =--=-++=-+=得.故B 错误；11213x AF x =⇒=+=C 选项，如图，过A ，B 作准线垂线，垂足为，因，则，11,A B 2CA CB =CB BA =又，则.故C 正确. 11AA BB A 11122BB AA BF AF =⇒=选项D ，方法1：如图，过作x 轴垂线，垂足为N ，M . ,A B 则，11∽BM CB BB BF BFM AFN BFM AFN ANCAAA AF===⇒⇒∠=∠A A 又所以.,BFM AFB ∠=∠60AFN ∠= 注意到：，1260ocos AF AA CN CF FN AF ===+=+则. 1212144333160o,cos AF x x BF BB ==⇒==⇒==-则，即存在满足题意，故D 正确； 11133BB CBCA CB AA CA==⇒= 3λ=方法2：设关于轴的对称点为，则.注意到：B x B '()22,B x y '-()()()()1221212121212122112222FB AF my y my y y y y y k k x x my my my my '----=-=-=------，则三点共线，()()()12122122022my y y y my my -+==--,,A F B '所以，其余同方法1； 60BFM B FM AFB AFN =⇒='=∠∠∠∠ 方法3：若平分，则由角平分线定理可得，BF AFC ∠CF CB AFAB=所以，又，. 11CF CB CB BB BFAF CFAB CBACAA AF ====++2111BF x AF x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩121=x x 即，下同方法1； 2111231x x x +=⇒++21320x x -+=⇒11320x x -+=⇒13x =方法4：只需，即， 2AFC BFC ∠∠=tan tan2AFC BFC ∠∠=注意到，，则 111t an AF y AFC k x ∠=-=--221t an BF y BFC k x ∠=-=-()()()()()()()()()()12222112221222222111122222221112112121111111x x x y x x x x x x y m m x x x x x x y x y x y ++--++-=⇒=⇒=---------，解得或3（舍()()22222211114x x xx -⇒=---()()222222114x x x ⇒--=--22231030x x ⇒-+=213x =去），后同方法1. 故选：ACD【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件.三、填空题13．有5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为_________. 【答案】710【分析】写出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从数字标为1，2，3，4，5的5卡片中随机抽取2张，抽取的结果如下：()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,，共有种，()()()()2,5,3,4,3,5,4,510其中乘积为偶数的有， ()()()()1,2,1,4,2,3,2,4,()()()2,5,3,4,4,5共有种，7所以取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为. 710p =故答案为：710【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、写基本事件个数，属于基础题.14．袋子中有6个大小质地相同的球，其中3个红球，3个黄球，从中不放回随机取出3个球，则概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是__________. 【答案】取出2个黄球（答案不唯一）【分析】事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件，即可得出概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件.【详解】由题意，6个球，3个红球，3个黄球，不放回随机取三球，事件“至多取出一个黄球”的对立事件为“至少取出2个黄球”，所以概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是“取出2个黄球”或“取出3个黄球”.故答案为：取出2个黄球（答案不唯一）.四、双空题15．在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为xOy ()()6,0,6,1A B P 2PO PA =P __________；的最小值为__________. 2PB PA +【答案】22(8)16x y -+=【分析】设出，由题意列出方程组，化简即可得到点的轨迹方程； (),P x y P【详解】设(),P x y =整理得，故动点的运动轨迹方程为，22(8)16x y -+=P 22(8)16x y -+=如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部， P ()8,04B当且仅当在线段上时等号成立， P BO所以的最小值为 2PB PA +故答案为：22(8)16x y -+=五、填空题16．若已知30个数的平均数为6，方差为9；现从原30个数中剔除这10个1230,,,x x x 1210,,,x x x 数，且剔除的这10个数的平均数为8，方差为5，则剩余的20个数的方差为111230,,,x x x ___________. 【答案】8【分析】根据方差定义结合已知条件分析求解【详解】由题意得，，1230630180x x x +++=⨯= 222212309303061350x x x +++=⨯+⨯= ，， 121081080x x x +++=⨯= 22221210510108690x x x =⨯+⨯+=++ 所以剩余的20个数的平均数为， 18080520-=，1112302221350690660x x x ++=-=+ 所以剩余的20个数的方差为，6602025820-⨯=故答案为：8六、解答题17．设等比数列的前项和为，已知，. {}n a n n S 417a a -=37S =（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求.2,2log ,21n n n a n k b a n k =⎧=⎨=-⎩{}n b n n T 2n T 【答案】（1）；（2）12n n a -=21212233n n n +⋅+--【解析】（1）根据，，利用“”法求解.417a a -=37S =1,a q （2）根据，利用分组求和法求解.2,2log ,21n n n a n k b a n k =⎧=⎨=-⎩【详解】（1）由，显然公比.417a a -=1q ≠所以 ()311317171a q a a q q⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩解得，所以，，11q -=2q =11a =所以.12n n a -=（2）因为 12,2,1,21,n n n k b n n k -⎧==⎨-=-⎩所以21221321242n n n n T b b b b b b b b b -=+++=+++++++()321(02422)222n n -=++++-++++()214(22)214nn n --=+-. 21212233n n n +=⋅+--【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算以及分组求和法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美100⎛⎫= ⎪⎝⎭认可程度平均分认可系数食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中的值和第60百分位数；x (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；[)60,70(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由. 【答案】(1)，85 0.01x =(2)10人(3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析【分析】（1）根据频率分布图，求得.然后推得第60百分位数位于区间内，即可根0.01x =[80,90)据第百分位数的求法，得出答案；p （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数； [)60,70（3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【详解】（1）由图可知：，()100.0150.020.030.0251x ⨯++++=解得.0.01x =因为，内的频率为，内的频率为[50,80)0.10.150.20.450.6++=<[50,90)，0.10.150.20.30.750.6+++=>所以，第60百分位数位于区间内，设为， [80,90)m 则， ()0.60.45809080850.3m -=+⨯-=所以，第60百分位数为85.（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 0.1:0.15:0.22:3:4=则应选取评分在的学生人数为：（人）.[)60,7033010234⨯=++（3）由图可知，认可程度平均分为：， 550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=所以，“美食”工作需要进一步整改.19．已知函数在处取得极值.()331f x x ax =--=1x -（1）求实数的值；a （2）当时，求函数的值域. []2,1x ∈-()f x 【答案】（1）；（2）.1[]3,1-【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案；(1)0f '-=（2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的值域．()f x 【详解】（1），函数在处取得极值，所以有即()233f x x a '=-()331f x x ax =--=1x -()10f '-=，解得.()23130a --=1a =（2）由（1）可知：，所以，()313f x x x =--()()()233311f x x x x ==+'--当时，，函数单调递增， ()2,1x ∈--()0f x ¢>()f x 当时，，函数单调递减，()1,1x ∈-()0f x '<()f x 故函数在处取得极大值，因此，=1x -()()()3113 =111f -=--⨯--，，()()()33=22321f -=--⨯---()3113 1 =13f =-⨯--故函数的值域为.()f x []3,1-20．在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记xOy N ()2,0F 1:2l x =N的轨迹为曲线. C (1)求曲线的方程；C (2)过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的F C ,A B y F M ABM A 面积的取值范围.【答案】(1)2213y x -=(2) [)12,+∞【分析】（1，化简整理即可得出答案； 2=（2）设出直线的方程为.联立直线与双曲线的方程可得，进l 2x my =+l ()22311290m y my -++=而根据韦达定理得出坐标之间的关系，以及的取值范围.进而表示出，换元m ABM S =A 可得的取值范围得出答案. ABM S =A t 【详解】（1）设点，(),N xy ， 2=即，222(2)(21)x y x -+=-化简得.2213y x -=（2）设，，()11,A x y ()22,B x y 由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为， l l 2x my =+联立直线与双曲线的方程， l 22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理可得，()22311290m y my -++=则，. 1221231my y m -+=-122931y y m =-由已知可得，，120y y <所以， ()22310Δ3610m m ⎧-<⎪⎨=+>⎪⎩所以.12y y -=又，24MF c ==所以ABM AFM BFMS S S =+A A A 121122MF y MF y ⨯⨯+⨯⨯=1212MF y y =⨯⨯-=设，则，且，所以. 231m t -=213t m +=10t -≤<11t≤-， ABMS =A =12=≥当时，该式有最小值， 11t=-12所以的面积的取值范围是.ABM A [)12,+∞21．甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独2312立.经抽签，第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率. 【答案】(1) 1136(2) 1954【分析】（1）设事件为甲胜乙，为甲胜丙，为乙胜丙，然后得出丙被淘汰可用事件A B C，根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性，即可得出答案；C AC CAB （2）分最终的冠军为甲，乙，丙，分别求解出概率，然后根据互斥事件的概率公式，即可得出答案.【详解】（1）记事件为甲胜乙，则，则，A 2()3P A =()1()13P A P A =-=事件为甲胜丙，则，，B 2()3P B =()1(13P B P B =-=事件为乙胜丙，则，.C 1()2P C =()1()12P C P C =-=则丙被淘汰可用事件来表示， C AC CAB 所以，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为. ()()()()()()1()()P C P A P C P C P A P B P P CAC P CAB ==++1111221123223336=⨯⨯+⨯⨯=（2）若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示，CABA CBAB ()()()P CABA CBAB P CABA P CBAB =+ ()()()()()()()()P C P A P B P A P C P B P A P B =+； 1222122282333233327=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， C AC A ；()()()()()P C AC A P C P A P C P A =11111232336=⨯⨯⨯=若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， CBCB .()()()()()11111232336P CBCB P C P B P C P B ==⨯⨯⨯=所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为()2()()P P CA B CA P CA A C P CBCB =++ . 8111927363654=++=22．已知椭圆，设过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点22:14x C y +=()1,0A l C ,M N 4x =P 为直线上不同于点的任意一点.E 1x =A(1)求的最小值；AM (2)记直线的斜率分别为，问是否存在的某种排列（其中,,EM EN EP 123,,k k k 123,,k k k 123,,i i i k k k ），使得成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若{}{}123,,1,2,3i i i =123,,i i ik k k 不存在，说明理由. 【答案】(2)存在，或成等差数列，证明见解析 132,,k k k 231,,k k k【分析】（1）设点，由(),M x y AM ===次函数性质求解；（2）设点，①若直线斜率为0，直接验证；②直线斜率不为0，设直线(),1,0E t t ≠l l ，则，与椭圆方程联()()()1122:10,,,l x my m M x y N x y =+≠121231233,,1133ty t y t mt mk k k x xm ----====--立，结合韦达定理求解.【详解】（1）解：设点，其中， (),M x y 2214x y +=则，[]2,2AM x =∈-，当. =≥43x =（2）或成等差数列，证明如下： 132,,k k k 231,,k k k 设点.(),1,0E t t ≠①若直线斜率为0，则点，不妨令点，l ()4,0P ()()2,0,2,0M N -则，此时的任意排列均不成等比数列，123,,33t tk t k k =-==-123,,k k k 123,,i i i k k k 或成等差数列.132,,k k k 231,,k k k ②直线斜率不为0，设直线，l ()()()1122:10,,,l x my m M x y N x y =+≠则点，34,P m ⎛⎫⎪⎝⎭由，得， 22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2224230,Δ1630m y my m ++-==+>故， 12122223,44m y y y y m m --+==++因为， 121231233,,1133ty t y t mt m k k k x x m ----====--所以， 121212121211y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+--，()()()2112121212122y y t y y t y y t y y my y my y -+--+==，22326262442334mt mtm m k m m m -+-++===-+所以或成等差数列， 132,,k k k 231,,k k k 综合上述，或成等差数列.132,,k k k 231,,k k k 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

高等数学期中考试试卷及答案

高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。

（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。

（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。

（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。

（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。

（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。

（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。

2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。

3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。

(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。

5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。

四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。

高等数学B期中试卷含答案

高等数学（B ）09-10-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ；2．曲线22231z x x y =+⎧⎨+=⎩在yOz 平面上的投影曲线为； 3．函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数中的系数3b 的值是； 4．已知幂级数11(1)n n n a n x ∞-=-∑的收敛域是[1,3]-，则21nn n a x∞=∑的收敛半径是；5．设,a b 为非零向量，且满足(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b , 则a 和b 的夹角为．二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面:4220x y z π-+-=，则 [ ]（A ）L 平行于π （B ）L 在π上（C ）L 与π斜交（D ）L 垂直于π 7．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A)(1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)--8．下列广义积分中收敛的是 [ ] （A ）e21d (1)x x x -⎰（B）e +∞⎰ （C）22x +∞⎰ （D ）1502ln(1)d x x x +⎰ 9．级数1sin d 1nn xx xπ∞=+∑⎰[ ] （A ）发散（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）无法判断敛散性三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10．设2(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.11．求通过两平面240x y +-=与20y z +=的交线及点0(2,1,1)M --的平面方程.12．求两异面直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩之间的距离.13．设e ,e tan ,cos zxx y z x t y t +-===，求0d d t zt=.14．将()14x f x x-=-在01x =点展成幂级数，并给出幂级数的收敛域，再求()(1)n f .四（15）（本题满分9分）将()1(02)f x x x =-≤≤展开为周期为4的余弦级数，并设()S x 为该余弦级数的和函数，求(3)S 和(6)S 的值.五（16）（本题满分9分）求幂级数2(1)(1)nn n nn x ∞=--+∑的和函数，并指明收敛域.六（17）（本题满分6分）设()f x 在0x =的某一邻域具有二阶连续导数，且0()lim 0x f x x →=，试证明：级数11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭绝对收敛高等数学（B ）09-10-3期中试卷参考答案及评分标准一、填空[][]3),27()4()57()3(.522-31-)1(.432)()(.301)32(132.2110,1),(0)sin(.11211322222πππππππ的夹角为和则，为非零向量，且满足，设，的收敛域是，则，的收敛域是已知幂级数的值是的傅里叶级数中的系数函数平面上的投影曲线为在曲线）处的全微分，在点（确定的隐函数由方程b a b a b a b a b a b a x a x n a b x x x x f x z y z yO y x x z dydz y x z z z xyz n n n n n n -⊥--⊥+-<<-+=⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧=++====+∑∑∞=∞=-二、单项选择）无法判断敛散性）绝对收敛（）条件收敛（发散（级数）（）是（下列广义积分中收敛的）为（，则点处的切平面平行于平面上点已知曲面垂直于）斜交（与）上（在）（平行于）（），则（：，平面设直线D C B A C dx x xdxx x D dx x x C x x dxB x x dx ACD C B A C P z y x P y x z L D L C L B L A D z y x z y x n n ee )()(1sin .9)1ln()(1sin )(ln )()1(.8)2,1,1)()(2,1,1)()(2,1,1)()(2,1,1)((01224.7022403102012z 3y x L .61021025321222∑⎰⎰⎰⎰⎰∞=∞+∞+++------=-++--=⎩⎨⎧=-+-=+--=+++ππππππ三.计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，满分40分）10.设z=f(2x-y,xy 2),其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2..22)4(2,2222312112221yf f xy yf y x f yx z f y f x z ++-+-=∂∂∂+=∂∂11.求通过两平面2x+y-4=0与y+2z=0的交线及点M 0（2，-1，-1）的平面方程。

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