椭圆的定义_标准方程及几何性质

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椭圆的定义、标准方程、几何性质

教师姓名黄小华学生姓名填写时间2014-01- 年级高二学科数学上课时间2014-01- 阶段基础（√）提高（√）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标1、掌握椭圆的定义及其性质；2、掌握椭圆有关概念（长半轴、短半轴、离心率等等）；3、熟练运用椭圆的性质解决最值问题；4、灵活解决直线与椭圆的相关问题（弦长问题）。

重难点1、椭圆的第一定义和第二定义的灵活运用；2、椭圆有关概念（长半轴、短半轴、离心率等等）的综合理解；3、运用椭圆的性质解决最值问题；4、直线与椭圆的相关问题的综合运用（高考重点）。

课后作业：根据学生上课接受情况布置相关作业教师评语及建议：科组长签字：椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

解析几何专题1椭圆方程知识点及椭圆标准方程

高考数学-椭圆知识点一、椭圆的定义：（1）第一定义:平面内与两定点F2距离和等于常数2a （大于）的点的轨迹叫做椭圆（2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e,当0 e 1时，点的轨迹是椭圆•椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离•椭圆定义的表达式：PF, PF22a 2a F,F20 ;M P| PF, PF22a, 2a F,F20 .二、椭圆方程1•椭圆的标准方程：2 2 2 2焦点在x轴:冷占1a b 0 ；焦点在y轴:吿x21 a b 0 .a b a ba是长半轴长，b是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足a2 b2 c2.2. Ax2 By2 CA、B、C均不为零，且AB表示椭圆的条件为：Ax2 By2. x2y21C C，C C .A ~B所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆；当 C C时，椭圆的焦点在x轴上；A B当 C C时，椭圆的焦点在y轴上.A B2 2三、椭圆的几何性质（以笃笃1a b 0为例）a b1. 有限性：x a, y b说明椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x轴、y轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A a,0、A2 a,0、B“ 0, b、B2 0,b .4. 长轴、短轴、焦距：A .A 2叫椭圆的长轴，A A 2a, a 是长半轴长;B 1B 2叫椭圆的短轴，BB 2 2b,b 是短半轴长. F 1F 2叫椭圆的焦距；为2c.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比e -a2 2 2（2） Rt OB 2F 2, B 2F 2 OB 2OF 2 ，即a 2 b 2 c 2.这是椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而b .a 2c 2越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而b 、、a 2 c 2 越大，椭圆越接近圆。

椭圆定义及其标准方程

焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称的。
应用
在平面几何中，椭圆常用于解决与圆、直线、三角形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切线与两个焦点形成的角是直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种表示椭圆上点的坐标的方式，通常使用三角函数来表示。

椭圆的相关知识点

椭圆的相关知识点第一篇：椭圆的基本概念和性质1.椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。

2.椭圆的方程椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为长半轴和短半轴的长度。

椭圆的一般方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为常数。

3.椭圆的对称性椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分别为横向和纵向）。

椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于圆心对称。

4.椭圆的几何性质椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\piab$。

其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。

椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。

椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。

5.椭圆的应用椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。

例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。

第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程1.椭圆的参数方程对于椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程：$$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$\theta$ 为参数，表示$\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。

2.椭圆的焦点坐标椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。

高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质

椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-，方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。

人教版高二数学选修1-1《椭圆及标准方程、几何性质》

椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是。

【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为。

椭圆的定义与标准方程

椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个固定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的定义可以用数学语言描述为，对于给定的两个点F1和F2（焦点），以及一个常数2a（长轴长度），椭圆是满足PF1 + PF2 = 2a的所有点P的集合。

椭圆在平面直角坐标系中的标准方程为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。

其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

椭圆的定义和标准方程是我们研究椭圆性质和方程的基础，下面我们将详细讨论椭圆的性质和相关的数学知识。

首先，我们来看椭圆的性质。

椭圆有许多独特的性质，例如，椭圆的离心率e 满足0 < e < 1，椭圆的焦点到中心的距离等于c，满足a² = b² + c²，椭圆的面积为πab等。

这些性质对于理解椭圆的形状和特点非常重要。

其次，我们将讨论椭圆的参数方程和极坐标方程。

椭圆的参数方程为：x = h + acosθ。

y = k + bsinθ。

其中θ为参数，(h, k)为中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。

而椭圆的极坐标方程为：r(θ) = a(1 e²)/(1 + ecosθ)。

这些方程形式的转化可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和轨迹特点。

最后，我们来讨论椭圆的应用。

椭圆在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，椭圆的反射性质在光学中有重要的应用；椭圆的轨迹特点在天体运动和卫星轨道设计中起着关键作用；椭圆的形状特点在工程设计和建筑中也有重要的应用。

总之，椭圆是数学中重要的几何图形之一，它的定义和标准方程是我们理解和研究椭圆的基础。

通过深入学习椭圆的性质、参数方程、极坐标方程和应用，我们可以更好地理解和应用椭圆这一重要的数学概念。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆的定义及性质

椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2

y2 b2
c

a

3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,

a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性顶点
范围
焦点焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x
在
x2 a2

y2 b2
BB11
1中令y=0，可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2

椭圆公式定理大全

椭圆公式定理大全椭圆是一种二维图形，其形状类似于拉伸的圆形。

在椭圆中，存在一些重要的定理和公式，可以帮助我们理解和处理椭圆的性质和特征。

下面将介绍一些椭圆的重要定理和公式。

1.椭圆的定义：椭圆可以通过以下定义来描述：在平面上选取两个定点F1和F2，并选取一个距离为2a的两个定点间的连线作为主轴，则椭圆是平面上到这两个定点的距离之和等于常数2a的所有点的轨迹。

2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆中心的坐标，a和b是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

3.椭圆的焦点：椭圆的焦点是定义中提到的两个定点F1和F2，它们与椭圆的几何性质密切相关。

4.椭圆的半长轴和半短轴：椭圆的半长轴是主轴的长度的一半，表示为a；半短轴是次轴的长度的一半，表示为b。

半长轴和半短轴的关系可以表示为b²=a²-c²，其中c 是焦点距离中的一半。

5.椭圆的离心率：椭圆的离心率e定义为焦点与椭圆中心之间的距离与半长轴的比值，即e=c/a。

离心率可以用来衡量椭圆的扁平程度，当e=0时，椭圆变为圆形。

6.椭圆的直径和焦距：椭圆的直径是椭圆上任意两个点之间的最长距离，它恰好等于2a；焦距是椭圆中心到焦点的距离，等于2c。

7.椭圆的周长和面积：椭圆的周长可以用以下公式表示：C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二椭圆积分，是一个无法用常规数学表达式表示的函数。

椭圆的面积可以用以下公式表示：S = πab。

8.椭圆的焦截式方程：椭圆的焦截式方程可以表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

9.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ是参数。

10.椭圆的极坐标方程：椭圆的极坐标方程可以表示为r = (a(1-e²))/(1-e cosθ)，其中r 和θ分别是极坐标系中的半径和角度，a和e是椭圆的参数。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。

一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。

根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个参数b，称为短轴。

这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。

椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。

长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中2a>2b。

两个焦点F与F'关于中心O对称。

椭圆有一些特殊的性质：1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。

2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。

离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。

当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。

3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。

二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。

一般形式的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

椭圆的中心位于原点(0,0)处。

椭圆还可以通过参数方程进行表示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的性质1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。

3. 点到椭圆的距离：点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。

4. 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。

5. 垂直角性质：椭圆上的任意点P处，直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。

椭圆的定义、标准方程及其性质

椭圆的定义、标准方程及其性质[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．【知识通关】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2＝1 B .y 29＋x 25＝1 C .y 29＋x 2＝1 D .x 29＋y 25＝1 D4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12B .1＋52C .－1＋52D .－1±52C5．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20【题型突破】椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72D .752(1)D (2)C[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 29＝1(y ≠0) B .y 225＋x 29＝1(y ≠0) C .x 216＋y 29＝1(y ≠0) D .y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 22＝1 B .x 22＋y 2＝1 C .x 24＋y 22＝1 D .y 24＋x 22＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .36B .13C .12D .33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A►考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________． 4[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32B ．2－ 3C .3－12D .3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8(1)D (2)C【真题链接】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34B。

椭圆的标准方程及几何性质

椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。

（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。

（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。

【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。

（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。

【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。

椭圆的概念与几何性质

椭圆的概念与几何性质一、知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质a b a b3、点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________.解析因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案x225＋y216＝13.已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x＞0，所以x＝152，∴P点坐标为(152，1)或(152，－1). 答案(152，1)或(152，－1)4.(2018·张家口调研)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( ) A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)解析根据椭圆方程可得焦点在y 轴上，且c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，故焦点坐标为(0，±3). 答案 B5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223解析不妨设a >0.因为椭圆C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x 轴上，且c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. 答案 C6.(2018·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确. 答案 D考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2018·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24B.12C.8D.6解析 (1)连接QA .由已知得|QA |＝|QP |. 所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.(2)∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8. 答案 (1)A (2)C 规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________. 解析 (1)由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.(2)由椭圆的方程可知F 2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5. 答案 (1)C (2)－5考点二椭圆的标准方程【例2】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________. 解析 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－b 2＝82－42＝48＝43，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)法一当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0).∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0). ∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 法二设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n ).∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎨⎧4m ＝1，n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 答案 (1)D (2)x 24＋y 2＝1规律方法根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可.【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1(2)(2018·榆林模拟)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1解析 (1)椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13×2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a ，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案 (1)B (2)C考点三椭圆的几何性质角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( ) A.8B.7C.6D.5解析因为椭圆x 2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎨⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8. 答案 A角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴于点E ，则∠PF 2E ＝60°，所以|F 2E |＝c ，|PE |＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上， ∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D 角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 ①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m≥tan ∠AMB 2＝ 3. ∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1.②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A规律方法 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.2105解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号).即长轴长2a 的最小值为2 2.(2)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55. 答案 (1)D (2)A[思维升华]1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )三、课后练习1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32B.2－12C.3－12D.5－12解析由题意知，M (－a ，0)，N (0，b )，F (c ，0)，∴NM→＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b ).∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍).∴椭圆的离心率为5－12.答案 D2.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.(3－12，1)B.(3－12，12)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2 ＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|＝22c ·1－cos ∠PF 1F 2，所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c ＋2c ·1－cos ∠PF 1F 2，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a <(3＋1)c ，则13＋1<c a <12，即3－12<e <12. 答案 B3.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP→＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案 54.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32m ，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2<16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________.解析设点Q (x ，y )，则由点Q 与椭圆的右焦点F (1，0)关于直线y ＝bx 对称得⎩⎪⎨⎪⎧y x －1＝－1b ，y 2＝b ·x ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－b 21＋b 2，y ＝2b 1＋b 2，代入椭圆C 的方程得（1－b 2）2a 2（1＋b 2）2＋4b 2b 2（1＋b 2）2＝1，结合a 2＝b 2＋1解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，S △FOQ ＝12 |OF |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b 1＋b 2＝12×1×21＋12＝12. 答案 22 12。

3.1.1椭圆的定义及标准方程

椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的特性和性质。

在数学和几何学中，椭圆是一种闭合的曲线，其定义为平面上所有到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

椭圆也可以通过其标准方程来描述，标准方程是椭圆的一般表达形式，用于表示椭圆的位置、形状和大小。

椭圆的标准方程的一般形式是：\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

根据椭圆的定义，椭圆上所有点到两个焦点的距离之和等于常数，我们可以将椭圆的标准方程与焦点的坐标关联起来。

对于椭圆来说，焦点在x轴上位于(h + c, k)和(h - c, k)，在y轴上位于(h, k + d)和(h, k - d)，其中c为焦距之一，d为焦距之二。

根据这些信息，我们可以进一步推导出椭圆的标准方程，并利用标准方程来描述椭圆的形状和位置。

椭圆的标准方程也可以通过焦点和顶点的坐标来确定。

对于椭圆来说，椭圆的顶点为(h ± a, k)，焦点为(h ± c, k)，如上所述，当我们知道椭圆的顶点和焦点的坐标时，我们可以利用这些信息来建立椭圆的标准方程。

通过利用椭圆的顶点和焦点坐标，我们可以确定椭圆的形状、大小和位置，并以标准方程的形式将这些信息清晰地表达出来。

椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，它可以通过椭圆的中心坐标、半长轴、焦点坐标或顶点坐标等信息来确定。

利用标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。

椭圆是一种重要的几何图形，其标准方程的理解和运用对于数学和几何学的学习都具有重要意义。

椭圆是数学中非常重要的一个几何图形，它具有许多独特的特性和性质，因此在数学和几何学中有着广泛的应用。

椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，通过该方程我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。

椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。

椭圆几何性质知识点总结

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

椭圆定义及标准方程

椭圆定义及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的长轴的两个端点称为椭圆的顶点。

椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心。

椭圆的短轴的长度称为椭圆的短轴长度。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是横轴长的椭圆，另一种是纵轴长的椭圆。

1. 横轴长的椭圆。

设椭圆的中心为原点O(0,0)，长轴与x轴重合，短轴与y轴重合。

设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。

根据勾股定理，可以得到点P(x,y)到两个焦点的距离之和的平方等于点P到两个焦点连线的长度的平方，即(x c)^2 + y^2 + (x+ c)^2 + y^2 = (2a)^2，其中c为椭圆的焦距，满足c^2 = a^2b^2。

整理得到横轴长的椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

2. 纵轴长的椭圆。

设椭圆的中心为原点O(0,0)，长轴与y轴重合，短轴与x轴重合。

同样设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| =2a。

同样根据勾股定理，可以得到点P(x,y)到两个焦点的距离之和的平方等于点P到两个焦点连线的长度的平方，即x^2 + (y c)^2+ x^2 + (y + c)^2 = (2a)^2，其中c为椭圆的焦距，满足c^2 =a^2 b^2。

整理得到纵轴长的椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

椭圆是数学中重要的曲线之一，它具有许多独特的性质和应用。

通过对椭圆的定义及标准方程的了解，我们可以更好地理解椭圆的几何特征和数学性质，为进一步的学习和应用打下基础。

椭圆的性质与方程

椭圆的性质与方程椭圆是数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和特点。

本文将详细探讨椭圆的性质以及与之相关的方程。

在文章中，我们将从以下几个方面进行论述：椭圆的定义、椭圆的基本性质、椭圆的标准方程、椭圆的离心率以及椭圆的焦点与直径等。

一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常量的点的集合。

这两个固定点称为椭圆的焦点，而常量称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状是闭合曲线，它在长轴上取得最大值，在短轴上取得最小值。

二、椭圆的基本性质1. 椭圆是一个凸曲线，具有中心对称性。

其对称中心位于椭圆的中心点，即长轴和短轴的交点。

2. 椭圆的长轴和短轴之比称为离心率，记为e。

离心率确定了椭圆的扁平程度，范围在0和1之间。

当离心率等于0时，椭圆退化为一个点；当离心率等于1时，椭圆退化为一个线段。

3. 椭圆上的任意一点到焦点的距离之和与椭圆的长轴长度相等。

这一性质称为椭圆的焦距性质，是椭圆独特的特点之一。

三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

根据标准方程，我们可以确定椭圆的位置、形状以及大小。

四、椭圆的离心率椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = c/a，其中c为椭圆的焦距，a为长轴长度的一半。

离心率可以反映椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一条线段。

五、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的一半。

焦点在椭圆的中心线上，且与中心线的距离等于椭圆的离心率。

椭圆的直径是通过椭圆中心的两个焦点的直线。

综上所述，椭圆具有独特的性质与方程。

通过椭圆的定义、基本性质、标准方程、离心率以及焦点与直径的理解，我们可以更好地理解椭圆的几何特性和运用。

椭圆在数学、物理学等领域中有广泛的应用，深入研究椭圆的性质对于进一步探索这些领域的数学模型和问题具有重要意义。