八年级数学下册第2章四边形2.7正方形课件新版湘教版

2.性质：①正方形的四条边___相__等____，四个角都是 ___直__角____.②正方形的两条对角线相等，并且互相 ___垂__直__平__分____.每条对角线___平__分____一组对角. ③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
3.判定：①矩形+一组邻边___相__等____=正方形； ②矩形+对角线互相___垂__直____=正方形；③菱形+ 一个角为___直__角____=正方形；④菱形+对角线 ___相__等____=正方形.
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( C )
A.对角线相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D正好 分别在四条平行线l1，l2，l3，l4上.若从上到下每 两条平行线间的距离都是2 cm，则正方形ABCD的 面积为 ( C ) 世纪金榜导学号
2.7 正 方 形
【知识再现】 1.菱形的四条边都___相__等____，矩形的四个角都为 ___直__角____. 2.菱形的对角线互相___垂__直____，矩形的对角线 ___相__等____.
【新知预习】阅读教材P72-P74，归纳结论： 1.定义：有一组邻边___相__等____且有一个角是 ___直__角____的平行四边形叫作正方形.(正方形既是矩形 又是菱形).
2
∵BE=DF，∴OE=OF，
又∵AO=CO，AECF是菱形，∴AE=AF， ∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=22.5°， ∴∠AEF=∠ABE+∠BAE=45°， ∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=45°， ∴∠EAF=90°，∴菱形AECF是正方形.
A.AD∥BC，∠B=∠D B.AC=BD，AB=CD，AD=BC C.OA=OC，OB=OD，AB=BC D.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
★2.如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线 MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角 平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB= ______时，四边形AECF是正方形. 世纪金榜导学号 (D)
【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧！ 1.(2019 ·成都简阳期末)正方形具有而菱形不一定 具有的特征有 ( C )
A.对角线互相垂直平分 B.内角和为360° C.对角线相等 D.对角线平分内角
2.(2019 ·辽阳期末)如图所示，在正方形ABCD中，E
是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是( C )
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，∴AE=DF，
AB AD,
在△BAE和△ADF中，BAE ADF, ∴△BAE≌△ADF(SAS)A，E ∴ BDEF,=AF.
(2)略
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线” 1.边：四条边都相等且每组对边平行. 2.角：四个角都是直角. 3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方 形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分 一组对角，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
【自主解答】∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形， 又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC=∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°，BE=CE， ∴四边形BECF是正方形.
【学霸提醒】 判定正方形的一般思路
【题组训练】 1.(2019 ·白银靖远期末)在四边形ABCD中，O是 对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形为正方形 的是 ( D )
∴四边形EFMN是菱形. ∵∠ENA=∠DMN，∠DMN+∠DNM=90°， ∴∠ENA+∠DNM=90°，∴∠ENM=90°. ∴四边形EFMN是正方形.
【一题多变】 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上， ∠ADE=∠CDF.世纪金榜导学号
(1)求证：AE=CF. (2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连接 EG，FG，判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理 由.
A. 5B. 10C. 3 2 D.2 2
知识点二 正方形的判定(P73例2拓展) 【典例2】已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是 正方形.
【思路点拨】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF 是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是 矩形，又BE=CE得出邻边相等的矩形是正方形.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
ADE＝CDF,
在△DAE和△DCF中，DA＝DC,
A＝C,
∴△DAE≌△DCF，∴AE=CF.
(2)四边形DEGF是菱形，∵△DAE≌△DCF， ∴DE=DF，∵AE=CF，∴BE=BF， ∴DG是EF的垂直平分线，∴GE=GF， ∵OG=OD，DG⊥EF，∴ED=EG， ∴DE=EG=GF=FD，∴四边形DEGF是菱形.
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
★3.(2019·云南模拟)如图，平行四边形ABCD的对角 线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个 条件是___∠__A_B_C_=_9_0_°__或__A_C_=_B_D_(_答__案__不__唯__一__)___(只需 添加一个即可)
★★4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O， 交BC于点E，AD∥BC，连接CD， 世纪金榜导学号 (1)求证：AO=EO. (2)当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形？请 说明理由.
ABF DAE,
在△ABF和△DAE中AFB AED 90,
AB AD
∴△ABF≌△DAE，∴AF=DE，BF=AE，
∴FG=FE，∴矩形EFGH是正方形.
(2)在Rt△ABF中，∠ABF=30°，AB=2， ∴AF=1，BF=3 ， 同理：AE= 3 ，∴EF=AE-AF= 3 -1， ∴S正方形EFGH=EF2=( 3 -1)2=4-2 3 .
A.45度
B.30度
C.22.5度
D.20度
知识点一 正方形的性质(P73例1拓展) 【典例1】(2019·长沙中考)如图，正方形ABCD，点E， F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证：BE=AF. (2)若AB=4，DE=1，求AG的长.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形，
解：(1)∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，∵BD平分 ∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD，又∵AE⊥BD，∴BO=DO，又 ∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD≌△EOB，∴AO=EO.
(2)当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形ABED是正方 形.理由：∵△AOD≌△EOB，∴AD=BE， 又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当 ∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足 ∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
【变式二】(变换条件与问法)如图，在边长为2的正方 形ABCD中，AE⊥DH于E，BF⊥AE于F，CG⊥BF于G， DH⊥CG于H，且∠ABF=∠BCG=∠CDH=∠DAE=30°. (1)求证：四边形EFGH为正方形. (2)求正方形EFGH的面积.
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG， 同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°， ∴平行四边形EFGH是矩形， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，
【母题变式】 【变式一】(变换条件与问法)已知：在菱形ABCD中，E， F在BD上，∠ABC=45°，BE=DF=AE，求证：四边形AECF 是正方形.
证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，
AC⊥BD，AB=A1 D，∠ABE= ∠ABC=22.5°.
【火眼金睛】 如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点， 若AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么图形？证明你的 结论.
【正解】四边形EFMN是正方形，理由： ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=DM=CF=BE， ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE. ∴EF=EN=NM=MF，∠ENA=∠DMN.
A.4 cm2 C.20 cm2
B.5 cm2 D.30 cm2
★3.(2019·聊城阳谷一模)如图，将边长为 3 的正 方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中点M的坐标为
世纪金榜导学号( B )
A.( 3 ，1)
C.(
3
，
3 2
)
B.(1， 3 )
D.(
3，
2
3)
★★4.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中， 点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点， 那么CH的长是 ( A )